实际问题与二元一次方程组 几何图形专题
实际问题与二元一次方程组-几何图形专题
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圆周长与二元一次方程组
圆周长的计算公式：$C = 2pi r$，其中$r$为半径。
例如，已知圆的周长为10pi，一个半径为3，则可以建立方程组求解另一个半径： $2pi times (3 + x) = 10pi$。
03
实际生活中的几何图形与二元一次方程 组
建筑中的几何图形与二元一次方程组
总结词
行星的位置和速度等参数。
运动场上的几何图形与二元一次方程组
要点一
总结词
要点二
详细描述
运动场上的几何图形与二元一次方程组的应用对于运动成 绩的预测和提高具有重要意义。
在运动场上，许多项目的成绩与几何图形密切相关，例如 投掷项目的投掷距离、跳远项目的起跳点和落脚点等。这 些几何图形可以通过建立二元一次方程组来描述和计算。 例如，在跳远项目中，起跳点和落脚点可以通过建立以距 离和角度为变量的二元一次方程组来描述，从而预测跳远 的成绩和最佳起跳角度等参数。
建筑中的几何图形与二元一次方程组的应用广泛且重要。
详细描述
在建筑设计中，几何图形的应用非常普遍。例如，矩形、圆形、三角形等都是常见的几何图形。这些几何图形可 以通过二元一次方程组来表示和计算。例如，一个矩形的长和宽可以通过二元一次方程组来表示，从而方便计算 面积和周长等参数。
自然界中的几何图形与二元一次方程组
04
二元一次方程组的解法与几何图形
代入法与几何图形
总结词
代入法是解二元一次方程组的一种常用方法，通过将一个方程中的未知数用另 一个方程表示，从而简化方程。
详细描述
在几何图形中，代入法可以用于求解与图形相关的问题，例如求解三角形、平 行四边形、梯形等图形的边长或角度。通过代入法，可以将一个复杂的问题简 化为一个简单的一元一次方程，从而方便求解。
二元一次方程组的应用与几何问题结合例题
一、引言二元一次方程组在数学中有着重要的地位，它不仅在代数中有着广泛的应用，同时也与几何问题有着密切的联系。
通过解决一些具体的几何问题，我们可以更深入地理解二元一次方程组的概念和应用。
本文将以例题的形式结合几何问题，探讨二元一次方程组的应用。
二、例题分析1. 题目：已知两条直线的方程分别为2x - y = 1和x + y = 3，求两直线的交点坐标。
解析：两条直线的交点坐标即为二元一次方程组的解。
我们可以通过联立方程组，求解x和y的值。
首先我们可以选择其中一个方程，如x + y = 3，对其进行变形可以得到y = 3 - x。
将y = 3 - x代入到另一个方程2x - y = 1中，得到2x - (3 - x) = 1，化简得到3x = 4，从而得到x = 4/3。
将x = 4/3代入到y = 3 - x中，即可得到y的值。
交点坐标为(4/3, 5/3)。
2. 题目：求过点(1,2)且与直线2x + y = 3垂直的直线的方程。
解析：首先我们可以得到直线2x + y = 3的斜率为-2。
垂直直线的斜率为直线斜率的负倒数，即为1/2。
过点(1,2)且与直线2x + y = 3垂直的直线的方程为y - 2 = 1/2(x - 1)，整理得到y = 1/2x + 1。
3. 题目：求直线y = kx + 2与直线x - 2y + 1 = 0的交点坐标。
解析：联立直线y = kx + 2和x - 2y + 1 = 0，得到kx + 2 - 2y + 1= 0，即kx - 2y = -1。
通过比较系数得到k = 1/2，然后代入k值，解得交点坐标为(-1, 1)。
三、结论通过以上例题的分析，我们可以发现二元一次方程组在几何问题中的应用是十分广泛的。
通过求解交点坐标、垂直直线的方程等问题，我们不仅可以更好地理解二元一次方程组的概念，也能深入地理解直线的性质和特点。
在学习数学的过程中，我们应该注重二元一次方程组的应用和几何问题的结合，以便更深入地掌握相关知识。
人教版七年级数学下册第八章二元一次方程组8.3实际问题与二元一次方程组几何图形问题含答案
第八章 二元一次方程组 8.3实际问题与二元一次方程组 几何图形问题1.如图,八个大小相同的小矩形可拼成下面两个大矩形 ，拼成图②时，中间留下了一个边长为1的小正方形，则每个小矩形的面积是（）A.14B.15C.16D.182. 一个长方形的周长是200 cm ,长比宽的3倍少4 cm ,求长、宽各是多少？设 长为x cm ，宽为y cm ，由题意列出方程组正确的是（ ）x + y = 100 x + y = 200 2 (x + y )= 200 A.B.C.3y + 4 = xx = 3y — 4x + 4 = 3y3. 如图所示是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面砖比一块竖放的墙砖高10 cm,两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低 40 cm,则每块 墙砖的截面面积是（）方形的面积为()2 2 2 2A . 90 cmB . 96 cmC . 98 cmD . 99 cm5. 一条船顺流航行，每小时行驶18 km ;逆流航行，每小时行驶16 km.若设船在x + y = 100 D.x — 3y = 4 ,其中三块横放的墙2A. 525 cmB. 575 cm4. 用一根长40 cm 的铁丝围成一个长方形, 若长方形的宽比长少2 cm ,则这个长WOD圉②2 2静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h，则列出的方程组为（）x + y = 18 x + y = 18 x + 2y = 18 x + y = 18 A.B.C.D.x — y = 16y — x = 16x — 2y = 16 2x — y = 166. 小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用20min ,他 骑自行车的平均速度是 200m/min ,步行的速度是70m/min ,他家离学校的距离是 3350 m .设他骑自行车和步行的时间分别为 min 和ymin ,则列出的二元一次方程组是（ ）7. 如图，周长为34 cm 的长方形ABCD 被分成7个形状大小完全相同的小长方形, 则长方形ABCD 的面积为（）2 2 2 2A . 49 cmB . 68 cmC . 70 cmD . 74 cm8. 如图，三个完全相同的小长方形沿“横一竖一横”排列在一个长为 4.5 cm 的大长方形中，图中一个小长方形的周长等于A.200x + 70y = 3 350C.1x+y =3 70x + 200y = 3 350x + y = 20 B.70x + 200y = 3 350x + y = 20 D.200x + 70y = 3 3505.7 cm,宽为cm.9. 商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，根据图中的信息，当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是____ cm.10. 如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面1 1的长度是它的3,另一根露出水面的长度是它的5.若两根铁棒长度之和为55cm,此时木桶中水的深度是________ cm11. 如图所示，在桌面上放着A B两个正方形，共遮住的面积为21 cm2.若这两个正方形重叠部分（阴影部分）的面积为3 cm2,且正方形B除重叠部分外的面积是正方形A除重叠部分外的面积的2倍，则正方形A的面积是 ______ cm.12. 已知某一铁桥长1 000 m有一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥共用了 1 min ，整列火车在桥上的时间为40 s ，则火车的速度和车长分别为m/s 和m．13. 从A地到B地全程290 km,前一路段为国道，其余路段为高速公路.已知汽车在国道上行驶的速度为60 km/h,在高速公路上行驶的速度为100 km/h, 一辆客车从 A 地开往 B 地时，在高速公路上用的时间比在国道上用的时间的 2 倍还少 1 h.求A, B 两地间国道和高速公路各多少千米？14. ）为了参加国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练.某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600m跑步的平均速度为每分钟200m自行车路段和长跑路段共5km,用时15min. 求自行车路段和长跑路段的长度15. 如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2 倍，高跷与腿重合部分的长度为28cm演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224cm. 设演员的身高为xcm,高跷的长度为ycm,求x, y的值.16. 某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的A, B两种长方体形状的无盖纸盒.现有正方形纸板140张，长方形纸板360张，刚好全部用完, 问能做成多少个A型盒子？多少个B型盒子？17. 某铁件加工厂用如图①所示的长方形和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等)加工成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器.(加工时接缝材料不计)(1) 如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个,则共需要长方形铁片______ 张,正方形铁片_____ 张；(2) 现有长方形铁片2 014张,正方形铁片1 176张,如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那么加工竖式铁容器、横式铁容器各多少个？(3) 把长方体铁容器加盖可以加工成铁盒.现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片.若充分利用这些铁板加工成铁盒，则最多可以加工成多少个铁盒？阳①SC—K 雷罠图②答案:1---7 BCADA DC8. 6.89. 5010. 2011. 912. 20 20013. 解：设A , B 两地间国道和高速公路分别是 x km 、y km ,即自行车路段的长度为3 km ,长跑路段的长度为2 km.x + y = 224 + 28,15. 解：依题意，得x = 2y ,x = 168,解得y = 84.16. 解：设做成的A 型盒子有x 个，B 型盒子有y 个，根据题意，x + 2y = 140,x = 60, 得解得依题意,得 x + y = 290,x “ 2X 60—1 丄100， x = 90, 解得y = 即A , B 两地间国道和高速公路分别是 90 km , 200 km.14. 解：设自行车路段的长度为x m ,长跑路段的长度为y m ,x + y = 5 000, x y + = 15 600+ 200= '5, x = 3 000, 解得 y = 2 000.4x+ 3y= 360, y = 40.则做成的A 型盒子有60个，B 型盒子有40个.17. 解:(1)7 3（2）设加工竖式铁容器x 个,横式铁容器y 个,根据题意得+ 3y= 2 014, fr = 任+知=1 17S 解得® =答：加工竖式铁容器100个，横式铁容器538个.{ m + n = 35,⑶ 设做长方形铁片的铁板为 m 张，做正方形铁片的铁板为n 张,且满足你25张做长方形铁片可做25X 3=75（个）,9张做正方形铁片可做9X 4=36（个）, 剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片，所以共可做长方形铁片75+仁76（个）,正方形铁片36+2=38（个）,所以可做铁盒76- 4=19（或38- 2=19）（个）.综上可知最多可加工成铁盒 19个.100,53& .5 Til =25—t 11 6 n = 9—. 11 则解得因为在这35张铁板中,。
实际问题与二元一次方程组几何图形专题
目 录
• 引言 • 二元一次方程组的几何意义 • 实际问题与二元一次方程组 • 几何图形在解决实际问题中的应用实例 • 结论
01 引言
主题简介
实际问题与二元一次方程组几何图形专题是一个跨学科的综合性主题，旨在探讨 如何利用二元一次方程组解决实际问题，并通过几何图形直观地呈现解决方案。
通过将二元一次方程组转换为几何图形，可以直观地理解方 程组的解集和性质，从而更好地解决实际问题。
几何图形在解决实际问题中的应用
在物理学、工程学、经济学等各个领域中，经常需要解决与平面图形相关的问题，如距离、 角度、面积、体积等。
通过将实际问题转化为二元一次方程组，并利用几何图形进行解释和求解，可以更加高效和 准确地找到解决方案。
线性规划
二元一次方程组是解决线性规划问题的基本工具， 能够优化资源配置和决策。
物理问题
在物理中，二元一次方程组常用于解决运动学、 力学和热学等问题。
经济问题
在经济学中，二元一次方程组用于描述供求关系、 成本和收益等经济变量之间的关系。
未来研究方向与展望
算法优化
01
进一步优化求解二元一次方程组的算法，提高计算效率和精度。
之比。
实际问题的几何图形解法
实际问题的几何意义
实际问题中涉及到的量往往可以转化为几何图形中的点或线，通 过几何图形可以直观地理解问题的解。
实际问题的图形解法
通过作图将实际问题转化为几何问题，利用几何概念和性质求解。
实例
一个城市有A、B两个区域，每个区域的人口密度不同。已知两个 区域的人口密度分布情况，求两个区域的人口数量之比。
02 二元一次方程组的几何意 义
二元一次方程组的定义
实际问题与二元一次方程组图形问题
表示同一个量的不同代数式相等
5y
2x=5y
2x
1、如图所示，用8块相同的长方形地砖拼成 一块长方形地面，若长方形地面的周长为 300cm，假设每块地砖的长和宽分别为xcm、 ycm 3 y 2(2 x x y) 300
作业：38分钟课时作业 50页6题
例：
如图，一个大长方形是由7个大小相等的小长 方形拼成的，大长方形的周长为34cm，求小长 方形的长和宽分别为多少。
5y X + y
解：设小长方形的长和宽分别 为xcm、ycm。 2x=5y 2（2x+x+y）=34
2x
解：设小长方形的长和宽分别为xcm、ycm。 2x=5y ① 由题意得：
答： 过长方形土地的长边上离一端80米处, 把这块地分为两个长方形.
