线面面面位置关系

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十三点、线、面的位置关系及判定与性质(逻辑推理)

点、线、面之间的位置关系及判定与性质（逻辑推理）一、空间的点、直线、平面之间的位置关系1 平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.（三个推论）推理1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面。

推理2：两条相交直线确定一个平面。

推理3：两条平行直线确定一个平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么有且只有一条通过这个点的公共直线.2 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

3 异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线。

（2）性质：两条异面直线既不相交也不平行。

（3）判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。

（4）异面直线所成的角：例1有下列命题：①若ABC ∆在平面α外，它的三条边所在的直线分别与α交于P 、Q 、R 三点，则P 、Q 、R 三点共线；②若三条直线a 、b 、c 互相平行且分别交直线l 与A 、B 、C 三点，则这四条直线共面；③空间的五个点最多确定10个平面。

其中正确的命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3例2 给出下列命题：①若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么c 至多与a 、b 中的一条相交；②若直线a 与b 异面，直线b 与c 异面，则直线a 与c 异面；③一定存在平面α同时和异面直线a 、b 都平行。

其中正确的命题为（）A. ①B. ②C. ③D. ① ③例3 在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 的中点。

（1）求证：AC ⊥平面BDD 1;(2)求BD 1与CE 所成角的余弦值。

例4 如图所示，E 、F 在AD 上，G 、H 在BC 上，图中8条线段所在的直线，互为异面直线的有对。

建筑制图第5章

例7：求四棱锥与正垂面的截交线。：求四棱锥与正垂面的截交线。
s
Qv
1' 4' 2' 3'
解：由图知：棱锥有由图知：四条一般棱线与正垂面相交。垂面相交。则四交点的V投影则四交点的投影已知。已知。 1）在V投影中标出）投影中标出四个交点；四个交点；
线面、第五章线面、面面位置关系
线面、第五章线面、面面位置关系
c a a c
bd h
g
f i e a
c
b e d
f
e a h i bd g f (a)
e c (b)
b
d f
a) AC//GH,CB//GI，， b) BC//DE,BA//DF
线面、第五章线面、面面位置关系
作一平面，［例2］过点K作一平面，是其与平面平行。 ABC平行。
b
d a
m'
c e
a e b d
m
c
线面、第五章线面、面面位置关系
判别可见性
投影知：由V投影知：投影知 d'm'段在平面段在平面上方，上方，故H投投影上dm可见可见。影上可见。
d b
m' 1' a 2'
c e
a e 1(2)
或通过重影通过重影判别。点判别。
b d
m
c
线面、第五章线面、面面位置关系
e d
a′b′⊥ ′n′， ′ ′⊥ ′ ′⊥c′
a a
c
m
即为所求。则AB即为所求。即为所求
c
n
e
b
线面、第五章线面、面面位置关系

空间点、线、面的位置关系

【证明】 (1)如图所示，连接B1D1.
因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1 中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即 D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体AC1中，设A1，C，C1三点确定的平面为α，平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
2．异面直线的判定方法 (1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到． (2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
思考题2 (1)【多选题】如图所示，是正方体的平面展开图，
间直角坐标系，则A(a，0，0)，C1(0，a， 3 a)，C(0，a，0)，
D1(0，0， 3a)， A→C1＝(－a，a， 3a)，C→D1＝(0，－a， 3a)，设异面直线AC1与CD1所成角为θ，则cosθ＝|AA→→CC11|··C|C→→DD11|＝ 52a·a2 2a＝ 55.
∴异面直线AC1与CD1所成角的余弦值为
思考题1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， E，F分别是AB和AA1的中点，求证：
(1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点．
【证明】 (1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1. ∴E，C，D1，F四点共面．
在这个正方体中，有以下四个命题，正确的结论是( CD ) A．BM与ED平行 B．CN与BE是异面直线 C．CN与BM成60°角 D．DM与BN垂直

立体几何常考定理的总结(八大定理)

lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行．符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点：找第三个平面与已知平面都相．．．．．．．．．．．．．．．．．交，则交线平行．．．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．nmAαaBA l βαaβα五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面. 符号语言：,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：．．．．在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。

