第七章 多元函数的微分学
第七讲 多元函数微分学(基础班 专转本第七章)
类似地，当 x固定在 x 0，而 y 在 y 0处有改变量 y ，如 极 限 lim
y0
存在，则称此极限为函
z f ( x, y )在点（ x 0 ，y 0 ）处对 y 的偏导数，记为
则称二元函数 z f ( x , y) 在点 P0 ( x 0 , y 0 )处连续．如果 f ( x , y) 在区域 D 内的每一点都连续, 则称 f ( x , y) 在区域 D 上连续． 注：类似的，我们也可以定义二元函数间断点的概念 二、偏导数与全微分 引例 一定量理想气体的压强 P，体积 V，热力学 度 T 三者之间的关系为 RT P (R 为常量 ).
第七讲 多元函数微分学 §1 多元函数微分学 一、多元函数的概念 人们在实践中，还会遇到许多依赖与两个或两个以上自变 量的函数，称这种函数为多元函数。
2
RT
定量理想气体的压强 p V （R是常数） 1.二元函数的定义 设有三个变量 x, y和 z,如果当变量 x, y在它们的
(V , T ) V 0, T T
x 0 0 y
xy 1 1
,
f y
x 0 0 y
,zy
x 0 y 0
或f y ( x 0 , y 0 )
.
lim
lim
xy 1 1
t 11
2
lim f ( x , y ) f ( x 0 , y0 )
dPT常数
第七讲 多元函数微分学
e x cos y
x 1 o y x 2 yo 2
求 极 限 例4 求极限 lim
xy
l i m
解： 这里 就不能直 接带入 x 0, y 0
多元函数的微分知识点介绍 整理人王浩
多元函数的微分知识点介绍整理人王浩多元函数的微分是求解多元函数的局部变化率的方法。
在微分学中，多元函数的微分包括偏导数和全微分两个概念。
偏导数是指某一变量在其他变量不变的情况下所产生的变化率，而全微分则是指所有变量同时改变时函数值的变化率。
1. 偏导数偏导数是导数概念在多元函数中的应用。
对于一个多元函数f(x,y)，它的偏导数df/dx和df/dy表示当变量x或y分别增加一个微小的量时，函数f的局部变化率。
它们的定义如下：df/dx = lim(f(x+Δx,y)-f(x,y))/Δx (当Δy=0时)其中，Δx和Δy分别表示x和y的增量。
需要注意的是，偏导数只对某一变量求导，其他变量视作常数，可以将其视为单变量函数的导数。
2. 全微分全微分是将多元函数视为一个整体来求解其局部变化率的方法。
如果函数f(x,y)在某一点(x0,y0)处可微分，那么它的全微分df可以表示为：df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy其中，dx和dy分别表示x和y的增量，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f在(x0,y0)处的偏导数。
需要注意的是，全微分只适用于可微分的函数。
如果函数在某些点处不可微分，那么全微分也不存在。
3. 链式法则在多元函数求导中，链式法则是一种常用的方法。
它用于求解由多个函数复合而成的函数的导数。
如果h(x)是一个由f(u)和g(v)复合而成的函数，且u=u(x)和v=v(x)是关于x的函数，那么h(x)在x处的导数可以表示为：4. 梯度梯度是多元函数中的一种重要概念，它表示函数在某一点的最大变化方向。
对于一个多元函数f(x,y)，它在某一点(x0,y0)的梯度grad(f)(x0,y0)可以表示为：可以看出，梯度是一个向量，它的方向是函数在某一点的最大变化方向，大小则表示变化率的大小。
总之，多元函数的微分是一个重要的数学工具，它可以帮助我们研究各种复杂的自然现象和社会现象，如气象学、地质学、金融学等。
微积分第2版-朱文莉第7章 多元函数微分学习题祥解
习题7.1(A)1、求点(2,1,3)A -关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标。
解 (1)(2,1,3)--,(2,1,3)--, (2,1,3)；(2)x 轴：(2,1,3)-，y 轴：(2,1,3)---，z 轴：(2,1,3)-； (3) (2,1,3)--。
2、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(4,3,5)A -，(2,3,4)B -，(2,3,4)C --，(2,3,1)D --并求点(4,3,5)A -分别到(1)坐标原点；(2)各坐标轴；(3)各坐标面的距离。
解 A 点在第4卦限； B 点在第5卦限；C 点在第8卦限；D 点在第3卦限。
(1) A =(4,3,5)-(2) A 到x =A 到y =A 到z 5=；(3) A 到坐标面xy 5=；A 到坐标面yz 4=；A 到坐标面xz 3=。
3、在z 轴上求一点M ，使该点与点(4,1,7)A 和(3,5,2)B 的距离相等。
解 因为所求点在z 轴上, 所以设该点为(0,0,)M z , 由题意有MA MB , 即222222(4)1(7)35(2)z z两边平方, 解得149z, 于是所求点为14(0,0,)9M . 4、写出球心在点(1,3,2)--处，且通过点(1,1,1)-的球面方程。
解 由2222000()()()xx yy zz R ，得2222(1())(113())(12)R则3R ，从而球面方程为2222(1)(3)(2)3x yz5、下列各题中方程组各表示什么曲线？(1)2248,8;x y z z(2)2225,3;x y z x(3)2224936,1;x y z y (4)2244,2.x y z y解 (1) 双曲线；(2) 圆；(3) 椭圆；(4) 抛物线。
6、描绘下列各组曲面在第一卦限内所围成的立体的图形。
(1) 0,0,0,1x y z x y z ===++=；(2) 2222220,0,0,,x y z x y R y z R ===+=+=。
高等数学习题详解-第7章多元函数微分学
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：A (2，1,-6)，B (0，2，0)，C (-3，0,5)，D (1，-1，-7).解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。
2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z =11，故所求的点为M (0，0，149). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得21214M M =，2213236,6M M M M ==所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为1235y x z++=-。
北师大高等数学教材答案
北师大高等数学教材答案第一章：函数与极限1. 如题所示，本章主要讨论函数与极限的概念及其相关性质。
2. 函数的定义、性质以及基本类型。
3. 极限的概念及其运算法则。
4. 一些常见函数的极限计算方法。
第二章：导数与微分1. 导数的定义及导数运算法则。
2. 高阶导数的定义与计算方法。
3. 微分的概念及微分运算法则。
4. 切线与切线方程的求解。
第三章：微分中值定理与导数应用1. 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的介绍与应用。
2. 泰勒公式及其应用。
3. 函数的单调性、极值点与拐点的判定。
4. 曲线的凹凸性与渐近线的求解。
第四章：定积分1. 定积分的定义、性质与意义。
2. 定积分的计算方法：牛顿—莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等。
3. 曲线与 x 轴所围面积的计算。
4. 定积分的应用：求曲线长度、旋转体的体积、平均值等。
第五章：不定积分与定积分的应用1. 不定积分的定义与性质。
2. 基本积分表及其使用方法。
3. 积分的分部积分法、换元法等运算法则。
4. 定积分的应用：物理、几何问题中的应用。
第六章：无穷级数与幂级数1. 数项级数的概念及其性质。
2. 收敛级数与发散级数的判定方法。
3. 幂级数的收敛区间与收敛半径。
4. 幂级数的求和公式及其应用。
第七章：多元函数微分学1. 多元函数的概念与性质。
2. 偏导数的定义及计算方法。
3. 梯度、方向导数与最速下降问题。
4. 条件极值与无条件极值的求解。
第八章：重积分1. 二重积分的定义、性质与计算方法。
2. 三重积分的定义、性质与计算方法。
3. 重积分在物理、几何问题中的应用。
4. 线面积分与曲面积分的概念及计算方法。
第九章：曲线积分与曲面积分1. 曲线积分的定义、性质与计算方法。
2. 向量场及其通量、环流的概念。
3. 曲面积分的定义、性质与计算方法。
4. 电场强度、电通量与高斯定理的介绍。
以上是《北师大高等数学教材》的答案内容简介，希望能够对你的学习有所帮助。
多元函数微分学选择题
第七章 多元函数微分学1 多元函数题目尽量简单，难难度系数在0.1-0.5每个题目都标上难难度系数），格式如下： 选择题：1、设。
，则。
等于（ ）（c, 难难度系数0.1） A 、 B 、 C 、 D 、 1、2200lim3x y xyx y →→+之值为（ ）（B, 难难度系数0.2）A 、 0B 、 不存在C 、13 D 、 142、若()(),ln 1ln xy xy e f x y x x e x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则(),f x y 等于（ ）（D, 难难度系数0.2） A 、1xye B 、x x e yC 、 xxe D 、 2x yxe ye3、已知ln x y x =是微分方程yx y x y ϕ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭的解，则x y ϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭的表达式为（ ）（A, 难难度系数0.3） A 、22y x - B 、22y x C 、22x y- D 、22x y4、设函数(),zf x y =的定义域为(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤，则函数()23,z f x y =的定义域为（ ）（B, 难难度系数0.3） A 、 (){},01,01D x y x y =≤≤≤≤ B 、 (){},11,01D x y x y =-≤≤≤≤C 、(){},01,11D x y x y =≤≤-≤≤ D 、 (){},11,11D x y x y =-≤≤-≤≤ 5、下列函数中，在点()0,0处连续的函数是（ ）（c, 难难度系数0.3）A 、33x y z x y +=+ B 、()()()()222,,0,010,,0,0xyx y x y z x y -⎧≠⎪++=⎨⎪=⎩C 、sin(),00,0xy x z xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ D 、 ()()()(),,0,00,,0,0x y x y x y z x y -⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩6、设()22,f x y x y x y +-=-，则(),f x y =（ ）（D, 难难度系数0.1）A 、22x y - B 、 22x y + C 、 2()x y - D 、 xy7、22(,)(,)limx y x yx xy y →∞∞+=-+（ ）（A, 难难度系数0.3）A 、 0B 、 1C 