专题：天体运动的三大难点破解3 剖析宇宙中的双星、三星模型(讲义)
必修2 第四章 专题突破 天体运动中的“三大难点” - 副本
专题突破天体运动中的“三大难点”突破一近地卫星、同步卫星及赤道上物体的运行问题如图1所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3。
图1【例1】(2018·青海西宁三校联考)如图2所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的同步卫星。
下列关于a、b、c的说法中正确的是()图2A．b卫星转动线速度大于7.9 km/sB．a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为a a＞a b＞a cC．a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为T c＞T b＞T aD．在b、c中，b的速度大1．2018年7月10日4时58分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号甲运载火箭，成功发射了第三十二颗北斗导航卫星。
该卫星属倾斜地球同步轨道卫星，卫星入轨并完成在轨测试后，将接入北斗卫星导航系统，为用户提供更可靠服务。
通过百度查询知道，倾斜地球同步轨道卫星是运转轨道面与地球赤道面有夹角的轨道卫星，它的运转周期也是24小时，如图3所示，关于该北斗导航卫星说法正确的是()图3A．该卫星可定位在北京的正上空B．该卫星与地球静止轨道卫星的向心加速度大小是不等的C．该卫星的发射速度v≤7.9 km/sD．该卫星的角速度与放在北京地面上物体随地球自转的角速度大小相等2．(2019·名师原创预测)我国首颗极地观测小卫星是我国高校首次面向全球变化研究、特别是极地气候与环境监测需求所研制的遥感科学实验小卫星。
假如该卫星飞过两极上空，其轨道平面与赤道平面垂直，已知该卫星从北纬15°的正上方，按图示方向第一次运行到南纬15°的正上方时所用时间为1 h，则下列说法正确的是()图4A．该卫星与同步卫星的轨道半径之比为1∶4 B．该卫星的运行速度一定大于第一宇宙速度C．该卫星与同步卫星的加速度之比为316∶1D．该卫星在轨道上运行的机械能一定小于同步卫星在轨道上运行的机械能突破二卫星(航天器)的变轨及对接问题考向卫星的变轨、对接问题1．卫星发射及变轨过程概述人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图5所示。
2019届二轮复习 天体运动中常考易错的“三个难点” 课件(40张)(全国通用)
例 2 (多选)作为一种新型的多功能航天飞行器， 航天飞机集火 箭、卫星和飞机的技术特点于一身．假设一航天飞机在完成某次维 修任务后，在 A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，如图所示，已知 A 点距地面的高度为 2R(R 为地球半径)，B 点为轨道Ⅱ上的近地点， 地球表面重力加速度为 g，地球质量为 M.又知若物体在离星球无穷 远处时其引力势能为零，则当物体与星球球心距离为 r 时，其引力 Mm 势能 Ep＝－G r (式中 m 为物体的质量，M 为星球 的质量，G 为引力常量)，不计空气阻力，则下列说 法中正确的有( )
解析：A 项，地球的同步卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引 a0r2 Mm 力提供向心力，则有 G r2 ＝ma0，解得地球质量 M＝ G ，故选 A Mm 项正确． B 项， 地球赤道上的物体随地球自转时有 G R2 －mg＝ma， g＋aR2 得 M＝ G ，故 B 项错误；C、D 项，地球同步卫星与物体的 a R 2 角速度相等，根据 a＝rω ，得a ＝ r ，故 C、D 项错误． 0 答案：A
解析：重力是由于地球对物体的吸引而产生，重力在数值上等 于物体对地面的压力．由于地球自转，C 受到的万有引力大于 C 的 重力，A 项错误．由于同步卫星 A 和地面上物体随地球自转的角速 度 ω 相等，由线速度公式 v＝ωr，可知 vA>vC，B 项错误．由向心 加速度公式，a＝ω2r，可知 aA>aC.考查地球同步卫星 A 和近地卫星 Mm B，由牛顿运动定律，G r2 ＝ma，可知 aB>aA，C 项正确．根据同 π 步卫星绕地球运动一周 24 h 可知，A 在 4 h 内转过的圆心角是3，D 项错误． 答案：C
考点二 卫星的变轨与对接问题 1．卫星的变轨 两类变轨 离心运动 近心运动 变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 2 2 万有引力与 v v Mm Mm G r2 <m r G r2 >m r 向心力的关系 由圆变为外切椭圆，或由 由圆变为内切椭圆，或由 轨迹变化 椭圆变为外切圆 椭圆变为内切圆 速度和加 两个轨道切点的加速度相等，外轨道的速度大于内 速度变化 轨道的速度
【必备】最新2020高考物理总复习 专题 天体运动的三大难点破解3 剖析宇宙中的双星、三星模型同步练习
剖析宇宙中的双星、三星模型（答题时间：30分钟）1. 经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。
如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。
现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1：m2＝3：2。
则可知（）A. m1：m2做圆周运动的角速度之比为2：3B. m1：m2做圆周运动的线速度之比为3：2C. m1做圆周运动的半径为D. m2做圆周运动的半径为L2. 月球与地球质量之比约为1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动。
据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为（）A. 1：6400B. 1：80C. 80：1D. 6400：13. 在太空中，两颗靠得很近的星球可以组成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。
则下列说法不正确的是．．．．．（）A. 两颗星有相同的角速度B. 两颗星的旋转半径与质量成反比C. 两颗星的加速度与质量成反比D. 两颗星的线速度与质量成正比4. 某国际研究小组观测到了一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动，双星系统中质量较小的星体能“吸食”质量较大的星体的表面物质，达到质量转移的目的。
