陕西省长安一中、西安中学2021届高三第二次模拟考试数学(理)试题含答案
陕西省西安市2021届新第二次高考模拟考试数学试卷含解析
陕西省西安市2021届新第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32 B ．12 C ．78 D ．98【答案】C【解析】【分析】求得等比数列{}n a 的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得63S S 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，2019201680a a +=Q ，32019201618a q a ∴==-，12q ∴=-， 因此，6363317118S q q S q -==+=-. 故选：C.【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题. 2．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ） A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c << 【答案】D【解析】【分析】结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出10a -<<,1b <-,1c >,即可选出答案.【详解】 由0.30.310log 4log 13<=-,即1b <-, 又8881log 0.125log 0.2log 10-=<<=,即10a -<<,0.341>,即1c >,所以b a c <<.故选:D.3．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 且斜率为34的直线上，PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ） A ．12y x =± B ．2y x =± C ．33y x =± D ．3y x =±【答案】D【解析】【分析】根据PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒可求出点P 的坐标，又由1PF 的斜率为3可得出,a c 关系，即可求出渐近线斜率得解.【详解】如图，因为PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，所以||||2PB AB a ==，60PBM ∠=︒,||cos602,||sin603P P x PB a a y PB a ∴=⋅︒+==⋅︒=，又130324PF a k a c -==+， 2a c ∴=223a b ∴=，解得3b a= 所以双曲线的渐近线方程为3y x =，故选：D4．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．25【答案】A【解析】【分析】阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率.【详解】因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个，则51255P ==. 故选：A.【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P =目标事件的个数基本本事件的总个数. 5．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减 【答案】C【解析】【分析】 先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可.函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上先递减后递增.故选：C【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.6．若复数211i z i =++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数的模为（ ） A ．5 B ．4 C ．2 D ．5【答案】D【解析】【分析】由复数的综合运算求出z ，再写出其共轭复数，然后由模的定义计算模．【详解】()()()212112111i i i z i i i i -=+=+=+++-Q ，2,5z i z ∴=-∴=． 故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，考查共轭复数与模的定义，属于基础题．7．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足223AG MB CA CB⋅=+u u u v u u u v u u u v u u u v ，则AG AC ⋅u u u v u u u v 等于（ ）A ．2B ．5C ．23D ．83【答案】D【解析】选取,BA BC 为基底，其他向量都用基底表示后进行运算．【详解】由题意G 是ABC ∆的重心，2133()2()()32AG MB AN BM BN BA BC BA ⋅=⨯⋅-=--⋅+u u u r u u u r 1()()2BA BC BC BA =-⋅+22111152222BA BC BA BC BA BC =-+⋅=-+⋅ 22222()121BA BC BA BA BC BC CA CB =-+=-⋅+=++u u u r u u u r 5211BA BC =-⋅++ ， ∴917222BA BC BA BC +⋅=-⋅，1BA BC ⋅=， ∴AG AC ⋅u u u r u u u r 22221213()()()332322AN AC BC BA BC BA BC BC BA BA =⋅=-⋅-=-⋅+2138(5)3223=-+=， 故选：D ．【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．8．若实数,x y 满足不等式组121210x y x y x y +≥-⎧⎪-≤-⎨⎪--≤⎩，则234x y -+的最大值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3D ．2【答案】C【解析】【分析】作出可行域，直线目标函数对应的直线l ，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图由射线AB ，线段AC ，射线CD 围成的阴影部分（含边界），作直线:2340l x y -+=，平移直线l ，当l 过点(1,1)C 时，234z x y =-+取得最大值1．故选：C ．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，本题要注意可行域不是一个封闭图形． 9．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ． 23i -+D ． 23i --【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】解：由32i z i ⋅=+，得()()2323223i i i z i i i +-+===--， ∴23z i =+．故选A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．已知函数3ln ()3ln x a x f x a x x =-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3)(3,)e +∞UB ．[)0,eC ．()2,e +∞D ．(,){3}e -∞U 【答案】A【解析】【分析】化为(()3)(())0g x g x a --=，即()3g x =或()g x a =，求出()g x 的导数()g x '，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出a 的范围．【详解】 由题意得3ln 30ln x a x a x x-+-=有四个大于1的不等实根，记()ln x g x x =，则上述方程转化为3(()3)10()g x a g x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 即(()3)(())0g x g x a --=，所以()3g x =或()g x a =．因为2ln 1()(ln )x g x x '-=，当()1,x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(),x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；所以()g x 在x e =处取得最小值，最小值为()g e e =．因为3e >，所以()3g x =有两个符合条件的实数解，故3ln ()3ln x a x f x a x x=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不相等的零点，需a e >且3a ≠． 故选：A ．【点睛】本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力．11．函数的图象可能是下面的图象( ) A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】因为，所以函数的图象关于点（2,0）对称，排除A ，B ．当时，，所以，排除D ．选C ．12． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】【分析】 模拟程序运行，观察变量值可得结论．【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =．故选：B ．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省西安市长安区第一中学2021届高三上学期第二次月考数学(理)答案
（2）假设存在的定点 Q(0, m) 符合题意
由题意知：直线 AD, BD 的斜率分别为 kAD
=
1 4
，
kBD
=
−1 4
由题意及（1）知：直线 MN 与直线 AD, BD 均不重合，当直线 MN 的斜率 k 存在时
设其方程为 y=
kx
+
1 2
k
≠
±
1 4
，
M
(
x1,
y1 )
，N(来自x2 ,y2)
由 ∠MQO = ∠NQO ，得直线 MQ, NQ 的倾斜角互补，故 kMQ + kNQ = 0
又 kMQ + kNQ=
y1
− x1
m= + y2x−2 m
kx1
+
1 2
−
m
+
kx2
+
1 2
−
m
x1
x2
= 4k1x2 + (1− 2m) ( x1 + x2 )
理科数学答案 第 1 页 (共 6 页)
又 BC ⊂ 平面 BCP ，所以平面 PAE ⊥ 平面 BCP .
（2）解：设 A=B P=A a ，则= PB = 2a PC ，因为 PA2 + AB2 = PB2 ，所以 PA ⊥ AB ，
同理可证 PA ⊥ AC ，所以 PA ⊥ 平面 ABCD .
z
=
3
，得
nv
=
(0, 4,3)
.
− a y + 2a z = 0
23
又
P
0,
西安市长安区第一中学2021届高三第一学期第二次教学质量检测数学(理)试卷(PDF版)
an
−
1 2
．
（1）求数列{an }的通项公式；
（2）若 bn
=
2n an+2 − an+1
，设数列{bn } 的前
n
项和为 Tn , n ∈ N* ，证明 Tn
<
3 4
．
高三理科数学 第 3 页 (共 6 页)
18（. 本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，∠ABC =60° ，
理科数学答案 第 1 页 (共 6 页)
又 BC ⊂ 平面 BCP ，所以平面 PAE ⊥ 平面 BCP .
（2）解：设 A=B P=A a ，则= PB = 2a PC ，因为 PA2 + AB2 = PB2 ，所以 PA ⊥ AB ，
同理可证 PA ⊥ AC ，所以 PA ⊥ 平面 ABCD .
13.二项式
x
+
2 x2
10
，则该展开式中的常数项是______.
2a－b≥5， 14．某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组a－b≤2，
a<7，
设这所学校今年计划招聘教师最多 x 名，则 x＝______.
15.已知在 ∆ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 sin A = 2 sin B ，
（ⅰ）求抽取的文科生和理科生的人数； （ⅱ）从 10 人的样本中随机抽取 3 人，用 X 表示这 3 人中文科生的人数，求 X 的分布列 和数学期望． 参考数据及公式：
P( K 2 ≥ k0 ) 0.100 0.050 0.010 0.001
k0
2.706 3.841 6.635 10.828
【解析】陕西省西安市长安区第一中学2021届高三上学期第二次月考数学(理)试卷
长安一中2020—2021学年度第一学期第二次质量检测高三年级数学（理科）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合{}2320M x x x =++<，集合142xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则M N ⋃=（ ）A. {}1x x >-B. {}2x x ≥-C. {}2x x ≤-D.{}1x x <-【答案】B 【分析】先求出集合M ，N ，再根据并集定义即可求出. 【详解】{}{}232021M x x x x x =++<=-<<-，{}1422xN x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤=≥-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2M N x x ∴⋃=≥-.故选：B.2. 已知i 为虚数单位，复数z满足2zi i =+，则z =（ ）A.B.C.D. 2【答案】C 【分析】先根据复数除法运算求出z ，即可求出模.【详解】2zi i =，)2222i i iz ii∴===，z ∴==3. 某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A 、B 、C 三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名同学独立地从中任选一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为（ ） A.136B.112C.16D.13【答案】C 【分析】3名同学选择的题目所属类型互不相同，则A 、B 、C 三个类型的问题都要入选，所以要先确定每位同学所选的是何种类型，又每个类型入选的可能为12，13，16，计算结果即可. 【详解】解：3名同学选择的题目所属类型互不相同，则A 、B 、C 三个类型的问题都要入选，则3名同学的选法共有33A 种情况，每个类型入选的可能为12，13，16，所以全部入选的概率为111123636⋅⋅=，则3名同学所选不同类型的概率为3311112366A ⋅⋅⋅=.故选：C.【点睛】本题考查相互独立事件的概率，涉及分类加法的思想，属于基础题. 4. 若执行下图的程序框图，则输出i 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B依次写出每次循环得到的,,x y i 的值,当3,64,86i x y ===时,不满足条件x y >,退出循环，输出i 的值为即可.【详解】第一次循环:8,2x y ==，满足x y >，继续循环; 第二次循环:1,16,6i x y ===，满足x y >，继续循环; 第三次循环:2,32,22,i x y ===满足x y >，继续循环;第四次循环:3,64,86i x y ===，不满足x y >，跳出循环，输出3i =. 故选: B【点睛】本题主要考查程序框图中当型循环,循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累乘等,在循环结构框图中要特别注意条件的应用；属于基础题.5. 已知函数()y f x =在区间(,0)-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a c b >>B. b c a >>C. b a c >>D. a b c >>【答案】B 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间(0,)+∞上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间(0,)+∞上的单调性可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=，则函数()y f x =为偶函数，∵函数()y f x =在区间(,0)-∞内单调递增，在该函数在区间(0,)+∞上为减函数，1122log 3log 10<=，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在(0,)+∞上为增函数，则22log 3log 21>=，指数函数2x y =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 故选：B ．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6. 设1201x dx α=-⎰，tan 3β=，则tan()αβ+=（ ）A. 2B. 2-C.12D. 12-【答案】B 【分析】根据定积分的几何意义可求出α，再根据两角和的正切公式计算即可.【详解】设21y x =-，[0,1]x ∈，则有221(0,01)x y y x +=≥≤≤，圆的半径为1， 所以曲线21y x =-，[0,1]x ∈与x 轴围成的面积为4π，所以4πα=，所以tan 1α=， 所以tan tan 13tan()21tan tan 113+++===---⨯αβαβαβ.故选：B【点睛】方法点睛：利用定积分的几何意义求定积分就必须准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性，对称性来解决问题，另外，结合图形更直观形象的辅助作题.7. 函数2=x x y e的图象大致是（ ）A. B.C.D.【答案】A 【分析】根据函数有两个极值点，可排除选项C 、D ；利用奇偶性可排除选项B ，进而可得结果.【详解】因为2=x x y e ，所以22'xx x y e-=， 令'0y =可得，0,2x x ==， 即函数有且仅有两个极值点，可排除选项C 、D ；又因为函数2=x x y e即不是奇函数，又不是偶函数，可排除选项B ，故选：A.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8. 已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为（ ）A.2π B. πC.3π D.23π 【答案】D 【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解+析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解+析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+，即322a +=1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23π.故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解+析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.9. 在三棱锥P ABC -中，2PA PB PC ===，且底面ABC 为正三角形，D 为侧棱PA中点，若PC BD ⊥，棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A. 6π B. 8πC. 12πD. 16π【答案】C 【分析】根据等腰三角形三线合一及PC BD ⊥,可证明PC ⊥平面PAB ,即PC PA ⊥,即可求得底面正三角形的边长.由正三棱锥的外接球半径在正三棱锥的高上,可由勾股定理求得外接球半径R,即可求得球的表面积.【详解】在三棱锥P ABC -中,2PA PB PC ===,且底面ABC 为正三角形,所以三棱锥P ABC -为正三棱锥设AB 的中点为E ,连结PE ,CE ,如下图所示:因为AB PE ⊥,AB CE ,且CE PE E ⋂=所以AB ⊥平面PEC ,由直线与平面垂直的性质可知AB PC ⊥,又PC BD ⊥,AB BD B =所以PC ⊥平面PAB , 则PC PA ⊥,2PA PB PC ===,则底面正三角形的边长为22AC BC AB ===设该正三棱锥的外接球球心为O ,底面的中心为G .由正三棱锥的性质可知PG ⊥平面ABC则()()22222622233CG CE =⨯=⨯-= 由勾股定理可得222623233PG ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭设外接球的半径为R,则2222326R R ⎫+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭,解得3R = 所以球O 的表面积为2412S R ππ==, 故选:C.【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面垂直的判定,正三棱锥外接球的相关性质,属于中档题.10. 在OAB ∆中，已知2OB =，1AB =，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP 的最小值为（ ）A.355B.25C.6 D.6 【答案】A 【分析】 根据2OB =,1AB =,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP .再由23λμ+=,将OP 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP 的最小值.【详解】在OAB ∆中,已知2OB =,1AB =,45AOB ∠=︒由正弦定理可得sin sin AB OB AOBOAB=∠∠代入22=,解得sin 1OAB ∠=即2OAB π∠=所以OAB ∆为等腰直角三角形以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:则点A坐标为22⎛ ⎝⎭所以2,22OA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,()2,0OB =因为(),OP OA OBλμλμ=+∈R则)22OP λμ⎛ =+⎝⎭,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=+ 则OP ⎛==因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得=所以当95λ=时, min 5OP ==故选:A【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.11. 已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M 是线段1F P 的中点，O 是坐标原点，若1OF M △周长为3c a +（c 为双曲线的半焦距），13F MO π∠=，则双曲线E 的渐近线方程为（）A. 2y x =±B. 12y x =±C. y =D.y x = 【答案】C 【分析】从1OF M 周长为3c a +，M 是线段1F P 的中点入手，结合双曲线的定义，将已知条件转为焦点三角形中12||,||PF PF 与a 关系，求出123F PF π∠=，用余弦定理求出,a c 关系，即可求解.【详解】连接2PF ，因为M 是线段1F P 的中点， 由三角形中位线定理知21,2OM PF =2//OM PF ， 由双曲线定义知122PF PF a -=， 因1OF M 周长为111211322OF OM F M c PF PF c a ++=++=+， 所以126PF PF a +=，解得124,2PF a PF a ==，在12PF F 中， 由余弦定理得22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠， 即()()()222242242cos3c a a a a π=+-⨯⨯，整理得，223c a =，所以22222b c a a =-=，所以双曲线E的渐近线方程为y =. 故选:C .【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查三角形中位线定理、双曲线定义以及余弦定理的应用，属于中档题.12. 对于实数a 和b ，定义运算“*”：()()33,*,a a b a b a b b b a a b⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，设()()()21*1f x x x =--，若函数()2()()g x f x mxm R =-∈恰有三个零点1x ，2x ，3x ，则123x x x 的取值范围是（ ）A. 10,16⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B. 116⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. 10,16⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,016-⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】首先根据定义求出函数的解+析式，因为()g x 有三个零点，所以()f x 与2y mx =有3个交点，根据图象的分布特征确定函数零点的分布情况，进而可求三个零点之积的取值范围. 【详解】当211x x -≤-，即0x ≤时，()()321f x x x =-，当211x x ->-，即0x >时，()()31f x x x =--，()()()3321,01,0x x x f x x x x ⎧-≤⎪∴=⎨-->⎪⎩， ()2()()g x f x mx m R =-∈恰有三个零点， ()y f x ∴=与2y mx =的图象恰好有3个交点，即()()()21,01,0x x x h x x x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩与y m =有3个交点，作出()h x 的图象，如图所示，则104m <<， 不妨设123x x x <<，易知20x >，且231x x +=，223231024x x x x +⎛⎫∴<<= ⎪⎝⎭，由()1214x xx⎧-=⎪⎨⎪<⎩解得x=1x<<，123116x x x∴<<.