华师版数学九年级上册解码专训：解直角三角形及一般应用(1)
华东师大版九年级上册数学24.4 解直角三角形及其简单应用
∴sinC＝BBDC＝BD2＝
2 2，
tanC＝CBDD＝1，
∴BD＝CD＝1， 在Rt△ABD中，∠A＝30°，
∴AD＝tBanDA＝ 13＝ 3， 3
∴AC＝AD＋CD＝ 3＋1.
展示提升
1．在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cosA＝
(D)
A.
5 2
B.12
C.2 5 5
D.
5 5
解直角三角形及其简单应用
【学习目标】 1．理解直角三角形的概念，并能熟练地根据题目 中的已知条件解直角三角形； 2．通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三 角形，逐步培养学生分析问题解决问题的能力； 3．在教学中逐步培养学生分析问题、解决问题的 能力，渗透数形结合的数学思想和方法． 【学习重点】 根据条件解直角三角形． 【学习难点】
3．边角关系：(锐角三角函数_
b
cosA＝__c __
a
cosB＝__c__
a
tanA＝__b__
b
tanB＝__a__
自学互研
知识模块 解直角三角形 (一)自主探究
1．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，已知两直角 边长分别为a，b，如何求斜边c和锐角∠A，∠B? 2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，已知一直角 边a，锐角A，如何求b，c和∠B?
(二)合作探究 典例 如图，在相距2000米的东、西两座炮台A、B 处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它 的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的 正南方，试求敌舰与两炮台的距离．(精确到1米)
解：在Rt△ABC中， ∵∠CAB＝90°－∠DAC＝50°，
BACB＝tan∠CAB，
范例 如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离 地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，则 大树在折断之前高多少？
华师大版九年级数学上册24.4.1 解直角三角形及一般应用(课件)【新版】
知2－练
1 (杭州)在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，
∠A＝40°，BC＝3，则AC的长等于( )
A．3sin 40°
B．3sin 50°
C．3tan 40°
D．3tan 50°
2 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，
P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )
A．3.5 B．4.2
答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.
总结
知2－讲
本题运用数形结合思想和定义法解题.已知斜边和一锐角
解直角三角形的一般步骤是：
（1）根据∠A+∠B=90°求出另一锐角；
（2）根据
sin
A
a c
求出a的值；
（3）根据 cos A b 求出b的值或根据勾股定理求出b的值.
c
∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1.
在△ADB中，
1
∵∠ADB＝90°，sin B＝ ∴ AB AD 3,
3
，AD＝1，
sin B
∴ BD AB2 AD2 2 2
∴BC＝BD＋DC＝ 2 2 ＋1.
知3－讲
知3－练
1 (滨州)如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC
知识点 1 已知两边解直角三角形
知1－导
1.问：在三角形中共有几个元素？ 2.问：直角三角形ABC中，∠ C=90°，a、b、c、∠A、
∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？ 答：1.三个角，三条边，共六个元素。
2.(1)三边之间关系：a2 +b2 =c2 (勾股定理) (2)锐角之间关系∠A+∠B=90°． (3)边角之间关系
2019—2020年最新华东师大版九年级数学上册《解直角三角形》阶段强化专训及答案解析.docx
阶段强化专训一： 求锐角三角函数值的常用方法名师点金锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解．在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比．直接用锐角三角函数的定义(第1题)1．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若CD ＝5，AC ＝6，则tan B 的值是( )A.45B.35C.34 D.432．如图，在△ABC 中， AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值．(第2题)3．如图，直线y ＝12x ＋32与x 轴交于点A ，与直线y ＝2x 交于点B.(1)求点B 的坐标； (2)求sin ∠BAO 的值．(第3题)利用同角或互余两角三角函数间的关系4．若∠A 为锐角，且sin A ＝32，则cos A ＝( )A ．1 B.32 C.22 D.125．若α为锐角，且cos α＝1213，则sin(90°－α)＝( )A.513 B.1213 C.512 D.1256．若α为锐角，且sin 2α＋cos 230°＝1，则α＝______．巧设参数7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝45，则tan B 的值为( )A.43B.34C.35D.458．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且a ，b ，c 满足b 2＝(c ＋a)(c －a)．若5b －4c ＝0，求sin A ＋sinB 的值．利用等角来替换9．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD ，CB 相交于点H ，E 且AH ＝2CH ，求sin B 的值．(第9题)阶段强化专训二： 同角或互余两角的三角函数关系的应用名师点金：1.同角三角函数关系：sin 2 α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α；2．互余两角的三角函数关系：sin α＝cos(90°－α)，cos α＝sin(90°－α)，tan α·tan(90°－α)＝1.)同角间的三角函数的应用1．已知sin Acos A ＝4，求sin A －3cos A4sin A ＋cos A 的值．2．若α为锐角，sin α－cos α＝22，求sin α＋cos α的值．余角间的三角函数的应用3．若45°－α和45°＋α均为锐角，则下列关系式正确的是( ) A ．sin(45°－α)＝sin(45°＋α) B ．sin 2(45°－α)＋cos 2(45°＋α)＝1 C ．sin 2(45°－α)＋sin 2(45°＋α)＝1 D ．cos 2(45°－α)＋sin 2(45°＋α)＝14．计算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°的值．同角的三角函数间的关系在一元二次方程中的应用5．已知sin α·cos α＝1225(α为锐角)，求一个一元二次方程，使其两根分别为sin α和cos α.6．已知α为锐角且sin α是方程2x 2－7x ＋3＝0的一个根，求1－2sin αcos α的值．阶段强化专训三：解直角三角形的几种常见类型名师点金：解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形．已知两直角边解直角三角形1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝23，b＝6，解这个直角三角形．(第1题)已知一直角边和斜边解直角三角形2．如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC 的值和点B到直线MC的距离．(第2题)已知一直角边和一锐角解直角三角形3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.(1)求AC的长；(2)求BC的长．(第3题)4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，D为AC边上一点，∠BDC＝45°，求AD的长．(第4题)5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于点D，且AB＝43，求AD的长．(第6题)已知非直角三角形中的边和角解直角三角形类型1 化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)7．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，且tan ∠BCD＝1 3，求∠A的三角函数值．(第7题)类型2 化解四边形问题为解直角三角形问题8．(中考·北京)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC ＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝2 2.求CD的长和四边形ABCD的面积．(第8题)类型3 化解方程问题为解直角三角形问题9．已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.(1)判断△ABC的形状；(2)求sin A＋sin B的值．阶段强化专训四：利用三角函数解实际问题中的几种数学模型名师点金：利用锐角三角函数解决实际问题，关键是构造．．直角三角形，在构造时依据角(视角和方位角)或线进行构造，一般都是作垂线．．．构造一个甚至几个直角三角形．“背靠背”型(第1题)1．(2014·襄阳)如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A 的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，则大树的高度为________ m(结果保留根号)．2．(2014·资阳)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离．(第2题)“母抱子”型3．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：如图，先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD 的长等于21米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°.(1)求AB的长；(精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)(2)已知本路段对校车限速为40千米/时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？请说明理由．(第3题)“拥抱”型4．如图，小刚同学在广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A 是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45 °，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE＝21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD(结果保留根号)．(第4题)“斜截”型5．某片绿地的形状如图，其中∠A＝60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝200 m，CD＝100 m．求AD，BC的长(结果精确到1 m，3≈1.732)．(第5题)阶段强化专训五：作辅助线构造直角三角形的方法名师点金：锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助线，将其转化为直角三角形来解．无直角、无等角的三角形作高1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋3，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的长．(第1题)有直角、无三角形的图形延长某些边2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．(第2题)有三角函数值不能利用时作垂线3．如图，在△ABC 中，点D 为AB 的中点，DC ⊥AC ，sin ∠BCD ＝13，求tanA 的值．(第3题)求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8.若∠BPC ＝12∠BAC ，求tan ∠BPC 的值．(第4题)答案阶段强化专训一 1．C2．解：∵AD ⊥BC ，∴tan ∠BAD ＝BDAD .∵tan ∠BAD ＝34，AD ＝12，∴34＝BD12，∴BD ＝9.∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5，∴在Rt △ADC 中，AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13，∴sin C ＝AD AC ＝1213. 3．解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋32，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以B 点坐标为(1，2)；(第3题)(2)过点B 作BC ⊥x 轴于C ，如图，当y ＝0时，12x ＋32＝0，解得x ＝－3，则A(－3，0)，∴OA ＝3，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝25， ∴sin ∠BAC ＝BC AB＝225＝55，即sin ∠BAO ＝55.4．D 5.B 6.30° 7.B8．