求解排列组合应用题的“八字诀”

学习改变命运

求解排列组合应用题的“八字诀”

分——注意利用分类计数原理和分步计数原理解题。对于一个比较复杂的排列组合应用问题；通常情况下，可以通过“分类”、“分步”等手段分解成若干个易于解决的小问题，然后各个击破之。

特——从特殊的元素、特殊的位置入手解题。附条件的排列组合应用问题往往涉及一些特殊的元素或特殊的位置；对特殊的元素和特殊的位置作特殊的照顾，则容易找到通向成功之路的入口处。

反——利用“正难则反”的原则解题。当问题的正面情况错综复杂时，即正面进攻很难奏效时，可以考虑从问题的反面入手，有时会帮你进入“柳暗花明”的境界。

等——利用概率相等解题。充分利用各元素在每个位置上出现的概率相等，有时可以直捣题目结论。 化——注意用转化思想指导解题。许多排列组合应用问题，表面上看似乎是风马牛不相及，若能用转化的思想方法剥去其外包装，则会发现其本质是相同的，仅仅是问题的“情境”不同而已。转化思想是我们通向成功彼岸的指路明灯，对此要引起特别的重视。

捆——解决若干元素必须排在一起的重要解题技巧。 插——解决若干元素必须互不相邻的重要解题技巧。

推——运用递推关系解决排列组合应用问题。递推方法是把复杂问题化归为简单问题，未知问题转化为已知问题的重要手段之一，也是应用转化思想指导解题的重要体现。

若能对上述“八字诀”做到烂熟于心，又能对具体情况作具体分析，合理地选择方法和技巧，并综合运用之；则通常情况下能立于不败之地。下面通过几个例题的解答和评注，说明“八字诀”的具体应用。

例2．（1994年上海高考题）计划在某画廊展示出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）种

A ．

5544A A B ．554435A A A C ．554413A A A D ．5

54422A A A

解：第一步：确定4幅油画的相对位置（捆在一起）的方法数

4

4A . 第二步：确定5幅国画的相对位置（捆在一起）的方法数

55A .

第三步：确定国画和油画的相对位置的方法数22A ，再把水彩画插在国画和油画之间1

1A .

∴满足条件的陈列方式有：

2

24544A A A ⨯⨯种故选D 。

评注：由于本题的主要附加条件是“连在一起”，故容易相到使用“捆”的技巧。

例3．（2002年全国高考题）从正方体的6个面中选取3个面，其中有两个面不相邻的选法共有（ ） A.8种 B.12种 C.16种 D.20种

解评：由于正面考虑比较复杂，而问题的反面即为三个面两两相邻，一个顶点对应于一种取法，故用“正难则反”的方法解之，即1282083

6

=-=-C 种故选B 。

例4．五个成年人和两个小孩（一男一女）排成一排照相，要求每个小孩两边都是成年人，且小女孩要和其母亲（五个成年人之一）排在一起，问：有多少种不同的排法？

解：第一步：从其他四位成年人中选出一人和小女孩的母亲排在小女孩的两边成“成女母”的方法数为：

82

214=⋅A C 。

第二步：把“成女母”看成一个成年人和另外三位成年人排成一排的方法数：244

4=A

第三步：把小男孩插入相应的位置的方法数为：313=A .

∴满足条件的排法数为：8×24×3=576.

评注：①由于小女孩最为特殊，故首先照顾小女孩，即从特殊的元素入手； ②小女孩必须和母亲在一起，且两边都是成年人，故易想到用“捆”的技巧； ③由于小男孩必须排在两成年人之间，故可采用“插”的技巧。

例5．编号为1.2.3……n 的n 个人，坐到编号为1.2.3……n 的n 把椅子上，且每个人都不对号入座的方法数记为n x 。求，54321,,,,x x x x x 。

解：易见：1x =0 ,

12=x ，23=x ，

∵n 个人坐到n 把不同的椅子上的方法数为n n A 。其中：

有且仅有n 个对号入座的方法数为：1.

有且仅有（n-1）个人对号入座的方法数为：11

x C n . 有且仅有（n-2）个人对号入座的方法数为：22

x C n . 有且仅有（n-3）个人对号入座的方法数为：33x C n . …………………………………………………… 有且仅有（n-k ）个人对号入座的方法数为：k k n x C . …………………………………………………… 有且仅有1个人对号入座的方法数为：11

--n n n

x C .

有且仅有0个人对号入座的方法数为：n x . ∴

n n A =1+11x C n +22x C n +33x C n +……+11

--n n n x C +n x .

令n=4可得：24=1+224x C +33

4x C +4x =1+6+8+4x ∴4x =9.

令n=5可得：120=1+22

5x C +33

5x C +44

5x C +5x =1+10+20+45+5x ，5x =44.

首先我们把人数推广到 n 个人，即n 个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的

位置上。设满足这样的站队方式有an 种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：

第一步：第一个人不站在原来的第一个位置，有n-1种站法。

第二步：假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类：第一类，第二个人恰好站在第一个位置，则余下的n-2个人有an-2种站队方式；第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，……，第n 个人不站在第n 个位置，所以有an-1种站队方式。