故选：B.【点睛】本题考查函数的零点与函数图像间交点的关系，解题的关键是数性结合求出零点范围，得出所求.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上）13.二项式1022x⎫⎪⎭，则该展开式中的常数项是______.【答案】180 【分析】求得二项展开式的通项10521102rr rrT C x-+=⋅，令2r，即可求解展开式的常数项，得到答案.【详解】由题意，二项式1022x⎫⎪⎭的展开式的通项为1051021101022()2rr r r r rrT C C xx--+==⋅，令2r，可得223102180T C==，即展开式的常数项是180.故答案为：180.【点睛】本题主要考查了二项式定量的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14. 某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组2527a ba ba-≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x＝________.【答案】13【分析】作出不等式组2527a b a b a -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩表示的区域，找到使得a b +最大的点即可．【详解】作出不等式组2527a b a b a -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩表示的区域，横坐标轴为a ，纵坐标轴为b ，如下图，令：x a b =+，计算各顶点坐标得：()3,1A ，()7,5B ,()7,9C ，找到横坐标为6，又在区域内的最高点()6,7，此时max 6713x a b =+=+=【点睛】本题主要考查了一元二次不等式组表示的区域，线性规划总是，注意边界是实线还是虚线，考查观察能力，属于基础题．15. 已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，22a =则ABC 面积为________.【答案】72【分析】对sin 2sin A B =利用正弦定理可得2a b =，由此可求出b ，对cos cos 2a B b A +=利用余弦定理角化边可求出c ，再利用余弦定理求出cos A ，再根据面积公式1sin 2ABCS bc A =计算即可.【详解】因为sin 2sin A B =，所以由正弦定理，得2a b =，又22a =2b =因为cos cos 2a B b A +=，所以222222222a c b b c a a b ac bc +-+-⋅+⋅=，所以222222222a c b b c a c c+-+-+=，所以2c =，由余弦定理，得2222cos 24222b c a A bc +-===⨯⨯， 又(0,)A π∈，所以2114sin 1cos 184A A =-=-=， 所以11147sin 222242ABC S bc A ==⨯=△. 故答案为：72【点睛】方法点睛：对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论． 16. 已知函数()ln x f x ax x=-，存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+成立，则实数a 的最小值为__________（其中e 是自然对数的底数）. 【答案】21124e - 【分析】 求出2ln 1()ln x f x a x-'=-，可得22x e =时，()2f x a '+有最大值14，只需存在21,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()114f x ≤，即1111ln 4a x x ≥-，利用导数判断()11ln 4g x x x=-的单调性，求出最小值即可得出. 【详解】()ln xf x ax x =-，2ln 1()ln x f x a x-∴='-， ()222222ln 1111ln ln 24x f x a x x ⎛⎫-∴+==--+ ⎪⎝⎭'， 当211ln 2x =，即22x e =时，()2f x a '+有最大值14， 故只需要存21,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()114f x ≤， 故1111ln 4x ax x -≤，即1111ln 4a x x ≥-， 令()11ln 4g x x x=-，则222(ln )4()4(ln )x x g x x x -'=，令()2(ln )4x h x x =-，则()2ln 4xh x x'=-， ()()221ln x h x x-''∴=， 则当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，()0h x ''≤，故()h x '单调递减，()()240h x h e e''∴≤=-<，故()h x 单调递减， ()()140h x h e e ∴≤=-<，即()0g x '<，故()g x 单调递减， ()()22min 1124g x g e e∴==-，21124a e ∴≥-，故a 的最小值为21124e -.故答案为：21124e -.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ． 三、解答题：（共7小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n N ∈，且3122n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若212n n n n b a a ++=-，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，*n N ∈，证明34n T <.【答案】（1）13-=n n a ；（2）证明见解+析. 【分析】（1）根据1(2)n n n a S S n -=-≥可得13n n a a -=，2n ≥，根据等比数列的通项公式可求得结果.（2）根据2123n n n n n n b a a ++==-，运用错位相减法求和法可得33234434n n n T +=-<⨯，可证不等式成立.【详解】解：（1）当1n =时，113122a a =-，得11a =， 当2n ≥时，()1132n n n n n S S a a a ---==-，得13n n a a -=， 数列{}n a 是公比为3的等比数列，∴13-=n n a . （2）由（1）得：2123n n n n n nb a a ++==-，又212333n nnT =+++，①， ∴2311123333n n n T +=+++，②，两式相减得：21211133333n n n n T +=+++-， 故111123313313nn n n T +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--，∴33234434nn n T +=-<⨯.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等. （4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PB PC =，E 为线段BC 的中点，F 为线段PA 上的一点.（1）证明：平面PAE ⊥平面BCP . （2）若22PA AB PB ==，二面角A BD F --的余弦值为35，求PD 与平面BDF 所成角的正弦值.【答案】（1）见解+析；（2）210【分析】（1）由PE BC BC AE ⊥⊥，得BC ⊥平面PAE ，进而可得证； （2）先证得PA ⊥平面ABCD ，设ACBD O =，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，分别计算平面BDF 的法向量为n 和PD ，设PD 与平面BDF 所成角为θ，则sin n PD n PDθ⋅=，代入计算即可得解.【详解】（1）证明：连接AC ，因为PB PC =，E 为线段BC 的中点，所以PE BC ⊥.又AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为等边三角形，BC AE ⊥. 因为AE PE E ⋂=，所以BC ⊥平面PAE ， 又BC ⊂平面BCP ，所以平面PAE ⊥平面BCP . （2）解：设AB PA a ==，则PB PC ==，因为222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，同理可证PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD . 如图，设ACBD O =，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.易知FOA ∠为二面角A BD F --的平面角，所以3cos 5FOA ∠=，从而4tan 3FOA ∠=. 由432AF a =，得23AF a =. 又由20,,23a a F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,0,0B ⎫⎪⎪⎝⎭，知2,23a a BF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，20,,23a a OF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 设平面BDF 的法向量为(),,n x y z =，由n BF ⊥，nOF ⊥，得202232023a ax y z a a y z ⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，不妨设3z =，得()0,4,3n =.又0,,2a P a ⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,0D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以,2aPD a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 设PD 与平面BDF 所成角为θ，则sin 5n PD n PDθ⋅===.所以PD 与平面BDF 所成角的正弦值为10.【点睛】用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”.他们的调查结果如下：0项1项2项3项4项5项5项以上理科生1 10 17 14 14 10 4 （人）文科生0 8 10 6 3 2 1 （人）（1）完成如下22列联表，并判断是否有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？比较了解不太了解合计理科生文科生合计（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.（i）求抽取的文科生和理科生的人数；（ii ）从10人的样本中随机抽取3人，用X 表示这3人中文科生的人数，求X 的分布列和数学期望. 参考数据：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.【答案】(1)见解+析；(2) （i ）文科生3人，理科生7人 （ii ）见解+析 【分析】（1）写出列联表后可计算2K ，根据预测值表可得没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.（2）（i ）文科生与理科生的比为310，据此可计算出文科生和理科生的人数. （ii ）利用超几何分布可计算X 的分布列及其数学期望. 【详解】解：（1）依题意填写列联表如下：计算222()100(42182812) 3.382 6.635()()()()30705446n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯， ∴没有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关.（2）（i ）抽取的文科生人数是30103100⨯=（人），理科生人数是70107100⨯=（人）. （ii ）X 的可能取值为0,1,2,3，则0337310C C 7(0)C 24P X ===， 1237310C C 21(1)C 40P X ===， 17213307(2)40C C P X C ===，3037310C C 1(3)C 120P X ===. 其分布列为所以72171369()01232440401204010E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样及超几何分布，注意在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）． 20. 在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(2,0)B ，且PAB ∆满足3tan tan 4A B =.记点P 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明是什么曲线；（2）若M ，N 是曲线C 上的动点，且直线MN 过点10,2D ⎛⎫⎪⎝⎭，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠？若存在，请求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142(2)x y x +=≠±，C 是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆（不含左、右顶点）；（2）存在定点(0,6)Q 【分析】（1）设点P 的坐标为(,)x y ，3tan tan 4A B =说明34PA PB k k =-，把这个等式用,x y 表示出来化简后即得；（2）假设存在的定点(0,)Q m 符合题意，当直线MN 的斜率k 存在时，设其方程为1124y kx k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,M x y ，()22,N x y ，由直线方程与椭圆方程联立消去y 得x 的一元二次方程，应用韦达定理得1212,x x x x +， MQO NQO ∠=∠，得0MQ NQ k k +=，代入1212,x x x x +化简后分析所得式子与k 无关时的m 值，同时验证MN 斜率不存在时，定点Q 也满足．【详解】（1）由3tan tan 4A B =，得34PA PB k k =-，设点P 的坐标为(,)x y ，则： 3(2)224y y x x x ⋅=-≠±+-，化简得：221(2)43x y x +=≠±， ∴曲线C 的方程为22142(2)x y x +=≠±C ∴是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆（不含左、右顶点）（2）假设存在的定点(0,)Q m 符合题意 由题意知：直线,AD BD 的斜率分别为14AD k =，14BD k =- 由题意及（1）知：直线MN 与直线,AD BD 均不重合，当直线MN 的斜率k 存在时 设其方程为1124y kx k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,M x y ，()22,N x y 由MQO NQO ∠=∠，得直线,MQ NQ 的倾斜角互补，故0MQ NQ k k +=又1212MQ NQy m y m k k x x --+=+12121122kx m kx m x x +-+-=+()1212124(12)2k x m x x x x +-+= ()12124(12)0kx x m x x ∴+-+=①由221,431.2x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y ，整理得：()22344110k x kx ++-=. ()221644340k k ∆=++>，又122434k x x k -+=+，1221134x x k -=+② 代②入①得：221144(12)3434k k m k k --⋅+-⋅++28(6)034k m k -==+③ 当14k ≠±时，又k 不恒为0，∴当且仅当6m =时，③式成立∴当直线MN 的斜率k 存在时，存在定点(0,6)Q 满足题意.当直线MN 的斜率不存在时，点(0,6)Q 满足0MQO NQO ∠=∠=︒，也符合题意. 综上所述，在 y 轴上存在定点(0,6)Q ，使得MQO NQO ∠=∠.【点睛】本题考查求轨迹方程，由方程确定曲线，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题．解题方法是设而不求的思想方法．即设动点坐标，()11,M x y ，()22,N x y ，应用韦达定理求得1212,x x x x +，代入题设条件中得出结论．本题考查了学生的运算求解能力．21. 已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈． （1）讨论()f x 的单调性并指出相应单调区间； （2）若21())1(2g x x x x f ---=，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）答案见解+析（2）15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】（1）先对函数进行求导得1()ax f x x-='，对a 分成0a ≤和0a >两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；（2）对函数()g x 求导得2(1)1()x a x g x x-++'=，从而有121x x a +=+，121=x x ，211x x =，三个方程中利用32a ≥得到1102x <≤.将不等式()()12g x g x k -≥的左边转化成关于1x 的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值，从而得到k 的取值范围. 【详解】解：（1）由()ln 1f x ax x =--，(0,)x ∈+∞， 则11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，则()0f x '≤，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，令1()0f x x a'=⇒=， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． （2）∵21()ln (1)2g x x x a x =+-+， 21(1)1()(1)x a x g x x a x x-++'=+-+=, 由()0g x '=得2(1)10x a x -++=，∴121x x a +=+，121=x x ，∴211x x =∵32a ≥∴111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩解得1102x <≤.∴()()()()222112121211221111ln(1)2ln 22x g x g x x x a x x x x x x ⎛⎫-=+--+-=-- ⎪⎝⎭. 设22111()2ln 022h x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则()2233121()0x h x x xxx'--=--=<,∴()h x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减；当112x =时，min 115()2ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ∴152ln 28k ≤-，即所求k 的取值范围为15,2ln 28⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想，求解双元问题的常用思路是：通过换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数研究单变量函数的性质.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. 选修4-4：坐标系与参数方程22. 曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (1)写出C的直角坐标方程，并且用00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩(α为直线的倾斜角，t 为参数)的形式写出直线l 的一个参数方程；(2)l 与C 是否相交，若相交求出两交点的距离，若不相交，请说明理由.【答案】（1）C 的直角坐标方程为2214x y +=，直线l 的一个参数方程为222x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)；（2）相交，且两交点的距离为5．试题分析：(1)由题意可得C 的直角坐标方程为2214x y +=，直线l 的一个参数方程为22x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)；(2)． 试题详细分析：(1)C 的直角坐标方程为2214x y +=，由cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭20x y --=，直线l 的倾斜角为4π， 过点()2,0，故直线l的一个参数方程为222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程得250t +=，10t =，2t = 显然l 与C 有两个交点,A B且12AB t t =-=选修4-5：不等式选讲23. 已知()21f x x x =+-. （1）解关于x 的不等式()4f x >；（2）对于任意正数m ，n ，求使得不等式2211()2f x nm m n≤++恒成立的x 的取值集合M . 【答案】（1）()5,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）51,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）分段讨论去绝对值即可解出不等式；（2）由基本不等式可得出不等式化为()4f x ≤，再由（1）即可求出. 【详解】（1）当0x ≤时，不等式化为214x x -+->，∴1x <-； 当01x <<时，不等式化为214x x +->，解得3x >，无解，当1≥x 时，不等式化为214x x +->，∴53x >. 综上，不等式()4f x >的解集为()5,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. （2）∵22112224nm nm m n mn++≥+≥，当且仅当1m n ==时“=”成立， ∴214x x +-≤，由1知x 的取值集合M 为51,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
陕西省西安市高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
西安市第八十三中学高三年级第二次模拟考试理科数学试题第I卷(选择题，共60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1、设集合，集合，若A∩B=，则实数的取值范围是（）(A)(B)(C)(D)2、复数，，则=( )(A)1 (B)(C)(D)3、已知且，则是的（）(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4、某长方体的长度为的体对角线在主视图中的投影长度为，在侧视图中的投影长度为，则该长方体的全面积为( )(A)(B)(C)6 (D)105、一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{}，若，且，，成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）(A)13，12 (B)12，13 (C)13，13 (D)13，146、，满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）(A)或（B）或（C）或（D）．或7、已知向量==,若,则的最小值为（）(A) (B) (C) (D)8、已知的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）(A)(B)(C)(D)9、已知双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为( )(A)(B) (C)(D)10、如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0,—1)，B(,—1)，C(,1)，D(0,1)，正弦曲线f(x)=和余弦曲线g(x)=在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )(A)(B)(C)(D)11、设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）(A) (B) (C) (D)112、定义域为的偶函数满足对于任意的,有,且当时,,若函数在上至少有三个零点,则的取值范围是（）(A) (B) (C) (D)第II卷(非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、已知抛物线的准线方程是，则 .14、等比数列中，----------.15、的展开式中项的系数等于 .(用数值作答)16、已知函数，若实数互不相等，且满足，则的取值范围是 .三、解答题：(本大题共6小题，共70分。
陕西省西安市长安区第一中学2021届高三数学上学期第二次月考试题文含解析
【解析】
【分析】
由已知推得 是周期为4的函数，又由 的函数解析式知区间内有两个零点，结合周期性即可求[0,2020]上零点的个数.