位置关系

2 1 1 V= ×S×A1O= ×a × 2 3 3 2
a=
2 6
a ,由
3
2 6
a =36
3
2
得 a=6.
例6（2012江西卷）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且 DE ⊥ AB ， CF ⊥ AB ， AB=12 ， AD=5 ， BC=4 ， DE=4. 现将 △ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG. （1）求证：平面DEG⊥平面CFG；（2）求多面体CDEFG的体积.
热点二
求值问题
例3（2016·湖南联考)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1
与侧面CBB1C1都是菱形,∠ACC1=∠CC1B1=60°,AC=2.
①求证:AB1⊥CC1;
②若 AB1= 6 ,求四棱锥 A-BB1C1C 的体积.
(1)①证明:连接AC1,CB1, 则△ACC1和△B1CC1都为正三角形. 取CC1的中点O,连接OA,OB1, 则CC1⊥OA,CC1⊥OB1, 则CC1⊥平面OAB1, 则AB1⊥CC1.
空间的平行关系 (1)线面平行： a∥b α∥β ⇒a∥α； b⊂α⇒a∥α； a ⊂β a⊄α α⊥β a⊥β⇒a∥α； a⊄α
α∥β ⇒α∥γ； γ∥β
(2)面面平行：
a⊂α，b⊂α a∩b＝O a⊥α ⇒α∥β； ⇒α∥β； a∥β a ⊥β b∥β
证明:(2)如图(2),设FC的中点为I,连接GI,HI. 在△CEF中,因为G是CE的中点. 所以GI∥EF, 又EF∥DB, 所以GI∥DB. 在△CFB中,因为H是FB的中点, 所以HI∥BC. 又HI∩GI=I, 所以平面GHI∥平面ABC, 因为GH⊂平面GHI. 所以GH∥平面ABC.

中职线线、线面、面面关系归纳总结

第二章点、直线、平面之间的位置关系一、知识点归纳二、规律方法总结(1)证点共线：常证明点在两个平面的交线上．(2)证点线共面：常先据公理二及其推论确定一个平面，再证其它元素都在这个平面内．(3)证线线平行：常用公理4、线面平行的性质、面面平行的性质、两直线与同一平面垂直．(4)证线面平行：常用线面平行的判定定理，线面平行的定义．(5)证面面平行：常用判定定理、定义、推论或证两平面和同一条直线垂直，有时也用两平面与同一平面平行．(6)证线线垂直：常用两直线所成的角是直角、线面垂直的性质、面面垂直的性质． (7)证线面垂直：常用判定定理、定义． (8)证面面垂直：常用判定定理、定义．(9)求二面角、直线与直线所成角：常先作出角然后组成三角形，并通过解三角形求角．线线角、线面角、面面角专题一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。

2.角的取值范围：090θ<≤︒；垂直时，异面直线当b a ,900=θ。

例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值二、直线与平面所成的角1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：︒︒≤≤900θ。

例2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。

BMHSCA一、二面角：1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

线线-线面-面面垂直关系

已知平面α和β相互垂直，直线l在平面α内，且与β相交于点A。过点A作直线m与α平行。求证：m与β垂直。
由于l在α内且与β相交于点A，根据面面垂直的性质定理我们可以得出l与β垂直。又因为 m过点A且与α平行，根据平行线的性质我们可以得出m与 l平行。因此m也与β垂直。
05 综合应用与拓展延伸
空间中垂直关系综合应用
01
利用线面垂直判定定理证明线面垂直
通过证明一条直线与平面内两条相交直线都垂直，可以判定该直线与平
面垂直。
02
利用面面垂直性质定理证明线面垂直
如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个
平面垂直。
03
利用线面垂直性质定理证明面面垂直
如果一条直线同时垂直于两个平行平面，那么这两个平面互相垂直。
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典型例题解析
例题1
解析
已知直线l1的方程为Ax+By+C1=0，直线l2 的方程为Ax+By+C2=0，且C1≠C2，求证： l1⊥l2。
由于l1和l2的A、B系数相同，因此它们的法向量相同，根据直线间垂直的条件，可知 l1⊥l2。
例题2
解析
在三角形ABC中，已知AB⊥AC，AD是BC边上的高，求证：AD^2=BD×CD。
如果两个平面相互垂直，那么它们的法线也相互解析
已知平面α和β相互垂直，直线a在平面α内，直线b在平面 β内，且a与β不垂直，b与α 不垂直。求证：a与b不平行。
假设a与b平行，由于a在α内， b在β内，且α与β相互垂直，根据面面垂直的性质定理，我们可以得出a与β也相互垂直。这与题目中给出的a与β 不垂直相矛盾，因此假设不成立，所以a与b不平行。