解：∵b 2＝(c ＋a)(c －a)，∴b 2＝c 2－a 2， 即c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 是直角三角形． ∵5b －4c ＝0，∴5b ＝4c ， 则bc ＝45， 设b ＝4k ，c ＝5k ，那么a ＝3k. ∴sin A ＋sin B ＝3k 5k ＋4k 5k ＝75.9．解：∵CD 是斜边AB 上的中线， ∴CD ＝AD ＝BD. ∴∠DCB ＝∠B.∵∠ACD ＋∠DCB ＝90°，∠ACD ＋∠CAH ＝90°， ∴∠DCB ＝∠CAH. ∴∠B ＝∠CAH.在Rt △ACH 中，AH ＝2CH ， ∴AC ＝5CH.∴sin B ＝sin ∠CAH ＝CH5CH ＝55.阶段强化专训二1．分析：本题可利用sin Acos A求解，在原式的分子、分母上同时除以cos A ，把原式化为关于sin Acos A 的代数式，再整体代入其值求解即可．也可直接由sin Acos A ＝4，得到sin A 与cos A 之间的数量关系，代入式子中求值．解：(方法1)原式＝（sin A －3cos A ）÷cos A（4sin A ＋cos A ）÷cos A ＝sin Acos A －34sin Acos A ＋1.∵sin Acos A ＝4，∴原式＝4－34×4＋1＝117. (方法2)∵sin Acos A ＝4，∴sin A ＝4cos A.∴原式＝4cos A －3cos A 4×4cos A ＋cos A ＝cos A 17cos A ＝117.2．分析：要求sin α＋cos α的值，必须利用锐角三角函数之间的关系找出它与已知条件的关系再求解．解：∵sin α－cos α＝22，∴(sin α－cos α)2＝12.即sin 2α＋cos 2α－2sinαcos α＝12.∴1－2sin αcos α＝12，即2sin αcos α＝12.∵(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sinαcos α＝1＋12＝32，又∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0. ∴sin α＋cos α＝62.3．C 点拨：∵(45°－α)＋(45°＋α)＝90°，∴sin (45°－α)＝cos (45°＋α)．sin 2(45°－α)＋sin 2(45°＋α)＝cos 2(45°＋α)＋sin 2(45°＋α)＝1.4．分析：因为tan 1°·tan 89°＝1，tan 2°·tan 88°＝1，…，tan 44°·tan 46°＝1，所以运用乘法的交换律后，本题易求．解：tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°＝(tan 1°·tan 89°)·(tan 2°·tan 88°)·…·(tan 44°·tan 46°)·tan 45°＝1.点拨：互余的两角的正切值的积为1，即若α＋β＝90°，则tan α·tan β＝1.5．解：∵sin 2α＋cos 2α＝1，sinα·cos α＝1225，∴(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sinαcos α＝1＋2×1225＝4925.∵α为锐角，∴sin α＋cos α＞0.∴sin α＋cos α＝75.又∵sin α·cos α＝1225， ∴以sin α，cos α为根的一元二次方程为x 2－75x＋1225＝0. 点拨：此题运用到两个方面的知识：(1)公式sin 2α＋cos 2α＝1与完全平方公式的综合运用；(2)若x 1＋x 2＝p ，x 1x 2＝q ，则以x 1，x 2为两根的一元二次方程为x 2－px ＋q ＝0.6．解：∵sin α是方程2x 2－7x ＋3＝0的一个根， ∴由求根公式，得 sin α＝－（－7）±（－7）2－4×2×32×2＝7±54.∴sin α＝12或sin α＝3(不符合题意，舍去)．∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝34.又∵cos α＞0，∴cos α＝32.∴1－2sin αcos α＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝（sin α－cos α）2＝|sin α－cos α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－32＝3－12.阶段强化专训三 1．解：∵a ＝23，b ＝6， ∴c ＝a 2＋b 2＝12＋36＝48＝43.∵tan A ＝a b ＝236＝33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°.2．解：∵AB ＝13，AC ＝12，∠ACB ＝90°， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝169－144＝25＝5.∴sin ∠BAC ＝BC AB＝513.设点B 到直线MC 的距离为d ，∵∠BCM ＝∠BAC ，∴sin ∠BAC ＝sin ∠BCM.∵sin ∠BCM ＝dBC ＝513， 即d5＝513，∴d ＝2513. 即点B 到直线MC 的距离为2513.3．解：(1)由题意知sin C ＝ABAC ，即12＝3AC，则AC ＝6. (2)由题意知tan C ＝ABBC ，即33＝3BC ，则BC ＝3 3.4．解：∵∠BDC ＝45°，BC ＝3， ∴CD ＝3.∵∠A ＝30°，BC ＝3，∴tan A ＝BC AC ＝3AC ＝33，即AC ＝33.∴AD ＝AC －CD ＝33－3.5．解：∵∠B ＝45°，∠C ＝90°，c ＝10， ∴∠A ＝45°.a ＝b ＝52.6．解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝43，∴∠CAB ＝60°，AC ＝AB ·sin 30°＝43×12＝2 3.又∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠CAD ＝30°. ∵cos ∠CAD ＝AC AD ＝32＝23AD ，∴AD ＝4.(第7题)7．解：过点D 作CD 的垂线交BC 于点E ，如图． 在Rt △CDE 中，∵tan ∠BCD ＝13＝DECD ，∴可设DE ＝x ，则CD ＝3x. ∵CD ⊥AC ，∴DE ∥AC.又∵点D 为AB 的中点，∴点E 为BC 的中点．∴DE ＝12AC.∴AC ＝2DE ＝2x.在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，AC ＝2x ，CD ＝3x ， ∴AD ＝AC 2＋CD 2＝4x 2＋9x 2＝13x.∴sin A ＝CD AD ＝3x 13x ＝31313，cos A ＝AC AD ＝2x 13x ＝21313，tan A ＝CD AC ＝3x 2x ＝32.方法技巧：本题中出现tan ∠BCD ＝13，由于∠BCD 所在的三角形并非直角三角形，因此应用正切函数的定义，构造出一个与之相关的直角三角形进行求解．(第8题)8．解：如图，过点D 作DH ⊥AC 于H. ∵∠CED ＝45°， DH ⊥EC ，DE ＝2，∴EH ＝DE ·cos 45°＝2×22＝1，∴DH ＝1.又∵∠DCE ＝30°，∴HC ＝DHtan 30°＝3，CD ＝DHsin 30°＝2.∵∠AEB ＝45°，∠BAC ＝90°，BE ＝22，∴AB ＝AE ＝2， ∴AC ＝2＋1＋3＝3＋3，∴S 四边形ABCD ＝12×2×(3＋3)＋12×1×(3＋3)＝33＋92. 方法技巧：题目中所给的有直角和30°，45°角，因此我们可以通过构造另一个直角三角形，然后运用特殊角的三角函数值求出某些边的长，进而求出四边形的面积．9．解：(1)将方程整理，得(c －a)x 2＋2bx ＋(a ＋c)＝0，则 Δ＝(2b)2－4(c －a)(a ＋c)＝4(b 2＋a 2－c 2)． ∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即b 2＋a 2＝c 2. ∴△ABC 为直角三角形．(2)由3c ＝a ＋3b ，得a ＝3c －3b.① 将①代入a 2＋b 2＝c 2，得(3c －3b)2＋b 2＝c 2. ∴4c 2－9bc ＋5b 2＝0，即(4c －5b)(c －b)＝0. 由①可知，b ≠c ，∴4c ＝5b.∴b ＝45c.②将②代入①，得a ＝35c.∴在Rt △ABC 中，sin A ＋sin B ＝a c ＋b c ＝35＋45＝75.点拨：解决本题的突破口是由一元二次方程根与判别式的关系得到一个关于a ，b ，c 的等式．从解题过程可以看出，求三角函数时，只分析出直角三角形中三边的比例关系即可求出其值．阶段强化专训四 1．(5＋53)(第2题)2．解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长度即是点A 到岸边BC 的最短距离．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝45°，设AD ＝x 公里， 则CD ＝AD ＝x 公里．在Rt △ABD 中，∠ABD ＝60°，由tan ∠ABD ＝AD BD ，即tan60°＝xBD ，得BD＝xtan 60°＝33x 公里．又BC ＝4公里，所以33x ＋x ＝4，解得x ＝6－23.即这个标志性建筑物的底部A 到岸边BC 的最短距离为(6－23)公里． 3．解：(1)由题意得，在Rt △ADC 中，AD ＝CD tan 30°＝2133＝213≈36.33(米)．在Rt △BDC 中，BD ＝CDtan 60°＝213＝73≈12.11(米)，所以AB ＝AD －BD ≈36.33－12.11＝24.22≈24.2(米)．(2)校车从A 到B 用时2秒，所以速度约为24.2÷2＝12.1(米/秒)，因为12.1米/秒43.56千米/时，大于40千米/时，所以这辆校车在AB 路段超速．4．解：∵∠CBE ＝45°，CE ⊥AE ，∴CE ＝BE. ∴CE ＝21米，∴AE ＝AB ＋BE ＝6＋21＝27(米)． 在Rt △ADE 中，∵∠DAE ＝30°，∴DE ＝AE ×tan 30°＝27×33＝93(米)，∴CD ＝CE －DE ＝(21－93)米．即该屏幕上端与下端之间的距离CD 为(21－93)米．(第5题)5．解：延长AD ，BC 交于点E.在Rt△ABE中，由AB＝200 m，∠A＝60°，得BE＝AB·tan A＝2003(m)．AE＝ABcos 60°＝400 (m)．在Rt△CDE中，∵CD＝100 m，∠DEC＝90°－∠A＝30°，∴CE＝2CD＝200(m)，DE＝CDtan∠CED＝1003(m)，∴AD＝AE－DE＝400－1003≈227(m)，BC＝BE－CE＝2003－200≈146(m)．阶段强化专训五1．解：过点A作AD⊥BC，垂足为点D.设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝BD·tan B＝x·tan 60°＝3x. 在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴∠CAD＝90°－∠C＝45°，∴∠C＝∠CAD，∴CD＝AD＝3x.∵BC＝1＋3，∴3x＋x＝1＋3，解得x＝1，即BD＝1.在Rt△ABD中，∵cos B＝BD AB，∴AB＝BDcos B＝1cos 60°＝2.2．解：延长BC ，AD ，相交于点E. ∵∠A ＝60°，∠B ＝90°，∴∠E ＝30°.在Rt △ABE 中，BE ＝ABtan E ＝2tan 30°＝23，在Rt △CDE 中，EC ＝2CD ＝2，∴DE ＝EC ·cos 30°＝2×32＝ 3.∴S 四边形ABCD ＝S Rt △ABE －S Rt △ECD ＝12AB ·BE －12CD ·ED ＝12×2×23－12×1×3＝332.点拨：本题看似是四边形问题，但注意到∠B ＝90°，∠A ＝60°，不难想到延长BC ，AD ，构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三角形问题来解决．3．解：过点B 作BE ⊥CD ，交CD 的延长线于点E. ∵点D 是AB 的中点，∴AD ＝DB.又∵∠ACD ＝∠BED ＝90°，∠ADC ＝∠BDE ， ∴△ACD ≌△BED ，∴CD ＝DE ，AC ＝BE.在Rt △CBE 中，sin ∠BCE ＝BEBC ＝13，∴BC ＝3BE.∴CE ＝BC 2－BE 2＝22BE ，∴CD ＝12CE ＝2BE ＝2AC.∴tan A ＝CD AC ＝2ACAC＝2.方法点拨：构造直角三角形，把所要求的量与已知量建立关系是解题的关键． 4．解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，(第4题)∵AB ＝AC ＝5， ∴BE ＝12BC ＝12×8＝4，∠BAE ＝12∠BAC. ∵∠BPC ＝12∠BAC ，∴∠BPC ＝∠BAE.在Rt △BAE 中，由勾股定理得 AE ＝AB 2－BE 2＝52－42＝3，∴tan ∠BPC ＝tan ∠BAE ＝BE AE ＝43.。
华师版数学九年级上册解码专训：23.2.1课后作业
华师版数学九年级上册解码专训
23.2.1 解直角三角形及方位角的应用
课后作业：方案（A）
一、教材题目：P125练习T2，T3，P128练习T2
1．在Rt△ABC中，根据下列条件，解直角三角形（∠C=90°）；
（1）∠A=30°，c=8；（2）a=35，c=352；
（3）a=14，∠A=36°；（4）a=30，b=15.
2．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=8，AD=6，∠D=43°.求四边形的面积（精确到0.01）.
3．一船向东航行，上午9：00到达灯塔C的西南60n mile的A处，上午10:00 到达灯塔C的正南的B处.
(1)画出示意图；
（2）求这船的航行速度（结果保留根号）.
二、补充题目：部分题目来源于《典中点》
7．(2015·牡丹江)在△ABC中，AB＝122，AC＝13，cos B＝
2
2
，则BC的长
为 ( )
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝36，解这个直角三角形．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知b＝10，∠B＝60°，解这个直角三角形．13.(中考·常德)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中
线，∠C＝45°，sin B＝1
3
，AD＝1.
