1.2导数的计算第3课时精品教案

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人教版高中数学优质教案3：3.1.2导数的概念教学设计

3.1.2 导数的概念
1. 教学目标
（1）知识与技能目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.
（2）过程与方法目标：通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力．
（3）情感、态度与价值观目标：
①通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度．
②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点，形成正确的数学观．
2. 教学重、难点
重点：导数的定义和用定义求导数的方法．
难点：对导数概念的理解．
3．教学过程
【例1】
求函数y=x2+2x在点x=2处的导数.
解：（1）求增量△y=f（2+△x）-f（2）=（2+△x）2+ 2（2+△x）-（22+2×2）
=（△x）2+6△x，
（2）求平均变化率：
，
（3）取极限（△x+6）= 6
∴f′（2）=6或
【探讨3】怎样求新函数的[解析]式？
探讨后引出定义3：（函数
)
(x
f
y=在开区间)
,
(b
a内的导函数）
【例2】已知y=1
x
，求（1）y′;（2）y′|x=2.
解：
（2）y′|x=22
8
=-
4．板书设计
板书设计：。

高中数学1.2.2导数的运算法则教案新人教版选修2_2

课题：§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：教学重点：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程与设计：详细过程一．创设情景四种常见函数 y  c 、 y  x 、 y  x2 、 y  1 的导数公式及应用 x二．新课讲授函数导数（一）基本初等函数的ycy'  0导数公式表函数 y  x y  c y  x2 y  f (x)  xn (nyQ1*)x yy  sfin(xx)  xn (n Q*) y  cos xy'  1 导数y'  2x y'  0y'1 x2y'nxn1y'  nx yn1'  cos xy'   sin xy  f (x)  axy'  ax  ln a (a  0)y  f (x)  exy'  ex（二）导数的运算法则f (x)  loga xf(x)logaxf' ( x)1 x lna(a0且a 1)f (x)  ln xf '(x)  1 x导数运算法则1． f (x)  g(x)'  f '(x)  g'(x)2． f (x)  g(x)'  f '(x)g(x)  f (x)g'(x)'3．  f (x) g(x)  f'(x)g(x)  f ( g ( x)2x)g'(x)(g(x)0)（2）推论：cf (x)'  cf '(x)（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例分析例 1．假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为 5% ，物价 p（单位：元）与时间 t（单位：年）有如下函数关系 p(t)  p0 (1 5%)t ，其中 p0 为 t  0 时的物价．假定某种商品的 p0  1 ，那么在第 10 个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到 0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有 p' (t)  1.05t ln1.05所以 p' (10)  1.0510 ln1.05  0.08（元年）因此，在第 10 个年头，这种商品的价格约为 0.08 元年的速度上涨．例 2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1） y  x3  2x  3（2）y ＝ 1  1 ； 1 x 1 x（3）y ＝x · sin x · ln x；（4）y ＝ x ；4x （5）y ＝ 1 ln x ．1 ln x （6）y ＝（2 x2－5 x ＋1）ex（7） y ＝ sin x  x cosx cosx  x sin x【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例 3 日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将 1 吨水净化到纯净度为 x% 时所需费用（单位：元）为 c(x)  5284 (80  x  100) 100  x求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1） 90% （2） 98%解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．c' ( x)( 5284 )' 100  x5284' (100 x)  5284 (100 (100  x)2x)'0 (100  x)  5284 (1) (100  x)25284 (100  x)2（1）因为c' (90)5284 (100  90)252.84，所以，纯净度为90% 时，费用的瞬时变化率是 52.84 元吨．（2）因为c' (98)5284 (100  90)21321，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是 1321 元吨．函数 f (x) 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c' (98)  25c' (90) ．它表示纯净度为 98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为 90%左右时净化费用的瞬时变化率的 25 倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．四．课堂练习 1．课本 P92 练习 2．已知曲线 C：y ＝3 x 4－2 x3－9 x2＋4，求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8）五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表（2）导数的运算法则六．布置作业。

高中数学第一章导数及其应用 1.2 第3课时导数的运算法则学案新人教A版选修2-2-新人教A

1.2.2 第三课时导数的运算法则一、课前准备 1.课时目标1. 能运用函数四则运算的求导法则，求常见函数四则运算的导数；2. 能运用复合函数的求导法则，求简单的复合函数的导数；3. 能综合利用导数的公式和运算法则解决简单的综合问题。

2.基础预探1.(1)[f (x )±g (x )]′＝________. (2)[f (x )·g (x )]′＝________. (3)[f (x )g (x )]′＝________.2.由几个函数复合而成的函数，叫复合函数，函数y ＝f [φ(x )]是由________和________复合而成的．3．设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′x ＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u ＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数，且y ′x ＝________，或写作f ′x [φ(x )]＝________.二、学习引领1．对导数的运算法则的理解(1) [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．(2) [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．特别的，[cf (x )]′＝cf ′(x ) 即常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数．(3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2即需记忆如下几个特征：两个函数商的导数，其分母为原分母的平方；分子类似乘法公式，中间用减号链接，f ′(x )g (x )减去含分母导数f (x )g ′(x )的式子。