高中数学点、直线、平面之间的位置关系

点、直线、平面之间的位置关系知识回顾1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．空间两条直线的位置关系（1）空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行、异面．（2）异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．（3）异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．3. 线面、面面的位置关系1．一条直线a和一个平面α有且仅有a⊂α，a∩α＝A或a∥α三种位置关系．(用符号语言表示)2．两平面α与β有且仅有α∥β或α∩β＝l两种位置关系(用符号语言表示)．题型讲解题型一概念例1、下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 M，宽是20 M；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案：A例2、若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈β B．M∈b⊂βC．M⊂b⊂β D．M⊂b∈β答案：B例3、如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线．解析：如图所示，在平面ADD1A1内延长D1F与DA，交于一点P，则P∈平面BED1F，∵DA⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD，∴P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点，又B是两平面的一个公共点，∴PB为两平面的交线.例4、空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A．空间四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形答案：B题型二异面直线例5、已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．答案：(1)60°(2)45°解析连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．易知∠C′BC＝45°．例6、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．答案：①③解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．题型三线面关系例7、已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是()A．相交 B．平行C．异面 D．平行或异面答案：D例8、三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有()A ．1条B ．2条C ．3条D ．1条或2条答案：D例9、平面α∥β，且a ⊂α，下列四个结论： ①a 和β内的所有直线平行； ②a 和β内的无数条直线平行； ③a 和β内的任何直线都不平行； ④a 和β无公共点．其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C跟踪训练1. 文字语言叙述“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是( )A ．⎭⎪⎬⎪⎫A ⊂αA ⊂a ⇒A ⊂α B ．⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αA ∈a ⇒A ∈α C ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ⊂a ⇒A ∈α D ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ∈a ⇒A ⊂α 答案：B2. 若直线a 、b 与直线l 相交且所成的角相等，则a 、b 的位置关系是( ) A ．异面 B ．平行C ．相交D ．三种关系都有可能答案：D3．如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD)B ．MN ≤12(AC ＋BD)C ．MN ＝12(AC ＋BD)D ．MN<12(AC ＋BD)答案：D4．正方体AC 1中，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1和AA 1DD 1的中心，则EF 和CD 所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90° 答案：B5．已知a 是一条直线，过a 作平面β，使β∥平面α，这样的β( ) A ．只能作一个 B ．至少有一个 C ．不存在 D ．至多有一个答案：D6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面BA 1C 1和平面ACD 1的交线与棱CC 1的位置关系是________，截面BA 1C 1和直线AC 的位置关系是________．答案：平行平行解析：如图所示，。

直线与平面、平面与平面之间的位置关系

【答案】 C

2．直线 a 在平面 γ 外，则( A．a∥γ B．a 与 γ 至少有一个公共点 C．a∩γ＝A D．a 与 γ 至多有一个公共点
【答案】 D
)
(
3．直线 a∥直线 b，b⊂平面 α，则 a 与 α 的位置关系是 ) A．a∥α B．a⊂α C．a∥α 或 a⊂α D．a∥α 或 a⊂α 或 a 与 α 相交
思考讨论分别指出下列各图中直线与平面的关系，并总结它们的特点，用符号表示出来．
提示：(1)直线在平面内——有无数个公共点，符号表示为：a⊂α； (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点，符号表示为：a∩α＝A； (3)直线与平面平行——没有公共点，符号表示为：a∥α.
课前预习 1.直线与平面平行是指( ) A．直线与平面内的无数条直线都无公共点 B．直线上两点到平面的距离相等 C．直线与平面无公共点 D．直线不在平面内
【分析】由题目可获取以下主要信息：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．解答本题要考虑线线、线面、面面位置关系的特征与定义，结合空间想象能力作出判断．
【解析】由公理 4 知①正确；由直线与平面平行的位置关系知⑤正确．从而选 A.其中②是错误的，因为平行于同一平面的两条直线可能平行、可能相交，也可能异面．③是错误的，因为当 a∥c，c∥α 时，可能 a∥α，也可能 a⊂α.对于④，α，β 可能平行，也可能相交．【答案】 A
公共点情况符号语言 ②有无数个 ③a⊂α 公共点 ⑤有且只有 ⑥a∩α＝一个公共点 A ⑧没有公共 ⑨a∥α 点
2.直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 3．平面与平面的位置关系位置图形语言公共点情况符号语言关系两平 ②无数个，面相 ① 构成一条直 ③α∩β＝a 交线两平面平 ⑤无公共点 ⑥α∥β 行 ④