解法二：设CE为 x 米,BE为 y 米，由题意得：
x + y＝100 200x: 200y ＝2:3 200m
D
100m A
C ┓
x x＝ E 解方程组得: y＝ y
40 60
B 答：过长方形土地的短边上离一端40米处, 把这块地分为两个长方形.
能力提升
据以往的统计资料,甲、乙两种作物的单位 面积产量分别为500克、1000克,• 现要在一块长 200m,宽100m的长方形土地上种植这两种作物, 怎样把这块地分为两个长方形,• 使甲、乙两种作 物的总产量的比是 3 : 4?
200m D 100m A ┓ x E y B C
单位面积产量×种植面积=总产量 长 宽 种植 面积 100 x 100 y 单位 产量 总产量 总产量 关系 500 × 100 x 1000 × 100 y
由①得x=
人教版七年级数学下册：实际问题与二元一次方程组【精品课件】
巩固练习
某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放 1个大餐厅和2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2 个大餐厅和1个小餐厅，可供2280名学生就餐. （1）求1个大餐厅和1个小餐厅分别可供多少名学生就餐？ （2）若7个餐厅同时开放，请估计一下能否供应全校的 5300名学生就餐？请说明理由.
解：设张强、李毅每小时各走x, y千米，由题意得
0.5x 2x
x
y
11
2y 20.
20,
0.5x千米
解得
x y
4, 5.
2x千米
2y千米
(1) A
B
张强2.5小时走的路程
李毅2小时走的路程
x千米
11千米
y千米
(2) A
B
答：张强、李毅每小时各走4, 5千米.
巩固练习
巴广高速公路在5月10日正式通车，从巴中到广元全长约126
人教版 数学 七年级 下册
导入新知
悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟. 归时四分行六百，风速多少才称雄？
素养目标
3.经历用方程组解决实际图形问题的过程，体 会方程组是刻画现实世界的有效数学模型. 2.学会利用二元一次方程组解决几何、行程 问题. 1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方 程组解决简单的实际问题.
课堂检测
4.A市至B市的航线长1200km，一架飞机从A市顺风飞往B市需2 小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分.求飞机的平均速度 与风速.
解：设飞机的平均速度为xkm/h,风速为y km/h,
根据题意可列方程组
解得： x = 420，
y = 60.
答：飞机的平均速度为420km/h，风速为60km/h.
专题06 二元一次方程组实际应用的五种考法(学生版)-2023年初中数学7年级下册同步压轴题
专题06 二元一次方程组实际应用的五种考法类型一、利润问题例．某商场用相同的价格分两次购进A型和B型两种型号的电脑，前两次购进情况如下表．(1)求该商场购进A型和B型电脑的单价各为多少元？(2)已知商场A型电脑的标价为每台4000元，B型电脑的标价为每台6000元，两种电脑销售一半后，为了促销，剩余的A型电脑打九折，B型电脑打八折全部销售完，问两种电脑商场获利多少元？【变式训练1】某商场第1次用39万元购进A，B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如表(总利润=单价利润×销售量)：(1)该商场第1次购进A，B两种商品各多少件？(2)商场第2次以原进价购进A，B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原售价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5.4万元，则B种商品是按几折销售的？、两种品牌篮球共80个，已知购买A品牌篮球的总价比购买B品牌【变式训练2】某商场从厂家购进了A B篮球总价的2倍还多200元，A品牌篮球每个进价100元，B品牌篮球每个进价80元．(1)求购进A B、两种品牌篮球各多少个？(2)在销售过程中，A品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销；商场决定打折出售剩余的A品牌篮球，B品牌篮球每个按进价加价20%销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利2080元，求A品牌篮球打几折出售？【变式训练3】平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50%；乙种商品每件进价50元，售价80元．(1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品所赚利润______元；(2)若该商场进货时同时购进甲、乙两种商品共62件，恰好总进价为2600元，求购进甲、乙商品各多少件？如果这些商品全部出售，商场共获利多少元？(3)在“五一”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在商场购买乙种商品多少件？【变式训练4】饮品店的老板为了吸引顾客，推出两种新产品，冰淇淋红茶和热可可，以下是这两种新饮品在一周内的销售情况：老板将这两种新饮品每天销售的总成本记录如下：(1)根据以上信息，将上面的表格补充完整；(2)在试推广阶段，老板将冰淇淋红茶和热可可的售价均定为20元，平均每天卖出160杯冰淇淋红茶和200杯热可可．随着天气越来越炎热，人们对饮品的需求量逐渐增多，老板对饮品的价格进行了调整．如果将a，销售量仍会上涨25%，如果将热可可的售价下降10%，销售量依然会下降10%．经冰淇淋红茶的售价上涨%过计算，这样调整价格后的总利润比原来平均每天的总利润多了440元，求a的值．类型二、方案问题例．某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？(2)如果工厂招聘()010n n <<名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？【变式训练1】一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案?(3)在(2)的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．【变式训练2】某企业有A ，B 两条加工相同原材料的生产线，在一天内，A 生产线共加工a 吨原材料，加工时间为()41a +小时；在一天内，B 生产线共加工b 吨原材料，加工时间为()23b +小时． (1)当1a b ==时，两条生产线的加工时间分别时多少小时？(2)第一天，该企业把5吨原材料分配到A ．B 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？(3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A 生产线分配了m 吨原材料，给B 生产线分配了n 吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m 和n 有怎样的数量关系？若此时m 与n 的和为6吨，则m 和n 的值分别为多少吨？【变式训练3】一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A 型零件和3个B 型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A 型零件或者3个B 型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．(1)工厂每天应安排多少名工人生产A 型零件?每天能生产多少套产品?(2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A 型零件的加工，且每人每天只能加工4个A 型零件．①设每天安排x 名熟练工人和m 名新工人生产A 型零件，求x 的值(用含m 的代数式表示) ②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务?【变式训练4】今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A 型车和1辆B 型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨，某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．(1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车租金每次120元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．类型三、几何图形问题例．如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为212m的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边上开设宽为1m的门EF(门不需要消耗篱笆)．设AB的长为x(m)，BC的长为y(m)．(1)若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，求AB和BC的长度．(2)若AB和BC的长都是整数(单位：m)，且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案．【变式训练1】现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形(图中阴影部分)区域种植鲜花．(1)如图1，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长．(2)如图2，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为x和y．①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的1，求x和y满足的关系式(不含a，b)．2【变式训练2】某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，(单位：cm)(1)列出方程(组)，求出图甲中a与b的值______．(2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．①两种裁法共产生A型板材______张，B型板材______张(用m、n的代数式表示)；②当3040≤≤时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是______个．(在m横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程)【变式训练3】某工厂将一批纸板按甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形A板块和正方形B板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒．．．．. 设x块纸板按甲方式进行加工，y块纸板按乙方式进行加工.(1)补全表格.(2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的A，B板块恰好用完．．．．，能做多少个礼盒？(3)若现有B板块4块，纸板a块，要使礼盒制作完毕后的A，B板块恰好用完．．．．，则a的最小值为___________. (请直接写出答案)【变式训练4】(1)如图1，已知A、B两个边长不相等的正方形纸片并排放置，若m=7，n=3，试求A、B两个正方形纸片的面积之和．(2)如图1，用m、n表示A、B两个正方形纸片的面积之和为．(请直接写出答案)(3)如图2，若A、B两个正方形纸片的面积之和为5，且图2中阴影部分的面积为2，试求m、n的值．(4)现将正方形纸片A、B并排放置后构造新的正方形得图3，将正方形纸片B放在正方形纸片A的内部得图4，若图3和图4中阴影部分的面积分别为12和1，则A、B两个正方形纸片的面积之和为．类型四、行程问题例．