第七章 多元函数的微分学

第七章多元函数的微分学

一、多元函数微分学网络图

二、内容与要求

1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，

了解全微分形式的不变性。

4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

5.会求多元隐函数的偏导数。

6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，

了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，

会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

重点多元函数偏导数和全微分的概念，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。

难点多元复合函数二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。

三、概念、定理的理解与典型错误分析

1．求多元函数极限的方法

（1）利用初等多元函数的连续性，即若是初等函数，在的定义域中，则

注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式.

（2）利用多元函数极限的四则运算。

（3）转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算.

（4）对于证明或求时，感觉极限可能时零，

而直接又不容易证明或计算，这时可用夹逼定理，即而

由夹逼定理知从而

2．判断多元函数极限不存在的方法

（1）选取两条特殊的路径，而函数值的极限存在，但不相等，则不存在。

注意：

与的区别，前面两个本质是两次求一元函数的极限，

我们称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，我们称为求二重极限。

例1

而知不存在.

例2

在原点的两个累次极限都不存在，但是

由于，因此.

由例1知两个累次极限存在，但二重极限不存在，由例2知两个累次极限不存在，

但二重极限存在，但我们有下面的结论。

定理7。1 若累次极限和二重极限都存在，则三者相等。

（2）推论。若存在且不相等，则不存在。

3．求多元函数的偏导数

定义7.1 设在内有定义，且存在，

则该极限值称为

在点处对x的偏导数，记作或同理可给出的定义。（1）多元函数的偏导数，本质就是求导数，例如，求时，视自变量为常数，本质上看成u是x的函数，这时一元函数的求导公式，四则运算，复合函数的求导都可以使用，

但形式上要比求一元函数的导数复杂。

（2）求多元复合函数的偏导数需用下面定理

定理7.2（复合多元函数的求偏导定理），若在处可微，

在处的偏导数均存在，则复合函数在处的偏导数均存在且

可用下面结构图表示：

即就是u分别对那些是x函数的中间变量偏导再乘以这些中间变量对x偏导，然后再相加

例如知

例如

上式称为全导数。

求复合多元函数偏导的思想一定要真正搞懂，否则在求复杂形式下的多元复合函数的偏导就容易出错。

4．多元函数全微分及全微分的一阶形式不变性

定义7.2 若二元函数在点处的全增量

可表示为

其中A，B是与无关，而仅与x，y有关，则称在处可微，

线性主部称为在处的全微分，记作，即

设，不论u，v是自变量，还是中间变量，若可微，则

换句话说，若可微，且则

上式在求复杂多元函数的偏导数与全微时显得非常重要。

当然多元函数的偏导数与多元函数的全微分也有四则运算和一元情形完全类似，在这里就不再叙述了。

定理7.3 若在点处可微，则在点处连续，反之不成立。

定理 7.4 （可微的必要条件）若在点处可微，则在

点处的两个偏导数均存在，反之不成立。

例3讨论在原点的可微性。

解由由的对称性知

要验证函数在原点是否可微，

只需看是否为零，由于

由例1知此极限不存在，所以在点（0，0）处不可微。

此例说明偏导数存在，不一定可微。

定理7.5（可微的充分条件）若函数的偏导数在点处连续，

则函数在点处可微，反之不成立。

例4证明函数

于点（0，0）的领域中有偏导函数。这些偏导数函数于点（0，0）处是不连续的

且在此点的任何领域中是无界的；然而此函数于点（0，0）处可微。

解由于

当时，令，于是

由于当时，无界，故上述在点（0，0）处极限不存在，

当然在（0，0）处不连续，且在此点的任何领域中是无界的.同理在点（0，0）处不连续，

且在此点的任何领域中是无界的。其中，再考虑在点（0，0）的可微性。

其中

于是

即，知在点（0，0）处可微。

定理7.6 若函数在点处可微，则u在处任意方向的方向导数都存在且

（其中，的单位矢量

）

反之不成立。

例5证明函数在点（0，0）的沿任意方向的导数都存在。但在点（0，0）的全微分不存在。

解设由

同理而

极限存在但不为0，因此在点（0，0）处不可微。

定理7.7 若函数的二阶偏导数都在点处连续，则

例6设函数求

解由于从而

同理可求，因此

从这里可以看出

注：此例说明一般情况下

例7 证明函数在点（0，0）处的两个偏导数存在，但在点（0，0）处不连续。