北师大版中考复习二次函数经典总结及典型题

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北师大版九年级数学中考二次函数综合题总结

二次函数综合题总结线段、面积问题1.(2019贵州三州联考)已知抛物线y=ax2+bx+3经过点出1, 0)和点5(-3, 0),与y轴交于点C,点F为第二象限内抛物线上的动点.(1)抛物线的解析式为_________ ，抛物线的顶点坐标为________ :(2)如图二，连接OP交EC于点当S二CPD二S二BPD=\：2时，请求出点D的坐标：⑶如图二，点£的坐标为(0, — 1),点G为x轴负半轴上的一点，二OGE=15。

，连接PE,若JPEG=2ZOGE, 请求出点P的坐标：(4)如图二，是否存在点P使四边形BOCP的而积为8?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.第1题图二第1題图二第1题图二2.如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点出一1, 0)、5(3, 0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式：(2)如图二，D为抛物线对称轴上一动点，求D运动到什么位置时二D4C的周长最小：(3)如图二，点E在第一象限抛物线上,4E与BC交于点F.若AF二FE=2F,求点E坐标.第2題图二角度问题1.(2018河南)如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于厶B两点，交y轴于点C.直线y=x~5经过点D C.(1)求抛物线的解析式：(2)过点A的直线交直线BC于点M.::当时，过抛物线上一动点P(不与点D C重合)，作直线丄忆的平行线交直线BC于点0,若以点A, M, P,。

为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标：二连接AC,直线与直线BC的夹角等于二4CE的2倍时，请直接写岀点M的坐标.第1題图备用图直角三角形的存在性问题1. (2018怀化)如图，在平而直角坐标系中，抛物线j—an+b+c与x轴交于J(-l, 0), 2(3, 0)两点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和宜线AC的解析式：(2)请在)，轴上找一点使二的周长最小，求岀点M的坐标：(3)试探究：在抛物线上是否存在点P,使以点P, C为顶点，/C为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.第1题图备用图线段、面积问题1.解：(1”=一工一力+3, (—1, 4)；【解法提示】□抛物线y=d+fer+3经过点出1, 0)和点2(—3, 0),a +b + 3 = 0 a=— 1t ,解得9a — 3b+3=0 b=-2 二抛物线的解析式为歹=一《—2X+3=-(X+1)2+4,□抛物线的顶点坐标为(一1, 4).(2)二抛物线与y轴交于点C,二C(0, 3).L5(—3, 0),二 OB=OC,ZZC5O=45°, BC=3g如解图过点D 作DF—轴于点F,则DF二x轴，二CDHBC=CF二OC=DF二OB, LCDF=45°,ZS ZCPD ZS ZBPD=1~2,二 CD 二 BD=mZCDZ5C=1Z3,而BC=3y[i,二 CD=dZZCDF=45°,二CF=1, DF=1,二点D的坐标为(一1，2)；第1题解图二⑶如解图1 设PE交x轴于点AT, □□0GE=15。

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6．如图，坐标系中抛物线是函数 y=ax2＋bx＋c 的图象，则下列式
子能成立的是（
）
A．abc＞0 B．a＋b＋c＜0 C．b＜a＋c D．2c＜3b
7．二次函数 y=－x2＋bx＋c 的图象的最高点是（－1，－3），则 b、c
的值是（
）
A．b=2，c=4 B．b=2，c=－4 C．b=－2，c=4 D．b=－2，c=－4
4
6．已知二次函数 y=ax 2 ＋bx＋c 的图象开口向上，且经过（0，－1）和（3，5）两点，图象的顶点到 x 轴的距离等于 3，求这个函数的表达式
5..在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的
一部分(如图),若这个男生出手处 A 点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处 B 点的坐标为
b
7 在同一坐标系中，函数 y=ax2＋bx 与 y= x 的图象大致是图中的（
）
8 图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数 y=ax2＋（a＋c）x＋c 与一次函数 y=ax＋c
的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（
）
9．如图，若 a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线 y=ax2＋bx＋c 的大致图象为（
2、已知抛物线与 x 轴交于点 M（-1，0）、N（2，0），且经过点（1，2），求这个函数的表达式；
3、已知抛物线的顶点为（1，-1），且过点（2，1），求这个函数的表达式；
4、已知一个二次函数的图象经过点（1，-1），（0，1），（-1，13），求这个二次函数的解析式；
5．已知二次函数 y=x 2 ＋bx＋c 的图象过（1，0），（2，5）两点，求这个二次函数的表达式。
7
7
①a＜－ ②－＜a＜0③a＋b＋c＜0④0＜b＜－4a，其中正确的是

北师大中考实用总结二次函数的实际应用(利润最值问题7页)

-二次函数的实际应用——最大(小)值问题知识要点：二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式ab ac a b x a y 44)2(22-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当abx 2-=，a b ac y 442-=最小值；当0<a 时，函数有最大值，并且当abx 2-=，a b ac y 442-=最大值．如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当abx 2-=，a b ac y 442-=最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小．[例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值．解：4)1(2-+=x y当1-=x 时，y 有最小值4-，无最大值．（2）求函数322-+=x x y 的最值．)30(≤≤x 解：4)1(2-+=x y∵30≤≤x ，对称轴为1-=x∴当12330有最大值时；当有最小值时y x y x =-=．[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润则：)10300)(4060(1x x y -+-=)60010(102---=x x6250)5(102+--=x当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元）)20300)(4060(2x x y +--=)15)(20(20+--=x x 6125)5.2(202+--=x当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元）综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？解：设每件价格提高x 元，利润为y 元，则：)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202+--=x 当5=x ，4500max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？解：设旅行团有x 人)30(≥x ，营业额为y 元，则：)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x 30250)55(102+--=x 当55=x ，30250max =y （元）答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．[例3]：某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数． ⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：⑴设一次函数表达式为b kx y +=．则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ，•即一次函数表达式为40+-=x y ．⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元，所获销售利润为w 元y x w )10(-=)40)(10(+--=x x400502-+-=x x-225)25(2+--=x 当25=x ，225max =y （元）答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： ⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程．3．超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式．⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)．解：⑴设y=kx+b 由图象可知，3040020,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得，即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x ． ⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x200001400202-+-=xx ∵020<-=a ∴P 有最大值．当35)20(21400=-⨯=x 时，4500max =P （元）（或通过配方，4500)35(202+--=x P ，也可求得最大值）答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．⑶∵44804500)35(2041802≤+--≤x 16)35(12≤-≤x ∴31≤x •≤34或36≤x≤39．作业： 1．二次函数1212-+=x x y ，当x=_-1，_时，y 有最_小_值，这个值是23-． 2．某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为12--=x y (只写一个)，此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”)．3．不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是29>m ，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是_有解_(填“有解”或“无解”)解：29)23(22-+-=m x y ∵0)23(22≥-x ，要使0>y ，只有029>-m ∴29>m4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 4.5米．解：当05.3=y 时，21 3.55y x =-+05.3= 45.052⨯=x ，5.1=x 或5.1-=x （不合题意，舍去）5．在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0（m/s ）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s （m ）与抛出时间t （s ）满足：S=V 0t-12gt 2（其中g 是常数，通常取10m/s 2），若V 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距离地面__7_m ．解：t t s 1052+-=5)1(52+--=t当1=t 时，5max =s ，所以，最高点距离地面725=+(米)．6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V （km/h ）的汽车的刹车距离S （m ）可由公式S=1100V 2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V 2．如果车行驶的速度是60km/h ，•那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_36_米．7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价_5_元，最大利润为_625_元．解：设每件价格降价x 元，利润为y 元，则：)20)(70100(x x y +--=600102++-=x x 625)5((2+--=x当5=x ，625max =y （元）-答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．8．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．解：设9)8(2+-=x a y ，将点A )1,0(代入，得81-=a12819)8(8122++-=+--=x x x y令0=y ，得09)8(812=+--=x y98)8(2⨯=-x268±=x ，)0,268(+C ，∴5.242688≈++=OC (米)9．某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：（1观察所得的图形，判断y 与x 之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，P 的值最大？解：（1）由图象可知，y 是x 的一次函数，设y=kx+b ，• ∵点（•25，2000），（24，2500）在图象上，∴200025500,:25002414500k bk k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得， ∴y=-500x+14500．（2）P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500))37744144142(500)37742(500)29)(13(50022+-+--=+--=---=x x x x x x=-500(x-21)2+32000∴P 与x 的函数关系式为P=-500x 2+21000x-188500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润，最大利润为32000元．10．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元，写出p 关于x 的函数关系式； (2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q －收购总额)？解：(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x 元.∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x 2+900x+30000. (3)设总利润为W 元则：W=Q －1000×30－400x=－10x 2+500x=－10(x 2－50x) =－10(x －25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元．答：这批蟹放养25天后出售，可获最大利润．11．政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元? 解：)802)(20()20(+--=-=x x w x y)40)(20(2---=x x)80060(22+--=x x 200)30(22+--=x160012022-+-=x x当30=x ，200max =y （元）(1)y 与x 之间的的函数关系式为；160012022-+-=x x y(2)当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．-(3) 150200)30(22=+--x ，25)30(2=-x28351>=x （不合题意，舍去）252=x答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为25元．12．研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x (吨)时，所需的全部费用y (万元）与x 满足关系式9051012++=x x y ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？解：（1）甲地当年的年销售额为万元；．（2）在乙地区生产并销售时，年利润．由，解得或．经检验，不合题意，舍去，．（3）在乙地区生产并销售时，年利润，将代入上式，得（万元）；将代入，得（万元）．，应选乙地．。

