求解排列组合应用题的“八字诀”
排列组合问题的基本类型及解题方法
排列组合问题的基本类型及解题方法解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。
其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。
加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。
分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类。
以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。
（一）特殊元素的“优先安排法”对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。
在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。
例1： 0,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有24A 种，0在十位有1123A A 种；第二类，不含0，有1223A A 种。
故共有2111242323(A A A )+A A 30+=种。
注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。
解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有24A 种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有111233A A A 种。
故共有21114233A +A A A =30（二）总体淘汰法对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时应注意既不能多减也不能少减，例如在例1中也可以用此法解答：5个数字组成三位数的全排列为35A ，排好后发现0不能在首位，而且3和5不能排在末尾，这两种不合题意的排法要除去，故有30个偶数．（三）合理分类与准确分步解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分布层次清楚，不重不漏．例2：5个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有 解：由题意，可先安排甲，并按其进行分类讨论：（1）若甲在第二个位置上，则剩下的四人可自由安排，有44A 种方法；（2）若甲在第三个或第四个位置上，则根据分布计数原理不同的站法有113333A A A 种站法；再根据分类计数原理，不同的站法共有：21134333A A A A 78+=种．（四）相邻问题：捆绑法对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合概率题解题技巧
排列组合概率题解题技巧排列组合概率题解题技巧有哪些?怎么样解决这类问题?下面是小编为大家整理的关于排列组合概率题解题技巧，希望对您有所帮助。
欢迎大家阅读参考学习!排列组合概率题解题技巧1.排列、组合、概率与错位公式2.排列组合概率解题思路——分类法3.例题1：繁琐的计算导致正确率变低4.例题2：通过选项思考暴力的可能性5.例题3：极为简单，一半做错的题6.例题4：分不同情况考虑安排方案7.例题5：分不同情况考虑安排方案8.例题6：理解排列组合题的关键一、排列、组合、概率与错位公式「数量关系」板块中的「排列、组合、概率」方面的题目每年必考、国考省考都会考，而此类题的难度一般较高，因此掌握它们的解题方法是非常有必要的。
总体来说，此类题目的公式非常简单，大致只有三个半，即排列公式、组合公式、概率公式和错位排列公式。
(1)排列公式A(总个数，选出排列的个数)特点是每个个体有「排列」的独特性，谁先选、谁后选会影响结果。
例如5个人选3个排队，5个项目选3个先后完成，两种情况的运算均为：A(5，3)=5×4×3=60种方式(2)组合公式C(总个数，选出组合的个数)特点是每个个体没有「排列」的独特性，谁先选、谁后选都不影响结果。
例如5个人选3个参加比赛，5个项目选3个于今年内完成(不要求完成顺序)，则运算均为：C(5，3)=C(5，2)=5×4÷(1×2)=10种方式注意C(5，3)一般要转换为C(5，2)，其原因是：C(5，3)=5×4×3÷(1×2×3)=5×4÷2，中间要约去3，因此可能会多花两三秒钟，故要尽量节约时间。
注：排列组合公式很好记忆，由于公考中考察的「排列组合概率」题的数值不会很大，因此在实际考试中，直接在纸上用笔列草稿即可：总数×(总数-1)×(总数-2)×……一直让相乘数字的个数达到「选出的个数」，即为排列公式;再从1开始乘，乘到「选出的个数」，用排列公式得出的结果除以该数即为「组合公式」。
排列组合题型分析还有21种常用方法的整理
排列组合题型分析还有21种常用方法的整理排列组合应用题的类型及解题策略一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。
二．处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。
（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。
解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。
特殊优先法列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。
例1．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填A22·A44＝48. 从而应填48．（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。
弄清要“完成什么样的事件”是前提。
三．基本题型及方法：1．相邻问题（1）、全相邻问题，捆邦法例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（C ）种。
A）720 B）360 C）240 D）120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。
（2）、全不相邻问题，插空法例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有47A种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为4676A A种例4高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040解：不同排法的种数为5256A A＝3600，故选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。
排列组合解题技巧12法
排列组合解题技巧12法谈谈排列组合综合问题的一般解题规律:1）使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。
2）排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。
3）复杂的排列问题常常通过试验、画“树图”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。
4）按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。
5）处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
6）在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。
总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。
其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。
数学排列组合题解题技巧
数学排列组合题解题技巧数学中的排列组合是一个重要的概念，在解题过程中使用排列组合技巧可以帮助我们更快地得到答案。
本文将介绍一些常用的排列组合题解题技巧，希望能对你的学习有所帮助。
一、排列组合的基本概念排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的方式。
组合是指从一组元素中选取若干个元素不考虑顺序的方式。
排列组合的计算公式如下：排列：P(n,m) = n!/(n-m)!组合：C(n,m) = n!/(m!*(n-m)!)其中，n表示总的元素个数，m表示选取的元素个数，!表示阶乘运算。
二、全排列和循环排列全排列是指从一组元素中选取全部元素按照不同的顺序进行排列，这个排列中的每个元素都是唯一的。
全排列的个数可以通过n的阶乘来计算。
循环排列是指在全排列的基础上，将首尾相连形成一个圆环，这样的排列中的每个元素也是唯一的。
循环排列的个数可以通过n-1的阶乘来计算。