(1)求BC的长；
(2)求tan ∠DAE的值．
14.(2015·连云港)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为AC延长线。
华师版数学九年级上册解码专训：用解直角三角形解坡角的问题
华师版数学九年级上册解码专训用解直角三角形解坡角问题【知识与技能】1.使学生掌握测量中坡角、坡度的概念；2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解与坡度有关的实际问题.【过程与方法】经历利用解直角三角形的知识解与坡度有关的实际问题的过程，进一步培养分析问题、解决问题的能力.【情感态度】渗透数形结合的思想方法，进一步培养学生应用数学的意识.【教学重点】解决有关坡度的实际问题.【教学难点】解决有关坡度的实际问题.一、情境导入，初步认识读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比），记作i，即i=hl.坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i=hl=tanα.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.二、思考探究，获取新知例1如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底宽为12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽.（精确到0.1米）例2学校校园内有一小山坡AB,经测量，坡角∠ABC=30°,斜坡AB长为12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3（即CD与BC的长度之比）.A、D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.解：在Rt△ABC中，∠ABC=30°,则易求AC=6米，BC=63米.在Rt△BDC中，i=13 DCBC=.易得DC=1233BC=米.∴AD=AC-DC=（6-23）米.三、运用新知，深化理解1.已知一坡面的坡度i=1∶3,则坡角α为（）A.15°B.20°C.30°D.45°2.彬彬沿坡度为1∶3的坡面向上走50米，则他离地面的高度为（）A.253米B.50米C.25米D.503米3.某水库大坝某段的横断面是等腰梯形，坝顶宽6米，坝底宽126米，斜坡的坡比是1∶3，则此处大坝的坡角和高分别是______米.。
华师版九年级数学上册(HS)教案 第1课时 解直角三角形及其简单应用
24.4 解直角三角形第1课时解直角三角形及其简单应用1．理解解直角三角形的意义和条件，能根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素；(重点)2．能够把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并运用解直角三角形求解，通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解题过程中的作用．(难点)一、情境导入世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点 C.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A 的度数．在上述的Rt△ABC中，你还能求其他未知的边和角吗？二、合作探究探究点一：解直角三角形【类型一】 利用解直角三角形求边或角已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形．(1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长；(2)若a ＝62，b ＝66，求∠A、∠B 的度数和边c 的长．解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形．解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B＝60°，∵cosB ＝a c ，即c ＝a cosB ＝3632＝243，∴b ＝sinB ·c ＝12×243＝123；(2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tanA ＝a b ＝33，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝12 2.方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解．【类型二】 构造直角三角形解决长度问题一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝122，试求CD 的长．解析：过点B 作BM⊥FD 于点M ，求出BM 与CM 的长度，然后在△EFD 中可求出∠EDF＝60°，利用解直角三角形解答即可．解：过点B 作BM⊥FD 于点M ，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AC ＝122，∴BC ＝AC ＝12 2.∵AB ∥CF ，∴BM ＝sin45°BC ＝122×22＝12，CM ＝BM ＝12.在△EFD 中，∠F ＝90°，∠E ＝30°，∴∠EDF ＝60°，∴MD ＝BM tan60°＝43，∴CD ＝CM －MD ＝12－4 3. 方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数的关系进行解答．【类型三】 运用解直角三角形解决面积问题如图，在△ABC 中，已知∠C＝90°，sinA ＝37，D 为边AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6.求△ABC 的面积．解析：首先利用正弦的定义设BC ＝3k ，AB ＝7k ，利用BC ＝CD ＝3k ＝6，求得k 值，从而求得AB 的长，然后利用勾股定理求得AC 的长，再进一步求解．解：∵∠C＝90°，∴在Rt △ABC 中，sinA ＝BC AB ＝37，设BC ＝3k ，则AB ＝7k(k ＞0)，在Rt △BCD 中，∵∠BCD ＝90°，∴∠BDC ＝45°，∴∠CBD ＝∠BDC＝45°，∴BC ＝CD ＝3k ＝6，∴k ＝2，∴AB ＝14.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2－BC 2＝142－62＝410，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×410×6＝1210.所以△ABC 的面积是1210.方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列方程解答．探究点二：解直角三角形的简单应用【类型一】 求河的宽度根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A 、B 两点，小张为了测量A 、B 之间的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线型道路l 上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA ＝68.2°，CD ＝82米．求AB 的长(精确到0.1米)．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5.解析：设AD ＝.在Rt △ABC 中，根据三角函数得到AB ＝2.5(x ＋82)m ，在Rt △ABD 中，根据三角函数得到AB ＝4x ，依此得到关于x 的方程，进一步即可求解．解：设AD ＝.在Rt △ABC 中，tan ∠BCA ＝AB AC，∴AB ＝AC·tan ∠BCA ＝2.5(x ＋82)．在Rt △ABD 中，tan ∠BDA ＝AB AD，∴AB ＝AD·tan ∠BDA ＝4x ，∴2.5(x ＋82)＝4x ，解得x ＝4103.∴AB ＝4x ＝4×4103≈546.7m. 答：AB 的长约为546.7m.方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．【类型二】 求不可到达的两点的高度如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为30cm ，灯罩BC长为20cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD ＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少(结果精确到0.1cm ，参考数据：3≈1.732)?解析：首先过点B 作BF⊥CD 于点F ，作BG⊥AD 于点G ，进而求出FC 的长，再求出BG 的长，即可得出答案．解：过点B作BF⊥CD于点F，作BG⊥AD于点G，∴四边形BFDG 是矩形，∴BG＝FD.在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×12＝10cm.在Rt△ABG中，∵∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝30×32＝153cm，∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋153＋2＝12＋153≈38.0(cm)．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm.方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题．三、板书设计1．解直角三角形的基本类型及其解法；2．解直角三角形的简单应用.本节课为了充分发挥学生的主观能动性，可引导学生通过小组讨论，大胆地发表意见，提高学生学习数学的兴趣．能够使学生自己构造实际问题中的直角三角形模型，并通过解直角三角形解决实际问题.。
华师大版-数学-九年级上册- 解直角三角形(1) 导学案2
24.4 解直角三角形一、课题：解直角三角形的应用——方位角问题二、学习目标：1.会根据直角三角形中已知元素，正确应用勾股定理、锐角三角函数求其他未知元素。
2.从利用勾股定理、锐角三角函数解决实际问题的过程中，归纳出解直角三角形的意义及方位角类型的应用题的解法。
三、重点、难点1.重点：利用勾股定理、锐角三角函数解决实际问题。
2.难点：方位角。
四、知识准备1.特殊锐角三角函数值。
2. 方位角。
五、预习案1．预习指导（测试）：（1）小明家在学校的北偏东20°方向，那么学校在小明家的______方向。
（2）西北方向即北偏西_______度，东南方向即东偏南_____度，西南方向即南偏西______度，东北方向即东偏北_______度。
（3）小明从A点出发向东走100m，再沿北偏西30°方向走100m，那么小明在A点_________方向，距A点_________m。
例1：某省将地处A、B的大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地间修一条笔直的公路，经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C处，有一个半径为0.7km的公园，问该公路是否穿过公园？为什么？例2：一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°方向，货轮以20海里/小时的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°方向，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔M的距离是多少？例3：一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以30海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，求灯塔M与渔船B 的距离是多少？2．我的疑惑：六、探究案：探究过程：讲解例题，解答疑惑。
七、小结通过这一节的学习，大家掌握了方位角类型的应用题的相应解法，在今后的做题中，希望大家能够做到举一反三。
华东师大版数学九年级上册《解直角三角形》复习课件
B 3C
5
4
A
FE
D
13
六.作辅助线分割图形
1.作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形. 2.作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形. 3.连线割补，可以把不规则四边形转化为含直角三角形的图形.
14
本单元知识结构
7
练习:
1.在Rt△ABC中,∠C=90°，解此直角三角形。
①.∠A=60°,c=8，则a=__4__3__ ,b=__4__.
②.a=2，cosA= 2 ,c=__3_. ③.sinA= 1 ,则tanB=___3__ .
3
2
2. 在□ABCD中AB=6 ,BC=8,∠B=60°求平行四边形的
的面积
⑵ 锐角之间的关系：A B 900
⑶ 边角之间的关系：
A
c a
┏
b
C
sin A a , cos A b , tan A a , cot A b ;
c
c
b
a
b
a
b
a
sin B , cosB , tan B , cot B .
c
c
a
b
3
二.锐角三角函数的性质：
(1) 0＜sinA＜1 0＜cosA＜1 tanA＞0 cotA＞0
在Rt△BDC中,∠CBD=45°
∴BD=CD=x 在Rt△ACD中,因∠CAD=29°
30米
D
450
∴CD/AD=tan∠CAD=tan29 °=3/5,
而AD=AB+BD=30+x,
x 3 30 x 5
华师版九年级数学上册《解直角三角形》全章热门考点整合应用
＝ 33× 23＋ 232－ 222×1＝12＋34－12＝34. (2)14tan245°＋sin1230°－3cos230°＋tcaons6405°°－csions4500°°.
＝14×12＋1212－3×
232＋11－1 2
＝14＋4－3×34＋2－1＝3.
全章热门考点整合应用
4．如图，已知∠ACB＝∠ADB＝90°，N，
全章热门考点整合应用
(2)当a＝3时，连结DF，试判断四边形APFD的形状，
并说明理由； 解：四边形 APFD 是菱形．理由如下：当 a＝3 时，y＝ －32＋4 5×3＝32，即 CE＝32.∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BF.∴△AED∽△FEC.∴ACDF＝DCEE.∴CF＝3. 易得 PC＝2，∴PF＝PC＋CF＝5.∴PF＝AD.∴四边形 APFD 是平行四边形．在 Rt△APB 中，AB＝4，BP＝3， ∠B＝90°，∴AP＝5＝PF.∴四边形 APFD 是菱形．
一、启发类
1. 集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗? 2. 自学结束，请带着疑问与同伴交流。 3. 学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息? 4. 请把你的想法与同伴交流一下，好吗? 5. 你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多? 二、赏识类
全章热门考点整合应用
解：分割法：如图①，过点 B 作 BE∥AD 交 DC 于点 E，过点 E 作 EF∥AB 交 AD 于点 F，则 BE⊥AB，EF⊥AD.∴四边形 ABEF 是矩形．∴EF＝AB，AF＝BE.∵ ∠ABC＝120°，∴∠CBE＝120°－90°＝30°，∠D＝180°－120°＝ 60°.在 Rt△BCE 中，BE＝cos B∠CCBE＝c5o0s 303°＝50 3 3＝100，EC＝BC·
华师版数学九年级上册解码专训：阶段强化专训 (1)
华师版数学九年级上册解码专训
阶段强化专训一：平行线分线段成比例常见应用技巧
证比例式
技巧1.中间比代换法证比例式
1．如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB ＝3∶5，求CF ∶CB 的值．
(第1题)
技巧2.等积代换法证比例式
2．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，E 是△ABC 内一点，DE ∥BC ，
过D 作AC 的平行线交CE 的延长线于F ，CF 与AB 交于P ，连接BF ，求证：PE PF
＝PA PB .
(第2题)
技巧3.等比代换法证比例中项
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.求证：AD是AB和AF的比例中项．
(第3题)
证线段相等
技巧4.等比例法证线段相等(等比过渡法)
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F.
求证：DE＝EF.