如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍，现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品制作过程中有损耗)卖到B地，两次运输(第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂B→地)共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/(千米⋅吨)，铁路运费为1元/(千米⋅吨)．(1)求该食品厂到A地，B地的距离分别是多少千米？(2)求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？(3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？(利润=总售价-总成本-总运费)【变式训练1】小华从家里出发到学校去上学，前15路段小华步行，其余路段小华骑自行车．已知小华步行的平均速度为60m/min，骑自行车的平均速度为200m/min，小华从家里到学校一共用了22min．(1)小红同学提出问题：小华家里离学校有多少m？前15路段小华步行所用时间是多少min？请你就小红同学提出的问题直接设出未知数列方程组进行解答．(2)请你再根据题目的信息，就小华走的“路程”或“时间”，提出一个能用二元一次方程组解答但与第(1)问不完全相同的问题，并设出未知数、列出方程组．【变式训练2】货车从A地出发将一批防疫物资运往B地．A、B两地相距164千米，货车匀速行驶一段路程后，出现了故障，司机师傅立刻抢修，排除了故障后，继续运送物资赶往B地．已知货车离开A地行驶的路程y(km)与离开A的时间x(h)之间的函数关系如图所示．(1)填表：(分别写出①、②、③处的数据)(2)填空：①货车行驶km时出现的故障；②修车所用的时间为h；③货车如果没出现故障，一直匀速行驶，会比实际早到多长时间？【变式训练3】马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如下是关于某市今年全程马拉松比赛的部分信息．①在起点，沿途每隔5千米处及终点提供水，运动饮料，水果等补给，最后两个补给站之间为2千米；②在起点，终点和沿途等距离设置若干个固定医疗站若每个补给站安排1个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排2个值班员，则需要64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3个值班员，则需要99个值班员．(1)本次马拉松比赛共设置______个补给站；(2)沿途中，每两个固定医疗站之间距离是多少？(3)沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点多少千米？【变式训练4】“滴滴打车”深受大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按p元/千米计算，耗时费按q元/分钟计算，小明、小亮两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如表：(1)求p，q的值；(2)“滴滴”推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费．某天，小丽两次使用“滴滴打车”共花费52元，总里程20千米，已知两次“滴滴打车”行驶的平均速度为40千米/小时，求小丽第一次“滴滴打车”的里程数？类型五、工程问题例．目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装． 生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？(2)如果工厂抽调n (0＜n ＜5)名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？【变式训练1】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？(可用(1)、(2)问的条件及结论)【变式训练2】杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？(2)若公司原有熟练工m 人，现招聘n 名新工人(6)m n >>，使得最后能刚好一个月(30天)完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求m 的值．【变式训练3】青山化工厂与A 、B 两地有公路、铁路相连这家工厂从A 地购买一批每吨1000元的原料经铁路120km 和公路10km 运回工厂，制成每吨8000元的产品经铁路110km 和公路20km 销售到B 地，已知铁路的运价为1.2元/(吨·千米)，公路的运价为1.5元/(吨·千米)，且这两次运输共支出铁路运124800元，公路运费19500元．(1)设原料重x吨，产品重y吨，根据题中数量关系填写下表(表格内填化简的结果)．根据上表列方程组求原料和产品的重量．(2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？【变式训练4】一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？(2)已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？(3)装修完毕第二天即可正常营业，且每天仍可盈利200元(即装修前后每天盈利不变)，你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由．(可用(1)(2)问的条件及结论)。
七年级数学下册8.3实际问题与二元一次方程组第2课时几何问题与图表信息问题作业课件人教版.ppt
8．泰丰公司要将一批货物运往某地，打算租用某汽车公司的甲、乙两种 货车，以前租用这两种货车的信息如下表：
现打算租用该公司4辆甲种货车和6辆乙种货车，可一次刚好运完这批货物， 如果每吨运费为50元，泰丰公司应付运费_______1_5_5_0__元．
9．在长为12 m，宽为9 m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向 分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，求其中一 个小长方形花圃的长和宽．
解：妈妈的设计方案合理．理由如下：设养鸡场的长为 x 米，宽为 y 米．①
x＝y＋5，
x＝15，
按爸爸的设计方案，则有x＋2y＝35， 解得y＝10， 因为 15 米＞14 米，
x＝y＋2，
x＝13，
所以不合理；②按妈妈的设计方案，则有x＋2y＝35， 解得y＝11， 因为
13 米＜14 米，所以合理．此时养鸡场的面积为 13×11＝143(平方米)
解：设小长方形的长为 x m，宽为 y m，由题意得 2x＋y＝12， x＋2y＝9， 解得xy＝＝52，， 答：小长方形花圃的长和宽分别为 5 m，2 m
10．一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用篱笆围成，现 有长为35米的篱笆，爸爸的设计方案是长比宽多5米；妈妈的设计方案是长 比宽多2米，你认为谁的设计合理，为什么？如果按这种设计，养鸡场的面 积是多少？
第八章 二元一次方程组
8．3 实际问题与二元一次方程组
第2课时 几何问题与图表信息问题
知识点一：几何图形问题
1．一副三角板按如图方式摆放，且∠1 比∠2 大 50°，若设∠1＝x°，
∠2＝y°，则可得到的方程组为( D )
x＝y－50 A．x＋y＝180
x＝y＋50 B．x＋y＝180
几何图形问题-二元一次方程在实际问题中的应用
几何图形问题-二元一次方程在实际问题中的应用一、单选题1．在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．图1所示的算筹图表示的是关于x ，y 的方程组2417328x y x y +=⎧⎨+=⎩，则图2所示的算筹图表示的方程组是（）A ．32322322x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．323611322x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．32366322x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．23363622x y x y +=⎧⎨+=⎩2．如图，将长方形ABCD 的一角折叠，折痕为AE ，∠BAD 比∠BAE 大18°．设∠BAE 和∠BAD 的度数分别为x ，y ，那么x ，y 所适合的一个方程组是（）A ．1890y x y x -=⎧⎨+=⎩B ．18290y x y x -=⎧⎨+=⎩C ．182y x y x -=⎧⎨=⎩D ．18290x y y x -=⎧⎨+=⎩3．如图，正方形ABCD 由四个相同的大长方形，四个相同的小长形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形ABCD 的面积是（）A ．36B ．25C ．20D ．164．如图，,AB BC ABD ⊥∠的度数比DBC ∠的度数的两倍少30︒，设ABD ∠和DBC ∠的度数分别为,x y ︒︒，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是()A ．9030x y x y +=⎧⎨=-⎩B ．90230x y x y +=⎧⎨=-⎩C ．90302x y x y +=⎧⎨=-⎩D ．290230x x y =⎧⎨=-⎩5．如图，七个相同的小长方形组成一个大长方形ABCD ，若CD =21，则长方形ABCD 的面积为（）A ．560B ．490C ．630D ．700二、填空题6．如图，在长方形ABCD 中，放入6个形状、大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是___________，若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积是否改变？_________（填“变”或“不变”）．7．如图，三个形状，大小都相同的小长方形沿“横—竖—横”排列在一个大长方形中，若这个大长方形的周长为2016cm ，则一个小长方形的周长为________cm ．8．如图，在ABC 中，点E 是AB 边上的点，且:2:3AE EB =，点D 是BC 边上的点，且:1:2BD DC =，AD 与CE 相交于点F ，若四边形BDFE 的面积是16，则ABC 的面积为______．三、解答题9．如图所示一个正方体的表面展开图，标注了字母“a”的面是正方体的正面．已知正方体相对两个面上的代数式的值相等，求x、y的值．10．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6．（1）图中格点多边形DEFGHI所对应的S＝，N＝，L＝．（2）经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN+bL﹣1，其中a，b为常数①试求a，b的值．（提示：列方程组）②求当N＝5，L＝14时，S的值．11．已知A 、B 两个边长不等的正方形纸片并排放置(如图所示)(1)若m ＝8，n ＝3，则甲、乙两个正方形纸片的面积之和为:______________(2)用m 、n 表示甲、乙两个正方形纸片的面积之和为:___________________(3)若A 、B 两个正方形纸片的面积之和为：139，且右下图中阴影部分的面积为：23，则m=___________n=_______________________12．在平面直角坐标系中，点A ，B 在y 轴正半轴上，且点A 在B 的下方，将线段AB 进行平移得到线段CD ，点A 的对应点为点D ，点B 的对应点为点C ，（1）若点A （0，1），B （0，3），D （3，2），求点C 的坐标；（2）点E 是第二象限上的一个动点，过点E 作EF 垂直x 轴于F ，连接DF ，DE ，EC ．若点A （0，12m ），B （0，b ），C （a +b +1，12m +3），D （m ，﹣2m +3），三角形DEF 的面积为S △DEF ＝33388a -+，点D 到直线EF 的距离为3，试问是否存在m ，使得S △BCE ＝13S △ACE ？