分支限界法求解背包问题
分支限界法结局0~1背包问题
Bound( i ) cleft = c – cw; b = cp; while( i <= n && w[i] <= cleft ){ cleft -= w[i]; b += p[i]; i++; } if( i<=n) b += p[i]/w[i] * cleft; return b; }
此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结 点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为 止。
与回溯法区别
求解目标不同： 一般而言，回溯法的求解目标是找出解空间树中满 足的约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标 则是尽快的找出满足约束条件的一个解。
搜索方法不同 回溯法使用深度优先方法搜索，而分支限界一般用宽 度优先或最佳优先方法来搜索；
按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点；
数据结构：队列
（2）优先队列式分支限界法
按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前 扩展节点。 数据结构：堆 最大优先队列：使用最大堆，体现最大效益优先
最小优先队列：使用最小堆，体现最小费用优先
【0-1背包问题】
物品数量n=3，重量w=(20,15,15)，价值v=(40,25,25) 背包容量c=30，试装入价值和最大的物品？ 解空间：{(0,0,0),(0,0,1),…,(1,1,1)}
分支限界法解决0/1背包问题
分支限界法思想概述 与回溯法区别 求解步骤 常见的两种分支限界法 0-1背包问题
分支限界法的基本思想
分支限界法基本思想
分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜 索问题的解空间树。
背包问题的分支定界法
背包问题的分支定界法
背包问题的分支定界法是一种求解背包问题的有效方法。
分支定界法的基本思想是将问题分解为若干个子问题，通过逐个解决子问题来逼近原问题的解。
在背包问题中，分支定界法通过将问题分解为一系列背包问题，从最简单的情况开始逐步扩展问题的规模，从而逐步逼近最优解。
分支限界法求解：
1．初始化：首先确定问题的约束条件和目标函数，并初始化问题的解空间树。
解空间树是问题解的搜索空间，其中每个节点表示一个可能的解。
2．搜索：从根节点开始，按照广度优先或最小耗费优先的方式搜索解空间树。
在搜索过程中，每个节点代表一个子问题，通过对子问题进行求解，可以逐步逼近原问题的解。
3．剪枝：在搜索过程中，根据问题的约束条件和目标函数，对一些不可能成为最优解的节点进行剪枝，从而减少搜索空间的大小。
剪枝可以提高搜索效率，但需要注意避免剪枝过度导致最优解丢失。
4．求解：当搜索到叶子节点时，表示找到了一个可行的解。
此时需要对叶子节点进行评估，确定其是否为最优解。
如果叶子节点的价值大于当前最优解的价值，则更新最优解；否则将叶子节点加入到已访问节点集合中。
5．回溯：如果搜索到叶子节点时发现当前最优解的价值不小于已访问节点集合中的最大价值，则说明当前最优解已经是最优解或者已经超出了搜索空间的上限。
此时需要进行回溯操作，即从当前节点向上回溯到上一层节点，并继续搜索。
6．结束：当搜索到根节点时，表示已经搜索完了解空间树。
此时需要判断是否找到了最优解，如果没有找到则需要进一步调整搜索策略或调整问题的约束条件和目标函数。
背包问题的多种解法
一个最优解：w i X i Wi2w1X1nmaX v i X i 。
如果不是的话，设(y2,y3, , y n) 是这X i {0,1}( 2 i n) i2问题描述0/1 背包问题 :现有n种物品，对1<=i<=n ，已知第i种物品的重量为正整数 W i，价值为正整数 V i, 背包能承受的最大载重量为正整数W，现要求找出这n种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过 W 且总价值尽量大。
(注意：这里对每种物品或者全取或者一点都不取，不允许只取一部分)算法分析根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：n w i x i Wi 1i i(1)x i { 0,1}( 1 i n)nmax v i x i (2)i1于是，问题就归结为寻找一个满足约束条件( 1 )，并使目标函数式( 2 )达到最大的解向量X (x1, x2 ,x3, ......... , x n) 。
首先说明一下 0-1 背包问题拥有最优解。
假设(X i,X2,X3,……，Xn)是所给的问题的一个最优解，则(X2,X3,……，Xn)是下面问题的n n n个问题的一个最优解，则v i y i v i X i ，且w1X1 w i y i W 。
因此，i 2 i 2 i 2n n n物品1W2=3V2=12物品2W3=4V3=40物品3W4=5V4=25物品4V1X1 V i y i V1X1 V i V i X i，这说明(X i,y2,y3, ............................................................... ,y n)是所给的 0-1 背包问i 2 i 2 i 1题比(X i,X2,X3, ........................... , X n)更优的解，从而与假设矛盾。
穷举法：用穷举法解决0-1背包问题，需要考虑给定 n个物品集合的所有子集，找出所有可能的子集(总重量不超过背包重量的子集) ，计算每个子集的总重量，然后在他们中找到价值最大的子集。
分支界限方法01背包问题解题步骤
分支界限方法是一种用于解决优化问题的算法。
在动态规划算法中，分支界限方法被广泛应用于解决01背包问题。
01背包问题是一个经典的动态规划问题，其解题步骤如下：1. 确定问题：首先需要明确01背包问题的具体描述，即给定一组物品和一个背包，每个物品有自己的价值和重量，要求在不超过背包容量的情况下，选取尽可能多的物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。
2. 列出状态转移方程：对于01背包问题，可以通过列出状态转移方程来描述问题的求解过程。
假设dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时能够获得的最大价值，则状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i])3. 初始化边界条件：在动态规划中，需要对状态转移方程进行初始化，一般情况下，dp数组的第一行和第一列需要单独处理。
对于01背包问题，可以初始化dp数组的第一行和第一列为0。
4. 利用分支界限方法优化：针对01背包问题，可以使用分支界限方法来优化动态规划算法的效率。
分支界限方法采用广度优先搜索的思想，在每一步选择最有希望的分支，从而减少搜索空间，提高算法的效率。
5. 实际解题步骤：根据上述步骤，实际解决01背包问题的步骤可以概括为：确定问题，列出状态转移方程，初始化边界条件，利用分支界限方法优化，最终得到问题的最优解。
分支界限方法在解决01背包问题时起到了重要的作用，通过合理的剪枝策略，可以有效地减少动态规划算法的时间复杂度，提高问题的求解效率。
分支界限方法也可以应用于其他优化问题的求解过程中，在算法设计和实现中具有重要的理论和实际意义。
在实际应用中，分支界限方法需要根据具体问题进行灵活选择和调整，结合动态规划和剪枝策略，以便更好地解决各类优化问题。
掌握分支界限方法对于解决复杂问题具有重要的意义，也是算法设计和优化的关键技术之一。
分支界限方法在解决01背包问题的过程中，具有重要的作用。
（C++）分支限界法求解背包问题
（C++）分⽀限界法求解背包问题1.beibao.h⽂件代码如下：#ifndef BEIBAO_H#define BEIBAO_H#include <math.h>//⼦空间中节点类型class BBnode{public:BBnode* parent; //⽗节点bool leftChild; //左⼉⼦节点标志BBnode(BBnode* par,bool ch){parent=par;leftChild=ch;}BBnode(){}};class HeapNode {public:BBnode* liveNode; // 活结点double upperProfit; //结点的价值上界double profit; //结点所相应的价值double weight; //结点所相应的重量int level; // 活结点在⼦集树中所处的层次号//构造⽅法HeapNode(BBnode* node, double up, double pp , double ww,int lev){liveNode = node;upperProfit = up;profit = pp;weight = ww;level = lev;}HeapNode(){}int compareTo(HeapNode o) {double xup =o.upperProfit;if(upperProfit < xup)return -1;if(upperProfit == xup)return 0;elsereturn 1;}};class Element {public:int id;double d;Element(){}Element(int idd,double dd){id=idd;d=dd;}int compareTo(Element x){double xd=x.d;if(d<xd)return -1;if(d==xd)return 0;return 1;}bool equals(Element x){return d==x.d;}};class MaxHeap{public:HeapNode *nodes;int nextPlace;int maxNumber;MaxHeap(int n){maxNumber = pow((double)2,(double)n);nextPlace = 1;//下⼀个存放位置nodes = new HeapNode[maxNumber];}MaxHeap(){}void put(HeapNode node){nodes[nextPlace] = node;nextPlace++;heapSort(nodes);}HeapNode removeMax(){HeapNode tempNode = nodes[1];nextPlace--;nodes[1] = nodes[nextPlace];heapSort(nodes);return tempNode;}void heapAdjust(HeapNode * nodes,int s,int m){HeapNode rc = nodes[s];for(int j=2*s;j<=m;j*=2){if(j<m&&nodes[j].upperProfit<nodes[j+1].upperProfit)++j;if(!