【详解】由 可得 是周期为4的函数，
又 时， ，当 或 时， ，
∴ 在 上均有两个零点，
所以在[0,2020]上共有1010个零点.
故选：B
【点睛】关键点点睛：由函数的周期性，结合函数单位周期内零点的位置特征，即可判断相应区间的零点个数.
（1）设 证明：数列 是等差数列；
（2）求数列 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用递推关系式可知 ，根据等差数列的概念即可证明；
（2）利用（1）的结论，先求出数列 的通项公式，然后解出 的通项公式.
【详解】解：（1）证明： ，
，
，则 ，
，
数列 是以 为首项，1为公差的等差数列．
8.函数 的图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】试题分析：由偶函数排除B、D, 排除C.故选A.
考点：函数的图象与性质．
9.数列 满足 ，则 的值为（）
A. 2B.-6C. 3D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知递推关系可得 且 ，即数列的周期为4，即可求 .
【详解】由已知得： ，即有 ，
因为 ，所以
所以 ，
所以只需将 的图像向左平移 个长度单位即可得到 的图像.
故选：B
【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式、图像的平化简的能力，属基础题.
6.从某商场十月份30天每天的销售额记录中任取10天的销售额记录（单位：万元），用茎叶图表示如图，则由此估计该商场该月份销售总额约为（）
2021年陕西省西安中学高考数学第二次仿真试卷(理科)(解析版)
2021年陕西省西安中学高考数学第二次仿真试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．若集合M＝{x∈Z|sin（πx）＝0}，，则（）A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝Φ2．等比数列{a n}的公比q＝i，其中为虚数单位，若a1＝1+i，则a8＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面4．已知函数f（x）＝（2x+2﹣x）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．5．若直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）6．函数y＝x3和存在公共点P（x0，y0），则x0的范围为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则整数a的值为（）A．6B．7C．8D．98．已知α是第二象限角，且tanα＝﹣，则sin2α＝（）A．﹣B．C．﹣D．9．等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3，S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，则m的值是（）A．6B．7C．8D．不存在10．已知向量，，则△ABC的面积为（）A．1B．2C．3D．411．甲乙两人相约10天内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过三天后方可离开．若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此二人会晤的概率是（）A．0.5B．0.51C．0.75D．0.412．双曲线C1：x2﹣y2＝1和抛物线C2：y2＝2px相交于点M，N，若△OMN的外接圆经过点，则抛物线C2的方程为（）A．B．y2＝3x C．y2＝x D．y2＝4x二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，．若，则实数k＝．14．若x，y满足约束条件目标函数z＝ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是．15．据市场调查，某种商品一年内的销售量按月呈的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高量9000，然后逐步降低，9月份达到最低销售量5000，则7月份的销售量为．16．如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．18．2021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“3+1+2”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选两科．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人，统计选考科目人数如表：选考物理选考历史总计男生4050女生总计30（Ⅰ）补全2×2列联表，并根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”；（Ⅱ）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查该校3名学生，设这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥0.100.050.0250.0100.0050.001k0）k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD ＝，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．20．如图，椭圆C1：的一个顶点为P（0，﹣1），离心率为．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中，l1交圆C2：x2+y2＝4于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△ABD面积取最大值时，直线l1的方程．21．已知函数f（x ）＝．（1）当a＝1，求函数y＝f（x）的图象在x＝0处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）已知x，y，z均为正实数，且x+y+z＝1，求证：++≤0．22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E的参数方程为（a为参数），直线l的参数方程为（t为参数，0≤β＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）分别写出曲线E和直线l的极坐标方程；（2）直线l与曲线E交于M，N两点，若，求直线l的斜率．23．已知a，b，c为正数，f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|．（1）若a＝b＝c＝1，求函数f（x）的最小值；（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等，求证：b3c+c3a+a3b＞abc．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合M＝{x∈Z|sin（πx）＝0}，，则（）A．M＝N B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝Φ解：∵M＝{x∈Z|sin（πx）＝0}＝Z，＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，∴N⊆M，故选：C．2．等比数列{a n}的公比q＝i，其中为虚数单位，若a1＝1+i，则a8＝（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i解：等比数列{a n}的公比q＝i，其中为虚数单位，若a1＝1+i，则a8＝a1•q7＝（1+i）•i7＝（1+i）（﹣i）＝1﹣i，故选：D．3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面解：对于A，α内有无数条直线与β平行，α∩β或α∥β；对于B，α内有两条相交直线与β平行，α∥β；对于C，α，β平行于同一条直线，α∩β或α∥β；对于D，α，β垂直于同一平面，α∩β或α∥β．故选：B．4．已知函数f（x）＝（2x+2﹣x）ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．解：f（﹣x）＝（2﹣x+2x）ln|﹣x|＝（2x+2﹣x）ln|x|＝f（x），则f（x）是偶函数，排除D，由f（x）＝0得ln|x|＝0得|x|＝1，即x＝1或x＝﹣1，即f（x）有两个零点，排除C，当x→+∞，f（x）→+∞，排除A，故选：B．5．若直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）解：∵直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点∴圆心到直线x﹣y+1＝0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选：C．6．函数y＝x3和存在公共点P（x0，y0），则x0的范围为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）解：令f（x）＝x3﹣，可知该函数为R上的增函数，函数y＝x3和存在公共点P（x0，y0），即x0为函数f（x）的零点，∵f（0）＝﹣4＜0，f（1）＝1﹣2＝﹣1＜0，f（2）＝23﹣1＝7＞0，f（3）＝＞0，f（4）＝＞0，∴x0的范围为（1，2），故选：B．7．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则整数a的值为（）A．6B．7C．8D．9解：当S＝1，k＝1时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝2；当S＝，k＝2时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝3；当S＝，k＝3时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝4；当S＝，k＝4时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝5；当S＝，k＝5时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝6；当S＝，k＝6时，应不满足退出循环的条件，故S＝，k＝7；当S＝，k＝7时，应满足退出循环的条件，故整数a的值为6，故选：A．8．已知α是第二象限角，且tanα＝﹣，则sin2α＝（）A．﹣B．C．﹣D．解：∵α是第二象限角，且tanα＝﹣，∴cosα＝﹣＝﹣，sinα＝＝，∴sin2α＝2sinαcosα＝﹣．故选：C．9．等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3，S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，则m的值是（）A．6B．7C．8D．不存在解：根据题意，等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3，则q2＝＝4，则q＝±2，当q＝2时，若S m＝63，则有＝63，解可得m＝6；当q＝﹣2时，若S m＝63，则有＝63，变形可得：（﹣2）m＝﹣168，无解；故m＝6；故选：A．10．已知向量，，则△ABC的面积为（）A．1B．2C．3D．4解：，所以，因为，所以，故△ABC的面积为．故选：A．11．甲乙两人相约10天内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过三天后方可离开．若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此二人会晤的概率是（）A．0.5B．0.51C．0.75D．0.4解：设甲乙两人分别在第x，y天到达某地，则0≤x≤10，0≤y≤10，他们会面的充要条件是|x﹣y|＜3，则点（x，y）分布在如图所示的正方形OABC内，其基本事件S1为介于两条直线x﹣y＝±3之间的阴影内，所以所求概率为＝＝0.51．故选：B．12．双曲线C1：x2﹣y2＝1和抛物线C2：y2＝2px相交于点M，N，若△OMN的外接圆经过点，则抛物线C2的方程为（）A．B．y2＝3x C．y2＝x D．y2＝4x解：由题意设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），，T是MN与x轴的交点，因为O，M，N，A四点共圆，由相交弦定理可得：|OT|•|TA|＝|MT|•|TN|，即x0•（﹣x0）＝y02＝2px0，其中x0＞0，可得x0＝﹣2p，y02＝2px0＝7p﹣4p2，代入双曲线的方程：（﹣2p）2﹣（7p﹣4p2）2＝1，即：32p2﹣84p+45＝0，解得p＝（舍）或p＝，所以抛物线的方程为：y2＝x，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，．若，则实数k＝．解：由，得1×（k﹣6）﹣9k＝0，解得k＝﹣，故答案为：．14．若x，y满足约束条件目标函数z＝ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（﹣4，2）．解：可行域为△ABC，如图，当a＝0时，显然成立．当a＞0时，直线ax+2y﹣z＝0的斜率k＝﹣＞k AC＝﹣1，a＜2．当a＜0时，k＝﹣＜k AB＝2a＞﹣4．综合得﹣4＜a＜2，故答案为：（﹣4，2）．15．据市场调查，某种商品一年内的销售量按月呈的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高量9000，然后逐步降低，9月份达到最低销售量5000，则7月份的销售量为6000．解：作出函数f（x）的简图如图所示，三角函数模型为：f（x）＝A sin（ωx+φ）+B，由题意知：A＝2000，B＝7000，T＝2×（9﹣3）＝12，∴，所以，当x＝3时，y取最大值，所以，k∈Z，∴φ＝0+2kπ，k∈Z，故，∴，故7月份的出厂价格为6000元．故答案为：6000．16．如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于1．解：根据圆锥的侧面展开图：得知：OA＝OB＝4，AB＝4，所以OA2+OB2＝AB2，故∠AOB＝，设圆锥的底面半径为r，利用4×＝2πr，解得r＝1．故答案为：1．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．设向量，，．（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值．解：（1）由题意可得＝+sin2x＝4sin2x，＝cos2x+sin2x＝1，由，可得4sin2x＝1，即sin2x＝．∵x∈[0，]，∴sin x＝，即x＝．（2）∵函数＝（sin x，sin x）•（cos x，sin x）＝sin x cos x+sin2x＝sin2x+＝sin（2x﹣）+．x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣＝，sin（2x﹣）+取得最大值为1+＝．18．2021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“3+1+2”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选两科．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人，统计选考科目人数如表：选考物理选考历史总计男生4050女生总计30（Ⅰ）补全2×2列联表，并根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”；（Ⅱ）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查该校3名学生，设这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．参考数据：P（K2≥0.100.050.0250.0100.0050.001k0）k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828解：（Ⅰ）根据题意补全列联表，如下：选考物理选考历史总计男生401050女生302050总计7030100计算K2＝≈4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“选考物理与性别有关”；（Ⅱ）根据题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，且X服从二项分布，由题意知，学生选考历史的概率为，且X～B（3，），计算P（X＝0）＝•＝，P（X＝1）＝••＝，P（X＝2）＝••＝，P（X＝3）＝•＝，所以X的分布列为：X0123P计算数学期望为E（X）＝3×＝．19．如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝，现以AD为一边向形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图2．（1）求证：AM∥平面BEC；（2）求证：BC⊥平面BDE；（3）求直线DC与平面BEC所成角的正弦值．【解答】证明：（1）取EC中点N，连结MN，BN，在△EDC中，M，N分别为ED、EC的中点，∴MN∥CD，且MN＝CD．由已知AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABMN为平行四边形．∴BN∥AM．又∵BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，∴AM∥平面BEC．（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD，又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，得BC＝．在△BCD中，BD＝BC＝，CD＝2，BD2+BC2＝CD2，∴BC⊥BD．∵ED∩BD＝D，∴BC⊥平面BDE．解：（3）作DH⊥平面BEC于点H，连接CH，则∠DCH为CD与平面BEC所成角，由（2）知，BC⊥BE，BC⊥BD，∴S△BCD＝，又∵ED⊥平面ABCD，＝．∴DH＝，∴sin＝＝．∴CD与平面BEC所成角的正弦值为．20．如图，椭圆C1：的一个顶点为P（0，﹣1），离心率为．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中，l1交圆C2：x2+y2＝4于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）求△ABD面积取最大值时，直线l1的方程．解：（Ⅰ）因为椭圆的一个顶点为P（0，﹣1），则b＝1，又离心率为，则，结合c2＝a2﹣b2，解得a＝2，b＝1，所以椭圆的方程是；（Ⅱ）因为直线l1⊥l2，且都过点P（0，﹣1），则设直线l1：y＝kx﹣1，即kx﹣y﹣1＝0，直线l2：，故圆心（0，0）到直线l1的距离为，所以直线l1被圆x2+y2＝4所截的弦，联立方程组，所以，故，所以＝，当且仅当时等号成立，此时直线l1的方程为．21．已知函数f（x）＝．（1）当a＝1，求函数y＝f（x）的图象在x＝0处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）已知x，y，z均为正实数，且x+y+z＝1，求证：++≤0．【解答】（1）解：当a＝1时，f（x）＝，则f（0）＝0，f′（x）＝，∴f′（0）＝1，∴函数y＝f（x）的图象在x＝0处的切线方程为y＝x；（2）解：∵函数f（x）在（0，1）上单调递增，∴ax+1＝0在（0，1）上无解当a≥0时，ax+1＝0在（0，1）上无解满足当a＜0时，只需1+a≥0，∴﹣1≤a＜0 ①f′（x）＝∵函数f（x）在（0，1）上单调递增，∴f′（x）≥0在（0，1）上恒成立即a[（x+1）ln（x+1）﹣x]≤1在（0，1）上恒成立设h（x）＝（x+1）ln（x+1）﹣x，则h′（x）＝ln（x+1），∵x∈（0，1），∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，1）上单调递增∴h（x）在（0，1）上的值域为（0，2ln2﹣1）∴a≤在（0，1）上恒成立，∴a≤②综合①②得实数a的取值范围为[﹣1，]（3）证明：由（2）知，当a＝﹣1时，f（x）＝在（0，1）上单调递增于是当0＜x≤时，f（x）＝≤f（）＝当≤x＜1时，f（x）＝≥f（）＝∴（3x﹣1）f（x）≥（3x﹣1）•，即≤（3x﹣1）•，同理有≤（3y﹣1）•，≤（3z﹣1）•，三式相加得：++≤0．22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E的参数方程为（a为参数），直线l的参数方程为（t为参数，0≤β＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）分别写出曲线E和直线l的极坐标方程；（2）直线l与曲线E交于M，N两点，若，求直线l的斜率．解：（1）曲线E的参数方程为（a为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣4）2＝10，根据，转换为极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+6＝0，直线l的参数方程为（t为参数，0≤β＜π），转换为极坐标方程为θ＝β；（2）将直线极坐标方程为θ＝β代入ρ2﹣8ρsinθ+6＝0，得到ρ2﹣8ρsinβ+6＝0，所以ρ1+ρ2＝8sinβ，ρ1ρ2＝6，由于，故，即ρ2＝3ρ1，所以，所以，所以直线的斜率k＝±1．23．已知a，b，c为正数，f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|．（1）若a＝b＝c＝1，求函数f（x）的最小值；（2）若f（0）＝1且a，b，c不全相等，求证：b3c+c3a+a3b＞abc．解：（1）因为a＝b＝c＝1，所以f（x）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|＝2|x+1|+|x﹣1|，法1：由上可得：所以，当x＝﹣1时，函数f（x）的最小值为2；法2：f（x）＝）＝|x+a|+|x+b|+|x﹣c|＝|x+1|+|x+1|+|x﹣1|≥|x+1|+|x+1﹣x+1|＝2+|x+1|≥2，当且仅当，即x＝﹣1时取得最小值2；证明（2）：因为a，b，c为正数，所以要证，即证明就行了，法1：因为＝≥2+2+2＝2（a+b+c），当且仅当a＝b＝c时取等号．又因为f（0）＝1即a+b+c＝1且a，b，c不全相等，所以，即，法2：因为（a+b+c）（++）≥1，当且仅当＝＝取等号，又因为f（0）＝1即a+b+c＝1且a，b，c不全相等，所以，即．。