例如，有3个元素A、B、C，全排列的个数为3! = 6，可以得到6个排列方式：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA；而循环排列的个数为2! = 2，可以得到2个排列方式：ABC和ACB。
三、组合的性质组合是不考虑元素顺序的排列，因此组合的个数要比排列的个数小。
在组合中，如果选取的元素个数等于总的元素个数，那么就是全组合，其个数为1。
组合有以下几个重要性质：1. C(n,m) = C(n,n-m)：组合个数对称性质。
2. C(n,0) = C(n,n) = 1：选取0个或全部元素只有一种情况，即空集和全集。
3. C(n,1) = C(n,n-1) = n：选取一个元素的组合个数等于总的元素个数。
四、应用技巧在解答排列组合题时，可以结合具体问题使用以下技巧：1. 利用排列组合公式计算个数。
2. 利用组合性质简化计算。
3. 利用循环排列和全排列计算特定问题。
4. 引入辅助元素进行排列组合的计算。
5. 利用因子分解简化计算。
例如，某班有10位学生，要从中选取3位学生组成一个小组，有多少种不同的选取方式？根据组合的性质可知，该问题的解为C(10,3) = 10!/(3!*7!) = 120种选取方式。
第一轮复习排列组合常见题型及解法
排列组合常见题型及解法排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口,实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。
一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。
二．处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。
(2)两种途径：元素分析法，位置分析法。
1 重复排列“住店法”重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。
把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题。
例1 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）2. 特殊元素（位置）用优先法:把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），可优先将它（们）安排好，后再安排其它元素。
对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。
例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？例2（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_________种（用数字作答）。
例3 5个“1”与2个“2”可以组成多少个不同的数列？3. 相邻问题用捆绑法:对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”“捆绑”为一个“大元素：与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。
例1. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？例2（1996年上海高考题）有8本不同的书，其中数学书3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有____________种（结果用数字表示）。
4. 相离问题用插空法:元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。
(完整版)解排列组合应用题的解法技巧(可编辑修改word版)
n n nn 解排列组合应用题的解法·技巧引言：1、本资料对排列、组合应用题归纳为 8 种解法、13 种技巧2、解排列组合问题的“16 字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。
弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径(1) 以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2) 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则.(3) 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数 前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法 注：数量不大时可以逐一排出结果。
3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且 每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果， 任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列， 无序组合．（一）排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。
下面通过一些例题来说明几种常见的解法。
一. 运用两个基本原理二. 特殊元素（位置）优先 三. 捆绑法 四. 插入法 五. 排除法 六. 机会均等法 七. 转化法 八. 隔板法一. 运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。
例 1：n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法 1：用分类记数的原理，没有人通过，有 C 0 种结果；1 个人通过，有 C 1 种结 n n果，……；n 个人通过，有C n 种结果。
所以一共有C 0 + C 1 + +C n = 2n 种可能的结果。
公务员考试逻辑判断技巧之：排列组合题型解题技巧
公务员考试逻辑判断技巧之：排列组合题型解题技巧第一篇：公务员考试逻辑判断技巧之：排列组合题型解题技巧公务员考试逻辑判断技巧之：排列组合题型解题技巧排列组合是组合学最基本的概念。
所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。
排列组合问题是历年国家公务员考试行测的必考题型，“16字方针”是解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
一、试验：题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。
例、将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4，的方格中，每方格填1个，方格标号与所填数字均不相同的填法种数有() A6 B.9 C.11 D.23解析：第一方格内可填2或3或4，如第一填2，则第二方格可填1或3或4，若第二方格内填1，则后两方格只有一种方法;若第二方格填3或4，后两方格也只有一种填法。
一共有9种填法，故选B二、不相邻问题用“插空法”：对某几个元素不相邻的排列问题，可将其他元素排列好，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。
三、合理分类与准确分步：含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
四、消序例、4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。
解析：先在7个位置中任取4个给男生，有种排法，余下的3个位置给女生，只有一种排法，故有种排法。
五、顺序固定用“除法”：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。
经验分享：虽然自己在这帖子里给大家发了很多感慨，但我更想跟大家说的是自己在整个公务员考试的过程中的经验的以及自己能够成功的考上的捷径。
首先就是自己的阅读速度比别人的快考试过程中的优势自然不必说，平时的学习效率才是关键，其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够做出大部分的题。
排列组合问题的解题技巧
排列组合问题的解题方略排列组合知识，广泛应用于实际，掌握好排列组合知识，能帮助我们在生产生活中，解决许多实际应用问题。
同时排列组合问题历来就是一个老大难的问题。
因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题方法作一点归纳和总结，以期充分掌握排列组合知识。
首先，谈谈排列组合综合问题的一般解题规律:1．使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。
运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分类或分步处理。