、1- D 、 ∞8、设(),,0,xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，则(),f x y 在()0,0点（ ）（D, 难难度系数0.2） A 、 极限存在且为1 B 、极限存在且为1- C 、 连续 D 、 极限不存在9、设()()()()()242,,0,0,0,,0,0x yx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，则（ ）（c, 难难度系数0.2）A 、 极限()(,)(0,0)lim,x y f x y →存在，但(),f x y 在点()0,0处不连续 B 、 极限()(,)(0,0)lim ,x y f x y →存在，且(),f x y 在点()0,0处连续 C 、 极限()(,)(0,0)lim,x y f x y →不存在，但(),f x y 在点()0,0处不连续 D 、 极限()(,)(0,0)lim,x y f x y →不存在，但(),f x y 在点()0,0处连续 10、函数()1,sin cos f x y x y=的间断点为（ ）（D, 难难度系数0.1）A 、(),x y ，其中2,1,1,2,x y n n π===±±B 、 (),x y ，其中2,1,1,2,2x y n n ππ==+=±±C 、(),x y ，其中,1,1,2,x y n n π===±±D 、(),x y ，其中,,1,1,2,2x n y n n πππ==+=±±11、下列式子正确的是（ ）（D, 难难度系数0.3） A 、2200lim 0x y xyx y →→=+ B 、 00lim0x y xy x y →→=+ C 、 32600lim 0x y xy x y →→=+ D 、 2244lim 0x y x y x y →∞→∞+=+12、00limx y xyx y →→+之值为（ ）（B, 难难度系数0.2）A 、 0B 、 不存在C 、∞ D 、 1-13、2(,)lim x y →=（ ）（A, 难难度系数0.2）A 、 12B 、 不存在C 、 1-D 、 ∞的不存在14、设()22,f x y x y x y +-=-，则(),f x y =（ ）（B, 难难度系数0.1）A 、()22y x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭B 、211y x y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ C 、 11y x y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭D 、 22x y - 15、函数22ln 4x y z +-=的定义域是（ ）（c, 难难度系数0.2）A 、 224x y +≥且20x y >≥B 、 224x y +>且20x y ≥≥C 、224x y +>且20x y >≥ D 、 224x y +≥且20x y ≥≥16、已知函数()2,4f x y x y =+，则(),f x y xy -=（ ）（B, 难难度系数0.2）A 、 ()2x y - B 、()2x y + C 、24x y - D 、 24x y +17、已知函数()33,2f x y x y =+，则(),f y x --=（ ）（C, 难难度系数0.1）A 、332xy - B 、 332y x + C 、 332x y -- D 、 332x y -+18、已知函数()2,2x y f x y x y-=-，则()1,3f =（ ）（B, 难难度系数0.1）A 、15 B 、 5 C 、 15- D 、 5- 19、已知函数()22,3f x y x y x y -+=+，则(),f x y =（ ）（D, 难难度系数0.2）A 、223()()x y x y -++B 、22()3()x y x y -++C 、22xxy y ++ D 、 22x xy y -+20、已知函数(),32f x y x y =+，则()(),,f xy f x y =（ ）（B, 难难度系数0.2）A 、32x y +B 、364xy x y ++ C 、36xy x + D 、34xy y +20、()2222arcsin ln 14x y z x y +=++-的定义域是（ ）（D, 难难度系数0.2） A 、(){}22,14x y x y ≤+≤ B 、(){}22,14x y x y <+< C 、(){}22,14x y xy ≤+< D 、 (){}22,14x y x y <+≤21、)]ln(ln[x y x z -=的定义域是（ ）（D, 难难度系数0.2）A 、(){},0,1x y x x y x <<<+B 、 (){},,0,1x y x y x >≥+C 、(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >≥+⋃<<<+ D 、 (){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y xx y x>>+⋃<<<+ 22、()()ln arcsin 3z y x x =-+-的定义域是（ ）（C, 难难度系数0.2）A 、(){},,,2,24x y y x y x x >≤≤< B 、(){},,,2,24x y y x y x x >≤<≤ C 、(){},,,2,24x y y x y x x >≤≤≤ D 、(){},,,2,24x y y x y x x ><≤≤23、02sin limx y xyx →→=（ ）（A, 难难度系数0.1）A 、2 B 、1 C 、0 D 、不存在24、()2222001lim52sin34x y xy x y →→+=+（ ）（D, 难难度系数0.2）A 、不存在B 、∞C 、1D 、 025、(,)(0,0)limx y →=（ ）（A, 难难度系数0.2）A 、14B 、∞C 、1D 、 0 26、00x y →→=（ ）（D, 难难度系数0.2）A 、∞B 、1C 、0D 、 16-27、二重极限22400lim x y xy x y →→+值为（ ）（C, 难难度系数0.2）A 、1B 、∞C 、不存在D 、028、二重极限26300lim y x yx y x +→→值为（ ）（D, 难难度系数0.2）A 、1B 、∞C 、0D 、不存在 29、二重极限()102lim1xx y xy →→+=（ ）（A, 难难度系数0.2）A 、 2eB 、1C 、∞D 、 030、22()lim (e x y x y x y -+→+∞→+∞+=）（ ）（C, 难难度系数0.2）A 、1B 、∞C 、0D 、不存在31、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x xxyy x f 的连续范围是（ ）（D, 难难度系数0.3） A 、220xy +≠ B 、0xy ≠ C 、0x ≠ D 、 全平面32、函数2222y x z y x+=-在22y x =处（ ）（B, 难难度系数0.1）A 、不能判定B 、间断C 、连续D 、不间断也不连续 33、函数2sinzx xy=在0xy =处（ ）（A, 难难度系数0.1） A 、连续 B 、不能判定 C 、不间断也不连续 D 、间断34、函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xy y x f 在)0,0(点（ ）（A, 难难度系数0.2）A 、间断B 、连续C 、极限存在D 、不间断也不连续 35、函数()22(,)ln f x y x y =+在点)0,0(（ ）（B, 难难度系数0.2）A 、连续B 、 间断C 、极限存在D 、不间断也不连续2 偏导数1、设(),f x y 在点()00,x y 处偏导数存在，则()()00000,,limx f x x y f x x y x∆→+∆--∆=∆（ ）（c, 难难度系数0.2） A 、()00,x f x y ' B 、 ()002,x f x y ' C 、 ()002,x f x y ' D 、()001,2x f x y ' 2、设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()1,0y f '=（ ）（B, 难难度系数0.3）A 、 1B 、 12C 、 2D 、 0 3、若()22,f xy x y x y xy +=++，则(),x f x y =（ ）（A, 难难度系数0.3）A 、1- B 、 2y C 、 ()2x y + D 、 2x4、二元函数()()()()()22,,0,0,0,,0,0xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点()0,0处（ ）（c, 难难度系数0.2） A 、 连续，偏导数存在 B 、连续，偏导数不存在 C 、不连续，偏导数存在 D 、 不连续，偏导数不存在 5、已知(),f x y = ）（D, 难难度系数0.3）A 、 ()()0,0,0,0x y f f ''都存在B 、 ()0,0x f '不存在(),0,0y f '存在C 、()0,0x f '存在(),0,0y f '不存在 D 、 ()0,0x f '(),0,0y f '都不存在6、二元函数()()()()()242,,0,0,0,,0,0x yx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点()0,0处（ ）（c, 难难度系数0.3）A 、 连续，偏导数存在B 、连续，偏导数不存在C 、不连续，偏导数存在D 、 不连续，偏导数不存在7、设函数(),z f x y =满足222fy∂=∂，且()(),01,,0y f x f x x ==，则(),f x y =（ ）（B, 难难度系数0.4） A 、21xy y -+ B 、 21xy y ++ C 、221x y y -+ D 、 221x y y ++8、设(),zf x y =在点()00,x y 处偏导数存在，则()00,x y zx ∂=∂（ ）（B, 难难度系数0.3）A 、()()00000,,limx f x x y y f x y x ∆→+∆+∆-∆ B 、 ()()00000,,lim x f x x y f x y x ∆→+∆-∆C 、()()0000,,limx f x x y f x y x ∆→+∆-∆ D 、 ()()0000,,lim x f x y x f x y x∆→+-∆9、若()22,f xy x y x y xy +=+-，则()(),,x y f x y f x y +=（ ）（c, 难难度系数0.3）A 、22x y + B 、 23y + C 、 23y - D 、 23x +10、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，是),(y x f 在该点连续的（ ）条件（D,难难度系数0.3）A 、 充分条件但非必要条件B 、 必要条件但非充分条件C 、 充分必要条件D 、 既非充分条件也非必要条件 11、二元函数(),f x y 在点()0,0处连续，且偏导数存在，()0,00f =，则当()(),0,0x y ≠时，(),f x y 可以等于下列四个式子中的（ ）（c, 难难度系数0.3）A 、2422x y x y ++ BCD 、22xy x y +12、已知(),f x y = ）（c, 难难度系数0.3）A 、 ()()0,0,0,0x y f f ''都存在B 、 ()0,0x f '不存在(),0,0y f '存在C 、()0,0x f '存在(),0,0y f '不存在 D 、 ()0,0x f '(),0,0y f '都不存在13、二元函数()()()()()544,,0,0,0,,0,0x xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，则()0,0x f =（ ）（c, 难难度系数0.3）A 、 0B 、∞C 、 1D 、 不存在但不是无穷大14、二元函数()()()()()3322,,0,0,0,,0,0x y xy x y x y f x y x y ⎧-≠⎪+=⎨⎪=⎩，则下列各式错误的是（ ）（c, 难难度系数0.4） A 、()0,0x f =0 B 、()0,x f y y =- C 、()0,01xy f = D 、 ()0,01xy f =-15、曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是（ ）（c, 难难度系数0.3）A 、2π B 、 3π C 、4π D 、 6π 16、设x zy =,则xy z =（）（c, 难难度系数0.2）A 、1ln x xy x -B 、()1ln x y x y -+C 、()11ln x y x y -+D 、2ln x y x17、()22,f x y xy x y π=---，则(,)f x y x∂=∂（ ）22y x y --（c, 难难度系数0.2）A 、22y x y π--- B 、 22y x y -- C 、2y x - D 、 22y x y --18、设()22,f x y xy x y e =--+，则(,)f x y y∂=∂（ ）（B, 难难度系数0.2）A 、22y x y e --- B 、2x y - C 、 22y x y -- D 、 22y x y --19、已知理想气体状态方程RT PV =，则=∂∂⋅∂∂⋅∂∂PT T V V P （ ）（A, 难难度系数0.3 A 、1- B 、 1 C 、 2 D 、 没意义20、已知()()()()()2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ⎧-⎪≠=+⎨⎪=⎩，则()0,0x f =（ ）（C,难难度系数0.3）A 、 1B 、1- C 、 0 D 、 不存在21、已知()()()()()2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ⎧-⎪≠=+⎨⎪=⎩，则()0,1x f =（ ）（A,难度系数0.3） A 、1- B 、 1 C 、 0 D 、 不存在22、已知()()()()()2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ⎧-⎪≠=+⎨⎪=⎩，则()0,x f y =（ ）（B,难度系数0.3）A 、yB 、y -C 、x -D 、123、已知()()()()()2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ⎧-⎪≠=+⎨⎪=⎩，则(),0y f x =（ ）（A,难度系数0.3）A 、xB 、y -C 、x -D 、124、设)cos()2cos(),(y x y x y x f +-=，则=')4,(ππyf （ ）（D,难度系数0.3）A 、0BC 、D 、 -25、设y x y x u arcsin)1(-+=，则xu∂∂在(2,1)的值是（ ）（A,难度系数0.1）A 、1B 、1-C 、0D 、226、设(ux y =+-，则(,1)x f x 的值是（ ）（A,难度系数0.1）A 、1B 、1-C 、0D 、2 27、设(21)arcsinx ux y y =+-，则xu ∂∂在(1,2)的值是（ ）（D,难度系数0.3）A 、1-B 、1+C 、1-D 、 31+28、设(21)arccosx u x y y=+-，则xu ∂∂在(1,2)的值是（ ）（B,难度系数0.3）A 、1-B 、1-C 、1+D 、 31+29、设(1)arctanx u y y y =+-，则xu ∂∂在(1,2)的值是（ ）（D,难度系数0.3）A 、15 B 、 15- C 、25- D 、 2530、设2arctan (21)arccoty xue y y=+-，则xu ∂∂在(1,2)的值是（ ）（C,难度系数0.3）A 、35 B 、35- C 、 65- D 、6531、设(21)arctanyux x x=+-，则u y ∂∂在(1,1)-的值是（ ）（B,难度系数0.3）A 、32 B 、 12 C 、12- D 、1 32、设2arctan 2y ux x =+，则uy∂=∂（ ）（D,难度系数0.3） 33、设2arcsin 2y ux y =+，则ux∂=∂（ ）（A,难度系数0.3）A 、212y yx - B 、22ln yxx C 、2ln y x x D 、2122214y yx x -++34、设(),z f x y x y ==+()3,4x f =（ ）（D,难度系数0.3）A 、35 B 、85 C 、15 D 、 2535、设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1x y f y ==∂=∂（ ）（C,难度系数0.3）A 、23 B 、13 C 、12D 、 1 36、设2e xyu =， 则2u uxy x y∂∂+=∂∂（ ）（C,难度系数0.4） A 、1 B 、224xy x eyC 、0D 、224xy x ey-37、设2x yue=，则2ux y∂=∂∂（ ）（D,难度系数0.3） A 、22x yxe B 、2x ye C 、()2321x yyx e+ D 、()2221xyx x y e +38、设2sin xu xz y=+，则42u x y z ∂=∂∂∂（ ）（A,难度系数0.3） A 、0 B 、2xz C 、2z D 、21sin xy y-39、设xyz ln =，则22zx ∂=∂（ ）（D,难度系数0.4） A 、1 B 、0 C 、2ln 2ln ln x y y y x + D 、 2ln 2ln ln xy y y x- 40、设xyzln =，则2zx y∂=∂∂（ ）（C,难度系数0.3） A 、0 B 、ln 2ln ln 1xx y y x - C 、 ln ln ln 1x y x y xy ⋅+ D 、 2ln 2ln ln x y y y x - 41、设yxz u arctan =，则222222u u u x y z ∂∂∂++=∂∂∂（ ）（C,难度系数0.3）A 、()2224xyzxy-+ B 、()2224xyzxy-+ C 、 0 D 、1A 、B 、C 、连续D 、 不连续 42、设()22,f xy x y x y -=+，则1f f x y y∂∂+=∂∂（ ）（D,难度系数0.3） A 、0 B 、1 C 、2 D 、43 全微分及其应用1、函数(),zf x y =在点()00,x y 处具有偏导数()()0000,,,x y f x y f x y ''是函数在该点可微的（ ）（A,难度系数0.2）A 、 必要条件但非充分条件B 、充分条件但非必要条件C 、 充分必要条件D 、 既非充分条件也非必要条件 2、二元函数(),f x y 在点()0,0处可微的一个充分条件是（ ）（C,难度系数0.3）A 、()()()(),0,0lim,0,00x y f x y f →-=⎡⎤⎣⎦B 、()(),00,0lim0x f x f x→-=,且()()00,0,0lim0y f y f y →-= C 、()(,0,0,0,0lim0x y f x y f →-=D 、()()0lim ,00,00x x x f x f →''-=⎡⎤⎣⎦,且()()0lim 0,0,00y y y f y f →''⎡⎤-=⎣⎦ 3、若函数(),f x y 在点()00,x y 处的偏导数存在，则(),f x y 在该点处函数（ ）（D,难度系数0.3）A 、 有极限B 、连续C 、可微D 、 A 、B 、C 都不成立 4、考虑二元函数(),f x y 的下面4条性质：①(),f x y 在点()00,x y 处连续， ②(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数连续， ③(),f x y 在点()00,x y 处可微， ④(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数存在若用“P Q ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ，则有（ ）（A,难度系数0.3） A 、②⇒③⇒① B 、③⇒②⇒① C 、③⇒④⇒① D 、 ③⇒①⇒④ 5、设z=()1,1dz =（ ）（B,难度系数0.3）A 、()12dx dy + B 、 dx dy + C 、 ()13dx dy + D 、)dx dy + 6、设1zx uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()1,1,1du=（ ）（B,难度系数0.3）A 、dx dy dz ++B 、 dx dy -C 、 dx dz -D 、 dy dz -7、设cos ,sin x r y r θθ==，则xdy ydx -=（ ）（B,难度系数0.2）A 、2rd rdr θ+ B 、 2r d θ C 、 rdr D 、 rd θ8、在下列条件中，使函数(),z f x y =在点()00,x y 处可微，且全微分为零的是（ ）（D,难度系数0.3） A 、 具有偏导数且()()0000,0,,0x y f x y f x y ''== B 、()00,x y f∆=C 、()0022,sin x y x y f∆+∆∆=D 、()()0022,x y fx y ∆=∆+∆9、下列函数在点()0,0处可微的是（ ）（C,难度系数0.3）A、z =B 、()()()(),0,00,,0,0x y z x y ≠==⎩ C 、()()()()()22221sin ,,0,00,,0,0x y x y x y z x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩ D 、()()()()22,,0,00,,0,0xy x y x y z x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩10、若()()(),,zf x y x yg x y ==+，(),g x y 在点()0,0处连续，则(),f x y 在该点处结论错的是（ ）（C,难度系数0.3）A 、 有极限B 、连续C 、不可微D 、 dz dx dy =+11、若函数(),f x y 在点()00,x y 处不连续，则（ ）、（D,难度系数0.1） A 、()00,f x y 必不存在 B 、()()00(,),lim,x y x y f x y →必不存在C 、()()0000,,,x y f x y f x y 必不存在D 、 (),f x y 在()00,x y 必不可微12、函数(),f x y 在点(),x y 处可微是它在该点偏导数z x ∂∂与z y∂∂连续的（ ）条件（A,难度系数0.2） A 、 必要 B 、 充分 C 、 充要 D 、 无关 13、设432z x y x =+，则()1,2dz =（ ）（C,难度系数0.2）A 、()3342423x ydx x y dy ++ B 、1234dx dy + C 、 3412dx dy + D 、3412dx dy -14、arctanxz y=，则dz =（ ）（D,难度系数0.2） A 、22xdy ydx x y -+ B 、22xdx ydy x y -+ C 、22ydx xdy x y ++ D 、 