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．13．已知AM ∥CN ，点B 为平面内一点，AB BC ⊥于B ．(1)如图1，直接写出A ∠和C ∠之间的数量关系．(2)如图2，过点B 作BD AM ⊥于点D ，求证：ABD C ∠=∠．(3)如图3，在（2）问的条件下，点E 、F 在DM 上，连接BE 、BF 、CF ，BF 平分DBC ∠，BE 平分ABD ∠，若2ABF ABE ∠=∠，求EBC ∠的度数．14．现有300张完全相同的矩形纸片．一张纸片若按图1所示方式裁剪后，可以围成一个无盖长方体，一张纸片若按图2的所示方式裁剪后，可以形成2个与前面无盖长方体搭配的盖子，现先按图2所示的方式裁剪矩形纸片x 张，再按图1所示的方式裁剪剩余纸片，其中盖子的数量不大于无盖长方体的数量．(1)直接写出搭配完后，剩余的无盖长方体的数量______．（用含有x 的代数式表示）．(2)把搭配完的无盖长方体和有盖长方体进行包装后，放到网格平台进行销售，其中无盖长方体每个售价m 元，有盖长方体每个售价n 元，完全售出后，满足如下数据：x （张）6090销售后的总利润y （元）540510①求y 与x 之间的关系式，②求y 的最小值；15．我国古代的“河图”是由33⨯的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．如图1，根据给出的“河图”的部分点图，可以得到：1515P ++=⎧⎨++=⎩●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●如图2，已知33⨯框图中每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和均为3，求x y ，的值并在图3中填出剩余的数字．参考答案：1．C【分析】由图1可知：前2个算筹为字母的系数，后2个，第一个是十位数字，第二个是个位数，竖的表示1，横的表示5，据此类比图1所示的算筹的表示方法解答即可．【详解】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹表示的方程组：32366322x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选C ．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法是解答本题的关键．2．B【分析】首先根据题意可得等量关系：①∠BAD -∠BAE 大18°；②∠BAD +2∠BAE =90°，根据等量关系列出方程组即可．【详解】解：设∠BAE 和∠BAD 的度数分别为x °和y °，依题意可列方程组：18290y x y x -=⎧⎨+=⎩．故选B ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．3．D【分析】设小长方形的长和宽分别为x 、y ，可表示出大长方形的长和宽分别为2x 、2y ，由题意可得中间小正方形边长为1，观察图形可得x －y =1，正方形ABCD 的边长为2x +2y 或2y +x +y +2y ，于是可得方程组12222x y x y y x y y-=⎧⎨+=+++⎩，进一步即可求得结果.【详解】解：设小长方形的长和宽分别为x 、y ，则大长方形的长和宽分别为2x 、2y ，因为中间小正方形的面积为1，所以其边长为1，观察图形可得x －y =1，正方形ABCD 的边长为2x +2y 或2y +x +y +2y ，，于是得方程组12222x y x y y x y y -=⎧⎨+=+++⎩，解得3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.于是正方形ABCD 的边长为2x +2y =4，其面积是16.故选D.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，认真观察图形，弄清图形的特征，从不同的角度表示出正方形ABCD 的边长，进而列出方程组是解题的关键.4．B【分析】根据角的和差倍分、互余角的定义建立方程组即可．【详解】AB BC ⊥ ，90ABC ∴∠=︒，90ABD DBC ∴∠+∠=︒，即90x y +=，ABD ∠ 的度数比DBC ∠的度数的两倍少30︒，302ABD DBC ∠∴-∠=︒，即302x y =-，则可列方程组为90230x y x y +=⎧⎨=-⎩，故选：B ．【点睛】本题考查了角的和差倍分、互余角的定义、列二元一次方程组，理解题意，正确找出两个等量关系是解题关键．5．C【分析】由图可看出本题的等量关系：小长方形的长2⨯=小长方形的宽5⨯；小长方形的长+宽21=，据此可以列出方程组求解．【详解】解：设小长方形的长为x ，宽为y ．由图可知：5221y x x y =⎧⎨+=⎩，解得156x y =⎧⎨=⎩，∴长方形ABCD 的长为:55630y =⨯=，宽为21，∴长方形ABCD 的面积为:3021630⨯=，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组在几何图形中的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解．6．267cm 不变【分析】设每个长方形的长为x 厘米，宽为y 厘米，观察图得相等关系：长+3×宽=19，长−宽=7，根据相等关系可列出方程组，解方程组即可求得一个长方形的长和宽，从而可求得一个长方形的面积，当然也可求得大长方形的面积，两者之差便是所求阴影部分的面积；显然平移不改变阴影部分的面积．【详解】设每个长方形的长为x cm，宽为y cm，则有方程组：3197 x yx y+=⎧⎨-=⎩解得：103 xy=⎧⎨=⎩所以大长方形的宽为：7+2×3=13(cm)，其面积为13×19=247(cm2)，一个小长方形的面积为3×10=30(cm2)所以阴影部分的面积为：247-6×30=67(cm2)由于平移不改变图形的面积，故这六个小长方形的总面积不变，又大长方形的面积一定，所以阴影部分的面积不变．故答案为：67cm2；不变．【点睛】本题考查了二元一次方程组解决与图形有关的问题，以及平移的性质，关键是从图形中寻找两个等量关系并列出方程组．7．672【分析】设小矩形的长为x cm，宽为y cm，则大矩形的长为（2x+y）cm，宽为（x+2y）cm．根据矩形的周长公式结合大矩形的周长为2016cm即可得出关于（x+y）的一元一次方程，解之即可得出（x+y）的值，再根据矩形的周长公式即可得出结论．【详解】解：设小矩形的长为x cm，宽为y cm，则大矩形的长为（2x+y）cm，宽为（x+2y）cm．根据题意得：2（2x+y+x+2y）=2016，解得：2（x+y）=672，∴小矩形的周长为672cm．故答案为：672．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次方程的应用，将（x+y）当成一个整体利用矩形的周长公式找出关于（x+y）的一元一次方程是解题的关键．8．60【分析】连接FB，设S△BDF＝a，S△BEF＝b，推出S△AEF23=b，S△CDF＝2a，S △ABD 12=S △ACD =（1623+b ），S △ACE 23=（16+2a ），根据S △ACF ＝S △ACD ﹣S △CDF ＝S △ACE ﹣S △AEF 得到10a ﹣6b ＝64，与a +b ＝16构成方程组，解方程组求得a 、b 的值，进而即可求得△ABC 的面积．【详解】解：连接FB ，如图所示：设S △BDF ＝a ，S △BEF ＝b ，∵23AE EB =，∴S △AEF 23=b ，∵BD ：DC ＝1：2，∴S △CDF ＝2a ，∴S △ABD 12=S △ACD ＝1623+b ，S △ACE 23=（16+2a ），∵S △ACF ＝S △ACD ﹣S △CDF ＝S △ACE ﹣S △AEF ，∴3243+b ﹣2a 23=（16+2a ）23-b ，∴10a ﹣6b ＝60，∵a +b ＝16，1066416a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得106a b =⎧⎨=⎩，∴S △ABC ＝S △ACD +S △AEF +S 四边形BDFE＝（3243+b ）23+b +16＝48+2b＝48+12＝60．故答案为60．【点睛】本题考查了三角形的面积，二元一次方程组，解决本题的关键是掌握三角形的面积公式．9．31x y =⎧⎨=⎩【分析】根据正方体相对两个面上的代数式的值相等，可列出二元一次方程组，即可进行求解.【详解】解：由题意得51,25,x y y x -=+⎧⎨=-⎩解得31x y =⎧⎨=⎩．【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程.10．（1）7，3，10；（2）①112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩；②11【分析】（1）将多边形DEFGHI 拆分为直角三角形DEF ，直角三角形DFI 与正方形FGHI 可求面积，再数出格点数即可；（2）①将条件中的S ＝2，N ＝0，L ＝6，以及（1）中所得的数据代入S ＝aN +bL ﹣1，建立方程组求解；②将N ＝5，L ＝14代入①中所得的关系式求解．【详解】解：（1）观察图形，可得N ＝3，L ＝10，11212222722=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯= DEF DFI FGHI S S S S 故答案为：7，3，10；（2）①根据题意得：206173101b a b =+-⎧⎨=+-⎩解得：112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩②∵S ＝N+12L ﹣1，∴将N ＝5，L ＝14代入可得S ＝5+14×12﹣1＝11．【点睛】本题考查新型定义问题，理解题意，建立方程组求解是解题的关键．11．(1)36.5；(2)222m n +；(3)53，13【分析】（1）设A 的边长为x ，B 的边长为y ，列出等式组解得x 、y 的值，再根据面积公式计算即可.（2）由题意列出m 、n 的关系式，根据不等式关系进行化简即可.（3）根据题意，列出S 阴影面积与A 、B 面积的关系式，进行化简求值即可.【详解】(1)设A 的边长为x ，B 的边长为y ，则83x y x y +=⎧⎨-=⎩①②①+②得：2x=11x=5.55.52.5x y =⎧∴⎨=⎩225.5+2.5=36.5∴即A 和B 的面积之和为36.5.（2）x y m x y n +=⎧⎨-=⎩①②解得：x=()2m n +,y=()2m n -A 、B 面积之和=222222m n m n x y +-⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=222m n +(3)S 阴影面积=22224m n m n m n x y +--== 由题意得：22221329243m n m n ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩解得：51,33m n ==【点睛】本题考查二元一次方程的运用，熟练掌握计算法则是解题关键.12．（1）点C （3，4）；（2）存在m ，使得S △BCE ＝13S △ACE ，此时45m =或85．【分析】（1）先根据A （0，1），D （3，2），得到平移的方向和距离，再利用平移的性质，即可求解；（2）利用平移变换的性质构建方程组求出a ，b （用m 表示），利用三角形的面积公式构建方程求出m ，即可解决问题．【详解】解：（1）∵A （0，1），D （3，2），∴点A 先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点D ，∴点B （0，3）先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点C ，∴点C （3，4）；（2）如图，存在m ，使得S △BCE ＝13S △ACE ，理由如下：∵将线段AB 进行平移得到线段CD ，∴AB =CD ，∵点A （0，12m ），B （0，b ），C （a +b +1，12m +3），D （m ，﹣2m +3），∴()11132322a b m b m m m ⎧++=⎪⎨-=+--+⎪⎩，解得：213a m b m⎧=--⎨=⎩，∴111a b m m ++=-+=，∴1,32C m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵EF 垂直x 轴，点D 到直线EF 的距离为3，S △DEF ＝33388a -+，∴12833338EF a -+⨯⨯=，解得：11113442EF a m =-+=+，∴EC y ⊥轴，∴点A 到CE 的距离为113322m m +-=，∵S △BCE ＝13S △ACE ，∴点B 到EC 的距离为1313⨯=，∴11333122m b m m +-=+-=，即5312m -+=，解得：45m =或85，∴存在m ，使得S △BCE ＝13S △ACE ，此时45m =或85．