1.2数列的极限

A1, A2 , A3,..., An ,...
S（圆的面积）
一《
尺庄
之子
·
棰天
日 下战
取 篇国
其 》时
半 引代
万 世 不 竭
用哲 过学 一家 句庄 话周
.
:
著
的
2、截丈问题
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天剩下的杖 第二天剩下的杖
...... ......
X1

1 2
X1

1 22
第n天剩下的杖
数列一 1, 2, 3,…, n, …
无界
数列二 1/2, 2/3, 3/4, … , n/(n+1),… 有界
数列三 1, -1, 1, -1,…
有界
数轴上对应于有界数列的点 xn都落在闭区间[ M , M ]上.
定理2 若数列{xn}收敛，则数列{xn}必有界。
证：
设
lim
n
xn

A
取 1
所以：
而：
由夹逼准则
=1
（2）单调有界准则
定义3
若数列 an的各项满足不等式
an an1 (an an1 ) ，
则称 an 为递增（递减）数列。 递增和递减数列统称为单调数列．
例如：

1 n
为递减数列；
n2为递增数列；

(1) n
n
不是单调数列。
2） 极限 lim yn,limzn都存在，且 lim yn limzn A
n
n
n
n
则：limxn 也存在且 limxn A
n
n
注意： lim yn limzn
n
n
则夹逼准则不存在
例求
解：因
1 11 n2 n n2 i n2 1
(i 1,2,3,....n)
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
对于
xn
1
=
(1)n1
1 n

1 n
给定 1 , 由 1 1 , 100 n 100
只要 n 100时,
有
xn
1
1, 100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
xn
1

1, 1000
给定 1 , 10000
只要 n 10000时,

定理5 (单调有界准则)
在实数系中，有界且单调数列必有极限。
几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A
M
x
几点说明：
通常该准则变通为： 1） 单调递增有上界的数列存在极限。 2） 单调递减有下界的数列存在极限。
本定理只是证明了存在性。 本定理只对一类特殊的数列可以判别存在
性。
例设
11
1
an 1 2 3 ... n , n 1,2,...
n
n
若0 q 1, xn 0 qn , n ln q ln ,
n ln , 取N [ ln ], 则当n N时,
ln q
ln q
就有qn 0 ,
limqn 0. n
例4
设xn

0, 且 lim n
xn

a

0, 求证
2
xn

b

;
取N maxN1 , N2,
则当n N时有 a b ( xn b) ( xn a)
xn b xn a
上式仅当a b时才能成立.
2.
2、有界性
定义: 对数列xn , 若存在正数 M, 使得一切自然数 n ,
恒有 xn M 成立, 则称数列 xn有界, 否则, 称为无界.
lim
n
xn
a.
证 任给 0, 取1 a
lim n
xn

a,
N使得当n N时恒有 xn a 1 ,
从而有 xn
a
xn a xn a 1
xn a
a
a
故 lim n
xn
a.
注：在利用数列极限的定义来证明数列的极限时，重

a 2

a 2

0.
推论2：设 lim n
xn

A, lim n
yn

B
且存在正整数
N，当
n N 时，有 xn yn，则
A B.
1.2.3 数列极限存在的准则
（1）夹逼准则
定理4： 设数列 {xn}, {yn}, {zn}, 满足
1） 存在正整数 N， 当n N时， 有 yn xn zn
如果lim n
xn

a,且
a

0
(或 a 0),那么存在正整数N 0,当 n N 时,都有
xn 0 (或 xn 0 ).
证 就 a 0的情形证明.
由数列极限的定义, 对 a 0, N 0,
2 当 n N时, 有
a xn a 2 ,
从而
xn

a
定义1 按自然数 1 , 2 , 3 , …. 编号依次排列的一列数
x 1 , x 2 ,… , xn ,….
(1)
称为无穷数列, 简称 数列. 其中的每个数称为数列
的项，xn 称为通项（一般项）. 数列 (1) 记为 {xn }
例如 2, 4,8, , 2n , ;
{2n}
111 1
,,, 248
其中 2 ，证明 {an } 收敛。
证明：{an } 递增显然，下面证明有上界，事实上：
11
1
an 1 22 32 ... n2
1 1 1 ... 1
12 23
(n 1) n
1 (1 1) (1 1) ( 1 1 )
数列有界
例：证明数列 xn (1)n1是发散的.
证
设
lim
n
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xn

a,
由定义,
对于 1 , 2
则N, 使得当n

N时, 有
xn
a

1 成立, 2
即当n

N时,
xn
(a

1 2
,a

1), 2
区间长度为1.
而xn无休止地反复取 1, 1两个数,
不可能同时位于长度为1的区间内.这就
x3 x1
x2 x4
xn
2。数列是整标函数 xn f (n).
数列的极限
观察数列{1 (1)n1}当 n 时的变化趋势. n
问题: 当 n 无限增大时, xn是否无限接近于某一确定的
数值? 如果是,如何确定?
通过上面的图象可知:
当
n
无限增大时,
xn

