(完整版)任意奇数阶幻方的杨辉斜排法
任意奇数阶幻方最简单公式做法
任意奇数阶幻方最简单公式做法任意奇数阶幻方最简单公式做法奇数阶幻方的填法我有最简易公式，任意奇数阶直接填成（3阶——任意奇数阶通用），先填中心九宫图，然后延伸填成米字形。
在米字划分的八个区内，对称填（1——最大数），（2——最大数减1），（3——最大数减2），（4——最大数减3）。
这八个数为首数，然后按照走向每格依次递加4，或者递减4，依次填完即成！公式简单而且完美对称，绝对最简单！不用位移法，一次填成！任意奇数阶通用。
公式中带入n(即幻方阶数）即可，内九宫格内每格一个公式，正中心数填上（n 平方+1）除以2，.然后以（中心数）（注：以下简称（中））为坐标和原始数；得出周围八个格内数，如下：中上左为（中）减1. 中下右为（中）加1.中上为（中）减（n-1). 中下为（中）加（n-1).中上右为（中）加（2n-3). 中下左为（中）减（2n-3).中左为（中）加（n+1). 中右为（中）减（n+1).然后以这八个数为首数，向外延伸成米字形，填法如下：中上左方向每格递减2. 中下右方向每格递加2.中上方向每格递加2. 中下方向每格递减2.中上右方向每格递减2. 中下左方向每格递加2.中左方向每格递加2. 中右方向每格递减2.下面填米字隔开的八个区域：将（1 ）填入右上顶角的下一格，（以它为首数每格递加4）从上往左下依次填完一行，再折回从上往左下依次填完第二行，以此类推，填完本区。
将（n的平方）填入右下顶角的上一格，（以它为首数每格递减4）从下往左上依次填完一行，再折回从下往左上依次填完第二行，以此类推，填完本区。
将（2 ）填入右下顶角的左一格，（以它为首数每格递加4）从下往左上依次填完一行，再折回从下往左上依次填完第二行，以此类推，填完本区。
将（n的平方-1）填入左下顶角的右一格，（以它为首数每格递减4）从下往右上依次填完一行，再折回从下往右上依次填完第二行，以此类推，填完本区。
将（3 ）填入左下顶角的上一格，（以它为首数每格递加4）从下往右上依次填完一行，再折回从下往右上依次填完第二行，以此类推，填完本区。
幻方的制作方法
奇数阶幻方，偶数阶幻方，六阶幻方的制作方法罗伯法（适合编制所有的奇阶幻方）一居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出格时往下填，右出格时左边放，排重便在下格填，角上出格一个样。
六阶幻方，具体的做是：偶阶幻方分两类:双偶数阶幻方和单偶数阶幻方双偶数:四阶幻方，八阶幻方，……4K阶幻方，可用<对称交换法>，方法很简单:1) 把自然数依次排成方阵2) 把幻方划成4×4的小区，每个小区划对角线3) 把这些对角线所划到的数，保持不动4) 把没划到的数,按幻方的中心，以中心对称的方式，进行对调幻方完成！单偶数:六阶幻方，十阶幻方，……4K+2阶幻方方法是很繁的,有一种称<同心方阵法>:1) 把幻方分成两个区：一是边框一圈；二是里面一个双偶数方阵,2) 把(3+8K)到(16K2 +8K+2)按双偶数幻方方法填入双偶数方阵3) 把余下的数，在边上试填，调整到符合为止六阶幻方（4×1＋2，k＝1）就是把11～26填入中间4×4方格中传说在很久很久以前，黄河里跃起一匹龙马，马背上驮着一幅图；洛水里也浮出一只神龟，龟背上也驮着一幅图。
这两幅图上都用圆点来表示一组数字，马背上的那幅称为“河图”，龟背上的那幅称为“洛书”。
（参见图1）再后来，经过人们研究，发现图中右边的那幅“洛书”，其实是一幅纵横图，即用1到9这9个数字组成一幅数字图，使它横的每行相加、竖的每列相加以及对角线相加，其和都等于15（参见图2）。
我们知道，纵横图就是今天所说的“幻方”，一般地，是指把从1到十的自然数排成纵横各有m 个数，并且使同行、同列及同一对角线上的n个数的和都相等的一种方阵，其中涉及的是组合数学的问题。
而前面所说的“洛书”，就是我国最早的一个三阶幻方。
图1 河图洛书图2 纵横图长期以来，纵横图一直被看作是一种数字游戏。
一直到南宋时期的数学家杨辉，才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。
任意奇数阶幻方的杨辉斜排法
可见，杨辉口诀是在利用５×5的方格,斜排9个数后,按照他的步骤,仍然是画出5×5方格的３阶的幻方,如图1ｅ。
图2菱中取方的画法
现在，我们很多人用的是“取方框”画法 。即在5×5的方阵中，取出3×3方框来,如图2b的红框。红框外的1,是走到框内的绿方块中，红框外的9,是走到框内的蓝方块中。因此1、9没有“对易”。同样，3、7也没有“相更”。因此，就没有“上下对易,左右相更”了。所以,就不需要“四维挺出”了。因此,现在的画法,与原来的口诀不一致了。