22ydx xdyx y -+15、(),fx y 在()00,x y 的一阶偏导数连续是(),f x y 在()00,x y 可微的（ ）条件（B,难度系数0.2）A 、 必要B 、 充分C 、 充要D 、 无关16、若(),f x y =()1,1df=（ ）（D,难度系数0.2）A 、22xdx ydy x y ++ B 、221xdx ydyx y +++ C 、2dx dy+ D 、3dx dy+17、u =()0,1处的du =（ ）（B,难度系数0.3）A 、2dxB 、dxC 、()2222yx dx xydy x y--+ D 、222y dx xydyx y-+ 18、设yx yx y x z-+++=arctanln 22，则d z =（ ）（D,难度系数0.3） A 、()()22x y dy x y dxx y --++ B 、()()22x y dx x y dyx y --++C 、()()22x y dx x y dyx y ++-+ D 、()()22x y dx x y dyx y -+++19、设(),zf x y =在点()00,x y 处的全增量为z ∆,全微分为dz ,则(),z f x y =在点()00,x y 处的全增量与全微分的关系式是（ ）（B,难度系数0.2） A 、zdz ∆= B 、()z dz o dz ∆=+ C 、()z dz o z ∆=+ D 、()z dz o dx ∆=+20、函数)ln(22z y x u++=，则在点)1,0,1(A 处的全微分为（ ）（C,难度系数0.2）A 、22dx ydy zdz x y z ++++ B 、2222dx ydy zdzx y z ++++ C 、22dx dz + D 、2dx dz+ 21、函数32),(y x y x f =在点)0,0(处（ ）（D,难度系数0.3）A 、两个偏导函数连续B 、可微C 、连续且两个偏导数)0,0(),0,0(y x f f ''都不存在 D 、 连续且两个偏导数)0,0(),0,0(y x f f ''都存在，但不可微22、若(),z f x y =在点()00,x y 处可微，则下列结论错误的是（ ）（B,难度系数0.3）A 、(),z f x y =在点()00,x y 处连续B 、()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处连续C 、()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处存在D 、 曲面(),zf x y =在点()()0000,,,x y f x y 处有切平面23、二元函数),(y x f 在点),(000y x M 处连续，且),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，这是),(y x f 在点可微的（ ）条件（B,难度系数0.2）A 、 充分非必要B 、必要非充分C 、 充分必要D 、 既非充分亦非必要 24、．难度0、3答案 设2yu x =，则du =（ ）（A,难度系数0.3）A 、22212ln y y y xdx yx xdy -+ B 、2221ln y y y xdx x xdy -+C 、221()y y x dx dy -+ D 、22212ln y y y x dy yx xdx -+25、函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量z ∆=（ ）（C,难度系数0.1）A 、0.20B 、0.20-C 、0.2040402004-D 、0.2040402004 26、函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全微分d z =（ ）（C,难度系数0.1）A 、0.20B 、0.2040402004C 、0.2040402004-D 、0.20- 27、x y ucos )(ln =,则d u =（ ）（A,难度系数0.3）A 、cos cos (ln)ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦ B 、cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤⋅+⎢⎥⎣⎦C 、cos sin (ln)ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦ D 、cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦28、z yxu)(=,则d u =（ ）（D,难度系数0.3）A 、11()ln z x x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ B 、()ln z x z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ C 、()ln z x z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ D 、()ln z x z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 29、2221zy x u++=,则d u =（ ）（C,难度系数0.3）A 、()()32222xy zxdx ydy zdz -++++ B 、()()32222xy zxdx ydy zdz -++++ C 、 ()()32222x y z xdx ydy zdz --++++ D 、()()32222xy zxdx ydy zdz ++++30、(),f x y =()0,0处（ ）（C,难度系数0.3）A 、不连续B 、()0,0x f 与()0,0y f 不存在C 、 不可微D 、可微31、设xy zxe y =+，则()1,1dz =（ ）（B,难度系数0.2）A 、edx dy +B 、 ()21edx e dy ++C 、xyedx dy + D 、()()211xy xy xy e dx x e dy +++4 多元复合函数的求导法则1、设(),u f x y =，且cos ,sin x r y r θθ==，其中f 具有二阶连续的偏导数，则22uθ∂=∂（ ）（C,难度系数0.3） A 、 2222sin cos xx yy r f r f θθ+B 、 22222sin sin 2cos xx xy yy r f r f r f θθθ-+C 、 22222sin sin 2cos cos sin xx xy yy x y r f r f r f rf rf θθθθθ-+--D 、2222sin cos cos sin xx yy x y r f r f rf rf θθθθ+--2、设(),,tf x xy xyz =，其中f 具有连续二阶偏导数，则2ty z∂=∂∂（ ）（D,难度系数0.3） A 、2132333xyf x yf xyzf ++ B 、 222333x yf x yzf +C 、2223333x yf x yzf f ++ D 、 2223333x yf x yzf xf ++3、设(),,tf x xy xyz =，其中f 具有连续二阶偏导数，则22tx∂=∂（ ）（D,难度系数0.3）A 、222112233f y f y z f ++B 、 2121323222yf yzf y zf ++C 、 2222112233121323222y f yf y z f f yzf y zf +++++D 、2222112233121323222f y f y z f yf yzf y zf +++++4、设函数()()(),ux y x y x y ϕϕ=++-，其中函数ϕ具有二阶导数，则必有（ ）（B,难度系数0.3） A2222u u x y ∂∂=-∂∂ B 2222u u x y ∂∂=∂∂ C 20u x y ∂=∂∂ D 2220u ux x y∂∂+=∂∂∂ 5、设()(),,,zf x v vg x y ==，其中,f g 均有二阶连续导数，则（ ）（C,难度系数0.3）A2222f f vx v x ∂∂∂+∂∂∂ B222222f f v f vx v x v x∂∂∂∂∂++∂∂∂∂∂C222222222f f v fv f v x x v x v x v x∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ D2222222f fv f v x v x v x∂∂∂∂∂⎛⎫++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭6、设函数222200,0x y z x y +≠=+=⎩，又,x t y t ==，则t dzdt ==（ ）（C,难度系数0.3） A 、 0 B、 C 、D 、 17、设函数()()()(),x yx yux y x y x y t dt ϕϕψ+-=++-+⎰，其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有（ ）（B,难度系数0.4）A2222u u x y ∂∂=-∂∂ B 2222u u x y ∂∂=∂∂ C 222u u x y y ∂∂=∂∂∂ D 222u ux y x ∂∂=∂∂∂ 8、设函数()21ax e y z u a -=+，又sin ,cos y a x z x ==，则du dx=（ ）（A,难度系数0.3）A 、sin ax e x B 、cos ax e x C 、21(cos sin )1ax e a x x a ++ D 、 21cos 1axe x a + A 、 B 、 C 、 D 、 9、设()v uf z,=，其中e ,x u v x y -==+，下面运算中（ ）（B,难度系数0.3）:e x z f f I x u v-∂∂∂=-+∂∂∂，222:v f y x z II ∂∂=∂∂∂A 、I 、II 都不正确B 、I 正确，II 不正确C 、I 不正确，II 正确D 、 I 、II 都正确10、设(),u f x y xz =+有二阶连续偏导数，则2ux y∂=∂∂（ ）（C,难度系数0.3） A 、 ()2111222f xf x z f xzf ++++ B 、 1222xf xzf +C 、21222f xf xzf ++ D 、 22xzf11、设()(),,,,zf x y z yg x t ==，其中,f g 可微，则zx∂=∂（ ）（B,难度系数0.3） A 、()(),,,y x f x y z g x t - B 、 1x y x z f f g f +-C 、 ()(),,,y x f x y z g x tD 、1x y x zf fg f ++12、若设()22222,f x y x y M x y∂++=∂∂，其中f为二次连续可微函数，则（ ）（D,难度系数0.3）A 、2f f M x u v ∂∂⎛⎫=+ ⎪∂∂⎝⎭ B 、 22222f f M x u v ⎛⎫∂∂=+ ⎪∂∂⎝⎭C 、22222f f M xy u v ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭ D 、 22224f f M xy uv ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭13、若函数(),x y uxyf f t xy ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为可微函数，且满足()22,u u x y G x y u x y ∂∂-=∂∂，则(),G x y 必等于（ ）（B,难度系数0.3） A 