人教版高中数学选修(2-2)-1.2《导数的计算》教学设计

1.2 导数的计算一、教学目标 1．核心素养通过学习导数的计算，提升推理论证、计算求解与应用能力． 2．学习目标（1）1.2.1能根据导数定义，求函数21,,,,y c y x y x y y x===== （2）1.2.2能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．（3）1.2.3能利用复合函数求导法则求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +）的导数． 3．学习重点（1）利用导数的定义求五个函数21,,,,y c y x y x y y x ===== （2）利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数． 4．学习难点两个函数的积与商的求导法则的应用，复合函数求导法则的理解与应用．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务1阅读教材P 12－P 14，思考：常用函数的导数是什么？是如何计算得到的？任务2阅读教材P 14－P 17，思考：导数运算法则是什么？符合函数的求导法则是什么？2．预习自测 1．函数1y x x=+的导数是____________. 解：211y x =-2．函数cos sin y x x x =-的导数为（）A.sin x xB.sin x x -C.cos x xD.cos x x - 解：B3．设()f x =，则'(1)f = .（二）课堂设计 1．知识回顾（1）函数的定义是什么？给定自变量的取值，有唯一确定的函数值与之对应. （2）函数()f x 在0x x =处的导数是0000()()limlim x x y f x x f x x x ∆→∆→∆+∆-=∆∆.（3）函数()f x 在0x x =处的导数是关于0x 的函数吗？对于函数()f x 来说，给定0x 的取值，则0()f x '是一个确定的值,所以是一个函数. 2．问题探究问题探究一、几个常用函数（21,,,,y c y x y x y y x===== ●活动一动手计算，收获几个结论请大家用导数的定义分别推导出函数21,,,,y c y x y x y y x =====. 1．若y c =（c 为常数），则y '=_________； 2．若y x =，则y '=_______________； 3．若2y x =，则y '=___________________； 4．若1y x=，则y '=_______________；5．若y =y '=__________________.●活动二阅读查表，记忆导数公式1．若()f x c =（c 为常数），则()f x '=_______； 2．若*()()f x x Q αα=∈，则()f x '=_______. 3．若()sin f x x =，则()f x '=________________； 4．若()cos f x x =，则()f x '=_____________.5．若()x f x a =，则()f x '=_________；特别地：若()x f x e =，则()f x '=_________. 6．若()log a f x x =，则()f x '=_______；特别地：若()ln f x x =，则()f x '=________.为避免记忆混淆，可将上述公式可分为四类记忆：（1）（2）属于幂函数的导数公式；（3）（4）属于三角函数的导数公式；（5）是指数函数的导数公式；（6）是对数函数的导数公式．例1求下列函数的导数．(1)y ＝a 2(a 为常数)； (2)y ＝5x 3； (3)y ＝x －4； (4)y ＝lg x . 【知识点：导数的运算】解：(1)∵a 为常数，∴a 2为常数，∴y ′＝(a 2)′＝0.(2)'32'553'5y x x -⎛⎫=== ⎪⎝⎭(3)y ′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x 5 (4)y ′＝(lg x )′＝1x ln10. 例2 求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数．【知识点：导数的运算】解：''113122211'()22f x x x x ----⎛⎫===-=-= ⎪⎝⎭∴f ′(1)＝－12，∴函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.点拨：熟记导数公式，能够应用导数公式求相应函数的导数. ●活动三认识规律，熟练掌握法则导数的四则运算法则是什么？（1）[()()]f x g x '±=___________；（2）[()()]__________________f x g x '⋅=；（3）()[]___________________()f xg x '=. 由积的导数运算法则可推出：[()]()cf x cf x ''=．在积、商的导数运算法则中，要注意：一般情况下，[()()]()()f x g x f x g x '''⋅≠⋅，()()[]()()f x f xg x g x ''≠'，不要与[()()]()()f x g x f x g x '''±=±混淆． ●活动四应用法则，扩充导数公式请利用初等函数的导数和导数的四则运算法则计算下列函数的导数： 1．若()ln f x x x =，则()f x '=_______； 2．若2()x f x x e =，则()f x '=_______.3．若()tan f x x =，则()f x '=_____________；4．若()ln f x x =，则()f x '=_____________. 例3 求下列函数的导数．(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝x 2sin x ；(4)y ＝2tan x ＋3tan x ；(5)y ＝x ·e x ＋ln x . 【知识点：导数的运算】解： (1)y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(2)先化简，得y ＝－x 12 ＋x －12 ∴y ′＝－12x －12 －12x －32 ＝－x ＋12x x .(3)y ′＝(x 2)′sin x －x 2(sin x )′sin 2x ＝2x sin x －x 2cos x sin 2x.(4)解法1：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x cos x ＋3cos x sin x ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x sin x ′＝2cos 2x ＋2sin 2x cos 2x ＋－3sin 2x －3cos 2xsin 2x ＝2cos 2x －3sin 2x .解法2：y ′＝2ta n′x －3tan′x tan 2x ＝tan′x (2－3tan 2x )＝1cos 2x (2－3cos 2x sin 2x )＝2cos 2x －3sin 2x . (5)y ′＝(x ·e x )′＋(ln x )′＝e x ＋x ·e x ＋1x ＝(1＋x )·e x ＋1x . 点拨：熟记导数公式是求导函数的关键.●活动一什么是复合函数及复合函数求导法则？（1）一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =．（2）复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数的关系为：y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．例4求下列函数的导数．(1)y ＝1(1－3x )4； (2)y ＝3ax 2＋bx ＋c ； (3)ax b y e -+=. 【知识点：导数的运算】解：(1)y ＝u －4，u ＝1－3x .∴y ′＝y ′u ·u ′＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4·u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝12(1－3x )5.(2)y ＝u 13 ，u ＝ax 2＋bx ＋c .y ′＝y ′u ·u ′x ＝13u －23 ·(2ax ＋b )＝13(ax 2＋bx ＋c ) －23 ·(2ax ＋b )＝(2ax ＋b )3ax 2＋bx ＋c 3(ax 2＋bx ＋c ).(3)y ＝e u ，u =－ax +b .，y ′＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(－ax +b )′＝e u ·(－a )＝ax b ae -+-．点拨：分清函数由哪些函数复合而成，是求复合函数导数的关键. ●活动二应用新知，解决典型例题例5 求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与在这点的切线垂直的直线方程．【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ，曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23， ∴所求的直线方程为y －12＝23⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，即2x －3y －2π3＋32＝0.例6已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．12【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：设切点为(x 0，y 0)，00013131222x x y x x x x ⎛⎫' ⎪⎝⎭＝＝－＝－＝－.∵x 0>0，∴x 0＝2.点拨：求切线方程的步骤： (1)利用导数公式求导数． (2)求斜率．(3)写出切线方程．注意导数为0和导数不存在的情形．●活动三函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数之间的区别与联系. （1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数．（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的，就是函数f (x )的导函数（3）函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是求函数在点0x 处的导数的方法之一． 3．课堂总结【知识梳理】（1）基本初等函数的导数公式（2①[()()]'f x g x ±= ；②()()'f x g x =⎡⎤⎣⎦ ； ③()[]'()f xg x = [()0].g x ≠ （3）复合函数的导数：若(),y f u u ax b ==+，则x u x y y u '''=⋅，即x y '= .【重难点突破】（1）运用导数的四则运算法则，可推出以下三个常用结论： ①1212[()()()]()()()n n f x f x f x f x f x f x ''''±±±=±±±；②[()()]()()af x bg x af x bg x '''±=±；③2()1()[()]g x g x g x ''⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．（2）求复合函数导，一般按以下三个步骤进行：①分解：分解复合函数为基本初等函数，注意适当选择中间变量；②层层求导：求每一层基本初等函数的导数（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；③作积还原：将各层基本函数的导数相乘，并将中间变量还原为原来的变量．利用复合函数求导时，要注意选择合适的中间变量.例如，对于函数41(34)y x =+，可令31u x =+，4y u -=；也可令4(31)u x =+，1y u -=，显然前一种形式更有利于求导．（3）应用导数公式与运算法则求导时，应注意以下三点： ①对幂函数求导时，要将根式、分式化为指数式，以便应用公式； ②对较复杂函数求导时，可考虑“先化简，再求导”，以减少运算量. ③根据函数的结构，合理选择求导公式与运算法则. 4．随堂检测1．已知f (x )＝x 2，则(3)f '=（） A ．0B ．2xC ．6D ．9【知识点：导数的运算】解：C2．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是（） A ．3－4xB ．3＋4xC ．5＋8xD ．5－8x【知识点：导数的运算】解：D 3．函数y ＝cos x1－x的导数是（） A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B.x sin x －sin x －cos x(1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x1－x【知识点：导数的运算】解：C4．已知函数f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2，则实数a 的值为（） A ．1B ．2C. 2D ．a >0【知识点：导数的运算】解：B5．设2()(5)6ln f x a x x =-+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴相交于点(0,6)，则a =_________.【知识点：导数的运算；导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：12（三）课后作业基础型自主突破1．给出下列命题：①若y＝π，则y′＝0；②若y＝3x，则y′＝3；③若y＝1x，则y′＝－12x；④若3y'=，则y＝3x.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点：导数的运算】解：B2．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于1，则这样的切线有（）A．1条B．2条C．3条D．不确定【知识点：导数的运算；导数的几何意义】解：B3．若2()24lnf x x x x=--，则()0f x'>的解集为（）A．(0,)+∞B．(1,0)(2,)-+∞C．(2,)+∞D．(1,0)-【知识点：导数的运算】解：C4．直线y＝12x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b的值为()A．2 B．ln 2＋1 C．ln 2－1 D．ln 2 【知识点：导数的几何意义】解：C提示：∵y＝ln x的导数为y′＝1x，∴1x＝12，解得x＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y＝12x＋b得b＝ln 2－1.5．曲线y＝x n在x＝2处的导数为12，则n等于（）A．1 B．2 C．3 D．4 【知识点：导数的运算】解：C6．求下列函数的导数（1）3log y x = （2）31x y x e =+- （3）sin(12)y x =+（4）1ln y x x x=+（5） y ＝2sin x 2(1－2sin 2x4)．【知识点：导数的运算】解：（1）1ln 3y x '=（2）232ln 2x y x '=+⋅（3）()22cos(1)(12)2cos 1y x x x ''=+⋅+=+ （4）211ln y x x'=+-（5）∵y ＝2sin x 2(1－2sin 2x 4)＝2sin x 2cos x2＝sin x . ∴y ′＝(sin x )′＝cos x ．能力型师生共研7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=（）A ．e -B ．1-C ．1D ．e【知识点：导数的运算】解： B8．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足()()f x g x ''=，则f (x )与g (x )满足（）A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数函数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数函数【知识点：导数的运算】解： B9．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为________．【知识点：导数的几何意义；数学思想：数形结合】解：14 提示：由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12x －12|x ＝14＝g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝a14，可得a ＝14，经检验，a＝14满足题意．10．若函数f (x )＝x m＋ax 的导数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和S n 是（）A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n【知识点：导数的运算】解： A探究型多维突破11．已知1()sin cos ()f x x x x R =+∈，记*21321()(),()(),,()()(,2)n n f x f x f x f x f x f x n N n -'''===∈≥，则122014()()()222f f f πππ+++=____________.【知识点：导数的运算】解：0 提示：2()cos sin f x x x =-，3()sin cos f x x x =--，4()cos sin f x x x =-+，5()sin cos f x x x =+，以此类推，可得出4()()n n f x f x +=，又1234()()()()0f x f x f x f x +++=，所以122014123412()()()503[()()()()]()()0222222222f f f f f f f f f πππππππππ+++=+++++=12．已知曲线C ：y ＝x 3－6x 2－x ＋6. （1）求C 上斜率最小的切线方程；（2）证明：曲线C 关于斜率最小时切线的切点对称．【知识点：导数的运算】解：(1)y ′＝3x 2－12x －1＝3(x －2)2－13.当x ＝2时，y ′最小，最小值为－13，切点为(2，－12)，切线方程为y ＋12＝－13(x －2)，即13x ＋y －14＝0. (2)证明：设(x 0，y 0)∈C ，(x ，y )是(x 0，y 0)关于(2，－12)的对称点，则⎩⎨⎧x 0＝4－x ，y 0＝－24－y .∵(x 0，y 0)∈C ，∴－24－y ＝(4－x )3－6(4－x )2－(4－x )＋6，整理得y ＝x 3－6x 2－x ＋6.∴(x ，y )∈C ，于是曲线C 关于切点(2，－12)对称．自助餐1．下列四组函数中导数相等的是（）A ．f (x )＝2与g (x )＝2xB ．f (x )＝－sin x 与g (x )＝cos xC ．f (x )＝2－cos x 与g (x )＝－sin xD ．f (x )＝1－2x 2与g (x )＝－2x 2＋4【知识点：导数的运算】解： D2．设函数22()(0)x a f x a x+=>，若0()0f x '=，则x 0＝（）A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2【知识点：导数的运算】解： B3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为（） A.193 B.103C.133D.163【知识点：导数的运算】解： B4．函数y ＝x 2＋12x －1的导数是（）A.2＋xx 2＋1·(2x －1)2B ．－2＋x1＋x 2·(2x －1)2C.4x 2－x ＋2(2x －1)2D.4x 2－x ＋2(2x －1)2x 2＋1【知识点：导数的运算】解： B5．已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A ．[0,4π)B ．[,)42ππC ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ 【知识点：导数的运算】解： D6．（1）已知f (x )＝xe x ＋sin x cos x ，则f ′(0)＝________.（2）已知g (x )＝(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)，则g ′(1)＝________.【知识点：导数的运算】解：（1）2 ；（2） 24提示：(1)f ′(x )＝e x ＋x ·e x ＋cos2x ，∴f ′(0)＝1＋1＝2.(2)()(1)[(2)(3)(4)(5)](2)(3)(4)(5)g x x x x x x x x x x ''=-----+---- 所以g ′(1)＝(1－2)(1－3)(1－4)(1－5)＝24.7．设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且()x x f e x e =+，则(1)f '=______________.【知识点：导数的运算】解：28．已知函数()f x 及其导数()f x '，若存在0x ，使得00()()f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是_____________ ①2()f x x =，②()x f x e -=，③()ln f x x =，④()tan f x x =.【知识点：导数的运算】解：①③提示： ①中，令00()()f x f x '=，可得：00x =或02x =，故存在“巧值点”.②中，令00()()f x f x '=，可得：0x x e e --=-，显然无解，故不存在“巧值点” ③中，令00()()f x f x '=，可得：001ln x x =，由于ln y x =与1y x=的图像有交点，因此方程有解. 故存在“巧值点”.④中，令00()()f x f x '=，可得：0201tan cos x x =，即：00sin cos 1x x =，显然无解. 故不存在“巧值点”9．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1：y =x 2+a 到直线l :y =x 的距离等于曲线C 2：x 2+(y +4)2=2到直线l :y =x 的距离，则实数a =_______.【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】解：49提示：曲线C 2：x 2+(y +4)2=2到直线l :y =x的距离为d =-==曲线C 1：y =x 2+a 对应函数的导数为2y x '=，令12=x 得21=x ，所以C 1：y =x 2+a 上的点为)41,21(a +，点)41,21(a +到到直线l :y =x 的距离应为2，所以211|4121|22=+--a ，解得49=a 或47-=a （舍去）. 10．已知函数()f x 满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+，则()f x =____________. 【知识点：导数的运算】解：212x e x x -+ 提示：1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+ 令1x =得：(0)1f =，即1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔=，得：21()2x f x e x x =-+11．已知11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为函数2()2f x x x a =++（0x <，a R ∈）的图像上的两点,且12x x <.若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，则21x x -的最小值为___________.【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】解：1 提示：由题知：()22f x x '=+，且12()()1f x f x ''=-，于是可得：12(22)(22)1x x ++=-，化简得：12114(1)x x =--+，从而21221114(1)x x x x -=++≥+.12．已知二次函数()f x 只有一个零点，且()22f x x '=+. （1）求()f x 的表达式；（2）若()()x f x g x e=，求曲线()y g x =在点(0,(0))P g 处的切线l 与两坐标轴围成的三角形面积S .【知识点：导数的运算；数学思想：数形结合】解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，又()22f x x '=+，所以1,2a b ==. 即2()2f x x x c =++，又()f x 只有一个零点，故1c =，所以2()21f x x x =++.（2）由（1）知2()21()x xf x x xg x e e++==，所以2222(21)(21)1()()x xx xx x e e x x xg xe e'++-++-'==.故(0)1g'=，又(0)1g=，从而切斜l的方程为1y x-=，即10x y-+=，于是切线l与两坐标轴围成的三角形面积111122 S=⨯⨯=.数学视野微积分学是由牛顿和莱布尼茨在总结了诸多数学家的工作之后，分别独立地创立的.牛顿（Newton，1642—1727），英国数学家，物理学家，天文学家和自然哲学家.牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分. 17世纪早期，数学家们已经建立起一系列求解无限小问题（诸如曲线的切线、曲率、极值，运动的瞬时速度，面积、体积、曲线长度、物体重心的计算）的特殊方法.牛顿超越前人的功绩在于将这些特殊的技巧归结为一般的算法，特别是确立了微分与积分的逆运算（微积分基本定理）.牛顿的微积分中有一个重要的基本概念“流数”，流数被定义为可借运动描述的连续量——流量（用,,,x y z表示）的变化率（速度），并用在字母上加点来表示，如,,,x y z.牛顿表述流数术的基本问题为：已知流量间的关系，求它们的流数间的关系，以及逆运算. 牛顿创立微积分有深刻的力学背景，他更多的是从运动变化的观点考虑问题，把力学问题归结为数学问题.莱布尼茨（Leibniz，1646—1716），德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分学的创始人.莱布尼茨终生奋斗的主要目标是寻求一种可以获得知识和创造发明的普遍方法.这种努力导致许多数学上的发现，最突出的是微积分学.莱布尼茨创立微积分主要是从几何学的角度考虑，他创建的微积分的符号（如：d,x⎰等）以及微分的基本法则，对以后微积分的发展有极大的影响.。

