三期动态模型中级宏观经济学讲义

f (k0 ) k1
t1u
t 1
f
(kt ) kt1
＝
max k1 s.t.0k1 f (k0 k0给定
u ),
f (k0 ) k1
max
t1u
kt1
t 1
s.t.0kt1 f (kt ),
t 1
k1给定
f
(kt ) kt1
＝
max k1 s.t.0k0k给1定f (
w(k0 )
max
kt 1
t 0
t 0
tu
f (kt ) kt1
（4.45）
s.t.
0 kt1 f (kt )
k0 0, 给定
现在，计划者面临的唯一决策是：究竟是应该让
行为人今天多消费一些呢还是今天少消费一些，
留下这些东西作为明天的资本，从而使明天能消
费更多的东西。
我们定义
现在，用（4.40）式替代掉（4.41）式中的it ，并定 义 f (k) F(k,1) (1 )k ，这样，函数 f (k) 就代表了所 有可以用来消费和投资的总产品数量（提醒一下，资 本存量也是可以用于消费的，即消费品与资本品是可 以一对一进行转换的）。因为在任何一期，都有 nt 1， 因此，现在，社会计划问题能更简洁地表述为：
二、动态规划简介
2.1序列形式表述的社会计划 者问题
因为我们在前面已经证明了竞争均衡解 也是帕雷托最优解。因此，我们可以通 过求解社会计划者问题来获得竞争均衡 的有关数量解，这样，上面这个无限期 模型中的社会计划者最优化问题可以正 规地描述如下：
max
ct
,nt
,it
,kt
1 t 0
t 0
t u(ct )
s.t. ct it F (kt , nt ) kt1 (1 )kt it
nt 1 ct 0, kt 0, k0 0, 给定
其中， k 0 外生给定。
（4.43）
(4.41) (4.40) (4.42) (4.44)
（4.41）式与(4.42)式就是资源约束条件，因为 u(c) 是 c 的严格增函数，因而，（4.41）式将取等号。 而因为劳动并不会带来负效用，假如（4.42）式 没有取等号，则意味着 nt 还可以增加，而 nt 的增加 会增加 ct 从而增加效用，因此，在最优时（4.42） 式一定会取等号。（4.40）式资本积累方程。（4.44） 式是我们对消费和资本强加的非负约束。
k• t 1
为计划者实现了最优时的资本
t0
存量序列。现在我们面临的问题是如何去求得这
个序列。答案是：动态规划。上面的这个最优化
问题实际上是一个无限维度的最优化问题，也即
为了求解上面这个问题，我们不得不寻找到一个
最优的无限序列的资本存量（ k1, k2 ,）。
动态规划的基本思想是试图通过对决策环 境的探讨而发现一种更简单的求解这一最 大化问题的方法，但是这个最大化问题的 解又是与我们原始的最大化问题的解是相 同的。
ct it yt
和
（4.41）
nt 1
（4.42）
在介绍了基本决策环境以后，按照我们以前的分析 思路，接下去我们应该分析行为人的最优化行为， 然后进行均衡分析，最终得到每期均衡的数量解和 价格解或者分析计划最优的情形，求出每期的均衡 数量解。但是，现在，我们面临的是一个无限期模 型，用传统的方法求解均衡解几近不可能，所以， 在这里，我们首先插入一部分，介绍一下动态规划 的基本知识，然后，直接利用动态规划的知识去处 理无限期的问题。
因为在我们的模型里，行为人是长生不老的，生产技
术和效用函数也不会随着时间的变化而变化，这就意
味着大括号里的最优化问题实际上可以表述为 w(k1) ，
因此，我们的原始的最优化问题可以重新写为：
w(k0)
max
0kk10给f (定k0 )
一、偏好，禀赋和技术
有一个生活无限期的代表性消费者，他（她）的
偏好如下：
tu(ct )
t0
（4.38）
其中，0 1，ct 是消费。期效用函数u()是一个连
续可微，严格递增，严格凹的函数。它满足稻田条件，
即 lim u(c) ，lim u(c) 0 。贴现因子 满足 (0,1) 。
第四讲 三期及无限期动态模型
第二节 无限期动态模型与动态规划
在本节，我们将介绍一个简单的无限期 模型，借助这个模型，我们一方面看看 那些在两期、三期模型中被运用的宏观 经济分析的基本思路是如何在无限期模 型中被得到继续运用的；另一方面，我 们也要简单介绍并展示一下离散时间的 动态规划怎样被运用的，这种运用对于 求解许多动态问题是非常有帮助的。
生产函数 F(,) 是一个对两个变量均连续可微，严
格递增的、一次齐次、严格准凹的函数。并假设
也满足稻田条件，即
lim
k 0
F1
(k,1)
，lim k
F1
(k,1)
0
。
来自百度文库
资本根据如下规则得以积累：
kt1 (1 )kt it
（4.40）
其中， it 是投资， 0 1是折旧率。
因此，经济的资源约束条件就为：
k0
u ),
f (k0 ) k1
max
tu
kt 2
t 0
s.t.0k1k给t定 2 f (kt1 ),
t 0
f (kt1) kt2
现在我们注意观看大括号里的最大化问题，并 与原始的最大化问题，即（4.45）式进行比较， 可以看到，大括号里的最优化问题实际上就是 一个给定初始资本为 k1的社会计划者的最优化 问题，也即社会计划者最大化代表性行为人从 第一期及以后所有期的最大化问题。
c0
c
在每一期，消费者拥有一单位的时间禀赋，它可 以用作劳动提供到劳动市场上去。同时，消费者 也拥有 k0 单位的初始资本，这些资本即可以用于 生产也可以用于消费，即消费品与资本品是可以 一对一进行转换的。
生产技术由下式给出：
yt F (kt , nt )
（4.39）
其中，yt 是产出，kt 是资本投入，nt 是劳动投入。
为了使上面所讲的这一点更明白、更具体， 我们可以再一次看看我们的原始的这个计 划者的最优化问题：
w(k ) max 0
kt1
t0
s.t.0kt1 f (kt
),
t
0
tu f (kt ) kt1
k0给定
＝
max
kt1
t0
u
s.t.0k0k给t1定 f (kt ),