(rc.upperProfit<nodes[j].upperProfit))break;nodes[s] = nodes[j];s = j;}nodes[s] = rc;}void heapSort(HeapNode * nodes){for(int i=(nextPlace-1)/2;i>0;--i){heapAdjust(nodes,i,nextPlace-1);}}} ;#endif2.测试代码#include <iostream>using namespace std;//⼦空间中节点类型#include "beibao.h"double c=30;const int n=3;double *w;double *p;double cw;double cp;int *bestX;MaxHeap * heap;//上界函数bound计算结点所相应价值的上界double bound(int i){double cleft=c-cw;double b=cp;while(i<=n&&w[i]<=cleft){cleft=cleft-w[i];b=b+p[i];i++;}//装填剩余容量装满背包if(i<=n)b=b+p[i]/w[i]*cleft;return b;}//addLiveNode将⼀个新的活结点插⼊到⼦集树和优先队列中void addLiveNode(double up,double pp,double ww,int lev,BBnode* par,bool ch){ //将⼀个新的活结点插⼊到⼦集树和最⼤堆中BBnode *b=new BBnode(par,ch);HeapNode node =HeapNode(b,up,pp,ww,lev);heap->put(node);}double MaxKnapsack(){//优先队列式分⽀限界法，返回最⼤价值，bestx返回最优解BBnode * enode=new BBnode();int i=1;double bestp=0;//当前最优值double up=bound(1);//当前上界while(i!=n+1){//⾮叶⼦结点//检查当前扩展结点的左⼉⼦⼦结点double wt=cw+w[i];if(wt<=c){if(cp+p[i]>bestp)bestp=cp+p[i];addLiveNode(up,cp+p[i],cw+w[i],i+1,enode,true);}up=bound(i+1);if(up>=bestp)addLiveNode(up,cp,cw,i+1,enode,false);HeapNode node =heap->removeMax();enode=node.liveNode;cw=node.weight;cp=node.profit;up=node.upperProfit;i=node.level;}for(int j=n;j>0;j--){bestX[j]=(enode->leftChild)?1:0;enode=enode->parent;}return cp;}double knapsack(double *pp,double *ww,double cc,int *xx){//返回最⼤值，bestX返回最优解c=cc;//n=sizeof(pp)/sizeof(double);//定义以单位重量价值排序的物品数组Element *q=new Element[n];double ws=0.0;double ps=0.0;for(int i=0;i<n;i++){q[i]=Element(i+1,pp[i+1]/ww[i+1]);ps=ps+pp[i+1];ws=ws+ww[i+1];}if(ws<=c){return ps;}p=new double[n+1];w=new double[n+1];for(int i=0;i<n;i++){p[i+1]=pp[q[i].id];w[i+1]=ww[q[i].id];}cw=0.0;cp=0.0;bestX = new int[n+1];heap = new MaxHeap(n);double bestp = MaxKnapsack();for(int j=0;j<n;j++)xx[q[j].id]=bestX[j+1];return bestp;}void main(){w=new double[4];w[1]=16;w[2]=15;w[3]=15;p=new double[4];p[1]=45;p[2]=25;p[3]=25;int *x = new int[4];double m = knapsack(p,w,c,x);cout<<"*****分⽀限界法*****"<<endl;cout<<"*****物品个数：n="<<n<<endl;cout<<"*****背包容量：c="<<c<<endl;cout<<"*****物品重量数组：w= {"<<w[3]<<" "<<w[1]<<" "<<w[2]<<"}"<<endl; cout<<"*****物品价值数组：v= {"<<p[3]<<" "<<p[1]<<" "<<p[2]<<"}"<<endl; cout<<"*****最优值：="<<m<<endl;cout<<"*****选中的物品是:";for(int i=1;i<=3;i++)cout<<x[i]<<" ";cout<<endl;}3.测试结果：*****分⽀限界法**********物品个数：n=3*****背包容量：c=30*****物品重量数组：w= {15 16 15} *****物品价值数组：v= {25 45 25} *****最优值：=50*****选中的物品是:0 1 1。
分支限界法解决01背包问题
分⽀限界法解决01背包问题1. 问题描述设有n个物体和⼀个背包,物体i的重量为wi价值为pi ,背包的载荷为M, 若将物体i（1<= i <=n）装⼊背包,则有价值为pi . ⽬标是找到⼀个⽅案, 使得能放⼊背包的物体总价值最⾼.设N=3, W=(16,15,15), P=(45,25,25), C=30（背包容量）2. 队列式分⽀限界法可以通过画分⽀限界法状态空间树的搜索图来理解具体思想和流程每⼀层按顺序对应⼀个物品放⼊背包（1）还是不放⼊背包（0）步骤：①⽤⼀个队列存储活结点表，初始为空② A为当前扩展结点，其⼉⼦结点B和C均为可⾏结点，将其按从左到右顺序加⼊活结点队列，并舍弃A。
③按FIFO原则，下⼀扩展结点为B，其⼉⼦结点D不可⾏，舍弃；E可⾏，加⼊。
舍弃B④ C为当前扩展结点，⼉⼦结点F、G均为可⾏结点，加⼊活结点表，舍弃C⑤扩展结点E的⼉⼦结点J不可⾏⽽舍弃；K为可⾏的叶结点，是问题的⼀个可⾏解，价值为45⑥当前活结点队列的队⾸为F, ⼉⼦结点L、M为可⾏叶结点，价值为50、25⑦ G为最后⼀个扩展结点，⼉⼦结点N、O均为可⾏叶结点，其价值为25和0⑧活结点队列为空，算法结束，其最优值为50注：活结点就是不可再进⾏扩展的节点，也就是两个⼉⼦还没有全部⽣成的节点3. 优先队列式分⽀限界法3.1 以活结点价值为优先级准则步骤：①⽤⼀个极⼤堆表⽰活结点表的优先队列，其优先级定义为活结点所获得的价值。
初始为空。
②由A开始搜索解空间树，其⼉⼦结点B、C为可⾏结点，加⼊堆中，舍弃A。
③B获得价值45，C为0. B为堆中价值最⼤元素，并成为下⼀扩展结点。
④ B的⼉⼦结点D是不可⾏结点，舍弃。
E是可⾏结点，加⼊到堆中。
舍弃B。
⑤ E的价值为45，是堆中最⼤元素，为当前扩展结点。
⑥ E的⼉⼦J是不可⾏叶结点，舍弃。
K是可⾏叶结点，为问题的⼀个可⾏解价值为45。
⑦继续扩展堆中唯⼀活结点C，直⾄存储活结点的堆为空，算法结束。
蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01背包问题【精选】
一、实验内容：分别用蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解0/1背包问题。
注：0/1背包问题：给定种物品和一个容量为的背包，物品的重n C i 量是，其价值为，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装i w i v 入背包中的物品的总价值最大。
其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。