任意奇数阶幻方的杨辉斜排法
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任意奇数阶幻方的杨辉斜ຫໍສະໝຸດ 法——对杨辉口诀的讨论范贤荣２016．3．8
关于三阶幻方的排法,我国古代数学家杨辉给出了一个巧妙的排法：“九子斜排,上下对易，左右相更，四维挺出”。按照这个口诀,画出“上下对易，左右相更”之后,形成图１d的图面。因此,必定有一个“四维挺出”的步骤。最后得到“戴九履一，左三右七,二四為肩,六八為足”的三阶幻方。见图1。
所以，我根据作图的次序,将杨辉的口诀,演绎成：
各子斜排为菱形,中间取方当作城，
城外有子城内空，四围都往城中进。
挺进多少方可止，几阶就挺几步深。
注1：“四围”就是上下左右四边。“都往城中进”,因此是相向而行,都到城中。
注２：“几阶就挺几步深”。如３阶进３步，5阶进5步，7阶进７步……后续亦如此类推。见图2。
下面,我将２~13各奇数阶，由菱方阵演变成幻方的情况,列于后。
图3 5阶菱方阵与幻方
图４7阶菱方阵与幻方
图59阶菱方阵与幻方
奇数阶幻方的经典方法－罗伯法
奇数阶幻⽅的经典⽅法－罗伯法
所谓幻⽅，也教纵横图，就是在n×n的⽅阵中放⼊1到n2个⾃然数：在⼀定的布局下，其各⾏、各列和两条对⾓线上的数字之和正好都相等。
这个和数就叫做“幻⽅常数”或幻和。
构造幻⽅的⽅法：
奇数阶幻⽅，也就是3阶、5阶、7阶……幻⽅，那么如何构造这样的幻⽅呢？
我们可以采取罗伯法（也叫连续摆数法），其法则如下：
把“1”放在中间⼀列最上边的⽅格中，从它开始，按对⾓线⽅向（⽐如说按从左下到右上的⽅向）顺次把由⼩到⼤的各数放⼊各⽅格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进⾏中轮到的⽅格中已有数或到达右上⾓，则退⾄前⼀格的下⽅。
按照这⼀法则建⽴5阶幻⽅的⽰例如下图：
罗伯法（连续摆数法）的助记⼝诀：
1 居上⾏正中央，依次斜填切莫忘。
上出框界往下写，右出框时左边放。
重复便在下格填，⾓上出格⼀个样。
1 居上⾏正中央——数字 1 放在⾸⾏最中间的格⼦中
依次斜填切莫忘——向右上⾓斜⾏，依次填⼊数字
上出框界往下写——如果右上⽅向出了上边界，就以出框后的虚拟⽅格位置为基准，将数字竖直降落⾄底⾏对应的格⼦中
右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟⽅格位置为基准，将数字平移⾄最左列对应的格⼦中
重复便在下格填——如果数字｛N｝右上的格⼦已被其它数字占领，就将｛N＋1｝填写在｛N｝下⾯的格⼦中
⾓上出格⼀个样——如果朝右上⾓出界，和“重复”的情况做同样处理。
幻方的算法-Merzirac法生成奇阶幻方
幻方的算法—Merzirac法生成奇阶幻方奇阶幻方当n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。
可以用Merzirac法与loubere法实现，Merzirac法与loubere 法称为斜步法，即向斜方向走一步；也可用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方，故命名为horse法，即马步法。
下面我详细介绍Merzirac法Merzirac法生成奇阶幻方Merzirac法最简单的方法为：1、在第一行居中的方格内放1 ；2、以后按顺序，向右斜上方填写数字（称为斜步）；3、若出到方阵上方，把该数字填到本该所在列的最下格；4、若出到方阵右方，把该数字填到本该所在行的最左格；5、若右上已有数字，或出到方阵右上(即对角线方向)，则把数字填入上一个数字的下一格，即在n 的下方放入n+1（称为跳步），再按上述方法放置到2n，在2n的下方放入2n+1，在3n的下方放入3n+1，……依次填完所有数字即可完成任何一个奇阶幻方。
下面是用此方法构成的5阶幻方，每一行、每一列、对角线的和都为65，我们将此和值称为幻和值，用f(n)表示，f(5)＝65。
65656565656565 65 65 65 65 65斜步法可以向4个方向依次填写数字，即右上、右下、左上、左下4个方向，每种斜步都可有2种跳步，即左（右）跳步、上（下）跳步。
下面我总结所有的Merzirac法（斜步法）：我们用坐标轴的方法，将左右方向设为X轴，向右为X，向左为-X；将上下方向设为Y轴，向上为Y，向下为-Y。