北师大版中考复习二次函数总结及典型题

二次函数一、二次函数的定义例1、已知函数y=m －1x m2 +1+5x －3是二次函数,求m 的值.若函数y=m 2+2m －7x 2+4x+5是x 的二次函数,则m 的取值范围为 . 二、五点作图法的应用例2. 已知抛物线y x x =-+123522, 1用配方法求它的顶点坐标和对称轴并用五点法作图2若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B,求线段AB 的长． 1、抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为 A-2,7 B-2,-25 C2,7 D2,-92、抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线 A ．1x =B ．1x =-C ．3x =-D ．3x =3、把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式三、a b c ，，及b ac 24-的符号确定例3. 已知抛物线y ax bx c =++2如图,试确定：1a b c ，，及b ac 24-的符号；2a b c ++与a b c -+的符号.1、已知二次函数2y ax bx c =++0a ≠的图象如图所示,有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<,其中正确的个数有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是11 1-Ox yA ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤3、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列关系式中错误．．的是 A ．a ＜0 B ．c ＞0C ．ac b 42-＞0D ．c b a ++＞04、图12为二次函数2y ax bx c =++的图象,给出下列说法：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时,y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时,13x -<<．其中,正确的说法有．请写出所有正确说法的序号5、已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac,a+b+c,4a －2b+c,2a+b,2a －b 中,其值大于0的个数为 A ．2B 3C 、4D 、5四、二次函数解析式的确定例4. 求二次函数解析式： 1抛物线过0,2,1,1,3,5； 2顶点M-1,2,且过N2,1；3已知抛物线过A1,0和B4,0两点,交y 轴于C 点且BC ＝5,求该二次函数的解析式.练习：根据下列条件求x 的二次函数的解析式（1）当x=3时,y 最小值=－1,且图象过0,7（2）图象过点0,－21,2且对称轴为直线x=错误! （3）图象经过0,11,03,0五、二次函数与x 轴、y 轴的交点二次函数与一元二次方程的关系例5、已知抛物线y ＝x 2-2x-8,1求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；2若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B,且它的顶点为P,求△ABP 的面积xO1 －1、二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为2、如图所示,二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点, 交y 轴于点C, 则△ABC的面积为B.43、若二次函数y＝m+5x2+2m+1x+m的图象全部在x轴的上方,则m 的取值范围是六、直线与二次函数的问题例6已知：二次函数为y=x2－x+m,1写出它的图像的开口方向,对称轴及顶点坐标；2m为何值时,顶点在x轴上方,3若抛物线与y轴交于A,过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B,当S△AOB=4时,求此二次函数的解析式．1、抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 .2、直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有个交点.例7 已知x的二次函数y=x2－mx+212m+与y=x2－mx－222m+,这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A,B两个不同的点．1试判断哪个二次函数的图像经过A,B两点；2若A点坐标为－1,0,试求B点坐标；3在2的条件下,对于经过A,B两点的二次函数,当x取何值时,y的值随x•值的增大而减小练习如图,在平面直角坐标系中,OB⊥OA,且OB＝2OA,点A的坐标是－1,2．1求点B的坐标；2求过点A、O、B的抛物线的表达式；3连接AB,在2中的抛物线上求出点P,使得S△ABP ＝S△ABO．例8 已知：m,n是方程x2－6x+5=0的两个实数根,且m<n,抛物线y=－x2+bx+c的图像经过点Am,0,B0,n,如图所示．1求这个抛物线的解析式；2设1中的抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标和△BCD的面积；3P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于H点,若直线BC•把△PCH分成面积之比为2：3的两部分,请求出P点的坐标．七、用二次函数解决最值问题例9 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x元•与产品的日销售量y件之间的关系如下表：x 元152030…y件252010…若日销售量y是销售价x的一次函数．1求出日销售量y件与销售价x元的函数关系式；2要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元•此时每日销售利润是多少元例3.你知道吗平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m,则学生丁的身高为建立的平面直角坐标系如右图所示A．1．5 m B．1．625 mC．1．66 m D．1．67 m八、二次函数应用一经济策略性1.某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获得更多的利润,商店决定提高销售价格.经检验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y件是价格X的一次函数.1试求y与x的之间的关系式.2在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月获得最大利润,每月的最大利润是多少总利润=总收入－总成本2.有一种螃蟹,从海上捕获后不放养最多只能活两天,如果放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去,假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变,现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内,此时市场价为每千克30元,据测算,以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元,但是放养一天需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去,假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元. 1设X 天后每千克活蟹的市场价为P 元,写出PX 的函数关系式.2如果放养X 天后将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售额为Q 元,写出QX 的函数关系式.2该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润利润=销售总额—收购成本—费用,最大利润是多少自我检测一. 选择题.1. 用配方法将12322x x ++化成()a x b c ++2的形式A. ()123522x +-B. 1232542x +⎛⎝ ⎫⎭⎪- C. ()12322x ++ D.()12372x +- 2. 对于函数y ax a =<20(),下面说法正确的是A. 在定义域内,y 随x 增大而增大B. 在定义域内,y 随x 增大而减小C. 在()-∞，0内,y 随x 增大而增大D. 在()0，+∞内,y 随x 增大而增大 3. 已知a b c <<>000，，,那么y ax bx c =++2的图象4. 已知点-1,33,3在抛物线y ax bx c =++2上,则抛物线的对称轴是A. x a b=-B. x =2C. x =3D. x =15. 一次函数y ax b =+和二次函数y ax bx c =++2在同一坐标系内的图象6. 函数y x x =-++33322的最大值为 A. 94B. -32C. 32D. 不存在二. 填空题.7. ()()y m x m x m =++-++11321是二次函数,则m =____________.8. 抛物线y x x =--52222的开口向_____,对称轴是________,顶点坐标是_______. 9. 抛物线y ax bx c =++2的顶点是2,3,且过点3,1,则a =___,b =___,c =______. 10. 函数y x x =---123522图象沿y 轴向下平移2个单位,再沿x 轴向右平移3个单位,得到函数________的图象. 三. 解答题.抛物线()()y x m x m m =-++-+-222243,m 为非负整数,它的图象与x 轴交于A 和B,A 在原点左边,B 在原点右边. 1求这个抛物线解析式.2一次函数y kx b =+的图象过A 点与这个抛物线交于C,且S ABC ∆=10,求一次函数解析式.◆强化训练一、填空题1．右图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图像,•观察图像写出y 2≥y 1时,x 的取值范围_______．2．已知抛物线y=a 2+bx+c 经过点A －2,7,B6,7,C3,－8,•则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是_______．3．已知二次函数y=－x 2+2x+c 2的对称轴和x 轴相交于点m,0,则m 的值为______． 4．若二次函数y=x 2－4x+c 的图像与x 轴没有交点,其中c 为整数,•则c=_______只要求写出一个．5．已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点1,2与－1,4,则a+c•的值是______．6．甲,乙两人进行羽毛球比赛,甲发出一十分关键的球,出手点为P,羽毛球飞行的水平距离sm 与其距地面高度hm 之间的关系式为h=－112s 2+23s+32．如下左图所示,•已知球网AB 距原点5m,乙用线段CD 表示扣球的最大高度为94m,设乙的起跳点C 的横坐标为m,若乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败,则m•的取值范围是______．7．二次函数y=x 2－2x －3与x 轴两交点之间的距离为______．8．兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高,•房子的价格y 元/m 2随楼层数x 楼的变化而变化x=1,2,3,4,5,6,7,8,已知点x,y•都在一个二次函数的图像上如上右图,则6楼房子的价格为_____元/m 2．二、选择题9．二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示,•则下列关系式不正确的是A ．a<0B ．abc>0C ．a+b+c<0D ．b 2－4ac>0第9题第12题第15题10．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像过点A1,2,B3,2,C5,7．若点M －2,y 1,N －1,y 2,K8,y 3也在二次函数y=ax 2+bx+c 的图像上,则下列结论中正确的是 A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 2<y 1<y 3 C ．y 3<y 1<y 2 D ．y 1<y 3<y 211．抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴是x=2,且经过点P3,0,则a+b+c的值为A．－1 B．0 C．1 D．212．如图所示,抛物线的函数表达式是A．y=x2－x+2 B．y=－x2－x+2 C．y=x2+x+2 D．y=－x2+x+213．抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2,平移方法是A．向左平移1个单位,再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位,再向上平移3个单位C．向右平移1个单位,再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位,再向上平移3个单位14．已知二次函数y=x2+bx+3,当x=－1时,y取得最小值,则这个二次函数图像的顶点在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限15．抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图像如图所示,那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是,0 B．1,0 C．2,0 D．3,0A．1216．在同一直角坐标系中,函数y=mx+m和y=－mx2+2x+2m是常数,•且m≠0的图像可能是三、解答题17．如图所示,已知抛物线y=ax2+4ax+ta>0交x轴A,B两点,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点E,点B的坐标为－1,0．1求抛物线的对称轴及点A的坐标；2过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P,你能判断四边形ABCP•是什么四边形并证明你的结论；3连接CA与抛物线的对称轴交于点D,当∠APD=∠ACP时,求抛物线的解析式．18．如图所示,m,n是方程x2－6x+5=0的两个实数根,且m<n,•抛物线y=－x2+bx+c的图像经过点Am,0,B0,n．1求这个抛物线的解析式；2设1中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标和△BCD 的面积；3P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于点H,若直线BC•把△PCH分成面积之比为2：3的两部分,请求出点P的坐标．19．某地计划开凿一条单向行驶从正中通过的隧道,•其截面是抛物线拱形ACB,而且能通过最宽3m,最高3.5m的厢式货车．按规定,•机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m．•为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道,在图纸上以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,•建立如图所示的直角坐标系,求抛物线拱形的表达式,隧道的跨度AB和拱高OC．20．已知一个二次函数的图像过如图所示三点．1求抛物线的对称轴；2平行于x轴的直线L的解析式为y=254,抛物线与x轴交于A,B两点．•在抛物线的对称轴上找点P,使BP的长等于直线L与x轴间的距离．求点P的坐标．21．如图5－76所示,二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图像与x•轴交于A,B两点,其中A点坐标为－1,0,点C0,5,D1,8在抛物线上,M为抛物线的顶点．1求抛物线的解析式；2求△MCB的面积．22．如图所示,过y轴上一点A0,1作AC平行于x轴,交抛物线y=x2x≥0于点B,交抛物线y=12x2x≥0于点C；过点C作CD平行于y轴,交抛物线y=x2于点D；过点D作DE平行于x轴,交抛物线y=14x2于点E．1求AB：BC；2判断O,B,E三点是否在同一直线上如果在,写出直线解析式；如果不在,请说明理由．。