例1．n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类计数的原理：没有人通过，有C n 0种结果；1个人通过，有C n1种结果，……；n 个人通过，有C n n 种结果。
所以一共有C C C nn n n n 012+++= 种可能的结果。
解法2：用分步计数的原理：第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n 个人也是这样。
所以一共有2n 种可能的结果。
例2．同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（ ）（A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）23种解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a 、b 、c 、d 。
第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；第二步，假设甲取b ，则乙的取法可分两类：（1）乙取a ，则接下来丙、丁的取法都是唯一的，（2）乙取c 或d （2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
排列组合解题运算技巧
排列组合解题运算技巧
排列组合是概率论和组合数学中的基本概念，解题时需要灵活运用一些技巧。
以下是一些排列组合解题的常见技巧：
排列：
1. 基本定义：排列是指从一组元素中取出一部分元素进行安排，考虑元素的顺序。
2. 公式：对于n个不同的元素，取r个进行排列的方法数为\(P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}\)。
3. 重复排列：如果有重复的元素，需要除以重复元素的阶乘。
组合：
1. 基本定义：组合是指从一组元素中取出一部分元素，不考虑元素的顺序。
2. 公式：对于n个不同的元素，取r个进行组合的方法数为\(C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)。
3. 二项式定理：\((a+b)^n\) 的展开式中各项的系数就是\(C(n, r)\)。
常见技巧：
1. 分步法：复杂问题可以分解为若干个简单的排列或组合问题。
2. 分类讨论：当问题中有多个条件时，可以分情况讨论，再求解各种情况下的排列或组合。
3. 相对排列组合：某些问题中，可以将问题转化为相对排列或组合，简化计算。
4. 应用场景：排列组合常见于概率、统计、密码学等领域，多在计数问题中使用。
5. 注意特殊情况：在排列组合中，0的阶乘为1，\(C(n, 0) = C(n, n) = 1\)。
这些技巧在解决排列组合问题时可以提供一些指导。
在具体问题中，理解问题的本质，巧妙应用这些技巧，可以更高效地解决问题。
排列、组合、解题技巧
排列、组合、解题技巧排列组合问题是高考必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，备考有效方法是题型与解法归类、识别模式、熟练运用，本文介绍十二类典型排列组合题的解答策略.1 •相邻问题并组法 4 •标号排位问题分步法 7 •交叉问题集合法 10 •“至少”问题间接法13、均匀分配问题-均分3 •定序问题缩倍法 6 •多元问题分类法 9•多排问题单排法 12•部分合条件问题排除法1 •相邻问题并组法 题目中规定相邻的几个元素并为一个组 （当作一个元素）参与排列.【例1】A 、B 、C 、D 、E 五人并排站成一排，如果 A 、B 必须相邻且B 在A 的右边， 那么不同的排法种数有A • 60 种B • 48 种 C. 36 种 D • 24 种分析 把A 、B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于 4人全排列，P ： = 24种，故选D • 2. 相离问题插空法元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定相离的 几个元素插入上述几个元素间的空位和两端.【例2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是A • 1440 B. 3600 C. 4820D • 4800分析 除甲、乙外，其余5个排列数为P 5种，再用甲、乙去插 6个空位有P ；种，不同排法种数是P 55P ； = 3600种，故选B .3. 定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法. 【例3】A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一排，如果 B 必须站A 的右边（A 、B 可不相邻），那么不同的排法种数有A . 24 种B . 60 种C . 90 种D . 120 种分析 B 在A 右边与 B 在A 左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即f P? = 60种，故选B .4. 标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个 元素，如此继续下去，依次即可完成•【例4】将数字1，2, 3，4填入标号为1，2, 3，4的四个方格里，每格填一个数，2 •相离问题插空法 5 •有序分配问题逐分法 &定位问题优先法 11 •选排问题先取后排法则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A. 6 种B. 9 种C. 11 种 D . 23 种分析先把1填入方格，符合条件的有 3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3 X 3X 1= 9种填法，故选B . 5•有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法.【例5】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有A. 1260 种 B . 2025 种 C . 2520 种 D . 5040 种分析先从10人中选出2个承担甲项任务，再从剩下8个中选1人承担乙项任务，第三步从另外 7 人中选 1 个承担两项任务，不同法共有C10C；C；= 2520种，故选C .6.多元问题分类法元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后总计.【例6】由数字0，1, 2，3, 4，5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A . 210 个B . 300 个C . 464 个D . 600 个分析按题意，个位数字只可能是 0，1, 2，3, 4共5种情况，分别有P5个，P；P3P S个、P3P3P；个、P1P1P33个、P3P；个，合并总计得300 个，故选B .【例7】从1，2，3，…100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？分析被取的两个数中至少有一个能被 7整除时，它们的乘积就能被 7整除，将这100个数组成的集合视为全集I，能被 7整除的数的集合记作 A，则A ={乙14,…98}共有14个元素，不能被7整除的数的集合A {1, 2，…99, 100}共有86个元素.由此可知，从A中任取两数的取法，共有C：种；从A中任取一个数又从A中任取一个数的取法，共有C；4C；6种，两种情形共得符合要求的取法有C： CLCL 1295 【例8】从1 , 2，…100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少？分析将I={ 1 , 2,…，100}分成四个不相交的子集，能被4整除的数集 A={ 4, 8,…，100};被4除余1的数集B ={ 1 , 5,…，97};被4除余2的数集为C={ 2, 6,…98};被4除余3的数集为D ={ 3, 7,…99},易见这四个集合，每一个都含25个元素；从 A中任取两个数符合要求；从 B、D 中各取一个数的取法也符合要求；从 C中任取两个数的取法同样符合要求；此外其它取法都不符合要求•由此即可得符合要求的取法共有C25+ C25C25+ C25(种)•7 •交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 n(A U B) = n(A)+ n(B) — n(A n B)【例9】从6名运动员中选出 4个参加4X 100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？分析设全集1=｛ 6人中任取4人参赛的排列｝ , A=｛甲第一棒的排列｝ , B =｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：n( I ) — n(A) — n(B) + n(A n B) = P； p3P5 P：= 252(种).&定位问题优先法某个(或几个)元素要排在指定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素.【例10】1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有种.分析老师在中间三个位置上选一个位置，有P3种；然后4名同学在其余4个位置上有P：种，共P3P： = 72种.【eg】书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不变，再放上2本不同的书，有 __________ 种不同的放法分析：法一：分两部完成，第一步，固定3本不同的书前后顺序进行排列，设其排列数为N，第二A5 步，再对三本书进行内部排列，有A种不同的方法，由分布计数原理，A；NA；，所以N 5320A种不同的方法。