一般的，令矩阵[1,1]为向右走一步，向上走一步，用X+Y表示，，[-1,0]为向左走一步，用-X表示，[0,-1]为向下走一步，用-Y表示。
则斜步可以表示为X+Y，{X∈{[1,0], [-1,0]},Y∈{[0,1], [0,-1]}}∪{Y∈{[1,0], [-1,0]},X∈{[0,1], [0,-1]}}。
对于X+Y相应的跳步可以为-X，-Y。
那么上面的5阶幻方就是用X+Y斜步（即右上一步），-Y跳步（即向下一步）构成。
幻方算法
幻方算法首先，奇数的幻方，第一行中间放1，然后依次2、3、4一直往右上填，越界则反向，如果该位置有了数字，则排在前一个数的下面。
原则：非右上则下其次，4的倍数的的幻方。
设N%4等于0，则以每个4*4画对角，不在对角线上的数字与相对应数字对换。
比如8*8的,(0,1)与(7,6)对换，类推。
原则：横竖下标对N比余，相等或相加等于3则忽略，不做对换最后，最复杂的最后一种情况，单偶数的幻方。
我找了资料，但是没有完全好用的，总有缺陷概念:N=4m+2方法1：ACDB按上图将其分为4个部分，分别填入1-N*N/4组成的奇数幻方,N*N/4+1-N*N/2组成的奇数幻方,N*N/2+1-N*N/4*3组成的奇数幻方,N*N/4*3-N*N组成的奇数幻方将AD中m列互换。
不是镜面互换，而是平移。
将BC中m-1列互换，同上。
方法2：LUX法L U X41 14 1423 23 32先做一个N/2的奇数幻方，然后把这个幻方的每个数x替换成一个田字的四个数(x-1)*4+1——x*4这四个数的排列顺序有3种，前m+1行的按L排列，后m-1行的按X排列，中间一行中间一列按L排列，其余的按U排列。
下面是我写的JAVA实现类，2种单偶数我都实现了（第一种方法的实现被我注释掉了），还有一个监测的方法，仅供参考。
public class HuanClass {private int N;private int SUM;private int MAX;private int[][] RE;public HuanClass(int val) throws Exception{N=val;MAX=N*N;if(MAX%2==1)SUM=(MAX+1)/2*N;else SUM=(MAX+1)*N/2;RE=new int[N][N];if(N<3)throw new Exception("shit");else if(N%2==1)RE=CountOdd(N);else if(N%4==0)CountFour();elseCountEven();}private int[][] CountOdd(int n){int[][] IRE=new int[n][n];int i=0;int j=n/2;int tmp=1;while(true){if(j>=n)j=0;if(i<0)i=n-1;if(IRE[i][j]==0){IRE[i--][j++]=tmp++;}else{i+=2;j--;if(j<0)j=n-1;if(i>=n)i=i%n;if(IRE[i][j]==0)IRE[i--][j++]=tmp++;else break;}}return IRE;}private void CountFour(){int fillCount=1;for(int i=0;i<N;i++){for(int j=0;j<N;j++){RE[i][j]=fillCount;fillCount++;}}int tmp;for(int i=0;i<N;i++){for(int j=0;j<N/2;j++){if(i%4!=j%4&&(j%4+i%4)!=3){tmp=RE[i][j];RE[i][j]=RE[N-i-1][N-j-1];RE[N-i-1][N-j-1]=tmp;}}}}/*private void CountEven(){int halfN=N/2;int[][] tmpIArr=CountOdd(halfN);for(int i=0;i<halfN;i++){for(int j=0;j<halfN;j++){RE[i][j]=tmpIArr[i][j];RE[i+halfN][j]=tmpIArr[i][j]+halfN*halfN*3;RE[i][j+halfN]=tmpIArr[i][j]+halfN*halfN*2;RE[i+halfN][j+halfN]=tmpIArr[i][j]+halfN*halfN; }}int m=(halfN-1)/2;int tmp;for(int j=0;j<m;j++){for(int