根据大爆炸宇宙学可知，双星间的距离在缓慢增大，假设星体的轨道近似为圆，则在该过程中（）A. 双星做圆周运动的角速度不断减小B. 双星做圆周运动的角速度不断增大C. 质量较大的星体做圆周运动的轨道半径渐小D. 质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大5. 如图为哈勃望远镜拍摄的银河系中被科学家称为“罗盘座T星”系统的照片，最新观测表明“罗盘座T星”距离太阳系只有3260光年，比天文学家此前认为的距离要近得多。
专题 天体运动的“”四个热点“”问题
专题 天体运动的“四个热点”问题双星或多星模型1.双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。
如图1所示。
图1(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω22r 2②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2③两颗星的半径与它们之间的距离关系为r 1＋r 2＝L(3)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1。
2.多星模型模型 三星模型(正三角形排列) 三星模型(直线等间距排列) 四星模型图示向心力的来源 另外两星球对其万有引力的合力 另外两星球对其万有引力的合力 另外三星球对其万有引力的合力【例1】 (多选)(2018·全国Ⅰ卷，20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。
根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。
将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度解析 由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T ＝112 s ，两中子星的角速度均为ω＝2πT ，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2，速率分别为v 1、v 2，则有G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1、G m 1m 2L 2＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L ＝400 km ，解得m 1＋m 2＝ω2L 3G ，A 错误，B 正确；又由v 1＝ωr 1、v 2＝ωr 2，则v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωL ，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误。
2018高考物理总复习 专题 天体运动的三大难点破解1 深度剖析卫星的变轨讲义
深度剖析卫星的变轨一、考点突破：知识点 考纲要求题型说明卫星的变轨的动力学本质 1. 掌握卫星变轨原理； 2. 会分析不同轨道上速度和加速度的大小关系；3. 理解变轨前后的能量变化。
选择题、计算题 属于高频考点，重点考查卫星变轨中的供需关系、速度关系、能量关系及轨道的变化，是最近几年的高考热点。
二、重难点提示：重点：1. 卫星变轨原理；2. 不同轨道上速度和加速度的大小关系。
难点：理解变轨前后的能量变化。
一、变轨原理卫星在运动过程中，受到的合外力为万有引力，F 引＝2RMmG 。
卫星在运动过程中所需要的向心力为：F 向＝Rmv 2。
当：（1）F 引＝ F 向时，卫星做圆周运动； （2）F 引> F 向时，卫星做近心运动； （3）F 引<F 向时，卫星做离心运动。
二、变轨过程 1. 反射变轨在1轨道上A 点向前喷气（瞬间），速度增大，所需向心力增大，万有引力不足，离心运动进入轨道2沿椭圆轨道运动，此过程为离心运动；到达B点，万有引力过剩，供大于求做近心运动，故在轨道2上供需不平衡，轨迹为椭圆，若在B点向后喷气，增大速度可使飞船沿轨道3运动，此轨道供需平衡。
2. 回收变轨在B点向前喷气减速，供大于需，近心运动由3轨道进入椭圆轨道，在A点再次向前喷气减速，进入圆轨道1，实现变轨，在1轨道再次减速返回地球。
三、卫星变轨中的能量问题1. 由低轨道到高轨道向后喷气，卫星加速，但在上升过程中，动能减小，势能增加，增加的势能大于减小的动能，故机械能增加。
2. 由高轨道到低轨道向前喷气，卫星减速，但在下降过程中，动能增加，势能减小，增加的动能小于减小的势能，故机械能减小。
注意：变轨时喷气只是一瞬间，目的是破坏供需关系，使卫星变轨。
变轨后稳定运行的过程中机械能是守恒的，其速度大小仅取决于卫星所在轨道高度。
3. 卫星变轨中的切点问题【误区点拨】近地点加速只能提高远地点高度，不能抬高近地点，切点在近地点；远地点加速可提高近地点高度，切点在远地点。
双星及三星模型知识讲解
《双星及三星模型》导学提纲设计人： 审核人：高三物理备课组班级： 组名： 姓名：【学习目标】1. 理解双星模型特点2. 掌握双星及三星运动的向心力来源 【导读流程】一．双星模型条件及特点 ：例1 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为（ ）A.T k n 23B.T k n 3C.T kn 2D.T k n例2（2015•天门模拟）经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”．“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1：m 2=3：2．则可知（ ）A. m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3：2B. m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为3：2C. m 1做圆周运动的半径为 2/5LD. m 2做圆周运动的半径为 2/5L二． 三星模型的向心力来源 ：例3. （2015安微理综）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A 、B 、C 三颗星体质量不相同时的一般情况）。
若A 星体质量为2m ，B 、C 两星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，求：（1）A 星体所受合力大小F A ； （2）B 星体所受合力大小F B ； （3）C 星体的轨道半径R C ； （4）三星体做圆周运动的周期T 。
天体运动常考易错的三个难点
答案：C
考点三 天体的追及相遇问题
1．相距最近 两卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，