考点26 线线、线面、面面的位置关系(教师版) 新课标

2013年新课标数学40个考点总动员考点26 线线、线面、面面的位置关系（教师版）【高考再现】热点一平行关系1.(2012年高考四川卷理科6)下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2. (2012年高考山东卷文科19) (本小题满分12分)如图，几何体E ABCD-是四棱锥，△ABD为正三角形，CB CD EC BD=⊥.,(Ⅰ)求证：BE DE=；(Ⅱ)若∠120BCD=︒，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.【方法总结】1.证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.线面平行的证明思考途径：线线平行⇔线面平行⇔面面平行.3.面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两个平面的法向量平行. 热点二垂直关系3．(2012年高考浙江卷理科10)已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC 将∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中，（）A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直4.(2012年高考安徽卷理科6)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥,则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（）()A充分不必要条件()B必要不充分条件D即不充分不必要条件()C充要条件()5.(2012年高考北京卷文科16)（本小题共14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2。

高三数学空间点线面之间的位置关系

课堂互动讲练
【名师点评】题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定的平面内，也可证明D1E∥BF，从而说明四点共面．
课堂互动讲练
考点四异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确定3进一步反映了平面的延展性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面的两个公共点时，这两点的连线就是交线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是某两个平面的公共点，则这几个点都在这两个平面的交线上)．
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课时活页训练
PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
课堂互动讲练
【思路点拨】要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交线上即可．
课堂互动讲练
【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
课堂互动讲练
解：选取平面BCF，该平面有以下两个特点：①该平面包含直线CF；②该平面与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看出：EN与ED所成的角即为异面直线FC与ED所成的角. 10分