陕西省高三第二次模拟考试数学(理)试题 (含答案解析)
长安一中 高新一中 交大附中 师大附中 西安中学高第二次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|(1)}(,),A x x a a i a R i A R ==+-∈⊆是虚数单位若，则a=A ．1B ．-1C ．±1D ．02．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是 ．A ．2()f x x =B ．1()f x x =C ．()ln 26f x x x =+-D ．()sin f x x =3．已知p ：存在2200,20.:,210x R mx q x R x mx ∈+≤∈-+>任意，若“p 或q”为假命题，则实数m 的取值范围是 A ．[1，+∞） B ．（一∞，一1] C ．（一∞，一2] D ．[一l ，1]4．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若14611,6a a a =-+=-,则当S n 取最小值时．n 等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．95．定义在R 上的函数()f x 满足2(6)(),31,()(2),f x f x x f x x +=-≤≤=-+当时当一1≤x<3时，(),(1)(2)(3)(2013)f x x f f f f =+++=则 A ．2013 B ．2012 C ．338D ．337 6． 如果实数x 、y 满足条件1010,10x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩那么z=4x ·2-y 的最大值为A ．1B ．2C ．12D ．147．已知函数33(0)()(,)(0)(01)x x a x f x x a x a a -+-<⎧=∈-∞+∞⎨≥>≠⎩是且上的减函数，则a 的取值范围是A ．2(0,]3B ．1(,1)3 C ．（2，3） D ．12(,]238．已知F 1，F 2为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1212||2||,c o s P F P F F P F =∠则= A ．14 B ．34 C ．35 D ．459．已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S —ABC 的体积为A ．3B ．3C ．3D ．310．已知函数y=x 3-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点．则c=A ．一2或2B ．一9或3C ．一1或1D ．一3或1第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案值填在答题卡的相应位置）11．若6(x -展开式的常数项是60，则常数a 的值为 ． 12．若曲线||21x y =+与直线y=b 没有公共点，则b 的取值范围是 ．13．椭圆2221(5x y a a+=为定值，且a >F ，直线x=m 与椭圆相交于点A 、B 。
陕西省西安市2021届高三数学下学期第二次质量检测试题 理(含解析)
陕西省西安市2021届高三数学下学期第二次质量检测试题 理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知R 是实数集，集合{}|2A x Z x =∈<，{}|210B x x =-≥，则()R AC B =（ ）A. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. {}1C. {}1,0-D. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】先求得的集合{}1,0,1A =-，1|2B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，进而得到R C B ，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}{}|21,0,1A x Z x =∈<=-，{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭， 所以1|2R C B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，所以(){}1,0R A C B =-.故选：C .【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的混合运算，其中解答中熟记集合运算的概念，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 2. 已知i 是虚数单位，复数31iz i+=+，则复数z 的共扼复数为（ ） A. 12i + B. 12i -C. 2i +D. 2i -【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算求出z 后，根据共轭复数概念得结论． 【详解】∵()()()()3134221112i i i iz i i i i +-+-====-++-，∴z 的共轭复数为2z i =+． 故选：C ．【点睛】本题考查复数的除法运算和共轭复数的概念，属于基础题． 3. 已知向量()5,a m =，()2,2b =-，若()a b b -⊥，则实数m = ( ) A. -1 B. 1C. 2D. -2【答案】B 【解析】 【分析】根据向量坐标的线性运算得到a b -，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于m 的方程，解出m 的值，得到答案.【详解】因为向量()5,a m =，()2,2b =- 所以()3,2a b m +=+，因为()a b b -⊥， 所以()0a b b -⋅=所以()6220m -+= 解得1m =. 故选：B.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，根据向量垂直关系求参数的值，属于简单题.4. 62x ⎫⎪⎭的展开式中常数项为（ ） A. 60 B. 60-C. 192-D. 192【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式，通过赋值法则问题得解.【详解】二项式62x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式为()33162r r r x r T C x -+=⋅-⋅，令3302r -=，求得2r ．可得展开式中常数项为()226260C -=．故选：A ．【点睛】本题考查利用二项式定理求制定项，属基础题.5. 某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则n =（ ） A. 96 B. 72C. 48D. 36【答案】B 【解析】 【分析】根据分层比例列式求解. 【详解】由题意得23872.99n n n -=-∴=选B. 【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.6. 已知a ，b 为非零实数，且0a b <<，则下列命题成立的是（ ） A. 22a b < B.2211ab a b < C. 22a b ab < D. b a a b<【答案】B 【解析】 【分析】举出反例,利用特殊值依次排除选项A 、D,由不等式的性质可排除C 【详解】对于选项A,令1a =-,1b =时,221a b ==,故A 不正确； 对于选项C,220a b ab >>,故C 不正确；对于选项D,令1a =-,1b =时,1b aa b =-=,故D 不正确； 对于选项B,220a b ab >>,则22110ab a b<<故选B【点睛】本题考查不等式的性质的应用,考查特殊值法处理选择题7. 如图所示，是某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图，其中俯视图为等腰直角三角形,则该几何体体积为（ ）A. 620π+B. 916π+C. 918π+D. 2063π+【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图可得该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥，根据三视图中的数据，利用椎体和球体的体积公式计算可得答案.【详解】由三视图可知：该组合体下半部为一半球体，上半部为一三棱锥， 该三棱锥中一条侧棱与底面垂直，底面三角形为等腰直角三角形， 其中腰长为323，而球体的半径为3， 所以该组合体的体积为：3 14113332329182332V V V ππ=+=⨯⨯+⨯⨯⨯=+半球体三棱锥.故选：C【点睛】本题考查了由三视图还原直观图，考查了椎体和球体的体积公式，属于基础题. 8. 点P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到点()0,1A -的距离与点P 到直线2x =-的距离和的最小值是 522121【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线定义，将问题转化为求PA PF +的最小值加1，数形结合，则问题得解. 【详解】由24y x =得焦点为()1,0F ，准线1x =-．过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，根据抛物线的定义，抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离．所以有PN PF =，连接F 、A ，有FA PA PF ≤+， 所以P 为AF 与抛物线的交点时，点P 到点()0,1A -的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值为2FA = 所以点P 到点()0,1A -的距离与P 到直线2x =-21． 故选：D ．【点睛】本题考查抛物线上一点到定直线以及定点之间的距离之和的最小值，属基础题. 9. 将函数()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移()0a a >个单位得到函数()cos2g x x =的图象，则a 的最小值为（ ） A.3π B.512π C.23π D.12π【答案】B 【解析】 【分析】先写出平移的函数表达式，利用诱导公式得出a 所有取值，最小值即可确定．【详解】由题意知，()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移()0a a >个单位得到函数()()sin 2sin 2233h x x a x a ππ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，所以()22Z 32a k k πππ-=+∈，当0k =时，a 取最小值512π． 故选：B ．【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换，考查诱导公式，解题关键是确定由sin()x ϕ+变成cos x 时ϕ的值．10. 已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A. ,1a e b ==-B. ,1a e b ==C. 1,1a e b -==D.1,1a e b -==-【答案】D 【解析】 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ．【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 11. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()1f x -是定义在R 上的奇函数，则()()20182020f f +的值为（ ）A. 1-B. 1C. 0D. 无法计算【答案】C 【解析】 【分析】先由f （x ）是定义在R 上的偶函数得f （﹣x ）＝f （x ），然后利用()1f x -与f （x ）的关系，以及()1f x -的奇偶性，得f （x +1）+f （x ﹣1）＝0，从而得到要求的数值．【详解】因为()1f x -是定义在R 上的奇函数，()()11f x f x --=--．因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -=，可得()()()111f x f x f x +=-+=--⎡⎤⎣⎦，所以()()110f x f x ++-=，因此()()()()2018202020191+2019+1=0f f f f +=-．故选：C ．【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质，以及整体代换思想，是个基础题．12. 设2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的渐近线的斜率为（ ）A. 27±B. 23±C. 7±D. 3±【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线的对称性可知四边形21MF PF 为平行四边形，所以12||||MF PF =，1//MF PN ，由双曲线的定义知，21||||2MF MF a -=，于是2||3MF a =，1||MF a =，在△12MF F 中，由余弦定理可得2247c a =，然后利用22222b c a a a -=，求出b a的值即可得解．【详解】解：设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线的对称性可知四边形21MF PF 为平行四边形．∴12MF PF =，1//MF PN ． 设2PF n =，则22MF m =，即1MF a =，23MF a =． ∵2122a MF MF m =-=，即1MF a =，23MF a =． ∵260MF N ∠=︒，∴1260F MF ∠=︒． 又122F F c =，在12MF F △中，由余弦定理可得：2224923cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅︒，即2247c a =，∴2274c a =，2222314b c a a =-=．∴双曲线C 的渐近线的斜率为． 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的定义与性质，考查学生的数形结合思想和运算能力，属于中档题． 二、填空题13. 在区间[]1,5内任取一个实数，则此数大于2的概率为______．【答案】34【解析】 【分析】区间[]1,5的长度为4，此区间内大于2的数所在区间长度为3，由几何概型概率公式可得概率． 【详解】根据几何概型可知，所求概率为：523514p -==-． 故答案为：34． 【点睛】本题考查求几何概型，属于基础题．14. 函数()25log 23y x x =+-的单调增区间是______. 【答案】()1,+∞ 【解析】【分析】求得函数()25log 23y x x =+-的定义域为(,3)(1,)-∞-⋃+∞，令()223g x x x =+-，利用二次函数的性质，求得函数的单调区间，结合据复合函数的单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，函数()25log 23y x x =+-满足2230x x +->，解得3x <-或1x >， 即函数()25log 23y x x =+-的定义域为(,3)(1,)-∞-⋃+∞，令()223g x x x =+-，则函数()g x 在(,3)-∞-单调递减，在区间(1,)+∞单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数()25log 23y x x =+-的单调递增区间为(1,)+∞. 故答案为(1,)+∞.【点睛】本题主要考查了复合函数的单调区间的求解，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15. 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .ABC ∆的面积()2214S a c =+，若2sin sin B A C =，则角B 的值为______.【答案】512π 【解析】 【分析】根据面积公式得到和余弦定理得到22sin 2cos ac B b ac B =+，结合2sin B A =sin C 得到1sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，化简得到答案.【详解】因为1sin 2S ac B =，又()2214S a c =+，所以()2211sin 42a c ac B += 所以222sin a c ac B +=，由余弦定理得2222cos a cb ac B +=+ 所以22sin 2cos ac B b ac B =+由2sin sin B A C =结合正弦定理，得2b =所以2sin 2cos ac B ac B =+)sin cos 1B B -=，所以1sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,B π∈，所以得46B ππ-=，或546B ππ-=（舍去），所以512B π∠=.故答案为：512π【点睛】本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，意在考查学生对于三角公式的综合应用能力.16. 在三棱锥D ABC -中，已知AD ⊥平面ABC ，且ABC 为正三角形，AD AB ==点O 为三棱锥D ABC -的外接球的球心，则点O 到棱DB 的距离为______. 【答案】12【解析】 【分析】设'O 为ABC 的中心，M 为AD 中点，连结OM ，'OO ，AO ，求得OA =，设平面ODA 截得外接球是O ，D ，A ，F 是O 表面上的点，结合圆的性质和球的性质，即可求解.【详解】由题意，设'O 为ABC 的中心，M 为AD 中点，连结OM ，'OO ，AO ，则'1AO =，2AM =，可得2OA =,即球的半径为2，作平面ODA 交BC 于E ，交BC 于F ， 设平面ODA 截得外接球的截面是O ，D ，A ，F 是O 表面上的点，又∵DA ⊥平面ABC ，所以90DAF ∠=︒，所以DF 是O 的直径，也是球O 的直径，DF =DB BF ⊥.因为DA AB ⊥，DA =AB =BD =，所以1BF =，做OH DB ⊥，所以//OH BF ，又由DO OF =，所以OH 是DBF 的中位线，所以12OH BF =，故12OH =. 故答案为：12【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及球的性质的应用，其中解答中熟练应用空间几何体的几何结构特征和球的性质是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：17. 在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，1BB 的中点．（1）求证：//EF 平面11A DC ；（2）若123AA =2AB =，求二面角11E A D C --的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）32114. 【解析】 【分析】（1）证明四边形11ADC B 为平行四边形，可得11//AB DC ，进而得到1//EF DC ，由此得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面11A DC 及平面1EA D 的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．【详解】（1）证明：连接1AB ，∵E ，F 分别为AB ，1BB 的中点． ∴1//EF AB ．∵正四棱柱柱1111ABCD A B C D -中，11AD B C =，11//AD B C ． ∴四边形11ADC B 是平行四边形， ∴11//AB DC ，∴1//EF DC ．∵EF ⊄平面11A DC ，1DC ⊂平面11A DC ， ∴//EF 平面11A DC ．