【点睛】本题主要考查平移变换，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程组，利用参数解决问题．13．(1)90A C ∠+∠=︒(2)见解析(3)105︒【分析】（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解；（2）过点B 作//BG DM ，根据平行线找角的联系即可求解；（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质即可求解．（1）解：如图，//AM CN ，C AOB ∴∠=∠，AB BC ⊥ ，90A AOB ∴∠+∠=︒，90A C ∠∠∴+= ；（2）解：如图，过点B 作//BG DM ，BD AM ⊥ ，DB BG ∴⊥，即90ABD ABG ∠+∠=︒，又AB BC ⊥ ，ABD CBG ∴∠=∠，//AM CN ，//BG AM ，//CN BG ∴，C CBG ∴∠=∠，ABD C ∴∠=∠；（3）解：如图，过点B 作//BG DM ，BF 平分DBC ∠，BE 平分ABD ∠，DBF CBF ∴∠=∠，DBE ABE ∠=∠，由（2）可得ABD CBG ∠=∠，ABF GBF ∴∠=∠，设DBE α∠=，ABF β∠=，则ABE α∠=，2ABD CBG α∠==∠，GBF AFB β∠==∠，33BFC DEB α∠=∠=，3AFC αβ∴∠=+，180AFC NCF ∠+∠=︒ ，180FCB NCF ∠+∠=︒，180FCB AFC BCF ∴∠=∠+∠=︒，可得(2)3(3)180αβααβ++++=︒，①由AB BC ⊥可得290ββα++= ，②由①②联立方程组，解得15α=︒，15ABE ∴∠=︒，1590105EBC ABE ABC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．【点睛】本题考查平行线性质，角平分线性质，画辅助线，找到角的关系是求解本题的关键．14．(1)300-3x(2)①y 与x 之间的关系式y =-x +600；②当x =100时，y 有最小值，最小值是500．【分析】（1）x 张纸片可以剪2x 个盖子，剩余的（300-x ）张纸片可以剪（300-x ）个盒子，一个盒子配一个盖子，且2x ≤300-x ，根据题意剩余的盒子为300-x -2x ；（2）①由题意得到y =（300-3x ）m +n ⋅2x ，再由表中数据可以得到关于m ，n 的二元一次方程组，解方程组求出m ，n 的值即可得出结论；②有函数的性质结合x 的取值范围求函数最值．【详解】（1）解：由题意得，x 张纸片可以剪2x 个盖子，剩余的（300-x ）张纸片可以剪（300-x ）个盒子，∵一个盒子配一个盖子，且2x ≤300-x ，∴剩余的无盖长方体的数量为300-3x ，故答案为：300-3x ；（2）解：①设y =m （300-3x ）+n ⋅2x ，依据题意得()()540300180120510300270180m n m n ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得22.5m n =⎧⎨=⎩，∴y=2（300-3x）+2.5⋅2x=-x+600，∴y与x之间的关系式y=-x+600；②∵2x≤300-x，解得x≤100，∵y=-x+600，-1＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=100时，y有最小值，最小值是500．【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，根据题意列出函数解析式是解题关键．15．11xy=-⎧⎨=⎩，见解析．【分析】根据题中的和为3先列出二元一次方程组，解出x,y的值，之后再补全图3即可．【详解】解：根据题意，得2323 243 x yx y y++=⎧⎨++=⎩①②解得：11 xy=-⎧⎨=⎩填出剩余的数字如图所示：【点睛】本题是材料阅读题，注意正确阅读材料理解题意，列出方程组，求解之后即可顺利完成本题．。
人教版七年级数学下册《实际问题与二元一次方程组 第2课时：几何图形与图文信息问题》精品教学课件
典型例题
例 周长是30米长方形花圃，经测算将花圃的长减少3米，宽减少 2米，就可改建为正方形花圃，求原来长方形花圃的长和宽各是 多少米？
长
分析：如图，
原长方形周长为30米 长 – 3米 = 宽 – 2米
正方形 宽
解：设原长方形花圃的长和宽分别 是x米、y米.
2米 3米
典型例题
例 周长是30米长方形花圃，经测算将花圃的长减少3米，宽减少 2米，就可改建为正方形花圃，求原来长方形花圃的长和宽各是 多少米？
随堂练习
3. 要用含药30%和75%的两种防腐药水，配置含药50%的防腐药水 18kg，两种药水各需取多少？
注意：药水=药剂+水
药剂=药水×含药百分比
分析：根据题意，能得到哪些等量关系呢？
含药30%的药水 + 含药75%的药水x =+配y=置18后的药水18kg
含药30%的药剂 + 含药75%30的%药x +剂7=5%配y置=1后8×的5药0%剂
题
可以列出几个方程；
②两者相同点是都需要先分析题意，把实际问题转化为数学问题
(设未知数，列方程或方程组)，再检验解的合理性，进而得到实际
问题的解，这一过程就是建模的过程.
教科书第102页习题8.3 第4题
再见
抢答
分析：如图，设在黑色长方形的长上摆x个小正方形，宽上摆y个小 正 方 形 . 又 知 道 一 共 有 148 个 正 方 形 ， 所 以 2(x+y)=148–4 ； 再 根 据 “黑色矩形的长与宽的比为5：3”，得到x：y=5：3.可列出方程组 求解x，y的值，即可求出AD：AB=(x+2)：(y+2)=47：29.
①“甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2”是什么意思？ ②“甲、乙两种作物的总产量的比是3：4”是什么意思？ “甲、乙两种作物的单位面积产量比与总产量比有什么关系呢？
七年级数学下册第八章二元一次方程组8.3实际问题与二元一次方程组第2课时几何图形等问题课件 新人教版
类型之三 盈亏问题 [2018·贵港]某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用 45 座
客车若干辆，但有 15 人没有座位；若租用同样数量的 60 座客车，则多出一辆车， 且其余客车恰好坐满．已知 45 座客车租金为每辆 220 元，60 座客车租金为每辆 300 元．
(1)这批学生的人数是多少？原计划租用 45 座客车多少辆？ (2)若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用才合算？
x＋y＝180 x＋y＝90 C.x＝10－2y D.y＝2x－10
图8-3-3
2．已知一个长方形的周长是 16 cm，长与宽的差是 1 cm，那么这个长方形
的长与宽分别为( B )
A．5 cm，3 cm
B．4.5 cm，3.5 cm
C．6 cm，4 cm
D．10 cm，6 cm
3．请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只
(1)用含 x，y 的代数式表示地面总面积；
(2)已知客厅面积比卫生间面积多 21 m2，且地面总
面积是卫生间面积的 15 倍．若铺 1 m2 地砖的平均
费用为 80 元，那么铺地砖的总费用为多少元？
图8-3-2
解：(1)地面总面积为(6x＋2y＋18)m2. (2)题意，得66xx－ ＋22yy＝ ＋2118， ＝15×2y，
知识管理
1．几何图形问题
基本关系：相关几何图形的性质、周长、面积等计算公式．
2．产品配套问题
相等关系：加工总量成比例．
3．盈亏问题
关 键：从盈(过剩)、亏(不足)两个角度来把握事物的总量．
归类探究
类型之一 几何图形问题
小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图
数学人教版七年级下册8.3实际问题与二元一次方程组—几何图形问题
8.3 实际问题与二元一次方程组—几何图形问题【教学目标】知识与技能：能够找出实际问题中的已知数和未知数，从几何图形中分析它们之间的数量关系，列出方程组.过程与方法：经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.情感态度与价值观：学会开放性地寻求设计方案，培养分析.【教学重难点】教学重点：经历和体验用方程组解决实际问题的过程.教学难点：用方程组刻画和解决实际问题的过程.教法：引导学法：探究-归纳课时：第2课时课型：探究问题授课时间：【教学过程】一、复习回顾列方程（组）解实际问题的步骤是什么？1.审题2.找等量关系3.设未知数4.列方程组5.解方程组6.检验并作答二、情境引入，例题讲解学校花园要扩建花圃，有学生提出建长方形花圃，但为了美观，决定改建为正方形花圃。
引出例题1.例1. 周长是30米长方形花圃，经测算将花圃的长减少3米，宽增加2米，就可改建为正方形花圃，求原来长方形花圃的长和宽各是多少米？引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路，分析题目，得出关键词，画出几何图形，引导学生找等量关系变式：如果考虑到花圃的种植面积，将长方形花圃的长减少3米，宽增加2米后，改建为一个正方形花圃，要求这两个花圃的面积相等，求原来长方形花圃的长、宽各为多少米？归纳：将长方形做一些改变改造成正方形，这类型的题目应该怎样找等量关系。
小明在拼图时，发现8个一样大的小长方形，恰好可以拼成一个大长方形，如图甲所示，陈晔看见了说“我来试一试”，结果陈晔七拼八凑，拼成一个如图乙的正方形，中间留下一个洞，恰好是边长2mm的小正方形，你能算出小长方形的长和宽吗？你能帮他们解开其中的奥秘吗？提示学生先动手实践，再分析讨论．归纳：拼图类型应如何找等量关系练习 如图，长方形ABCD 中放置9个形状、大小相同的小长方形，求图中阴影部分的面积．四、课堂小结你对用方程解决实际的方法又有何新的认识？五、布置作业必做题：习题8.3第9题板书设计：A B CD 2。
初中数学二元一次方程组的应用题型分类汇编——几何图形问题1(附答案)
（1）求出图中格点四边形DEFG对应的S，N，L．
（2）已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b，其中a，b为常数，若某格点多边形对应的N=82，L=38，求S的值．
初中数学二元一次方程组的应用题型分类汇编——几何图形问题1（附答案）
1．如图，直线 ，∠1的度数比∠2的度数大56°，若设 ， ，则可得到的方程组为（）
A． B． C． D．
2．如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为（ ）
16．在方程y＝kx+b中，当x＝﹣2时，y＝3，当x＝1时，y＝0，那么k＝_____，b＝_____．
17．如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2019根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数少3个，那么能连续搭建正三角形的个数是________．
A． B． C． D．
10．在长方形ABCD中，放入6个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则阴影部分的面积为（ ）
A．38cm2B．42cm2C．40cm2D．44cm2
11．如图，已知 的面积是 ，若 分别是 的边 上的中线，则四边形 的面积为___________．
12．如图所示，在长为10m、宽为8m的长方形空地上，沿平行于各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃则其中一个小长方形花圃的周长是______m.