线线、线面、面面位置关系

1、直线与直线的位置关系：⑴相交直线——两直线在同一平面内，两直线有且仅有一个公共点。

⑵平面直线——两直线在同一平面内，两直线没有公共点。

⑶异面直线——不存在一个平面同时经过这两条直线。

过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线异面。

2、直线与平面的位置关系：⑴直线在平面内：直线上两点在一个平面内，那么此直线上所有点都在平面内。

⑵直线在平面外：①直线和平面平行。

②直线和平面相交。

两条平行线中一条与已知平面相交，则另一条也与该平面相交。

3、平面和平面的位置关系：⑴平行——没在公共点。

⑵相交——至少有一公共点（或一公共直线）。

如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面一定是平行或相交。

4、直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

5、直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面和此平面的交线与该直线平行。

6、平面与平面平行的判定定理：⑴如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行。

⑵如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行。

7、平面与平面平行的性质定理：⑴如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面。

⑵如果两个平行平面同进和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

8、直线与平面垂直的判定定理：⑴如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。

⑵如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

9、直线与平面垂直的性质定理：⑴直线与平面内所有直线都垂直。

⑵垂直于同一平面的两条直线平行。

10、平面与平面垂直的判定定理：⑴如果两个相交平面所成二面角为直三面角，那么这两个平面互相垂直。

⑵如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

11、平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

22.第二十二讲：空间线线、线面、面面之间的位置关系

第二十二讲空间线线、线面、面面之间的位置关系一、引言（一）本节的地位：空间线线、线面、面面之间的位置关系，特别是平行与垂直的位置关系，是立体几何中的重要内容，也是我们继续研究空间角和空间距离的基础，是高考的重点考查方向（二）考纲要求：了解平面公理及推论；掌握直线与平面平行的判定定理与性质定理，两个平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线与平面垂直的判定定理与性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．（三）考情分析：本讲内容在高考中，主要考查线线、线面、面面平行与垂直位置关系的判定及其性质，题型以选择题为主，解答题极有可能在第一个小问题中出现，主要考查空间想象能力、逻辑推理与计算能力以及文字语言、图形语言和符号语言相互转化的能力．二、考点梳理1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：（1）相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；（2）平行直线：在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．2．直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．该定理可用符号表示为：,,a b αα⊄⊂且////a b a α⇒．定理揭示出直线与平面的平行关系的证明可以转化为直线与直线的平行关系的证明．正确理解和应用定理，应注意是“平面外”的一条直线和“平面内”一条直线平行．3．平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．该定理可用符号表示为：,,,//,////a b a b P a b ββααβα⊂⊂=⇒ ．定理揭示出平面与平面平行关系的证明可以转化为直线与平面平行关系的证明．利用此判定定理证明两个平面平行，必须同时具备以下两个条件：（1）一个平面内有两条直线平行于另一个平面；（2）这两条直线必须相交．4．直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．该定理可用符号表示为：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒ ．此性质定理可以作为直线与直线平行的判定方法．利用此定理证明两条直线平行时，必须同时满足以下三个条件：（1）直线a 和平面α平行；（2）平面α和平面β相交于直线b ；（3）直线a 在平面β内．5．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．该定理可用符号表示为：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒ ．此定理揭示出由平面与平面平行可以得到直线与直线平行．我们可以看到，通过直线与直线平行可以判定直线与平面平行；通过直线与平面平行可以判定平面与平面平行；而由直线与平面平行的性质定理，可以得出直线与直线平行；由平面与平面平行的定义与性质定理可以得出直线与平面平行、直线与直线平行．这揭示出直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化．6．直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．该定理可用符号表示为：,,,,a b a b P l a l b l ααα⊂⊂=⊥⊥⇒⊥ ．定理揭示出直线与平面垂直关系的证明可以转化为直线与直线垂直关系的证明．利用此判定定理证明直线与平面垂直，必须同时具备以下两个条件：（1）平面内有两条直线垂直于已知直线；（2）这两条直线必须相交．7．两个平面的垂直及判定两个平面相交，如果它们所成的二面角为直二面角，就说这两个平面互相垂直．两个平面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直．8．直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行．这个定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行，同时也揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系．9．平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．定理揭示出直线与平面垂直关系的证明可以转化为直线与直线垂直关系的证明．利用此定理证明直线与平面垂直，必须同时具备以下三个条件：（1）两个平面互相垂直；（2）直线在其中一个平面内；（3）直线与交线垂直．三、典型例题选讲例1 （2007辽宁）若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥B ．若m αγ= ，n βγ= ，//m n ，则//αβC ．若m β⊥，//m α，则αβ⊥D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥解析：选项A ，直线m 与平面α的位置关系各种可能都有；选项B ，平面α与平面β也可能相交；选项C ，∵//m α，过m 作平面γ交平面α于m '，则//m m '．又因为m β⊥，所以m β'⊥．由面面垂直的判定定理可知，a β⊥；选项D ，平面β与γ也可能相交或平行．故正确选项为C ．归纳小结：本题重点考查了直线与平面以及平面与平面的位置关系．提高空间想象能力和逻辑推理能力是问题解决的关键，同时，要注意培养思维的完备性和严谨性，既要考虑特殊情况，也要考虑一般结论，切不可以偏概全．例2 （2007湖南）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则以下结论中不成立的是( )A ．