(第4题)。
华师版九年级上册数学第24章 解直角三角形 解码专训
解码专训一：巧用构造法求几种特殊角的三角函数值名师点金：对于30°、45°、60°角的三角函数值，我们都可通过定义利用特殊直角三角形三边的关系进行计算；而在实际应用中，我们常常碰到像15°、22.5°、67.5°等一些特殊角的三角函数值的计算，同样我们也可以构造相关图形，利用数形结合思想进行巧算．巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值1．求sin 15°，cos 15°，tan 15°的值．巧构造22.5°与45°角的关系的图形计算22.5°角的三角函数值2．求tan 22.5°的值．巧用折叠法求67.5°角的三角函数值3．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，求出67.5°角的正切值．(第3题)巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°、72°角的三角函数值4．求sin 18°，cos 72°的值．巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值5．求sin 75°，cos 75°，tan 75°的值．解码专训二：巧用三角函数解学科内综合问题名师点金：锐角三角函数体现着一种新的数量关系——边角关系，锐角三角函数解直角三角形，既是相似三角形及函数的延续，又是继续学习三角形的基础，利用三角函数可解决与学科内的一次函数、反比例函数、相似三角形，一元二次方程等综合问题，也会应用到后面学习的圆的内容中，它的应用很广泛．)利用三角函数解与函数的综合问题1．如图，直线y＝kx－1与x轴、y轴分别交于B，C两点，tan∠OCB＝12.(1)求点B的坐标和k的值；(2)若点A(x，y)是第一象限内的直线y＝kx－1上的一个动点，在点A的运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式．(第1题)2．如图，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过线段OA 的端点A ，O 为原点，过点A 作AB⊥x 轴于点B ，点B 的坐标为(2，0)，tan ∠AOB＝32.(1)求k 的值；(2)将线段AB 沿x 轴正方向平移到线段DC 的位置，反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象恰好经过DC 的中点E ，求直线AE 对应的函数关系式；(3)若直线AE 与E 的数量关系，写出你的结论，并说明理由．(第2题)利用三角函数解与方程的综合问题3．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，斜边c ＝5，两直角边的长a ，b 是关于x的一元二次方程－2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．利用三角函数解与相似的综合4．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是边AD上一点，连接FE并延长交BC的延长线于点G，连接BF，BE，且BE⊥FG.(1)求证：BF＝BG；(2)若tan ∠BFG＝3，S△CGE＝63，求AD的长．(第4题)解码专训三：应用三角函数解实际问题的四种常见问题名师点金：在运用解直角三角形的知识解决实际问题时，要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解．其中仰角、俯角的应用问题，方向角的应用问题，坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键．定位问题1．(贺州)如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．(1)求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离；(结果精确到0.1海里)(2)求海轮在B处时与灯塔C的距离(结果保留整数)．(参考数据：sin 55°≈0.819，cos 55°≈0.574，tan 55°≈1.428，tan 42°≈0.900，tan 35°≈0.700，tan 48°≈1.111)(第1题)坡坝问题2．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度 .(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(第2题)测距问题3．一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30千米，B，C间的距离是60千米，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离．(结果保留根号)测高问题4．(盐城)如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米．现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．(3取1.73)(1)求楼房的高度约为多少米？(2)过了一会儿，当α＝45°时，问小猫能否还可以晒到太阳？请说明理由．(第4题)解码专训四：利用三角函数解判断说理问题名师点金：利用三角函数解答实际中的“判断说理”问题：其关键是将实际问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型，运用解直角三角形的知识来解决实际问题．航行路线问题1．如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．(第1题)工程规划问题2．A，B两市相距150千米，分别从A，B处测得国家级风景区中心C 处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心、45千米为半径的圆，tan α＝1.627，tan β＝1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接A，B两市的高速公路．问连接A，B两市的高速公路会穿过风景区吗？请说明理由．(第2题)航行拦截问题3．(荆门)如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1 000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离(结果不取近似值)．(第3题)台风影响问题4．如图所示，在某海滨城市O附近海面有一股强台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200 km的海面P处，并以20 km/h的速度向北偏西65°的PQ方向移动，台风侵袭的范围是一个圆形区域，当前半径为60 km，且圆的半径以10 km/h的速度不断扩大．(1)当台风中心移动 4 h时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到________km；当台风中心移动t(h)时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到____________km；(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否会侵袭这座海滨城市？请说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)(第4题)解码专训五：解直角三角形中常见的热门考点名师点金：本章主要学习直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，锐角三角函数值，解直角三角形，以及解直角三角形的实际应用，重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考的必考内容．直角三角形的性质1．(宁波)如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝1，CE ＝3，点H 是AF 的中点，那么CH 的长是( )A ．2.5 B. 5 C.322 D ．2(第1题)(第2题)2．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝60°，D 是AC 上一点，DE⊥AB于点E，且CD＝2，DE＝1，则BC的长为________．锐角三角函数的定义3．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是________．(第3题)(第4题)4．如图，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的F点处，若AB＝3，BC＝5，则tan∠EFC的值为________．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝15，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，求sin∠CAD的值．(第5题)特殊角的三角函数值及其计算6．在等腰直角三角形ABC 中，∠C＝90°，那么sin A 等于( ) A.12 B.22 C.32D ．1 7．若等腰三角形底边与底边上的高的比是23，则顶角为( ) A ．60° B．90° C．120° D．150° 8．计算：(cos 60°)－1÷(－1)2 016＋|2－8|－22＋1×(tan 30°－1)0.解直角三角形(第9题)9．如图是教学用的直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C＝90°，tan ∠BAC＝33，则边BC的长为( )A．30 3 cm B．20 3 cmC．10 3 cm D．5 3 cm(第10题)10．(大庆)如图，矩形ABCD中，AD＝2，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F＝20°，则AB＝________．11．(临沂)如图，在▱ABCD中，BC＝10，sin B＝910，AC＝BC，则▱ABCD 的面积是________．(第11题)解直角三角形的实际应用12．(南京)如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO＝45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km/h和36 km/h，经过0.1 h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO＝58°，此时B处距离码头O多远？(参考数据：sin58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)(第12题)三角函数与学科内的综合13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，P 是射线BC 上的一个动点，过点P 作PE⊥AP，交射线DC 于点E ，射线AE 交射线BC 于点F ，设BP ＝a.(1)当点P 在线段BC 上时(点P 与点B ，C 都不重合)，试用含a 的代数式表示CE 的长；(2)当a ＝3时，连接DF ，试判断四边形APFD 的形状，并说明理由； (3)当tan∠PAE＝12时，求a 的值．(第13题)解直角三角形中思想方法的应用a ．转化思想14．如图所示，已知四边形ABCD ，∠ABC＝120°，AD⊥AB，CD⊥BC，AB ＝303，BC ＝503，求四边形ABCD 的面积．(要求：用分割法和补形法两种方法求解)(第14题)b ．方程思想15．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，sin B ＝35，点D 是BC 上一点，DE⊥AB 于点E ，CD ＝DE ，AC ＋CD ＝9，求BE ，CE 的长．(第15题)16．(中考·泰州)如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27 m 高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′.已知山高BE为56 m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin 36°52′≈0.60，tan 36°52′≈0.75)(第16题)答案解码专训一1．解：如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，∠C＝90°，延长CA 到D ，使AD ＝AB ，则∠D＝15°，设BC ＝a ，则AB ＝2a ，AC ＝3a ，∴AD ＝2a ，CD ＝(2＋3)a.在Rt△BCD 中，BD ＝BC 2＋CD 2＝a 2＋（7＋43）a 2＝(6＋2)a. ∴sin 15°＝sin D ＝BC BD ＝a （6＋2）a ＝6－24；cos 15°＝cos D ＝CD BD ＝（2＋3）a （6＋2）a ＝6＋24；tan 15°＝tan D ＝BC CD ＝a（2＋3）a＝2－ 3.(第1题)(第2题)2．解：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝BC ，延长CA 到D ，使DA ＝AB ，则∠D＝22.5°，设AC ＝BC ＝a ，则AB ＝2a ，∴AD＝2a ，DC ＝(2＋1)a ，∴tan 22.5°＝tan D ＝BC CD ＝a（2＋1）a＝2－1.3．解：∵将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，∴AB＝BE ，∠AEB＝∠EAB＝45°，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，∴AE＝EF ，∠EAF＝∠EFA＝45°÷2＝22.5°， ∴∠FAB＝67.5°.设AB ＝x ，则AE ＝EF ＝2x ，∴tan ∠FAB＝tan 67.5°＝FB AB ＝2x ＋xx＝2＋1.(第4题)4．解：如图，作△ABC，使∠BAC＝36°，AB ＝AC ，使∠ABC 的平分线BD 交AC 于D 点，过A 作AE⊥BC 于E 点，设BC ＝a ，则BD ＝AD ＝a ，由△ABC∽△BCD 可得：AB BC ＝BC CD ，∴AB a ＝aAB －a，即AB 2－a·AB－a 2＝0，∴AB＝5＋12a(负根舍去)，∴sin 18°＝sin ∠BAE＝BE AB ＝5－14.∴cos 72°＝cos∠ABE＝BE AB ＝5－14.(第5题)5．解：方法1：利用第1题的图形求解．方法2：如图，作△ABD，△ACD，使得DC ＝DA ，∠DAB＝30°，过点A 作AD⊥BC 于D ，过B 作BE⊥AC 于E ，则∠BAE＝75°，设AD ＝DC ＝a ，则AC ＝2a ，BD ＝33a ，AB ＝233a ，∴BC＝BD ＋CD ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫33＋1a.