设竖式无盖纸盒两个方程相加得mn5x5y5点睛本题考查了二元一次方程组的应用解题的关键是读懂题意弄清图形的特征正确列出方程组注意实际问题取整数解6d解析分析设小长方形的长和宽分别为xy可表示出大长方形的长和宽分别为2x2y由题意可得中间小正方形边长为1观察图形可得xy1正方形abcd的边长为2x2y2yxy2y于是可得方程组详解解
2023~2024学年 8.3 课时2 实际问题与二元一次方程组——几何图形问题(18页)
左边种植甲种作物，
SAEFD=100x
右边种植乙种作物，
SEFCB=100y
设AE＝xm，BE＝ym.
总产量= 单位面积产量×面积
根据题意列方程组为
D
200m
x+y=200,
100m
100x:200y=3:4.
解得
A
甲种作物
x
F
C
乙种
作物
E
y
B
x=120,
y=80.
答：将这块土地分为长120m、宽100m 和 长100m、宽80m的
（3）根据题中的等量关系列方程组
（4）解方程组，求出未知数的值
（5）检验解的正确性和合理性，写出答案
1、把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折法？
2、把长方形纸片折成面积之比为1：2的两个小长方形，又有哪
些折法？
●
●
●
●
按面积分割长方形的问题可转化为分割边长的问题
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1:2．现要
正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图②．这个拼成
的长方形的长为30，宽为20．则图②中Ⅱ部分的面积是
解：根据边长关系得出：
a+b=30
a-b=20
解得：
a=25
b=5
故图②中Ⅱ部分的面积是：（a-b）×b =20×5
=100
.
例2：如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相
等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是
根据题意列方程组为
D
x + y=100,
x
200x:400y=3:4.
七年级实际问题和二元一次方程组(几何专题)课件14张PPT
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/8/32021/8/32021/8/3T uesday, August 03, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/8/32021/8/32021/8/32021/8/38/3/2021
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年8月3日星期 二2021/8/32021/8/32021/8/3
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
x
x
y y
yyy x
y
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/8/32021/8/3T uesday, August 03, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/8/32021/8/32021/8/38/3/2021 3:24:17 AM
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/8/32021/8/32021/8/3Aug-213-Aug-21
解：设每个小长方形的长为xcm,宽为ycm
yy x
yyy
x
x
3x＝5y
x 2
yy
x+2＝2y
变式3：
下图是由22个周长为20cm的小长方形是拼接成的一个 大长方形，当中出现三个大小一样的小正方形空隙， 试求出三个小正方形空隙的面积和。
解：设每个小长方形的长为xcm,宽为ycm
1个长－1个宽＝小正方形的边长
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年8月2021/8/32021/8/32021/8/38/3/2021
人教版七年级数学下册 第八章二元一次方程组实际问题与二元一次方程组 第2课时 几何问题与图表信息问题
D．xx＝＋yy＋＝5900
2．如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将 图中的阴影部分拼成一个长方形，如图②，若这个拼成的长方形的长为30， 宽为20，则a＝_2_5__，b＝__5__，图②中Ⅱ部分的面积为___1_0_0______.
3．小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形，恰好可以拼成一个大的 长方形．如图①所示，小红看见了，说“我来试一试”，结果小红七拼八凑， 拼成如图②那样的正方形，可中间还留下一个边长为6 cm的小正方形．请你 求出这些小长方形的长和宽．
款 2 元的有 x 名同学，捐款 3 元的有 y 名同学，根据题意，可列方
程组( A ) x＋y＝50－13
A．2x＋3y＝200－34
x＋y＝50－13 B．2x＋3y＝200
C．x3＋x＋y＝2y＝50200－34
D．x3＋x＋y＝2y＝50200
5．(永州中考)在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同 学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和妈妈的对话，请根据对话内容， 求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．
收费标准
求a，b的值．
a＋（2－1）b＝9， 解：依题意，得a＋3＋（3－1）（b＋4）＝22， 解得ab＝＝72，. 答：a 的值为 7，b 的值为 2
7．如图，在大长方形中放入6个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如 图所示，则图中大长方形的面积是( D )
A.96 B．112 C．126 D．140
x＋2y＝150
(2)设做甲种小盒用去x张长方形纸片，做乙种小盒用去y张长方形纸片， 如何列方程组求解？
解：(2)由题意可列方程组x4＋3y×2＝150， 解得 x＋y＝300，
几何图形-二元一次方程在实际问题中的应用
几何图形-二元一次方程在实际问题中的应用一、单选题1．学校计划购买甲和乙两种品牌的足球，已知一个甲品牌足球80元，一个乙品牌足球100元．学校准备将2000元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种2．把一根长9m的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值有（）A．3种B．4种C．5种D．6种二、填空题3．小明在文化用品超市购买单价为2元的签字笔和单价为3元的笔记本，一共花了17元，则购买方案有___________种．4．腊八之后，年味渐浓．京东超市某直营店推出甲、乙两种年货礼盒，其中甲种礼盒有开心果3袋，腰果3袋，夏威夷果1袋，纸皮核桃1袋；乙种礼盒有开心果4袋，腰果3袋，纸皮核桃3袋．每种礼盒的总成本由该礼盒中所有坚果的成本之和加上包装盒成本6元/个．已知每袋开心果和每袋腰果的成本价之比为5:4，每袋夏威夷果和每袋纸皮核桃的成本价之比为2:1．甲种礼盒的售价为168元，利润率是40%，第一周售出甲、乙两种礼盒共60盒，销售总额为10270元，总利润率为30%．第二周直营店通过减少坚果的袋数推出甲、乙两种年货的小号礼盒，甲种小号礼盒的成本价（包含包装盒成本）降为原甲种礼盒总成本的35%，乙种小号礼盒相比原乙种礼盒开心果、腰果、纸皮核桃各减少2袋，小号包装盒成本每个4元．如果第二周售出的甲、乙小号礼盒恰好分别与第一周甲、乙两种礼盒数量相同，则第二周售出的所有小号礼盒的总成本是______元．三、解答题5．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别是：甲每台1500元，乙每台2100元，丙每台2500元．(1)若商场购进甲x台，乙y台，则购进甲、乙一共花费______元．（用含x、y的代数式表示）(2)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．(3)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售获利最多，你会选择哪种进货方案？6．元旦期间，七（1）班明明等同学随家长一同到某景区游玩，该景区门票价格规定如图：(1)明明他们一共12人，分别按成人和学生购票，共需550元，求他们一共去了几个成人，几个学生？(2)购完票后，明明发现，如果购团体票更省钱，正在此时，七（2）班涛涛等8名同学和他们的12名家长共20人也来购票，请你为七（2）班设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用．7．目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？(2)如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？8．某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如下表：第一次第二次甲种货车（辆）25乙种货车（辆）36累计运货（吨）1328（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？（2）若某货主共有20吨货物，计划租用该公司的货车，正好（每辆货车都满载）把这批货物运完，则该货主有________种租车方案？（3）王先生要租用该公可的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？9．学校书法兴趣小组准备到文具店购买A、B两种类型的毛笔，文具店的销售方法是：一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支比零售价低0.4元，其余部分仍按零售价销售．一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支比零售价低0.6元，其余的部分仍按零售价销售．（1）如果全组共有20名同学，若每人各买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共支付145元；若每人各买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共支付129元，这家文具店的A、B型毛笔的零售价各是多少？（2）为了促销，该文具店对A型毛笔除了原来的销售方法外，同时又推出了一种新的销售方法：无论购买多少支，一律按原零售价（即（1）中所求得的A型毛笔的零售价）90%出售．现要购买A型毛笔a支（a＞40），在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少并说明理由．10．某商场计划用56000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产甲、乙、丙，台，其中每台的价格、销售获三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入x y利如下表：甲型乙型丙型价格（元/台）1000800500销售获利（元/台）260190120()1购买丙型设备台(用含,x y的代数式表示)；()2若商场同时购进三种不同型号的电子产品(每种型号至少有一台)，恰好用了56000元，则商场有哪几种购进方案?()3在第()2题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案?此时获利为多少?参考答案：1．C【分析】设购买甲品牌足球x 个，购买乙品牌足球y 个，根据总价=单价×数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为正整数即可求出结论．