（2）在正四棱柱中，分别以DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()2,1,0E ，(12,0,23A ，(10,2,23C ．∴()112,2,0AC =-，(12,0,23DA =，(10,1,23EA =-， 设平面11A DC 的法向量(),,m x y z =，则22230x y x z -+=+=． 取3x =，则(3,3,3m =-． 同样可求出平面1A DE 一个法向量()3,23,1n =--．∴237cos 142116m n m n m n⋅<⋅>===-⋅．设二面角11E A D C --θ，则7cos θ=，由22cos sin 1,0π,θθθ+=≤≤，解得321sin θ=∴二面角11E A D C --的正弦值为32114． 【点睛】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的问题，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．18. 某高校自主招生考试中，所有去面试的考生全部参加了“语言表达能力”和“竞争与团队意识”两个科目的测试，成绩分别为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，某考场考生的两科测试成绩数据统计如图，其中“语言表达能力”成绩等级为B 的考生有10人．（1）求该考场考生中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数；（2）已知等级A 、B 、C 、D 、E 分别对应5分，4分，3分，2分，1分．求该考场学生“语言表达能力”科目的平均分． 【答案】（1）3；（2）2.9. 【解析】 【分析】（1）由“语言表达能力”科目中成绩为B 的考生有10人，能求出该考场有40人，由此能求出该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数．（2）求出“语言表达能力”科目中成绩等级为D 的频率为0.100，由此能求出该考查考生“语言表达能力”科目的平均分．【详解】（1）因为“语言表达能力”科目中成绩为B 的考生有10人，所以该考场有100.25040÷=（人）．所以该考场中“竞争与团队意识”科目成绩等级为A 的人数为()4010.3750.3750.1500.025400.0753⨯----=⨯=．（2）由题意可得：“语言表达能力”科目中成绩等级为D 的频率为10.3750.2500.2000.0750.100----=．该考查考生“语言表达能力”科目的平均分为()()()()11400.2002400.1003400.3754400.25040⎡⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⎣()5400.075 2.9⎤+⨯⨯=⎦．【点睛】本题考查频数、平均数的求法，考查条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．19. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，()*22N n n S a n =-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记n nnb a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围． 【答案】（1）2nn a =；（2）122n T ≤<. 【解析】 【分析】（1）本小题运用借S n 求a n 直接求解即可；（2）本小题运用错位相减法求出 T n ，再根据T n 的增减性求解即可.【详解】（1）当1n =时，1122S a =-，得12a =； 当2n ≥时，22n n S a =-①，1122n n S a --=-②，①-②得，12nn a a -=； 所以数列{}n a 是以12a =为首项，以2为公比的等比数列，即2nn a =；（2）由题，得122nn n n b n ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，因为12321n n n n T b b b b b b --=+++⋅⋅⋅+++， 所以()()23211111112321222222n n nn T n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，()()23111111111123212222222n nn n T n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，①-②，得231111111112222222n n n n T n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，()1222nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，显然，2n T <，因为1110n n n n T T a +++-=>， 所以数列{}n T 是递增数列，且131222T =-=， 因此122n T ≤< 【点睛】本题考查借S n 求a n ，错位相减法，是中档题. 20. 已知函数()()22ln R f x x a x ax a =--∈．（1）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）记()()g x f x ax =+，若()g x 在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）122,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）,e e ⎡⎤-⋃⎣⎦.【解析】 【分析】（1）对参数a 进行分类讨论，在不同情况下求得()f x 的最小值，根据()0min f x ≥，即可求得参数的取值范围；（2）分离参数，将问题转化为对函数()2ln h x x x=单调性和值域的研究，则问题得解.【详解】（1）()()()222x a x a a f x x a x x-+'=--=， 令()0f x '=，解得1x a =，22ax =-； 当0a =时，显然成立；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． 则()()2min ln 0f x f a a a ==-≥，解得01a <≤；当0a <时，()f x 在0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 则()222minln 02422a a a a f x f a ⎛⎫⎛⎫=-=+--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1220e a -≤<；综上，实数a 的取值范围为122,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （2）显然1x =不是()g x 的零点，由()0g x =得22ln x a x =．令()()2*ln x h x x=．则()()()22ln 1ln x x h x x -'=，令()0h x '=，解得12x e =；()0h x '>，解得12e x e <<；()0h x '<，解得11x e<<或121x e <<．当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭和1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()h x 单调递减，当时，()h x 单调递增， 又1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()0*h x <不成立．∴只需()122222a h e e a h e e ⎧⎛⎫>=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪≤=⎩，∴实数a的取值范围为,e e ⎡⎤-⋃⎣⎦．【点睛】本题考查利用导数研究恒成立问题以及零点问题，分离参数以及分类讨论是解决问题的关键.21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F，若椭圆经过点)1P-，且12PF F △的面积为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为1的直线l 与圆22:O x y b +=交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且()R CD AB λλ=∈，当λ取得最小值时，求直线l 的方程并求此时λ的值．【答案】（1）22184x y +=；（2）3，y x=． 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积可2c =，将P 点代入椭圆得到22611a b+=，联立即可求得a ，b ；（2）设直线l 的方程为y x m =+，表示出||AB =式得到m 的取值范围，结合条件表示出λ=m 取值范围求得其范围. 【详解】解：（1）由12PF F △的面积可得12122c ⨯⨯=．即2c =，∴224a b -=．①又椭圆C 过点)1P，∴22611a b +=．②由①②解得a =2b =．故椭圆C 的标准方程为22184x y +=．（2）由题知圆221:2O x y +=，设直线l 的方程为y x m =+，则原点到直线l 的距离d =，由弦长公式可得AB ==将y x m =+代入椭圆方程22184x y+=，得2234280x mx m ++-=，由判别式()221612280m m ∆=-->，解得m -<<由直线和圆相交的条件可得d r <<，也即22m -<<，综上可得m 的取值范围是()2,2-． 设()11,C x y ，()22,D x y ，则1243m x x +=-，212283m x x -=，由弦长公式，得CD ===由CD AB λ=，得CD AB λ=== ∵22m -<<，∴2044m <-≤，则当0m =时，λ取得最小值3，此时直线l 的方程为y x =．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的综合，根的判别式，弦长公式，考查学生运算能力，属于中档题．（二）选考题：请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系中，直线l的参数方程为,2y 12x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos a ρθ=，0a >．（1）求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 交于P ，Q ．设()0,1M -，且24PQ MP MQ =⋅，求实数a 的值．【答案】（1）cos sin 1ρθρθ-=；()2220x y ax a +=>；（2）1a =.【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．【详解】解：（1）由直线l的参数方程12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），消去t 得1x y -=，所以直线的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ-=，由()2cos 0a a ρθ=>，得()22cos 0a a ρρθ=>，由cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得曲线C 的直角坐标方程为()2220x y ax a +=>，（2）显然M 在直线l 上，将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立得)2110t a t ++=．则)2140a ⎤∆=+->⎦且)121t t a +=+，121t t =，设点P ，Q 分别对应参数1t ，2t 恰为上述方程的根． 则1MP t =，2MQ t =，12PQ t t =-， 由题设得212124t t t t -=，则有()212128t t t t +=，得1a =或3a =-． 因为0a >，且1a =满足>0∆，所以1a =．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． [选修4-5：不等式选讲]23. 设函数()213f x x x =--+． （1）解不等式()0f x >；（2）若()33f x x a ++≥对一切实数x 均成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2{|3x x <-或4}x > ；（2）(,7]-∞． 【解析】 【分析】（1）方法一：根据绝对值不等式意义解不等式；方法二：将不等式2130x x --+>变形为213x x ->+，两端平方整理成关于x 的一元二次不等式，求解即可；（2）利用绝对值不等式()()33212321267f x x x x x x ++=-++≥--+=，可得7a ≤.【详解】（1）解法一：当12x ≥时，()()21340f x x x x =--+=->，解得4x >；当132x -≤<时,()()213320f x x x x =-+-+=-->，解得233x -≤<-； 当3x <-时，()()21340f x x x x =-+++=-+>，解得3x <-， 综上,原不等式的解集为2{|3x x <-或4}x > ； 解法二：()0213f x x x >⇔->+，两边平方整理得，231080x x -->，解得23x <-或4x >，所以，原不等式的解集为2{|3x x <-或4}x >；（2）()()33212321267f x x x x x x ++=-++≥--+=，当132x -≤≤时等号成立，所以7a ≤ ．故实数a 的取值范围为(],7-∞．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及利用绝对值不等式求参数的取值范围，属于高考常考题型.。
2021届陕西省西安中学高三下学期第二次仿真考试数学(理)试题(解析版)
2021届陕西省西安中学高三下学期第二次仿真考试数学（理）试题一、单选题1．若集合(){}sin 0M x Z x π=∈=，cos 02xN x Z π⎧⎫=∈=⎨⎬⎩⎭，则（ ）． A ．M NB ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M N ⋂=Φ【答案】C【分析】先解方程()sin 0x π=和cos02xπ=，进而得{},M x Z x k k Z =∈=∈，{}12,N x Z x k k Z =∈=+∈，进而可得答案.【详解】因为()sin 0x π=，所以,x k k Z ππ=∈，即,x k k Z =∈，故(){}{}sin 0,M x Z x x Z x k k Z π=∈==∈=∈；因为cos02xπ=，所以,22xk k Z πππ=+∈，即12,x k k Z =+∈，故{}cos 012,2xN x Z x Z x k k Z π⎧⎫=∈==∈=+∈⎨⎬⎩⎭，所以N M ⊆. 故选：C2．等比数列{}n a 的公比q i =，其中为i 虚数单位，若11a i =+，则8a =（ ）． A ．1i -+ B ．1i --C ．1i +D ．1i -【答案】D【分析】利用等比数列的定义结合复数的运算可求得8a .【详解】由已知条件可得()()()7743811111a a q i i i i i i i i ==+⋅=+⋅⋅=-+=-.故选：D.3．设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【分析】根据面面平行的判定定理，及面面平行的概念，结合充要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，若α内有无数条直线与β平行，则α与β可能平行或相交；故A 排除；B 选项，若α内有两条相交直线与β平行，由面面平行的判定定理，可得//αβ；反之显然也成立，因此“α内有两条相交直线与β平行”是“//αβ”的充要条件；即B 正确；C 选项，若α，β平行于同一条直线，则α与β可能平行或相交；故C 排除；D 选项，若α，β垂直于同一平面，则α与β可能平行或相交（如教室内的墙角，对应的三个面两两垂直）；故D 排除. 故选：B.4．已知函数()()22ln ||xxf x x -=+的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的性质以及特殊点的位置，即可根据排除法解出． 【详解】因为函数()()22ln ||xxf x x -=+定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()f x f x -=，所以函数()()22ln ||xxf x x -=+为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除D ；又因为()10f =，可排除C ；()()10f e f >=，可排除A ． 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别，属于基础题．5．若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3,1]-- B ．[1,3]-C ．[3,1]-D ．(,3][1,)∞-+∞【答案】C【详解】由题意得圆心为(,0)a．圆心到直线的距离为d =， 由直线与圆有公共点可得≤|1|2a +≤，解得31a -≤≤． ∴实数a 取值范围是[3,1]-． 选C ．6．函数3y x =和212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭存在公共点()00,P x y ，则0x 的范围为（ ）．A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【分析】构造函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合函数单调性和零点存在定理可选出正确答案.【详解】解：由题意知，()23102x f x x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭有解，()()()04,11,27f f f =-=-=，因为()f x 在R 上连续且在R 上单调递增，有()()120f f ⋅<，则解的范围为()1,2， 故选:B.7．某算法框图如图所示，若该程序运行后输出的值是137，则整数a 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】A【分析】根据程序框图，逐步只需，直到能输出137为止，即可判断a 的值. 【详解】执行框图如下： 初始值1S =，1k =，此时137S ≠，需要执行循环体， 计算131311227S =+=≠⨯，2k =，需要继续执行循环体； 计算3151322337S =+=≠⨯，3k =，需要继续执行循环体； 计算5171333447S =+=≠⨯，4k =，需要继续执行循环体； 计算7191344557S =+=≠⨯，5k =，需要继续执行循环体； 计算91111355667S =+=≠⨯，6k =，需要继续执行循环体； 计算111136677S =+=⨯，7k =，此时需要输出S ； 因此6a =， 故选：A.8．已知α是第二象限角，且1tan 3α=-，则sin 2α= A ．31010-B 310C ．35D ．35【答案】C【详解】由同角三角函数基本关系可得：22sin 1cos 3{sin cos 1sin 0,cos 0αααααα=-+=><，解得：sin {cos αα== ，则3sin 22sin cos 5ααα==- . 本题选择C 选项.9．等比数列{}n a 中，11a =，534a a =．设n S 为{}n a 的前n 项和，若63m S =，则m 的值为（ ）． A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】B【分析】由已知条件可求出公比，由63m S =，结合等比数列的求和公式即可求出m .【详解】解：设公比为q ，因为534a a =，所以42114a q a q =，解得2q或2-，当2q时，()()1111263112m m m a q S q-⨯-===--，解得6m =；当2q =-时，()()1112163112mm m a q S q ⎡⎤⨯---⎣⎦===-+，无解，故选:B.10．已知向量()1,2AB =，()3,4AC =，则ABC 的面积为（ ）． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】利用向量运算求得cos A ，由此求得sin A ，利用三角形的面积公式求得三角形ABC 的面积.【详解】5,5AB AC ==，3cos 5AB AC A AB AC⋅+===⋅()0,Aπ∈，所以sin A ==， 所以1512ABCS==. 故选：A11．甲乙两人相约10天内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过三天后方可离开.若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此二人会晤的概率是（ ）A ．0.5B ．0.51C ．0.75D ．0.4【答案】B【分析】根据题意设甲乙两人到达的时间点分别为,x y ，根据题意可得：010,010x y ≤≤≤≤，若要见面则3x y -≤，结合图像由S p S =阴总，即可得解. 