北师大版九年级下册 2.2 二次函数的图像及性质复习资料：知识点+例题

二次函数的图像及性质一、知识要点1.二次函数的概念：形如________________________________的函数，叫做x的二次函数．．．．。

称：a 为二次项系数，ax 2叫做二次项；b 为一次项系数， bx 叫做一次项； c 为常数项。

)0(2≠=a ax y 是二次函数的特例，此时常数b=c=________.注意：在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围．．．．．．．．。

2.二次函数y ＝ax 2的图象是一条顶点在____________,关于__________对称的曲线，这条曲线叫做抛物线．．．。

描述抛物线常从开口方向、对称性、y 随x 的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x 轴的交点等方面来描述。

①函数的定义域是_____________；②抛物线的顶点________，对称轴是_________(或称直线___________)。

③当a ＞0时，抛物线开口_______，并且向上方无限伸展。

当a ＜0时，抛物线开口_________，并且向下方无限伸展。

④函数的增减性：当a ＞0时⎩⎨⎧≥≤._____________,0__;__________,0增大而随时增大而随时x y x x y x 当a ＜0时⎩⎨⎧≥≤.____________,0__;__________,0增大而随时增大而随时x y x x y x ⑤当｜a ｜越大，抛物线开口_________；当｜a ｜越小，抛物线的开口_________。

⑥最大值或最小值：当a ＞0，且x ＝0时函数有___________，是___________；当a ＜0，且x ＝0时函数有___________，是____________．3.二次函数c ax y +=2的图象是一条顶点在____________且与____________对称的抛物线4.二次函数c bx ax y ++=2的图象是以____________________________为对称轴，顶点为___________________________的抛物线。

中考数学二次函数知识点总结及相关题型北师大版[宝典]-9页word资料

二次函数知识点总结1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质: （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故第二部分典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是（ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0第２,３题图第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（Ｄ）A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0４.如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（Ｄ）５.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ．6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x；⑤21x x －，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式. 解：（1）102-=x y 或642--=x x y将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-. （2）22--=x y8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围. 解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y 为正数时，输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ．9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃ 10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，ax 342-=． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a34-，0）．〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°．由222BC AC AB +=，得)16916(259891622++=+-a a a ．解得 41-=a ．∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ．于是222BC AC AB +=． ∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形．〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°．由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=aa a ．解得 94=a ．当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°．由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+aa a ．解得 94=a ．不合题意．综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且ABm 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N. 这时M 、N 到y又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×12×（2－m∴解得m=－7 .12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． ∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝．（3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ，且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－．①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）．设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0），∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－消去0y ，得03x 23x 020＝＋+． ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根．综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小．解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上，∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQ PF BQ BF ＝．∴ 45251PF ＝．∴ 21＝PF ．∴ 点P 坐标为（－2，21）．以下同解法一．13.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，．（2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ．∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ．∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221<<t ．（3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ．设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m m n ．分以下几种情况讨论：i ）若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=．解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛47251，P ．ii ）若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=．解得：02343==m m ，（舍去）．∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232，－P ． iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854，．图a 图b14.已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．解：根据题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22-x y ＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）．解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上，所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ．因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－．（2）因为点D 、E 的纵坐标为209，所以109125182092＋－x =，得245±＝x ．所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）．所以225)245(245＝－＝-DE ．因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值．解:（1）a 、c 同号．或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜．据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ acx x =⋅21．由题意，得2OC OB OA ＝⋅，即22c c ac ＝＝．所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．（3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋aa b x x ，∴ a ＞0．解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－， ∵ 34=AB ， ∴3432＝a ．得21=a ．∴ c ＝2. 解法二：由求根公式，aa a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝，∵ 34＝AB ，∴3432＝a ，得21＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点．（1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）． ∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(．又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）．（2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ． ∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ．∴ x x y 8329322-=为所求．（3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°．由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ．∴ OD ＝OB ·tan30°－1．∴ DA ＝2．∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2．∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP ＝60°．∴ ∠BAP ＝∠BAO ＋∠DAP ＝30°＋60°＝90°．即 PA ⊥AB ．即直线PA 是⊙E 的切线．。

北师大版二次函数经典总结与典型题答案解析

二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由a 断,c 与Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。

