中学专题复习二次函数与直角三角形

2013年中考数学专题复习二次函数与直角三角形

例１. (二○一二年枣庄市本题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC 斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C 的坐标为()10-，．B 点在抛物线211

222

y x x =

+-的图象上，过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，且B 点横坐标为3-．

（1）求证：BDC COA △≌△； （2）求BC 所在直线的函数关系式；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使ACP △是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

1．（2012赤峰）如图，抛物线2

5y x bx =--与x 轴交于A ．B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点C 与点F 关于抛物线的对称轴对称，直线AF 交y 轴于点E ，|OC|：|OA|=5：1．

（1）求抛物线的解析式； （2）求直线AF 的解析式；

（3）在直线AF 上是否存在点P ，使△CFP 是直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．

A B D

C O

x

y (第25题图)

2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线

y=x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．

（1）求抛物线的解析式（关系式）；

（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；

（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3.(2012海南)如图，顶点为P（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON

（1）求该二次函数的关系式.

（2）若点A的坐标是（6，－3），求△ANO的面积.

（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：

①证明：∠ANM=∠ONM

②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理

由

.

4．（2012湖南衡阳10分）（2012•衡阳）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD 的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）

（1）求此抛物线的解析式．

（2）过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，

①求证：PF=PR；

②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断△RSF的形状．

5．（2012•广州）如图，抛物线y=与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），

与y轴交于点C．

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

6．（2012重庆）已知：如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△ABC的两条直角边BA．BC分别在y轴上．X轴上，且点B与点O重合，点A(0，3)点C(６，０)， E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和Rt△ABC在BC的同侧．

（1）当正方形的顶点F恰好落在边AC上时，求过B.C.F三点的函数解析式；

（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFＧ为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，点Ｄ(2，3)，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S

与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

Ｄ

Ａ

Ｏ(Ｂ) Ｃ

Ｄ

Ａ

Ｏ(Ｂ) Ｃ

7．（2012攀枝花）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A．C．D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．

（1）求过A．C．D三点的抛物线的解析式；

（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；

（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A．E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．8．(201２山东青岛12分)如图，在△ABC中，∠C＝90º，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t(0＜t＜4)s．解答下列问题：

(1)当t为何值时，PQ⊥AB？

(2)当点Q在B、E之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y cm2，求y与t之间的函数关

系式；

(3)在(2)的情况下，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之

比为S△PQE∶S五边形PQBCD＝1∶29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．