、x y + B 、 x y - C 、 22x y - D 、 ()2x y +14、设()()2,zf x yg x xy =-+，其中f有二阶连续导数，g 有二阶连续偏导数，则下列正确的是（ ）（C,难度系数0.3）A2x x xy zf g yg x∂''=++∂ B2,,2xy x xy xy xy xy z f xg g xyg x y ∂'''''''=-+++∂∂ C2122222z f xg g xyg x y ∂'''''''=-+++∂∂ D 2122222zf xg g xyg x y∂'''''''=-++-∂∂ 15、设函数()2222,z x y u x y ϕ=+=+，其中函数ϕ可微，则下列四个式子正确的是（ ）（B,难度系数0.2） Az u x u x ϕ∂∂∂=⋅∂∂∂ B z d u x du x ϕ∂∂=⋅∂∂ C z d du x du dx ϕ∂=⋅∂ D z du x u dxϕ∂∂=⋅∂∂16、设y zxyf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f u 可导，则z x x ∂+∂z y y ∂∂为（ ）（D,难度系数0.2）A 、2xy B 、 ()2x y z + C 、()2x y + D 、 2z17、设)(22y x z-=ϕ，其中ϕ具有连续的导数，则下列等式成立的是（ ）（C,难度系数0.2）A 、y z y x z x∂∂=∂∂ B 、 y z x x z y ∂∂=∂∂ C 、 y z x x z y ∂∂-=∂∂ D 、 yzy x z x ∂∂-=∂∂5 隐函数求导法1、设有三元方程ln 1xzxy z y e-+=，根据隐函数存在定理，存在点()0,1,1的一个邻域，在此邻域内该方程（ ）（D,难度系数0.3）A 、只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(),z z x y =B 、可确定俩个具有连续偏导数的隐函数(),y y x z =和(),z z x y =C 、 可确定俩个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),z z x y =D 、 可确定俩个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =2、已知,tan ,cos zxx y z e xe t y t +-===，则220t d zdt ==（ ）（D,难度系数0.3）A 、12 B 、 14 C 、 18 D 、 138- 3、若(),u u x y =为可微函数，且满足()22,1,y x y x uu x y x x==∂==∂，则必有2y x u y=∂=∂（ ）（C,难度系数0.3）A 、 1B 、12 C 、 12- D 、 1- 4、设函数(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z zxy x y∂∂+=∂∂（ ）（B,难度系数0.3） A 、 x B 、 z C 、 x - D 、 z -5、设(),z z x y =由方程()22y z xf y z +=-确定，f 可微，则z zxy x y∂∂+=∂∂（ ）（B,难度系数0.3）A 、xB 、yC 、zD 、 1 6、设函数(),z f x y =由方程()x y z x y z e-++++=确定，则（ ）（C,难度系数0.3）A 、z zx y∂∂≠∂∂ B 、2222z z x y ∂∂≠∂∂ C 、 222z z x y y ∂∂=∂∂∂ D 、 222z z x x y ∂∂≠∂∂∂7、设(),z x y 由方程()22ln 0xz xyz xyz -+=确定，则zx∂=∂（ ）（C,难度系数0.2）A 、z x B 、 x z C 、 z x - D 、 x z- 8、设ln x zz y=，则()0,1=dz （ ）（B,难度系数0.2） A 、1122dx dy + B 、 1122dx dy - C 、 dx dy + D 、 dx dy - 9、设(),0f x az y bz ++=，则z zab x y∂∂+=∂∂（ ）（C,难度系数0.3） A 、0 B 、1 C 、1- D 、 ab10、设(),z z x y =由方程222124y z x ++=确定，则（ ）（C,难度系数0.3） A 、2z xx z∂=-∂ B 、 224z x z ∂=-∂ C 、 2223416z x x z z ∂=--∂ D 、2223416z x x z z∂=-+∂11、由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数),(y x z z =在点()1,0,1-处的全微分=dz （ ）（C,难度系数0.3）A dy -B dy +C 、 dx -D 、dx +12、设⎪⎭⎫⎝⎛=z y z x ϕ，其中ϕ为可微函数，则z z x y x y ∂∂+=∂∂（ ）（D,难度系数0.3） A 、()x y z + B 、0 C 、z - D 、 z13、若(),zz x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定，则z z x y x y ∂∂+=∂∂（ ）（A,难度系数0.3）A 、zB 、z -C 、0D 、 114、由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数dz dx =（ ）（B,难度系数0.3）A 、13y z - B 、 13x z + C 、13x z - D 、13yz+15、设函数()zf u =，又方程()()d xyu u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),Pt u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠、 则()()z zP y P x x y∂∂+=∂∂（ ）（A,难度系数0.3） A 、 0 B 、1 C 、2 D 、()()xPy yP x +6 方向导数与梯度1、函数(),arctanxf x y y =在点()0,1处的梯度等于（ ）（A,难度系数0.2） A 、iB 、i- C 、jD 、j-2、设2uxy z =-，则在点()1,2,2-处方向导数的最大值为（ ）（C,难度系数0.2） A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4 3、设2uxy z =，则在点()01,1,1M 处方向导数的最大值为（ ）（D,难度系数0.2）A 、B 、 4C 、 1D 、4、函数(),zf x y =在点()0,0处的两个偏导数()()0,0,0,0x y f f ''都存在，则在点()0,0处，函数(),z f x y =（ ）（B,难度系数0.2）A 、 沿x 轴的正向和负向的方向导数比相等B 、关于x 连续，关于y 也连续C 、 沿x 轴的正向和负向的方向导数比相等D 、 连续 5、设22223326ux y z xy x y z =++++--在原点沿()1,2,1方向的方向导数为（ ）（C,难度系数0.2） A 、B 、C 、D 、 6、函数(),f x y 在点(),x y 处可微是它在该点有方向导数的（ ）条件（D,难度系数0.1）A 、无关B 、充要C 、必要D 、充分7、在梯度向量的方向上，函数的变化率（ ）（B,难度系数0.1） A 、 B 、最大 C 、 D 、8、函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是（ ）（B,难度系数0.2）A 、0B 、cos cos cos αβγ++ C 、1 D 、{cos ,cos ,cos }αβγ9、函数xyxu =在点)1,1,1(的梯度为（ ）（B,难度系数0.3）A 、{}1,1- B 、 {}1,1,0- C 、{}1,1,0- D 、{}1,1-10、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，则),(y x f （ ）（D,难度系数0.2）A 、在该点可微；B 、 在该点连续；C 、在该点沿任意方向的方向导数存在；D 、 以上结论都不对、； 11、函数e cos()x u yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l的方向导数是（ ）（D,难度系数0.3）A 、13 B 、13- C 、23- D 、 2310．难度0、3答案 函数)ln(22z y x u++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是（ ）（C,难度系数0.3） A 、1 B 、0 C 、 12 D 、12- 12．难度0、2答案 设函数u x xy xyz =++在点()1,2,0的所有方向导数中，最大的方向导数是沿方向（ ）（B,难度系数0.2）A 、{3,1,2}---B 、 {3,1,2}C 、{1,3,2}D 、{3,2,1}13、函数z=在点()0,0处沿方向{}1,0的方向导数zl∂=∂（ ）（A,难度系数0.2） A 、 1 B 、1- C 、0 D 、不存在 14、设2)0,0(,1)0,0(='='y x f f ，则（ ）（D,难度系数0.3）A 、),(y x f 在点)0,0(处连续；B 、 dy dx y x df 2),()0,0(+=；C 、 βαcos 2cos )0,0(+=∂∂lf ，其中βαcos ,cos 为l 的方向余弦；D 、),(y x f 在点)0,0(处沿x 轴负方向的方向导数为1-。
微积分第七章-多元函数微分学习题
总结词
理解偏导数与全微分的关系，掌握二者之间 的转换方法。
详细描述
偏导数是全微分的线性近似，即当 自变量改变量Δx、Δy等趋于0时， 全微分等于偏导数乘以自变量改变 量。因此，在求函数在某一点的切 线斜率时，可以使用偏导数；而在 计算函数在某一点的微小改变量时， 则使用全微分。
03
习题三：方向导数与梯度
THANKS
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Delta y]
计算多元函数的梯度
总结词
梯度是多元函数在某点处的方向导数的最大值，表示函数在该点处沿梯度方向变 化最快。
详细描述
梯度的计算公式为：[nabla f(x_0, y_0) = left( frac{partial f}{partial x}(x_0, y_0), frac{partial f}{partial y}(x_0, y_0) right)]梯度向量的长度即为函数在该点 的变化率。
讨论多元函数极值的性质
要点一
总结词
极值的性质包括局部最大值和最小值、鞍点的存在以及多 变量函数的极值与一元函数的极值之间的关系。
要点二
详细描述
在多元函数中，极值具有局部性，即在一个小的区域内， 一个函数可能达到其最大值或最小值。鞍点是函数值在某 方向上增加而在另一方向上减少的点。此外，多变量函数 的极值与一元函数的极值之间存在一些关系，例如，在一 元函数中，可微函数在区间上的最大值和最小值必然在驻 点处取得，但在多元函数中，这一性质不再成立。
利用二阶条件求多元函数的极值
总结词
二阶条件是进一步确定极值点的工具，通过判断二阶偏导数的符号，我们可以确定是否为极值点。
详细描述
在得到临界点后，我们需要进一步判断这些点是否为极值点。这需要检查二阶偏导数的符号。如果所 有二阶偏导数在临界点处都为正，则该点为极小值点；如果所有二阶偏导数在临界点处都为负，则该 点为极大值点；如果既有正又有负，则该点不是极值点。
多元复合函数的全微分
o
x
z
图形为中心在原点的上半球面.