i=0;i<halfN;i++){tmp=RE[i][j];RE[i][j]=RE[i+halfN][j];RE[i+halfN][j]=tmp;if(j<m-1){tmp=RE[i][j+halfN];RE[i][j+halfN]=RE[i+halfN][j+halfN];RE[i+halfN][j+halfN]=tmp;}}}}*/private void CountEven(){int halfN=N/2;int m=(halfN-1)/2;int[][] Seq=CountOdd(halfN);char[][] SeqSign=new char[halfN][halfN]; for(int i=0;i<SeqSign.length;i++){for(int j=0;j<SeqSign[i].length;j++){ SeqSign[i][j]='L';}}int i=halfN-1;for(int l=1;l<m;l++,i--){for(int j=0;j<halfN;j++){SeqSign[i][j]='X';}}for(int j=0;j<halfN;j++){if(j==halfN/2)SeqSign[i][j]='L';elseSeqSign[i][j]='U';}for(i=0;i<halfN;i++){for(int j=0;j<halfN;j++){int beginNum=(Seq[i][j]-1)*4;switch (SeqSign[i][j]){case 'L':RE[i*2][j*2]=beginNum+4;RE[i*2+1][j*2]=beginNum+2;RE[i*2][j*2+1]=beginNum+1;RE[i*2+1][j*2+1]=beginNum+3;break;case 'U':RE[i*2][j*2]=beginNum+1;RE[i*2+1][j*2]=beginNum+2;RE[i*2][j*2+1]=beginNum+4;RE[i*2+1][j*2+1]=beginNum+3;break;case 'X':RE[i*2][j*2]=beginNum+1;RE[i*2+1][j*2]=beginNum+3;RE[i*2][j*2+1]=beginNum+4;RE[i*2+1][j*2+1]=beginNum+2;break;}}}}public int[][] getHuan(){return RE;}public boolean check(){for(int i=0;i<N;i++){int tmpSum1=0;int tmpSum2=0;for(int j=0;j<N;j++){tmpSum1+=RE[i][j];tmpSum2+=RE[j][i];}if(tmpSum1!=SUM||tmpSum2!=SUM)return false;}int sum1=0,sum2=0;for(int i=0;i<N;i++){sum1+=RE[i][i];sum2+=RE[i][N-1-i];}if(sum1!=SUM||sum2!=SUM)return false;return true;}}幻方维基百科，自由的百科全书跳转到: 导航, 搜索幻方，有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔術方塊）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。
(奥数)幻方-奇数阶幻方的编排方法
幻方（二）——奇数阶幻方的编排方法在幻方（一）——三阶幻方中我们已经学习了三阶幻方的一般编排方法，但那种方法是比较麻烦的，又不容易掌握。
于是，人们在分析研究的基础上，总结了一些简便易学的编排方法。
一、九子排列法宋朝数学家杨辉在《续古摘奇算法》中，总结“洛书”幻方的编排方法时说：三阶幻方的编排方法是“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”。
这四个句子是什么意思呢？我们通过下面的一组图来加以理解。
先画出一个3×3的“九宫格”，并在第二列上、下方和第二行左、右边各添加一个虚线格子，把1～9这九个数字按顺序写在如上图所示的三排斜线上，然后上、下对调，左右交换，（因为我们是在格子上进行排列，就不必再进行“四维挺出”了），最后将虚线格子擦掉就可以了。
利用这种方法我们就很容易得到幻方（一）中例1的图A。
但是这种方法有一定的局限性，只能编排三阶幻方，如果要编排5×5，7×7，9×9，……等奇数阶幻方又该怎么办呢？我们继续看第二种方法。