北师大版九年级中考数学二次函数的图像与性质题型总结

二次函数的图象与性质总结基本性质1. 如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B(－1，0)，则：①二次函数的最大值为a＋b＋c；②a－b＋c＜0；③b2－4ac＜0；④当y＞0时，－1＜x＜3，其中正确的是()第1题图A. ①③④B. ②④C. ①④D. ②③2. 在二次函数y＝x2－2x－3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是()A. 0，－4B. 0，－3C. －3，－4D. 0，03. (2019福建)若二次函数y＝|a|x2＋bx＋c的图象经过A(m，n)、B(0，y1)、C(3－m，n)、D(2，y2)、E(2，y3)，则y1、y2、y3的大小关系是()A. y1＜y2＜y3B. y1＜y3＜y2C. y3＜y2＜y1D. y2＜y3＜y14. (2019攀枝花)在同一坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx与一次函数y＝bx－a的图象可能是()交点问题1. 已知：抛物线y 1＝x 2＋2x －3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，抛物线y 2＝x 2－2ax －1(a ＞0)与x 轴交于C 、D 两点(点C 在点D 的左侧)，在使y 1＞0且y 2≤0的x 的取值范围内恰好只有一个整数时，a 的取值范围是( )A. 0<a ≤34B. a ≥34C. 34≤a <43D. 34<a ≤432. 已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程－x 2－bx －c ＝0在－1＜x ＜3的范围内有一个实数根，则c 的取值范围是( )A. c ＝4B. －5<c ≤4C. －5<c <3或c ＝4D. －5<c ≤3或c ＝43. 如图，以扇形AOB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，点B 的坐标为(2，0)，若抛物线y ＝12x 2＋k 与扇形AOB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是( )第3题图A. －2<k <12B. －2<k <－12C. －2<k <0D. －2<k <2－14. 将二次函数y ＝x 2－5x －6在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y ＝2x ＋b 与这个新图象有3个公共点，则b 的值为( )A. －734或－12B. －734或2C. －12或2D. －694或－12 5. (2019天水)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，若M ＝4a ＋2b ，N ＝a －b .则M 、N 的大小关系为M ________N.(填“>”、“＝”或“<”)第5题图6. (2019贵港)我们定义一种新函数：形如y ＝|ax 2＋bx ＋c |(a ≠0，且b 2－4ac ＞0)的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y ＝|x 2－2x －3|的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为(－1，0)，(3，0)和(0，3)；②图象具有对称性，对称轴是直线x ＝1；③当－1≤x ≤1或x ≥3时，函数值y 随x 的增大而增大；④当x ＝－1或x ＝3时，函数的最小值是0；⑤当x ＝1时，函数的最大值是4.其中正确结论的个数是____________．第6题图参考答案基本性质1. C 【解析】①当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c 最大，故①正确；②∵B (－1，0)，∴当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝0，故②错误；③∵二次函数与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，故③错误；④∵对称轴为直线x ＝1，B (－1，0)，∴A (3，0)，由图象可得，y ＞0时，－1<x <3，故④正确．故正确的有①④.2. A 【解析】抛物线的对称轴为直线x ＝1，则当x ＝1时，y ＝1－2－3＝－4，是最小值；当x ＝3时，y ＝9－6－3＝0是最大值．3. D 【解析】∵二次函数经过A (m ，n )、C (3－m ，n )，∴二次函数的对称轴为直线x ＝32，∵B (0，y 1)、D (2，y 2)、E (2，y 3)与对称轴的距离B 最远，D 最近，且|a |＞0，∴y 2<y 3<y 1.4. C 【解析】当x ＝0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＝0，可知二次函数的图象过原点，故D 错误；令ax 2＋bx ＝bx －a ，此方程无解，则二次函数y ＝ax 2＋bx 与一次函数y ＝bx －a 的图象没有交点，由B 错误；故A 、C 选项，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象开口向上，对称轴在y 轴右边，∴a >0，－b 2a>0，∴b <0，∴一次函数y ＝bx －a 的图象过第二、三、四象限，∴C 选项正确．交点问题1. C 【解析】抛物线y 1＝x 2＋2x －3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，可得A (－3，0)，B (1，0)，y 1＞0可得x ＜－3或x ＞1，∵抛物线y 2＝x 2－2ax －1(a ＞0)的对称轴为直线x ＝a (a ＞0)，要使y 1＞0且y 2≤0的x 的取值范围内恰好只有一个整数，当x ＝－3时，x 2－2ax －1＝8＋6a >0，∴当x <－3时，y 2>0恒成立，不符合题意，则该整数为2，当x ＝2时，y 2≤0且当x ＝3时，y 2＞0，即22－2a ×2－1≤0 且32－2a ×3－1＞0，解得34≤a <43. 2. D 【解析】由对称轴为直线x ＝2可知b ＝－4，令－x 2－bx －c ＝0，∴c ＝－x 2＋4x (－1＜x ＜3)，令y 1＝c ，y 2＝－x 2＋4x (－1＜x ＜3)，画出y 1与y 2的图象如解图，∵关于x 的一元二次方程－x 2－bx －c ＝0在－1＜x ＜3的范围内有一个实数根，∴y ＝c 的图象与y ＝－x 2＋4x (－1＜x ＜3)的图象只有一个交点，∴－5＜c ≤3或c ＝4.故选D .第2题解图3. A 【解析】由题图可知，∠AOB ＝45°，∴直线OA 的解析式为y ＝x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝12x 2＋k得，x 2－2x ＋2k ＝0，Δ＝b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×2k ＝0，即k ＝12时，抛物线与OA 有一个交点，此时交点的横坐标为1，∵点B 的坐标为(2，0)，∴OA ＝OB ＝2，∴点A 的坐标为(2，2)，∴交点在线段AO 上；当抛物线经过点B (2，0)时，12×4＋k ＝0，解得k ＝－2，∴要使抛物线y ＝12x 2＋k 与扇形AOB 的边界总有两个公共点，实数k 的取值范围是－2<k <12. 4. A 【解析】如解图所示，过点B 的直线y ＝2x ＋b 与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移使其与抛物线恰在点C 处相切，此时与新抛物线也有三个公共点，令y ＝x 2－5x －6＝0，解得x ＝－1或6，即点B 坐标(6，0)，将一次函数与二次函数表达式联立得：x 2－5x －6＝2x ＋b ，整理得：x 2－7x －6－b ＝0，Δ＝49－4(－6－b )＝0，解得：b ＝－734，当一次函数过点B 时，将点B 坐标代入y ＝2x ＋b 得：0＝12＋b ，解得：b ＝－12，综上所述，直线y ＝2x ＋b 与这个新图象有3个公共点，则b 的值为－12或－734.第4题解图5. < 【解析】观察图象可知，当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c >0，当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c <0.∵M ＝4a ＋2b ，N ＝a －b ，∴M ＋c <N ＋c .∴M <N .6. 4 【解析】当x 2－2x －3＝0时，解方程得x 1＝－1，x 2＝3，∴图象与x 轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，当x ＝0时y ＝|－3|＝3，∴与y 轴的交点坐标为(0，3)，故①正确；∵当x ＝1－t 时y ＝|(1－t )2－2(1－t)－3|＝|1－2t＋t2－2＋2t－3|＝|t2－4|，当x＝1＋t时，y＝|(1＋t)2－2(1＋t)－3|＝|1＋2t＋t2－2－2t－3|＝|t2－4|，∴当x＝1－t和x＝1＋t时对应的函数值相同，即函数图象关于直线x＝1对称，故②正确；由图象可知，当－1≤x≤1或当x≥3时，y随x的增大而增大，故③正确；由图象可知，当x＝－1或x＝3时，y＝0，且是函数图象的最小值，故④正确；由图象可知，函数无最大值，故⑤错误；综上可知，正确结论的个数是4.。

北师大版九年级数学下册第2章二次函数章末综合题复习(含答案)