排列组合知识点总结材料+典型例题及问题详解解析汇报
排列组合知识点总结+ 典型例题及答案解析1.加法原理：做一件事有n类方法,那么完成这件事的方法数等于各类方法数相加.2.乘法原理：做一件事分n步完成,那么完成这件事的方法数等于各步方法数相乘.注：做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用根本原理求解.二.排列：从n个不同元素中,任取m (mwn)个元素,根据一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列,所有排列的个数记为A m.1.公式：1. Am =n(n-1'(n.2 )••…(n —m+1)=」^科之期〞21,那20m 那ENn - m !2.4=次=旃T)(阀-2卜21规定：0』1(1) n! =n x(n-1)!,( n+1)M n! =(n+1)!(2) n 父n! =[(n+1)-1]父n! = (n + 1)M n!—n! = (n+1)!—n!;n n 1 -1n 1111(n 1)! "(n 1)! "(n 1)! "(n 1)! "n! "(n 1)!三.组合：从n个不同元素中任取m (me n)个元素并组成一组,叫做从n个不同的m元素中任取m个元素的组合数,记作Cn小〞m：n-m〞右心眼…".规定：eg1.公式：c m春2.组合数性质：cm =cr, cm +cn m==c:+ c +c +……+cn =2n①g er；②O&+琛;③©"密；④4cyy：什c r/r .c r r .C r_c r1-c r .c rr .C r_c r1-c rr .C r_c r1注. c r C r1C r2C n1 C n- C r1C r1C r2C n3.口- C r2C r2C n 二.口- C n 1假设c nm1=C n m2那么m1二m2 或m〔+m2 =n四.处理排列组合应用题1.①明确要完成的是一件什么事(审题)②有序还是无序③分步还是分类.2.解排列、组合题的根本策略(1)两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉.这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法.(2)分类处理：当问题总体不好解决时,常分成假设干类,再由分类计数原理得出结论.注意: 分类不重复不遗漏.即：每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集.(3)分步处理：与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成假设干步,再由分步计数原理解决.在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步.其原那么是先分类, 后分步.(4)两种途径：①元素分析法；②位置分析法.3.排列应用题：(1)穷举法(列举法)：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；(2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；(3).相邻问题：捆邦法：对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑〞起来,看作一“大〞元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列.(4)、全不相邻问题,插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两文档大全端的空隙之间插入.(5)、顺序一定,除法处理.先排后除或先定后插解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数.即先全排,再除以定序元素的全排列.解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列,先对其他元素进行排列,剩余的几个位置放定序的元素,假设定序元素要求从左到右或从右到左排列, 那么只有1种排法；假设不要求, 那么有2种排法；(6) “小团体〞排列问题一一采用先整体后局部策略对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体〞时,可先将“小团体〞看作一个元素与其余元素排列,最后再进行“小团体〞内部的排列.(7)分排问题用“直排法〞把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理.(8).数字问题(组成无重复数字的整数)① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数.②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数.⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5.⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25, 50, 75.⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数.4.组合应用题：(1). “至少〞“至多〞问题用间接排除法或分类法：(2). “含〞与“不含〞用间接排除法或分类法：3.分组问题：均匀分组：分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘.即除法处理.非均匀分组：分步取,得组合数相乘.即组合处理.混合分组：分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘.4.分配问题:定额分配：〔指定到具体位置〕即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘.随机分配：〔不指定到具体位置〕即不固定位置但固定人数,先分组再排列,先组合分堆后排,注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘.5.隔板法：不可分辨的球即相同元素分组问题例1.电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告, 要求首尾必须播放公益广告,那么共有种不同的播放方式〔结果用数值表示〕.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A2种；中间4个为不同的商业广告有A4种,从而应当填A22• A i4= 48.从而应填48.例3.6人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少种排法解一：间接法：即A6 -A5 -A5 • A4 =720 -2 120 24 =504解二：〔1〕分类求解：按甲排与不排在最右端分类.〔1〕甲排在最右端时,有A5种排法；〔2〕甲不排在最右端〔甲不排在最左端〕时,那么甲有A4种排法,乙有A4种排法,其他人有A4种排法,共有A4A4A：种排法,分类相加得共有A5+A A4 A4 =504 种排法例.有4个男生,3个女生,高矮互不相等,现将他们排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列,有多少种排法分析一：先在7个位置上任取4个位置排男生,有A7种排法.剩余的3个位置排女生,因要求“从矮到高〞,只有1种排法,故共有A7 • 1=840种.1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,那么不同的取法共有解析1:逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机, 故不同的取法共有C；-C3 -C； = 70种,选.C解析2:至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台;故不同的取法有C；C：+C5c2 =70台,选C.2.