二、罗伯法请大家注意观察幻方（一）中例1的图H，可以总结出下面的编排方法：1、在第一行正中央的方格子中填上1；2、按斜上方向在1的右上角填入2，但出上框了，这时要把2改填在2所在这一列的最下边；3、按斜上方向在2的右上角填入3，又出右框了，把3改填在3所在这一行的最左边；（上图1）4、按斜上方向在3的右上角填入4，但与先填入的1重合了，这时就把4改填在3的下面，然后把5、6依次按斜上方向填入方格内；5、按斜上方向在6的右上角填入7，但出框的右上角，这时就把7改填在6的下面，（与重合相同）。
重复上面的做法，把8、9依次填入方格中，这样就得到了图2，与左边的图H完全相同。
---------请同学们在事先准备好的方格子中把这种方法练习一遍！-----------这种编排奇数阶幻方的方法叫“罗伯法”。
使用“罗伯法”时总是向右上的斜行方向进行编排。
编排过程中会出现五种情况：“第一行正中央排什么数？”、“排出上框怎么办？”、“排出右框怎么办？”、“排重复了怎么办？”、“排出右上角怎么办？”为了便于记忆，我们把罗伯法概括成下面的的几句话：1居上行正中央，依次斜排莫忘记；上出框时往下写，右出框时左边放；重叠就在下格填，右上出框一个样。
奇数阶幻方填写的小窍门
奇数阶幻方填写的小窍门最近我在七年级的数学希望杯的二试辅导中碰到一题十分常见的数学题：在3×3的方格表中填入九个不同的正整数：1，2，3，4，5，6，7，8和x，使得各行、各列所填三个数的和都相等。
请确定x的值，并给出一种填数法。
这个题对于每一位数学教师来说都是再熟悉不过的，这是上学时必定做到过的九宫格，也叫“幻方”。
很容易算得x=9，并且填好方格也并非难事。
在《射雕英雄传》中黄蓉曾破解九宫格有一口诀：戴九履一，右三左七，二四为肩，六八为足。
当然填法并非只有这唯一的一种，在解这一题时，我的师傅王永生老师恰好经过我的办公桌看到这一题，他就问我这个题我是怎么填的，有没有特别的窍门，我当时的反应愣了一下，这个熟悉的不能再熟悉的九宫格，我除了知道《射雕英雄传》中的这一口诀，我还从没想过填这么一个简单的九宫格还有什么窍门。
王老师说出了他知道的一种填九宫格的窍门：先把1填在第一行的中间一格，接下来的数依次填在前一个数的右上方。
如果右上位置已经填了数字，那么下一个数字就填在前一个数字的下方。
整个过程中，如果遇到最右边，那么换到最左边继续；如果遇到最上面，那么换到最下面继续。
按照上述方法就可以得到九宫格的答案。
而且这一规律也可以用来填9×9的方格。
我之后进行了填写实践，还查了资料，发现这一规律确实存在，而且可以应用于所有奇数阶幻方的填法，不过仅限于等差数列，先将数列按从小到大的顺序排列，也按这个顺序填入格中。
将第一个数放在第一行的中间位置，依次向右上方斜填，上出幻方时就放在那一列的最下格，右出幻方时放在那一行的最左格，排重了就放在该填位置的下边一格。
还有口诀：“一居上行正中央，依次斜填切莫忘；上出框时向下放，右出框时向左放；排重便在下格填，右上排重一个样。
”一个小小的幻方中也蕴含着有趣的数学规律。
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奇数阶、偶数阶幻方制作方法
奇数阶、偶数阶幻方制作方法1. 双偶阶幻方（对称交换法）n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义。
互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n×n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用颜色标出。
将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。
这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。
因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
2. 单偶阶幻方（斯特雷奇Ralph Strachey法）n为偶数，且不能被4整除(n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……)这是三种里面最复杂的幻方。
以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2（1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。
用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。