两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t ＝2nπ(n＝1,2,3，…)．
2．相距最远 当两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，
从运动关系上，两卫星运动关系应满足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝ 1,2,3…)．
答案：C
2．[2019·浙江模拟]已知地球半径为 R，静置于赤道上的物体随
地球自转的向心加速度为 a；地球同步卫星做匀速圆周运动的轨道
半径为 r，向心加速度大小为 a0，引力常量为 G，以下结论正确的 是( )
A．地球质量 M＝aG0r2 B．地球质量 M＝aGR2 C．向心加速度之比aa0＝Rr22
机在轨道Ⅱ上运行时机械能守恒，有－GMrAm＋12mv2A＝－GMrBm＋12 mvB2，由开普勒第二定律得 rAvA＝rBvB，结合GRM2m＝mg，rA＝3R， rB＝R，可求得 vA、vB，故 D 正确．
答案：ACD
【迁移拓展】 (多选)在【例 2】题干不变的情况下，下列说
法正确的是( )
A．航天飞机在轨道Ⅱ上运动的周期 T2 小于在轨道Ⅰ上运动的 周期 T1
角速度相等，根据 a＝rω2，得aa0＝Rr ，故 C、D 项错误． 答案：A
考点二 卫星的变轨与对接问题
1．卫星的变轨
两类变轨
离心运动
近心运动
变轨起因
卫星速度突然增大
卫星速度突然减小
万有引力与 向心力的关系
Mm v2 G r2 <m r
Mm v2 G r2 >m r
轨迹变化
由圆变为外切椭圆，或由 由圆变为内切椭圆，或由
2020版高考一轮物理复习数字课件第4章专题五 天体运动中的“三大难点”
2．变轨的两种情况
考点三 天体中的“追赶相遇”问题 卫星的追赶问题可以分为同向追赶和反向追赶两种情况，其实质为分析运转角度相差 2π 弧度的时间关系，熟知圆周运动的周期公式是分析此类问题的关键。 (2019·福建泉州二模)当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时，称 之为“木星冲日”，2017 年 4 月 7 日出现了一次“木星冲日”。已知木星与地球几 乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动，木星到太阳的距离大约是地 球到太阳距离的 5 倍。则下列说法正确的是( ) A．下一次的“木星冲日”时间肯定在 2019 年 B．下一次的“木星冲日”时间肯定在 2018 年 C．木星运行的加速度比地球的大 D．木星运行的周期比地球的小
考点二 卫星(航天器)的变轨及对接问题
解析：所有航天器在近圆形轨道上绕地球运动的速度大小均小于第一宇宙速度，选 项 A 错误；对接轨道处的空间存在稀薄的大气，“天宫一号”克服空气阻力做功， 机械能减少，速率减小，万有引力大于做圆周运动所需的向心力，若不加干预， “天宫一号”将做近心运动，使轨道高度缓慢下降，此过程中万有引力做正功， 其动能增加，选项 B、C 正确；由于万有引力提供向心力，航天员在“天宫一号” 中处于失重状态，但地球对它的引力作用仍存在，选项 D 错误。
B．a3＞a2＞a1
C．a3＞a1＞a2
D．a1＞a2＞a3
考点一 近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题
解析：由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度 相等，根据 a＝ω2r，r2＞r3，则 a2＞a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得， GMr2m＝ma，由题目中数据可以得出，r1＜r2，则 a2＜a1；综合以上分析有， a1＞a2＞a3，选项 D 正确。
高考物理 年年必考的十大热点问题破解之道 2天体运动问题破解之道-千篇一律“金三角”
天体运动问题破解之道——千篇一律“金三角”天体运动问题是高考的重点内容之一，近几年对这类题目考查的频率很高，无论是全国卷还是独立命题的省份，几乎年年必考，但年年各不相同，真可谓是千变万化．其实这些题在解法上却是千篇一律的，有惊人的相似之处．下面总结一下这类问题的解题方法．一、常用公式总结天体运动问题中公式看似有很多，但仔细归纳起来就三个． １向万F F =当天体在高空运行时,设天体质量为m ，环绕的中心天体质量为M ，轨道半径为r ，则有2r MmGF =万；当天体在星球表面近地环绕运行时,设天体质量为m ，中心天体绕质量为M ，星球半径为Ｒ，则有2R MmGF =万．圆周运动的向心力公式又有多种表达形式，即r Tm r m r v m ma F 22224πω===＝向当天体做匀速圆周运动时，中心天体对它的万有引力提供所需的向心力，所以有向万F F =.又因为万有引力有高空和近地两种形式，向心力又有四种表达式，因此向万F F =就有有8种具体形式．例如ma r Mm G ＝2，R v m RMm G 22＝，r Tm r Mm G 2224π＝等等.２mg F =万如果不考虑地球的自转, 物体m 在星球表面时mg F =万，设天体质量为M ，半径为R ，其表面的重力加速度为g ，则有mg RMmG＝2； 天体在星球高空时,设距球心r 处的重力加速度为g ',则有g m rMmG '＝2．３向F mg =当天体在星球表面近地环绕运行时,也可以看成绕行天体的重力提供所需的向心力，设绕行天体的质量为m,星球表面的重力加速度为g ，则有向F mg =；当天体在高空环绕运行时,天体所在轨道的重力加速度为g '，则有向F g m ='．又因为重力近地时为mg ，高空时为g m '，向心力又有四种表达式，因此向F mg =也有8种具体形式．如果把以上公式总结一下，可以用这样一个三角形表示，如图所示.这个三角形表示的公式几乎可以求解所有的天体运动问题，所以我们称之为“金三角”．下面分别举例说明.二、天体运动问题归类例析 1星球半径问题例1 （2015年海南卷）若在某行星和地球上相对于各自水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为7:2．已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R ，由此可知，该行星的半径为（ ）A.R 21 B. R 27 C. 2R D.R 27解析 设行星表面的重力加速度为g ',水平方向运动的距离为x '，运动时间为t '，在行星表面根据平抛运动公式得t v x '='0 221t g h ''=解得2202x hv g '=' ；同理在地球表面上有222x hv g =，两式相比得4722='='x x g g 在地球表面上有mg RMmG＝2在行星表面上有g m R mM G '''＝2 以上两式相比得27147=⨯⨯=''='g M g M RR ．