EF 与1BB 垂直B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面解析：连结1B C ，则1B C 与1BC 相交于点F ．∵E 、F 分别是1AB 、1CB 的中点，∴EF ∥AC ．又1BB AC ⊥，∴1BB EF ⊥．∴A 成立．又BD AC ⊥，EF ∥AC ，∴BD EF ⊥．∴B 成立．观察图形易知C 成立．∵//EF AC ，11//A C AC ，∴11//EF A C ．故D 不成立．正确选项为D ．归纳小结：为了分析和解决问题，常常要添加辅助线．在立体几何中，出现中点时，我们经常要利用特殊四边形的性质，构造对角线交点，进而得到三角形中位线，来证明直线与直线的平行关系．在本题中，对于正四棱柱概念的理解是基础，矩形对角线互相平分的性质是关键，合理构造，适当转化，问题便很容易得到解决．例3 在正四面体P ABC -中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是（）A ． //BC 平面PDFB ． DF ⊥平面PAEC ．平面PDF ⊥平面ABCD ．平面PAE ⊥平面ABC答案：C ．分析：因为D 、F 分别是AB 、CA 的中点，所以//BC DF ，又因为BC ⊄平面PDF ，DF ⊂平面PDF ，由直线与平面平行的判定定理知选项A 正确．因为P ABC -是正四面体，E 是BC 的中点，所以,PE BC AE BC ⊥⊥，又因为PE AE E = ，由直线与平面垂直的判定定理得BC ⊥平面PAE ．因为//BC DF ，所以DF ⊥平面PAE ．选项B 正确．因为BC ⊥平面PAE ，BC ⊂平面ABC ，由平面与平面垂直的判定定理得平面PAE ⊥平面ABC ，故选项D 正确．根据已知条件，不能得到平面PDF ⊥平面ABC ，故符合要求的选项为C ．归纳小结：本题主要考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，以及平面与平面垂直的判定．准确理解相关概念和判定定理是问题解决的关键，另外要注意培养和不断提高空间想象能力，认真体会由线线平行证明线面平行，由线线垂直证明线面垂直，由线面垂直证明面面垂直的过程，体会普遍联系和相互转化的观点．例4 （2008北京）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=︒，AP BP AB ==，PC AC ⊥．求证：PC AB ⊥．分析：线线垂直的证明，我们往往可以转化为线面垂直的证明．证法一：取AB 中点D ，连结PD CD ，．AP BP = ，PD AB ∴⊥．AC BC = ，CD AB ∴⊥．PD CD D = ，AB ∴⊥平面PCD ．PC ⊂ 平面PCD ，PC AB ∴⊥．证法二：AC BC = ,AP BP =,∴APCBPC △≌△．又∵PC AC ⊥，∴PC BC ⊥．AC BC C = ，∴PC ⊥平面ABC ．∵AB ⊂平面ABC ，∴PC AB ⊥．归纳小结：本题主要考查线线垂直、线面垂直，以及相互转化．充分利用已知条件和平面几何知识，适当构造辅助线，是问题得以解决的关键．在等腰三角形中，构造底边中点证明垂直是常用的方法．值得指出的是，在平时的学习中，一题多解，既能灵活应用所学知识解决问题，又能增强对知识的理解，也有助于能力提高和创新思维意识的培养,我们要有意识的加强这方面的练习．例5 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点．求证：//PB 平面AEC ．分析：要证//PB 平面AEC ，需要证明PB 和平面AEC 内的一条直线平行．证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ．因为ABCD 是平行四边形，所以OB OD =．又因为点E 是PD 的中点，所以EO 是△PBD 的中位线，则//EO PB ．因为PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ，由直线与平面平行的判定定理得//PB 平面AEC ．归纳小结：本题考查直线与平面平行的证明．解决这类问题的关键是充分利用已知条件，在平面内确定（或构造）一条与已知直线平行的直线，把空间中直线与平面平行关系的证明转化为平面中直线与直线平行关系的证明．其中，构造三角形中位线（特别是出现中点或特殊四边形，如平行四边形，菱形，长方形，正方形等时）是证明直线与直线平行的常用方法．例6 如图，,a b 是异面直线，,//,,//a a b b αββα⊂⊂，求证：//αβ．分析：要证明//αβ，需要证明平面β（或α）内有两条相交的直线与平面α（或β）平行．其中一条平行线是已知条件，另一条平行线的构造则需要直线与平面平行的性质．证明：如图，设P 为b 上任意一点，则a 与P 确定一个平面，记为γ，设β与γ相交于c ．因为//,,a a c βγβγ⊂= ，所以//a c ．又因为,c c βα⊂⊄，所以//c α．因为//b α，又因为c 与b 有公共点P ，且c 与b 不重合（否则//a b ，与已知矛盾），即c 与b 相交，由平面与平面平行的判定定理得//αβ．归纳小结：本题考查平面与平面平行的证明，需要证明其中一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，问题的关键是由已知直线与平面平行，利用直线与平面平行的性质定理构造一条平行线．直线与平面平行的判定定理是由直线与直线平行得到直线与平面平行，直线与平面平行的性质定理是由直线与平面平行得到直线与直线平行．直线与平面的位置关系与直线与直线的位置关系的相互转化是立体几何的一种重要的数学思想方法．例7（2009江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，1A D ⊥1B C ．求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C ．分析：线面平行的证明可以转化为线线平行的证明，面面垂直的证明可以转化为线面垂直的证明．证明：（1）因为E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，所以EF ∥BC ．因为 EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．（2）由三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱知1CC ⊥平面111A B C ．因为1A D ⊂平面111A B C ，故1CC ⊥1A D ．又因为1A D ⊥1B C ，11CC B C C = ，1CC 、1B C 平面11BB C C ，所以1A D ⊥平⊂面11BB C C ，又1A D ⊂平面1A FD ，所以平面1A FD ⊥平面11BB C C ．归纳小结：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．在证明的过程中，要注意规范书写，注意细节，养成严谨思维和表达的习惯．例如，证明线面平行，一定要注意是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行；而面面垂直需要满足一个平面经过另一个平面的一条垂线，垂线在面内．四、本专题总结本专题研究的主要问题是直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质．本部分内容的学习，要注意以下的数学思想与方法：转化的思想方法（位置关系的转化；空间问题向平面问题的转化等）；分类讨论的思想方法；运动变化的思想方法；函数与方程的思想方法．本专题学习中需要注意的问题：1．本专题内容，概念、判定定理与性质定理较多，要深刻理解，才能灵活应用．2．应充分认识面面关系、线面关系、线线关系之间的相互转化过程，熟练掌握转化条件．3．作辅助线或辅助面时，要注意以下两点：第一，辅助线，辅助面不能随意作，要有理论根据；第二，辅助线，辅助面有什么性质，一定要以某一性质定理为依据，绝不能凭主观臆断，否则谬误难免．4．在线面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”“一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，使用这些定理时，一定要注意逻辑推理能力的规范性．5．立体几何的学习，对计算和推理能力，特别是空间想象能力有较高的要求，我们要在平时的学习中加强这方面的练习．。