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛.31)如果4人中男生和女生各选2人,有种选法；42)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,有一种选法；53)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,有一种选法；(4)如果4人中必须既有男生又有女生,有种选法.分析：此题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异,所以是组合问题. 解：(1)先从男生中选2人,有C；种选法,再从女生中选2人,有C：种选法,所以共有C；C：=60 (种)；(2)除去甲、乙之外,其余2人可以从剩下的7人中任意选择,所以共有C；C«21 (种)；(3)在9人选4人的选法中,把甲和乙都不在内的去掉,得到符合条件的选法数：C：-C〞91〔种〕；直接法,那么可分为3类：只含甲；只含乙；同时含甲和乙,得到符合条件的方法数C1 c 3 c 1C 3c 2 c 2 c 3 c 3c 2 .C1 C7 C1C7 C2C7 -C7 C7 C7 -91.〔4〕在9人选4人的选法中,把只有男生和只有女生的情况排除掉,得到选法总数C4—C4 —C：=120 〔种〕.直接法：分别根据含男生1、2、3人分类,得到符合条件的选法为C；C H C；C2+C；C4=120〔种〕.1.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,那么不同的乘车方法数为〔〕A. 40B. 50C. 60D. 70［解析］先分组再排列,一组2人一组4人有C6= 15种不同的分法；两组各3人共有又=10A种不同的分法,所以乘车方法数为25X 2 = 50,应选B.2.有6个座位连成一排,现有3人就坐,那么恰有两个空座位相邻的不同坐法有〔〕A 36 种B. 48 种C . 72 种D. 96 种［解析］恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共66=72种排法,应选C.3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有〔〕B. 9 个C . 18 个 D. 36 个［解析］注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有C3=3〔种〕选法,即1231,1232,1233,而每种选择有&xd = 6〔种〕排法,所以共有3X6= 18〔种〕情况,即这样的四位数有18个.4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有〔〕A. 2人或3人B . 3人或4人C.3人D.4人［解析］设男生有n人,那么女生有〔8—n〕人,由题意可得CnC1 n = 30,解得n= 5或n = 6,代入验证,可知女生为2人或3人.5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,假设规定从二楼到三楼用8步走完,那么方法有〔〕A 45 种B. 36 种C . 28 种D. 25 种［解析］由于10 + 8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2 步,那么共有C2=28种走法.6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,那么不同的分配方案共有〔〕A 24 种B. 36 种C . 38 种D. 108 种［解析］此题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名译人员分到两个部门,共有2 种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C1种分法,然后再分到两部门去共有C36种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组2人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C3种方法,由分步乘法计数原理共有2〔1大点=36〔种〕.7.集合A= {5}, B= {1,2} , C= {1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,那么确定的不同点的个数为〔〕A 33B. 34 C . 35D. 36［解析］①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有6= 12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C1 - A3 + A3=18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有0 = 3个.故共有符合条件的点的个数为12+18+3= 33个,应选A.8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是〔〕A. 72B. 96 C . 108D. 144［解析］分两类：假设1与3相邻,有A• CA2A2 = 72〔个〕,假设1与3不相邻有A3Y = 36〔个〕故共有72+36= 108个.9.如果在一周内〔周一至周日〕安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有〔〕A. 50 种B. 60 种C . 120 种D. 210 种［解析］先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种：〔1,2〕、〔2,3〕、〔3,4〕、〔4,5〕、〔5,6〕、〔6,7〕,甲任选一种为C6,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有戌种,根据分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法CL A5=120种, 应选C.10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有种.〔用数字作答〕［解析］先安排甲、乙两人在后5天值班,有A2=20〔种〕排法,其余5人再进行排列,有点=120〔种〕排法,所以共有20X 120= 2400〔种〕安排方法.11.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有种不同的排法.〔用数字作答〕［解析］由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有C9 <5 <3= 1260〔种〕排法.12.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆效劳,不同的分配方案有种〔用数字作答〕.……八,,—?a一,,工心,,口八।八［解析］先将6名志愿者分为4组,共有天■种分法,再将4组人员分到4个C2 C2不同场馆去,共有A4种分法,故所有分配方案有：一忌一, A4= 1 080种.13.要在如下图的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有种不同的种法〔用数字作答〕.［解析］5有4种种法,1有3种种法,4有2种种法.假设1、3同色,2有2种种法,假设1、3不同色,2有1种种法,.•.有4X 3X2X〔1 X2+1X1〕=72种.14.将标号为1,2, 3, 4, 5, 6的6张卡片放入3个不同的信封中.假设每个信封放2张,其中标号为1, 2的卡片放入同一信封,那么不同的方法共有〔Q 36种〔酚54种0；种方法；其他四封信放入两个信封,每个信封两应选B.15 .某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,假设7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10月1日,丁不排在10月7日,那么不同的安排方案 共有A. 504 种B. 960 种C. 1008 种D. 1108 种解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有2MA 2A ：A ：种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号,共有4A ；〔A ：+A 3A 3A ；〕种方法故共有1008种不同的排法排列组合二项式定理1,分类计数原理完成一件事有几类方法,各类方法相互独立每类方法又有多种不同的方法〔每一种都可以 独立的完成这个事情〕分步计数原理完成一件事,需要分几个步骤,每一步的完成有多种不同的方法2,排列排列定义：从 n 个不同元素中,任取 m 〔m< n 〕个元素〔被取出的元素各不相同〕,根据一定的 顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.排列数定义；从 n 个不同元素中,任取 m 〔me n 〕个元素的所有排列的个数 A ：〔A 〕 12 种〔B 〕 18 种 【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有 与纪0；= 13个有工〞种方法,共有「三1一,种排列组合题型总结一. 