所以答案为C ．点评 本题先用平抛运动公式求出重力加速度之比，然后用两个“金三角”中的②式相比求解的． 2轨道半径问题例2 （2012·海南）地球同步卫星到地心的距离r 可用地球质量M 、地球自转周期T 与引力常量G 表示为r=_____________.解析 根据万有引力定律及圆周运动知识r T m r Mm G 2224π＝，可得r =点评 本题用的是“金三角”中的①式直接求解的．3质量问题例3 (2015年江苏卷)过去几千年来, 人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内, “行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕. “行星51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动, 周期约为 4 天, 轨道半径约为地球绕太阳运动半径的201. 该中心恒星与太阳的质量比约为( )( A) 1/10 ( B) 1 ( C) 5 ( D) 10解析 “行星51 peg b ” 绕其中心恒星做匀速圆周运动有r T m r m M G ''''''2224π＝ 地球绕其太阳做匀速圆周运动有r Tm r Mm G 2224π＝两式相比得04.14203652322323=⨯=''='T r T r M M 所以答案为B.点评 本题用的是两个“金三角”中的①式相比求解的. 4密度问题例4 (2014年广东卷) 如图所示，飞行器P 绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是( )A ．轨道半径越大，周期越长B ．轨道半径越大，速度越大C ．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度D ．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度解析飞行器P 绕星球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有r Tm r Mm G 2224π＝⑴解得GMr T 32π=可知半径越大则周期越大，所以选项A 正确；再根据r v mrMm G 22＝，解得rGMv =可知轨道半径越大则环绕速度越小，所以选项B 错误；有由⑴式还可解得2324GT r M π=，若测得周期T ，则可解出星球的质量M ，如果知道张角θ，则该星球半径为Ｒ＝r sin θ2，再根据2sin334323θππρGT RM ＝＝,所以可得到星球的平均密度，所以选项C 正确，而选项D 无法计算星球半径，则无法求出星球的平均密度，选项D 错误．答案为AC.点评 本题用的是“金三角”中的①式和几何关系求解的. 5向心加速度问题例5 （2013年天津卷） “嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星相继完成了对月球的环月飞行，标志着我国探月工程的第一阶段己经完成.设“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为匀速圆周运动，它距月球表面的高度为h ，己知月球的质量为M 、半径为R ，引力常量为G ，则卫星绕月球运动的向心加速度a ＝ .解析“嫦娥二号”卫星环绕月球为匀速圆周运动,万有引力提供卫星运动的向心力，有G()2MmR h +=m a ，解得a=()2GMR h +.点评 本题用的是“金三角”中的①式直接求解的. 6 线速度问题例6 (2015年新课标全国I 卷)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，现在月球表面的附近近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，再离月面4m 高处做一次悬停（可认为是相对于月球静止）；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3x 310Kg ，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速大约为9.8m/s ，则此探测器A 在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9m/sB 悬停时受到的反冲作用力约为2x 310NC 从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒D 在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度解析 设月球表面附近重力加速度为g ',在月球表面有g m R mM G '''＝2 在地球表面附近有mg RMmG＝2 两式相比代入数据得g g g R M R M g 61817.31222=⨯=''=' 着陆前的瞬间速度s m h g v /6.348.96122=⨯⨯⨯='=，所以选项A 错误；根据平衡条件得反冲力N g m F 3102⨯='=，所以选项B 正确；因为离开近月轨道时有一个悬停过程，相当于“刹车”，推动力做了负功，所以机械能不守恒，选项C 错误；人造卫星在近地圆轨道上运行时有Rm v m g 2=解得gR v =“嫦娥三号”在近月轨道运行时有R v m g m ''='2解得R g R g v 7.3161⨯=''=' 所以v v <'，选项D 正确.答案为BD.点评 本题用的是“金三角”中的②式求出月球表面附近的重力加速度，然后又用两个“金三角”中的③式求解的.7角速度问题例7 （2014年上海卷）动能相等的两人造地球卫星A 、B 的轨道半径之比:1:2A B R R =，它们的角速度之比:A B ωω= ，质量之比:A B m m = ．解析 根据r m r Mm G２＝ω2得出ω＝3r GM ,则ωA : ωB ＝3A R GM ：3BR GM＝22：1 ；又因动能E K ＝12mv 2相等 以及v=ωR ,得出m A : m B ＝2222AAB B RR ωω＝1 ：2 点评 本题用的是“金三角”中的①式求解的. 8周期问题例8 (2014年新课标全国卷Ⅰ)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是( )A.各地外行星每年都会出现冲日现象 B ．在2015年内一定会出现木星冲日C ．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D ．