北师大版九年级数学下册第二章二次函数章末综合题复习1、已知抛物线的顶点为(－1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)．(1)求抛物线的表达式；(2)将(1)中所求的抛物线向右平移2个单位长度、向上平移3个单位长度会得到怎样的抛物线？(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动将抛物线的开口方向相反，求符合此条件的抛物线的表达式．2、如果将抛物线y＝2x2＋bx＋c沿直角坐标平面先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到了抛物线y＝2x2－4x＋3.(1)试确定b，c的值；(2)求出抛物线y＝2x2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标．3、成都市某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为16元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y(万个)与销售单价x(元)之间关系是一次函数的关系，部分数据如下：(1)求y与x之间的函数关系式；(2)该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定(一件产品的利润率不得高于50%)，请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润．4、如图所示，用一根长度为18米的原材料制作一个矩形窗户边框(即矩形ABFE和矩形DCFE)，原材料刚好全部用完．设窗户边框AB长度为x米，窗户总面积为S平方米(注：窗户边框粗细忽略不计)．(1)求S与x之间的函数关系式；(2)若窗户边框AB的长度不少于2米，且边框AB的长度小于BC的长度，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．5、已知二次函数y＝ax2的图象与直线y＝x＋2交于点(2，m)．(1)判断y＝ax2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以及当x＞0时，y的值随x值的增大而变化的情况；(2)设直线y＝x＋2与抛物线y＝ax2的交点分别为A，B，如图所示．试确定A，B两点的坐标；(3)连接OA，OB，求△AOB的面积．6、如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋3的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴交于点B.(1)求此二次函数的关系式和点B的坐标；(2)在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△P AB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7、如图是二次函数y＝(x＋m)2＋k的图象，其顶点坐标为M(1，－4)．(1)求出图象与x轴的交点A，B的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使S△P AB＝54S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴的交点为A(0，3)，与x轴的交点分别为B(2，0)，C(6，0)．直线AD∥x轴，在x轴上位于点B右侧有一动点E，过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P，Q.(1)抛物线的表达式为________；(2)当点E在线段BC上时，求△APC面积的最大值；(3)是否存在点P，使以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；(2)如图，设直线l与该抛物线两个交点分别为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．10、如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标及△P AC的周长；若不存在，请说明理由．11、如图，已知二次函数y＝x2－4x＋3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标．12、如图，顶点为M的抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在y轴上是否存在一点P，使得△P AM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．13、如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4的顶点坐标为(3，254)，与y 轴交于点A .过点A 作AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，点C 是第四象限的抛物线上的一个动点，过点C 作y 轴的平行线，交直线AB 于点D .(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点E 在y 轴的负半轴上，且AE ＝AD ，直线CE 交抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4于点F . ①求点F 的坐标；②过点D 作DG ⊥CE 于点G ，连接OD ，ED ，当∠ODE ＝∠CDG 时，求直线DG 的函数表达式．14、如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)与x 轴、y 轴分别交于A (－1，0)，B (3，0)，C 三点． (1)求抛物线的表达式；(2)x 轴上是否存在点P ，使PC ＋12PB 最小？若存在，请求出点P 的坐标及PC ＋12PB 的最小值；若不存在，请说明理由；(3)连接BC ，设E 为线段BC 的中点．若M 是抛物线上一动点，将点M 绕点E 旋转180°得到点N ，当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N 的坐标．15、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝12x ＋12相交于A (－1，0)，B (4，m )两点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c交y 轴于点C (0，－32)，交x 轴正半轴于点D ，抛物线的顶点为M .(1)求抛物线的表达式及点M的坐标；(2)设P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△P AB的面积最大时，求此时△P AB的面积及点P的坐标；(3)Q为x轴上一动点，N是抛物线上一点，当△QMN∽△MAD(点Q与点M对应)时，求点Q的坐标．16、如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－5，与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；(3)如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；(4)若点K为x轴上一点，连接CK，请你直接写出2CK＋KB的最小值．参考答案1、已知抛物线的顶点为(－1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)．(1)求抛物线的表达式；(2)将(1)中所求的抛物线向右平移2个单位长度、向上平移3个单位长度会得到怎样的抛物线？(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动将抛物线的开口方向相反，求符合此条件的抛物线的表达式．解：(1)根据题意设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)2－3，将(0，－5)代入，得a－3＝－5.解得a＝－2.∴抛物线的表达式为y＝－2(x＋1)2－3＝－2x2－4x－5.(2)y＝－2(x－1)2.(3)所求抛物线的表达式为y＝2(x－1)2.2、如果将抛物线y＝2x2＋bx＋c沿直角坐标平面先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到了抛物线y＝2x2－4x＋3.(1)试确定b，c的值；(2)求出抛物线y＝2x2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标．解：(1)∵y＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1，∴现将其向上平移2个单位长度，向右平移3个单位长度可得原函数，即y＝2(x－4)2＋3.∴y＝2x2－16x＋35.∴b＝－16，c＝35.(2)由y＝2(x－4)2＋3，得顶点坐标为(4，3)，对称轴为直线x＝4.3、成都市某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为16元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y (万个)与销售单价x (元)之间关系是一次函数的关系，部分数据如下：(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定(一件产品的利润率不得高于50%)，请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b . 把(20，60)，(30，40)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝60，30k ＋b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝100. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋100.(2)∵每个生产成本为16元，一件产品的利润率不得高于50%， ∴x ≤(1＋50%)×16＝24.设该公司每月获得的利润为w 万元，则 w ＝y (x －16) ＝(－2x ＋100)(x －16) ＝－2x 2＋132x －1 600 ＝－2(x －33)2＋578.∵图象开口向下，对称轴左侧w 随x 的增大而增大， ∴当x ＝24时，w 最大，最大值为416.答：公司销售单价定为24元时可获利最大，最大利润为每月416万元．4、如图所示，用一根长度为18米的原材料制作一个矩形窗户边框(即矩形ABFE 和矩形DCFE )，原材料刚好全部用完．设窗户边框AB 长度为x 米，窗户总面积为S 平方米(注：窗户边框粗细忽略不计)．(1)求S 与x 之间的函数关系式；(2)若窗户边框AB 的长度不少于2米，且边框AB 的长度小于BC 的长度，求此时窗户总面积S 的最大值和最小值．解：(1)由题意可得，S ＝x ·18－3x 2＝－32x 2＋9x .(2)由题意可得，2≤x ＜18－3x2，解得2≤x ＜3.6，∵S ＝－32x 2＋9x ，2≤x ＜3.6，∴当x ＝3时，S 取得最大值，此时S ＝272；当x ＝2时，S 取得最小值，此时S ＝12.答：窗户总面积S 的最大值是272平方米，最小值是12平方米．5、已知二次函数y ＝ax 2的图象与直线y ＝x ＋2交于点(2，m )．(1)判断y ＝ax 2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以及当x ＞0时，y 的值随x 值的增大而变化的情况；(2)设直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2的交点分别为A ，B ，如图所示．试确定A ，B 两点的坐标； (3)连接OA ，OB ，求△AOB 的面积．解：(1)把点(2，m )代入y ＝x ＋2，解得m ＝4， ∴交点坐标为(2，4)．把点(2，4)代入y ＝ax 2，得 a ＝1.∴二次函数的表达式为y ＝x 2.∴抛物线的对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大． (2)由题意，得x 2＝x ＋2，解得x 1＝2，x 2＝－1，则y 1＝4，y 2＝1. ∴A (2，4)，B (－1，1)．(3)设直线y ＝x ＋2与y 轴的交点为D ，则点D 坐标为(0，2)， ∴S △AOB ＝S △DOB ＋S △DOA ＝12×2×1＋12×2×2 ＝3.6、如图，已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图象与x 轴的一个交点为A (4，0)，与y 轴交于点B . (1)求此二次函数的关系式和点B 的坐标；(2)在x 轴的正半轴上是否存在点P ，使得△P AB 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把点A (4，0)代入二次函数，得 0＝－16＋4b ＋3，解得b ＝134.∴二次函数的关系式为y ＝－x 2＋134x ＋3.当x ＝0时，y ＝3， ∴点B 的坐标为(0，3)．(2)作AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，连接BP ，则BP ＝AP ，此时点P 即为所求．设BP ＝AP ＝x ，则OP ＝4－x ，在Rt △OBP 中，BP 2＝OB 2＋OP 2，即x 2＝32＋(4－x )2，解得x ＝258.∴OP ＝4－258＝78，即P (78，0)．∴在x 轴的正半轴上存在点P ，使得△P AB 是以AB 为底边的等腰三角形，且点P 的坐标为(78，0)．7、如图是二次函数y ＝(x ＋m )2＋k 的图象，其顶点坐标为M (1，－4)． (1)求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P ，使S △P AB ＝54S △MAB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y ＝(x ＋m )2＋k 的顶点坐标为M (1，－4)， ∴y ＝(x －1)2－4.令y ＝0，即(x －1)2－4＝0. 解得x 1＝3，x 2＝－1. ∴A (－1，0)，B (3，0)．(2)∵△P AB 与△MAB 同底，且S △P AB ＝54S △MAB ，∴|y P |＝54|y M |＝54×4＝5，即y P ＝±5.又∵点P 在二次函数y ＝(x －1)2－4的图象上， ∴y P ≥－4.∴y P ＝5.令(x －1)2－4＝5，解得x 1＝4，x 2＝－2， ∴存在这样的点P ，其坐标为(4，5)或(－2，5)．8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y 轴的交点为A (0，3)，与x 轴的交点分别为B (2，0)，C (6，0)．直线AD ∥x 轴，在x 轴上位于点B 右侧有一动点E ，过点E 作平行于y 轴的直线l 与抛物线、直线AD 的交点分别为P ，Q .(1)抛物线的表达式为y ＝14x 2－2x ＋3；(2)当点E 在线段BC 上时，求△APC 面积的最大值；(3)是否存在点P ，使以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(2)设直线AC 的表达式为y ＝kx ＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧6k ＋m ＝0，m ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，m ＝3.∴直线AC 的表达式为y ＝－12x ＋3.设△APC 的面积为S ，直线l 与AC 的交点为F . 设P (t ，14t 2－2t ＋3)(2≤t ≤6)，则F (t ，－12t ＋3)．∴PF ＝－14t 2＋32t .∴S ＝S △PF A ＋S △PFC ＝12PF ·t ＋12PF ·(6－t ) ＝12(－14t 2＋32t )×6＝－34(t －3)2＋274. ∴当t ＝3时，S 最大＝274，即△APC 面积的最大值为274.(3)存在点P ，使以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似．理由：连接AB ，则在△AOB 中，∠AOB ＝90°，AO ＝3，BO ＝2，设E (n ，0)(n ＞2)，则Q (n ，3)，P (n ，14n 2－2n ＋3)，当14n 2－2n ＋3＝3时，此时，点P ，Q 重合，即n ＝0(舍)或n ＝8，不能构成△APQ ，∴n ≠8. ①当2＜n ＜8时，AQ ＝n ，PQ ＝－14n 2＋2n ，若△AOB ∽△AQP ，则AO AQ ＝OBQP ，即3n ＝2－14n 2＋2n . ∴n ＝0(舍)或n ＝163.∴E (163，0)．若△AOB ∽△PQA ，则AO PQ ＝OBQA，即2n ＝3－14n 2＋2n . ∴n ＝0(舍)或n ＝2(舍)；②当n ＞8时，AQ ＝n ，PQ ＝14n 2－2n ，若△AOB ∽△AQP ，则AO AQ ＝OBQP ，即3n ＝214n 2－2n . ∴n ＝0(舍)或n ＝323.∴E (323，0)．若△AOB ∽△PQA ，则AO PQ ＝OBQA ，即2n ＝314n 2－2n . ∴n ＝0(舍)或n ＝14.∴E (14，0)．综上所述，存在点P ，使以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似，此时点E 的坐标为(163，0)，(323，0)或(14，0)．9、已知直线l ：y ＝kx ＋1与抛物线y ＝x 2－4x . (1)求证：直线l 与该抛物线总有两个交点；(2)如图，设直线l 与该抛物线两个交点分别为A ，B ，O 为原点，当k ＝－2时，求△OAB 的面积．解：(1)证明：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝x 2－4x ，化简，得x 2－(4＋k )x －1＝0， ∴Δ＝(4＋k )2＋4＞0.∴直线l 与该抛物线总有两个交点． (2)当k ＝－2时，y ＝－2x ＋1. 设直线AB 交x 轴于点C .令y ＝0，则－2x ＋1＝0, ∴x ＝12.∴C (12，0)．∴OC ＝12.过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4x ，y ＝－2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝1＋2，y ＝－1－22或⎩⎨⎧x ＝1－2，y ＝22－1.