则CE ＝BE＝BC·sin 45°＝6＋326a ，∴AE＝AC －CE ＝32－66a ，∴sin 75°＝sin ∠BAE＝BE AB ＝32＋66a 233a ＝6＋24，cos 75°＝cos ∠BAE＝AE AB ＝6－24，tan 75°＝tan ∠BAE＝BEAE ＝2＋ 3.解码专训二1．解：(1)把x ＝0代入y ＝kx －1，得y ＝－1，∴点C 的坐标是(0，－1)，∴OC＝1.在Rt△OBC 中，∵tan∠OCB＝OB OC ＝12，∴OB＝12.∴点B 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.把B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的坐标代入y ＝kx －1，得12k －1＝0.解得k ＝2.(2)由(1)知直线AB 对应的函数关系式为y ＝2x －1，所以△AOB 的面积S 与x 的函数关系式是S ＝12OB·y＝12×12(2x －1)＝12x －14.2．解：(1)∵点B 的坐标为(2，0)，tan ∠AOB＝32，∴A 点的坐标为(2，3)，∴k＝6.(2)易知点E 的纵坐标为32，代入y ＝6x中，得点E 的横坐标为4，即点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，32，∵直线AE 过点A(2，3)，E ⎝⎛4，32，∴易得直线AE 对应的函数关系式为y ＝－34x ＋92.(3)结论：AN ＝ME.理由：在y ＝－34x ＋92中，令y ＝0可得x ＝6，令x＝0可得y ＝92.∴点M(6，0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，92.方法一：延长DA 交y 轴于点F ，则AF⊥ON，且AF ＝2，OF ＝3， ∴NF ＝ON －OF ＝32.根据勾股定理可得AN ＝52.∵CM＝6－4＝2，EC ＝32，∴根据勾股定理可得EM ＝52，∴AN＝ME.方法二：连接OE ，延长DA 交y 轴于点F ，则AF⊥ON，且AF ＝2， ∵S △EOM ＝12OM·EC＝12×6×32＝92，S △AON ＝12ON·AF＝12×92×2＝92，∴S △EOM＝S △AON .∵AN 和ME 边上的高相等，∴AN＝ME.3．解：∵a，b 是方程－2＝0的根，∴a＋b ＝m ，ab ＝2m －2. 在Rt△ABC 中，由勾股定理，得a 2＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2＝52. ∴a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝25，即m 2－2(2m －2)＝25.解得m 1＝7，m 2＝－3.∵a，b 是Rt△ABC 的两条直角边的长，∴a＋b ＝m ＞0.即m ＝－3不合题意，舍去．∴m＝7. 当m ＝7时，原方程为x 2－7x ＋12＝0.解得x 1＝3，x 2＝4. 不妨设a ＝3，b ＝4，则∠A 是最小的锐角，∴sin A＝a c ＝35.即Rt△ABC 中较小锐角的正弦值为35.4．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D＝∠DCG＝90°，∵点E 是CD 的中点，∴DE＝CE.∵∠DEF＝∠CEG，∴△EDF≌△ECG，∴EF＝EG.∵BE⊥FG，∴BE 是FG 的中垂线，∴BF＝BG.(2)解：∵BF＝BG ，∴∠BFG＝∠G，∴tan ∠BFG＝tan G ＝3，设CG ＝x ，则CE ＝3x ，∴S △CGE ＝32x 2＝63，解得x ＝23(负值舍去)，∴CG＝23，CE ＝6，又易得EC 2＝BC·CG，∴BC＝63，∴AD ＝6 3.解码专训三1．解：(1)过C 作AB 的垂线，垂足为D ， 根据题意可得：∠ACD＝42°，∠BCD＝55°. 设CD ＝x 海里，在Rt△ACD 中，tan 42°＝ADCD ，则AD ＝x·tan 42°海里，在Rt△BCD 中，tan 55°＝BDCD ，则BD ＝x·tan 55°海里．∵AB＝80海里， ∴AD＋BD ＝80海里，∴x·tan 42°＋x·tan 55°＝80， 解得x≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C 的最短距离约是34.4海里； (2)在Rt△BCD 中，cos 55°＝CDBC，∴BC＝CDcos 55°≈60(海里)，答：海轮在B 处时与灯塔C 的距离约是60海里．2．解：在Rt△ABE 中，∠BEA＝90°，∠BAE＝45°，BE ＝20米， ∴AE＝20米．在Rt△BEF 中，∠BEF＝90°，∠F＝30°，BE ＝20米， ∴EF＝BE tan 30°＝2033＝203(米)．∴AF＝EF －AE ＝203－20≈20×1.732－20＝14.64≈15(米)． 答：AF 的长度约是15米． 3．解：分两种情况：(1)如图(1)，在Rt△BDC 中，CD ＝30千米，BC ＝60千米． sin B ＝CD BC ＝12，∴∠B ＝30°.∵PB＝PC ，∴∠BCP＝∠B＝30°.∴在Rt△CDP 中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°， ∴DP＝CD tan∠CPD ＝30tan60°＝103(千米)．在Rt△ADC 中，∵∠A＝ 45°， ∴AD＝DC ＝30千米．∴AP＝AD ＋DP ＝(30＋103)千米．(第3题)(2)如图(2)，同法可求得DP ＝103千米，AD ＝30千米．∴AP＝AD －DP ＝(30－103)千米．故交叉口P 到加油站A 的距离为(30±103)千米．：本题运用了分类讨论思想，针对P 点位置分两种情况讨论，即P 可能在线段AB 上，也可能在BA 的延长线上．(第4题)4．解：(1)当α＝60°时，在Rt△ABE 中， ∵tan 60°＝BA AE ＝BA10，∴BA＝10 tan 60°＝103≈10×1.73＝17.3(米)． 即楼房的高度约为17.3米．(2)当α＝45°时，小猫仍可以晒到太阳．理由如下：如图，假设没有台阶，当α＝45°时，从点B 射下的光线与地面AD 的交点为点F ，与MC 的交点为点H.∵∠BFA＝45°，∴tan 45°＝BAAF＝1.此时的影长AF ＝BA≈17.3米，所以CF ＝AF －AC≈17.3－17.2＝0.1(米)，∴CH＝CF ＝0.1米，∴楼房的影子落在台阶MC 这个侧面上． ∴小猫仍能晒到太阳．解码专训四1．解：若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．理由如下： 过点C 作CD⊥AB，交AB 的延长线于点D.依题意，知AB ＝24×3060＝12(海里)，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°. 在Rt△DBC 中，tan ∠CBD＝tan 60°＝CDBD ，∴BD＝33CD.在Rt△ADC 中，tan ∠CAD＝tan 30°＝CDAD ，∴AD＝3CD. 又∵AD＝AB ＋BD ，∴3CD ＝12＋33CD ，得CD ＝63海里．∵63＞9，∴若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．技巧：将这道航海问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型．该货船有无触礁危险取决于岛C 到航线AB 的最短距离与9海里的大小关系，因此解决本题的关键在于求岛C 到航线AB 的距离．2．解：不会穿过风景区．理由如下：过C 作CD⊥AB 于点D ，根据题意得：∠ACD＝α，∠BCD＝β，则在Rt△ACD 中，AD ＝CD·tan α，在Rt△BCD 中，BD ＝CD·tan β.∵AD ＋DB ＝AB ，∴CD·tan α＋CD·tan β＝AB ，∴CD ＝AB tan α＋tan β＝1501.627＋1.373＝1503＝50(千米)．∵50＞45，∴连接A ，B 两市的高速公路不会穿过风景区．(第3题)3．解：如图，过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E ；过C 作AB 的垂线，过D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E＝∠F ＝90°，拦截点D 处到公路的距离DA ＝BE ＋CF.在Rt△BCE 中，∵∠E＝90°，∠CBE＝60°， ∴∠BCE＝30°，∴BE＝12BC ＝12×1 000＝500(米)；在Rt△CDF 中，∵∠F＝90°，∠DCF＝45°，CD ＝1 000米， ∴CF＝22CD ＝5002(米)．∴DA ＝BE ＋CF ＝(500＋5002)米，即拦截点D 处到公路的距离是(500＋5002)米． 4．解：(1)100；(60＋10t)(2)过点O 作OH⊥PQ 于点H.在Rt△POH 中，∠OHP＝90°，∠OPH＝65°－(90°－70°)＝45°，OP ＝200 km ，∴OH＝PH ＝OP·sin ∠OPH＝200×sin 45°＝1002≈141(km)． 设经过t h 时，台风中心从P 移动到H ，台风中心移动速度为20 km/h ， 则PH ＝20t ＝1002，∴t＝5 2.此时，受台风侵袭的圆形区域半径应为60＋10×52≈131(km)． 台风中心在整个移动过程中与城市O 的最近距离OH≈141 km，而台风中心从P 移动到H 时受侵袭的圆形区域半径约为131 km ，131 km ＜141 km ，因此，当台风中心移动到与城市O 距离最近时，城市O 不会受到台风侵袭．解码专训五1．B ：连接AC ，CF ，根据正方形性质分别求出AC ，CF 的长，由∠ACD ＝∠GCF＝45°，得∠ACF＝90°，然后利用勾股定理求出AF 的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．2.43 33.224.435．解：设AD ＝x ，则BD ＝x ，CD ＝x －3，在Rt△ACD 中，(x －3)2＋(15)2＝x 2，解得x ＝4， ∴CD＝4－3＝1 ∴sin∠CAD＝CD AD ＝14.6．B 7.C8．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1÷1＋22－2－22＋1×1 ＝2＋22－2－(22－2) ＝2.9. C 10. 6 11.1819 12．解：设B 处距离码头Ox km ，在Rt△CAO 中，∠CAO＝45°，∵tan∠CAO＝COAO ，∴CO＝AO·tan∠CAO＝(45×0.1＋，在Rt△DBO 中，∠DBO＝58°，∵DC＝DO －CO ， ∴36×0.1＝x·tan 58°－(4.5＋x)， ∴x＝36×0.1＋4.5tan 58°－1≈36×0.1＋4.51.60－1＝13.5.因此，B 处距离码头O 大约13.5 km.13．解：设CE ＝y ，(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB＝CD ＝4，BC ＝AD ＝5，∠B＝∠BCD＝∠D＝90°.∵BP＝a ，CE ＝y ，∴PC＝5－a ，DE ＝4－y ，∵AP⊥PE，∴∠APE＝90°，∠APB＋∠CPE＝90°，∵∠APB＋∠BAP＝90°，∴∠CPE＝∠BAP，∴△ABP∽△PCE，∴BP CE ＝AB PC ，∴y＝－a 2＋5a 4，即CE ＝－a 2＋5a4.(2)四边形APFD 是菱形，理由如下：当a ＝3时，y ＝－32＋5×34＝32，即CE ＝32，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD∥BF，∴△AED∽△FEC，∴AD CF ＝DECE ，∴CF＝3，∴PF＝PC ＋CF ＝5.∴PF＝AD ，∴四边形APFD 是平行四边形，在Rt△APB 中，AB ＝4，BP ＝3，∠B＝90°，∴AP＝5＝PF ， ∴四边形APFD 是菱形．(3)根据tan∠PAE＝12可得APPE＝2，易得△ABP∽△PCE，∴BP CE ＝AB PC ＝AP PE ＝2，得a y ＝45－a ＝2或a y ＝4a －5＝2，解得a ＝3，y ＝1.5或a ＝7，y ＝3.5.∴a＝3或7.14．解法1：如图①所示，过点B 作BE∥AD 交DC 于点E ，过点E 作EF∥AB 交AD 于点F ，则BE⊥AB，EF⊥AD.∴四边形ABEF 是矩形．∴∠CBE ＝120°－90°＝30°，∠D＝180°－120°＝60°.在Rt△BCE 中，BE ＝BC cos ∠CBE ＝503cos 30°＝50332＝100，EC ＝BC·tan ∠CBE＝503×tan 30°＝503×33＝50.在Rt△DEF 中，DF ＝EF tan D ＝AB tan 60°＝3033＝30. ∴AD＝AF ＋DF ＝BE ＋DF ＝100＋30＝130.∴S 四边形ABCD ＝S 梯形ABED ＋S △BCE ＝12(AD ＋BE)·AB＋12BC·EC＝12×(130＋100)×303＋12×503×50＝4 700 3.(第14题)解法2：如图②所示，延长DA ，CB 交于点E ，则∠ABE＝180°－∠ABC＝60°，∠E＝90°－∠ABE＝30°. 在Rt△ABE 中，AE ＝AB·tan 60°＝303×3＝90， BE ＝AB cos 60°＝30312＝60 3.∴CE＝BE ＋BC ＝603＋503＝110 3.在Rt△DCE 中，DC ＝CE·tan 30°＝1103×33＝110.∴S 四边形ABCD ＝S △DCE －S △ABE ＝12DC·CE－12AB·AE＝12×110×1103－12×303×90＝4 700 3.：求不规则图形的面积要将其转化为直角三角形或特殊的四边形的面积来求．可适当添加辅助线，把不规则四边形分割为直角三角形和直角梯形求解；还可通过补图，把不规则四边形转化为直角三角形求解．15．解：∵sin B＝35，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴sin B＝DE DB ＝AC AB ＝35.设DE ＝CD ＝3k(k ＞0)，则DB ＝5k. ∴CB＝8k ，AC ＝6k ，AB ＝10k.∵AC＋CD ＝9，∴6k＋3k ＝9.解得k ＝1. ∴DE＝3，DB ＝5，∴BE＝DB 2－DE 2＝52－32＝4. 过点C 作CF⊥AB 于点F ，则CF∥DE， ∴DE CF ＝BE BF ＝BD BC ＝58，∴CF＝245，BF ＝325， ∴EF＝BF －BE ＝125.在Rt△CEF 中，CE ＝CF 2＋EF 2＝1255.16．解：如图，过点C 作CF⊥AB 于点F.(第16题)设塔高AE ＝)，AF ＝AE ＋EF ＝(x ＋29)m.在Rt△AFC 中，∠ACF＝36°52′，AF ＝(x ＋29)m ， 则CF ＝AF tan 36°52′≈x ＋290.75＝43x ＋1163(m)，在Rt△ABD 中，∠ADB＝45°，AB ＝(， ∵CF＝BD ，∴x ＋56≈43x ＋1163，解得.。