二、所用算法的基本思想及复杂度分析：1.蛮力法求解0/1背包问题：1）基本思想：对于有n 种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n 的0-1向量组成,可用子集数表示。
在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值。
2）代码:#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;#define N 100//最多可能物体数struct goods //物品结构体{int sign;//物品序号int w;//物品重量int p;//物品价值}a[N];bool m(goods a,goods b){return (a.p/a.w)>(b.p/b.w);}int max(int a,int b){return a<b?b:a;}int n,C,bestP=0,cp=0,cw=0;int X[N],cx[N];/*蛮力法求解0/1背包问题*/int Force(int i){if(i>n-1){if(bestP<cp&&cw+a[i].w<=C){for (int k=0;k<n;k++)X[k]=cx[k];//存储最优路径bestP=cp;}return bestP;}cw=cw+a[i].w;cp=cp+a[i].p;cx[i]=1;//装入背包Force(i+1);cw=cw-a[i].w;cp=cp-a[i].p;cx[i]=0;//不装入背包Force(i+1);return bestP;}int KnapSack1(int n,goods a[],int C,int x[]){Force(0);return bestP;}int main(){goods b[N];printf("物品种数n: ");scanf("%d",&n);//输入物品种数printf("背包容量C: ");scanf("%d",&C);//输入背包容量for (int i=0;i<n;i++)//输入物品i 的重量w 及其价值v {printf("物品%d 的重量w[%d]及其价值v[%d]:",i+1,i+1,i+1);scanf("%d%d",&a[i].w,&a[i].p);b[i]=a[i];}int sum1=KnapSack1(n,a,C,X);//调用蛮力法求0/1背包问题printf("蛮力法求解0/1背包问题:\nX=[ ");for(i=0;i<n;i++)cout<<X[i]<<" ";//输出所求X[n]矩阵printf("]装入总价值%d\n",sum1);bestP=0,cp=0,cw=0;//恢复初始化}3）复杂度分析：蛮力法求解0/1背包问题的时间复杂度为：。
分支限界法解决01背包问题
分⽀限界法解决01背包问题 分⽀限界法和之前讲的回溯法有⼀点相似，两者都是在问题的解的空间上搜索问题的解。
但是两者还是有⼀些区别的，回溯法是求解在解的空间中的满⾜的所有解，分⽀限界法则是求解⼀个最⼤解或最⼩解。
这样，两者在解这⼀⽅⾯还是有⼀些不同的。
之前回溯法讲了N后问题，这个问题也是对于这有多个解，但是今天讲的01背包问题是只有⼀个解的。
下⾯就讲讲分⽀限界法的基本思想。
分⽀限界法常以⼴度优先或以最⼩消耗（最⼤效益）优先的⽅式搜索问题的解空间树。
问题的解空间树是表⽰问题解空间的⼀颗有序树，常见的有⼦集树和排列树。
分⽀限界法和回溯法的区别还有⼀点，它们对于当前扩展结点所采⽤的扩展⽅式也是不相同的。
分⽀限界法中，对于每⼀个活结点只有⼀次机会成为扩展结点。
活结点⼀旦成为了扩展结点，就⼀次性产⽣其所有的⼦结点，⼦结点中，不符合要求的和⾮最优解的⼦结点将会被舍弃，剩下的⼦结点将加⼊到活结点表中。
再重复上⾯的过程，直到没有活结点表中没有结点，⾄此完成解决问题的⽬的。
分⽀限界法⼤致的思想就是上⾯的叙述，现在就可以发现，对于结点的扩展将会成为分⽀限界法的主要核⼼。
所以，分⽀限界法常见的有两种扩展结点的⽅式，1.队列式（FIFO）分⽀限界法，2.优先队列式分⽀限界法。
两种⽅法的区别就是对于活结点表中的取出结点的⽅式不同，第⼀种⽅法是先进先出的⽅式，第⼆种是按优先级取出结点的⽅式。
两中⽅法的区别下⾯也会提到。
在背包问题中还会提到⼀个⼦树上界的概念，其实就是回溯法中的剪枝函数，只不过，分⽀限界法⾥的剪枝函数改进了⼀些，剪枝函数同样也是分⽀限界法⾥⽐较重要的东西。
下⾯就讲⼀讲01背包问题的实现。
01背包问题和前⾯讲的背包问题的区别不⼤，就是01背包问题的物品不可以只放⼊部分，01背包问题的物品只能放⼊和不放⼊两个选择，这也是名字中01的原因。
其他的和背包问题相差不⼤，这⾥也不再累述。
算法的主体是⽐较容易想的，⾸先，将数据进⾏处理，这也是上⾯讲到的第⼆种取结点的⽅式（优先队列式）。
分支限界法0-1背包问题-队列式
分⽀限界法0-1背包问题-队列式⼀.分⽀限界法概述（1）分⽀限界法就是采⽤⼴度优先的策略，依次搜索活结点所有的分枝，也就额是所有的相邻结点。
在求最优解时采⽤⼀个限界函数，计算限界函数值，选择⼀个最有利的⼦节点作为扩展结点，使搜索树朝着解空间树上有最优解的分⽀推进，以便尽快找出⼀个最优解。
（2）常见的两种分⽀限界法 先进先出（FIFO）队列式:在先进先出的分⽀限界法中，⽤队列作为组织活结点表的数据结构，并按照队列先进先出的原则选择结点作为扩展结点。
优先队列（PQ）：⽤优先队列作为组织活结点表的数据结构。
⼆.0-1背包问题问题：给定n种物品和⼀背包。
物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为C。
问应如何选择装⼊背包的物品，使得装⼊背包中物品的总价值最⼤?#include<iostream>#include<queue>using namespace std;const int maxn=99;int n,c;int w[maxn];int v[maxn];int bestv=0;int bestx[maxn];int total=1; //解空间中的节点数累计，全局变量struct nodetype //队列中的结点类型{int no; //结点编号，从1开始int i; //当前结点在搜索空间中的层次int w; //当前结点的总重量int v; //当前结点的总价值int x[maxn]; //当前结点包含的解向量double ub; //上界};void input(){cout<<"请输⼊物品的个数："<<endl;cin>>n;cout<<"请输⼊每个物品的重量及价值(如5 4):"<<endl;for(int i = 1; i <= n; i++){cin>>w[i]>>v[i];}cout<<"请输⼊背包的容量："<<endl;cin>>c;}void bound(nodetype &e) //计算分⽀结点e的上界{int i=e.i+1; //考虑结点e的余下物品int sumw=e.w;double sumv=e.v;while((sumw+w[i]<=c)&&i<=n){sumw+=w[i];sumv+=v[i];i++;}if(i<=n) //余下物品只能部分装⼊e.ub=sumv+(c-sumw)*v[i]/w[i];else e.ub=sumv;}void enqueue(nodetype e,queue<nodetype> &qu)//结点e进队qu{if(e.i==n) //到达叶⼦节点，不在扩展对应⼀个解{if(e.v>bestv) //找到更⼤价值的解{bestv=e.v;for(int j=1;j<=n;j++)bestx[j]=e.x[j];}}else qu.push(e); //⾮叶⼦结点进队}void bfs(){int j;nodetype e,e1,e2;queue<nodetype> qu;e.i=0;e.w=0;e.v=0;e.no=total++;for(j=1;j<=n;j++)e.x[j]=0;bound(e);qu.push(e);while(!qu.empty()){e=qu.front();qu.pop(); //出队结点eif(e.w+w[e.i+1]<=c) //剪枝，检查左孩⼦结点{e1.no=total++; //建⽴左孩⼦结点e1.i=e.i+1;e1.w=e.w+w[e1.i];e1.v=e.v+v[e1.i];for(j=1;j<=n;j++)e1.x[j]=e.x[j];e1.x[e1.i]=1;bound(e1); //求左孩⼦的上界enqueue(e1,qu); //左孩⼦结点进队}e2.no=total++;e2.i=e.i+1;e2.w=e.w;e2.v=e.v;for(j=1;j<=n;j++)e2.x[j]=e.x[j];e2.x[e2.i]=0;bound(e2);if(e2.ub>bestv) //若右孩⼦结点可⾏，则进队，否则被剪枝 enqueue(e2,qu);}}void output(){cout<<"最优值是:"<<bestv<<endl;cout<<"(";for(int i=1;i<=n;i++)cout<<bestx[i]<<"";cout<<")";}int main(){input();bfs();output();return0;}。
分支界限法0-1背包问题（优先队列式分支限界法）
分⽀界限法0-1背包问题（优先队列式分⽀限界法）输⼊要求有多组数据。
每组数据包含2部分。
第⼀部分包含两个整数C （1 <= C <= 10000）和 n （1 <= n <= 10，分别表⽰背包的容量和物品的个数。
第⼆部分由n⾏数据，每⾏包括2个整数 wi（0< wi <= 100）和 vi（0 < vi <= 100），分别表⽰第i个物品的总量和价值输出要求对于每组输⼊数据，按出队次序输出每个结点的信息，包括所在层数，编号，背包中物品重量和价值。