直接法1 .特殊元素法例1用1, 2, 3, 4, 5, 6这6个数字组成无重复的四位数,试求满足以下条件的四位数各有多少个(1)数字1不排在个位和千位(2)数字1不在个位,数字6不在千位.分析：(1)个位和千位有5个数字可供选择A ；,其余2位有四个可供选择AJ 由乘法原理：A ；A ：=240 2 .特殊位置法(2)当1在千位时余下三位有A 3=60, 1不在千位时,千位有A 4种选法,个位有A 4种,余下的有 心 共有A 4 A 4A 42 =192所以总共有 192+60=252 二 间接法 当直接法求解类别比拟大时,应采用间接法.如上例中(2)可用间接法A4-2A3 + Af=252八一 m n!公式 A = 规定0! =13,组合组合定义 从n 个不同元素中,任取 m (m< n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素 的一个组合组合数 从n 个不同元素中,任取 m (m< n)个元素的所有组合个数m C m _ n!C n m!(n -m)!mn -m性质C =C mm m 1 C ni =C n C n例：有五张卡片,它的正反面分别写0与1, 2与3, 4与5, 6与7, 8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数C；M23 MA；个,其中0在百位的有C：M22M A；个,这是不合题意的.故共可组成不同的三位数C3 23A；-C2 22 A；=432例：三个女生和五个男生排成一排(1)女生必须全排在一起有多少种排法(捆绑法)(2)女生必须全分开(插空法须排的元素必须相邻)(3)两端不能排女生(4)两端不能全排女生(5)如果三个女生占前排,五个男生站后排,有多少种不同的排法二. 插空法当需排元素中有不能相邻的元素时,宜用插空法.例3 在一个含有8个节目的节目单中,临时插入两个歌唱节目,且保持原节目顺序,有多少中插入方法分析：原有的8个节目中含有9个空档,插入一个节目后,空档变为10个,故有A；M A；0=100中插入方法.三. 捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时,宜用捆绑法.1.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,假设使每个盒子不空,那么不同的放法有种(CjA；),2,某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学校人数较多,要安排连续参观2天,其余只参观一天,那么植物园30天内不同的安排方法有(C29-A29)(注意连续参观2天,即需把30大种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有C；9其余的就是19所学校选28天进行排列)四. 阁板法名额分配或相同物品的分配问题,适宜采阁板用法例5某校准备组建一个由12人组成篮球队,这12个人由8个班的学生组成,每班至少一人,名额分配方案共种.分析：此例的实质是12个名额分配给8个班,每班至少一个名额,可在12个名额种的11个空当中插入实用标准7块闸板,一种插法对应一种名额的分配方式,故有C：i种五平均分推问题例：6本不同的书按一下方式处理,各有几种分发(1)平均分成三堆,(2)平均分给甲乙丙三人(3)一堆一本,一堆两本,一对三本(4)甲得一本,乙得两本,丙得三本(一种分组对应一种方案)(5)一人的一本,一人的两本,一人的三本分析：1,分出三堆书(a i,a2),(a 3,a,,(a5,a.由顺序不同可以有8=6种,而这6种分法只算一种分堆222方式,故6本不同的书平均分成三堆方式有C6c3c2 =15种A2,六本不同的书,平均分成三堆有x种,平均分给甲乙丙三人c2c4c2就有x A3种12331233,c6c5c 3 5, A3 c6c5c 3五.合并单元格解决染色问题Eg如图1, 一个地区分为5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有四种颜色可供选择,那么不同的着色方法共有一种(以数字作答).分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5. 下面分情况讨论：(i)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时,将2、4合并成一个单元格,此时不同的着色方法相当于4个元2,4素①③⑤的全排列数A44〔ii〕当2、4颜色不同且3、5颜色相同时,与情形〔i 〕类似同理可得A种着色法.〔iii〕当2、4 G与3.g别同色时,将2、4; 3、5分别合并,这样仅有三个单元格①从4种颜色中选3种来着色这三个单元格,计有C4,A；种方法• 由加法原理知：不同着色方法共有2 A4+C3 A3=48+24=72 〔种〕练习1 〔天津卷〔文〕〕将3种作物种植在如图的5块试验田里,每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物,不同的种植方法共种〔以数字作答〕〔72〕2.某城市中央广场建造一个花圃,花圃6分为个局部〔如图3〕,现要栽种4种颜色的花,每局部栽种一种且相邻局部不能栽种同一样颜色的话,不同的栽种方法有种〔以数字作答〕.〔120〕3.如图4,用不同的5种颜色分别为ABCD比局部着色,相邻局部不能用同一颜色,但同一种颜色可以反复使用也可以不用,那么符合这种要求的不同着色种数.〔 540〕4.如图5:四个区域坐定4个单位的人,有四种不同颜色的服装,每个单位的观众必须穿同种颜色的服装, 且相邻两区域的颜色不同,不相邻区域颜色相同,不相邻区域颜色相同与否不受限制,那么不同的着色方法5 .将一四棱锥〔图6〕的每个顶点染一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,假设只有五种颜色可供使用,那么不同的染色方法共 种〔420〕 是 种〔84〕图5。
排列组合问题的解答技巧和记忆方法
排列组合问题的解题策略关键词：排列组合,解题策略①分堆问题；②解决排列、组合问题的一些常用方法：错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除法、插孔法、消序法(留空法). 一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有种排法。
二、不相临问题——选空插入法例2．7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：种 .评注：若个人站成一排，其中个人不相邻，可用“插空”法解决，共有种排法。
三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有－3＝32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4．(1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有种，而其余学生的排法有种，所以共有＝72种不同的排法.例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有种排法，所以不同的出场安排共有＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
求解排列组合应用题的“八字诀”
求解排列组合应用题的“八字诀”
吴文尧
【期刊名称】《数理化学习：高中版》
【年(卷),期】2004(000)024
【摘要】排列组合应用题是高中数学的难点内容之一．笔者把求解排列组合应用题的方法和技巧等总结为“八字诀”，现介绍如下：
【总页数】3页(P14-16)
【作者】吴文尧
【作者单位】浙江省宁波市北仑中学315800
【正文语种】中文
【中图分类】O122.4
【相关文献】
1.加、减、乘、除、捆、插、隔、化——论说解排列组合问题的“八字方针” [J], 陈继武;
2.例析运用间接法求解排列组合应用题 [J], 纪宏伟
3.例谈排列组合应用题的求解 [J], 张松林;
4.求解排列组合应用题的“八字诀” [J], 吴文尧
5.排列组合应用题及其求解方法 [J], 王炜
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排列组合解题技巧12法.
排列组合解题技巧12法首先，谈谈排列组合综合问题的一般解题规律:1〕使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类方法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不管哪类方法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。
2〕排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。