∴A (1－2，22－1)，B (1＋2，－1－22)． ∴AF ＝22－1，BE ＝1＋2 2. ∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12OC ·AF ＋12OC ·BE ＝12OC ·(AF ＋BE ) ＝12×12×(22－1＋1＋22) ＝ 2.10、如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△P AC 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标及△P AC 的周长；若不存在，请说明理由．解：在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令y ＝0，则－x 2＋2x ＋3＝0.解得x 1＝－1，x 2＝3. ∴A (－1，0)，B (3，0)．在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令x ＝0，则y ＝3.∴C (0，3)．连接BC 交抛物线的对称轴于点P ，连接AP ，则点P 即为所求．此时△P AC 的周长最小，等于AC ＋BC . ∵A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3)，∴AC ＝12＋32＝10，BC ＝32＋32＝3 2. ∴AC ＋CB ＝10＋3 2.∴△P AC 的周长最小为10＋3 2. 设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋t .把点B (3，0)，C (0，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋t ＝0，t ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，t ＝3. ∴直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3. ∴y P ＝－1＋3＝2.∴存在点P (1，2)使△P AC 的周长最小，最小值为10＋3 2.11、如图，已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A ，B ，P ，F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标．解：在y ＝x 2－4x ＋3中，令y ＝0，则x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3. ∴A (1，0)，B (3，0)．①当AB 为平行四边形一条边时，如图1，则AB ＝PF ＝2.∵抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∴点P 的坐标为(4，3)；当点P 在对称轴左侧时，点P 的坐标为(0，3)； ②当AB 是平行四边形的对角线时，如图2， AB 的中点坐标为(2，0)．设点P 的横坐标为m ，则PF 的中点坐标为(m ＋22，0)，∴m ＋22＝2，解得m ＝2.∴点P 的坐标为(2，－1)．综上所述，点P 的坐标为(4，3)或(0，3)或(2，－1)．图1 图212、如图，顶点为M 的抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，在y 轴上是否存在一点P ，使得△P AM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令y ＝0，则－x 2＋2x ＋3＝0. 解得x 1＝3，x 2＝－1. ∴A (3，0)，B (－1，0)．∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴M (1，4)．∴AM 2＝(3－1)2＋42＝20. 设点P 坐标为(0，p )，则AP 2＝32＋p 2＝9＋p 2， MP 2＝12＋(4－p )2＝17－8p ＋p 2. ①若∠P AM ＝90°，则AM 2＋AP 2＝MP 2. ∴20＋9＋p 2＝17－8p ＋p 2，解得p ＝－32.∴P (0，－32)．②若∠APM ＝90°，则AP 2＋MP 2＝AM 2. ∴9＋p 2＋17－8p ＋p 2＝20，解得p 1＝1，p 2＝3. ∴P (0，1)或(0，3)．③若∠AMP ＝90°，则AM 2＋MP 2＝AP 2. ∴20＋17－8p ＋p 2＝9＋p 2，解得p ＝72.∴P (0，72)．综上所述，当点P 的坐标为(0，－32)或(0，1)或(0，3)或(0，72)时，△P AM 为直角三角形．13、如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4的顶点坐标为(3，254)，与y 轴交于点A .过点A 作AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，点C 是第四象限的抛物线上的一个动点，过点C 作y 轴的平行线，交直线AB 于点D .(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点E 在y 轴的负半轴上，且AE ＝AD ，直线CE 交抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4于点F . ①求点F 的坐标；②过点D 作DG ⊥CE 于点G ，连接OD ，ED ，当∠ODE ＝∠CDG 时，求直线DG 的函数表达式．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4的顶点坐标为(3，254)，∴y ＝a (x －3)2＋254＝ax 2－6ax ＋9a ＋254.∴9a ＋254＝4.∴a ＝－14.∴抛物线的表达式为y ＝－14x 2＋32x ＋4.(2)①设C (m ，－14m 2＋32m ＋4)．∵AD ＝AE ，AD ∥x 轴，CD ∥y 轴，∴AD ＝AE ＝m . ∵OA ＝4，∴OE ＝m －4.∵点E 在y 轴的负半轴上，∴E (0，4－m )．设直线CE 的表达式为y ＝kx ＋b . 则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4－m ，mk ＋b ＝－14m 2＋32m ＋4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14m ＋52，b ＝4－m.∴直线CE 的表达式为y ＝(－14m ＋52)x ＋4－m .联立两个函数表达式，得－14x 2＋32x ＋4＝(－14m ＋52)x ＋4－m .∴－14x 2＋(14m －1)x ＋m ＝0，x 2＋(4－m )x －4m ＝0，(x ＋4)(x －m )＝0，解得x 1＝－4，x 2＝m .∴定点F (－4，－6)．②如图，过点E 作EH ⊥CD 于点H ，交DG 于点Q ，连接OQ ，由①知OE ＝m －4. ∵∠DAE ＝∠ADH ＝∠EHD ＝90°，AD ＝AE ，∴四边形AEHD 是正方形． ∴∠EDH ＝45°，AD ＝AE ＝DH ＝EH . ∵∠ODE ＝∠CDG ，∴∠ODE ＋∠EDQ ＝∠EDQ ＋∠CDG ＝45°，即∠ODQ ＝45°. ∴∠ADO ＋∠CDG ＝45°.在OA 的延长线上取AP ＝QH ，连接PD ，又∵∠P AD ＝∠QHD ＝90°，AD ＝DH ， ∴△P AD ≌△QHD (SAS )． ∴PD ＝DQ ，∠ADP ＝∠CDG . ∴∠ADP ＋∠ADO ＝45°＝∠ODQ . 又∵OD ＝OD ，∴△PDO ≌△QDO (SAS )．∴OP ＝OQ .∵EH ＝DH ，∠EHC ＝∠DHQ ，∠GEH ＝∠CDG ， ∴△EHC ≌△DHQ (ASA )．∴CH ＝QH ＝14m 2－32m －4－(m －4)＝14m 2－52m ＝AP .∴OQ ＝OP ＝OA ＋AP ＝4＋14m 2－52m .∵OE ＝m －4，EQ ＝EH －QH ＝m －(14m 2－52m )＝－14m 2＋72m ，在Rt △OEQ 中，由勾股定理，得OE 2＋EQ 2＝OQ 2， ∴(m －4)2＋(－14m 2＋72m )2＝(4＋14m 2－52m )2，m 3－10m 2－24m ＝0，解得m 1＝0(舍)，m 2＝12，m 3＝－2(舍)． ∴D (12，4)，Q (6，－8)．设直线DG 的表达式为y ＝k ′x ＋b ′，则⎩⎪⎨⎪⎧12k′＋b′＝4，6k′＋b′＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k′＝2，b′＝－20. ∴直线DG 的函数表达式为y ＝2x －20.14、如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)与x 轴、y 轴分别交于A (－1，0)，B (3，0)，C 三点． (1)求抛物线的表达式；(2)x 轴上是否存在点P ，使PC ＋12PB 最小？若存在，请求出点P 的坐标及PC ＋12PB 的最小值；若不存在，请说明理由；(3)连接BC ，设E 为线段BC 的中点．若M 是抛物线上一动点，将点M 绕点E 旋转180°得到点N ，当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N 的坐标．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)与x 轴交于点A (－1，0)，B (3，0)， ∴设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a . ∴－3a ＝3.∴a ＝－1.∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)在x 轴下方作∠ABD ＝30°，交y 轴负半轴于点D ，则BD ＝2OD . ∵B (3，0)，∴OB ＝3.根据勾股定理，得BD 2－OD 2＝32， ∴4OD 2－OD 2＝9. ∴OD ＝3，BD ＝2 3.∵抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3， ∴C (0，3)．∴OC ＝3.∴CD ＝3＋ 3. 过点P 作PB ′⊥BD 于点B ′，在Rt △PB ′B 中，PB ′＝12PB ，∴PC ＋12PB ＝PC ＋PB ′.当点C ，P ，B 在同一条直线上时，PC ＋12PB 最小，最小值为CB ′，∵S △BCD ＝12CD ·OB ＝12BD ·CB ′，∴CB ′＝CD·OB BD ＝（3＋3）×323＝3（3＋1）2，即PC ＋12PB 的最小值为3（3＋1）2.∵OB ＝OC ＝3，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°. ∴∠DBC ＝45°＋30°＝75°.∴∠BCP ＝90°－75°＝15°.∴∠OCP ＝30°. ∵OC ＝3，∴OP ＝ 3.∴P (3，0)．(3)如备用图，设M (m ，－m 2＋2m ＋3)， ∵以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是矩形， ∴∠BMC ＝90°.∵点A 在x 轴负半轴上，且∠BOC ＝90°， ∴点M 在x 轴上方的抛物线上．过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，MF ⊥y 轴于点F ， ∴∠MEO ＝∠MFO ＝90°＝∠EOF . ∴四边形OEMF 是矩形． ∴∠EMF ＝90°.∴∠BME ＝∠CMF . 又∵∠BEM ＝∠CFM ＝90°， ∴△BEM ∽△CFM . ∴BE CF ＝MEMF，即3－m －m 2＋2m ＋3－3＝－m 2＋2m ＋3m .∴m ＝1±52或3(舍去)．∴M (1＋52，5＋52)或(1－52，5－52)．∵点N 是点M 关于点E (32，32)的对称点，∴点N 的坐标为(5－52，1－52)或(5＋52，1＋52)．15、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝12x ＋12相交于A (－1，0)，B (4，m )两点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c交y 轴于点C (0，－32)，交x 轴正半轴于点D ，抛物线的顶点为M .(1)求抛物线的表达式及点M 的坐标；(2)设P 为直线AB 下方的抛物线上一动点，当△P AB 的面积最大时，求此时△P AB 的面积及点P 的坐标； (3)Q 为x 轴上一动点，N 是抛物线上一点，当△QMN ∽△MAD (点Q 与点M 对应)时，求点Q 的坐标．解：(1)把点B (4，m )代入y ＝12x ＋12中，得m ＝52，∴B (4，52)．把点A (－1，0)，B (4，52)，C (0，－32)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝52，c ＝－32.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，c ＝－32.∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－x －32. ∵y ＝12x 2－x －32＝12(x －1)2－2， ∴点M 的坐标为(1，－2)．(2)如图1所示，过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点P 的坐标为(m ，12m 2－m －32)，则H (m ，12m ＋12)， ∴PH ＝12m ＋12－(12m 2－m －32)＝－12m 2＋32m ＋2. ∵点P 为直线AB 下方的抛物线上一动点，∴－1＜m ＜4.∴S △P AB ＝12×HP ·(x B －x A )＝12×(－12m 2＋32m ＋2)×5＝－54(m －32)2＋12516. ∵－54＜0，∴当m ＝32时，S △P AB 最大，最大为12516，此时点P (32，－158)． (3)如图2所示，在y ＝12x 2－x －32中，令y ＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，∴D (3，0)． ∵M (1，－2)，A (－1，0)，∴△AMD 为等腰直角三角形．∵△QMN ∽△MAD ，∴△QNM 为等腰直角三角形，且∠MQN ＝90°，MQ ＝NQ .设点N 的坐标为(n ，12n 2－n －32)，易证：△QEN ≌△MFQ ，∴FQ ＝EN ＝2，MF ＝EQ ＝12n 2－n －32. ∴12n 2－n －32＋1＝n ＋2.解得n ＝5或－1(舍)． ∴点Q 的坐标为(7，0)．根据对称性可知，点Q 的坐标为(－5，0)时也满足条件，∵△ADM 是等腰直角三角形，∴当点Q 是AD 的中点，N 与A 或D 重合时，△QMN ∽△MAD ，此时Q (1，0)．综上所述，点Q 的坐标为(7，0)或(－5，0)或(1，0)．16、如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5，与x 轴交于A (－1，0)，B (5，0)两点，与y 轴交于点C .(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D 是y 轴上的一点，且以B ，C ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点D 的坐标；(3)如图2，CE ∥x 轴与抛物线相交于点E ，点H 是直线CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与y 轴平行的直线与BC ，CE 分别相交于点F ，G ，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点H 的坐标及最大面积；(4)若点K 为x 轴上一点，连接CK ，请你直接写出2CK ＋KB 的最小值．解：(1)∵点A (－1，0)，B (5，0)在抛物线y ＝ax 2＋bx －5上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b －5＝0，25a ＋5b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4. ∴抛物线的表达式为y ＝x 2－4x －5.(2)令x ＝0，则y ＝－5，∴C (0，－5)．∴OC ＝OB ＝5.∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°.∴AB ＝6，BC ＝52，AC ＝26.要使以B ，C ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有AB CD ＝BC BC 或AB BC ＝BC CD. ①当AB CD ＝BC BC时，CD ＝AB ＝6， ∴D (0，1)．②当AB BC ＝BC CD 时，652＝52CD， ∴CD ＝253.∴D (0，103)． ∴点D 的坐标为(0，1)或(0，103)． (3)设H (t ，t 2－4t －5)，∵CE ∥x 轴，∴点E 的纵坐标为－5.∵点E 在抛物线上，∴x 2－4x －5＝－5.∴x ＝0(舍)或x ＝4.∴E (4，－5)．∴CE ＝4.∵B (5，0)，C (0，－5)，∴直线BC 的表达式为y ＝x －5.∴F (t ，t －5)．∴HF ＝t －5－(t 2－4t －5)＝－(t －52)2＋254. ∵CE ∥x 轴，HF ∥y 轴，∴CE ⊥HF .∴S 四边形CHEF ＝12CE ·HF ＝－2(t －52)2＋252. ∴当t ＝52时，四边形CHEF 的面积最大为252. 当t ＝52时，t 2－4t －5＝254－10－5＝－354， ∴H (52，－354)． (4)如图3，作点C 关于x 轴的对称点E (0，5)，将△BKC 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BHF ，连接HK ，EF ，EK ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，∵B (5，0)，C (0，－5)，∴BO ＝CO ＝5.∴BC ＝52，∠CBO ＝45°.∵点C ，点E 关于x 轴对称，∴EK ＝CK .∵将△BKC 绕点B 逆时针旋转60°得到△BHF ，∴BK ＝BH ，CK ＝HF ，BF ＝BC ＝52，∠KBH ＝60°＝∠CBF .∴△KBH 是等边三角形．∴KB ＝KH .∴2CK ＋KB ＝HF ＋EK ＋KH .∴当E ，K ，H ，F 四点共线时，2CK ＋KB 的值最小，最小值为EF 的长．∵∠FBM ＝180°－45°－60°＝75°，BF ＝52，∴BM ＝53－52，MF ＝53＋52.∴EF＝（53－52＋5）2＋（53＋52＋5）2＝53＋5，即2CK＋KB的最小值为53＋5.。