【详解】设甲乙两人到达的时间点分别为,x y ， 根据题意可得：010,010x y ≤≤≤≤， 如图，可得可行域为边长为10的正方形，若要会晤，则3x y -≤，其面积为阴影部分的面积， 根据几何概型，S p S =阴总， 所以概率110102775120.511010100p ⨯-⨯⨯⨯===⨯， 故选：B.12．双曲线1C ：221x y -=和抛物线2C ：22y px =相交于点M ，N ，若OMN 的外接圆经过点7,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则抛物线2C 的方程为（ ）． A ．232y x =B ．23y x =C ．2y x =D ．24y x =【答案】A【分析】求得OMN 的外接圆方程，由此求得,M N 的坐标，将,M N 坐标代入抛物线方程求得p ，由此求得抛物线的方程.【详解】根据双曲线和抛物线的对称性可知，OA 是OMN 的外接圆的直径，所以圆的圆心为7,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为74，所以圆的方程为2227744x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即22702x y x +-=. 由222270210x y x x y x ⎧+-=⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩故可设((,2,M N ，将M 或N 的坐标代入抛物线的方程得334,4p p ==， 所以抛物线的方程为232y x =. 故选：A【点睛】圆、双曲线、抛物线都是对称图形，解题过程中用来确定圆心的位置.二、填空题13．已知向量()1,a k =，()9,6b k =-，若//a b ，则k =________. 【答案】34-【分析】由于//a b ，可得12210x y x y -=，从而列方程可求出k 的值【详解】解：由于//a b ，所以1221(6)9860x y x y k k k -=--=--=，解得34k =-. 故答案为：34-14．若x,y 满足约束条件11,22x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩目标函数z=ax+2y 仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是 【答案】（4-，2 ）【详解】解：根据线性约束条件画出可行域为△ABC ，如图，当a=0时，z=2y ，显然成立．当a ＞0时，直线ax+2y-z=0的斜率k=2a-＞k AC =-1，a ＜2． 当a ＜0时，k=2a-＜k AB =2，a ＞-4． 综合得-4＜a ＜2， 故答案为（-4，2）15．据市场调查，某种商品一年内的销售量按月呈()()sin 0,0,2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的模型波动（x 为月份），已知3月份达到最高量9000，然后逐步降低，9月份达到最低销售量5000，则7月份的销售量为_______． 【答案】6000【分析】根据已知条件求得()f x 的解析式，由此求得()7f 的值.【详解】依题意90005000A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得2000,7000A B ==.22936,12,2126T T T πππω=-=====， 当3x =时，32,262k k ππϕπϕπ⨯+=+=，由于2πϕ<，所以0ϕ=，则()2000sin 70006f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ()772000sin70007000100060006f π=+=-=. 故答案为：600016．如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P 处．若该小虫爬行的最短路程为42则圆锥底面圆的半径等于_______．【答案】1【分析】根据小虫爬行的最短路程求得圆锥侧面展开图的圆心角，由此计算出圆锥底面圆的半径.【详解】画出图象如下图所示，依题意：小虫爬行的最短路程为42AB =， 母线长4OA OB ==，所以222OA OB AB +=，所以2AOB π∠=，所以422AB ππ=⨯=.设圆锥底面圆的半径为r ，则22,1r r ππ==. 故答案为：1三、解答题17．设向量()()3sin ,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值 【答案】（I ）6π（II ）max 3()2f x =【详解】(1)由2a ＝x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，2b ＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及a b =，得4sin 2x ＝1. 又x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而sin x ＝12，所以x ＝6π.(2) ()·=f x a b =x ·cos x ＋sin 2xx －12cos 2x ＋12＝sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12，当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，－6π≤2x －6π≤56π， ∴当2x －6π＝2π时， 即x ＝3π时，sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭取最大值1.所以f (x )的最大值为32.18．2021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“3+1+2”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四科中选两科．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人，统计选考科目人数如下表：（1）补全2×2列联表，并根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”；（2）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查该校3名学生，设这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．参考数据：【答案】（1）填表见解析；有；（2）分布列见解析；期望为9 10．【分析】（1）根据2×2列联表已有的数据补全, 根据标中数据求得2K，对照临界值表下结论；（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，由随机变量X服从二项分布，分别求得其概率，列出分布列，再求期望；【详解】（1）根据题意补全2×2列联表，如下：根据标中数据，可得()22100402010304.762 3.84150507030K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯＞，故有0095的把握认为“选考物理与性别有关”．（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，随机变量X服从二项分布，由题意，可得学生选考历史的概率为310，且33,10XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ()30373430101000P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭， ()121337441110101000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()212337189210101000P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3333273101000P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭． X 的分布列为 X 0123P34310004411000 1891000 271000()3931010E X =⨯= 【点睛】方法点睛：(1)求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．19．如图 1，在直角梯形ABCD 中， //,AB CD AB AD ⊥，且112AB AD CD ===．现以AD 为一边向外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使ADEF 平面与平面ABCD 垂直， M 为ED 的中点，如图 2．（1）求证： //AM 平面BEC ； （2）求证： BC ⊥平面BDE ；（3）求CD 与平面BEC 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）66【详解】试题分析：(1)取EC 中点N ，连结MN ,BN .由几何关系可证得四边形ABNM 为平行四边形.则BN ∥AM ，利用线面平行的判定定理可得//AM 平面BEC ；(2) 由几何关系有ED ⊥AD ，利用面面垂直的性质定理可得ED ⊥平面ABCD ，则ED ⊥BC ，利用直角梯形的性质结合勾股定理可得BC ⊥BD ，据此由线面垂直的判定定理有BC ⊥平面BDE ；(3) 作DH ⊥平面PEC 于点H ，连接CH ,则∠DCH 为所求的角，利用三棱锥体积相等转化顶点有：E BCD D BCE V V --=，据此可求得63DH =，利用三角函数的定义可得CD 与平面BEC 所成角的正弦值是66. 试题解析： (1)证明：取中点，连结. 在中，分别为的中点，所以,且.由已知,所以四边形为平行四边形.所以. 又因为平面,且平面，所以平面.(2)证明：在正方形中， ,又因为平面平面，且平面ADEF平面ABCD AD =,所以平面.所以在直角梯形中，,可得. 在中，.所以. 所以平面.(3)作于点，连接,则为所求的角由(2)知，所以,又因为平面又.所以，.20．如图，椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,1P -，离心率为32.1l，2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中，1l 交圆2C ：224x y +=于A ，B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D .（1）求椭圆1C 的方程；（2）求ABD △面积取最大值时直线1l 的方程.【答案】（1）2214x y +=；（2）101y x =-.【分析】（1）根据题中条件列出关于,,a b c 的方程组求解，得出,,a b c ，即可求出椭圆方程；（2）先由题意，设直线1l ：1y kx =-，直线2l ：11y x k=--；由点到直线距离公式，以及圆的弦长公式求出AB ；联立直线11y x k=--与椭圆方程，根据求出点D 横坐标，再由弦长公式，得出DP ，进而可得132132ABDSAB DP ===，利用基本不等式求出面积的最大值，以及此时的k ，即可得出所求直线方程.【详解】（1）由已知可得2221b ca c a b=⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得12b c a =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 因此椭圆的方程是2214x y +=；（2）因为直线12l l ⊥，且都过点()0,1P -，所以设直线1l ：110y kx kx y =-⇒--=，直线2l ：110y x x ky k k=--⇒++=， 所以圆心()0,0到直线1l ：110y kx kx y =-⇒--=的距离为d =所以直线1l 被圆224x y +=所截的弦AB ==；由22014x ky k x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()22048k x kx +=+， 所以284D P k x x k +=-+，则284D kx k =-+，因此24DP k ====+，所以1122ABDSAB DP ====，2323213==≤=+=，即k =±此时直线1l 的方程为：12y x =±-. 【点睛】关键点点睛：求解本题第二问的关键在于分别利用圆的弦长公式，以及椭圆的弦长公式，表示出AB ，DP ，再由12ABDSAB DP =，即可求解三角形面积的最大值，进而即可求解.21．已知函数ln(1)()1x f x ax +=+.（1）当1a =，求函数()y f x =的图象在0x =处的切线方程； （2）若函数()f x 在(0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）已知x ，y ，z 均为正实数，且1x y z ++=，求证(31)ln(1)(31)ln(1)11x x y y x y -+-++--(31)ln(1)01z z z -++≤-.【答案】(1) y x = (2) 11,2ln 21--⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)见解析 【详解】试题分析：1）求导函数，可得切线的斜率，求出切点的坐标，可得函数y=f （x ）的图象在x=0处的切线方程；（2）先确定﹣1≤a ＜0，再根据函数f （x ）在（0，1）上单调递增，可得f′（x ）≥0在（0，1）上恒成立，构造()x ϕ=（x+1）ln （x+1）﹣x ，证明h （x ）在（0，1）上的值域为（0，2ln2﹣1），即可求实数a 的取值范围； （3）由（2）知，当a=﹣1时，()()ln 11x f x x+=-在（0，1）上单调递增，证明()()31x f x - ()3431ln 23x ≥-⋅，即()()31ln 11x x x -+- ()3331ln 24x ≤-⋅，从而可得结论．试题解析：（1）当1a =时，()()ln 11x f x x +=+则()00f =，()()()21ln 1'1x f x x -+=+则()'01f =，∴函数()y f x =的图象在0x =时的切线方程为y x =.（2）∵函数()f x 在()0,1上单调递增，∴10ax +=在()0,1上无解， 当0a ≥时，10ax +=在()0,1上无解满足，当0a <时，只需1010a a +≥⇒-≤<，∴1a ≥-①()()()21ln 11'1ax a x x f x ax +-++=+， ∵函数()f x 在()0,1上单调递增，∴()'0f x ≥在()0,1上恒成立， 即()()1ln 11a x x x ⎡⎤++-≤⎣⎦在()0,1上恒成立.设()()()11x x ln x ϕ=++ ()()()'ln 11x x x x ϕ-=+++， ()11ln 11x x ⋅-=++， ∵()0,1x ∈，∴()'0x ϕ>，则()x ϕ在()0,1上单调递增， ∴()x ϕ在()0,1上的值域为()0,2ln21-. ∴()()11ln 1a x x x≤++-在()0,1上恒成立，则12ln21a ≤-②综合①②得实数a 的取值范围为11,2ln21⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.（3）由（2）知，当1a =-时，()()ln 11x f x x+=-在()0,1上单调递增，于是当103x <≤时，()()ln 11x f x x+=- 134ln 323f ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 当113x ≤<时，()()ln 11x f x x+=- 134ln 323f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭， ∴()()31x f x - ()3431ln 23x ≥-⋅，即()()31ln 11x x x -+- ()3331ln 24x ≤-⋅，同理有()()31ln 11y y y -+- ()3331ln 24y ≤-⋅，()()31ln 11z z z -+- ()3331ln 24z ≤-⋅， 三式相加得()()31ln 11x x x -+- ()()31ln 11y y y -++- ()()31ln 101z z z -++≤-.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E的参数方程为4x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），直线l 的参数方程为cos sin x t y t ββ=⎧⎨=⎩（t 为参数，0βπ≤<）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线E 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 与曲线E 交于M ，N 两点，若3ON OM =，求直线l 的斜率．【答案】（Ⅰ）28sin 60ρρθ-+=；（Ⅱ）±1.【分析】（Ⅰ）利用22sin cos 1αα+=,将参数α消掉，再利用sin cos y x ρθρθ=⎧⎨=⎩即可得出答案.（Ⅱ）直线l 的极坐标方程为(),0R θβρβπ=∈<≤，将直线与圆联立，结合3ON OM =.即可解出M ，N 两点的极坐标.则可求出直线l 的斜率.【详解】（Ⅰ）∵曲线E的参数方程为4x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩，∴曲线E 的直角坐标方程为()22410x y +-=．由sin cos y x ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线E 的极坐标方程为28sin 60ρρθ-+=．（Ⅱ）将直线l ：(),0R θβρβπ=∈<≤，代入曲线E 的方程得28sin 60ρρβ-+=．由264sin 240β∆=->，解得2sin 38β>．设()2,N ρβ，()1,M ρβ，由韦达定理得128sin ρρβ+=，126ρρ=．3ON OM =，∴213ρρ=，所以1ρ=，213ρρ==所以sin 2β=，满足0∆>．∵0βπ≤<，∴4πβ=或34π，∴tan 1k β==±，∴直线l 的斜率为±1．【点睛】本题考查极坐标与参数方程.属于中档题.需掌握常见的参数方程化消参方法与直角坐标与极坐标的互化公式.23．已知a ，b ，c 为正数，f （x ）＝|x +a |+|x +b |+|x ﹣c |. （1）若a ＝b ＝c ＝1，求函数f （x ）的最小值；（2）若f （0）＝1且a ，b ，c 不全相等，求证：b 3c +c 3a +a 3b ＞abc . 【答案】（1）最小值2（2）证明见解析【分析】（1）法1：去绝对值，化为分段函数，求出最值， 法2：根据绝对值三角不等式，求出最值， （2）法1：根据基本不等式即可证明， 法2：根据柯西不等式即可证明. 【详解】（1）因为a ＝b ＝c ＝1，所以f （x ）＝|x +a |+|x +b |+|x ﹣c |＝2|x +1|+|x ﹣1|，法1：由上可得：()31131131 1.x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-⎨⎪+≥⎩，，，＜＜，， 所以，当x ＝﹣1时，函数f （x ）的最小值为2；法2：f （x ）＝|x +a |+|x +b |+|x ﹣c |＝|x +1|+|x +1|+|x ﹣1|≥|x +1|+|x +1﹣x +1|＝2+|x +1|≥2，当且仅当()()11010x x x ⎧+-≤⎨+=⎩，即x ＝﹣1时取得最小值2；（2）因为a ，b ，c 为正数，所以要证b 3c +c 3a +a 3b abc ＞.，即证明2221b c a a b c++＞就行了，法1：因为222222b c a b c a a b c a b c a b c a b c+++++=+++++≥=2（a +b +c ），当且仅当a ＝b ＝c 时取等号.又因为f （0）＝1即a +b +c ＝1且a ，b ，c 不全相等，所以2221b c a a b c++＞，即b 3c +c 3a +a 3b abc ＞，法2：因为（a +b +c ）2222()()b c a b c a a b c++≥++，当且仅当a b c b c a ==取等号，又因为f （0）＝1即a +b +c ＝1且a ，b ，c 不全相等，所以2221b c a a b c++＞，即b 3c +c 3a +a 3b abc ＞.【点睛】本题考查重要不等式的应用，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力.。
《精编》陕西省长安一中高三数学上学期第二次教学质量检测试题 理 新人教A版.doc