3〕复杂的排列问题常常通过试验、画“树图”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。
4〕按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。
5〕处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素〔组合〕，后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，到达分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
6〕在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。
总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。
其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。
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学习改变命运求解排列组合应用题的“八字诀”分——注意利用分类计数原理和分步计数原理解题。
对于一个比较复杂的排列组合应用问题；通常情况下，可以通过“分类”、“分步”等手段分解成若干个易于解决的小问题，然后各个击破之。
特——从特殊的元素、特殊的位置入手解题。
附条件的排列组合应用问题往往涉及一些特殊的元素或特殊的位置；对特殊的元素和特殊的位置作特殊的照顾，则容易找到通向成功之路的入口处。
反——利用“正难则反”的原则解题。
当问题的正面情况错综复杂时，即正面进攻很难奏效时，可以考虑从问题的反面入手，有时会帮你进入“柳暗花明”的境界。
等——利用概率相等解题。
充分利用各元素在每个位置上出现的概率相等，有时可以直捣题目结论。
化——注意用转化思想指导解题。
许多排列组合应用问题，表面上看似乎是风马牛不相及，若能用转化的思想方法剥去其外包装，则会发现其本质是相同的，仅仅是问题的“情境”不同而已。
转化思想是我们通向成功彼岸的指路明灯，对此要引起特别的重视。
捆——解决若干元素必须排在一起的重要解题技巧。
插——解决若干元素必须互不相邻的重要解题技巧。
推——运用递推关系解决排列组合应用问题。
递推方法是把复杂问题化归为简单问题，未知问题转化为已知问题的重要手段之一，也是应用转化思想指导解题的重要体现。
若能对上述“八字诀”做到烂熟于心，又能对具体情况作具体分析，合理地选择方法和技巧，并综合运用之；则通常情况下能立于不败之地。
下面通过几个例题的解答和评注，说明“八字诀”的具体应用。
例2．（1994年上海高考题）计划在某画廊展示出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）种A ．5544A A B ．554435A A A C ．554413A A A D ．554422A A A解：第一步：确定4幅油画的相对位置（捆在一起）的方法数44A . 第二步：确定5幅国画的相对位置（捆在一起）的方法数55A .第三步：确定国画和油画的相对位置的方法数22A ，再把水彩画插在国画和油画之间11A .∴满足条件的陈列方式有：224544A A A ⨯⨯种故选D 。
评注：由于本题的主要附加条件是“连在一起”，故容易相到使用“捆”的技巧。
例3．（2002年全国高考题）从正方体的6个面中选取3个面，其中有两个面不相邻的选法共有（ ） A.8种 B.12种 C.16种 D.20种解评：由于正面考虑比较复杂，而问题的反面即为三个面两两相邻，一个顶点对应于一种取法，故用“正难则反”的方法解之，即12820836=-=-C 种故选B 。
例4．五个成年人和两个小孩（一男一女）排成一排照相，要求每个小孩两边都是成年人，且小女孩要和其母亲（五个成年人之一）排在一起，问：有多少种不同的排法？解：第一步：从其他四位成年人中选出一人和小女孩的母亲排在小女孩的两边成“成女母”的方法数为：82214=⋅A C 。
第二步：把“成女母”看成一个成年人和另外三位成年人排成一排的方法数：2444=A第三步：把小男孩插入相应的位置的方法数为：313=A .∴满足条件的排法数为：8×24×3=576.评注：①由于小女孩最为特殊，故首先照顾小女孩，即从特殊的元素入手； ②小女孩必须和母亲在一起，且两边都是成年人，故易想到用“捆”的技巧； ③由于小男孩必须排在两成年人之间，故可采用“插”的技巧。
例5．编号为1.2.3……n 的n 个人，坐到编号为1.2.3……n 的n 把椅子上，且每个人都不对号入座的方法数记为n x 。
求，54321,,,,x x x x x 。
解：易见：1x =0 ,12=x ，23=x ，∵n 个人坐到n 把不同的椅子上的方法数为n n A 。
其中：有且仅有n 个对号入座的方法数为：1.有且仅有（n-1）个人对号入座的方法数为：11x C n . 有且仅有（n-2）个人对号入座的方法数为：22x C n . 有且仅有（n-3）个人对号入座的方法数为：33x C n . …………………………………………………… 有且仅有（n-k ）个人对号入座的方法数为：k k n x C . …………………………………………………… 有且仅有1个人对号入座的方法数为：11--n n nx C .有且仅有0个人对号入座的方法数为：n x . ∴n n A =1+11x C n +22x C n +33x C n +……+11--n n n x C +n x .令n=4可得：24=1+224x C +334x C +4x =1+6+8+4x ∴4x =9.令n=5可得：120=1+225x C +335x C +445x C +5x =1+10+20+45+5x ，5x =44.首先我们把人数推广到 n 个人，即n 个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上。
设满足这样的站队方式有an 种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：第一步：第一个人不站在原来的第一个位置，有n-1种站法。
第二步：假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类：第一类，第二个人恰好站在第一个位置，则余下的n-2个人有an-2种站队方式；第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，……，第n 个人不站在第n 个位置，所以有an-1种站队方式。
由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列an 的递推关系式：an=(n-1)*(an-1+an-2)，显然，a1=0,a2=1，a3=2,a4=9,a5=44评注：①给出的问题本身就有点递推数列的“味道”，故选择递推方法解之。
②在实施递推策略的过程中，注意到问题的反面——至少有一人对号入座的问题已经解决，故又使用了“正难则反”的解题策略。
③从理论上讲，上述给出的公式已彻底解决了n 个元素对n 个位置的错位排列问题。
例6：（1993年全国高考题）同室4人然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡的不同分配方式有（ ）A.6种B.9种C.11种D.23种解评：本题可转化为：编号为：1.2.3.4的四个人坐在编号为1.2.3.4的四把椅上，4人都不对号入座的方法数为多少？由例5可知：4x =9.故选（B ）.例7：4对夫妻排成一排照相，每对夫妻要排在一起的方法数为多少？ 解：第一步：请每对夫妻各自手拉手（捆）的方法数为：2×2×2×2=16. 第二步：把每对夫妻看成一个人排成一排的方法数为：2444 A .∴满足条件的排法数为：16×24=384.评注：由于每对夫妻要排在一起，故使用先捆后排的策略。
例8．4对夫妻排成前后两排，每排4人，使每对夫妻前后对号的排法有多少种？ 解评：易见本题和例7是同一个问题，故方法数为384.例９．４对夫妻排成前后两排，每排４人，使每对夫妻前后都不对号的排法有多少种？解：第一步：对四对夫妻进行重新组合，建立４个新的临时家庭，使每个家庭一男一女，但不是夫妻，由例5可知其方法数为4x ＝９.第二步：对四个临时家庭进行排队，由例８解法可知，其方法数为384. ∴满足条件的排法数为：9×384=3456.评注：本题看似复杂，但利用分步计数原理可以分解为两个小题，事实上本题可以看成是由例6和例8组合并成的。