北师大版初三二次函数知识点及练习

二次函数一、二次函数概念:１.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠)的函数,叫做二次函数。

这里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠,而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征:⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是２． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数,b 是一次项系数，c 是常数项. 例1(基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（） A ．(-1,８）Ｂ.(1,8) Ｃ(-1,2） D （1，-4)１、二次函数y ＝a ｘ２+b ｘ+ｃ的图象如图所示,反比例函数y = 错误!未定义书签。

与正比例函数y ＝（b ＋c )x 在同一坐标系中的大致图象可能是（ )2、若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为( ）A .0 5 Ｂ .0． 1 C.－4. 5 D.-4. １ 3、图（１）是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,水面宽4m ．如图（2)建立平面直角坐标系,则抛物线的关系式是( ）A ． B. C.D ． 22y x =-22y x =212y x =-212y x =4、已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为( ）A.223y x x =-+ﻩﻩB.223y x x =--C.223y x x =+- ﻩ D ．223y x x =++5. 若2y ax bx c =++,则由表格中信息可知y 与x 之间的函数关系式是（）x 1-1 2ax12ax bx c++8 3A ．43y x x =-+B ．34y x x =-+C ．33y x x =-+D ．48y x x =-+６、巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一支高为1米的喷水管喷水最大高度为３米，此时喷水水平距离为12米,在如图4所示的坐标系中，这支喷泉满足的函数关系式是( )A ）21()32y x =--+ （B ）213()12y x =-+(图（1）图（2）C)218()32y x =--+ (D)218()32y x =-++二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质: ａ的绝对值越大，抛物线的开口越小。

北师大版数学九年级下册第二章二次函数复习与小结(共21张)

教学过程
基
础
应
用
解：(1)∵二次函数 y=x2−3(m−1)x+3m−4(m
为实数)的图象与x轴有两个交点，
∴△=9(m−1)2−4(3m−4)>0.
化简、整理，得 (3m−5)2>0,

解得 m ≠ .