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短解析 各行星绕太阳运动时万有引力提供向心力，有r Tm r Mm G 2224π＝解得GMr T 32π=，所以３行地行地）（r r T T =因为冲日现象实质上是角速度大的地球转过的弧度恰好比角速度小的其它行星多出2π，所以相邻两次冲时的时间间隔为＝＝－＝－行地地行地行地T T T T T t -=12222πππωωπ年）（地311rr -，从表达式可得时间t 大于1，只有当 ∞→r 时时间t 才为1年，所以不会每年都出现冲日现象，A 错误；将木星的半径数据代入上式得年）（）（地地地09.12.5111133≈-=-=r r rr t ，上次冲日时间为2014年1月6日，所以2015年内一定会出现木星冲日，B 正确；同理可算出天王星相邻两次冲日的时间间隔为 1.01年．土星两次冲日的时间间隔为1.03年，所以C 错误；由表达式可得时间t 随r 的增大而减小，所以D 正确.答案为BD.点评 本题用的是“金三角”中的①式和圆周运动的追及问题方法来求解的. 9重力加速度问题例9（2012年新课标全国Ⅰ卷）假设地球是一半径为R.质量分布均匀的球体.一矿井深度为 d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为A ．1－dRB ．1+d RC ．2⎪⎭⎫ ⎝⎛-R d RD ．2⎪⎭⎫⎝⎛-d R R解析 在地球表面mg R Mm G＝2，又343M R ρπ=，所以243M g G G R R πρ==，因为球壳对球内物体的引力为零，所以在深为d 的矿井内g m d R MmG'-＝2)(，得()()243Mg GG R d R d πρ'==--，所以1g R d d g R R '-==-,答案为A. 点评 本题用的是“金三角”中的②式在地面和矿井深度为d 处两次列方程求解的. 10 能量问题例10 (2014年山东卷)2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程．某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图所示，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h 高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球．设“玉兔”质量为m ，月球半径为R ，月面的重力加速度为g月．以月面为零势能面，“玉兔”在h 高度的引力势能可表示为E p ＝GMmhR （R ＋h ），其中G为引力常量，M 为月球质量．若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为( )A.mg 月R R ＋h (h ＋2R )B.mg 月RR ＋h (h ＋2R ) C.mg 月R R ＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＋22R D.mg 月R R ＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＋12R 解析 本题以月面为零势面，开始发射时，“玉兔”的机械能为零，对接完成时，“玉兔”的动能和重力势能都不为零，该过程对“玉兔”做的功等于“玉兔”机械能的增加．忽略月球的自转，月球表面上，“玉兔”所受重力等于地球对“玉兔”的引力，即月＝mg RMmG 2 ⑴，对于在h 高处的“玉兔”，月球对其的万有引力提供向心力，即G Mm （R ＋h ）2＝m v 2R ＋h， “玉兔”的动能E k ＝12mv 2，以上三式联立解得，)(22h R R mg E K +=月；由⑴式可得月＝g R GM 2 ，“玉兔”在h 高度的引力势能可表示为()hR mhRg h R R GMmh E p +=+=月对“玉兔”做的功W ＝E k ＋E p ＝mg 月R R ＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＋12R .所以选项D 正确． 点评 本题用的是“金三角”中的①式和②式结合求解出“玉兔”的速度，然后再得出“玉兔”的动能，从而使问题得解.通过以上分析可见，这十种题型表面上看各不相同，但在解法上用的都是“金三角”中的式子，简单的问题用一个就能求解，复杂的问题要用两个或多个式子相组合求解.其中“金三角”中①式用的最广泛，②式③式次之，应用①式和③式解题的关键就在于选择合适的向心加速度表达式，从而使问题得解．所以天体运动问题的解法可以概括为：天体问题有妙招，千篇一律“金三角”； 关键在选加速度，多式组合见奇效。
144 高考专题突破 天体运动中的“三大难点”
@《创新设计》
图4
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核心素养提升
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解析 由万有引力提供向心力有 GMr2m＝m(2Tπ)2r 得出 r＝ 3 G4MπT2 2，卫星 1 和卫星 2 的周期之比为 8∶1，则轨道半径之比为 4∶1，由 GMr2m＝ma 得出 a＝GrM2 ，可知向 心加速度之比为 1∶16，A 正确；根据 GMr2m＝mvr2得出 v＝ GrM，可知线速度之 比为 1∶2，B 错误；两卫星从赤道处正上方某点开始计时，卫星 2 转 8 圈时，卫星 1 刚好转一圈在该点的正上方，C 正确，D 错误。 答案 AC
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专题突破 天体运动中的“三大难点”
1
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突破一 近地卫星、同步卫星及赤道上物体的运行问题 如图1所示，a为近地卫星，半径为r1；b为地球同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地 球自转的物体，半径为r3。
图1
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向心力 轨道半径
角速度
近地卫星 (r1、ω1、v1、a1)
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3.(多选)(2019·海南琼山检测)荷兰某研究所推出了2023年让志 愿者登陆火星、建立人类聚居地的计划。登陆火星需经历如 图10所示的变轨过程，已知引力常量为G，则下列说法正确 的是( ) A.飞船在轨道上运动时，运行的周期TⅢ＞TⅡ＞TⅠ B.飞船在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能 C.飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度方向喷气 D.若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的 密度