1.2 导数的计算

探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
课堂篇探究学习
变式训练 2 求下列函数的导数: (1)y=14cos22��;(2)y=ln2x. 解:(1)因为 y=14cos2��2�� = 18(1+cos x)=18 + 18cos x,所以 y'=-18sin x. (2)因为 y=ln2x=ln x·ln x, 所以 y'=(ln x·ln x)'=1��·ln x+ln x·1�� = 2l��n�� .
[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x).
课前篇自主预习
【做一做 3】 (1)函数 y=x2-ln x 的导数为
;
(2)函数 y=xcos x 的导数为
;
(3)函数 y=e��的导数为
.
解析:(1)y'=(x2-ln x)'=(x2)'-(ln x)'=2x-1��;
当堂检测
解:(1)设 y=u2,u=4-3x,则 yu'=2u,ux'=-3, 于是 yx'=yu'·ux'=-6(4-3x)=18x-24,即 y'=18x-24. (2)设 y=cos u,u=2x-π4,则 yu'=-sin u,ux'=2,
于是 yx'=yu'·ux'=-2sin 2x-π4 ,即 y'=-2sin 2x-π4 . (3)设 y=ln u,u=4x-1,则 yu'=��1��,ux'=4,于是 yx'=yu'·ux'=4��4��-1, 即 y'=4��4��-1. (4)设 y=eu,u=x2,则 yu'=eu,ux'=2x,于是 yx'=yu'·ux'=e��2·2x, 即 y'=2xe��2.