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解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.要点二、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a＝4； (2)a＝1，3b=．【答案与解析】(1)∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°．由tanbBa=知，tan4tan6043b a B==⨯=°．由cosaBc=知，48cos cos60acB===°．(2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°． ∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值．举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用 高清ID 号：395952 关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（3）】【变式】（1）已知∠C=90°，a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ； 【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=252．（2015•湖北）如图，AD 是△ABC 的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC 的长；（2）sin ∠ADC 的值．【答案与解析】解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ， ∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt △ACE 中，CE=AC •cosC=1， ∴AE=CE=1，在Rt △ABE 中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3， ∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD 是△ABC 的中线， ∴CD=BC=2， ∴DE=CD ﹣CE=1， ∵AE ⊥BC ，DE=AE ， ∴∠ADC=45°， ∴sin ∠ADC=．【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．（2016•盐城）已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为．【思路点拨】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得．【答案】8或24．【解析】解：如图1所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC•AD=×6×=8；如图2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC•AD=×6×8=24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．【总结升华】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键．举一反三：【高清课程名称：解直角三角形及其应用高清ID号：395952关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式】 （2015•河南模拟）如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=，则AD 的长为多少?【答案与解析】解：作DE ⊥AB 于E ，如图， ∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB 为等腰直角三角形，AB=AC=6， ∴∠A=45°，在Rt △ADE 中，设AE=x ，则DE=x ，AD=x ， 在Rt △BED 中，tan ∠DBE==，∴BE=5x ，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为1:3i =（i ＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==．(2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°． 又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AGAFG FG∠=，即3535FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5． 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52， CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30°＝532，在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°， ∴ 5553(31)222AB AE BE =+=+=+≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。
华师大版九年级数学上册24.3.2 解直角三角形及其简单应用课件1
已知平台 CD 的高度为 5 m，则大树的高度为(_5_＋__5___3_)m(．结果保留
根号)
4．如图，从热气球 C 处测得地面 A，B 两点的俯角分别是 30°，
45°，如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米，点 A，D，B 在同
一直线上，则 AB 两点的距离是( D )
A．200 米
°≈0.62)
解：过点B作BE⊥CD，垂足为E，在Rt△DEB中， ∠DEB＝90°，BE＝AC＝22(米)， tan32°＝DEBE， ∴DE＝BE•tan32°≈22×0.62＝13.64(米)． ∵EC＝AB＝1.5， ∴CD＝CE＋ED＝1.5＋13.64＝15.14≈15.1(米)． 答：旗杆CD的高度为15.1米
6．(2014·昆明)如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆
CD 的高度，在地面 A 处放置高度为 1.5 米的测角仪 AB，测得旗杆
顶端 D 的仰角为 32°，AC 为 22 米，求旗杆 CD 的高度．(结果精
确到 0.1 米．参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32
解：作 CE⊥AB 于点 E，依题意，AB＝1 464，∠EAC＝30°，∠ CE
CBE＝45°，设 CE＝x，则 BE＝x，Rt△ACE 中，tan30°＝AE＝ 146x4＋x＝ 33，整理得出：3x＝1 464 3＋ 3x，解得 x＝732( 3 ＋1)≈2 000 米，∴x＋600＝2 600 米．答：海底 C 点处距离 DF 的深度约为 2 600 米
华东师大版九年级数学上《解直角三角形》全章知识点精讲与练习
?解直角三角形?全章知识点精讲与练习【问题探究】一般地，假如锐角A 的大小确定，我们可以作出无数个以A 为一个锐角直角三形〔如图〕，那么图中：⋯===222111AC C B AC C B AC BC〔1〕当∠A 变化时，上面等式仍然成立吗？ 〔2〕上面等式的值随∠A 的变化而变化吗？【新课引入】由前面的探究可以看出：假如一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。
这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着亲密的关系。
1、在直角三角形中，我们将∠A 的对边与它的邻边的比称为∠A 的正切，记作 tanA 即：ba A A A =∠∠=的邻边的对边tan同理：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。
2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作________，即：sinA ＝________=________.C 1 23、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。
〔你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗？〕试试看____________________. 考虑：你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？并填写下表：30° 45° 60° sinθcosθ tanθ〔根据一付三角板的三边关系进展计算〕【总结归纳】1、牢记三角函数的概念，紧紧抓住直角三角形，勤快画图，是解答三角函数题的关键；2、特殊角的三角函数值，只要记住两个三角板的各边比值〔如图〕，严格按照三角函数的定义，即可心算推出。
最新2019-2020年度华东师大版九年级数学上册《解直角三角形》解码专题训练及答案解析-精编试题
解码专训一：巧用构造法求几种特殊角的三角函数值名师点金：对于30°、45°、60°角的三角函数值，我们都可通过定义利用特殊直角三角形三边的关系进行计算；而在实际应用中，我们常常碰到像15°、22.5°、67.5°等一些特殊角的三角函数值的计算，同样我们也可以构造相关图形，利用数形结合思想进行巧算．巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值1．求sin 15°，cos 15°，tan 15°的值．巧构造22.5°与45°角的关系的图形计算22.5°角的三角函数值2．求tan 22.5°的值．巧用折叠法求67.5°角的三角函数值3．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，求出67.5°角的正切值．(第3题)巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°、72°角的三角函数值4．求sin 18°，cos 72°的值．巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值5．求sin 75°，cos 75°，tan 75°的值．解码专训二：巧用三角函数解学科内综合问题名师点金：锐角三角函数体现着一种新的数量关系——边角关系，锐角三角函数解直角三角形，既是相似三角形及函数的延续，又是继续学习三角形的基础，利用三角函数可解决与学科内的一次函数、反比例函数、相似三角形，一元二次方程等综合问题，也会应用到后面学习的圆的内容中，它的应用很广泛．)利用三角函数解与函数的综合问题1．如图，直线y ＝kx －1与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，tan∠OCB＝12. (1)求点B 的坐标和k 的值；(2)若点A(x ，y)是第一象限内的直线y ＝kx －1上的一个动点，在点A 的运动过程中，试写出△AOB 的面积S 与x 的函数关系式．(第1题)2．如图，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过线段OA 的端点A ，O 为原点，过点A 作AB⊥x 轴于点B ，点B 的坐标为(2，0)，tan ∠AOB＝32.(1)求k 的值；(2)将线段AB 沿x 轴正方向平移到线段DC 的位置，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象恰好经过DC 的中点E ，求直线AE 对应的函数关系式；(3)若直线AE 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，请你探索线段AN 与线段ME 的数量关系，写出你的结论，并说明理由．(第2题)利用三角函数解与方程的综合问题3．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，斜边c ＝5，两直角边的长a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －2＝0的两个根，求Rt△ABC 中较小锐角的正弦值．利用三角函数解与相似的综合4．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是边AD 上一点，连接FE 并延长交BC 的延长线于点G ，连接BF ，BE ，且BE⊥FG.(1)求证：BF ＝BG ；(2)若tan ∠BFG＝3，S △CGE ＝63，求AD 的长．(第4题)解码专训三：应用三角函数解实际问题的四种常见问题名师点金：在运用解直角三角形的知识解决实际问题时，要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解．其中仰角、俯角的应用问题，方向角的应用问题，坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键．定位问题1．(2014·贺州)如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．(1)求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离；(结果精确到0.1海里)(2)求海轮在B处时与灯塔C的距离(结果保留整数)．(参考数据：sin 55°≈0.819，cos 55°≈0.574，tan 55°≈1.428，tan 42°≈0.900，tan 35°≈0.700，tan 48°≈1.111)(第1题)坡坝问题2．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE ＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F 处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度.(结果精确到1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(第2题)测距问题3．一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向上还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离是30千米，B，C间的距离是60千米，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离．