1
(1)n1 n
无限接近于1.
2、一般说来N与 有关.，记为 N N( )
.
3、对给定的 ，对应的N不是唯一的. 当 n N 时，能使
xn A 成立，则当 n N1 时(N1 N)
xn A 也成立。
几何解释:
a
2 a
x2 x1 xN 1
a xN2 x3
x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a - , a )内,
n
n
证
xn
1

n (1)n1 n
1

1 n
任给 0,
要 xn 1 ,
只要 1 , n
或 n 1,

所以, 取N [1], 则当n N时,
就有 n (1)n1 1 即lim n (1)n1 1.
n
n
n
例2
设xn
C(C为常数),
12 23
n 1 n
2 1 2, n 1,2,.... n
故数列{an}单调有界 ， 从而收敛 。
例4 证明
lim(1 1 )n
n
n
存在。
证明：先建立一个不等式，设 b a 0
对任一正整数 n ，有
bn1 an1 bn bn1a an ba bn bn1b bn (n 1)bn
2 34 56
n
4 0,1,0, 1 ,0, 1 ,0,..., 1 (1)n ,.....
23
n
0
问题2
判断下列命题的正确性:
① 数列{an}的极限是A,则A一定是该数列 中的一项;
②任何一个无穷数列必存在极限;
③数列 (1)n的极限存在,且偶数项的
极限为1,奇数项的极限为-1.
例1 证明 lim n (1)n1 1.
则存在正整数N，当 n N 时，有 xn A 1
又因为 xn A xn A，都有
所以，当 n N 1, N 2, 时，有
xn A 1
无界数列一定发散
令 M max( A 1, x1 , x2 , xN )
于是对所有的正整数n都有 xn M.
注意： 数列收敛
证明数列 xn (1)n1是发散的.
事实上,{xn }是有界的, 但却发散.
3、比较性
定理3：设
lim
n
xn

A,
lim
n
yn

B且
A
B ，则存在正整数N，当
n N 时，有 xn yn .
证：取 A B 0 2

lim
n
xn

A
N1,当n N1时有
只有有限个(至多只有N个)落在其外.
问题1
• 根据极限定义,猜想下列数列的极限
11, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,......,1 ,.....
23456
n
0
2 1, 1 , 1 ,
23
1 , 1 , 1 ,......, 456
1 ,..... n
0
3 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1 ,......, (1)n ,..... 0
有
xn
1

1, 10000
给定 0, 只要 n N ( [1])时,
有 xn 1 成立.
定义2 如果对于任意给定的正数 （不论它多么小），
总存在正数 N , 使得对于 n > N 时的一切 xn , 不等式
| xn A | 都成立, 那末就称常数 A是数列 xn 的极限，
证明
lim
n
xn
C.
证 任给 0, 对于一切自然数 n,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim
n
xn

C.
说明: 常数列的极限等于同一常数.
例3 证明 lim qn 0,其中q 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
xn

A


AB, 2
xn

A

A 2
B
,
(1)
又
lim n
yn

B
N2
,当n

N
时有
2
yn
B


AB 2
,
yn

B

A 2
B
,
(2)
令 N max( N1, N2 ) 则当n N时，（1）、（2）式均成立
故当n>N时有： xn yn
推论1(收敛数列的保号性)
X1

1 2n
Xn

1 2n
0
……
著名诗人李白的《送孟浩然之广陵》：
故人西辞黄鹤楼， 烟花三月下扬州． 孤帆远影碧空尽， 唯见长江天际流．
“孤帆远影碧空尽”一句，让大家体会一个变量趋 向于0的动态意境，更有诗情画意．如果说，“一尺之 棰”的例子是离散的无穷小量，那么 “孤帆”的例子则 是连续的无穷小量．
要的是要指出对于任意给定的正数ε，正整数N
确实存在，没有必要非去求出最小的N。
1.2.2 数列极限的性质
1、唯一性
定理 1 每个收敛的数列只有一个极限.
证
设
lim
n
xn

a,又 lim n
xn

b,
由定义,
0, N1 , N2 .使得
当n

N
时恒有
1
xn

a


;
当n

N
时恒有
, 2n ,
;
1 {2n }
1,1,1,,(1)n1 ,;
{(1)n1 }
2, 1 , 4 ,, n (1)n1 ,;
23
n
n (1)n1
{
}
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
注： 1。数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在
数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
高等数学
主讲：谭宏
1.2 数列的极限
1.2.1 数列极限的概念
极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产 生的，它是微积分学中最基本的概念，极限方法是解 决近似与精确这对矛盾的基本方法，由它可引出微积 分学的其它基本概念，由极限的运算法则又可以推导 出微分法与积分法，所以掌握极限概念及其运算法则 就显得十分重要了.
“极”、“限”二字，古以有之．引申到生活中， 把不可逾越的数值称为极限。但在数学中，“极限” 却有更深刻的含义。
1、割圆术
“割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣”
—— 刘徽
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
...... ......
正 6 2n1 形的面积 An
或者称数列 xn 收敛于 A , 记为
lim
n
xn

A
或 xn A (n )
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：
1、是任意给定的正数，着意味着具有两重性：
a. 任意性. 即 可以任意选取，因为只有这样，不等式
xn A 才能刻画 xn无限接近A
b.相对固定性. 一经选取就相对固定下来，这样我们才 可根据 找N ，否，则无法进行.