1.2 导数的计算学案三份

1.2 导数的计算 §1.2.1几个常用函数导数1．掌握四个公式，理解公式的证明过程；2．学会利用公式，求一些函数的导数；1214复习1：求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量y ∆= ；（2）求平均变化率yx∆=∆ ；（3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim= ．复习2：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率．如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为．二、新课导学※ 学习探究探究任务一：函数()y f x c ==的导数．问题①：如何求函数()y f x c ==的导数新知①：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为．若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为即一直处于静止状态．问题②：求函数()y f x x ==的导数反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为．若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为．探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数．思考：（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？※ 典型例题例1 求函数1()y f x x==的导数变式：求函数2()y f x x ==的导数小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限．例2 求函数1y x=的图象在点(1,1)处的切线方程．变式：求出曲线在点(1,2)处的切线方程．小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的．※ 动手试试练1．求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程．练2．求函数()y f x ==※归纳：若c y =（c 为常数），则y '= ；若)(Q x y ∈=αα，则y '= ．1．在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)242．已知αx x f =)(，若4)1(/-=-f ，则α的值是（）A ． 4B ．-4C ． 8D ．-5 3．若对任意实数x ，恒有1)1(,4)(3/-==f x x f ，则此函数为（）A ．41)(x x f +-= B ．2)(4-=x x f C ．2)(3-=x x f D ．1)(4+=x x f 4．函数)2(32+=x x y 的导数是（）A ．632+x B ．26x C ．692+x D ． 662+x 5．过曲线21x y =上一点（2，)41的切线方程是_________________________．6．已知函数13)(2-=x x f ，则)2(f '= ，])2([''f = ．7．曲线3x y =在点（1，1）处的切线与x 轴、直线2=x 所围成三角形的面积是___________． 8．已知球的体积关于半径的函数334)(r r V π=，它的导数24)(r r V π='恰好是球的表面积．运用类比思想，可以类推出的一个公式是． 9．求曲线43x y =在点（16，8）处的切线方程．10．已知曲线12-=x y 与13+=x y 在0x x =处的切线互相垂直，求0x 的值．11．已知直线042=-+y x 与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1．理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；P 14~ P 16，找出疑惑之处）新知1：常见函数的导数公式：常函数及幂函数：；三角函数：；指数函数：；对数函数：．练习：根据常见函数的导数公式计算下列导数（1）6y x = （2）y =（3）21y x = （4）y =新知2：两个函数的和(或差)积商的导数（1）和差的导数：；（2）积的导数：；（3）商的导数：；试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数323y x x =-+的导数．※ 典型例题例1 求下列函数的导数：（1）2log y x =；（2）2x y e =；（3）522354y x x x =-+-；（4）3cos 4sin y x x =-．例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-．求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%；（2）98%．小结：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．例3 已知直线042=-+y x 与抛物线x y 42=相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．（提示：点P 为抛物线上与AB 平行的切线的切点）※ 动手试试练1．求下列函数的导数：（1）32log y x x =+；（2）n xy x e =；（3）31sin x y x-=练2．曲线sin xy x=在点(,0)M π处的切线方程为．练3．若)100()2)(1()(---=x x x x x f ，则)0(f '= ．1．函数1y x x=+的导数是（） A ．211x -B ．11x -C ．211x +D ．11x+ 2．已知直线x y kx y ln ==是的切线，则k 的值是（） A ．e B ．-e C ． e 1 D ．e1- 3．函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（）A ．cos2cos x x -B ．cos2sin x x +C ．cos2cos x x +D ．2cos cos x x + 4．函数cos xy x=的导数是（） A ．2sin x x -B ．sin x -C ．2sin cos x x x x +-D ．2cos cos x x xx +-5．设)()()()()()(sin )(/1/12/010x f x f x f x f x f x f x x f n n ====+，，，，，则)(2011x f =（） A ．x sin B ．x sin - C ．x cos D ．x cos - 6．若x x f 2)(=，则=)2(/f ．7．设函数2()138f x x =-+，且0()4f x '=，则0x = ．8．设函数)1()(2-=x x x f ，若)()(00x f x f '=，则0x = ．9．已知函数x x f x f sin cos )4()(+'=π，则=)4(πf ．10．已知函数ln y x x =．（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数在点1x =处的切线方程．11．已知点P 是曲线104323-++=x x x y 上的任意一点，过点P 作曲线的切线．求：（1）切线倾斜角α的取值范围；（2）斜率最小的切线方程．12．假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0．01)?§1.2.3 复合函数求导一、课前准备（预习教材P 16~ P 17，找出疑惑之处）复习1：求)4(23-=x x y 的导数复习2：求函数2(23)y x =+的导数二、新课导学探究任务一：复合函数的求导法则问题：求(sin 2)x '=?解答：由于(sin )cos x x '=，故(sin 2)cos2x x '= 这个解答正确吗?新知：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作：(())y f g x = 复合函数的求导法则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数．用公式表示为：x u x u y y '⋅'='，其中u 为中间变量．即： y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．试试：(sin 2)x '=反思：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量．※ 典型例题例1 求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（ϕ为常数）．小结：复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．例2（1）已知函数31)(x x f =，32)(+=x x g ，求函数)]([x g f 与)]([x f g 的导数．（2）函数()r V =小结：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量．例 3 已知函数b ax x x f ++=2)(，d cx x x g ++=2)(，且)(4)12(x g x f =+，30)5(=f ，)()(x g x f '='，求a ，b ，c ，d 的值．※ 动手试试练习：求下列函数的导数：（1）cos 3xy =；（2）y =1．设2sin y x =，则y '=（）A ．sin 2xB ．2sin xC ．22sin xD ．2cos x 2．设函数)1()21()(/103f x x f ，则-=等于（）A ． 0B ．-1C ．-60D ． 603．设x a y -++=11，则/y 等于（）A ．xa-++121121 B ．x-121 C ．xa--+121121 D ．x--1214．已知()ln(f x x =+，则()f x '是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 5．已知函数xx f 1)(='（其中0>x ），若k 为大于0的常数，则)(x f 可能是（） A ．)ln(k x + B ．kx ln C ．x k ln D ．2ln kkx + 6．函数32ln +=x e y 的导数是___________________．7．曲线3213+=x y 在点)4,1(3处的切线方程是___________________．8．已知函数)(x f 在R 上可导，且满足3)2(='f ，令)13()(-=x f x F ，则=')1(F ． 9．求下列函数的导数；（1）23(21)x y x =+；（2）2x y e -=；（3）2tan y x x =．10．曲线),0()1(2>-=a ax x y 且52/==x y ，求实数a 的值．11．设函数)0)(3cos()(πϕϕ<<+=x x f ．若)()(x f x f '+为奇函数，求ϕ的值．。

人教版高中数学优质教案1：3.1.2导数的概念教学设计

3.1.2导数的概念教学目标：1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3．会求函数在某点的导数教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：导数的概念．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率（二）探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图象，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=，虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．二．新课讲授1．瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况：思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？结论：当t ∆趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便，我们用0(2)(2)lim 13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2 导数的概念从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率（2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=- 三．典例分析例1．（1）求函数y =3x 2在x =1处的导数.分析：先求Δf =Δy =f (１＋Δx )-f (１)=6Δx +(Δx )2 再求6f x x ∆=+∆∆再求0lim 6x f x∆→∆=∆ 解：法一定义法（略）法二：222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- （2）求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单位：C o ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义，0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim(3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h o 的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h o的速率上升．注：一般地，'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．四．回顾总结1．瞬时速度、瞬时变化率的概念2．导数的概念五．布置作业。

《1.1.2导数的概念》教学案3

《1.1.2导数的概念》教学案3教材分析导数的概念是高中新教材人教A 版选修2-2第一章1.1.2的内容, 是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。

新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。

问题1 气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率问题2 高台跳水的平均速度--→瞬时速度--→根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点教学目标1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法：① 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力② 通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法函数的平均变化率fx ∆∆ 函数的瞬时变化率0limx fx∆→∆∆（即导数）3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.重点、难点➢重点：导数概念的形成，导数内涵的理解➢难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点学法与教法➢学法与教学用具学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。

（如问题2的处理）（2）自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动。

（如问题3的处理）（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。

（如例题的处理）教学用具：电脑、多媒体、计算器➢教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①动——师生互动、共同探索。

②导——教师指导、循序渐进（1）新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲（2）理解导数的内涵——数形结合，动手计算,组织学生自主探索,获得导数的定义（3）例题处理——始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识（4）变式练习——深化对导数内涵的理解，巩固新知二、教学设想（具体如下表）教学环节教学内容师生互动设计思路创设情景、引入新课幻灯片➢回顾上节课留下的思考题：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t 2＋6.5t＋10.计算运动员在6549t≤≤这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？首先回顾上节课留下的思考题：在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。

【优质课件】人教B版高中数学选修22第1章1.2第3课时导数的四则运算法则优秀课件.ppt

三、导数计算中的化简技巧有关导数的运算一般要按照导数的运算法则进行，但也不能盲目地套用公式，要仔细观察函数式的结构特点，适当地对函数式中的项进行“合”与“拆”，进行优化组合，有的放矢，但每部分易于求导，然后运用导数运算法则进行求解．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免运处算失误．
(2)灵活运用公式，化繁为简，如小题(2)这种类型，展开化为和、差的导数比用积的导数简单容易．
求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x3＋2x2－4x－1； (2)y＝xcosx； (3)y＝sin2x； (4)y＝tanx＋cotx； (5)y＝x2lnx＋log1ax(a>0且a≠1，x>0)．
2．函数积的求导法则对于可导函数f(x)，g(x)，有 [f(x)g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)．注意：(1)若C为常数，则[Cf(x)]′＝C′f(x)＋Cf′(x)＝0 ＋Cf′(x)＝Cf′(x)，即[Cf(x)]′＝Cf′(x)，即常数与函数之积的导数，等于常数乘函数的导数． (2)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)，a，b为常数．切忌把[f(x)·g(x)]′记成f′(x)·g′(x)．
[解析] (1)y′＝4x3－9x2＋4x－4.
(2)y′＝x′cosx＋x(cosx)′＝cosx－xsinx.
(3)y′＝(sin2x)′＝(2sinxcosx)′＝(2sinx)′cosx＋
2sinx(cosx)′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x.
(4)y′＝(tanx＋cotx)′＝
已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)·…·(x－2015)，则f′(0)＝ ________.
[答案] －(1×2×3×…×2015) [解析] 依题意，设g(x)＝(x－1)(x－2)·…·(x－2015)，则f(x)＝x·g(x)，f′(x)＝[x·g(x)]′＝g(x)＋x·g′(x)，故f′(0)＝g(0)＝－(1×2×3×…×2015)．