每个结点的信息占⼀⾏，如果是叶⼦结点且其所代表的背包中物品价值⼤于当前最优值（初始为0），则输出当前最优值 bestv 和最优解bestx（另占⼀⾏）参见样例输出测试数据输⼊⽰例5 32 23 22 3输出⽰例1 1 0 02 2 2 23 5 2 24 10 4 5bestv=5, bestx=[ 1 0 1 ]4 11 2 23 4 5 42 3 0 0⼩贴⼠可采⽤如下的结构体存储结点：typedef struct{int no; // 结点在堆中的标号int sw; // 背包中物品的重量int sv; // 背包中物品的价值double prior; // 优先值 sv/sw}Node;#include<stdio.h>#include<math.h>#include<string.h>typedef struct {int no; // 结点标号int id; // 节点idint sw; // 背包中物品的重量int sv; // 背包中物品的价值double prior; // sv/sw}Node;int surplusValue(int *v,int n,int y) {int sum = 0;for(int i = y; i <= n; i++) {sum += v[i];}return sum;}void qsort(Node *que,int l,int r) {int len = r - l + 1;int flag;for(int i = 0; i < len; i ++) {flag = 0;for(int j = l; j < l + len - i; j++) {if(que[j].prior < que[j+1].prior) {Node t = que[j];que[j] = que[j+1];que[j+1] = t;flag = 1;}}//if(!flag ) return;}}void branchknap(int *w,int *v,int c,int n) {int bestv = 0;int f = 0;int r = 0;Node que[3000];memset(que,0,sizeof(que));int path[15];que[0].no = 1;que[0].id = que[0].sv = que[0].sw = que[0].prior = 0;while(f <= r) {Node node = que[f];printf("%d %d %d %d\n",node.id+1,node.no,node.sw,node.sv);if(node.no >= pow(2,n)) {if(node.sv > bestv) {bestv = node.sv;printf("bestv=%d, bestx=[",bestv);int temp = node.no;int i = 0;while(temp > 1) {if(temp % 2 == 0)path[i] = 1;elsepath[i] = 0;temp /= 2;i++ ;}i--;while(i >= 0) {while(i >= 0) {printf(" %d",path[i]);i--;}printf(" ]\n");}} else {if((node.sw + w[node.id + 1]) <= c && surplusValue(v,n,node.id+1) + node.sv > bestv) { r++;que[r].id = node.id + 1;que[r].no = node.no*2;int id = node.id + 1;que[r].sv = node.sv + v[id];que[r].sw = node.sw + w[id];que[r].prior = que[r].sv / (que[r].sw*1.0);}if(surplusValue(v,n,node.id+2) + node.sv > bestv) {r++;que[r].id = node.id + 1;que[r].no = node.no*2 + 1;que[r].sv = node.sv;que[r].sw = node.sw;que[r].prior = node.prior;}}f++;qsort(que,f,r);}}int main() {int c,n;int w[15],v[15];while(~scanf("%d %d",&c,&n)){for(int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);}branchknap(w,v,c,n);}return 0;}#include<stdio.h>#include<math.h>#include<string.h>typedef int bool;#define true 1#define false 0struct Node{int no; // ?áµ?±êo?int id; //jie dian idint sw; // ±3°ü?D·µá?int sv; // ±3°ü?D·µ?µdouble prior;};struct Node queuee[2000];int w[15],v[15];int bestv = 0,c,n;int path[15]; //lu jingint surplusValue(int y) {int sum = 0;for(int i = y; i <= n; i++)sum += v[i];return sum;}void qsort(int l,int r) {// printf("------\n");int len = r - l + 1;//printf("----%d %d %d-----\n",l,r,len);bool flag;for(int i = 0; i < len ; i++) {flag = false;for(int j = l; j <l+ len -i ;j++) {if(queuee[j].prior < queuee[j+1].prior) {struct Node temp = queuee[j];queuee[j] = queuee[j+1];queuee[j+1] = temp;flag = true;}//if(!flag) return;}}// printf("---排序嘻嘻---\n");//for(int i = l; i <= r;i++ )// printf("***%d : %.2lf\n",queuee[i].no,queuee[i].prior);// printf("\n------\n");}void branchknap() {bestv = 0;int f = 0;int r = 0;queuee[0].no = 1;queuee[0].id = 0;queuee[0].sv = 0;queuee[0].sw = 0;queuee[0].prior = 0;// printf("f: %d r: %d\n",f,r);while(f <= r) {struct Node node = queuee[f];printf("%d %d %d %d\n",node.id+1,node.no,node.sw,node.sv);if(node.no >= pow(2,n)) {if(node.sv > bestv) {bestv = node.sv;//TODOprintf("bestv=%d, bestx=[",bestv);int temp = node.no;int i = 0;while(temp > 1) {if(temp%2 == 0)path[i] = 1;elsepath[i] = 0;temp /= 2;i++;}i--;while(i >= 0) {while(i >= 0) {printf(" %d",path[i]);i--;}printf(" ]\n");}} else {if((node.sw + w[node.id+1]) <= c && surplusValue(node.id+1) + node.sv > bestv) { r++;//printf("%d\n",(node.sw + w[node.id+1]));queuee[r].id = node.id+1;queuee[r].no = node.no*2;int id = node.id+1;queuee[r].sv = node.sv + v[id];queuee[r].sw = node.sw + w[id];queuee[r].prior = queuee[r].sv/(queuee[r].sw*1.0);//printf("进队id： %d\n",queuee[r].no) ;//printf("%d %d %d\n",id,v[id], w[id]);}if(surplusValue(node.id+2) + node.sv > bestv) {r++;queuee[r].id = node.id+1;queuee[r].no = node.no*2 + 1;queuee[r].sv = node.sv ;queuee[r].sw = node.sw ;queuee[r].prior = node.prior;//printf("进队id： %d\n",queuee[r].no) ;}}f++;qsort(f,r);}}int main() {while(~scanf("%d %d",&c,&n)){memset(queuee,0,sizeof(queuee));for(int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);}branchknap();}return 0;}。
背包问题 实验报告