【详解】解：设购买甲品牌足球x 个，购买乙品牌足球y 个，依题意，得：801002000x y +=，∴4205y x =-，∵x ，y 均为正整数，∴516x y =⎧⎨=⎩，1012x y =⎧⎨=⎩，158x y =⎧⎨=⎩，204x y =⎧⎨=⎩，∴该学校共有4种购买方案．故选：C ．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程．2．B【分析】设2m 的钢管b 根，由题意可列二元一次方程29a b +=，根据a 、b 均为整数，求解即可．【详解】解：设2m 的钢管b 根，根据题意得：29a b +=，a 、b 均为整数，14a b =⎧∴⎨=⎩，33a b =⎧⎨=⎩，52a b =⎧⎨=⎩，71a b =⎧⎨=⎩．故选B ．【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解．正确的列方程并正确的运算是解题的关键．3．3【分析】设购买签字笔a 只，笔记本b 本，根据题意列出二元一次方程，故可求解．【详解】设购买签字笔a 只，笔记本b 本，根据题意可得2317a b +=正整数解为43a b =⎧⎨=⎩或71a b =⎧⎨=⎩或15a b =⎧⎨=⎩故购买方案有3种，故答案为：3【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解．4．3220【分析】先由“甲种礼盒的售价为168元，利润率是40%”求出甲的成本价为114元/袋，设纸皮核桃的成本价为a 元/袋，则夏威夷果的成本价为2a 元/袋，腰果的成本价为4b 元/袋，则开心果的成本价为5b 元/袋，求出938b a +=元以及乙每袋成本价为(1205)b +元，再根据“第一周售出甲、乙两种礼盒共60盒，销售总额为10270元，总利润率为30%”求出甲、乙总成本为7900元，从而求出1袋开心果成本价为70060m-元，进一步可求出第二周总成本价【详解】解：设甲的成本价为x 元/袋，由“甲种礼盒的售价为168元，利润率是40%”可得，16840%xx-=，解得，114x =所以，甲的成本价为114元/袋，设纸皮核桃的成本价为a 元/袋，则夏威夷果的成本价为2a 元/袋，腰果的成本价为4b 元/袋，则开心果的成本价为5b 元/袋，∴53432114b b a a ⨯+⨯++=，即938b a +=∴乙每袋成本价=3(45)561205b b a b b ⨯++++=+，∵第一周售出甲、乙两种礼盒共60盒，销售总额为10270元，总利润率为30%，∴设甲乙总成本为y 元，则有：1027030%yy-=，解得，=7900y ，即甲乙总成本为7900元，设售出甲m 盒，乙(60)m -盒，则有：120(60)(1205)7900m m b +-+=，解得，700=60b m-，即1袋开心果成本价为70060m -元，第二周：甲成本为12035%=42⨯元，乙成本=7002544(42)60b b a m⨯+++=+-元，则第二周总成本价为：70042(42)(60)42426042700322060m m m m m++⨯-=+⨯-+=-（元）故答案为：3220【点睛】本题主要考查列代数式，整式加减法，二元一次方程的实际应用，分析题意，找到关键的描述语，找到合适的等量关系，同时熟悉有关销售问题的概念和公式是解决问题的关键．5．(1)()15002100x y +(2)两种方案：方案一买25台甲，25台乙；方案二，买35台甲，15台丙(3)选方案二，买35台甲，15台丙，理由见解析【分析】（1）根据题意，列出代数式即可；（2）分购进甲型和乙型，购进甲型和丙型，购进乙型和丙型，三种方案，列出方程组进行求解即可；（3）求出每种方案所需费用，进行比较即可．【详解】（1）解：由题意，得：购进甲、乙一共花费()15002100x y +元；故答案为：()15002100x y +；（2）解：方案一：设买甲a 台，乙b 台．由题意，得：150021009000050a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得2525a b =⎧⎨=⎩；方案二：设买甲m 台，丙n 台．由题意，得：501500250090000m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得3515m n =⎧⎨=⎩；方案三：设买乙p 台，丙q 台．由题意，得：502100250090000p q p q +=⎧⎨+=⎩，解得87.537.5p q =⎧⎨=-⎩（不成立）；答：两种方案：方案一买25台甲，25台乙；方案二，买35台甲，15台丙；（3）解：方案一，共获利：25150252008750⨯+⨯=（元）；方案二，共获利：35150152509000⨯+⨯=（元）；∵87509000<，∴选方案二，买35台甲，15台丙．【点睛】本题考查列代数式解决实际问题，二元一次方程组的应用．根据题意，正确的列出代数式和二元一次方程组，是解题的关键．6．(1)8个成人，4个学生(2)方案见解析，638元【分析】（1）先设出两个未知数，再依据题意列出二元一次方程组，解出方程组即可；（2）因为学生票最便宜，团体票次之，成人票最贵，所以应尽可能不买成人票，尽量多买学生票．先凑够16人买团体票，再让剩余学生买学生票是费用最省．【详解】（1）解：设他们一共去了x 个成人，y 个学生．由题意得：1255555502x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：84x y =⎧⎨=⎩，答：他们一共去了8个成人，4个学生．（2）∵学生票最便宜，团体票次之，成人票最贵∴应尽可能不买成人票，尽量多买学生票∴当七（2）班4名同学和他们的12名家长，一起购买团体票，剩余4名同学买学生票时最省钱．此时，购票费用为:5555160.646382⨯⨯+⨯=元【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用和购票方案的选择，细心审题，列出方程组和找出最省钱方案是解题关键．7．(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装4辆，2辆电动汽车(2)4种，方案①招聘10名新工人，抽调1名熟练工；方案②招聘8名新工人，抽调2名熟练工；方案③：招聘6名新工人，抽调3名熟练工；方案④招聘4名新工人，抽调4名熟练工【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装x 辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y 辆电动汽车，根据“2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设招聘y 名新工人，根据招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，即可得出关于y ，n 的二元一次方程，结合05n <<且n ，y 均为正整数，即可得出各招聘方案；【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装x 辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y 辆电动汽车，依题意得：2103216x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：42x y =⎧⎨=⎩．答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．（2）设招聘y 名新工人，依题意得：()1224288y n +=，∴122y n =-．∵05n <<，且n ，y 均为正整数，∴110n y =⎧⎨=⎩或28n y =⎧⎨=⎩或36n y =⎧⎨=⎩或44n y =⎧⎨=⎩，∴工厂有4种新工人的招聘方案，方案1：招聘10名新员工，抽调1名熟练工；方案2：招聘8名新员工，抽调2名熟练工；方案3：招聘6名新员工，抽调3名熟练工；方案4：招聘4名新员工，抽调4名熟练工．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的整数解，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；8．（1）甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物；（2）4种租车方案；（3）甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元【分析】（1）设甲种货车每辆可装x 吨货物，乙种货车每辆可装y 吨货物，根据第一、二次两种货车运货情况表，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用a 辆甲种货车，b 辆乙种货车，根据货物的总重量为20吨且每辆货车都满载，即可得出关于a ，b 的二元一次方程，结合a ，b 均为非负整数，即可得出各租车方案；（3）设甲种货车每辆需运费m 元，租用甲种货车n 辆，则乙种货车每辆需运费1.4m 元，租用乙种货车(n )1-辆，根据总费用=每辆车所需费用⨯租用该种车的辆数，即可得出关于m ，n 的二元二次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：（1）设甲种货车每辆可装x 吨货物，乙种货车每辆可装y 吨货物，依题意，得：23135628x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：23x y =⎧⎨=⎩．答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物．（2）设租用a 辆甲种货车，b 辆乙种货车，依题意，得：2320a b +=，3102a b ∴=-．a ，b 均为非负整数，b ∴为偶数，∴当0b =时，10a =；当2b =时，7a =；当4b =时，4a =；当6b =时，1a =．∴共有4种租车方案，方案1：租用10辆甲种货车；方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车；方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车；方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车．（3）设甲种货车每辆需运费m 元，租用甲种货车n 辆，则乙种货车每辆需运费1.4m 元，租用乙种货车(n )1-辆，依题意，得：8001.4(1)980mn m n =⎧⎨-=⎩，解得：1008m n =⎧⎨=⎩，1.4140m ∴=．答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及二元二次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元二次方程组．9．（1）这家文具店A 型毛笔的零售价为每支2元，B 型毛笔的零售价为每支3元（2）用原来的方法购买花钱少【详解】试题分析：（1）设这家文具店的A 型毛笔零售价为每支x 元，B 型毛笔的零售价为每支y 元，根据题中的数量关系，全组共有20名同学，若每人各买1支型毛笔和2支B 型毛笔，共支付145元，列出方程20x+15y+25（y-0.6）=145，每人各买2支A 型毛笔和1支B 型毛笔，共支付129元列出20x+20（x-0.4）+15y+5（y-0.6）=129，组成方程组求解即可．（2）在新的销售方法和原来的销售方法中，应选择哪种方法购买花钱较少，这就要计算一下，按新的销售方法，需要出多少钱，然后比较．如果安原来的销售方法购买a 支A 型毛笔共需m 元，则m=20×2+（a-20）×（2-0.4）=1.6a+8．如果按新的销售方法购买a 支A 型毛笔共需n 元，则n=a×2×90%=1.8a ．试题解析：（1）设这家文具店的A 型毛笔零售价为每支x 元，B 型毛笔的零售价为每支y 元，则根据题意得：201525(0.6)1452020(0.4)155(0.6)129x y y x x y y ++-⎧⎨+-++-⎩＝＝解得：23x y =⎧⎨=⎩答：这家文具店A 型毛笔的零售价为每支2元，B 型毛笔的零售价为每支3元.