1 y
又如, z sin( x y ) , ( x, y ) R 2
说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D 的图形一般为空间曲面 . 三元函数 u arcsin( x 2 y 2 z 2 ) 定义域为 单位闭球
x
y
E
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
6
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(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
若点集 E E , 则称 E 为闭集；
若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,
则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 开区域连同它的边界一起称为闭区域. D
。
。
7
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例如，在平面上 ( x, y ) x y 0
图形为
空间中的超曲面.
12
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7.1.2、二元函数的极限和连续 1、二元函数的极限 2 定义2. 设 二元函数 f ( P), P D R ,P0 是 D 的聚
点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一
切 P D U ( P0 ,δ ) , 都有
从而在三维空间 R3确定唯一一点 ( x, y, f ( x, y))
点集 : P( x, y, z ) ( x, y) D, z f ( x, y)
第7章多元函数的微分学总复习剖析
x2 y2
x2 y2
总复习（第7章） 四、抽象复合函数的一阶偏导数
——填空、选择
2、设z f( x2 y2,e xy ),其中f 为可微函数，求zx ,zy .
解 设u x2 y2 ,v e xy , 则z f(u,v),
zx zu ux zv vx fu(u,v) 2x fv(u,v) ye xy
1. u xe y z2
解 du u dx u dy u dz
x
y
z
e y z2dx xe y z2dy 2 xze ydz.
2. z ln( x2 y2)
解 dz z dx z dy
x
y
( x2
y
2
) x
dx
( x2
y
2
) y
dy
x2 y2
x2 y2
2x
2 y
dx
dy
1. x 2 y z 2xyz 0.
解 令F( x, y,z) x 2 y z 2xyz
Fx 1 2 yz, Fy 2 2xz, Fz 1 2xy
z Fx
x
Fz
1 2yz 1 2xy
z Fy
y
Fz
2 2xz 1 2xy
总复习（第7章）
2. x2 z2 ln z ln y
2 xf ( x2 y2 ,e xy ) ye xy f ( x2 y2 ,e xy )
zy zu uy zv v y fu(u,v) (2 y) fv(u,v) xexy 2 yf ( x2 y2 ,e xy ) xe xy f ( x2 y2 ,e xy )
总复习（第7章）
144 p1 4 p2
总复习（第7章）
多元函数微分学
多元函数微分学
多元函数微分学是研究多元函数多变量之间关系及其变化性质的
数学分支。
它不仅仅是研究函数的变化性质，而且它还为数学分析奠
定了坚实的基础。
利用多元函数微分学，我们能够描述和分析函数多
变量之间的关系，从而有效地定义和研究函数的变化性质。
多元函数微分学的基本原理是求导原理或微分原理，即对多元方
程求导，使用梯度来描述其变化性质，以及如何利用线性算法解决系
统的微分方程。
多元函数微分学的实际应用可以概括为数学物理学中
的各种多元函数场解和最优化问题，数学统计学中的概率分布估计，
模式识别和控制中的数学建模以及机器学习算法等等。
多元函数微分学是一门应用广泛，理论深入的数学学科，在解决
实际问题中发挥着重要作用，是工程数学中不可或缺的重要组成部分。
它不仅用于理解函数的变化性质，而且用于分析系统运行特征，找出
系统内因素的影响，并在做出有效的决策及其实现方式中发挥关键作用。
高等数学教材第七章答案
高等数学教材第七章答案第七章：多元函数微分学1. 习题一答案：1.1 题目：求函数 $z = 2x^3 + 3y^2 - 6xy$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
解答：首先计算 $\frac{\partial z}{\partial x}$。
根据偏导数的定义，我们将 $y$ 视为常数，对 $z$ 对 $x$ 进行求偏导数：$$\frac{\partial z}{\partial x} = 6x^2 - 6y$$接下来计算 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
同样，我们将 $x$ 视为常数，对 $z$ 对 $y$ 进行求偏导数：$$\frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 6x$$所以，函数 $z = 2x^3 + 3y^2 - 6xy$ 在点 $(1, 2)$ 处的偏导数为$\frac{\partial z}{\partial x} = 6x^2 - 6y$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = 6y - 6x$。
1.2 题目：计算函数 $f(x, y) = x^3 + y^3$ 在点 $(1, 1)$ 处的全微分。
解答：根据全微分的定义，我们有：$$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$$首先计算 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$。
对 $f(x, y) = x^3 + y^3$ 分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导数：$$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =3y^2$$代入点 $(1, 1)$，得到 $\frac{\partial f}{\partial x} = 3$ 和$\frac{\partial f}{\partial y} = 3$。
偏导数ppt课件
第1页
7.3 偏导数
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第七章 多元函数微分学
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定义1. 设函数 zf(x,y)在点 (x0,y0) 的某邻域内
极限
lx i0m f(x0x,y0 x)f(x 0 ,y0)
存在, 则称此极限为函数 z f( x ,y )在 ( x 0 ,y 点 0 )对 x
第8页
例2. 设 zxy(x0,且 x1 ） ， 求证
xz 1 z2z yx lnxy
证: z yx y1, z xy lnx
x
y
xz 1 z xyxy 2z yx lnxy
例3. 求 r x2y2z2 的偏导数 .
解:
r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r y , r z y r z r
有 下 列 四 个 二 阶 偏 导 数：
f xx ( x, y), f xy ( x, y), f yx( x, y), f yy( x, y).
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第七章 多元函数微分学
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例1 设z arctanxy，求它的所有的 偏导数 .
2. 定理如果函z数 f(x, y)的两个二阶混 合偏导f数 yx(x, y)及fxy(x, y)在区域 D内连续 那 么 在 该 区 域 内 这 二两 阶个 混 合 偏 导 数 相 等.
2u x2
2u y2
2u z2
0.
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第七章 多元函数微分学
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作业 P 18 页 6 : (1 ), ( 3 ) 8、9 : (2 )
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7多元函数微分学
（94，下，期末）
6. 设 z = tan y2 ，则 dz = sec2 y2 ( 2 y dy − ( y )2 dx) 。
x
xx
x
（93，下，期末）
7.
设u =
cos y
xe x ，则 du
(1, π ) 2
= (1+ π )dx − dy 。 2
（99，下，期中）
【解】 u 关于变量 x, y 求全微分，然后将 x = 1, y = π 代入其中。 2
(A)12
1
(B)
13
12
(C)
13
12
(D)
169
[ C ]（94，下，期末）
【解】 曲线上任一点 (x, y, z) 处的切线的方向向量
G
a = {2x, 2y, 0}×{0, 2y, 2z} = {4yz, −4xz, 4xy}
G
G
于是 a (1,3,4) = 4{12, −4, 3} 。故法平面 S0 的法向量可取为 n = {12, −4,3} ，
(x0 , y0 ) 处可微
— 148 —
(C)若 f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处可微，则 fx (x, y), f y (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处连续
(D)若 f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处可微，则 fx (x0 , y0 ), f y (x0 , y0 ) 存在，并且 f (x, y) 在点
(A) lim f (x, y) 必不存在 x → x0 y→ y0
(B) f (x0 , y0 ) 必不存在
(C) f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 必不可微
(D) fx (x0 , y0 ), f y (x0 , y0 ) 必不存在
第七章 多元函数的微分学