A象限的其它行则标出最左边的k格。
将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。
（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。
(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)，将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。
下面是6阶幻方的填法：6＝4×1＋2，这时k＝1看起来很麻烦，其实掌握了方法就很简单了。
幻方
方程法求奇数幻方其实，并不能完全说是方程法，因为这是由数学归纳法，行列式等方法推算出的。
只是摘结果来感受它的美。
不过，这个方法也是从里层向外扩张构造，当然，如果能写出一张对应各层的表格，则可以一次性写好奇数幻方。
下面来看看基本的概念先。
原基：就是把正常的n幻方减去一个数（n+1）/2得出的一个新幻方。
具有最明显的特性是幻和为0。
3阶幻方各数减去5后得到一个3阶幻方原基。
经过一系列推算得到一个可以计算第m层幻方原基的方程表达的结果：其实可以注意到，幻方的第m层的四个角的数为：利用这个方程表达就可以算出奇数幻方的任何一层，所以就达到很好的构造幻方的效果。
例如下面：部分技术幻方原基对于这个表我们可以构造出3、5、7、9、11阶幻方，只需对应加上5、13、25、41、61【其实就是加回构造原基是减去的（n+1）/2】即可以。
例如我们想构造一个五阶幻方，只需取上图中间的五阶幻方，然后每个数都加上25。
还有一点，这样构造出来的幻方里面也有很多子幻方！曾经发现的构造幻方规律很久之前就知道这个办法，只是记录在笔记本里，今天就拿出来分享一下。
总之一句话概括：给我两个基本幻方我能构造出所有幻方。
就是以3阶幻方和4阶幻方作为基本幻方，以基本幻方作为中心，向外扩展成5、7、9等奇数幻方和6、8、10等偶数幻方。
可能已经有很多人了解到了，我就用五阶幻方简单的阐述一下。
例如：我们准备构造一个五阶幻方，就先做一个框架在三阶幻方的外层：=》将中心三阶幻方的数都加上8，【其实对于构造n阶幻方来说，中间层即n-1阶的数加上2（n-1）】这时开始将五阶幻方的1～25个数进行划分，就是除了中心的9个数（9～17）分成两部分，一部分是1～8，另一部分是18～25，并相互配对，其中五阶幻方的幻和为65【其实对于n阶幻方的幻和为n(n²+1)/2】。
例如：由于五阶幻方的幻和为65，就得找出5个数（注：找的数在上面分类里的列的数不能重复）填在第一列（或第一行），很容易就找到一组数：1、3、22、20、19。
“幻方”的口诀
“幻方”的口诀“幻方”的口诀小学时，老师或者数学竞赛时经常会出现魔方的题目，记得金庸先生写的著名的武侠小说《射雕英雄传》里面的瑛姑就是被一个三阶的幻方给困住了十几年，而黄蓉不到一分钟就完成那个幻方，那么有没有什么诀窍呢？后来，在一些书上看到，对于奇数阶的幻方，有如下的口诀：一居首列正中央，依次斜填左上方；左出框时向右写，上出框时往下放；遇到重合无处填，退居原数右邻行。
举例（3阶幻方）：注：*表示还没有填数字的空位置步骤（1）：即“一居首列正中央”* * ** * *步骤（2）：即“依次斜填左上方，左出框时向右写（上一行最右列）”* * 21 * ** * *步骤（3）：即“上出框时往下放（左一列最下一行）”* * 21 * ** 3 *步骤（４）：即“遇到重合无处填”，（也就是左上方已经写有数字），“退居原数右邻行”，（将要填写的数字放到本行靠右一列）* * 21 * *步骤（５）：* * 21 5 ** 3 4步骤（６）：6 * 21 5 ** 3 4步骤（７）：注意：左上角位置的左上方位置是右下角，即６的左上方是已经填写了数据的４的位置，根据口诀“遇到重合无处填”，此时6 7 21 5 ** 3 4步骤（８）：即“上出框时往下放（左一列最下一行）”6 7 21 5 *8 3 4步骤（９）：即“依次斜填左上方，左出框时向右写（上一行最右列）”6 7 21 5 98 3 4只要是奇数阶魔方，都可根据此“口诀”构造。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。
(完整版)幻方解法整理归纳
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等,具有这种性质的图表,称为“幻方"。
我国古代称为“河图”、“洛书"，又叫“纵横图”。