(2)根据题意，得x1、x2为方程的两根，
∴x1+x2=3(m−1),x1x2=3m−4.，
利用利润公式，建立二次函数模型
教学过程
b2-4ac＞0，两个交点
抛物线x轴交点
知
识
梳
理
二次
函数
与一
元二
次方
程
b2-4ac=0，一个交点
b2-4ac＜0，没有交点
一元二次方程近似根
教学过程
基
础
训
练

−7
y=(1−m)x
+2是关于x的二次函
1.若函数
数，且其图象的开口向上，则m的值为
(C )
A.-2
教学过程
新
课
结
束
谢谢观看
得ቊ
.
∣ − ∣=
将∣ − ∣= 两边同时平方，得
( − ) = ，得( + ) − =
)]
∴ [3( −
− (−) = ，解得 =
舍去), =
综上所述，m的值为1.

(

教学过程
综
合
应
用
4.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为
北师大版数学九年级（下）
第二章二次函数
复习与小结
教学过程
一次函数

(完整版)新北师大版九年级数学二次函数知识点归纳总结

二次函数知识点归纳1.定义：一般地，如果y =ax +bx +c (a ,b ,c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数y =ax 的性质（1）抛物线y =ax 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数y =ax 的图像与a 的符号关系.①当a >0时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当a <0时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为y =ax （a ≠0）.3.二次函数y =ax +bx +c 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数y =ax +bx +c 用配方法可化成：y =a (x -h )22222222b 4ac -b 2+k 的形式，其中h =-，k =.2a 4a22225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y =ax ；②y =ax +k ；③y =a (x -h )；④y =a (x -h )+k ；2⑤y =ax +bx +c .6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当a >0时，开口向上；当a <0时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作x =h .特别地，y 轴记作直线x =0.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法b 4ac -b 2b b ⎫4ac -b 2⎛2（-，）（1）公式法：y =ax +bx +c =a x +，∴顶点是，对称轴是直线x =-.⎪+2a 4a 2a 2a 4a ⎝⎭（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x -h )+k 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线22x =h .（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y =ax +bx +c 中，a ,b ,c 的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y =ax +bx +c 的对称轴是直线222x =-b b b ，故：①b =0时，对称轴为y 轴；②>0（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③<0（即a 、2a a a b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线y =ax +bx +c 与y 轴交点的位置.当x =0时，y =c ，∴抛物线y =ax +bx +c 与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①c =0，抛物线经过原点;②c >0,与y 轴交于正半轴；③c <0,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向当a >0时开口向上对称轴顶点坐标（0,0）(0,k )(h ,0)(h ,k )22b <0.ay =ax 2y =ax +k y =a (x -h )2x =0（y 轴）x =0（y 轴）x =h x =hx =-b 2a 22y =a (x -h )+k 当a <0时开口向下y =ax +bx +c 2b 4ac -b 2，(-)2a 4a11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y =ax +bx +c .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y =a (x -h )+k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.22（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2).12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线y =ax +bx +c 得交点为(0,c ).2（2）与y 轴平行的直线x =h 与抛物线y =ax +bx +c 有且只有一个交点(h ,ah +bh +c ).22（3）抛物线与x 轴的交点2二次函数y =ax +bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二次方程ax +bx +c =0的两2个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔∆>0⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔∆=0⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔∆<0⇔抛物线与x 轴相离.（4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax +bx +c =k 的两个实数根.（5）一次函数y =kx +n (k ≠0)的图像l 与二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)的图像G 的交点，由方程组22y =kx +ny =ax +bx +c 2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.0)，B (x 2，0)，由于x 1、x 2是（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax +bx +c 与x 轴两交点为A (x 1，2方程ax +bx +c =0的两个根，故2b c x 1+x 2=-,x 1⋅x 2=a aAB =x 1-x 2=(x 1-x 2)2=(x 1-x 2)24c b 2-4ac ∆⎛b ⎫-4x 1x 2= -⎪-==a a a ⎝a ⎭2。

中考数学二次函数知识点总结及相关题型北师大版

二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a .3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121, 第二部分典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是（）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜第２,３题图第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0４.如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（）DC５.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为．6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤21x x k－＝，其中所有正确的结论是（只需填写序号）． 7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102. （1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式.8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围.第9题9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且ABm 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．14.已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴交点的个数．15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12 ，计算结果精确到1米）．16. 如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；（3）连结OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N 点的坐标；若不存在，说明理由．17.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点．（1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．答案：1-4DCDD(2482,484EF xEF x y x x -=⇒=-∴=-+) 5. 4 6. ①③④ 7. 解：（1）102-=x y 或642--=x x y , 将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-.（2）22--=x y8. 解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b ac ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y 为正数时，输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ．9. 解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃ ⑶()22102421612≤≤++-=x x x y 10. 解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，a x 342-=． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a34-，0）． ∴ |334|+-=aAB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 224|34|+-a． ∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB ， 252=AC ，1691622+=a BC ．〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°．由222BC AC AB +=，得)16916(259891622++=+-a a a ．解得 41-=a ． ∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ．于是222BC AC AB +=． ∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形．〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°．由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=a a a ．解 94=a ．当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°．由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+a aa ．解得 94=a ．不合题意．综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形．11. 解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根.∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1²x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2=∴m 2－4m ＋3=0 解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 .（2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩ ①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N.∴a = .这时M 、N 到y , 又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 ,∴2³12³（2－m =27∴解得m=－7 . 12. 解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0）， ∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ． ∴ a ±1． ∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝．（3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ，且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－． ①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，∴340200＋＋＝x x y ．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）．设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小．∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－消去0y ，得03x 23x 020＝＋+．∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根．综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小．解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）， ∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上， ∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴9)(21＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1． ∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQPF BQ BF ＝．∴ 45251PF＝．∴ 21＝PF ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． 13. 解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ．其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，．（2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ． ∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ．∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221<<t ．（3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ．设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m m n ．222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．分以下几种情况讨论：i ）若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=． ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n ，解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛47251，P ． ii ）若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=． ∴⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n ，解得：02343==m m ，（舍去）．∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232，－P ． iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854，．14. 解：根据题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22-x y ＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点． 15. 解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 1092＋＝ax y ．因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上，所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ．因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－．（2）因为点D 、E 的纵坐标为209，所以109125182092＋－x =，得245±＝x ．所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）．所以225)245(245＝－＝-DE ．因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）． 16. 答案：（1）由题意，可设抛物线的解析式为2(2)1y a x =-+，∵抛物线过原点， ∴2(02)10a -+=， 14a =-． ∴抛物线的解析式为21(2)14y x =--+214x x =-+．（2）AOB △和所求MOB △同底不等高，3MOB AOB S S =△△且，∴MOB △的高是AOB △高的3倍，即M 点的纵坐标是3-． ∴2134x x -=-+，即24120x x --=．解之，得 16x =，22x =-．∴满足条件的点有两个：1(63)M -，，2(23)M --，．（3）不存在．由抛物线的对称性，知AO AB =，AOB ABO ∠=∠．如图，若OBN △与OAB △相似，必有BON BOA BNO ∠=∠=∠．设ON 交抛物线的对称轴于A '点，显然(21)A '-，． ∴直线ON 的解析式为12y x =-．由21124x x x -=-+，得10x =，26x =．∴ (63)N -，．过N 作NE x ⊥轴，垂足为E ．在Rt BEN △中，2BE =，3NE =，∴NB = 又OB =4，∴NB OB ≠，BON BNO ∠≠∠，OBN △与OAB △不相似．同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N 点．所以在该抛物线上不存在点N ，使OBN △与OAB △相似． 17. 解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(．又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．∴ 232,2321====OB EN OA ON ．连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）．（2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ． ∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ．∴ x x y 8329322-=为所求．（3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°．由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ．∴ OD ＝OB ²tan30°－1．∴ DA ＝2． ∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2． ∴ △ADP 是等边三角形．∴ ∠DAP ＝60°．∴ ∠BAP ＝∠BAO ＋∠DAP ＝30°＋60°＝90°．即 PA ⊥AB ．即直线PA 是⊙E 的切线．。

北师大九年级数学中考专题复习二次函数复习(23PPT)

二次函数复习课
二次函数知识点导航：
1、二次函数的定义 2、二次函数的图像及性质 3、求二次函数的解析式 4、a，b，c及相关符号的确定 5、抛物线的平移 6、二次函数与一元二次方程的关系 7、二次函数的综合应用
1、二次函数的定义
定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ）定义要点：①a ≠ 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0 （a≠0）
练习 1、一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是
x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数 y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿.
2、如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.
练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。 (1)图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，2) 三点；
(2)图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1) ；
(3)图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。
例2、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3， -6）。求a、b、c。
②最高次数为2 ③代数式一定是整式 • 练习：
当m_______时,函数y=(m+1)χ m2 m- 2χ+1 是二次函数？
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线顶点坐标对称轴
y=ax2+bx+c(a>0)

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