(结果保留根号)测高问题4．(2015·盐城)如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米．现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．(3取1.73)(1)求楼房的高度约为多少米？(2)过了一会儿，当α＝45°时，问小猫能否还可以晒到太阳？请说明理由．(第4题)解码专训四：利用三角函数解判断说理问题名师点金：利用三角函数解答实际中的“判断说理”问题：其关键是将实际问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型，运用解直角三角形的知识来解决实际问题．航行路线问题1．如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．(第1题)工程规划问题2．A，B两市相距150千米，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心、45千米为半径的圆，tan α＝1.627，tan β＝1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接A，B两市的高速公路．问连接A，B两市的高速公路会穿过风景区吗？请说明理由．(第2题)航行拦截问题3．(2015·荆门)如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1 000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离(结果不取近似值)．(第3题)台风影响问题4．如图所示，在某海滨城市O附近海面有一股强台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200 km的海面P处，并以20 km/h的速度向北偏西65°的PQ方向移动，台风侵袭的范围是一个圆形区域，当前半径为60 km，且圆的半径以10 km/h的速度不断扩大．(1)当台风中心移动4 h时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到________km；当台风中心移动t(h)时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到____________km；(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否会侵袭这座海滨城市？请说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)(第4题)解码专训五：解直角三角形中常见的热门考点名师点金：本章主要学习直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，锐角三角函数值，解直角三角形，以及解直角三角形的实际应用，重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考的必考内容．直角三角形的性质1．(2014·宁波)如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，点H是AF的中点，那么CH的长是( )A．2.5 B. 5 C.32 2 D．2(第1题)(第2题)2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB 于点E，且CD＝2，DE＝1，则BC的长为________．锐角三角函数的定义3．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是________．(第3题)(第4题)4．如图，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的F点处，若AB＝3，BC＝5，则tan∠EFC的值为________．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝15，AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点，垂足为E，求sin∠CAD的值．(第5题)特殊角的三角函数值及其计算6．在等腰直角三角形ABC 中，∠C＝90°，那么sin A 等于( ) A.12 B.22 C.32D ．1 7．若等腰三角形底边与底边上的高的比是23，则顶角为( ) A ．60° B．90° C．120° D．150° 8．计算：(cos 60°)－1÷(－1)2 016＋|2－8|－22＋1×(tan 30°－1)0.解直角三角形(第9题)9．如图是教学用的直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为( ) A ．30 3 cm B ．20 3 cm C ．10 3 cm D ．5 3 cm(第10题)10．(2014·大庆)如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，F 是DA 延长线上一点，G 是CF 上一点，且∠ACG ＝∠AGC，∠GAF＝∠F＝20°，则AB ＝________．11．(2014·临沂)如图，在▱ABCD中，BC＝10，sin B＝910，AC＝BC，则▱ABCD的面积是________．(第11题)解直角三角形的实际应用12．(2015·南京)如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO＝45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km/h和36 km/h，经过0.1 h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO＝58°，此时B处距离码头O多远？(参考数据：sin58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)(第12题)三角函数与学科内的综合13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP ＝a.(1)当点P在线段BC上时(点P与点B，C都不重合)，试用含a的代数式表示CE的长；(2)当a＝3时，连接DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由；(3)当tan∠PAE＝12时，求a的值．(第13题)解直角三角形中思想方法的应用a．转化思想14．如图所示，已知四边形ABCD，∠ABC＝120°，AD⊥AB，CD⊥BC，AB＝303，BC＝503，求四边形ABCD的面积．(要求：用分割法和补形法两种方法求解)(第14题)b．方程思想15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝35，点D是BC上一点，DE⊥AB于点E，CD＝DE，AC＋CD＝9，求BE，CE的长．(第15题)16．(中考·泰州)如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27 m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角为36°52′.已知山高BE为56 m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin 36°52′≈0.60，tan 36°52′≈0.75)(第16题)答案解码专训一1．解：如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，∠C＝90°，延长CA 到D ，使AD ＝AB ，则∠D＝15°，设BC ＝a ，则AB ＝2a ，AC ＝3a ，∴AD＝2a ，CD ＝(2＋3)a.在Rt△BCD 中，BD ＝BC 2＋CD 2＝a 2＋（7＋43）a 2＝(6＋2)a. ∴sin 15°＝sin D ＝BC BD ＝a （6＋2）a ＝6－24；cos 15°＝cos D ＝CD BD ＝（2＋3）a （6＋2）a ＝6＋24；tan 15°＝tan D ＝BC CD ＝a（2＋3）a＝2－ 3.(第1题)(第2题)2．解：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝BC ，延长CA 到D ，使DA ＝AB ，则∠D＝22.5°，设AC ＝BC ＝a ，则AB ＝2a ，∴AD＝2a ，DC ＝(2＋1)a ，∴tan 22.5°＝tan D ＝BC CD ＝a（2＋1）a＝2－1.3．解：∵将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，∴AB＝BE ，∠AEB＝∠EAB＝45°，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，∴AE＝EF ，∠EAF＝∠EFA＝45°÷2＝22.5°， ∴∠FAB＝67.5°.设AB ＝x ，则AE ＝EF ＝2x ，∴tan ∠FAB＝tan 67.5°＝FB AB ＝2x ＋xx＝2＋1.(第4题)4．解：如图，作△ABC，使∠BAC＝36°，AB ＝AC ，使∠ABC 的平分线BD交AC于D点，过A作AE⊥BC于E点，设BC＝a，则BD＝AD＝a，由△ABC∽△BCD可得：ABBC＝BCCD，∴ABa＝aAB－a，即AB2－a·AB－a2＝0，∴AB＝5＋12a(负根舍去)，∴sin 18°＝sin∠BAE＝BEAB＝5－14.∴cos 72°＝cos∠ABE＝BEAB＝5－14.(第5题)5．解：方法1：利用第1题的图形求解．方法2：如图，作△ABD，△ACD，使得DC＝DA，∠DAB＝30°，过点A作AD⊥BC于D，过B作BE⊥AC于E，则∠BAE＝75°，设AD＝DC＝a，则AC＝2a，BD＝33a，AB＝233a，∴BC＝BD＋CD＝⎝⎛⎭⎪⎫33＋1a.则CE＝BE＝BC·sin 45°＝6＋326a，∴AE＝AC－CE＝32－66a，∴sin 75°＝sin ∠BAE＝BEAB＝32＋66a233a＝6＋24，cos 75°＝cos ∠BAE＝AEAB＝6－24，tan 75°＝tan ∠BAE＝BEAE＝2＋ 3.解码专训二1．解：(1)把x ＝0代入y ＝kx －1，得y ＝－1，∴点C 的坐标是(0，－1)，∴OC＝1.在Rt△OBC 中，∵tan∠OCB＝OB OC ＝12，∴OB＝12.∴点B 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 把B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的坐标代入y ＝kx －1，得12k －1＝0.解得k ＝2.(2)由(1)知直线AB 对应的函数关系式为y ＝2x －1，所以△AOB 的面积S 与x 的函数关系式是S ＝12OB·y＝12×12(2x －1)＝12x －14.2．解：(1)∵点B 的坐标为(2，0)，tan ∠AOB＝32，∴A 点的坐标为(2，3)，∴k＝6.(2)易知点E 的纵坐标为32，代入y ＝6x 中，得点E 的横坐标为4，即点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，32，∵直线AE 过点A(2，3)，E ⎝ ⎛4，32，∴易得直线AE 对应的函数关系式为y ＝－34x ＋92.(3)结论：AN ＝ME.理由：在y ＝－34x ＋92中，令y ＝0可得x ＝6，令x ＝0可得y ＝92.∴点M(6，0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，92.方法一：延长DA 交y 轴于点F ，则AF⊥ON，且AF ＝2，OF ＝3， ∴NF ＝ON －OF ＝32.根据勾股定理可得AN ＝52.∵CM＝6－4＝2，EC ＝32，∴根据勾股定理可得EM ＝52，∴AN＝ME.方法二：连接OE ，延长DA 交y 轴于点F ，则AF⊥ON，且AF ＝2， ∵S △EOM ＝12OM·EC＝12×6×32＝92，S △AON ＝12ON·AF＝12×92×2＝92，∴S △EOM ＝S △AON .∵AN 和ME 边上的高相等，∴AN＝ME.3．解：∵a，b 是方程x 2－mx ＋2m －2＝0的根，∴a＋b ＝m ，ab ＝2m －2.在Rt△ABC 中，由勾股定理，得a 2＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2＝52.∴a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝25，即m 2－2(2m －2)＝25.解得m 1＝7，m 2＝－3.∵a，b 是Rt△ABC 的两条直角边的长，∴a＋b ＝m ＞0.即m ＝－3不合题意，舍去．∴m＝7.当m ＝7时，原方程为x 2－7x ＋12＝0.解得x 1＝3，x 2＝4.不妨设a ＝3，b ＝4，则∠A 是最小的锐角，∴sin A＝a c ＝35. 即Rt△ABC 中较小锐角的正弦值为35. 4．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D＝∠DCG＝90°，∵点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE.∵∠DEF ＝∠CEG ，∴△EDF≌△ECG ，∴EF ＝EG.∵BE⊥FG，∴BE 是FG 的中垂线，∴BF＝BG.(2)解：∵BF＝BG ，∴∠BFG＝∠G，∴tan ∠BFG＝tan G ＝3，设CG ＝x ，则CE ＝3x ，∴S △CGE ＝32x 2＝63，解得x ＝23(负值舍去)， ∴CG＝23，CE ＝6，又易得EC 2＝BC·CG，∴BC＝63，∴AD＝6 3.解码专训三1．解：(1)过C 作AB 的垂线，垂足为D ，根据题意可得：∠ACD＝42°，∠BCD＝55°.设CD ＝x 海里，在Rt△ACD中，tan 42°＝ADCD，则AD＝x·tan 42°海里，在Rt△BCD中，tan 55°＝BDCD，则BD＝x·tan 55°海里．∵AB＝80海里，∴AD＋BD＝80海里，∴x·tan 42°＋x·tan 55°＝80，解得x≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离约是34.4海里；(2)在Rt△BCD中，cos 55°＝CD BC，∴BC＝CDcos 55°≈60(海里)，答：海轮在B处时与灯塔C的距离约是60海里．2．解：在Rt△ABE中，∠BEA＝90°，∠BAE＝45°，BE＝20米，∴AE＝20米．在Rt△BEF中，∠BEF＝90°，∠F＝30°，BE＝20米，∴EF＝BEtan 30°＝2033＝203(米)．∴AF＝EF－AE＝203－20≈20×1.732－20＝14.64≈15(米)．答：AF的长度约是15米．3．解：分两种情况：(1)如图(1)，在Rt△BDC中，CD＝30千米，BC＝60千米．sin B＝CDBC＝12，∴∠B＝30°.