第七章多元函数的微分学一、多元函数微分学网络图二、内容与要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。
2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
5.会求多元隐函数的偏导数。
6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
重点多元函数偏导数和全微分的概念，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。
难点多元复合函数二阶偏导数的求法。
用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。
三、概念、定理的理解与典型错误分析1．求多元函数极限的方法（1）利用初等多元函数的连续性，即若是初等函数，在的定义域中，则注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式. （2）利用多元函数极限的四则运算。
（3）转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算.（4）对于证明或求时，感觉极限可能时零，而直接又不容易证明或计算，这时可用夹逼定理，即而由夹逼定理知从而2．判断多元函数极限不存在的方法（1）选取两条特殊的路径，而函数值的极限存在，但不相等，则不存在。
注意：与的区别，前面两个本质是两次求一元函数的极限，我们称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，我们称为求二重极限。
例1而知不存在. 例2在原点的两个累次极限都不存在，但是由于，因此.由例1知两个累次极限存在，但二重极限不存在，由例2知两个累次极限不存在，但二重极限存在，但我们有下面的结论。
定理7。
高等数学c教材各章内容
高等数学c教材各章內容高等数学C教材各章内容高等数学C教材是大学数学专业必修课程之一，也是学习数学的基础。
它包含了多个章节，每个章节都涵盖了不同的数学概念和技巧。
下面将对高等数学C教材的各章内容进行介绍。
第一章导数与微分第一章主要介绍了导数与微分的概念和运算法则。
学习这一章的内容，我们可以了解到导数的几何意义和物理意义，可以计算各种类型函数的导数，掌握求导的基本规则，并能够利用导数解决实际问题。
第二章微分中值定理与导数的应用第二章主要讲解了微分中值定理和导数的应用。
通过学习这一章，我们可以了解到拉格朗日中值定理、柯西中值定理等微分中值定理的具体表述和应用场景。
在导数的应用方面，我们可以学习如何利用导数求函数的极值和最值，计算函数的曲率，解决相关最优化问题等。
第三章不定积分第三章主要介绍了不定积分的概念和性质，以及常见的求不定积分的方法。
学习这一章的内容，我们可以了解到不定积分的定义和基本性质，学会使用基本积分公式和换元积分法求解不定积分，还可以了解到分部积分法和有理函数的积分等特殊方法。
第四章定积分第四章主要讲解了定积分的概念、性质和计算方法。
通过学习这一章，我们可以了解到定积分的几何和物理意义，学习使用定积分求解曲线下面积、弧长、旋转体的体积等问题。
此外，我们还可以学习到变上限积分法、定积分的一些性质和常用公式。
第五章定积分的应用第五章主要介绍了定积分在几何、物理、概率等方面的应用。
在这一章节，我们可以学习到如何利用定积分计算平面曲线的弧长、曲率、曲边梯形的面积、球体的体积等问题。
同时，我们还可以了解到定积分在统计和概率领域中的应用。
第六章常微分方程第六章主要讲解了常微分方程的基本概念和解法。
通过学习这一章的内容，我们可以了解到常微分方程的基本定义、分类和初等解法。
此外，我们还可以学习到一阶线性微分方程、可降阶的高阶微分方程等特殊类型方程的解法，以及利用常微分方程解决相关实际问题的方法。
第七章多元函数微分学第七章主要介绍了多元函数的概念、偏导数和全微分等内容。
第七章 多元函数的微分法
第七章 多元函数的微分法前五章我们介绍了一元函数的极限,连续,导数和微分等基本概念.现在我们将把这些基本概念推广到依赖多个自变量的函数,即多元函数.本章主要讨论含两个自变量的函数即二元函数的情况.§7.1 多元函数的基本概念一、二元函数及其图形在自然现象中常遇到依赖于两个变量的函数关系，举例如下：例1 任意三角形的面积S 与底x 高y 有下列关系: S=)0,0(21>>y x xy底与高可以独立取值，是两个独立的变量(称为自变量)。
在它们的变化范围内，当的值取定后，三角形的面积就有一个确定的值与之对应。
例2 从物理学中知道，理想气体的体积V 与绝对温度T 、压强P 之间有下列关系: ),0,0(是常数R P T P RTV >>=T ,P 可以独立取值，是两个独立的变量，在它们的变化范围内，当T ,P 的值取定后，体积V 就有一个确定的值与之对应。
以上两个例子的具体意义虽然不同，但却具有一个共同的特征，抽去它们的共性，就得到二元函数的定义如下：定义1 设有三个变量x 、y 、z ，若对于变量x 、y 在各自变化范围内独立取定的每一组值，变量z 按照一定的规律，总有一个确定的值与之对应，则z 称为x 、y 的二元函数，记作z ＝f （x ，y ）。
称x 、y 为自变量，z 为因变量。
自变量的变化范围称为函数的定义域。
当自变量x 、y 分别取值x 0、y 0时，因变量z 的对应值z 0称为函数z ＝f （x ，y ）的当x =x 0， y =y 0时的函数值，记作z 0= f （x 0、y 0）。
类似地，可以定义三元函数以及三元以上的函数。
二元以及二元以上的函数都称为多元函数。
注意:二元函数的定义域通常是由一条或几条曲线所围成的平面区域，围成区域的曲线叫做该区域的边界。
不包括边界的区域叫做开区域，连同边界在内的区域叫做闭区域。
如果区域可延伸到无限远，称这区域是无界的。
全微分课件
y 0
0,
lim
x0
y 0
0
31 May 2019
第七章 多元函数微分学
第7页
z
fx (x, y)x f y (x, y)y x y
lim
x0
y 0
0,
lim
x0
y 0
0
嘉兴学院
31 May 2019
第七章 多元函数微分学
第4页
全微分的定义:
如果函数z f ( x, y) 在点( x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)可以表示为
z Ax By o( )，其中A, B 不依赖于 x, y 而仅与x, y 有关， (x)2 (y)2 ，
1 2 0.04 0 0.02 1.08
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[ f (x, y y) f (x, y)]
fx (x 1x, y y)x f y (x, y 2y)y ( 0 1 , 2 1 )
[ fx (x, y) ]x [ f y (x, y) ]y
嘉兴学院
lim
例如, 三元函数 u f (x, y, z) 的全微分为 d u u x u y u z x y z
习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
du
u d z
z
记作
dz u
d x u , d y u , d z u称为偏微分. 故有下述叠加原理
du dx udy udz u
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第七章 多元函数微分学
高等数学课后习题答案--第七章
11、证明：函数 u ( x, t ) =
1 2a πt
e
−
( x −b ) 2 4 a 2t
满足热传导方程
∂u ∂ 2u = a2 2 。 ∂t ∂x
【解】
− ∂u ( x, t ) 1 =− e ∂t 8a 3 πt 5
( x −b ) 2 4 a 2t
(− x 2 + 2bx + 2a 2 t − b 2 )
x ⎧ ⎪u = e cos y, （1） ⎨ x ⎪ ⎩v = e sin y;
⎛ e x cos y − e x sin y ⎞ ⎟ 【答案】 (1) J = ⎜ ⎜ e x sin y e x cos y ⎟ ; ⎝ ⎠
⎧u = ln x 2 + y 2 , ⎪ （2） ⎨ y ⎪v = arctan . x ⎩ x y ⎞ ⎛ ⎜ 2 ⎟ 2 2 x +y x + y2 ⎟ ⎜ . (2) J = y x ⎟ ⎜ − ⎜ x2 + y2 x2 + y 2 ⎟ ⎝ ⎠
（1） u = sin(ax − by ); （2） u = e ax cos bx; （3） u = ye xy ; （4） u = x ln y . 【答案】 (1) a 2 sin( −ax + by ) , − ab sin(− ax + by ) , b 2 sin(− ax + by ) ; (2) a 2e ax cos(by ) , − abe ax sin(by ) , − b 2e ax cos(by ) ; (3) y 3e xy , ( xy 2 + 2 y )e xy , ( x 2 y + 2 x)e xy ;
新版高等数学教材答案
新版高等数学教材答案在新版高等数学教材中，有很多难题和复杂的数学理论需要学生深入理解和掌握。
为了帮助学生更好地学习和掌握高等数学知识，答案是必不可少的工具之一。
下面是我整理的一些高等数学教材答案，希望对广大学生有所帮助。
第一章：函数与极限1. 函数极限的概念和性质2. 常见函数的极限计算3. 极限的四则运算法则4. 极限存在准则第二章：导数与微分1. 导数的定义和性质2. 常见函数的导数计算3. 高阶导数与隐函数导数计算4. 微分的概念及其应用第三章：中值定理与导数应用1. 罗尔中值定理和拉格朗日中值定理2. 柯西中值定理和达布中值定理3. 费马引理和罗尔定理的推广4. 高阶导数的应用第四章：不定积分与定积分1. 基本积分表与不定积分2. 常用换元法和分部积分法3. 定积分的概念和性质4. 牛顿—莱布尼茨公式和换元法在定积分中的应用第五章：曲线与曲面积分1. 曲线积分的概念和性质2. Green公式和高斯公式3. 曲面积分的概念和性质4. 斯托克斯公式和格林公式的推广第六章：无穷级数1. 数列极限的概念和性质2. 数列极限判定法3. 无穷级数的概念和性质4. 常见无穷级数的求和计算第七章：多元函数微分学1. 多元函数的极限和连续性2. 偏导数和全微分3. 方向导数和梯度4. 隐函数存在定理第八章：多元函数积分学1. 二重积分的概念和性质2. 二重积分的计算方法3. 三重积分的概念和性质4. 三重积分的计算方法和应用第九章：常微分方程1. 常微分方程的基本概念和分类2. 一阶常微分方程的解法3. n阶常微分方程的解法4. 常微分方程的应用这些是新版高等数学教材中的一些题目的答案，每章的内容都有所涉及。
希望对学生们在学习高等数学过程中有所帮助，更好地理解和掌握数学知识。
当然，答案只是辅助学习工具，学生还需进行适当的思考和练习，从而更好地提升自己的数学能力。
通过对高等数学教材答案的整理和提供，希望能够为广大学生提供一个辅助学习的工具，使学习高等数学变得更加轻松和高效。