实验报告课程名称：算法设计与分析实验名称：解0-1背包问题任课教师：王锦彪专业：计算机应用技术班级: 2011 学号： ****** 姓名：严焱心完成日期： 2011年11月一、实验目的：掌握动态规划、贪心算法、回溯法、分支限界法的原理，并能够按其原理编程实现解决0-1背包问题，以加深对上述方法的理解。
二、实验内容及要求：1． 要求分别用动态规划、贪心算法、回溯法和分支限界法求解0-1背包问题；2． 要求显示结果。
三、实验环境和工具：操作系统：Windows7开发工具：Eclipse3.7.1 jdk6开发语言：Java四、实验问题描述：0/1背包问题:现有n 种物品，对1<=i<=n ，第i 种物品的重量为正整数W i ，价值为正整数V i ，背包能承受的最大载重量为正整数C ，现要求找出这n 种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过C 且总价值尽量大。
动态规划算法描述: 根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤∑∑==)1}(1,0{C max 11n i x x w x v ini i i ni ii寻找一个满足约束条件，并使目标函数式达到最大的解向量),......,,,(321n x x x x X =，使得C 1∑=≤n i i i x w ，而且∑=ni i i x v 1达到最大。
0-1背包问题具有最优子结构性质。
假设),......,,,(321n x x x x 是所给的问题的一个最优解，则),......,,(32n x x x 是下面问题的一个最优解：∑∑==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤n i i i ini i i x v n i x x w x w 2211max )2}(1,0{C 。
如果不是的话，设),......,,(32n y y y 是这个问题的一个最优解，则∑∑==>n i n i i i i i x v y v 22，且∑=≤+n i i i y w x w 211C 。
分支限界法典型例题
分支限界法典型例题分支限界法(Branch and Bound)是一种常见的算法分析技术,用于解决搜索问题和动态规划问题。
以下是一些分支限界法的典型例题:1. 最长公共子序列(LCS):求给定两个字符串的最长公共子序列。
可以使用分支限界法,首先找出两个字符串中的不同字符出现的次数,然后用哈希表存储这些计数器。
最后,遍历哈希表中的每个计数器,找到最大的计数器的值,即为最长公共子序列的长度。
2. 背包问题(Knapsack problem):给定一个背包,容量为64,有多个选项,每个选项的重量和容量不限。
求给定背包中可以放入的最大重量的背包物品。
可以使用分支限界法,首先列出所有可能背包容量的组合,然后用枚举法找出每个背包容量下可以放入的最大重量的物品,最后计算出可以放入的最大重量的物品数量。
3. 最短路径问题(Shortest Path problem):给定一个二维图,目标为找到从源点出发,到达所有目标点的路径。
可以使用分支限界法,首先找出图中的所有节点和它们之间的联系,然后用递归算法计算每个节点到源点的路径。
最后,通过剪枝,可以找到最短路径。
4. 最大子数组和问题(Maximum Subarray and Problem):给定一个数组,求出其中任意一个元素的最大值。
可以使用分支限界法,首先找出数组中的最小值和最大值,然后用递归算法计算每个元素的最大值。
最后,通过剪枝,可以找到最大子数组和问题。
5. 模拟退火问题(Simulated Annealing Problem):给定一个概率分布,求出在一定条件下,随机变量的取值分布。
可以使用分支限界法,首先找出概率分布中所有可能的取值,然后用模拟退火算法计算在这些取值中随机变量的取值分布。
最后,通过剪枝,可以找到最优解。
背包问题
（0-1）背包问题的解法小结1．动态规划法递推关系：– 考虑一个由前i 个物品(1≤i ≤n )定义的实例，物品的重量分别为w 1,…,w i ，价值分别为v 1，…，v i ，背包的承重量为j (1≤j ≤W )。
设V [I,j]为该实例的最优解的物品总价值– 分成两类子集：• 根据定义，在不包括第i 个物品的子集中，最优子集的价值是V [i -1,j ]• 在包括第i 个物品的子集中(因此，j －w ≥0)，最优子集是由该物品和前i -1个物品中能够放进承重量为i －w j 的背包的最优子集组成。
这种最忧子集的总价值等于v i +V [i -1,j -w i ].0]0,[时，0 当0;][0,时，0初始条件：当],1[}],1[],,1[max{],[=≥=≥<≥⎩⎨⎧-+---=i V i j V j w j w j j i V v w j i V j i V j i V i i i i以记忆功能为基础的算法：用自顶向下的方式对给定的问题求解，另外维护一个类似自底向上动态规划算法使用的表格。
一开始的时候，用一种“null”符号创始化表中所有的单元，用来表明它们还没有被计算过。
然后，一旦需要计算一个新的值，该方法先检查表中相应的单元：如果该单元不是“null ”，它就简单地从表中取值；否则，就使用递归调用进行计算，然后把返回的结果记录在表中。
算法 MFKnapsack(I,j)//对背包问题实现记忆功能方法//输入：一个非负整数i 指出先考虑的物品数量，一个非负整数j 指出了背包的承重量 //输出：前i 个物品的最伏可行子集的价值//注意：我们把输入数组Weights[1..n],Values[1..n]和表格V[0..n,0..W]作为全局变量，除了行0和列0用0初始化以外，V 的所有单元都用-1做初始化。
if V[I,j]<01if j<Weights[i]value ←MFKnapsack(i-1,j)elsevalue ←max(MFKnapsack(i-1),j), Value[i]+MFKnapsack(i-1,j-eights[i]))V[I,j]←valuereturn V[I,j]2．贪心算法1) 背包问题基本步骤：首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi ，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。
实验报告-分支限界法01背包
《算法设计与分析》实验报告六学号： 1004091130 姓名：金玉琦日期： 2011-11-17 得分：一、实验内容：运用分支限界法解决0-1背包问题。
二、所用算法的基本思想及复杂度分析：分支限界法分支限界法按广度优先策略遍历问题的解空间树, 在遍历过程中, 对已经处理的每一个结点根据限界函数估算目标函数的可能取值, 从中选取使目标函数取得极值的结点优先进行广度优先搜索, 从而不断调整搜索方向, 尽快找到问题的解。
因为限界函数常常是基于问题的目标函数而确定的, 所以, 分支限界法适用于求解最优化问题。
0-1背包问题1）基本思想给定n 种物品和一个容量为C 的背包, 物品i 的重量是W i, 其价值为V i, 0/ 1 背包问题是如何选择装入背包的物品(物品不可分割) , 使得装入背包中物品的总价值最大，一般情况下, 解空间树中第i 层的每个结点, 都代表了对物品1～i 做出的某种特定选择, 这个特定选择由从根结点到该结点的路径唯一确定: 左分支表示装入物品, 右分支表示不装入物品。
对于第i 层的某个结点, 假设背包中已装入物品的重量是w, 获得的价值是v, 计算该结点的目标函数上界的一个简单方法是把已经装入背包中的物品取得的价值v, 加上背包剩余容量W - w 与剩下物品的最大单位重量价值vi + 1/ wi + 1的积,于是,得到限界函数:u b = v + ( W - w) × ( vi + 1/ wi + 1 )根据限界函数确定目标函数的界[ down , up]，然后, 按照广度优先策略遍历问题的空间树。
2）复杂度分析时间复杂度是O(2n);三、源程序及注释：#include<iostream>#include<cstdio>#include<conio.h>#include<iomanip>using namespace std;int *x;struct node{//结点表结点数据结构node *parent,//父结点指针*next; //后继结点指针int level,//结点的层bag,//节点的解cw,//当前背包装载量cp;//当前背包价值float ub; //结点的上界值};class Knap{private:struct node *front, //队列队首*bestp,*first; //解结点、根结点int *p,*w,n,c,*M;//背包价值、重量、物品数、背包容量、记录大小顺序关系long lbestp;//背包容量最优解public:void Sort();Knap(int *pp,int *ww,int cc,int nn);~Knap();float Bound(int i,int cw,int cp);//计算上界限node *nnoder(node *pa,int ba,float uub);//生成一个结点 ba=1生成左节点 ba=0生成右节点void addnode(node *nod);//将结点添加到队列中void deletenode(node *nod);//将结点队列中删除struct node *nextnode(); //取下一个void display(); //输出结果void solvebag(); //背包问题求解};Knap::Knap(int *pp,int *ww,int cc,int nn){int i;n=nn;c=cc;p=new int[n];w=new int[n];M=new