2018江苏高考数学压轴题的分析与解

解析：9
方法一：正余弦定理.
△ABD 和 △CBD 中，正弦定理得
AD sin 60
c sin
，
DC sin 60
a sin
所以
AD c （角平分线分线段成比例） DC a △ABD 和 △CBD 中，余弦定理得
AD2 c2 1 c ， CD2 a2 1 a
2018 江苏高考数学压轴题的分析与解（卞进宇）
tan∠CDM
=
a
1 2
2a 1 ， tan∠CDN =
c
1 2
2c 1
3
3
3
3
2
2
2a 2c 2
tan(∠CDM
∠CDN
)
1
4ac
3 2a
3
2c
1
3(a 1 a c
c 1) 2ac
3
a c ac
同上可求.
方法四：解析法. 建立如图所示坐标系，则
2018 江苏高考数学压轴题的分析与解（卞进宇）
设直线 l 与圆切点 P(x0 , y0 ) (x0 0, y0 0) ，则直线 l 方程为
x0 x y0 y 3
设直线 l 与椭圆切点 Q(x1, y1) ，则直线 l 方程为
直线 l 方程是相同的，所以 即
由于点 Q(x1, y1) 在椭圆上，有
x1x 4 y1 y 4
x0 x1
y0 4 y1
(2) 若函数 f (x) ax2 1与 g(x) ln x 存在“S 点”，求实数 a 的值； (3) 已知函数 f (x) x2 a ，g(x) bex ．对任意 a 0 ，判断是否存在 b 0 ，使函数 f (x) 与 g(x) 在区
x 间 (0, ) 内存在“S 点”，并说明理由．
方法二：利用三角形宽高公式求解.
2018 江苏高考数学压轴题的分析与解（卞进宇）
将 x 0 带入直线 l 方程，得 D(0, m)
S△ AOB
=
1 2
x1
x2
OD
1 2
4
4k 2 1 m2 4k 2 1
m=
2
k2
2 4k 2
3(k 2 1
1)
26 7
解得
k 5 ，m3 2
所以直线 l 方程为
y 5x 3 2
19. 记 f (x), g(x) 分别为函数 f (x), g(x) 的导函数．若存在 x0 R ，满足 f (x0 ) g(x0 ) 且 f (x0 ) g(x0 ) ，则 称 x0 为函数 f (x) 与 g(x) 的一个“S 点”． (1) 证明：函数 f (x) x 与 g(x) x2 2x 2 不存在“S 点”；
所以
c2 a2
1 1
c a
c2 a2
即
(a c)(a c) ac(a c)
恒成立. 可得
a c ac ， 1 1 1 ac
4a c (4a c)( 1 1) 5 c 4a 5 2 c 4a 9
ac
ac
ac
当且仅当 c 4a 即 c 2a 时取等 ac
方法二：面积法.
由△ABC 面积可得
1 2
ac
sin120
1 2
a
sin
60
1 2
c
sin
60
a c ac ， (a 1)(c 1) 1
4a c 4(a 1) (c 1) 5 2 4(a 1)(c 1) 5 9 当且仅当 c 4a 即 c 2a 时取等
ac
方法三：几何法 1.
如图作垂线，可得
y kx m(k 0, m 0)
与椭圆方程联立，相切 0 ，有 a2k 2 b2 m2 ，则
与圆方程联立，相切 0 ，则
解得 所以直线 l 方程为
4k 2 1 m2 3k 2 3 m2 k 2，m3 y 2x 3
与圆方程联立得切点 P( 2,1)
方法二：利用切线方程求解.