1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例） 奇数阶幻方n 为奇数 (n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1,k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法（也有人称之为楼梯法）。
填写方法是这样: 把1（或最小的数)放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的n×n—1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格;(2）如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4）如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内;（5)如果这个数所要放的格已经有数填入,处理方法同(4）。
这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。
口诀：1居首行正中央， 依次右上莫相忘 上出格时往下放, 右出格时往左放。
排重便往自下放， 右上出格一个样图一2、单偶数阶幻方()122＋＝m n ——分区调换法（如图二:以六阶幻方为例）① 把()122＋＝m n 阶的幻方均分成4个同样的小幻方A 、B 、C 、D(如图二）图二(注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方,同理，在B 中填入()2221a a ——＋、在C 中填入()22312aa ——＋、在D 中填入()22413a a ——＋均构成幻方(2na ＝）(如图三）图三(因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方） ③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调(如图四）：图四不管是几阶幻方,在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时,1＝m ，所以本例中只取了一个数)④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调。
很直观的两种构造奇数幻方的方法!
移动后） （21和1移动后） 和 移动后
下面还是用个五阶幻方做个例子： （请全屏观赏）
步骤：(对于任意一个奇数幻方) ①：把1填在第一行的中间，把2填在1的右上方（就是向左移动一格，向 上移动一格）。其中：假如数在第一行时（例如1就是）就把最底行 假设在第一行的上面，就把下一个数填在假设行上；填好就把假设行 放回最底处。 例如下图，1在第一行，填2的时候：
同样，假设数在最后一列时，就把第一列假 设在最后一列的右边，就把下一个数填在假设列 上；填好后把假设列放回第一列。 例如下图中，3在最右一列，到填4的时候：
中心是五阶幻方格子
从上右填到左下
③：四维挺进，上下对易，左右相更。 四维挺进，上下对易，左右相更。 （意思为，四周的数都移进来，在“对易” 和“相更”时移动的步数刚好为幻方的阶 数。例如左边的21向右移动了5步，上边1 向下移动了5步。
向右移动5格 向下移动5格 （21向右移动 格，1向下移动 格） 向右移动 向下移动
②：以此类推，填好一个数后，把下一个数 放在该数的右上方。 ③：当填了某个数后，假如右上方正好已经 有数了，这时填下一个数在这个数的下方。 再返回第②步，直到把数填满幻方格。 例如下图，填了5时，遇到右上方已有1时， 就将6填在5的下方： 6 5
下面就用个五阶幻方做个例子： （请全屏观赏）
ห้องสมุดไป่ตู้
杨辉法 步骤：(对于任意一个奇数幻方，下面 用五阶幻方例子讲解) ①：画个图 画个图（适合五阶幻方的，中心是五 阶方格）。②：n子斜排。 子斜排。 ② 子斜排
很直观的两种构造奇数幻方的方法！ 很直观的两种构造奇数幻方的方法！ ——楼梯法和杨辉法
摘自：童真白马的博客分类——幻方世界 》》欢迎光临《《
任意奇数阶幻方的奇偶分合法
任意奇数阶幻方的奇偶分合法
范贤荣2016.3.12
这种方法也叫康韦法、菱形法。
该法在网上介绍的少，例如王炳坤ABC先生写的《幻方(二)奇数阶幻方的编排方法》一文中也只介绍了“九子排列法”、“罗伯法”和“巴舍法”三种。
所以。
我向大家作一介绍。
康韦法的要点是：先将数列分为奇、偶两部分，即先“分”。
