刘鸿文版材料力学课件全套

F1，外力所作的功：
Ve
1 2
F 2 22
1 2
F 1 11 F 2 21
功的互等定理:
F1 12 F 2 21
若 F1 F 2 ，则得
位移互等定理:
12 21
例：求图示简支梁C截面的挠度。
F

B2
w C1
解：由功的互等定理
F wC1 M B 2
2

M
2 e
L
6 EI
2 EI
§13-4 互等定理
F1
1
F2
2
F1
11
21
ij
荷载作用点
•位移发生点
F2
12
22
F1
11
21
F2
12
22
先作用 F1，后作用
F 2，外力所作的功：
Ve
1 2
F 1 11
1 2
F 2 22 F 1 12
先作用 F 2，后作用
F
例：试用莫尔定
理计算图(a)所示
A
B
x
悬臂梁自由端B
的挠度和转角。
A
l
1
B
x
1
A B
x
解： 1 ) 在 B 截面作用一单位力 ( M ( x ) Fx , M
0
, 如图 ( b ) 所示
(x) x
vB

l
M (x) M EI
0
(x)
l
dx

0
Fx
2
dx
EI

Fl
3
3 EI
v
2
K
d

an g
K d (1
Kd
1
2h Δ st
)
（2）水平冲击问题
g st
目录
交变应力的基本参量
在交变荷载作用下应力随时间变化的曲线，称为应力谱。 随着时间的变化，应力在一固定的最小值和最大值之间作周期性的交替变化， 应力每重复变化一次的过程称为一个应力循环。

一个应力循环
Δ
m
m
(
max

min
)
一个非对称循环应力可以看作是在一个平均应力 m 上叠加一个应力幅为 的对称循环应力组合构成。
目录
疲劳极限
将若干根尺寸、材质相同的标准试样，在疲劳试验机上依次进行r = -1 的常幅疲劳试验。各试样加载应力幅 均不同，因此疲劳破坏所经历 的应力循环次数N 各不相同。 以 为纵坐标，以N 为横坐标（通常为对数坐标），便可绘出该材料的应 力—寿命曲线即S-N 曲线如图（以40Cr钢为例） 注：由于在r =-1时，max = /2，故S-N 曲线纵坐标也可以采用max 。
V
2G I
l
T (x)
p
dx
(x)
三、弯曲
V W
纯弯曲：
1 2
M e
1 2
2
M
M el
e

M
2 e
l

M l 2EI
2
EI
2EI
横力弯曲：V


2 E I ( x) dx
l
M
(x)
13-3 变形能的普遍表达式
F3
F2
F1
1
2
3
V W
总和。
1 2
F1 1
i
与
Fi
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功
能原理求自由端B的挠度。
F
解：
M (x) F x
l
x
V

l
M
2
(x)
dx
F l 6 EI
Fl
3
2
3
2E I
W
1 2
F wB
由 V W ，得
wB
3 EI
例题：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩M0作用。设EI为常数，试求 梁的应变能。
2
得： F w C 1 M
Fl
16 E I
2
由此得：
wC1
Ml
16 E I
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移 C 。
w C1
F

B2
解：由功的互等定理
F wC1 M B 2
得： F w C 1 M
由此得：
l F 2 2E I
Ml
2
2
wC1
看表11.2 不同表面粗糙度的表面质量因数

目录
第十三章
能量法
述
§13-1 概
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生
变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，
简称应变能。
物体在外力作用下发生变形，物体的变形
能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移
上所做的功，即
V =W
§13-2 杆件变形能计算
一、轴向拉伸和压缩
2

l
[( M ( x ) M 2E I
0
( x )]
2
dx


l
M
(x)
dx
2E I

l
[M
0
( x )]
2
2E I
dx
l
M (x) M EI
0
(x)
dx

1

l
M M xx ) MM x ) ( x ) (( ) (
0
0

l
dx
EI
dx
EI


l
M (x) M EI M (x) M EI
F i i F1 1 F 2 2 F i i
所以： V

Fi i
i
V Fi
Fi 0
V Fi
i
变形能对任一载荷Fi 的偏导数，等于Fi作用点沿Fi方向的位移
卡氏第二定理
推导过程使用了互等定理，所以只适用线弹性结构。
解： ⑴ 弯矩方程 B F A
M (x) M
e
Fx
Me
L
⑵ 变形能
V

L
M
2
(x)
dx
2 EI
2 e
2 EI
L 2
1
(M
2 2
e
Fx ) dx
2

M
L

M e FL 2 EI

F L 6 EI
2 EI
B
F A M0 L
⑶ 当F和M0分别作用时
V1 M eL 2 EI V 2 F L 6 EI
0
(x)
dx
莫尔定理 （莫尔积分）
0

对于组合变形：

l
(x)
dx

l
FN (x)FN (x) EA
0
dx
l
T ( x )T ( x ) GI
p
0
dx
l
M ( x)M EI
0
(x)
dx
注 意 ： 上 式 中 应 看 成 广 义 位 移 ， 把 单 位 力 看 成 与 广 义位移对应的广义力
第十一章
交变应力
第十一章
交变应力
§11-1 交变应力与疲劳极限 §11-2 影响持久极限的因数
目录
§11-1 交变应力 疲劳极限
动响应=Kd ×静响应 1、构件有加速度时动应力计算 （1）直线运动构件的动应力
K
d
1
a g
（2）水平面转动构件的动应力
2、构件受冲击时动应力计算 （1）自由落体冲击问题
横力弯曲：
i

桁架杆件受拉压：
V Fi

Fi
(
L
M (x) 2 EI
2
dx )