原点 O 到直线 l 距离
AB x1 x2
k2 1 4
4k 2 1 m2 4k 2 1
k2 1
d m k2 1
S△ AOB
=
1 2
4
4k 2 1 m2 4k 2 1
k2 1
m =2 k2 1
k2
2 4k 2
3(k 2 1
1)
26 7
解得
k 5 ，m3 2
所以直线 l 方程为
y 5x 3 2
a
(0
x
1, a
0)
m(x) x3 3x2 ax a(a 0)
由于
m(0) a 0, m(1) 2 0
所以 m(x) 在 (0,1) 上有零点
所以 h(x) 在 (0,1) 上有零点
2018 江苏高考数学压轴题的分析与解（卞进宇）
即对于任意 a 0 ，总存在 0 x0 1和 b 0 ，使得①②③成立，函数 f (x) 与 g(x) 在区间 (0, ) 内存在“S
x02
a
be x0 x0
①
2
x0
ຫໍສະໝຸດ Baidube x0
( x0 x02
1)
②
因为 b 0 ，由②得 0 x0 1
将①带入②可得
分离变量
构造函数
2x0
(a
x02 )(x0 x0
1)
a
2 x02 x0 1
x02
x03 3x02 x0 1
③
构造函数
h(x)
x3 3x2 x 1
a
x3
3x2 ax x 1
②直线
l
与椭圆
C
交于
A,
B
两点．若△OAB
的面积为
26 7
，求直线
l
的方程．
y
解析：
（1）
椭圆
C
的方程：
x2 4
y2
1
圆 O 的方程： x2 y2 3
（2）①
F1
O
F2
x
(第 18 题)
2018 江苏高考数学压轴题的分析与解（卞进宇）
方法一：利用一元二次方程求解. 直线 l 存在斜率，设直线 l 方程为
5
,
a)
由 AB CD 0 和 AD BD 0 ，得
AD
AB
CD
(5
a)(b
a
2
5)
2a(2b
a)
0
BD (b a)(b 5) 4b(b a) 5(b 1)(b a)
0
解得
a 3
b
1
xA a 3
方法三：解析法.
设
A(a,
2a)
，
a
0
，则
C(
a
2
5
,
a)
圆 C 方程
因为 f (x0 ) g(x0 ) 且 f (x0 ) g(x0 ) ，得
2018 江苏高考数学压轴题的分析与解（卞进宇）
ax02 1
2ax0
ln 1 x0
x0
解得
a
e 2
（3） 对 f (x) 和 g(x) 求导，得
f
( x)
2x
，
g ( x)
bex
(x x2
1)
因为 f (x0 ) g(x0 ) 且 f (x0 ) g(x0 ) ， (x0 0) ，得
12.在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l : y 2x 上在第一象限内的点， B(5, 0) ，以 AB 为直径的圆 C 与直
线 l 交于另一点 D．若 AB CD 0 ，则点 A 的横坐标为 ▲ ．
解析：3
方法一：几何法.
由 AB CD 0 ， AC DC BC ，可得 △ADB 为等腰直角三角形.
A(
3c 2
,
c 2
)
，
B(
3a 2
,
a 2
)
，
D (1,
0)
于是 kAB
c a ，直线 AB 的方程为 3(c a)
又直线 AB 经过点 D ，有 同上可求.
y
a 2
ca 3(c
a)
(x
3a 2
)
1
a 2
ca 3(c
a)
3a 2
a c ac
方法五：向量法. 由角平分线分线段成比例，得 向量共线定理 对上式进行平方得
因为 所以
构造如图所示一线三垂直，有
tan∠DOB 2 , OB 5
OM
1 4
MB
1 5 OB
1,
DM
2OM
2
△AND≌△DMB AN DM 2
2018 江苏高考数学压轴题的分析与解（卞进宇）
xA OM AN 3
方法二：向量法.
设
A(a,
2a)
，
a
0
，
D(b,
2b)
，
b
a
，则
C(
a
2
18．如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 过点 (
3,
1 2
)
,焦点
F1
(
3, 0), F2 (
3, 0) ,圆 O 的直径为 F1F2 ．
(1) 求椭圆 C 及圆 O 的方程；
(2) 设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P．
①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；
同上可求.
CD
c
AD
a
BD
c
BC
a
BA
ac
ac
1=
a2c2 (a c)2
a c ac
方法六：几何法 2. 构造如图所示图形，则
同上可求.
1 c 1 ac a c ac
14. 已知集合 A {x | x 2n 1, n N*} ， B {x | x 2n , n N*}．将 A B 的所有元素从小到大依次排列构 成一个数列{an} ．记 Sn 为数列{an} 的前 n 项和，则使得 Sn 12an1 成立的 n 的最小值为 ▲ ．
解析：27
由 Sn 12an1 可知， n 24 且 an1 B .