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第七章多元函数的微分学一、多元函数微分学网络图二、内容与要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。
2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
5.会求多元隐函数的偏导数。
6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
重点多元函数偏导数和全微分的概念，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。
难点多元复合函数二阶偏导数的求法。
用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。
三、概念、定理的理解与典型错误分析1．求多元函数极限的方法（1）利用初等多元函数的连续性，即若是初等函数，在的定义域中，则注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式.（2）利用多元函数极限的四则运算。
（3）转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算.（4）对于证明或求时，感觉极限可能时零，而直接又不容易证明或计算，这时可用夹逼定理，即而由夹逼定理知从而2．判断多元函数极限不存在的方法（1）选取两条特殊的路径，而函数值的极限存在，但不相等，则不存在。
注意：与的区别，前面两个本质是两次求一元函数的极限，我们称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，我们称为求二重极限。
例1而知不存在.例2在原点的两个累次极限都不存在，但是由于，因此.由例1知两个累次极限存在，但二重极限不存在，由例2知两个累次极限不存在，但二重极限存在，但我们有下面的结论。
定理7。
1 若累次极限和二重极限都存在，则三者相等。
（2）推论。
若存在且不相等，则不存在。
3．求多元函数的偏导数定义7.1 设在内有定义，且存在，则该极限值称为在点处对x的偏导数，记作或同理可给出的定义。
（1）多元函数的偏导数，本质就是求导数，例如，求时，视自变量为常数，本质上看成u是x的函数，这时一元函数的求导公式，四则运算，复合函数的求导都可以使用，但形式上要比求一元函数的导数复杂。
（2）求多元复合函数的偏导数需用下面定理定理7.2（复合多元函数的求偏导定理），若在处可微，在处的偏导数均存在，则复合函数在处的偏导数均存在且可用下面结构图表示：即就是u分别对那些是x函数的中间变量偏导再乘以这些中间变量对x偏导，然后再相加例如知例如上式称为全导数。
求复合多元函数偏导的思想一定要真正搞懂，否则在求复杂形式下的多元复合函数的偏导就容易出错。
4．多元函数全微分及全微分的一阶形式不变性定义7.2 若二元函数在点处的全增量可表示为其中A，B是与无关，而仅与x，y有关，则称在处可微，线性主部称为在处的全微分，记作，即设，不论u，v是自变量，还是中间变量，若可微，则换句话说，若可微，且则上式在求复杂多元函数的偏导数与全微时显得非常重要。
当然多元函数的偏导数与多元函数的全微分也有四则运算和一元情形完全类似，在这里就不再叙述了。
定理7.3 若在点处可微，则在点处连续，反之不成立。
定理 7.4 （可微的必要条件）若在点处可微，则在点处的两个偏导数均存在，反之不成立。
例3讨论在原点的可微性。
解由由的对称性知要验证函数在原点是否可微，只需看是否为零，由于由例1知此极限不存在，所以在点（0，0）处不可微。
此例说明偏导数存在，不一定可微。
定理7.5（可微的充分条件）若函数的偏导数在点处连续，则函数在点处可微，反之不成立。
例4证明函数于点（0，0）的领域中有偏导函数。
这些偏导数函数于点（0，0）处是不连续的且在此点的任何领域中是无界的；然而此函数于点（0，0）处可微。
解由于当时，令，于是由于当时，无界，故上述在点（0，0）处极限不存在，当然在（0，0）处不连续，且在此点的任何领域中是无界的.同理在点（0，0）处不连续，且在此点的任何领域中是无界的。
其中，再考虑在点（0，0）的可微性。
其中于是即，知在点（0，0）处可微。
定理7.6 若函数在点处可微，则u在处任意方向的方向导数都存在且（其中，的单位矢量）反之不成立。
例5证明函数在点（0，0）的沿任意方向的导数都存在。
但在点（0，0）的全微分不存在。
解设由同理而极限存在但不为0，因此在点（0，0）处不可微。
定理7.7 若函数的二阶偏导数都在点处连续，则例6设函数求解由于从而同理可求，因此从这里可以看出注：此例说明一般情况下例7 证明函数在点（0，0）处的两个偏导数存在，但在点（0，0）处不连续。
解由同理可求即在点（0，0）处的两个偏导数存在。
由当k取不同实数值时，极限不相同，所以在点（0，0）处极限不存在，当然也不连续。
通过以上分析，我们可得到多元函数在一点连续，偏导数存在，可微，方向导数存在，偏导函数在该点连续，这些概念有下面的关系，我们以在点处为例。
在点任意的方向导数都存在注：这里“”表求推出，“”表示推不出，能推出的，都是定理，推不出的，我们都举了反例。
5．多元函数的极值与最大（小）值（1）定义7.3 设函数在点的某区域内有定义，，当时，都有（或），则称为极大（或极小）值。
点称为f的极大（或极小）值点，极大值、极小值统称为极值。
极大值点、极小值点统称为极值点。
极值点一定包含在多元函数的驻点或偏导数不存在点之中（若，称为驻点或稳定点）。
对于驻点是否为极值点，我们有下面的判断方法：定理7.8（极值的充分条件）设函数在点的某区域存在连续的二阶偏导数。
如果，设，则（1）当时，一定为极值，并且当A（或C）>0时，为极小值；当A（或C）<0时，为极大值。
（2）当时，不是极值。
（3）当时，还不能断点是否为极值，需进一步研究。
对于偏导数不存在的点，只有根据定义判断是否为极值点。
（2）求带有条件限制的最大（小）值问题，统称为条件极值，可用拉格朗日乘数法去解决。
即求在约束条件限制下的最大值或最小值方法是（1）作拉格朗日函数其中称为拉格朗日乘数。
（2）若是函数的最大（小）值点，则一定存在m个常数，使是函数L的稳定点，因此函数f的最大（小）值点一定包含在拉格朗日函数L的稳定点前几个坐标所构成的点之中，在具体应用时，往往可借助于物理意义或实际经验判断所得点是否为所求的最大（小）值点。
（3）有界闭区域上的连续函数一定能取到最大值与最小值，且最大值与最小值点一定包含在区域内部的稳定点或内部偏导不存在点或边界函数值最大与最小点之中.把这些怀疑点求出来，其中函数值的最大值就是区域上的最大值、最小值就是区域上的最小值，而边界上的最大与最小值点可用拉格朗日乘数法去求。
四、解题方法与题例1．讨论多元函数极限与连续例1求解原式,由（k常数），知原式=0.例2求解由于而由夹逼定理知原式=0.例3讨论的连续性。
解（i）当时，由于是初等多元函数，在点有意义知在点连续。
（ii）当时，由于且，根据夹逼定理知知在点（0，0）处连续，故在全平面上连续。
例4讨论的连续性。
解（i）当时，由于是初等多元函数，在点有意义，知在点连续。
（ii）当时，由于知在点（0，0）处不连续，因此在时连续。
例5求解由不等式且，根据夹逼定理知原式=0。
例6解原式=例7求解由为初等多元函数且在（1，0）处有意义，知在（1, 0）处连续。
故原式=例8求解由于而而根据夹逼定理知故原式=例9求解由于知不存在。
2．多元函数的偏导数与全微分求有三种方法：（1）按定义；（2）求导函数，然后把代入；（3）求偏导函数，然后把代入。
求同样也有三种方法：（1）按定义；（2）求导函数，然后把；（3）求偏导函数，然后把代入。
例10设函数，求解法一先求出偏导函数于是解法二用偏导数定义解法三例11设函数，求z的所有一阶及二阶偏导数。
解例12设，求解由x，y地位对称，知而于是例13设，其中函数二阶可导，具有连续二阶偏导，求解例14设其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求解例15设函数在点（1，1）处可微，且，求解例16设，其中f有二阶连续偏导数，求解由对称性得于是例17设，求解注意：这里例18设方程确定，求. 解由方程确定，方程两边对x求偏导得方程两边关于y求偏导，得从而于是将代入上式，经化简整理，得例19设，其中为可微函数，求解由题意知方程确定方程两边对y求偏导，得解得例20设是由方程所确定的二元函数，求解将方程两端取微分得整理后得所以例21由方程确定求解法一由条件知方程两边对x求偏导得（1）把代入（1）得即方程两边对y求偏导得（2）把代入（2）得，即故解法二方程两边取微分得将代入上式得即例22设，其中F具有连续偏导数，且求证解由题意知方程确定方程两边取微分，得有根据微分运算，有合并同类项两边同除以得于是例23设确定且F具有连续偏导数，求解把y看成方程两边关于求x偏导，得解得由x，z的对称性，得例24设是由方程和所确定的函数，其中f 和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求解分别在和的两端对x求导，得整理后得由克拉默法则解得例25设求解由题意知，方程组确定隐函数组方程组两边对u求偏导，得利用克拉默法则，解出例26设求解由题意知方程组确定隐函数方程组两边取微分，有把看成未知的，解得有同理，我们还可以求出，从而得到例27设且f具有连续的一阶偏导数。
（1）如果则u仅是和的函数；（2）如果则u仅是r的函数。
证（1）只要证，即u仅是和的函数故u仅是和的函数。
（2）只要证由于由得代入上式有故u仅是r的函数。
例28某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x（万尾），乙种鱼放养y（万尾），收获时两种鱼的收获量为和，求使产鱼总量最大的放养数。
解设产鱼总数为z，则由极值的必要条件，得方程组由于，知其系数行列式，故方程组有唯一解记有且因此Z在处有极大值，即最大值。
容易验证，且综上所述，和分别为所求甲和乙两种鱼的放养数。
例29求二元函数在由直线，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值，最大值与最小值。
解由方程组得及点（4, 0），（2, 1）。
点（4, 0）及线段在D的边界上，只有点（2, 1）在D内部，可能是极值点。
在点（2, 1）处，因此点（2, 1）是的极大值点，极大值在D的边界及上，在边界上，，代入中得由得在边界上对应处Z值分别为：因此知在边界上最大值为0，最小值为，将边界上最大值和最小值与驻点处的值比较得，在闭区域D上的最大值为最小值为例30求函数在区域上的最大值与最小值。
解由于是有界闭区域，在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值。
（1）解方程组得由于即不在区域D内，舍去。