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核心素养提升
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考向
突破二 卫星(航天器)的变轨及对接问题 卫星的变轨、对接问题
第四章 第六讲 天体运动中的四大难点
万有引力
第四章
第六讲 天体运动中的四大难点
研考向·热点探究 随堂练· 知能提升 课后练·知能提升
近地卫星 (r1、ω1、v1、a1) GMm mv 由 2 ＝ r 得 v＝ r 线速度
2
同步卫星 (r2、ω2、v2、a2)
赤道上随地球自 转的物体 (r3、ω3、v3、a3)
由 v＝rω 得 v2＞ GM r ，故 v1＞v2 v3 v1＞v2＞v3
第四章
第六讲 天体运动中的四大难点
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[示例2]
(2018· 江西吉安一中段考)一个国
际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观 测到了一组双星系统，它们绕两者连线上 的某点O做匀速圆周运动，如图所示．此 双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表 面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球 心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中( )
GMm GM 由 2 ＝ma得a＝ 2 ，故a1＞a2 r r a1＞a2＞a3 r2＞r3＝r1
同步卫星的角速 GM 3 ，故ω1＞ 度与地球自转角 r 速度相同，故ω2 ＝ω3 ω1＞ω2＝ω3
第四章
[示例1]
第六讲 天体运动中的四大难点
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地球赤道上有一物体随地球自转而做圆周运动，所
第四章
第六讲 天体运动中的四大难点
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A．它们做圆周运动的万有引力保持不变 B．它们做圆周运动的角速度不断变大 C．体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大 D．体积较大星体
[解析]
第六讲 天体运动中的四大难点
高考物理总复习 专题 天体运动的三大难点破解3 剖析宇宙中的双星、三星模型同步练习
剖析宇宙中的双星、三星模型（答题时间：30分钟）1. 经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。
如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。
现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1：m2＝3：2。
则可知（）A. m1：m2做圆周运动的角速度之比为2：3B. m1：m2做圆周运动的线速度之比为3：2C. m1做圆周运动的半径为D. m2做圆周运动的半径为L2. 月球与地球质量之比约为1：80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动。
据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为（）A. 1：6400B. 1：80C. 80：1D. 6400：13. 在太空中，两颗靠得很近的星球可以组成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。
则下列说法不正确的是．．．．．（）A. 两颗星有相同的角速度B. 两颗星的旋转半径与质量成反比C. 两颗星的加速度与质量成反比D. 两颗星的线速度与质量成正比4. 某国际研究小组观测到了一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动，双星系统中质量较小的星体能“吸食”质量较大的星体的表面物质，达到质量转移的目的。
根据大爆炸宇宙学可知，双星间的距离在缓慢增大，假设星体的轨道近似为圆，则在该过程中（）A. 双星做圆周运动的角速度不断减小B. 双星做圆周运动的角速度不断增大C. 质量较大的星体做圆周运动的轨道半径渐小D. 质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大5. 如图为哈勃望远镜拍摄的银河系中被科学家称为“罗盘座T星”系统的照片，最新观测表明“罗盘座T星”距离太阳系只有3260光年，比天文学家此前认为的距离要近得多。
《双星、三星问题探究》教学设计
双星、三星问题探究史亚东教学分析:天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律,他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。
双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。
双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等,ωωω==21。
三维目标：知识与技能1、了解双星、三星模型.2、理解双星、三星模型的特点及其运动规律。
3、会用万有引力定律及相关公式解决简单问题。
过程与方法1、 通过双星、三星动画模型的演示，让学生对双星、三星模型有直观的认识。
2、 通过对双星三星问题的处理，加强学生运用万有引力定律处理天体运动问题的思路和方法。
情感态度与价值观通过双星、三星问题的学习活动，体会科学方法对人类认识自然的重要作用，体会万有引力定律对人类探索和认识未知世界的作用。
教学重点：1、 双星、三星模型的基本特点。
2、 双星、三星模型的分析与求解。
教学难点：双星、三星模型的分析与求解.教学方法:引导、讨论、归纳教学过程：复习导入：请同学们回顾处理天体问题的两天思路。
第一条：忽略天体自转的前提下，在天体表面附近的物体受到的重力近似等于万有引力. 第二条:环绕天体或者卫星绕中心天体公转的向心力来源于中心天体对环绕天体的万有引力.宇宙中有这样质量相当的两个恒星,地位相同，两颗恒星相互绕着两者连线上某固定点旋转的现象，叫双星。
推进新课：展示双星模型让学生观察，并思考以下问题： (1）两恒星的角速度、周期有什么关系？（2)两恒星圆周运动的向心力由谁提供？二者有什么关系？（3）两恒星间的距离和二者的轨道半径是否相同?尝试找出对应的轨道半径与两者间距离的关系？ 讨论回答：（1）两星具有相同的旋转周期T , 相同的角速度w ；（2）靠它们间的相互吸引力作为向心力，所以它们做圆周运动的向心力相等; (3)两星轨道半径之和等于两星间的距离；r 1＋r 2＝L 。