2018 江苏高考数学压轴题的分析与解（卞进宇）
当
此时 m 5 且 由 Sn 12an1 得
2m
2(n
1
m)
1
2m1 （即
2m 1 2
m
n
2m1 1 2
m
）
an1 2(n 1 m) 1 2n m 1， Sn (n m)2 2m1 2
3 4
4
1
x1 3 x0 ， y1 3 y0
带入得
x12 4 y12 4
4 x02 9
y02 9
1
又点 P(x0 , y0 ) 在圆上，有
2018 江苏高考数学压轴题的分析与解（卞进宇）
解得
所以切点 P( 2,1)
x02 y02 3 x0 2 ， y0 1
②设直线 l 方程为
y kx m(k 0, m 0)
点”.
20．设{an} 是首项为 a1 ，公差为 d 的等差数列，{bn}是首项为 b1 ，公比为 q 的等比数列． (1) 设 a1 0, b1 1, q 2 ，若 | an bn |≤ b1 对 n 1, 2, 3, 4 均成立，求 d 的取值范围； (2) 若 a1 b1 0, m N*, q (1, m 2] ，证明：存在 d R ，使得 | an bn |≤ b1 对 n 2, 3,, m 1 均成立，并 求 d 的取值范围（用 b1, m, q 表示）．
解析：
（1） 对 f (x) 和 g(x) 求导，得
f (x) 1， g(x) 2x 2
因为 f (x0 ) g(x0 ) 且 f (x0 ) g(x0 ) ，得
x0
x02 2x0 1 2x0 2
2
无解，所以 f (x) 与 g(x) 不存在“S 点”
（2） 对 f (x) 和 g(x) 求导，得 f (x) 2ax ， g(x) 1 x
(n m)2 2m1 2 12(2n 1)
n2 2(m 12)n (m2 2m1 24m 14) 0 若 m 5 ，解①和②，得 n 27 ，成立. 所以 nmin 27 . 此题亦可先将 m 5 带入得
an1 2n 9 ， Sn (n 5)2 62
从而求出 nmin 27 .
此时
f (x) 2x3 3x2 1 ， f (x) 6x(x 1) ， x [1,1]
f (x) 在[1,0] 递增，在[0,1] 递减， f (1) 4 ， f (1) 0 . 可得
f (x)max f (0) 1 ， f (x)min f (1) 4
f (x)max f (x)min 3
2018 江苏高考数学压轴题的分析与解（卞进宇）
2018 年江苏卷
11．若函数 f (x) 2x3 ax2 1(a R) 在 (0, ) 内有且只有一个零点，则 f (x) 在[1,1] 上的最大值与最小值 的和为 ▲ ．
解析：-3 函数 f (x) 导函数为
f (x) 6x2 2ax 2x(3x a)，f (0) 1
情况一： a 0 .此时 f (x) 在 (0, ) 递增，又 f (0) 1 ，所以 f (x) 在 (0, ) 无零点，舍去.
情况二：
a
0
.此时
f
(x)
在
(0,
a 3
)
递减，在
(
a 3
,
)
递增.
在
(0,
)
上，在
x
a 3
处取得极小值
f
(
a 3
)
2a3 27
a3 9
1=
27 a3 27
0
a3
与椭圆方程联立得
(4k 2 1)x2 8kmx 4m2 4 0
设与椭圆的两交点
由①知与圆相切，与椭圆相交，有 解得
A(x1, kx1 m) ， A(x2 , kx2 m) 3k 2 3 m2 4k 2 1 m2
k 2 ， m 3(k 2 1)
16(4k 2 1 m2 )
方法一：利用三角形底高公式求解.
与 y 2x 联立，得
(x
a
5)2 2
(y
a)2
(a
5)2 4
a2
xD 1 ， D(1, 2)
AB
CD
(5
a)(1
a
2
5)
2a(2
a)
5(a
3)(a 2
1)
0
xA a 3
13. 在 △ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ， ABC 120 ， ABC 的平分线交 AC 与点 D，且 BD 1，则 4a c 的最小值为 ▲ ．