推荐-数学建模-最小二乘法 精品

最 小 二 乘 法

设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n , y n )是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1

我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出这组数据的变化。 对个别观察值来说，它可能是正的，也可能是负的。为了不使它们相加彼此抵消，故"最好"应该是

Mathematical Modeling 最 小 二 乘 法

设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n , y n )是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1

我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出这组数据的变化。 对个别观察值来说，它可能是正的，也可能是负的。为了不使它们相加彼此抵消，故"最好"应该是

Mathematical Modeling

.

a bx y )x ( - x n ]

y x - y x n ]x )x (n 1

2[-]y x n 1-y x 2[b ,, b Q )y (n 1- ]y x n 1-y x [ 2b - ]x )x (n 1[-b Q ,

(1) a .y ,Q , n

x y

, a Q , )

1( )y x 2b -x

(b

)a x b -y 2( -na x 2ab y x 2b - y 2a - na

)]

([)]([)]([)]([y Q .

)]([y 2

n

1

i i n 1i 2i n

1

i i n 1i i n 1i i i n 1i 2i 2n 1i i n 1i i n

1i i n

1i i i 2

n 1i i n

1i i n 1i i n 1

i i i n 1i 2

i 2n 1i i 2

n

1

i i

n

1

i i

n

1

i i i n

1

i 2

i

2

n

1

i i n

1

i i 2

n

1

i 2

i

2

n

1

i i n

1

i i i n

1

i i

22

2

22n

1

i 2

112

i n

1i 2

i 称为线性回归方程只有要求它的最小值的二次函数看作可将式得代入将的算数平均数的观察值与分别表示和其中才可能最小时当的二次函数即是看成参数将令最小+==+=+=-=-=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=++=+-+⋅⋅⋅++-++-=+-=+-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============================x y x x b y b a b x

b

a bx y a bx y a bx y a bx a bx n n i i .

a bx y )x ( - x n ]

y x - y x n ]x )x (n 1

2[-]y x n 1-y x 2[b ,, b Q )y (n 1- ]y x n 1-y x [ 2b - ]x )x (n 1[-b Q ,

(1) a .y ,Q , n

x y

,

a Q , )

1( )y x 2b -x

(b

)a x b -y 2( -na x 2ab y x 2b - y 2a - na

)]([)]([)]([)]([y Q .

)]([y 2

n

1

i i n 1i 2i n

1

i i n 1i i n 1i i i n 1i 2i 2n 1i i n 1i i n

1i i n

1i i i 2

n 1i i n

1i i n 1i i n 1

i i i n 1i 2

i 2n 1i i 2

n

1

i i

n

1

i i

n

1

i i i n

1

i 2

i

2

n

1

i i n

1

i i 2

n

1

i 2

i

2

n

1

i i n 1

i i i n 1

i i

22

222n

1

i 2112i n

1

i 2i 称为线性回归方程只有

要求它的最小值的二次函数看作可将式得代入将的算数平均数的观察值

与分别表示和其中才可能最小时当的二次函数即是看成参数将令最小+==+=+=-=-=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=++=+-+⋅⋅⋅++-++-=+-=+-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============================x y x x b y b a b x

b

a bx y a bx y a bx y a bx a bx n n i i