再将这两部分按照该法提供的方法排列。
最后，将这两部分“合”起来。
所以，我说：该法称之为“奇偶分合法”还比较恰当。
根据我填写的经验，将该法的口诀表述如下：
先将奇数排成菱，
再把偶数列成井，
把井分为四部分。
填满菱角幻就成。
操作方法
1）奇数成菱把“1、3、5……”填入红菱区
3）偶数成井把“2、4、6……”填入绿井区
4）井分为四用细小的井字（如图中双线），把偶数区域分成四份的
5）填满菱角按照罗伯法则：下到上，右到左，顶角到对角。
注：
1）具体填写时，为了填写的方便，先列出一菱形一井字的空格（如彩色区域，红菱、绿井）。
2）填写时，要斜上填。
3）井字的理解：以5阶为例，5阶的井字非常明显，就是两横两竖。
所以，以它为代表，列入口诀。
7阶以后，井字，就权当把它们分成四份的那个细小的井字（如图）。
现将我填写的情况陈列于后：
3阶
5阶（5阶井字最明显。
因此，以它为代表）
7阶
9阶
11阶。
任意阶幻方的编排
龟
1
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如 九 阶幻方 中
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如九 阶幻方 中
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应 改 填于
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(一, );
构造奇数阶幻方的杨辉口诀法
构造奇数阶幻方的杨辉口诀法
朱雅妮;刘兴祥;张宇婷
【期刊名称】《应用数学进展》
【年(卷),期】2023(12)1
【摘要】幻方在中国起源很早,最初是与河图与洛书相关联,后来古人称为九宫算或纵横图,它是最早发现的著名组合算题。
在杨辉口诀法的基础上,通过对构造出的具体的奇数阶幻方的构造规律进行探寻,结合幻方矩阵化的思路及分块矩阵这个工具给出奇数阶幻方构造的通法,并且将杨辉口诀法进行推广应用于全体奇数阶幻方的构造上。
【总页数】7页(P166-172)
【作者】朱雅妮;刘兴祥;张宇婷
【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院延安
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.奇数阶面幻方的行列式构造法
2.构造奇数阶完美幻方和对称完美幻方的两步法
3.构造奇数阶幻方完美幻方和对称完美幻方的新方法
4.构造奇数阶对称幻方及奇偶分开对称幻方的新方法
5.奇数阶幻方的一种新构造法
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任意奇数阶幻方的杨辉斜排法
——对杨辉口诀的讨论
范贤荣2016.3.8
关于三阶幻方的排法，我国古代数学家杨辉给出了一个巧妙的排法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。
按照这个口诀，画出“上下对易，左右相更”之后，形成图1d的图面。
因此，必定有一个“四维挺出”的步骤。
最后得到“戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足”的三阶幻方。
见图1。
图1 杨辉口诀的画法
可见，杨辉口诀是在利用5×5的方格，斜排9个数后，按照他的步骤，仍然是画出5×5方格的3阶的幻方，如图1e。
图2 菱中取方的画法
现在,我们很多人用的是“取方框”画法。
即在5×5的方阵中，取出3×3方框来，如图2b的红框。
红框外的1，是走到框内的绿方块中，红框外的9，是走到框内的蓝方块中。
因此1、9没有“对易”。
同样，3、7也没有“相更”。
因此，就没有“上下对易，左右相更”了。
所以，就不需要“四维挺出”了。
因此，现在的画法，与原来的口诀不一致了。
所以，我根据作图的次序，将杨辉的口诀，演绎成：
各子斜排为菱形，中间取方当作城，
城外有子城内空，四围都往城中进。
挺进多少方可止，几阶就挺几步深。
注1：“四围”就是上下左右四边。
“都往城中进”，因此是相向而行，都到城中。
注2：“几阶就挺几步深”。
如3阶进3步，5阶进5步，7阶进7步……后续亦如此类推。
见图2。
下面，我将2~13各奇数阶，由菱方阵演变成幻方的情况，列于后。
图3 5阶菱方阵与幻方
图4 7阶菱方阵与幻方
图5 9阶菱方阵与幻方
图6 11阶菱方阵与幻方
图7 11阶幻方
图8 13阶菱方阵
图9 13阶幻方。