高中物理教研论文双星模型、三星模型、四星模型
双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。
双星、三星系统的等效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。
双星系统的引力作用遵循牛顿第三定律：F F ='，作用力的方向在双星间的连线上，角速度相等，ωωω==21。
【例题1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统在银河系中很普遍。
利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。
已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。
（引力常量为G ） 【解析】：设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为ω1、ω2。
根据题意有21ωω=①rr r =+21②根据万有引力定律和牛顿定律，有G 1211221rw m rm m = ③G 1221221rw m r m m =④联立以上各式解得2121m m r m r +=⑤根据解速度与周期的关系知Tπωω221==⑥联立③⑤⑥式解得322214rGT m m π=+【例题2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3双星系统，它由可见星A 和不可见的暗星B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A 、B 围绕两者连线上的O 点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图4-2所示.引力常量为G ，由观测能够得到可见星A 的速率v 和运行周期T.(1)可见星A 所受暗星B 的引力F a 可等效为位于O 点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A 和B 的质量分别为m 1、m 2，试求m′(用m 1、m 2表示).(2)求暗星B 的质量m 2与可见星A 的速率v 、运行周期T 和质量m 1之间的关系式；(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m s 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v=2.7×105 m/s ，运行周期T=4.7π×104 s ，质量m 1=6m s ，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？（G=6.67×10-11 N·m 2/kg 2，m s =2.0×1030 kg ）解析：设A 、B 的圆轨道半径分别为，由题意知，A 、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。
高中物理双星问题及三星问题
高中物理双星问题及三星问题例1、宇宙中两颗相距较近的天体称为双星，它们以连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，因而不至于因为相互引力的作用而吸引在一起（1）试证明它们的轨道半径之比，线速度之比都等于质量的反比。
（2）设两者相距为L，质量为m1、m2，试写出它们角速度的表达式。
分析：宇宙中任何天体间都存在相互作用的引力，质量巨大的天体间或天体间的距离较近时，引力作用效果显著，比如处理双星问题时，只考虑双星之间的相互引力作用，且它们之间的相互引力提供了彼此做圆周运动的向心力，距离它们较远的天体的引力影响可以忽略，使实际问题模型化而便于处理。
双星之间相互作用的引力满足太阳对行星的引力模式，即，双星之间的万有引力提供向心力，又因为两者以连线上的某点为圆心，半径之和为L 保持不变，所以运动中角速度不变。
如上图所示。
解：（1）分别对m1、m2应用牛顿第二定律列方程：①②所以：由线速度和角速度的关系得到：（2）由①得：由②得：且L=R1+R2，联立解得：例2、两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a 卫星离地面高度为R，B卫星离地面高度为3R，则（1）两卫星周期之比是多少？（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则a经过多少周期两卫星相距最远？解析：（1）由于人造卫星在运动时，地球对卫星的万有引力提供其运动的向心力，故有，∴对a卫星，其轨道半径应为，∴①对b卫星，其轨道半径应为4R，∴②用①式除以②式得（2）如图所示，由于a卫星比b卫星运动的快，它在最短时间内与b相距最远，即在一条直线上，分处地球两侧，a比b多运行的角度，设b运行的角度为，则有对a卫星：③对b卫星：④用③式除以④式可得，将值代入并结合第（1）问结果可得。
答案：（1）（2）例3、宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。
已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，设每个星体的质量均为m。
高考物理复习 微专题 3天体运动中的“三类热点”问题13
于a静止,c的周期为Tc＝24 h,它们的周期关系为：Tb<Ta＝Tc<Td,由以上分析可知正确 的选项为B．
球自转的加速度为a3,则a1、a2、a3的大小关系为
(D)
A．a2>a1>a3
B．a3>a2>a1
C．a3>a1>a2
D．a1>a2>a3
解析：由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相 等，根据 a＝ω2r，r2>r3，则 a2>a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，GMr2m＝ma， 由题目中数据可以得出，r1<r2，则 a2<a1；综合以上分析有，a1>a2>a3，选项 D 正确．
第四章 曲线运动 万有引力与航天
微专题3 天体运动中的“三类热点”问 题
01 核心考点·探究突破
类型一 双星模型或多星模型
1．模型特征 (1)多星系统的条件 ①各星彼此相距较近． ②各星绕同一圆心做匀速圆周运动．
(2)多星系统的结构
类型
由两星之间的万有引力提供，故两 运行所需向心力都由其余行星
质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为 T，经
过一段时间演化后，两星总质量变为原来的 k 倍，两星之间的距离变为原来的 n 倍，