06线面面面位置

b′ ′ e′ m′ f′ ′ ●′ ′ a′ ′ e
● ● ●
空间及投影分析
n′ 1′ ′ ′ ● 2′ ′ h′ ′ c′ ′ 平面EFH是一水平面，它的是一水平面，平面是一水平面正面投影有积聚性。 ′ ′ ′ ′ 正面投影有积聚性。a′b′与e′f′ 的交点m′ 的交点 ′ 、 b′ c′与f ′h′的交点 ′ ′ ′ n′即为两个共有点的正面投影， ′即为两个共有点的正面投影，的正面投影。故m′n′即MN的正面投影。 ′ ′ 的正面投影
点作平面垂直于平面ABC。例4：过M点作平面垂直于平面：点作平面垂直于平面。
b′ ′ c′ ′ a′ ′ b
●
n′ ′ P
●
作图步骤：作图步骤：（1）过M点作直线MN 点作直线MN 垂直平面ABC 垂直平面ABC
•面内作一任意正平线面内作一任意正平线 •直线的正面投影(m′n′) 直线的正面投影(m′ 直线的正面投影(m 垂直正平线的正面投影 •面内作一任意水平线面内作一任意水平线 •直线的水平投影(mn) 直线的水平投影(mn 直线的水平投影(mn) 垂直水平线的水平投影
m′ ′
m a c n
（2）包含直线MN作一包含直线MN作一 MN 任意平面，任意平面，则该平面必垂直于已知平面
点作一平面垂直于AB. 例5：过K点作一平面垂直于：点作一平面垂直于 k´ 分析：分析：过K作 d´ 两条相交直线使其分别垂至 AB，于AB，则这两 c´ 条相交直线所确定的平面必 a´ AB垂直垂直。和AB垂直。
b′ ′ c′ ′ a′ ′ b
●
n′ ′ m′ ′
●
作图步骤：作图步骤： •面内作一任意正平线面内作一任意正平线 •直线的正面投影(m′n′) 直线的正面投影(m′ 直线的正面投影(m 垂直正平线的正面投影 •面内作一任意水平线面内作一任意水平线

《空间中线面-面面的位置关系》参考课件

（2）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面两两之间的位置关系有几种？
D1
C1
A1
B1
D A
C B
两个平面的位置关系只有两种：
两个平面平行 ——两个平面没有公共点记作：α∥β
两个平面相交 ——两个平面有一条公共直线记作：α∩β= a
例1、下列命题中正确的个数是（ B ）
①若直线 l 上有无数个点不在平面α内，则 l // α ②若直线 l 与平面α平行，则 l 与平面α内的任意
a∩b=l，则l（ C ）
（A）与m，n都相交（B）与m，n中至少一条相交（C）与m，n都不相交（D）与m，n中一条相交
2.1 空间中线面，面面之间的位置关系
教学目标： 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系。 2.掌握平面与平面的两种位置关系，会判断平民与平面的位置关系。 3. 学会用图形语言、符号语言表示它们之间的位置关系.
1.空间两直线的位置关系
（1）相交；（2）平行；（3）异面
例2：已知平面α,β，直线a，b，且α∥β， aα，bβ，则直线a与直线b 有什么样的位置关系？
a
a
b
b
这两条直线不可能相交，你知道为什么吗？
例3 已知直线a在平面α外，则（ D ）
（A）a∥α （B）直线a与平面α至少有一个公共点（C）aα=A （D）直线a与平面α至多有一个公共点。
（2）如图，线段A1B所在直线与长方体ABCD-
A1B1C1D1的六个面所在平面有几种位置关系？
D1
C1
A1
B1
D A
C B
直线与平面的位置关系有且只有三种： a
a