int[n];for(i=0;i<n;i++){p[i]=pp[i];w[i]=ww[i];M[i]=i;}front=new node[1];front->next=NULL;lbestp=0;bestp=new node[1];bestp=NULL;Sort();}Knap::~Knap(){delete []first;delete []front;delete []bestp;delete []p;delete []w;}float Knap::Bound(int i,int cw,int cp){// 计算上界int cleft=c-cw;float b=(float)cp;while (i<n&&w[i]<=cleft){cleft-=w[i];b+=p[i];i++;}if (i<n) b+=1.0*p[i]/w[i]*cleft;return b;}node * Knap::nnoder(struct node *pa,int ba,float uub) {//生成一个新结点node * nodell=new(node);nodell->parent=pa;nodell->next=NULL;nodell->level=(pa->level)+1;nodell->bag=ba;nodell->ub=uub;if(ba==1){nodell->cw=pa->cw+w[pa->level];nodell->cp=pa->cp+p[pa->level] ;}else{nodell->cw=pa->cw;nodell->cp=pa->cp;}return(nodell);}void Knap::addnode(node *no){//将结点加入优先队列node *p=front->next,*next1=front;float ub=no->ub;while(p!=NULL){if(p->ub<ub){no->next=p;next1->next=no;break;}next1=p;p=p->next;}if(p==NULL){next1->next=no;}}node *Knap::nextnode(){//取上限最大结点node *p=front->next;front->next=p->next;return(p);}void Knap::Sort(){int i,j,k,kkl;float minl;for(i=1;i<n;i++){minl=1.0*p[i]/w[i];k=0;for(j=1;j<=n-i;j++){if(minl<1.0*p[j]/w[j]){minl=1.0*p[j]/w[j];swap(p[k],p[j]);swap(w[k],w[j]);swap(M[k],M[j]);k=j;}}}}void Knap::display(){int i;cout<<"最大价值是:"<<lbestp<<endl;for(i=n;i>=1;i--){x[M[i-1]]=bestp->bag;bestp=bestp->parent;}cout<<"变量值为:"<<endl;for(i=1;i<=n;i++)cout<<"x("<<setw(2)<<i<<")="<<x[i-1]<<endl;}void Knap::solvebag(){//背包问题求解int i;float ubb;node *aa;first=new node[1]; //根结点first->parent=NULL;first->next=NULL;first->level=0;first->cw=0;first->cp=0;first->bag=0;ubb=Bound(0,0,0);first->ub=ubb;front->next=first;while(front->next!=NULL){aa=nextnode();i=aa->level;if(i==n-1){if(aa->cw+w[i]<=c&&(long)(aa->cp+p[i])>lbestp){lbestp=aa->cp+p[i];bestp=nnoder(aa,1,(float)lbestp);}if((long)(aa->cp)>lbestp){lbestp=aa->cp;bestp=nnoder(aa,0,(float)lbestp);}}if(i<n-1){if(aa->cw+w[i]<=c&&Bound(i+1,aa->cw+w[i],aa->cp+p[i])>(float)lbestp){ubb=Bound(i,aa->cw+w[i],aa->cp+p[i]);addnode(nnoder(aa,1,ubb));}ubb=ubb=Bound(i,aa->cw,aa->cp);if(ubb>lbestp)addnode(nnoder(aa,0,ubb));}}display();}void main(){int c,n;int i=0;int *p;int *w;cout<<"请输入背包容量:"<<endl;cin>>c;cout<<"请输入物品数:"<<endl;cin>>n;x=new int[n];p=new int[n];w=new int[n];cout<<"请输入"<<n<<"个物品的重量:"<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>w[i];cout<<"请输入"<<n<<"个物品价值:"<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>p[i];x=new int[n];Knap knbag(p,w,c,n);knbag.solvebag();getch();return;}四、运行输出结果：五、调试和运行程序过程中产生的问题、采取的措施及获得的相关经验教训：解决该问题首先要确定一个合适的限界函数数, 并根据限界函数确定目标函数的界[down，up]，然后按照广度优先策略遍历问题的解空间树,在分支结点上,依次搜索该结点的所有孩子结点,分别估算这些孩子结点的目标函数的可能取值,如果某孩子结点的目标函数可能取得的值超出目标函数的界, 则将其丢弃, 因为从这个结点生成的解不会比目前已经得到的解更好; 否则, 将其加入待处理结点表中。
分支定界例子
分支定界例子分支定界是一种在搜索或优化问题中使用的算法技术。
它通过将问题空间划分为若干个子空间，并使用界限函数来确定哪些子空间有可能包含最优解。
通过逐步缩小搜索范围，分支定界算法能够高效地找到问题的最优解或接近最优解。
下面是一些使用分支定界算法的例子：1. 背包问题：给定一组物品，每个物品有重量和价值，和一个背包的容量。
目标是找到一组物品，使得它们的总重量不超过背包的容量，并且总价值最大。
分支定界算法可以通过计算每个子问题的上界（当前最优解的价值加上剩余物品的最大价值）来确定是否需要进一步探索该子问题。
2. 旅行商问题：给定一组城市和它们之间的距离，旅行商要找到一条最短的路径，使得他可以从一个城市出发，经过每个城市一次，最后回到出发城市。
分支定界算法可以通过计算当前路径的总距离，并与已知最短路径进行比较，来决定是否需要继续探索该路径。
3. 图的最大团问题：给定一个无向图，最大团问题要求找到一个完全子图，使得子图中的每两个顶点之间都有边相连，并且该子图的顶点数最大。
分支定界算法可以通过计算当前子图的顶点数，并与已知最大团的顶点数进行比较，来决定是否继续扩展该子图。
4. 线性规划问题：线性规划是一种数学优化问题，目标是找到一组变量的取值，使得线性目标函数在一组线性约束条件下取得最大或最小值。
分支定界算法可以通过计算当前解的目标函数值，并与已知最优解进行比较，来决定是否需要进一步搜索该解空间。
5. 任务分配问题：给定一组任务和一组工人，每个任务有不同的工作量，每个工人有不同的能力。
任务分配问题要求将任务分配给工人，使得总工作量最小。
分支定界算法可以通过计算当前任务分配的总工作量，并与已知最优解进行比较，来决定是否需要继续搜索该任务分配方案。
6. 棋盘覆盖问题：给定一个大小为2^n x 2^n的棋盘和一个特殊方块，棋盘覆盖问题要求用特殊方块覆盖棋盘上除一个方块外的所有方块，且每个特殊方块都恰好覆盖2个方块。
旅行售货员问题（分支限界法）
旅⾏售货员问题（分⽀限界法）⼀、实验内容运⽤分⽀限界法解决0-1背包问题（或者旅⾏售货员问题、或者装载问题、或者批处理作业调度）使⽤优先队列式分⽀限界法来求解旅⾏售货员问题⼆、所⽤算法基本思想及复杂度分析1.算法基本思想分⽀限界法常以⼴度优先或以最⼩耗费有限的⽅式搜索问题的解空间树。
问题的解空间树是表⽰问题解空间的⼀棵有序树，常见的有⼦集树和排列树。
在搜索问题的解空间树时，分⽀限界法和回溯法的主要区别在于它们对当前扩展节点所采⽤的扩展⽅式不同。
在分⽀限界法中，每⼀个活结点只有⼀次机会成为扩展节点。
活结点⼀旦成为扩展节点，就⼀次性产⽣其所有⼉⼦节点。
在这些⼉⼦节点中，导致不可⾏解或导致⾮最优解的⼉⼦节点被舍弃，其余⼉⼦节点被加⼊活结点表中。
此后，从活结点表中取下⼀节点为当前扩展节点。
并重复上述节点扩展过程。
这个过程移⾄持续到找到所需的解或活结点表为空为⽌。
从活结点表中选择下⼀扩展节点的不同⽅式导致不同的分⽀限界法。
最常见的有以下两种⽅式：（1）队列式分⽀限界法队列式分⽀限界法将活结点表组织成⼀个队列，并按队列的先进先出原则选取下⼀个节点为当前扩展节点。
（2）优先队列式分⽀限界法优先队列式的分⽀限界法将活结点表组织成⼀个优先队列，并按优先队列中规定的节点优先级选取优先级最⾼的下⼀个节点成为当前扩展节点。
2.问题分析及算法设计问题分析：（1）解旅⾏售货员问题的优先队列式分⽀限界法⽤优先队列存储活结点表。
（2）活结点m在优先队列中的优先级定义为：活结点m对应的⼦树费⽤下界lcost。
（3）lcost=cc+rcost，其中，cc为当前结点费⽤，rcost为当前顶点最⼩出边费⽤加上剩余所有顶点的最⼩出边费⽤和。
