专题：天体运动的三大难点破解3 剖析宇宙中的双星、三星模型(讲义)

重点：1. 根据万有引力定律求解双星、三星模型的周期，线速度等物理量；

2. 双星、三星两种模型的特点。

难点：双星、三星模型的向心力来源。

一、双星模型

绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示，双星系统模型有以下特点：

（1）各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供

即

221L m Gm ＝m 1ω21r 1，2

2

1L m Gm ＝m 2ω2

2r 2； （2）两颗星的周期及角速度都相同 即T 1＝T 2，ω1＝ω2；

（3）两颗星的半径与它们之间的距离关系为

r 1＋r 2＝L ；

（4）两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比

即

1

2

21r r m m =； （5）双星的运动周期

T ＝2π)

(213

m m G L +；

（6）双星的总质量公式

m 1＋m 2＝G

T L 23

24π。

二、三星模型

第一种情况：三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R 的圆轨道上运行。

特点：1. 周期相同； 2. 三星质量相同； 3. 三星间距相等；

4. 两颗星做圆周运动的向心力相等。

原理：A 、C 对B 的引力充当向心力，即：，

可得：

Gm

R T 543

π

=，同理可得线速度：R GmR 25。 第二种情况：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行。 特点：1. 运行周期相同； 2. 半径相同； 3. 质量相同； 4. 所需向心力相等。

原理：B 、C 对A 的引力的合力充当向心力，即：

r T

m R Gm F 2222430cos 2π==︒

合，其中R r 33=，

可得：运行周期Gm

R

R T 32π=。

例题1 如图，质量分别为m 和M 的两颗星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L 。已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。引力常数为G 。

（1）求两星球做圆周运动的周期。

（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T 2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和7.35 ×1022kg 。求T 2与T 1两者平方之比。（结果保留3位有效数字）

思路分析：（1）A 和B 绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和B 的向心力相等。且A 和B 和O 始终共线，说明A 和B 有相同的角速度和周期。因此有

，，连立解得，。

对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得，

化简得：。

（2）将地月看成双星，由⑴得。

将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得

。 化简得：。

所以两种周期的平方比值为 R M r m 22ωω=L R r =+L M m m R +=

L M m M

r +=L m M M

T m L GMm +=22)2(π)

(23

m M G L T +=π)

(23

1m M G L T +=πL T m L

GMm 2

2

)2(π=GM

L T 3

22π=01.110

98.51035.71098.5)(24

22

24212=⨯⨯+⨯=+=M M m T T

答案：（1） （2）1.01

例题2 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m 。

（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。

（2）假设两种形式下星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少? 思路分析：（1）对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律有：

F 1=22R Gm ，2

2

2)

2(R Gm F =，F 1+F 2=mv 2/R 运动星体的线速度:v =； 周期为T ，则有T=

， T=4π。

（2）设第二种形式星体之间的距离为r ，则三个星体做圆周运动的半径为R′=

。

由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，由力的合

成和牛顿运动定律有：F 合=cos30°，

F 合=m R′，

所以r=R 。

答案：（1）

（2）

【知识脉络】 一、

满分训练：我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，已知引力常量为G 。由此可求出S 2的质量为（ ）

A.

B.

C.

D.

思路分析：双星的运动周期是一样的，选S 1为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引

力定律得

)

(23

m M G L T +=πR

GmR

25v

R

π2Gm

R 53

︒

30cos 2

/r 22

2r

Gm 22

π4T

3

1)5

12(R GmR 25Gm

R 5π43

R 31

)5

12

(2

12)(4GT r r r -2π2312π4GT r 232π4GT r 2

122π4GT r r