陕西省长安一中 2021-2021学年高三第二次教学质量检测数学试题〔理科〕一、选择题：(本大题共14小题，每题5分，共70分,在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1. 全集{}{}{}213,13,20U x Z x A x Z x B x Z x x =∈-≤≤=∈-<<=∈--≤，那么()U C A B ⋂=〔 〕A. {}1-B. {}1,2-C.{}12x x -<< D.{}12x x -≤≤2. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,假设111a =-,376a a +=-,那么当n S 取最小值时,n 等于 ( 〕A ．8B ．7C ． 6D ．93. 假设4cos 5α=-，α是第三象限的角，那么1tan 21tan2αα+=-〔 〕A ．12-B ． 12C ． 2 D. -2 4. 函数y=||x xa x(0<a<1)的图象的大致形状是〔 〕5． 同时具有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线3π=x 对称；③在]3,6[ππ-上是增函数的一个函数是 〔 〕 A ．sin()26x y π=+B ．sin(2)6y x π=-C ．cos(2)3y x π=+ D.sin(2)6y x π=+6．直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且OA OB OA OB +=-，那么实数a 的值为( )A ．2B ．-2C ．2或-2 D7.设直线x t =与函数2()f x x =，()ln g x x =的图像分别交于点,M N ，那么当MN 到达最小值时t 的值为 〔 〕A ． 1B ．12 C D ．8. 设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为〔 〕A 9. {}n a 是等比数列，22a =，514a =，那么12231n n a a a a a a ++++=〔 〕 A ．16(14)n--B ．16(12)n-- C ．32(14)3n -- D ．32(12)3n -- 3()3f x x x a =-+有3个不同的零点,那么实数a 的取值范围是〔 〕A.()2,2-B. []2,2-C.(),1-∞-D.()1,+∞11. 02(cos())6a x dx ππ=+⎰，那么二项式25()a x x+的展开式中x 的系数为〔 〕 A ．10 B ．-10 C ．80 D ．-80 12.等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，111a =-，1082108S S -=那么11S ＝( ) A ．－11 B ．11 C ．10 D ．－102(1)10x a x a b +++++=的两个实根为12,x x 且1201,1x x <<>那么ba的取值范围是 ( )A .1(1,]2-- B.1(1,)2-- C.1(2,]2-- D.1(2,)2--()0)f x a =<的定义域为D ，假设所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，那么a 的值为 ( )A ．2-B ．4-C ．8-D ．不能确定第16题图二、填空题：〔本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在题中横线上．〕 15．圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最短距离为16 阅读程序框图〔如以以下图所示〕，答复以下问题： 假设5log ,6.0,56.056.0===c b a ,那么输出的数是 ． 17．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →， 那么AD →·BE →＝________ 18．假设不等式1|21|||a xx对一切非零实数x 恒成立，那么实数a 的 取值范围________.19. 假设方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 . 20．函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .假设0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，那么当k =____________是，0)(=k a f .三、解答题：〔本大题共4小题，共50分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．〕 21. 向量()cos sin ,sin a x x x ωωω→=-，()cos sin ,23b x x x ωωω→=--，设函数()()f x a b x R λ→→=+∈的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.〔Ⅰ〕求函数()f x 的最小正周期； 〔Ⅱ〕假设()y f x =的图象经过点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数()y f x =在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.22. 如图，在某港口A 处得悉，其正东方向20海里B 处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西030据港口10海里的C 处，救援船接到救援命令立即从C 处沿直线前往B 处营救渔船.(Ⅰ) 求接到救援命令时救援船据渔船的距离；〔Ⅱ〕试问救援船在C 处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援？〔72149cos 0=〕. 23． 数列}{n a 的前n 项和记为n S ，t a =1，121()n n a S n ++=+∈N ．〔I 〕当t 为何值时，数列}{n a 是等比数列？〔II 〕在〔I 〕的条件下，假设等差数列}{n b 的前n 项和n T 有最大值，且153=T ，又11b a +，22b a +，33b a +成等比数列，求n T ． 24. 设函数()()()212ln 1f x x x =+-+〔1〕假设关于x 的不等式()0f x m -≥在[]0,1e -有实数解，求实数m 的取值范围； 〔2〕设()()21g x f x x =--，假设关于x 的方程()g x p =至少有一个解，求p 的最小值.〔3〕证明不等式：()()*111ln 1123n n N n+<++++∈陕西省长安一中 2021-2021学年高三第二次教学质量检测数学〔理〕参考答案1---5ADDDB 6-----10CCABA 11---14CADB0.65 17. 2 18. 14-19.13-22⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 20. 0=4k k <或21. 〔Ⅰ〕因为22()sin cos cos f x xx x x ωωωωλ=-+⋅+cos22x x ωωλ=-+π2sin(2)6x ωλ=-+.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得πsin(2π)16ω-=±，所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1()23k k ω=+∈Z ．又1(,1)2ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故56ω=.所以()f x 的最小正周期是6π5.〔Ⅱ〕由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=λ=故5π()2sin()36f x x =-由3π05x ≤≤，有π5π5π6366x -≤-≤，所以15πsin()1236x -≤-≤，得5π12sin()236x --故函数()f x 在3π[0,]5上的取值范围为[12-.22解：(Ⅰ) 由题意得：ABC ∆中，0120,10,20=∠==CAB AC AB ，CAB AC AB AC AB CB ∠⋅-+=∴cos 2222 ……………3分即,700120cos 1020210200222=⨯⨯-+=CB 710=BC ，所以接到救援 命令时救援船据渔船的距离为710海里. (6)〔Ⅱ〕ABC ∆中, ,20=AB 710=BC ,0120=∠CAB ,由正弦定理得CAB BC ACB AB ∠=∠sin sin 即0120sin 710sin 20∠=∠ACB 721sin =∠∴ACB ………9分 72141sin 49cos 00==，041=∠∴ACB ，故救援船应沿北偏东071的方向救援. …………… 12分 23. 解：〔I 〕由121+=+n n S a ，可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即，∴当2≥n 时，}{n a 是等比数列， 要使1≥n 时，}{n a 是等比数列，那么只需31212=+=tt a a ，从而1=t ． 〔II 〕设}{n b 的公差为d ，由153=T 得15321=++b b b ，于是52=b ， 故可设d b d b +=-=5,531，又9,3,1321===a a a ，由题意可得2)35()95)(15(+=+++-d d ，解得10,221-==d d ，∵等差数列}{n b 的前n 项和n T 有最大值，∴10,0-=<d d ∴2520)10(2)1(15n n n n n T n -=-⨯-+=．24.〔1〕依题意得m x f m ≥ax )(,[0,1]x e()12212)1(2)(++=+-+='x x x x x x f ，而函数)(x f 的定义域为),1(∞+- ∴)(x f 在)0,1(-上为减函数，在),0(∞+上为增函数， 那么)(x f 在]1,0[-e 上为增函数2)1()(2max -=-=∴e e f x f即实数m 的取值范围为22-≤e m〔2〕1)()(g 2--=x x f x )]1ln(x [2)1ln(22x x x +-=+-=那么xxx x g +=+-='12)111(2)( 显然，函数)(g x 在)0,1(-上为减函数，在),0(∞+上为增函数 那么函数)(g x 的最小值为0)0(g =所以，要使方程p x =)(g 至少有一个解，那么0≥p ，即p 的最小值为0 〔3〕由〔2〕可知： 0)]1ln(x [2)(g ≥+-=x x 在),1(∞+-上恒成立 所以 x x ≤+)1ln(，当且仅当x=0时等号成立令)(1x *N n n ∈=，那么)1,0(∈x 代入上面不等式得：n n 1)11ln(<+ 即n n n 11ln <+， 即 nn n 1ln )1ln(<-+ 所以，11ln 2ln <-，212ln 3ln <-，313ln 4ln <-，…，nn n 1ln )1ln(<-+将以上n 个等式相加即可得到：nn 131211)1ln(++++<+。
陕西省西安市长安区2021届高三数学二模试卷理含解析
某某省某某市长安区2021届高三数学二模试卷理（含解析）一、选择题（共12小题）.1．设集合M＝{x|2x﹣x2≥0}，N＝{x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值X围是（）A．a＜2B．a＞2C．a≥2D．a≤22．若复数z满足：（i为虚数单位），则等于（）A．2﹣i B．2+i C．2﹣3i D．2+3i3．已知“x＞2”是“＜1”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．设5a＝24，b＝log310，11，则（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a5．设函数y＝ln（cos x），x∈（﹣，）的图象是（）A．B．C．D．6．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l⊥m，则m∥αC．若l⊥α，l∥m，则m⊥αD．若l∥α，m∥α，则l∥m7．在的展开式中，的系数是14，则x2的系数是（）A．28B．56C．112D．2248．等差数列{a n}中，a1＝2020，前n项和为S n，若，则S2020＝（）A．1010B．2020C．1011D．20219．在△ABC中，D是BC的中点，已知，，，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．2019年10月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款（德国4款，法国8款，荷兰4款），其中8款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国．A地区闻讯后，立即组织相关检测员对这8款品牌的奶粉进行抽检，已知该地区有6家婴幼儿用品商店在售这几种品牌的奶粉，甲、乙、丙3名检测员分别负责进行检测，每人至少抽检1家商店，且检测过的商店不重复检测，则甲检测员至少检测3家商店的概率为（）A．B．C．D．11．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为﹣的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若（+）•＝0，则此双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x12．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝2，AB＝3，面PAD⊥面ABCD，PA＝PD，且直线PB与CD所成角的余弦值为，则四棱锥P﹣ABCD的外接球表面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知＝（﹣1，﹣2），＝（4，﹣2），||＝2，（）＝﹣10，则与的夹角θ的余弦值为．14．设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的取值X围为．15．任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若m＝5，则经过次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的可能值之和为．16．已知f'（x）是定义域为R的函数f（x）的导函数，若对任意实数x都有f'（x）＞f （x）﹣1，且有f（1）＝2，则不等式f（x）﹣1＞e x﹣1的解集为．二、解答题：共70分。
陕西省西安市长安区第一中学高三数学上学期第二次检测试题 理
长安一中高2021级高三第二次教学质量检测数学试题〔理科〕时间：120分钟一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 全集R U =，集合()(){|22},{|130}A x x B x x x =-<<=+-≤，那么)(B C A R 等于( )A ．(1,2)-B ．(]1,2--C ．()1,2--D ．()3,2 2. i 为虚数单位，假设复数11tiz i-=+在复平面内对应的点在第四象限，那么t 的取值范围为〔 〕 A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞3. 要计算1111++++232017的结果，如图程序框图中的判断框内可以填〔 〕 A ．n ＜2021B ．n ≤2017C ．n ＞2021D ．n ≥20214． 2017年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如下图，设甲、乙的数据平均数分别为12,x x ，中位数分别为y 1，y 2，那么〔 〕 A ．12x x >，y 1＞y 2B ．12x x >，y 1=y 2C ．12x x <，y 1=y 2D ．12x x <，y 1＜y 25．函数()23,0,0xm x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩给出以下两个命题，p ：存在(),0m ∈-∞，使得方程f 〔x 〕=0有实数解；q ：当13m =时，f 〔f 〔1〕〕=0，那么以下命题为真命题的是〔 〕 A ．p ∧qB ．〔￢p 〕∧qC ．p ∧〔￢q 〕D ．p ∨〔￢q 〕6．假设方程15222=---ky k x 表示双曲线，那么实数k 的取值范围是〔 〕A.25k <<B.5k >C.2k <或5k >D. 以上答案均不对 7. 某几何体的三视图如下图，其中俯视图为扇形，那么该几何体的体积为〔 〕 A ．23π B ．3π C ．29π D ．169π8．如下图，菱形ABCD 是由等边△ABD 与等边△BCD 拼接而成，两个小圆与△ABD 以及△BCD 分别相切，那么往菱形ABCD 内投掷一个点，该点落在阴影局部内的概率为〔 〕 A ．39πB ．318πC ．318π D ．39π 9. 定义在R 上的奇函数f 〔x 〕满足当x ≥0时，()()2log 2f x x x b =+++， 那么()3f x >的解集为〔 〕A ．()(),22,-∞-+∞B ． ()(),44,-∞-+∞C ． ()2,2-D ．()4,4-10. 将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为〔 〕 A ．72B ．120C ．192D ．24011．椭圆22154x y +=的左焦点为F ，直线x a =与椭圆相交于点M ，N ，当FMN △的周长最大时，FMN △的面积是〔 〕 565854512．定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，且当[2,4]x ∈时，224,23,()2,34,x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩()1g x ax =+，对1[2,0]x ∀∈-，2[2,1]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，那么实数a 的取值范围为〔 〕A ．11(,)[,)88-∞-+∞ B ．11[,0)(0,]48- C.(0,8]D ．11(,][,)48-∞-+∞二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13. 正项等比数列{a n }中，1473692,18a a a a a a ++=++=，那么}{n a 的前9项和9S = ．14．面积为43ABC 中，D 是AB 边上靠近B 的三等分点，那么CD AB ⋅= ．15. 实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且2z x y =-的最大值为a ，那么2cos d 2xa x π⎰= ． 16. 等腰△ABC 中，AB =AC ，BD 为AC 边上的中线，且BD =3，那么△ABC 的面积最大值为 ． 三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕 17．〔12分〕a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，712sin sin +C +cos 662C ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭〔1〕求C ；〔2〕假设13c =，且△ABC 面积为33，求sin sin A B +的值．18. 〔12分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=︒．〔1〕求证：平面PBD ⊥平面PAC ；〔2〕假设PA AB =，求PC 与平面PBD 所成角的正弦值．19. 〔12分〕大学生小王自主创业，在乡下承包了一块耕地种植某种水果，每季投入2万元，根据以往的经历，每季收获的此种水果能全部售完，且水果的市场价格和这块地上的产量具有随机性，互不影响，详细情况如表：〔1〕设X 表示在这块地种植此水果一季的利润，求X 的分布列及期望； 〔2〕在销售收入超过5万元的情况下，利润超过5万元的概率．20. 〔12分〕椭圆：()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，圆222=0x y y +-的圆心与椭圆C 的上顶点重合，点P 的纵坐标为53． 〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕假设斜率为2的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，探究：在椭圆C 上是否存在一点Q ，使得PA BQ =，假设存在，求出点Q 的坐标；假设不存在，请说明理由． 21.〔12分〕函数()ln f x x x x =-, ()()22a g x x ax a R =-∈． 〔1〕假设()f x 和()g x 在〔0，+∞〕有一样的单调区间，求a 的取值范围；〔2〕令()()()()h x f x g x ax a R =--∈，假设()h x 在定义域内有两个不同的极值点．①求a 的取值范围；②设两个极值点分别为12,x x ，证明：212x x e ⋅>．请考生在第22、23两题中任选一题作答，假如两题都做，那么按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
【名师解析】陕西省西安市第一中学2021届高三大练习(二)数学(理科)试题 Word版含解析