（4）优先队列中优先级最⼤的活结点成为下⼀个扩展结点。
（5）排列树中叶结点所相应的载重量与其优先级（下界值）相同，即：叶结点所相应的回路的费⽤(bestc)等于⼦树费⽤下界lcost的值。
算法设计：（1）要找最⼩费⽤旅⾏售货员回路，选⽤最⼩堆表⽰活结点优先队列。
实验 4 用分支限界法实现0-1背包问题
实验四用分支限界法实现0-1背包问题一．实验目的1.熟悉分支限界法的基本原理。
2.通过本次实验加深对分支限界法的理解。
??二．实验内容及要求};double MaxBound(int i);double Knap();void AddLiveNode(double up,double cp,double cw,bool ch,int level);//up是价值上界，cp是相应的价值，cw是该结点所相应的重量，ch是tureorfalsestack<HeapNode>High;//最大队Highdouble w[N],p[N];//把物品重量和价值定义为双精度浮点数double cw,cp,c;//cw为当前重量，cp为当前价值，定义背包容量为cint n;//货物数量为int main(){cout<<"请输入背包容量："<<endl;cin>>c;{double cleft=c-cw;//剩余容量double b=cp;//价值上界while(k<=n&&w[k]<=cleft)//以物品单位重量价值递减装填剩余容量{cleft-=w[k];b+=p[k];k++;}if(k<=n)b+=p[k]/w[k]*cleft;//装填剩余容量装满背包return b;cw=cp=0;double bestp=0;//best为当前最优值double up=MaxBound(1);//价值上界//搜索子集空间树while(1)//非叶子结点{double wt=cw+w[i];if(wt<=c)//左儿子结点为可行结点{if(cp+p[i]>bestp)bestp=cp+p[i];AddLiveNode(up,cp+p[i],cw+w[i],true,i+1);。
01背包问题
01背包问题一、问题描述一个正在抢劫商店的小偷发现了n个商品，第i个商品价值V i美元，重Wi磅，V i和Wi都是整数；这个小偷希望拿走价值尽量高的商品，但他的背包最多能容纳W磅的商品，W是一个整数。
我们称这个问题是01背包问题，因为对每个商品，小偷要么把它完整拿走，要么把它留下；他不能只拿走一个商品的一部分，或者把一个商品拿走多次。
二、解决方案背包问题作为NP完全问题，暂时不存在多项式时间算法1.动态规划2.回溯法3.分支界限法三、方案详解3.1动态规划动态规划（Dynamic programming，DP）是一种在数学、计算机科学和经济学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。
动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
概述：动态规划在查找有很多重叠子问题的情况的最优解时有效。
它将问题重新组合成子问题。
为了避免多次解决这些子问题，它们的结果都逐渐被计算并被保存，从简单的问题直到整个问题都被解决。
因此，动态规划保存递归时的结果，因而不会在解决同样的问题时花费时间。
动态规划只能应用于有最优子结构的问题。
最优子结构的意思是局部最优解能决定全局最优解(对有些问题这个要求并不能完全满足，故有时需要引入一定的近似)。
简单地说，问题能够分解成子问题来解决。
特征：1、问题存在最优子结构2、问题的最优解需要在子问题中作出选择3、通过查表解决重叠子问题，避免重复计算动态规划的设计：1.刻画一个最优解的结构特征；2.递归地定义最优解的值；3.计算最优解的值，通常采用自底向上的方法；4.利用计算的信息构造一个最优解。
问题分析最优子结构：(1)问题分析：令f(i,j)表示在前i(0≤i<n)个物品中能够装入容量为j(0≤j≤W)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:(2)f[i,j]=0(i=0 OR j=0)f[i,j]=f[i-1,j] j<w i ①f[i,j]=max{f[i-1,j] ,f[i-1,j-wi] +vi } j>wi ②①式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；②式表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-wi的背包中的价值加上第i个物品的价值vi;(b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。
分支限界法-01背包问题
分⽀限界法-01背包问题1、分⽀限界法介绍分⽀限界法类似于，也是在问题的解空间上搜索问题解的算法。
⼀般情况下，分⽀限界法与回溯法的求解⽬标不同。
回溯法的求解⽬标是找出解空间中满⾜约束条件的所有解；⽽分⽀限界法的求解⽬标则是找出满⾜约束条件的⼀个解，或是在满⾜约束条件的解中找出使某⼀⽬标函数值达到极⼤或极⼩的解，即在某种意义下的最优解。
由于求解⽬标不同，导致分⽀限界法与回溯法对解空间的搜索⽅式也不相同。
回溯法以深度优先的⽅式搜索解空间，⽽分⽀限界法则以⼴度优先或以最⼩耗费优先的⽅式搜索解空间。
分⽀限界法的搜索策略是，在扩展结点处，先⽣成其所有的⼉⼦结点(分⽀)，然后再从当前的活结点表中选择下⼀扩展结点。
为了有效地选择下⼀扩展结点，加速搜索的进程，在每⼀个活结点处，计算⼀个函数值(限界)，并根据函数值，从当前活结点表中选择⼀个最有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间上有最优解的分⽀推进，以便尽快地找出⼀个最优解。
这种⽅式称为分⽀限界法。
⼈们已经⽤分⽀限界法解决了⼤量离散最优化的问题。
2、常见的两种分⽀限界法1. 队列式（FIFO）分⽀限界法：按照先进先出原则选取下⼀个节点为扩展节点。
活结点表是先进先出队列。
LIFO分⽀限界法：活结点表是堆栈。
2. LC（least cost）分⽀限界法（优先队列式分⽀限界法）：按照优先队列中规定的优先级选取优先级最⾼的节点成为当前扩展节点。
活结点表是优先权队列，LC分⽀限界法将选取具有最⾼优先级的活结点出队列，成为新的E-结点。
FIFO分⽀限界法搜索策略：§⼀开始，根结点是唯⼀的活结点，根结点⼊队。
§从活结点队中取出根结点后，作为当前扩展结点。
§对当前扩展结点，先从左到右地产⽣它的所有⼉⼦，⽤约束条件检查，把所有满⾜约束函数的⼉⼦加⼊活结点队列中。
§再从活结点表中取出队⾸结点（队中最先进来的结点）为当前扩展结点，……，直到找到⼀个解或活结点队列为空为⽌。
回溯法和分支限界法解决0-1背包题(精)[精品文档]
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0-1背包问题计科1班朱润华 2012040732方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。
问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。
对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。
该解空间包含对变量的所有0-1赋值。
例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。
物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。
问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,),xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。
二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。
0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。
在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。
当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。
否则，将右子树剪去。
设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。
当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。
计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。
例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。
这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。
以物品单位重量价值的递减序装入物品。
先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。
由此得一个解为[1,0.2,1,1]，其相应价值为22。