高中数学 1.2导数运算3导学案苏教版选修2-2

§1.2.3简单复合函数的导数（预学案）1. 了解复合函数的概念；2. 理解复合函数的求导法则；3. 会求简单的复合函数的导数。

（预习教材P23 ~ P24，完成以下内容并找出疑惑之处）一、知识梳理、双基再现 1、复合函数的概念：由复合而成的函数称为复合函数，例如：cos(12)y x =-由cos y μμ=及= 复合而成。

2.复合函数的求导法则：若(),y f u u ax b ==+，则'y x = ，即'y x = ．二、小试身手、轻松过关1. P24----练习12. P24---练习23. P24----练习3三、基础训练、锋芒初显1. P24----练习42. P24----练习53..函数1ln 1x y x-=+的导数为 .4..函数32()f x ax x=+，若'(1)5f -=，则a =_______________．5.函数()sin(3)6f x x π=-在点6π⎛ ⎝⎭处的切线方程为___________________． 6.设曲线41ln()33y x =-上的点到直线43110x y -+=的距离为d ，则min d = __．5.已知函数()sin()1(0)6f x x πωω=+->导数'()f x 的最大值为3，则ω=________________．6.已知函数()ln()f x ax b x =+-的图像过点(1,0)，在1x =处切线斜率为1，则a = ，b = .四、举一反三、能力拓展1.曲线21x y e-=在点(1,)e 处的切线为l ，则切线l 与两坐标轴所围成的三角形的面积为 .2.设()ln x f x ae b x =+，且1'(1),'(1)f e f e =-=，则a b += .3.若函数()sin x f x e x =，则此函数图像在点(4,(4))f 处的切线的倾斜角为 .4．火车开出车站一段时间内，速度()v m s 与行使时间()t s 之间的关系是20.40.6v t t =+ ⑴求火车的运动的加速度a ；⑵火车开出几秒时加速度为2.8m ∕s?⑶3s 时，火车开过的路程是多少？。

1.2 导数的计算导学案(教师版)

§1.2导数的计算1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)内容要求 1.能根据定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 3.会使用导数公式表.知识点1几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝x f′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝1x f′(x)＝－1x2f(x)＝x f′(x)＝1 2x【预习评价】思考根据上述五个公式，你能总结出函数y＝xα的导数是什么吗？提示y＝xα的导数是y′＝αxα－1.知识点2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin x f′(x)＝cos__xf(x)＝cos x f′(x)＝－sin__xf(x)＝a x f′(x)＝a x ln__a(a>0)f(x)＝e x f′(x)＝e xf(x)＝log a x f′(x)＝1x ln a(a>0，且a≠1)f (x )＝ln xf′(x )＝1x求下列函数的导数：(1)f (x )＝4x 5；(2)g (x )＝cos π4；(3)h (x )＝3x . 解 (1)f (x )＝x 54，∴f ′(x )＝54x 14； (2)g (x )＝cos π4＝22，∴g ′(x )＝0； (3)h ′(x )＝3x ln 3.题型一利用导数定义求函数的导数【例1】利用导数的定义求函数f (x )＝2 019x 2的导数. 解 f ′(x )＝0limx ∆→2 019（x ＋Δx ）2－2 019x 2x ＋Δx －x＝0lim x ∆→2 019[x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2]－2 019x 2Δx＝0lim x ∆→4 038x ·Δx ＋2 019（Δx ）2Δx ＝0lim x ∆→(4 038x ＋2 019Δx )＝4 038x .规律方法解答此类问题，应注意以下几条： (1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤.(2)当Δx 趋于0时，k ·Δx (k ∈R )，(Δx )n (n ∈N *)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用. 【训练1】利用导数的定义求函数y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数. 解 y ′＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）2＋a （x ＋Δx ）＋b －（x 2＋ax ＋b ）Δx＝0lim x ∆→x 2＋2x ·Δx ＋（Δx ）2＋ax ＋a ·Δx ＋b －x 2－ax －bΔx＝0lim x ∆→2x ·Δx ＋a ·Δx ＋（Δx ）2Δx＝0lim x ∆→ (2x ＋a ＋Δx )＝2x ＋a .题型二利用导数公式求函数的导数【例2】求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3； (5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0； (2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5； (3)y ′＝(x －3)′＝－3x －4； (4)y ′＝(4x3)′＝(x 34)′＝34x －14＝344x； (5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.规律方法求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较烦琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 【训练2】求下列函数的导数： (1)y ＝x 13； (2)y ＝4x ； (3)y ＝sin x ； (4)y ＝15x 2.解 (1)y ′＝(x 13)′＝13x 13－1＝13x 12； (2)y ′＝(4x )′＝(x 14)′＝14x 14－1＝14x －34；(3)y ′＝(sin x )′＝cos x ； (4)y ′＝(15x 2)′＝(x －25)′＝－25x －25－1＝－25x －75.方向1 利用导数求曲线的切线方程【例3－1】求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与在这点处的切线垂直的直线方程.解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ，曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率是：y ′|x ＝π6＝cos π6＝32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y －12＝－23(x －π6)，即2x ＋3y －32－π3＝0. 方向2 切线方程的综合应用【例3－2】设P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离. 解如图，设l 是与直线y ＝x 平行，且与曲线y ＝e x 相切的直线，则切点到直线y ＝x 的距离最小.设与直线y ＝x 平行的直线l 与曲线y ＝e x 相切于点P (x 0，y 0). 因为y ′＝e x ，所以e x 0＝1，所以x 0＝0. 代入y ＝e x ，得y 0＝1，所以P (0，1). 所以点P 到直线y ＝x 的最小距离为|0－1|2＝22. 规律方法导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键.【训练3】 (1)求曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32处的切线方程；(2)求曲线y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12处的切线方程.解 (1)∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ，y ′|x =π6＝－sin π6＝－12.∴曲线在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即6x ＋12y －63－π＝0. (2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .∴曲线在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12处的切线的斜率为k ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝32.∴切线方程为y －12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，即33x －6y ＋3π＋3＝0.课堂达标1.已知f (x )＝x 2，则f ′(3)等于( ) A.0B.2xC.6D.9解析 ∵f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6. 答案 C2.函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36B.0C.12xD.32解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36.答案 A3.设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B.[0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴k l ＝cos x ，∴－1≤tan α≤1，又∵α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案 A4.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________. 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2. 答案 12e 25.已知f(x)＝52x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝________.解析因为f′(x)＝5x，g′(x)＝3x2，所以5x－3x2＝－2，解得x1＝－13，x2＝2.答案－13或2课堂小结1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y＝1－2sin2x2的导数.因为y＝1－2sin 2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.基础过关1.函数y＝3x在x＝2处的导数为()A.9B.6C.9ln 3D.6ln 3解析y′＝(3x)′＝3x ln 3，故所求导数为9ln 3.答案 C2.下列结论中，不正确的是()A.若y＝1x3，则y′＝－3x4B.若y＝3x，则y′＝3x3C.若y＝1x2，则y′＝－2x－3D.若f(x)＝3x，则f′(1)＝3 解析由(x n)′＝nx n－1知，选项A，y＝1x3＝x－3，则y′＝－3x－4＝－3x4；选项B ，y ＝3x ＝x 13，则y ′＝13x －23≠3x3；选项C ，y ＝1x 2＝x －2，则y ′＝－2x －3；选项D ，由f (x )＝3x 知f ′(x )＝3， ∴f ′(1)＝3.∴选项A ，C ，D 正确.故选B. 答案 B3.已知f (x )＝cos x ，f ′(x )＝－1，则x 等于( ) A.π2B.－π2C.π2＋2k π，k ∈ZD.－π2＋2k π，k ∈Z解析 ∵f ′(x )＝－sin x ，则sin x ＝1， ∴x ＝π2＋2k π，k ∈Z . 答案 C4. 曲线y ＝x 2＋1x 在点(1，2)处的切线方程为________．解析设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x 2，所以f ′(1)＝2－1＝1，所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)，即y ＝x ＋1. 答案 y ＝x ＋15.若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________. 解析∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a ).令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 答案 646.已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值. 解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1. 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，但sin x ∈[－1，1]，∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z .7．求下列函数的导数：(1)y ＝5x 3；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x 4)；(4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x2. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 能力提升8.函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( ) A.1条 B.2条 C.3条D.不确定解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝ ⎛⎭⎪⎫33，39和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－39处分别有斜率为1的切线.答案 B9.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B.－1e C.－eD.e解析y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，y 0＝e x0，k ＝e x 0，∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e. 答案 D10.曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝________. 解析 ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a ＝1. ∴a ＝1. 答案 111.若y ＝10x ，则y ′|x ＝1＝________. 解析 y ′＝10x ln 10，∴y ′|x ＝1＝10ln 10. 答案 10ln 1012.已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离.解根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728.创新突破13.设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，试求f 2 019(x ). 解 ∵f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，∴f n ＋4(x )＝f n (x )，可知f (x )的周期为4，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝-cos x .。

1.2导数的计算(三课时)学案

选修2-2 第一章导数及其应用 1.2导数的计算学案设计：绵阳市开元中学王小凤老师学生姓名：第一课时：几个常用函数的导数一．学习目标：1．学会应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．二．学习重、难点：五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y 三．学习过程（一）创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？根据导数的定义，求函数()y f x =的导数，就是求出当x ∆趋近于0的时候，yx ∆∆所趋于的那个定值。

