考研高数基础练习题及答案解析

考研高数基础练习题及答案解析

一、选择题：

1、首先讨论间断点：

1°当分母2?e?0时，x?

2x

2

，且limf??，此为无穷间断点；

2ln2x?

ln2x?0?

2°当x?0时，limf?0?1?1，limf?2?1?1，此为可去间断点。

x?0?

再讨论渐近线：

1°如上面所讨论的，limf??，则x?

x?

2

ln2

2

为垂直渐近线； ln2

2°limf?limf?5，则y?5为水平渐近线。

x

x

当正负无穷大两端的水平渐近线重合时，计一条渐近线，切勿上当。

2、f?|x4?x|sgn?|x|

sgn?|x|。可见x??1为可导点，x?0和x?3为不可导点。

2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文：

f|??|，当xi?yj时

为可导点，否则为不可导点。注意不可导点只与绝对值内的点有关。

?x

,x?0?

设f??ln2|x|，使得f不存在的最小正整数n是

? ,x?0?0

x?0

1

2

3

limf?f?0，故f在x?0处连续。

f’?lim

x?0

f?f

?0，故f在x?0处一阶可导。

x?0

当x?0时，f’??

?

?x12x’

‘223

?ln?lnlnxsgnx

?

12

，则limf’?f’?0，故f’在x?0处连续。?23x?0ln|x|ln|x|f’’?lim

x?0

f’?f’

??，故f在x?0处不二阶可导。

x?0

a

b

x?0

对?a,b?0，limxln|x|?0。这是我们反复强调的重要结论。

3、对，该函数连续，故既存在原函数，又在[?1,1]

内可积；

1?

??sin,x?0

对，首先假设该函数存在原函数F??，但对任意常数C，都无x

?,x?0? C

法满足F’?lim

x?0

11F?F1

?0，故该函数不存在原函数。另一方面，?2cosdx

?1xx?0x

111

?2?2cosdx??2sin，该结果无意义，故该函数在[?1,1]内不可积。

0xxx0

1

1

对，x?0为第一类间断点，故该函数不存在原函数。另一方面，

?

1

arctan

1

dx和x

?

?1

arctan

1

dx都有意义，故该函数在[?1,1]内可积。 x 对，显然该函数存在原函数。但通过反常积分的审敛法可知尝试证明），故该函数在[?1,1]内不可积。设f?

?

1

?1

tan

?x

2

dx发散，arctan?C??222??21?cosxsecx?12?tanx2?2??1t anx

arctan?,0?x

2222

不妨令F?? ，那么f在[0,?]内的所有原函

数0 ,x?

2?

?1??tanx

arctan,?x??2?2?2?2?

为F?C，其中C为常数。

如果不采用上述“拼凑”，则不能保证 1?tanx?

arctan??在[0,?]内连续，更谈不2?2?

上可导。

4、对，原式?

?

1

lnxx

3

dx?

??

1ylnylnyy

33

1

dy，其中?

1

lnxx

dx和?

??

1ylny

3

1

dy都发散，

故该二重积分也发散；对，原式?发散；

1

?

1

1xlnx

3

dx?

??

1

dy，其中?

1

1xlnx

3

dx发散，故该二重积分也

对，原式?

lnxxe

?

03

dx?

??

e

?

1

y3

1

y

dy，其中?

1

lnxx

3

dx发散，故该二重积分也发散；

对，原式?

?

1

1

x3

dx?

??

lnyy

3

1

dy，其中?

1

e

?

1x3

x

dx和?

??

lnyy

3

1

dy都收敛，故该二

重积分也收敛。

1°2011智轩高等数学基础导学讲义原文：变量x和y 之间失去了“纠缠性”，可看作两个独立的一元积分相乘。 2°同济六版高等数学教材上册原文：