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分支限界法求解背包问题/*此程序实现，分支限界法求解背包问题，分支限界法是根据上界=当前背包的价值+背包剩余载重* （剩余物品最大价值/质量）*/分支r 10 I 分S： 104 1.200060' 6 2.i/eeoe#i nclude <stdio.h> #i nclude <stdlib.h>#include <time.h>#include <sys/time.h>#include <assert.h>#define MAXSIZE 20000//#define BAGWEIGHT 200 int a[MAXSIZE] = {0};int array[MAXSIZE] = {0};int weightarray[MAXSIZE] = {0}; /* 存放各物品重量*/int valuearray[MAXSIZE] = {0}; /* 存放各物品价值*/int lastweight[MAXSIZE]={0}; int lastvalue[MAXSIZE]={0}; int qq=0;/* 上面的数组，变量都是蛮力法所用到，下面的都是分支限界法所用到*/ int BAGWEIGHT; /* 背包的载重*/int n; /* 物品的数量*/int weightarrayb[MAXSIZE] = {0}; intvaluearrayb[MAXSIZE] = {0}; float costarrayb[MAXSIZE] = {0}; intfinalb[MAXSIZE] = {0};int finalweightb[MAXSIZE] = {0};/* 从文件读取数据*/void readb()int nn = 1,ii = 1;int i = 1;FILE *fp;fp = fopen("in.dat","rb");while(!feof(fp)){if(fscanf(fp,"%d%d",&weightarrayb[nn],&valuearrayb[nn]) != EOF)nn++;i++;elsebreak;fclose(fp);printf(" weight ");printf("value\n");for(ii = 1;ii < nn;ii++)printf("no%d: %-5d%-5d",ii,weightarrayb[ii],valuearrayb[ii]);printf("\n");/* 把读取的数据按照性价比从大到小排序*/ void rangeb()int i,j,k;int tempvalue,tempweight,tempcost;for(i = 1;i <= n;i++)printf(" weight ");costarrayb[i] = valuearrayb[i]/weightarrayb[i];for(j = 1;j <= n;j++)for(k = j;k <= n;k++)if(costarrayb[j] < costarrayb[k+1])tempcost = costarrayb[j];costarrayb[j] = costarrayb[k+1];costarrayb[k+1] = tempcost;tempweight = weightarrayb[j];weightarrayb[j] = weightarrayb[k+1];weightarrayb[k+1] = tempweight;tempvalue = valuearrayb[j];valuearrayb[j] = valuearrayb[k+1];valuearrayb[k+1] = tempvalue;printf("value ");printf("cost\n");for(i = 1;i <= n;i++)printf("no%d: %-5d%-5d %- f",i,weightarrayb[i],valuearrayb[i],costarrayb[i]); printf("\n");/* 分支限界法运算*/void branchb()int i,k,j,u = 1;int emptyweight = BAGWEIGHT;int tempweight = 0;int tempvalue = 0;float ub;float exub;int extempweightb[MAXSIZE] = {0};int extempvalueb[MAXSIZE] = {0};int exemptyweightb[MAXSIZE] = {0};int allweight = 0;int allvalue = 0;ub = tempvalue + emptyweight * costarrayb[1];exemptyweightb[0] = BAGWEIGHT;printf("include 0: weight=0 value=0 ub = %f\n",ub);printf("\n");i = 1;while(weightarrayb[i] != 0)tempweight = tempweight + weightarrayb[i];tempvalue = tempvalue + valuearrayb[i];emptyweight = BAGWEIGHT - tempweight;if(tempweight > BAGWEIGHT)printf("include %d: weight=%d can't\n",i,tempweight);tempweight = extempweightb[i-1];tempvalue = extempvalueb[i-1];emptyweight = exemptyweightb[i-1];ub = 0;elseub = tempvalue + emptyweight * costarrayb[i+1];printf("include %d: weight=%d value=%d ub=%f\n",i,tempweight,tempvalue,ub); extempvalueb[i] = tempvalue;extempweightb[i] = tempweight;exemptyweightb[i] = emptyweight;exub = extempvalueb[i-1] + exemptyweightb[i-1] * costarrayb[i+1]; printf("exclude %d: weight=%d value=%dub=%f\n",i,extempweightb[i-1],extempvalueb[i-1],exub);printf("\n");if(ub < exub || ub == 0)finalb[i] = 2;if(ub >= exub)finalb[i] = 1;i++;printf("the final answer is: ");for(i = 1;i <= n;i++)if(finalb[i] == 1)printf("%d ",i);finalweightb[u] = i;u++;else if(finalb[i] == 2)continue;printf("\n");for(i = 1;i <= u;i++)allweight = allweight + weightarrayb[finalweightb[i]]; allvalue = allvalue + valuearrayb[finalweightb[i]];printf("the final weight is :%d\n",allweight);printf("the final value is : %d\n",allvalue);/* 自动生成文件*/void become()int i;FILE *fp;fp = fopen("in.dat","w");//srand(unsigned(time(NULL)));for(i=0;i<n;i++)fprintf(fp,"%d %d\n",rand()%9+1,rand()%41+10);fclose(fp);/* 删除文件*/void del()remove("in.dat");int main()printf(" 请输入背包负重(大于0 的整数):"); scanf("%d",&BAGWEIGHT);printf(" 请输入物品数量(大于0 的整数):"); scanf("%d",&n);float time_usea=0;float time_useb=0;struct timeval starta;struct timeval enda;struct timeval startb;struct timeval endb;int k = 0,i,j,u,loop;loop=0;gettimeofday(&startb,NULL);become();readb();由于分支限界太效率，时常显示 0 毫秒，为了能读出时间，让其运行 100 次后总时间再除以 100*/rangeb();branchb();gettimeofday(&endb,NULL);time_useb=(__sec)*1000+(_usec- _usec)/1000;// 毫秒printf("\n");for(i=0;i<100;i++) /*printf("It took you %f 毫秒\n", time_useb/100);/* 最后把算到的时间读出到文件*/FILE *fp = NULL;fp = fopen("OUT.DAT", "a+");if(NULL == fp)printf("wrong");return 0;//fprintf(fp, " 蛮力: %d %d %f\n", BAGWEIGHT,n,time_usea); fprintf(fp, " 分支: %d %d %f\n", BAGWEIGHT,n,time_useb/100); fclose(fp);del(); /* 要运算多次，生成多次文件，所以每次算完删除文件*/printf（" 如果需要再算一次，请按1\n"）; printf（" 如果需要退出，请按2\n"）; scanf("%d",&loop);switch(loop)case 1:return main();case 2:return;default:return;return 0;}。