∵PB＝PC，∴∠BCP＝∠B＝30°.∴在Rt△CDP中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°，∴DP＝CDta n∠CPD＝30tan60°＝103(千米)．在Rt△ADC中，∵∠A＝45°，∴AD＝DC＝30千米．∴AP＝AD＋DP＝(30＋103)千米．(第3题)(2)如图(2)，同法可求得DP＝103千米，AD＝30千米．∴AP＝AD－DP＝(30－103)千米．故交叉口P到加油站A的距离为(30±103)千米．点拨：本题运用了分类讨论思想，针对P点位置分两种情况讨论，即P可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上．(第4题)4．解：(1)当α＝60°时，在Rt△ABE 中，∵tan 60°＝BA AE ＝BA 10， ∴BA＝10 tan 60°＝103≈10×1.73＝17.3(米)．即楼房的高度约为17.3米．(2)当α＝45°时，小猫仍可以晒到太阳．理由如下：如图，假设没有台阶，当α＝45°时，从点B 射下的光线与地面AD 的交点为点F ，与MC 的交点为点H.∵∠BFA＝45°，∴tan 45°＝BA AF＝1. 此时的影长AF ＝BA≈17.3米，所以CF ＝AF －AC≈17.3－17.2＝0.1(米)， ∴CH＝CF ＝0.1米，∴楼房的影子落在台阶MC 这个侧面上．∴小猫仍能晒到太阳．解码专训四1．解：若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．理由如下：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D.依题意，知AB＝24×3060＝12(海里)，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°.在Rt△DBC中，tan ∠CBD＝tan 60°＝CD BD，∴BD＝33CD.在Rt△ADC中，tan ∠CAD＝tan 30°＝CD AD，∴AD＝3CD.又∵AD＝AB＋BD，∴3CD＝12＋33CD，得CD＝63海里．∵63＞9，∴若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．技巧点拨：将这道航海问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型．该货船有无触礁危险取决于岛C到航线AB的最短距离与9海里的大小关系，因此解决本题的关键在于求岛C到航线AB的距离．2．解：不会穿过风景区．理由如下：过C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠ACD＝α，∠BCD＝β，则在Rt△ACD中，AD＝CD·tan α，在Rt△BCD 中，BD＝CD·tan β.∵AD＋DB＝AB，∴CD·tan α＋CD·tan β＝AB，∴CD＝AB tan α＋tan β＝1501.627＋1.373＝1503＝50(千米)．∵50＞45，∴连接A ，B 两市的高速公路不会穿过风景区．(第3题)3．解：如图，过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E ；过C 作AB 的垂线，过D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E＝∠F＝90°，拦截点D 处到公路的距离DA ＝BE ＋CF.在Rt△BCE 中，∵∠E＝90°，∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°，∴BE＝12BC ＝12×1 000＝500(米)； 在Rt△CDF 中，∵∠F＝90°，∠DCF＝45°，CD ＝1 000米， ∴CF＝22CD ＝5002(米)． ∴DA＝BE ＋CF ＝(500＋5002)米，即拦截点D 处到公路的距离是(500＋5002)米．4．解：(1)100；(60＋10t)(2)过点O 作OH⊥PQ 于点H.在Rt△POH 中，∠OHP＝90°，∠OPH＝65°－(90°－70°)＝45°，OP ＝200 km ，∴OH＝PH ＝OP·sin ∠OPH＝200×sin 45°＝1002≈141(km)．设经过t h时，台风中心从P移动到H，台风中心移动速度为20 km/h，则PH＝20t＝1002，∴t＝5 2.此时，受台风侵袭的圆形区域半径应为60＋10×52≈131(km)．台风中心在整个移动过程中与城市O的最近距离OH≈141 km，而台风中心从P移动到H时受侵袭的圆形区域半径约为131 km，131 km＜141 km，因此，当台风中心移动到与城市O距离最近时，城市O不会受到台风侵袭．解码专训五1．B 点拨：连接AC，CF，根据正方形性质分别求出AC，CF的长，由∠ACD＝∠GCF＝45°，得∠ACF＝90°，然后利用勾股定理求出AF的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．2.43 3 3.22 4.435．解：设AD＝x，则BD＝x，CD＝x－3，在Rt△ACD中，(x－3)2＋(15)2＝x2，解得x＝4，∴CD＝4－3＝1∴sin∠CAD＝CD AD＝14.6．B 7.C8．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1÷1＋22－2－22＋1×1 ＝2＋22－2－(22－2)＝2. 9. C 10. 6 11.181912．解：设B 处距离码头Ox km ，在Rt△CAO 中，∠CAO＝45°，∵tan∠CAO＝CO AO， ∴CO＝AO·tan∠CAO＝(45×0.1＋x)·tan45°＝(4.5＋x) km ， 在Rt△DBO 中，∠DBO＝58°，∵DC＝DO －CO ，∴36×0.1＝x·tan 58°－(4.5＋x)，∴x＝36×0.1＋4.5tan 58°－1≈36×0.1＋4.51.60－1＝13.5. 因此，B 处距离码头O 大约13.5 km.13．解：设CE ＝y ，(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB＝CD ＝4，BC ＝AD ＝5，∠B＝∠BCD＝∠D＝90°.∵BP＝a ，CE ＝y ，∴PC＝5－a ，DE ＝4－y ，∵AP⊥PE，∴∠APE＝90°，∠APB＋∠CPE＝90°，∵∠APB＋∠BAP＝90°，∴∠CPE＝∠BAP， ∴△ABP∽△PCE，∴BP CE ＝AB PC ，∴y＝－a 2＋5a 4，即CE ＝－a 2＋5a 4.(2)四边形APFD是菱形，理由如下：当a＝3时，y＝－32＋5×34＝32，即CE＝32，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BF，∴△AED∽△FEC，∴ADCF＝DECE，∴CF＝3，∴PF＝PC＋CF＝5.∴PF＝AD，∴四边形APFD是平行四边形，在Rt△APB中，AB＝4，BP ＝3，∠B＝90°，∴AP＝5＝PF，∴四边形APFD是菱形．(3)根据tan∠PAE＝12可得APPE＝2，易得△ABP∽△PCE，∴BPCE＝ABPC＝APPE＝2，得ay＝45－a＝2或ay＝4a－5＝2，解得a＝3，y＝1.5或a＝7，y＝3.5.∴a＝3或7.14．解法1：如图①所示，过点B作BE∥AD交DC于点E，过点E作EF∥AB 交AD于点F，则BE⊥AB，EF⊥AD.∴四边形ABEF是矩形．∴∠CBE＝120°－90°＝30°，∠D＝180°－120°＝60°.在Rt△BCE中，BE＝BCcos ∠CBE＝503cos 30°＝50332＝100，EC＝BC·tan ∠CBE＝503×tan 30°＝503×33＝50.在Rt△DEF 中，DF ＝EF tan D ＝AB tan 60°＝3033＝30. ∴AD＝AF ＋DF ＝BE ＋DF ＝100＋30＝130.∴S 四边形ABCD ＝S 梯形ABED ＋S △BCE ＝12(AD ＋BE)·AB＋12BC·EC＝12×(130＋100)×303＋12×503×50＝4 700 3.(第14题)解法2：如图②所示，延长DA ，CB 交于点E ，则∠ABE＝180°－∠ABC＝60°，∠E＝90°－∠ABE＝30°. 在Rt△ABE 中，AE ＝AB·tan 60°＝303×3＝90，BE ＝AB cos 60°＝30312＝60 3. ∴CE＝BE ＋BC ＝603＋503＝110 3.在Rt△DCE 中，DC ＝CE·tan 30°＝1103×33＝110. ∴S 四边形ABCD ＝S △DCE －S △ABE ＝12DC·CE－12AB·AE＝12×110×1103－12×303×90＝4 700 3.点拨：求不规则图形的面积要将其转化为直角三角形或特殊的四边形的面积来求．可适当添加辅助线，把不规则四边形分割为直角三角形和直角梯形求解；还可通过补图，把不规则四边形转化为直角三角形求解．15．解：∵sin B＝35，∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴sin B＝DE DB ＝AC AB ＝35. 设DE ＝CD ＝3k(k ＞0)，则DB ＝5k.∴CB＝8k ，AC ＝6k ，AB ＝10k.∵AC＋CD ＝9，∴6k＋3k ＝9.解得k ＝1.∴DE＝3，DB ＝5， ∴BE＝DB 2－DE 2＝52－32＝4.过点C 作CF⊥AB 于点F ，则CF∥DE，∴DE CF ＝BE BF ＝BD BC ＝58，∴CF＝245，BF ＝325， ∴EF＝BF －BE ＝125. 在Rt△CEF 中，CE ＝CF 2＋EF 2＝1255. 16．解：如图，过点C 作CF⊥AB 于点F.(第16题)设塔高AE＝x m，由题意得EF＝BE－CD＝56－27＝29(m)，AF＝AE＋EF＝(x＋29)m. 在Rt△AFC中，∠ACF＝36°52′，AF＝(x＋29)m，则CF＝AFtan 36°52′≈x＋290.75＝43x＋1163(m)，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，AB＝(x＋56)m，则BD＝AB＝(x＋56)m，∵CF＝BD，∴x＋56≈43x＋1163，解得x≈52.答：该铁塔的高AE约为52 m.。
华师版数学九年级上册解码专训：解直角三角形及一般应用
华师版数学九年级上册解码专训解直角三角形及一般应用一、学习目标1.理解直角三角形中六个元素之间的关系？2.知道什么是解直角三角形，解直角三角形的工具是什么以及怎样应用？二、学习重点重点: 锐角三角函数在解直角三角形中的灵活运用难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．三、自主预习（一）旧知回顾 1.特殊角的三角函数？a a sina cos a tan cot a 304560四、合作探究（一）定义1.什么是解直角三角形？2．在三角形中共有几个元素？3．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA=ba (2)三边之间关系a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)(3)锐角之间关系 ∠A+∠B=90°（二）已知直角三角形两边解直角三角形例1.在直角三角形中，∠C=90°，c=34,32=a 解这个直角三角形？（三）已知直角三角形的一边和一个锐角解直角三角形例2.在直角三角形中，∠C=90°，∠B= 60，a=8求这个直角三角形的其他边和角？（四）利用直角三角形的知识解决非直角三角形例3.如图所示，在三角形ABC 中，∠B= 45，∠C= 30，BC=333+，求AB 的长？五、巩固反馈1.在等腰三角形ABC 中，AC=AB, ∠A= 30,AB=12，则AB 边上的高为（ ）A.6B.36C.32D.不能确定2.在三角形ABC 中，AB=2，AC=2,∠B = 30则∠BAC=____________.3.如图三角形ABC 中∠A= 45,∠B= 30,BC=8，求∠ACB 的度数及AB 、AC 的长。
A C B。
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华师版数学九年级上册解码专训
解直角三角形及一般应用
【知识与技能】
1.使学生理解解直角三角形的意义；
2.能运用直角三角形的三个关系式解直角三角形.
【过程与方法】
让学生学会用直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来，提高分析和解决问题的能力.
【情感态度】
通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想.
【教学重点】
用直角三角形的三个关系式解直角三角形.
【教学难点】
用直角三角形的有关知识去解决简单的实际问题.
一、情境导入，初步认识
前面的课时中，我们学习了直角三角形的边角关系，下面我们通过一道例题来看看大家掌握得怎样.
例在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5,BC=3,求∠A的各个三角函数值.
二、思考探究，获取新知
把握好直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决直角三角形有关的实际问题了.
例1如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米折断倒下，树顶在离树根12米处，大树在折断之前高多少？
例子中，能求出折断的树干之间的夹角吗？
学生结合引例讨论，得出结论：利用锐角三角函数的逆过程.
通过上面的例子，你们知道“解直角三角形”的含义吗？
学生讨论得出“解直角三角形”的含义：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
【教学说明】学生讨论过程中需使其理解三角形中“元素”的内涵，至于“元素”的定义不作深究.
问：上面例子中，若要完整解该直角三角形，还需求出哪些元素？能求出来吗？
学生结合定义讨论目标和方法，得出结论：利用两锐角互余.
【探索新知】
问：上面的例子是给了两条边.那么，如果给出一个角和一条边，能不能求出其他元素呢？
例2如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，在炮台A 处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离（精确到1米）.
解：在Rt△ABC中，
∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,BCAB=tan∠CAB,
∴BC=AB·tan∠CAB
=2000×tan50°≈2384（米）.
∵AB
AC
=cos50°,
∴AC=
2000
5050
AB
cos cos
=
︒︒
≈3111（米）.
答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.
问：AC还可以用哪种方法求？
学生讨论得出各种解法，分析比较，得出：使用题目中原有的条件，可使结。