L
M ( x) M ( x ) dx EI Fi
V

j 1
n
FN j L j 2 EA
j
2
i
V Fi
V Fi


j 1
n
FN j L j EA
j

FN Fi
EI
1
Fl 2 2 l EI 2 3


Fl
3
百度文库
3E I

F
Fl
(2) 求自由端的转角

O
max
min
t
目录
通常用以下参数描述循环应力的特征 (1)应力比 r
r = -1 ：对称循环 ；
r

min max
r = 0 ：脉动循环 。
r < 0 ：拉压循环 ； r > 0 ：拉拉循环 或压压循环。
(2)应力幅 (3)平均应力


1 2
max

min
l
M ( x )M ( x ) EI
dx
对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，
故只需计算积分

l
M ( x ) M ( x )d x
直杆的M0(x)图必定是直线或折线。
M ( x ) M ( x )d x
l
tg x M ( x ) d x
l
tg x C
2 3
V1 V 2 V
⑷ 用普遍定理
w A (w A ) F (w A ) M
0


FL
2
3


M eL 2 EI
M eL
2
3 EI
FL 2 EI

A
( A ) F ( A ) M
e
V W
1 2
Fw
A

1 2
M e
A

EI 2 3 F L

M eF 2 EI
目录
对于铝合金等有色金属，其S-N曲线没有明显的水平部分，一般规定
N 0 5 10
6
~ 10
7
时对应的
max
称为条件疲劳极限，用
N0 1
表示。
对低碳钢，其 其弯曲疲劳极限 拉压疲劳极限
b 400 ~ 500 MPa
( -1 ) b 170 ~ 220 MPa
( -1 ) t 120 ~ 160 MPa

( 2 ) 在 B 截面作用一单位力偶 M ( x ) Fx , M
0
, 如图 ( c ) 所示
(x) 1

B


l
M (x) M EI
0
(x)
l
dx

0
Fx EI
dx

Fl
2


2 EI
§13-7计算莫尔积分的图乘法
在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形
式的积分：


V
1 2
F i i F1 1 F 2 2 F i i
略去二阶小量，则：
V F1 1 F 2 2 F i i
如果把原有诸力看成第一组力，把 F i 看作第二组力，根据互等 定理：
j
轴受扭矩作用：
i


L
T ( x) T ( x) dx GI P Fi
13-6 单位载荷法 莫尔积分
F1 F2
C

F1 F 2
C
M (x)
V

l
M
2
(x)
dx
2E I
F0 1
C
M
0
(x)
V 0

l
[M
0
( x )]
2
dx
2E I
F1
F2
F0
C
M (x) M
V1
M
C
M ( x ) x tg


l
M ( x )M ( x ) EI
C
dx

M
EI
顶点
顶点

2 3
lh

1 3
lh
二次抛物线
例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。
解（1）求自由端的挠度
F
wB

l
M ( x)M ( x) EI
C
dx
L F
Fl

M
8E I
13-5 卡氏定理
F3
F2
F1
1
V W
1 2
F1 1
1 2
F2 2
1 2
F3 3
2
3
i
Fi
若只给 F i 以增量 ，其余不变，在 F i 作用下，原各力作用点将 产生位移 , , , ,
1 2 i
变形能的增加量：

(
1
)d

(
1
)d
光滑零件的疲劳极限

1
试样的疲劳极限
1
查看表11.1 尺寸因数 3.表面加工质量的影响——表面质量因数

(
1
)


1
磨削加工（试样）
1
其他加工
1
一般情况下，构件的最大应力发生于表层，疲劳裂纹也多于表层生成。表面 加工的刀痕、擦伤等将引起应力集中，降低持久极限。所以表面加工质量对 持久极限有明显的影响。
850
max/MPa
750 650 550
4 10 5 10 6 10 7 10 8 10
N
目录
850
max /MPa
750 650 550
4 5 6 7 8
10
10
10
10
10
N 从图可以得出三点结论： (1)对于疲劳，决定寿命的 最重要因素是应力幅 。 (2)材料的疲劳寿命N 随应力幅 的增大而减小。 (3)存在这样一个应力幅，低于该应力幅，疲劳破坏不会发生，该应力幅 称为疲劳极限，记为 -1 。
V W
1 2
F l
1 2
F
Fl EA
F

F l 2 EA
2

FN l 2 EA
2
F
l l
V
2 EA ( x ) d x
l
FN (x)
2
二、扭转
m

m

V W
1 2
M
e

2
1 2
M
M el
e

M
2 e
l

T l 2G I p
2
GIp
2G I p
目录
11-4. 影响持久极限的因数
1.构件外形的影响 构件外形的突然变化，例如构件上有槽、孔、缺口、轴肩等，将引起应力集中
有效应力集中因数
K
1 d 1 K
m ax n
或
K
1 d 1 K
理论应力集中因数
K
目录
2.零件尺寸的影响——尺寸因数
0
(x)
0

l
[( M ( x ) M 2E I
( x )]
2
dx
F 0 作功：
共做功 F1 、 F 2 作功： V W1 V 0 V 1 F 0 在 上又作功： 1
V 0
F1 F2
F0 1
C

W1 V1
V 0 V 1
1 2
F 2 2
1 2
F 3 3
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的
M (x)
N (x)
M (x)
N (x)
T (x)
T (x)
V

L
F N ( x ) dx 2 EA
2


L
M
2
( x ) dx

2 EI

L
T ( x ) dx 2 GI
P
2
所有的广义力均以静力方式，按一定比例由O增加至最终值。任一广义位移 整个力系有关，但与其相应的广义力 呈线性关系。