（二）获取新知1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c cx x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00limlim 00x x yy∆→∆→∆'=== 0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00limlim 11x x yy∆→∆→∆'=== 1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆所以00limlim (2)2x x yy x x x x∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x=增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011limlim ()x x y y x∆→∆→∆'==-=-∆5．函数y =的导数()()y f x x f x x x∆+∆-==∆∆因为==0limlim x x y y x ∆→∆→∆'===∆所以推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=（三）课堂小结第二课时：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一．学习目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；二．学习重、难点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及其应用三．学习过程（一）获取新知1．基本初等函数的导数公式2．导数运算法则推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）（二）学以致用例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨。

人教版高中数学第一章1.2第3课时复合函数的求导问题

32
x＋1
(2)对，y′＝e2x·(2x)′＝2e2x. (3)错，由 y＝(2x－1)2＝4x2－4x＋1，得 y′＝8x－4. 答案：(1)× (2)√ (3)×
2．函数 y＝sin 2x 的导数为( ) A．y′＝cos 2x B．y′＝2xsin 2x C．y′＝2cos 2x D．y′＝2sin 2x 解析：y′＝(sin 2x)′＝cos 2x·(2x)′＝2cos2x.
二、听思路。

思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答，大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
四、听方法。

在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元
类型 3 导数运算法则的综合应用(误区警示) [典例 3] 求下列函数的导数： (1)y＝(ax＋b)n； (2)y＝a3x·cos (2x＋1)．易错提示：对于复杂的复合函数的求导，往往由于弄
不清复合关系和不会选择恰当的导数公式而致误．
防范措施：对于较为复杂的复合函数的求导，首先要弄清楚是由几个简单的基本初等函数符合而成的．第(2) 小题中的函数是由两个复合函数的乘积构成的函数，求导时，既要考虑复合关系又要考虑求导法则的使用，稍不仔细就会出错．

江苏省铜山县高中数学第一章导数及其应用 1.2 导数的计算(第3课时)教案新人教A版选修2-2

导数的计算（第3课时）一、教学目标：1．掌握两个函数的商的求导法则．2．能正确运用已学过的导数公式和导数四则运算法则，求某些简单函数的导数．3．能运用导数的几何意义与物理意义，解决有关的曲线、直线问题及物体运动问题．二、教学重点：掌握商的求导法则，灵活运用求导的四则运算法则；教学难点：商的求导法则与积的求导法则联系与区别的理解．三、教学用具：投影仪四、教学过程1．复习引入（1）复习两个函数的和（差）的求导法则：v u v u '±='±)(（2）学生练习：求函数x x y sin 2+=的导数．（3）复习两个函数的积的求导法则：.)(v u v u uv '+'='（4）学生练习：求函数x x y sin 2⋅=的导数．（5）问题：如何求函数xx y sin 2=的导数？ 2．新授1．法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．)0( 2≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u v u v u 回顾导数定义：x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim)(00 证明：设.0)(,)()()(≠==x v x v x u x f y 则 )()()()()()()()()()(x v x x v x x v x u x v x x u x v x u x x v x x u y ∆+∆+-∆+=-∆+∆+=∆[][])()()()()()()()(x v x x v x v x x v x u x v x u x x u ⋅∆+-∆+--∆+= ∴)()()()()()()()(x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x y ⋅∆+∆-∆+⋅-⋅∆-∆+=∆∆ 因为)(x v 在点x 处可导，所以)(x v 在点x 处连续．于是当0→∆x 时，).()(x v x x v →∆+ 从而[]20)()()()()(lim x v x v x u x v x u x y x '-'=∆∆→∆．即.2v v u v u v u y '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=' 说明： ①.v u v u ''≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ②类比：v u v u uv '+'=')(， 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ ③.2v v u v u v u '+'≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ④若两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的情况下分母不为0）必可导．若两个函数必不可导，则它们的和、差、积、商不一定可导．例如，设xx x g x x x f 1cos )(1sin )(-=+=、，则)()(x g x f 、在0=x 处均不可导，但它们的和x x x g x f cos sin )()(+=+在0=x 处可导．2．范例①判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正．222sin )cos 1(2cos 1x x x x x x x ++='⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 答案：不正确．应为322cos 2sin cos 1x x x x x x ---='⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 注：.2v v u v u v u '-'≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ②求.sin cos sin 2sin )(sin sin 22222xx x x x x x x x x y -='⋅-'=③求332++=x x y 在点3=x 处的导数．解：.)3(36)3(2)3()3(1222222++--=+⋅+-+⋅='x x x x x x x y .6114424)39(318923-=-=++--='=x y ④求x y tan =的导数．解：x x x x x x x x y x x x y 22cos 1cos )(cos sin cos )(sin cos sin ,cos sin tan ='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛='∴== ∴.sec 2x y ='变式练习：求x y cot =的导数．（答案：.csc 2x y -='） ⑤求xx y 2sin sin 12+=的导数．解：将函数变形为：.cot 21tan cos sin 2sin cos sin 2sin sin 12222x x x x x x x x x y +=++=+= ∴.csc 21sec )(cot 21)(tan 22x x x x y -='+'=' ⑥求xx x x x y 9532-+-=的导数．解：2123953--+-=xx x y ∴23212123)21(901233)(95)(3---⋅-+-⋅='-'+'-'⋅='x x x x x y .1)11(292-+=xx 注：有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．3．应用 ①求曲线122+=x x y 在点（1，1）处的切线方程．回顾导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率．解：2222222)1(22)1(22)1(2,12+-=+⋅-+='∴+=x x x x x x y x x y .04221=-='=x y 即曲线在点（1，1）处的切线斜率.0=k 因此曲线122+=x x y 在点（1，1）处的切线方程为.1=y ②曲线运动方程为2221t t t s +-=，求3=t 时的速度．回顾导数的物理意义：瞬时速度是位移函数)(t s 对时间t 的导数：).()(x s x v '=解：运动物体在3=t 时的速度即是函数)(t s 在3=t 时的导数．.21121212222222t tt t t t t t t t s +-=+-=+-= ∴.2726111227291 .4121332=++-='+⋅+-='=t s t t t s即运动物体在3=t 时的速度为.272611（三）小结（纳入知识体系）1．综合上节与本节可知：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．曲线的切线问题及物体的运运速度问题均均可借助于导数的几何意义及物理意义转化为简单函数的求导问题得到解决．（四）练习五、布置作业。

江苏省铜山县高中数学第一章导数及其应用 1.2 导数的计算(第3课时)教案新人教A版选修22

导数的计算（第3课时）一、教学目标：1．掌握两个函数的商的求导法则．2．能正确运用已学过的导数公式和导数四则运算法则，求某些简单函数的导数．3．能运用导数的几何意义与物理意义，解决有关的曲线、直线问题及物体运动问题．二、教学重点：掌握商的求导法则，灵活运用求导的四则运算法则；教学难点：商的求导法则与积的求导法则联系与区别的理解．三、教学用具：投影仪四、教学过程1．复习引入（1）复习两个函数的和（差）的求导法则：v u v u '±='±)(（2）学生练习：求函数x x y sin 2+=的导数．（3）复习两个函数的积的求导法则： .)(v u v u uv '+'='（4）学生练习：求函数x x y sin 2⋅=的导数．（5）问题：如何求函数xx y sin 2=的导数？ 2．新授1．法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．)0( 2≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u v u v u 回顾导数定义：x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim)(00 证明：设.0)(,)()()(≠==x v x v x u x f y 则 )()()()()()()()()()(x v x x v x x v x u x v x x u x v x u x x v x x u y ∆+∆+-∆+=-∆+∆+=∆[][])()()()()()()()(x v x x v x v x x v x u x v x u x x u ⋅∆+-∆+--∆+= ∴)()()()()()()()(x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x y ⋅∆+∆-∆+⋅-⋅∆-∆+=∆∆ 因为)(x v 在点x 处可导，所以)(x v 在点x 处连续．于是当0→∆x 时，).()(x v x x v →∆+ 从而[]20)()()()()(lim x v x v x u x v x u x y x '-'=∆∆→∆．即.2v v u v u v u y '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=' 说明： ①.v u v u ''≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ②类比：v u v u uv '+'=')(， 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ ③.2v v u v u v u '+'≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ④若两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的情况下分母不为0）必可导．若两个函数必不可导，则它们的和、差、积、商不一定可导．例如，设xx x g x x x f 1cos )(1sin )(-=+=、，则)()(x g x f 、在0=x 处均不可导，但它们的和x x x g x f cos sin )()(+=+在0=x 处可导．2．范例①判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正．222sin )cos 1(2cos 1x x x x x x x ++='⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 答案：不正确．应为322cos 2sin cos 1x x x x x x ---='⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 注：.2v v u v u v u '-'≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ②求.sin cos sin 2sin )(sin sin 22222xx x x x x x x x x y -='⋅-'=③求332++=x x y 在点3=x 处的导数．解：.)3(36)3(2)3()3(1222222++--=+⋅+-+⋅='x x x x x x x y .6114424)39(318923-=-=++--='=x y ④求x y tan =的导数．解：x x x x x x x x y x x x y 22cos 1cos )(cos sin cos )(sin cos sin ,cos sin tan ='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛='∴== ∴.sec 2x y ='变式练习：求x y cot =的导数．（答案：.csc 2x y -='） ⑤求xx y 2sin sin 12+=的导数．解：将函数变形为：.cot 21tan cos sin 2sin cos sin 2sin sin 12222x x x x x x x x x y +=++=+= ∴.csc 21sec )(cot 21)(tan 22x x x x y -='+'=' ⑥求xx x x x y 9532-+-=的导数．解：2123953--+-=xx x y ∴23212123)21(901233)(95)(3---⋅-+-⋅='-'+'-'⋅='x x x x x y .1)11(292-+=xx 注：有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．3．应用 ①求曲线122+=x x y 在点（1，1）处的切线方程．回顾导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率．解：2222222)1(22)1(22)1(2,12+-=+⋅-+='∴+=x x x x x x y x x y .04221=-='=x y 即曲线在点（1，1）处的切线斜率.0=k 因此曲线122+=x x y 在点（1，1）处的切线方程为.1=y ②曲线运动方程为2221t t t s +-=，求3=t 时的速度．回顾导数的物理意义：瞬时速度是位移函数)(t s 对时间t 的导数：).()(x s x v '=解：运动物体在3=t 时的速度即是函数)(t s 在3=t 时的导数．.21121212222222t tt t t t t t t t s +-=+-=+-= ∴.2726111227291 .4121332=++-='+⋅+-='=t s t t t s 即运动物体在3=t 时的速度为.272611（三）小结（纳入知识体系） 1．综合上节与本节可知：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．曲线的切线问题及物体的运运速度问题均均可借助于导数的几何意义及物理意义转化为简单函数的求导问题得到解决．（四）练习五、布置作业。