则此时圆周运动的周期为
( B)
A．
n3 k2T
B．
n3 kT
C．
n2 kT
D． nkT
解析：双星间的万有引力提供向心力．
设原来双星间的距离为 L，质量分别为 M、m，圆周运动的圆心距质量为 m 的
颗中子星
( BC )
A．质量之积
B．质量之和
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重点：1. 根据万有引力定律求解双星、三星模型的周期，线速度等物理量；
2. 双星、三星两种模型的特点。
难点：双星、三星模型的向心力来源。
一、双星模型
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示，双星系统模型有以下特点：
（1）各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供
即
221L m Gm ＝m 1ω21r 1，2
2
1L m Gm ＝m 2ω2
2r 2； （2）两颗星的周期及角速度都相同 即T 1＝T 2，ω1＝ω2；
（3）两颗星的半径与它们之间的距离关系为
r 1＋r 2＝L ；
（4）两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比
即
1
2
21r r m m =； （5）双星的运动周期
T ＝2π)
(213
m m G L +；
（6）双星的总质量公式
m 1＋m 2＝G
T L 23
24π。
二、三星模型
第一种情况：三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R 的圆轨道上运行。
特点：1. 周期相同； 2. 三星质量相同； 3. 三星间距相等；
4. 两颗星做圆周运动的向心力相等。
原理：A 、C 对B 的引力充当向心力，即：，
可得：
Gm
R T 543
π
=，同理可得线速度：R GmR 25。
第二种情况：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行。
特点：1. 运行周期相同； 2. 半径相同； 3. 质量相同； 4. 所需向心力相等。
原理：B 、C 对A 的引力的合力充当向心力，即：
r T
m R Gm F 2222430cos 2π==︒
合，其中R r 33=，
可得：运行周期Gm
R
R T 32π=。
例题1 如图，质量分别为m 和M 的两颗星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L 。
已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。
引力常数为G 。
（1）求两星球做圆周运动的周期。
（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1。
但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T 2。
已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和7.35 ×1022kg 。
求T 2与T 1两者平方之比。
（结果保留3位有效数字）
思路分析：（1）A 和B 绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和B 的向心力相等。
且A 和B 和O 始终共线，说明A 和B 有相同的角速度和周期。
因此有
，，连立解得，。
对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得，
化简得：。
（2）将地月看成双星，由⑴得。
将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得。
化简得：。
所以两种周期的平方比值为 R M r m 22ωω=L R r =+L M m m R +=
L M m M
r +=L m M M
T m L GMm +=22)2(π)
(23
m M G L T +=π)
(23
1m M G L T +=πL T m L
GMm 2
2
)2(π=GM
L T 3
22π=01.110
98.51035.71098.5)(24
22
24212=⨯⨯+⨯=+=M M m T T
答案：（1） （2）1.01
例题2 宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。
已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。
设每个星体的质量均为m 。
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。
（2）假设两种形式下星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少? 思路分析：（1）对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律有：
F 1=22R Gm ，2
2
2)
2(R Gm F =，F 1+F 2=mv 2/R 运动星体的线速度:v =； 周期为T ，则有T=
， T=4π。
（2）设第二种形式星体之间的距离为r ，则三个星体做圆周运动的半径为R′=。
由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，由力的合
成和牛顿运动定律有：F 合=cos30°，
F 合=m R′，
所以r=R 。
答案：（1）
（2）
【知识脉络】 一、
满分训练：我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。
某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动。
由天文观察测得其运动周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，已知引力常量为G 。
由此可求出S 2的质量为（ ）
A.
B.
C.
D.
思路分析：双星的运动周期是一样的，选S 1为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引
力定律得
)
(23
m M G L T +=πR
GmR
25v
R
π2Gm
R 53
︒
30cos 2
/r 22
2r
Gm 22
π4T
3
1)5
12(R GmR 25Gm
R 5π43
R 31
)5
12
(2
12)(4GT r r r -2π2312π4GT r 232π4GT r 2
122π4GT r r
2
21r
m Gm 22
114T r m π=，则m 2=。
故选项D 正确。
答案：D
2122π4GT r r。