固体量子理论基础

第四 第三 第二 第一 第一 第二 第三 第四
布里渊区
允带
禁带 允带 禁带 允带 禁带
-7/2a -3/a -5/2a -2/a -3/2a -1/a -1/2a 0 1/2a 1/a 3/2a 2/a 5/2a 3/a 7/2a
§18-3 晶体中电子的能带
一 能带的形成
量子力学计算表明，固体中若有N个原子，由于各原子
ukk
( (
x) x)
uk uk
( (
x)e x
ikx
n1a
)
E(k) E(k n1 / a)
半导体中电子波矢与能量之间的函数关系为多值函数
沿k方向，E(k)呈周期性变化，对同一E(k)，对应n1个k值；
沿E(k)方向，能量出现系列禁带与允带，对同一k值，对应
nl个E(k)。每一个允带，分裂为间距极小的nl能级。称半导 体的允带、禁带结构为半导体的能带结构。
第十八章 固体量子理论基础
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晶体
固
准晶体
体 非晶体
有成熟的理论研究 正在活跃地研究
固体的物理性质主要取决于原子间的相互作用 特别是原子外层电子的相互作用
§18-1 晶体的结合类型
晶体：分子、原子或离子形成周期性的空间规则结构 晶体形成的物理机制 • 粒子间的电磁相互作用 • 相邻原子间的“量子健合作用”(波函数重叠) 晶体分类 • 晶体按点阵的几何形状与对称性分为7个晶系
时，半导体中电子波函数为平面波函数。
半导体中任一电子，不再属于某一特定原子，而在整个晶体
中运动。电子在晶体中某点出现的几率，由
u* k
(
x
)uk
(
x
)决
定，几率大小的周期变化与晶格周期相同。称半导体中电子
可在半导体中运动的现象为电子的共有化运动。也因此，常
称晶体中的电子为准自由电子
B.关于能量的讨论
间的相互作用，对应于原来孤立原子的每一个能级，变成
了N条靠得很近的能级(能级间隔约为10-22eV数量级),称此分
裂能级为能带。
3s
二 能带的相关结论
2p
能带的宽度记作E ，数量级
2s
为：E～eV。一般地：
1s
E
2s Eg，禁带
1s
•越是外层电子，能带越宽，E越大；
•点阵间距越小，能带越宽，E越大；两个能带有可能重叠
1s
E
2s Eg，禁带
1s
导带：由价电子激发态能级分裂而成、且未被电 子填满的能带。
满带：填满电子的能带。满带没有导电作用。 空带：由价电子激发态能级分裂而成、且未被电
子填充的能带
第四 第三 第二 第一 第一 第二 第三 第四
布里渊区
-7/2a -3/a -5/2a -2/a -3/2a -1/a -1/2a 0 1/2a 1/a 3/2a 2/a 5/2a 3/a 7/2a
允带
禁带 允带 禁带 允带 禁带
考虑到沿k 方向能量的周期性变化，将能带分成各布里渊 区，第一布里渊区又称为简约布里渊区。
注意： • 形成晶体的结合力可以有多种形式 • 相同元素可以形成同素异构体 例：C可形成金刚石、石墨、C60
§18-2 晶体中电子的波函数
一 处理晶体中电子问题的物理模型
A.将多体问题转化为多电子问题
认为原子实静止、周期地排列在固定的晶格位置上，而 只有价电子运动；求解晶体中的薛定谔方程由原来的多体 问题变为现在的多电子体系问题
14种类型 • 按结合力的类型，晶体分为4类晶体
立方晶系
简单立方
体心立方
面心立方
离子晶体：由离子键结合而成的晶体 原子外壳层封闭；晶体硬、脆；不良导体
共价晶体：由共价键结合而成的晶体 共价键晶体坚硬、不良导体
分子晶体：由分子将结合而成的晶体 机械强度、熔点低；CO2、HCl、H2
金属晶体：外层单电子结合成共价键，但许多共价 键上无电子，电子可在这些健上转移，形成共 有化电子
B.将多电子问题转化为单电子问题
认为晶体中价电子均匀分布，任一价电子所受到的作用 等效地认为来源于离子实、其它价电子的平均作用势场， 以及一种纯属于量子力学效应的“交换势”。
二 半导体中的电子状态
一维简单情况下晶体中电子的定态薛定谔方程可写为
2 2 ( x) U ( x) ( x) i ( x)
•能带宽度与原子结合成晶体时的紧密程度和这一能级的电子
云重叠程度有关，与结成晶体的原子数无关。
•能带中，电子排布服从能量最小原理与泡里不相容原理。
某一能级分裂成由N条能级组成的能带后，能带最多能容
纳2N(2l +1)个电子。
3s
三 能带的相关概念
2p
禁带：相邻允带间的能量间隔
2s
价带：价电子能级分裂成的能带
2m0
t
U ( x) U ( x n1a)
由布洛赫定理，上述方程的解为
ukk
( (
x) x)
uk uk
( (
x)e x
ikx
n1a
)
E(k) E(k n1 / a)
其中，a为晶格常数 n1 N
讨论
A.关于半导体中波函数的讨论
半导体中电子波函数是被调幅的平面波函数，当u(x)=const.