江苏省铜山县高中数学第一章导数及其应用 1.2 导数

导数的计算（第3课时）一、教学目标：1．掌握两个函数的商的求导法则．2．能正确运用已学过的导数公式和导数四则运算法则，求某些简单函数的导数．3．能运用导数的几何意义与物理意义，解决有关的曲线、直线问题及物体运动问题．二、教学重点：掌握商的求导法则，灵活运用求导的四则运算法则；教学难点：商的求导法则与积的求导法则联系与区别的理解．三、教学用具：投影仪四、教学过程1．复习引入（1）复习两个函数的和（差）的求导法则：v u v u '±='±)(（2）学生练习：求函数x x y sin 2+=的导数．（3）复习两个函数的积的求导法则： .)(v u v u uv '+'='（4）学生练习：求函数x x y sin 2⋅=的导数．（5）问题：如何求函数xx y sin 2=的导数？ 2．新授1．法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．)0( 2≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u v u v u 回顾导数定义：x x f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim)(00 证明：设.0)(,)()()(≠==x v x v x u x f y 则 )()()()()()()()()()(x v x x v x x v x u x v x x u x v x u x x v x x u y ∆+∆+-∆+=-∆+∆+=∆[][])()()()()()()()(x v x x v x v x x v x u x v x u x x u ⋅∆+-∆+--∆+= ∴)()()()()()()()(x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x y ⋅∆+∆-∆+⋅-⋅∆-∆+=∆∆ 因为)(x v 在点x 处可导，所以)(x v 在点x 处连续．于是当0→∆x 时，).()(x v x x v →∆+ 从而[]20)()()()()(lim x v x v x u x v x u x y x '-'=∆∆→∆．即.2v v u v u v u y '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=' 说明： ①.v u v u ''≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ②类比：v u v u uv '+'=')(， 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ ③.2v v u v u v u '+'≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ④若两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的情况下分母不为0）必可导．若两个函数必不可导，则它们的和、差、积、商不一定可导．例如，设xx x g x x x f 1cos )(1sin )(-=+=、，则)()(x g x f 、在0=x 处均不可导，但它们的和x x x g x f cos sin )()(+=+在0=x 处可导．2．范例①判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正．222sin )cos 1(2cos 1x x x x x x x ++='⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 答案：不正确．应为322cos 2sin cos 1x x x x x x ---='⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 注：.2v v u v u v u '-'≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ②求.sin cos sin 2sin )(sin sin 22222xx x x x x x x x x y -='⋅-'=③求332++=x x y 在点3=x 处的导数．解：.)3(36)3(2)3()3(1222222++--=+⋅+-+⋅='x x x x x x x y .6114424)39(318923-=-=++--='=x y ④求x y tan =的导数．解：x x x x x x x x y x x x y 22cos 1cos )(cos sin cos )(sin cos sin ,cos sin tan ='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛='∴== ∴.sec 2x y ='变式练习：求x y cot =的导数．（答案：.csc 2x y -='） ⑤求xx y 2sin sin 12+=的导数．解：将函数变形为：.cot 21tan cos sin 2sin cos sin 2sin sin 12222x x x x x x x x x y +=++=+= ∴.csc 21sec )(cot 21)(tan 22x x x x y -='+'=' ⑥求xx x x x y 9532-+-=的导数．解：2123953--+-=xx x y ∴23212123)21(901233)(95)(3---⋅-+-⋅='-'+'-'⋅='x x x x x y .1)11(292-+=xx 注：有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．3．应用 ①求曲线122+=x x y 在点（1，1）处的切线方程．回顾导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率．解：2222222)1(22)1(22)1(2,12+-=+⋅-+='∴+=x x x x x x y x x y .04221=-='=x y 即曲线在点（1，1）处的切线斜率.0=k 因此曲线122+=x x y 在点（1，1）处的切线方程为.1=y ②曲线运动方程为2221t t t s +-=，求3=t 时的速度．回顾导数的物理意义：瞬时速度是位移函数)(t s 对时间t 的导数：).()(x s x v '=解：运动物体在3=t 时的速度即是函数)(t s 在3=t 时的导数．.21121212222222t tt t t t t t t t s +-=+-=+-= ∴.2726111227291 .4121332=++-='+⋅+-='=t s t t t s 即运动物体在3=t 时的速度为.272611（三）小结（纳入知识体系） 1．综合上节与本节可知：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．曲线的切线问题及物体的运运速度问题均均可借助于导数的几何意义及物理意义转化为简单函数的求导问题得到解决．（四）练习五、布置作业。