（2）如果按原来的销售方法购买a 支A 型毛笔共需m 元，则m=20×2+（a ﹣20）×（2﹣0.4）=1.6a+8，如果按新的销售方法购买a 支A 型毛笔共需n 元，则n=a×2×90%=1.8a.于是n ﹣m=1.8a ﹣（1.6a+8）=0.2a ﹣8，∵a ＞40，∴0.2a ＞8，∴n ﹣m ＞0可见，当a ＞40时，用新的方法购买得的A 型毛笔花钱多．答：用原来的方法购买花钱少．10．(1)60x y --；(2)购进方案有三种，分别为:方案一:甲型49台，乙型5台，丙型6台；方案二:甲型46台，乙型10台，丙型4台；方案三:甲型43台，乙型15台，丙型2台；(3)购进甲型49台，乙型5台，丙型6台，获利最多，为14410元【分析】（1）用总台数减去甲、乙两型的数量及得丙的数量；（2）根据总费用恰好是56000元可列写一个等式方程，其中包含2个未知数，仅能得出x 、y 之间的关系式：3525x y =-.再利用x 、y 都是正数，可得y 必须是5的倍数；（3）在（2）中得出的几种方案中，分别求解利润，得出利润最多的情况【详解】解：()()160－－x y ()2由题意得，()10008005006056000x y x y ++=－－，化简整理得：53260x y +=，3525x y ∴=-当5y =时，49606x x y =--=,；当10y =时，46604x x y =--=，；当15y =时，43602x x y =--=，．∴购进方案有三种，分别为:方案一:甲型49台，乙型5台，丙型6台；方案二:甲型46台，乙型10台，丙型4台；方案三:甲型43台，乙型15台，丙型2台．()3方案一:260491905120614410⨯+⨯+⨯=(元)，故可获利14410元，方案二一:2604619010120414340⨯+⨯+⨯=(元)，故可获利14340元，方案三:2604319015120214270⨯+⨯+⨯=(元)，故可获利14270元，因为144101434014270,>>所以购进甲型49台，乙型5台，丙型6台，获利最多，为14410元．【点睛】本题的难点是利用二元一次不定方程求解，当方程数量少于未知数时，通常是无法直接求解出未知数的值的.此刻，我们还需要根据“整数”这个条件，进行分析.。
专题21 二元一次方程组的实际应用之几何图形问题(原卷版)
专题21二元一次方程组的实际应用之几何图形问题【例题讲解】（1）一个长方形纸片的长减少3cm，宽增加2cm，就成为一个正方形纸片，并且长方形纸片周长的3倍比正方形纸片周长的2倍多30cm．这个长方形纸片的长、宽各是多少？（2）小明同学想用（1）中得到的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为30cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2．请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．【综合解答】1．如图，长方形ABCD中放有6个形状、大小相同的长方形（空白区域），求图中阴影部分的面积．2．如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为10，宽为8的大长方形中，求图中一个小长方形的面积．3．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形.小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形！求每个长方形的长、宽.4．如图（1），将边长为x cm的大正方形剪去一个边长为y cm的小正方形，剩余部分的面积为21cm2，并将剩余部分沿虚线剪开得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图（2），且宽为3cm的长方形，请你求出大正方形和小正方形的边长．5．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究．（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为3：2，面积为30，请求出该长方形纸片的长和宽；（2）小葵在长方形内画出边长为a，b的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，间小葵的判断正确吗？请说明理由．6．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，（1）每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?(要求列方程组进行解答)（2）小明想用一块面积为7平方米的正方形桌布，沿着边的方向裁剪出一块新的长方形桌布，用来盖住这块长方形木桌，你帮小明算一算，他能剪出符合要求的桌布吗？7．某校规划在一块长AD为18m、宽AB为13m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮，如图所示，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM∶AN ＝8∶9，问通道的宽是多少？8．小明和小华分别用四个完全相同的，直角边为a ，b （a ＜b ）的三角形拼图，小华拼成的长方形（如图①）的周长为20．小明拼成的正方形（如图②）中间有一个边长为1的正方形小孔．（1）能否求出图中一个直角三角形的面积？___（填“能”或“否”）；（2）若能，请你写出一个直角三角形的面积；若不能，请说明理由．9．为了庆祝建党100周年，某区在文化广场的一块长方形ABCD 的空地上，用花卉摆放“100”字样和四个相同的小正方形（如图），其中7.2AB =米，10.8BC =米，三个数之间摆放的距离与四个小正方形的边长相等．设小正方形的边长为x 米，数字的宽度均为y 米．（1）请用关于x ，y 的代数式表示“0”内部小长方形的长和宽．（2）若“0”内部小长方形的长和宽分别是3.6米和1.4米．①求x ，y 的值；②为了整体美观，将在四个正方形、“100”及“0”的内部小长方形分别摆放甲、乙、丙三种花卉，三种花卉的单价都为整数，其中甲花卉的单价在95125～元/米2之间（含95和125），乙、丙两种花卉的单价之和为300元/米2．已知三种花卉总价为6200元，则丙花卉的单价是________元/米2．10．小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．（1）若小语用长40cm，宽34cm的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的2.5倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒200元购进一批茶叶，按进价增加18%作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了6元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利1800元，求这批茶叶共进了多少盒？11．如图，在数轴上有A ，B 两点，其中点A 在点B 的左侧，已知点B 对应的数为4，点A 对应的数为a ．(1)若7113372663145a ⎛⎫=⨯-⨯÷⨯ ⎪⎝⎭，则线段AB 的长为______（直接写出结果）；(2)若点C 在射线AB 上（不与A ，B 重合），且236AC BC -=，求点C 对应的数；（结果用含a 的式子表示）(3)若点M 在线段AB 之间，点N 在点A 的左侧（M 、N 均不与A 、B 重合），且2AM BM -=，当3AM AN=，6BN BM =时，求a 的值．12．有一个长方形，若它的长增加9cm ，则变为宽的两倍；若它的宽增加5cm ，则只比长少1cm.(1)这个长方形的长和宽各是多少cm ？(2)将这个长方形的长减少a cm ，宽增加b cm ，使它变成一个正方形，若a ，b 均为正整数，所得正方形的周长不大于原长方形的周长，求这个正方形的最大面积.13．如图，在四边形ABCD 中，90DAB ABC ∠=∠=︒．(1)如图①，点P 在线段DA 上，连接CP ，若135ADC ∠=︒，且:3:2BCP PCD ∠∠=，求DPC ∠度数；(2)如图②，8,16AD AB BC ===，点P ，Q 分别在线段,DA AB 上，连接CP ，CQ ，2PD AQ =且满足12DCP APCQ S S = 四边形，求AQ 的长；(3)点P ，Q 分别在线段DA ，AB 的延长线上，点M 在线段BQ 上，QPM k APQ ∠=∠，QCM k BCM ∠=∠，且100APQ BCM ∠+∠=︒，40PMC PQC ∠-∠=︒，请补全图形并求出k 的值．14．如图1，已知数轴上的点A 、B 对应的数分别是﹣5和1．（1）若P 到点A 、B 的距离相等，求点P 对应的数；（2）动点P 从点A 出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t 秒，问：是否存在某个时刻t ，恰好使得P 到点A 的距离是点P 到点B 的距离的2倍？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2在数轴上的点M 和点N 处各竖立一个挡板（点M 在原点左侧，点N 在原点右侧且OM ＞ON ），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，乙弹珠以5个单位/秒的速度沿数轴向左运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点M 和点N 的距离相等，试探究点M 对应的数m 与点N 对应的数n 是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由．。
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扩展练习：
（1）如图：大正方形由K个相同的小长方形 组成，上下各2个水平放置的小长方形，中 间竖放若干个小长方形。则K=____
扩展练习
（2）如图所示，在长方形ABCD中，AB=8 厘米，BC=6厘米，且三角形BEC的面积比 三角形DEF大5厘米，求DF的长？
同学们：通过这节课的学习你有那些收获 ？
x 4y x
10
所以每个小长方形面积 10×40=400
问题3：
（3）如图所示：用8个一样的长方形恰好可 以拼成一个大的正方形，但中间还留一个 洞。恰好是边长为2厘米的小正方形。求每 一个小长方形的长与宽是多少？
问题4：
（4）某厂家生产某种药品包装盒的表面图（ 图示）已知长方形盒子的长比宽多4厘米， 求这种药品的包装盒的体积？
问题5：
（5）某纸品长要制作如图示的（1），（2）两种无盖的长方体小盒。该 厂利用边角料裁出了长方形和正方形纸片，其中长方形纸片的宽与正 方形纸片的边长相等。现用70张正方形纸片和180张长方形纸片制作 这两种小盒。试问可以做成（1）（2）两种小盒各多少个？
问题6：
（6）折叠长方形信纸装入标准信封是发现：若将信纸如图（1）连续两 次对折后，沿着信纸封口边线装入时宽绰有3.8厘米；若将信纸三等 分折叠时，同样方法装入时宽绰1.4厘米。求信纸的纸长与信封的口 宽？
解：设小长方形的长为x,宽为y.
由题意得：
5y 2x x y 5y 17
解得 ：
x 5
y
2
每个小长方形的面积为：2×5=10
问题2：
（2）若把一边长为50的长方形分成如图所示 的10个大小完全一样的小长方形，这时每 一个小长方形的面积又是多少？
解：设每一个小长方形的长为x,宽为y.
由题意得:
二元一次方程组的实际问题 ----------几何图形与方程组
问题1:
(1)如图所示：周长为34的长方形分成7个大 小完全一样的小长方形，求每一个小长方 形的面积是多少？ 分析：这个问题的等量关系是什么？
(1)如图所示：周长为34的长方形分成7个大小完全一样的小长方形，求每一个 小长方形的面积是多少？ 分析：这个问题的等量关系是什么？