2.1.3及2.1.4线面及面面

①若直线l上有无数个点不在平面内，
则 l //
②若直线l与平行，则l与平面内的
任意一条直线都平行.
③如果两条平行直线中一条与一个平面
平行，那么另一条也与这个平面平行.
④若直线l与平面平行，则l与平面内
的任意一条直线都没有公共点.
练习1：若直线a不平行平面 α ，且
，
则下a列结论正确的是：
A. α内的所有直线与a 异面
空间中的线面及面面位置关系
学习目标：（1）了解空间中直线与平面的位置关系；（2）了解空间中平面与平面的位置关系；（3）培养空间想象与逻辑推理能力.
思考:
1.一支笔所在直线与一个作业本所在的平面，可能有几种位置关系？
2.如图，线段A/B所在直线与长方体ABCDA/B/C/D/的六个面所在的平面有几种位置关系？
D/
C/
A/
B/
D A
C B
直线与平面的位置关系
1. 直线与平面的位置关系: (1)直线在平面内: 有无数个公共点.
(2)直线与平面相交: 有且只有一个公共点. (3)直线与平面平行: 没有公共点. 记作 a∥α
a α
αa
a
a∩α=A
A α
a∥α a
α
直线与平面相交或平行统称为直线在平面外！
例4：下列命题正确的个数是（）
(2)平行: 没有公共点
练习2：判断正误
1√.若平面 //平面β ,直线a 平面 ,则a//β 2×.若一个平面有一条直线与另一个平面平行，则这两个平
面平行. a
b
三个两两相交的平面,交线的条数？
已知平面 αβ, ,直线 a,b,且 α //β , a α ,b β ,则直线 a与直线 b具有怎样的位置关系？

复习线面面面位置关系及线面面面平行的判定与性质

平面平行； 4、夹在两平行平面间的平行线段相等.
例题分析
例1、求证：夹在两个平行平面间的两条平行线段相等
已知：如图,AB∥CD,
D
A∈α ,D∈α,
αA
B∈β ,C∈β,
求证:AB=CD
C
βB
小结
线面平行性质定理: 线面平行线线平行
一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
例3 有一块木料,棱BC平行于面A1C1 要经过面
A1C1内一点P和棱BC锯开木料,应该怎样画线这线与平面AC有怎样的关系
D1
E
C1
P
A1
F
B1
D
C
B A
例4已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面, 求证：另一条也平行于这个平面.
a b
c
如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面的直线具有什么位置关系
直线在平面外
a
a
a
2024/2/17
A
a=A
a
判断对错
1、如果一条直线在平面外,那么直线和平面平行. ×
2、如果一条直线和平面内的一条直线平行,那么直线
和平面平行. ×
3、如果直线和平面平行,那么直线和平面内的无数条
直线平行. √
4、如果直线和平面平行,那么直线和平面内的所有直
线平行. ×
2024/2/17
A
B
3A1B与D1B1所成的角 = 6 0°
练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角； 2、与直线BB1垂直的棱有多少条
1直线AD1与B1C所成的夹角
D1
9 0°A1
C1 B1
D

线面,面面位置关系中的化归思想

线面，面面位置关系中的化归思想靳明瑜线面，面面位置关系中的化归是想立体几何的相关知识，历年来都是高考的重点内容，同时也是学生在学习中的难点所在。

高考所考察主要是线面平行与垂直的相关内容。

这部分内容出现在新课程改革后的必修二的第二章。

虽然这部分只是立体几何的初步知识。

但是，对于刚刚升入高中的学生来说，学习的困难较大。

其困难在于缺乏解决空间立体几何的技能，缺乏空间想象能力。

在教学的实践过程中，我发现如果学生能很好的运用数学中的化归思想，将空间的问题，转化到平面中，将面面问题转化到线线问题。

以及将平面问题放入空间中，将线线问题转化到线面或面面问题。

那么对这部分知识的学习，将会比较容易。

因为，学生已经拥有相当的平面几何知识基础。

要想熟练的运用化归思想来解决立体几何问题。

那就首先将直线与平面位置关系的相关内容，以及它们之间的构成与联系理清楚。

而要理清楚它们之间的构成与联系理清楚，最好的方法就是将本章节的文字性叙述的定理转化为数学语言。

将文字性叙述的定理数学化的优点在于语言简洁明确。

可以很直观明了定理的条件都有哪些，最终如何得到什么结论。

方便学生记忆。

特别是在做解答题的时候，能帮助学生完善解答过程，指导解题思路。

下面，就给出本章节定理的数学语言的表示。

1、线面平行判定定理：,,||||l a l a l ααα⊄⊂⇒ 2、线面平行性质定理：||,,||l l a l aαβαβ⊂=⇒3、面面平行判定定理：,,,||,||||a b a b a b ααββαβ⊂⊂≠∅⇒4、面面平行性质定理：||,,||a b a b αβαγβγ==⇒5、线面垂直判定定理：,,,,,l a b a b l a l b l αααα⊄⊂⊂≠∅⊥⊥⇒⊥6、线面垂直性质定理：,||a b a b αα⊥⊥⇒7、面面垂直判定定理：,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥8、面面垂直性质定理：,,,a l l a l αβαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥接下来，我们就来看一下如何在学习过程中具体的应用数学的化归思想来解决问题。