高中数学第一章导数及其应用1.2导数的运算1.2.3简单复合函数的导数教学案2数学教学案

1.2.3 简单复合函数的导数[对应学生用书P11]已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，g (x )＝(3x ＋2)2.问题1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数．问题2：试说明g (x )＝(3x ＋2)2是如何复合的？提示：函数g (x )＝(3x ＋2)2是由 g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2复合而成的．问题3：试求g (x )＝(3x ＋2)2，g (u )＝u 2，u ＝3x ＋2的导数．提示：g ′(x )＝[(3x ＋2)2]′＝[9x 2＋12x ＋4]′＝18x ＋12.g ′(u )＝2u ，u ′＝3.问题4：观察问题3中导数有何关系？提示：g ′(x )＝g ′(u )·u ′.若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a . 1．求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量．2．利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单．3．判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x 的基本函数或关于自变量x 的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．[对应学生用书P11]复合函数的求导[例1] 求下列函数的导数． (1)y ＝12x ＋33；(2)y ＝e－0.05x ＋1；(3)y ＝cos(ωx ＋φ)(其中ω、φ为常数)； (4)y ＝log 2(5－3x )．[思路点拨] 先分清函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解．[精解详析] (1)y ＝12x ＋33＝(2x ＋3)－32是函数y ＝u －32，u ＝2x ＋3的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(u －32)′·(2x ＋3)′＝－32u －52·2＝－3u －52＝－3(2x ＋3)－52.(2)y ＝e－0.05x ＋1是函数y ＝e u，u ＝－0.05x ＋1的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u)′·(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u＝－0.05e－0.05x ＋1.(3)y ＝cos(ωx ＋φ)是y ＝cos u ，u ＝ωx ＋φ的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(cos u )′·(ωx ＋φ)′ ＝－sin u ·ω＝－ωsin(ωx ＋φ)．(4)y ＝log 2(5－3x )是y ＝log 2u ，u ＝5－3x 的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(log 2u )′·(5－3x )′＝－3·1u ln 2＝－35－3x ln 2＝33x －5ln 2.[一点通] 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．1．若函数f (x )＝ln 1x，则f ′(x )＝________.解析：f (x )＝ln 1x 是f (u )＝ln u 与u ＝1x的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1u·⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝－1x.答案：－1x2．函数y ＝sin 3x ＋sin x 3的导数为________．解析：y ′＝(sin 3x ＋sin x 3)′＝(sin 3x )′＋(sin x 3)′ ＝3sin 2x cos x ＋cos x 3·3x 2＝3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 3.答案：3sin 2x cos x ＋3x 2·cos x 33．求下列函数的导数：(1)y ＝e2x 2＋3x ；(2)y ＝11－3x4.解：(1)y ＝e u ，u ＝2x 2＋3x ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝e u ·(2x 2＋3x )′ ＝e u ·(4x ＋3)＝(4x ＋3)e2x 2＋3x . (2)∵y ＝11－3x4＝(1－3x )－4，∴可设y ＝u －4，u ＝1－3x ， ∵y ′u ＝－4u －5，u ′x ＝－3，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－4u －5×(－3)＝12(1－3x )－5.求导法则的综合应用[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝31－xsin(2x －1)；(2)y ＝ln 2x －12x －1.[思路点拨] 根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解．[精解详析] (1)y ′＝(31－x)′sin(2x －1)＋31－x·[sin(2x －1)]′＝－31－xln 3·sin(2x －1)＋31－x·2cos(2x －1)＝31－x[2cos(2x －1)－sin(2x －1)·ln 3]．(2)y′＝[ln2x－1]′·2x －1－ln2x－1·2x－1′r(2x－12)＝22x－12x－1－ln2x－1·122x－1－12·22x－1＝22x－1－ln2x－12x－12x－1＝2－ln2x－12x－1·2x－1.[一点通] (1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构．(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的．4．若函数f(x)＝x cos 2x，则f′(x)＝________.解析：f′(x)＝x′cos 2x＋x(cos 2x)′＝cos 2x－2x sin 2x.答案：cos 2x－2x sin 2x5．求下列函数的导数：(1)y＝2x－1x；(2)y＝12sin2(1－x)．解：(1)y ′＝2x －1′x －2x －1·x ′x 2＝x2x －1－2x －1x 2＝1－x x 22x －1. (2)∵y ＝12sin 2(1－x )＝14[1－cos(2－2x )]＝14－14cos(2－2x )＝14－14cos(2x －2)． ∴y ′＝12sin(2x －2)．复合函数导数的应用[例3] 已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值．[思路点拨]求函数f x的导数→求f ′1得切线l 的斜率→写出直线l 的点斜式方程→由l 与圆C 相切列方程→解方程求a .[精解详析] ∵f ′(x )＝a (x 2)′＋2·12－x·(2－x )′＝2ax －22－x，∴f ′(1)＝2a －2，又f (1)＝a ＋2ln 1＝a ， ∴切线l 的方程为y －a ＝2(a －1)(x －1)，即2(a －1)x －y －a ＋2＝0.∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为12，所以有|2－a |4a －12＋1＝12，解得a ＝118. ∴a 的值为118.[一点通] 有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在实际应用中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．6．函数y ＝cos 2x在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线方程是________．解析：∵y ′＝－2sin 2x ，∴k ＝－2sin π2＝－2.∴切线方程为y －0＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，即2x ＋y －π2＝0.答案：2x ＋y －π2＝07．求y ＝ln(2x ＋3)的导数，并求在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，ln 2处切线的倾斜角．解：令y ＝ln u ，u ＝2x ＋3，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ·2＝22x ＋3.当x ＝－12时，y ′＝23－1＝1，即在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，ln 2处切线的倾斜角的正切值为1，所以倾斜角为π4.8．设曲线y ＝e －x(x ≥0)在点M (t ，e －t)处的切线l 与x 轴，y 轴围成的三角形面积为S (t )．(1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的解析式．解：∵y ＝e －x，∴y ′＝(e －x)′＝－e －x， ∴y ′|x ＝t ＝－e －t.故切线方程为y －e －t＝－e －t(x －t )，即x ＋e ty －(t ＋1)＝0. (2)令y ＝0得x ＝t ＋1. 令x ＝0得y ＝e －t(t ＋1)． ∴S (t )＝12(t ＋1)·e －t(t ＋1)＝12(t＋1)2e－t(t≥0)．求复合函数导数的技巧及注意点(1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数．(2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由表及里逐层求异．(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，树立多角度、换方位思考问题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．[对应课时跟踪训练(五)]一、填空题1．设函数f(x)＝sin(4x－2)，则f′(x)＝________.解析：∵f(x)＝sin(4x－2)，∴f′(x)＝[sin(4x－2)]′＝4cos(4x－2)．答案：4cos(4x－2)2．(全国大纲卷改编)曲线y＝x e x－1在点(1,1)处切线的斜率等于________．解析：y′＝e x－1＋x e x－1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y′|x＝1＝2.答案：23．设曲线y ＝f (x )＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.解析：∵切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直， ∴切线的斜率k ＝2.又∵f ′(x )＝(e ax)′＝a e ax， ∴k ＝f ′(0)＝a ＝2. 答案：24．函数y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的导数为________．解析：∵y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x 2sin(4x ＋π)＝－x 2sin 4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2′sin 4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2·(sin 4x )′＝－12sin 4x －2x cos 4x .答案：－12sin 4x －2x cos 4x5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．解析：设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，且y 0＝ln(x 0＋a )，所以x 0＋1＝ln(x 0＋a )① 对y ＝ln(x ＋a )求导得y ′＝1x ＋a，则1x 0＋a＝1，x 0＋a ＝1，② 由①②可得x 0＝－1，所以a ＝2.答案：2二、解答题6．求下列函数的导数．(1)y ＝5log 2(2x ＋1)；(2)y ＝cos(53π－7x )； (3)y ＝(2x －1)5.解：(1)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1.则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u ln 2×2＝10u ln 2＝102x ＋1ln 2. (2)设y ＝cos u ，u ＝53π－7x . 则y ′＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ×(－7)＝7sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－7x . (3)设y ＝u 5，u ＝2x －1，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝5u 4×2＝10u 4＝10(2x －1)4.7．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2.求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．解：f ′(x )＝11＋x－1＋2x . 由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.8．已知A (1，f ′(x ))是函数y ＝f (x )的导函数图象上的一点，点B 的坐标为(x ，ln(2－x ))，向量a ＝(1,1)，设f (x )＝AB ―→·a ，试求函数y ＝f (x )的表达式．解：∵AB ―→＝(x ，ln(2－x ))－(1，f ′(1))＝(x －1，ln(2－x )－f ′(1))，a ＝(1,1)，∴f (x )＝AB ―→·a ＝x －1＋ln(2－x )－f ′(1)＝ln(2－x )＋x －f ′(1)－1∴f ′(x )＝12－x ·(2－x )′＋1＝1x －2＋1， ∴f ′(1)＝0，∴f (x )＝ln(2－x )＋x －1.。

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1.2导数的计算
【课题】：1.2.3导数的运算法则
【教学目标】：
（1）知识与技能：掌握一个函数的和、差、积、商的求导法则并能求某些简单函数的导数；通过实例，理解复合函数的求导法则。

（2）过程与方法：利用学生已掌握的导数的定义，得出一个简单的两个函数的和的导数，从而提出问题，引入新课，通过学生的猜想，尝试探究出函数的和、差、积、商的求导法则，使学生加深对求导法则的理解.
（3）情感、态度与价值观：通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，，提高学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，培养探索精神. 【教学重点】：掌握函数的和、差、积、商的求导法则以及复合函数的求导法则. 【教学难点】：学生对积和商的求导法则的理解和运用以及复合函数的求导法则. 【课前准备】：课件这种商品的价格上涨的速度大约是多少？根据上一节课的内容，我们知道，求在第)()]g x f ='')()]f x g =
u.
x
．求下列函数的导数：
；（2）y
练习与测试： A ．基础题
1．函数2
(1)y x x =+的导数是（）
(A)2
1x + (B)2
3x (C)2
31x + (D)2
3x x + 答案：C
2．函数1()2
x x
y e e -=+的导数是（） (A)1()2x x e e -- (B)1()2
x x e e -+ (C)x x e e -- (D)x x e e -+
答案：A
3．若2
'
()(2),(2)20,f x x a f a =+==且则 . 答案：1
4．某汽车启动阶段的路程函数为3
2
()2(1)10s t t t =+-，则汽车在1t =秒时的瞬时速度为 . 答案：4
5．求下列函数的导数：
（1）3
cos y x x =- (2)(
)()2325y x x =+- (3)sin x
y x
= (4)()8
57y x =-
答案：(1)'
2
3sin y x x =+ (2) '
2
9302y x x =-+ (3) '
2
cos sin x x x
y x -=
(4) '7
40(57)y x =-
B ．难题
1．已知曲线4
3
2
:3294C y x x x =--+ （1）求曲线C 在点()1,4-的切线方程；
（2）对于（1）中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，说明理由.
2．在曲线3
y x x =-上有两个点(0,0),(2,6)O A ，求狐OA 上点I 的坐标，使AOI 的面积
最大.。

1.2导数的计算第3课时 精品教案

人教版高中数学优质教案3：3.1.2导数的概念 教学设计