各写一张贺年卡，先集中起来，二 知识要点 (一).两个计数原理:1.分类计数原理:做一件事,完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有m 1种不同的方法,在第二类办法中有m 2种不同的方法,…,在第n 类办法中有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N = m 1+ m 2+ m 2+…+ m n 种不同的方法.(分类满足的条件是不重不漏).2.分步计数原理:做一件事,完成它需要分成n 个步骤,做第一步有m 1种不同的方法,做第二步有m 2种不同的方法,…,做第n 步有m n 种不同的方法,那么完成这件事共有N = m 1× m 2× m 2×…× m n 种不同的方法.(注意分步的标准,既不重步也不漏步).3.注意:两个原理是解决以后问题的基础,多数的问题在解决的最后,都可以归结到这两个原理上来,特别要注意分步与分类的区别. (二)排列1.排列的定义:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素(被取出的元素各不相同),按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个元素中取出m 个元素的一个排列(有序性是排列的本质).2.排列数的定义:从n 个元素中取出m (m ≤n )个元素的所有排列的个数,叫做从n 个元素中取出m 个元素的排列数,用符号m n A 表示.3.排列数公式:(1)当m<n 时,排列称为选排列,排列数为(1)(2)(1)mn A n n n n m =---+ (必须熟记.) (2)当m=n 时,排列称为全排列,排列数为(1)(2)321!m n A n n n n =--⋅⋅= .规定0!1=.(3)排列数公式的另一种形式:!()!mn n A n m =-(在计算,化简,证明中用途比较大).(4)两个性质:①11mm n n A nA --=;②111m m mn n n A mA A ---=+.(三).组合1.组合的定义:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个元素并成一组,叫做从n 个元素中取出m 个元素的一个组合(组合中的元素与顺序无关).2.组合数的定义:从n 个元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数,叫做从n 个元素中取出m 个元素的组合数,用符号mn C 表示. 3.组合数公式:(1)基本公式(1)(2)(1)(1)(2)21m mn n m m A n n n n m C A m m m ---+==--⋅ (必须熟记.)(2)组合数公式的另一种形式:!(,*)!()!m n n C m n n N m n m =≤∈-(在计算,化简,证明中用途比较大).规定01n C =.(3)两个性质:①mn m nn C C -=;②11m m m n n n C C C -+=+.(两个很重要的公式,一定要记住).4.排列组合常见问题解题策略: (1).特殊元素优先安排的策略; (2).合理分类与准确分步的策略; (3).排列、组合混合问题先选后排的策略; (4).正难则反、等价转化的策略; (5).相邻问题捆绑处理的策略; (6).不相邻问题插空处理的策略; (7).定序问题除法处理的策略; (8).分排问题直排处理的策略;(9).“小集团”排列问题中先整体后局部的策略; (10).构造模型的策略. (四)二项式定理1.二项式定理:一般地,对于任意正整数n ,都有:011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=++++++∈这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做()na b +的二项展开式,其中系数(0,1,2,,)r n C r n = 叫做二项式系数,式中的r n r r n C a b -叫做二项式的通项公式,用1r T +表示,式展开式中的第r +1项.2.二项式系数的性质①对称性:与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即mn mnn C C -=.②增减性与最大值:如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大.当n 是偶数时,n +1是奇数,展开式共有n +1项,所以展开式有中间一项,并且这一项的二项式系数最大,最大为2n nC .当n 是奇数时,n +1是偶数,展开式共有n +1项,所以展开式有中间两项,并且这两项的二项式系数相等并且最大,最大为1122n n nnCC-+=.③各项二项式系数的和:0122n n nn n n C C C C ++++= .奇数项的二项式系数和等于偶数项的系数和:02413512n nn n n n n C C C C C C -+++=+++= .3.展开式中各项的系数和:只需要将变元值令为1,算出值即可.4.二项展开式中系数最大问题①由二项式系数性质可知,当项数n 是偶数时,展开式中二项式系数最大的项是中间项,最大为2n nC ;当n 是奇数时,展开式中二项式系数最大的项为中间两项,最大为1122n n nnCC-+=.②展开式中系数与二项式系数不同,设1r t +是展开式中1r T +项的系数,若1r T +项为系数最大的值,则必有112,0,r r r r t t r n t t +++≥⎧≤≤⎨≥⎩.由此不等式组,可确定r 的值,从而确定系数最大的项. (五)概率1.随机事件的概率 (1)基本概念①随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件. ②必然事件:在一定条件下必然要发生的事件. ③不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件.④基本事件:一次试验连同其中出现的每一个结果称为一个基本事件.(2)随机事件的概率①定义:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A 发生的频率mn总是接近于某一个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A 的概率,记作:P(A).②必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,所以随机事件的概率0≤P(A)≤1. (3)等可能事件的概率①一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常一次试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,而且每一个结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是1n .如果某个事件A 的结果有m 个,那么事件A 的概率为()m P A n=. ②求等可能事件的基本步骤:A.算出基本事件的总个数n ;B.算出事件A 中包含基本事件的个数m ;C.算出事件A 的概率,()mP A n=. 2.互斥事件有一个发生的概率 (1)基本概念:①互斥事件:事件A 与B 不可能同时发生,这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件. ②对立事件:其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件,事件A 的对立事件记作A .③两个对立事件一定是互斥事件,反之两个互斥事件不一定是对立事件;两个事件对立是两个事件互斥的充分非必要条件;两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件. (2)事件A+B 的意义及其概率运算公式①若事件A,B 互斥,事件A+B 的含义是A,B 中有一个发生且只有一个发生,只有对于互斥事件才能运用概率运算的加法公式.②如果事件A,B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B ).③如果事件A 1,A 2,A 3,…,A n 彼此互斥,则P (A 1+A 2+…+A n )= P (A 1)+P (A 2) +…+P (A n ). ④对立事件A 与A 的概率和等于1,即()()()1()1()P A P A P A A P A P A +=+=⇒=-.3.相互独立事件同时发生的概率 (1)相关概念:①相互独立事件:如果事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响,那么这样的两个事件叫做相互独立事件.②性质:如果事件A 与B 相互独立,那么,,A B A A B 与与B 与也都是相互独立的.③事件A ·B :表示相互独立事件A 与B 同时发生的事件.(2)两个相互独立事件A 与B 同时发生的概率公式: P (A ·B )=P (A )·P (B ).(3)推广:如果事件A 1,A 2,A 3,…,A n 相互独立,则P (A 1·A 2·…·A n )= P (A 1)·P (A 2)·…·P (A n ). (4)两个相互独立事件A 与B 至少有一个发生的概率:()1()P A B P A B +=-⋅. (5)相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求概率的解题步骤: ①确定诸事件是相互独立的; ②确定诸事件会同时发生;③先求每个事件发生的概率,再求其积. 4.独立重复试验n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率记为()n P k ,设在一次试验中事件A 发生的概率是P ,则()(1)k kn k n n P k C P P -=-.。