2021年陕西省西安一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）复数z1=3+i，z2=1﹣i ，则复数的虚部为（）A．2 B．﹣2i C．﹣2 D．2i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：计算题．【分析】：利用复数的除法，将复数的分母实数化即可．【解析】：解：∵z1=3+i，z2=1﹣i，∴====1+2i，∴复数的虚部为2．故选A．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，将该复数的分母实数化是关键，属于基础题．2．（5分）已知全集U=R，则正确表示集合M={x∈R|（x﹣1）（x﹣2）＞0}和N={x∈R|x2+x＜0}的关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．【考点】：Venn图表达集合的关系及运算．【专题】：集合．【分析】：解不等式求出集合M，N，进而分析集合M，N之间的包含关系，可得答案．【解析】：解：∵集合M={x∈R|（x﹣1）（x﹣2）＞0}={x∈R|x＜1，或x＞2}，集合N={x∈R|x2+x＜0}={x∈R|﹣1＜x＜0}，∴N⊊M，故正确表示集合M，N关系的韦恩（Venn）图是：故选B【点评】：本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，以及集合包含关系，属于基础题．3．（5分）2000辆汽车通过某一段大路时的时速的频率分布直方图如图所示，时速在[50，60）的汽车大约有（）A．30辆B．60辆C．300辆D．600辆【考点】：用样本的频率分布估量总体分布；频率分布直方图．【专题】：计算题；图表型．【分析】：依据频率分步直方图可以看出在[50，60）之间的小长方形的长和宽，做出对应的频率，用频率乘以样本容量得到结果．【解析】：解：∵有频率分步直方图可以看出在[50，60）之间的频率是0.03×10=0.3，∴时速在[50，60）的汽车大约有2000×0.3=600故选D．【点评】：频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，本题是已知样本容量和频率求频数，这种问题会消灭在选择和填空中．4．（5分）“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的推断．【专题】：规律型．【分析】：利用充分条件和必要条件的定义进行推断．【解析】：解：当时，成立．当α=时，满足，但不成立．故“”是“”的充分不必要条件．故选A．【点评】：本题主要考查才充分条件和必要条件的应用，比较基础．5．（5分）已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），依据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（单位：cm3）（）A．π B．2π C．4π D．8π【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的柱体，分别求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．【解析】：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的柱体，其底面是一个半径为1cm的半圆，故S=cm2，高为h=2cm，故柱体的体积V=Sh=πcm3，故选：A【点评】：本题考查的学问点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的外形．6．（5分）2011年西安世园会组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同的工作，若其中有一名志愿者只能从事司机工作，其余四人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）A．240种B．36种C．24种D．48种【考点】：计数原理的应用．【专题】：应用题；排列组合．【分析】：依据题意，分2种状况争辩，①若从事司机工作志愿者选，②若从事司机工作志愿者没有入选，分别计算其状况数目，由加法原理，计算可得答案．【解析】：解：依据题意分2种状况争辩，①若从事司机工作志愿者入选，则有选法A43=24；②若从事司机工作志愿者没有入选，则选法A44=24，共有选法24+24=48种，故选D．【点评】：本题考查排列的运用，涉及分类争辩的思想，比较基础．7．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+）（x∈R），为了得到函数g（x）=cos2x的图象，只需将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的求值．【分析】：利用诱导公式把函数f（x）=sin（2x+）变形为，f（x）=cos （﹣2x）=cos（2x ﹣），得到要得到函数g（x）的图象，只要把函数g（x）平移为f（x），转化即可．【解析】：解：∵f（x）=sin（2x+）变形为，f（x）=cos （﹣2x）=cos（2x ﹣），∴平移函数g（x）=cos2x 的图象，向右平移个单位长度，即可得到f（x）的图象．为了得到函数g（x）=cos2x的图象，只需将y=f（x ）的图象向左平移个单位．故选：A．【点评】：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=，则下列式子成立的是（）A．f （）＜f（1）＜f （）B．f（1）＜f （）＜f （）C．f （）＜f（1）＜f （）D．f （）＜f （）＜f（1）【考点】：分段函数的应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：直接利用分段函数求出f （），f（1），f （）的值，即可推断三个数的大小．【解析】：解：函数f（x）=，f （）=4﹣2×=3f（1）=4﹣2×1=2f （）=＞4．∴f（1）＜f （）＜f （）．故选：B．【点评】：本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算力量．9．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．20 B．21 C．200 D．210【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=21时，满足条件i＞20，退出循环，输出s的值为210．【解析】：解：执行程序框图，有s=0，i=1s=1，i=2，不满足条件i＞20，s=3，i=3，不满足条件i＞20，s=6，i=4，不满足条件i＞20，s=10，i=5，不满足条件i＞20，s=15=1+2+3+4+5，i=6，不满足条件i＞20，s=21=1+2+3+4+5+6，…观看规律可知，i=20，不满足条件i＞20，s=1+2+3+…+20==210，i=21，满足条件i＞20，退出循环，输出s的值为210．故选：D．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，等差数列的求和，属于基本学问的考查．10．（5分）设点P为双曲线x2﹣=1上的一点，F1，F2是该双曲线的左、右焦点，若△PF1F2的面积为12，则∠F1PF2等于（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简洁性质．【专题】：计算题；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由双曲线方程算出焦距|F1F2|=2，依据双曲线定义得到||PF1|﹣|PF2||=2．然后在△PF1F2中运用余弦定理，得出关于|PF1|、|PF2|和cos∠F1PF2的式子；而△PF1F2的面积为12，得到|PF1|、|PF2|和sin∠F1PF2的另一个式子．两式联解即可得到∠F1PF2的大小．【解析】：解：∵双曲线方程为x2﹣=1，∴c2=a2+b2=13，可得双曲线的左焦点F1（﹣，0），右焦点F2（，0）依据双曲线的定义，得||PF1|﹣|PF2||=2a=2∴由余弦定理，得|F1F2|2=（|PF1|﹣|PF2|）2+（2﹣2cos∠F1PF2）|PF1|•|PF2|，即：52=4+（2﹣2cos∠F1PF2）|PF1|•|PF2|，可得|PF1|•|PF2|=又∵△PF1F2的面积为12，∴|PF1|•|PF2|sin∠F1PF2=12，即=12结合sin2∠F1PF2+cos2∠F1PF2=1，解之得sin∠F1PF2=1且cos∠F1PF2=0，∴∠F1PF2等于故选C．【点评】：本题给出双曲线上一点P与双曲线两个焦点F1、F2构成的三角形面积，求∠F1PF2的大小，着重考查了双曲线的标准方程和简洁几何性质等学问，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．11．（5分）若（x﹣1）5=a5（x+1）5+a4（x+1）4+a3（x+1）3+a2（x+1）2+a1（x+1）+a0，则a1+a2+a3+a4+a5= 31．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：利用赋值法，令x=0，求出a0+a1+a2+a3+a4+a5的值，再求出a0的值，即得a1+a2+a3+a4+a5的值．【解析】：解：∵（x﹣1）5=a5（x+1）5+a4（x+1）4+a3（x+1）3+a2（x+1）2+a1（x+1）+a0，令x=0，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=（﹣1）5=﹣1，令x=﹣1，则a0=（﹣2）5=﹣32，∴a1+a2+a3+a4+a5=﹣1+32=31．故答案为：31．【点评】：本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应利用赋值法，简洁求出正确的结果．12．（5分）函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn ＞0，则的最小值为2．【考点】：基本不等式．【专题】：计算题．【分析】：由题意可得定点A（1，1），m+n=2，把要求的式子化为（2++），利用基本不等式求得结果．【解析】：解：由题意可得定点A （1，1），又点A在直线mx+ny﹣2=0=0上，∴m+n=2，则=≥2，当且仅当时取“=”所以的最小值为2．故答案为2．【点评】：本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为（2++），是解题的关键．13．（5分）在区间（0，1）上随机取两个数m，n，则关于x的一元二次方程x2﹣•x+m=0有实根的概率为．【考点】：几何概型．【专题】：数形结合．【分析】：本题考查的学问点是几何概型的意义，关键是要找出（m，n）对应图形的面积，及满足条件“关于x的一元二次方程x2﹣•x+m=0有实根”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解析】：解：如下图所示：试验的全部结果所构成的区域为{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1}（图中矩形所示）．其面积为1．构成大事“关于x的一元二次方程x2﹣•x+m=0有实根”的区域为{{（m，n）|0＜m＜1，0＜n＜1，n≥4m}（如图阴影所示）．所以所求的概率为==．故答案为：．【点评】：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与外形和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本大事对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本大事对应的“几何度量”N，最终依据P=求解．14．（5分）直线ax+by+c=0与圆x2+y2=4相交于两点A、B，若c2=a2+b2，O为坐标原点，则=﹣2．【考点】：向量在几何中的应用．【专题】：计算题．【分析】：设出点A，B坐标，进而表示出，把直线方程与圆方程联立分别利用韦达定理求得x1x2和y1y2的表达式，代入，依据c2=a2+b2，求得答案．【解析】：解：设A（x1，y1），B（x2，y2）则=x1x2+y1y2由方程ax+by+c=0与x2+y2=4联立消去y：（a2+b2）x2+2acx+（c2﹣4a2）=0∴x1x2=同理，消去x可得：y1y2=∴x1x2+y1y2=又c2=a2+b2，得：x1x2+y1y2=﹣2即=﹣2故答案为：﹣2【点评】：本题主要考查了直线与圆相交的性质，以及向量的基本运算和向量在几何中的应用，同时考查了运算力量，属于中档题．选做题（考生只能从A、B、C三小题中选做一题，若多做，则按所做的第一题评阅给分）15．（5分）（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O 交于点B，PB=1，则AB=．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：推理和证明．【分析】：利用切割线定理，求出圆的半径，通过直角三角形求解cos ∠AOB，然后利用余弦定理求解AB即可．【解析】：解：由题意可知图形如图：PA是圆O的切线，切点为A，可得AC⊥PA，PA=2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，延长PO交圆与D，由切割线定理可知：PA2=PB•PD，设圆的半径为r，则：4=1（2r+1），解得r=．可得OB=OA=OD=，cos∠AOB===．由余弦定理可得：AB2=OA2+OB 2﹣2•OA•OBcos∠AOB==．∴AB=．故答案为：．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系，切割线定理的应用，余弦定理的应用，考查计算力量．16．（不等式选讲选做题）已知关于x的不等式|x﹣1|+|x|≤k无解，则实数k的取值范围是（﹣∞，1）．【考点】：确定值不等式的解法．【专题】：计算题；不等式的解法及应用．【分析】：通过去掉确定值符号化简不等式的左侧为函数的表达式，通过函数的最值求出k的范围．【解析】：解：令y=|x|+|x﹣1|=，∴函数的最小值为1，∴要使关于x的不等式|x|+|x﹣1|≤k无解，则实数k的取值范围为k＜1．故答案为：（﹣∞，1）．【点评】：本题考查确定值不等式的解法，函数的最值的应用，基本学问的考查．17．（坐标系与参数方程选做题）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的参数方程为，直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=，则直线l与曲线C的交点个数为2．【考点】：简洁曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：分别把参数方程化为一般方程、极坐标方程化为直角坐标方程，把直线方程与椭圆方程联立化为一元二次方程，利用判别式即可得出．【解析】：解：曲线C的参数方程为，化为=1．直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=，开放化为=，∴y﹣x=2．联立，化为5x2+16x﹣12=0，△=162+4×5×12＞0，则直线l与曲线C的交点个数为2．故答案为：2．【点评】：本题考查了参数方程化为一般方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆相交转化为方程联立化为一元二次方程与判别式的关系，考查了计算力量，属于基础题．三、解答题：共6道题，共75分．要求写出演算和推理过程．18．（12分）己知数列{a n}满足a1=1，a n+1=（n∈N*），（Ⅰ）证明数列{ }是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n）的通项公式；（Ⅲ）设b n=n（n+1）a n求数列{b n}的前n项和S n．【考点】：数列的求和；等差关系的确定．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（I）由a n+1=（n∈N*）变形两边取倒数即可得出；（II）由（I）利用等差数列的通项公式即可得出；（III）由（Ⅱ）知，b n=n（n+1）a n=n•2n，利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．【解析】：解：（Ⅰ）∵数列{a n}满足a1=1，a n+1=（n∈N*），∴，即，∴数列是公差为1的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得=n+1，∴．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b n=n（n+1）a n=n•2n，∴S n=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，2S n=22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，两式相减得：﹣S n=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=（1﹣n）•2n+1﹣2，∴S n=（n﹣1）•2n+1+2．【点评】：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了变形的力量，考查了推理力量与计算力量，属于难题．19．（12分）函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0，ϖ＞0，|φ|＜）在区间[﹣，]上的图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c 且=，求f（x）在（0，B]上的值域．【考点】：正弦函数的图象；正弦定理．【专题】：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】：（Ⅰ）由图可知，A=1，T=π，可求ω=2，由函数f（x）=Asin（ϖx+φ）过点（，0），可得φ的值，从而可得f（x）解析式．（Ⅱ）由已知先求B的值，又f（x）=sin（2x+），由0，可得0≤f（x）≤1，即可求f（x）在（0，B]上的值域．【解析】：解：（Ⅰ）由图可知，A=1，T=π，则ω=2，…2分∵函数f（x）=Asin（ϖx+φ）过点（，0）∴φ=…4分∴f（x）=sin（2x+）…5分（Ⅱ）由=，得．则cosB=即B=…（7分）又f（x）=sin（2x+），由0，则0≤sin（2x+）≤1…（11分）故0≤f（x）≤1，即值域是[0，1]…（12分）【点评】：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，正弦定理的应用，属于基本学问的考查．20．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=DC=DD1，过A1、B、C1三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，E、F分别为A1B、BC1的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）求平面A1BC1与平面ABCD的夹角θ的余弦值．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）由三角形中位线定理得EF∥A1C1，由平行公理得EF∥AC，由此能证明EF∥平面ABCD．（Ⅱ）以D为坐标轴原点，以DA、DC、DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABCD 的一个法向量和平面A1BC1的一个法向量，由此利用向量法能求出平面A1BC1与平面ABCD的夹角θ的余弦值．【解析】：（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵在△A1BC1中，E、F分别为A1B、BC1的中点，∴EF∥A1C1，∵在ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∥A1C1，∴EF∥AC，∵EF⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．…（6分）（Ⅱ）解：以D为坐标轴原点，以DA、DC、DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，不妨设AD=DC==1，则A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，2），D1（0，0，2），A1（1，0，2），，，∵DD1⊥平面ABCD，∴平面ABCD 的一个法向量为=（0，0，2），设平面A1BC1的一个法向量为=（a，b，c），则，即，取a=1，得=（1，1，），∴cosθ=|cos ＜＞|=||=．∴平面A1BC1与平面ABCD的夹角θ的余弦值为．…（12分）【点评】：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面的夹角的余弦值的求法，涉及到三角形中位线定理、平行公理、向量法等学问点，是中档题．21．（12分）（2022•广安二模）为了解今年某校高三毕业班预备报考飞行员同学的体重状况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估量全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的同学人数，求X的分布列和数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【专题】：计算题．【分析】：（1）设报考飞行员的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，依据前3个小组的频率之比为1：2：3和所求频率和为1建立方程组，解之即可求出其次组频率，然后依据样本容量等于进行求解即可；（2）由（1）可得，一个报考同学体重超过60公斤的概率为，所以x听从二项分布，从而求出x的分布列，最终利用数学期望公式进行求解．【解析】：解：（1）设报考飞行员的人数为n，前三小组的频率分别为p1，p2，p3，则由条件可得：解得p1=0.125，p2=0.25，p3=0.375…（4分）又由于，故n=48…（6分）（2）由（1）可得，一个报考同学体重超过60公斤的概率为…（8分）所以x 听从二项分布，∴随机变量x的分布列为：x 0 1 2 3p则…（12分）（或：）【点评】：本题主要考察了频率分布直方图，以及离散型随机变量的概率分布和数学期望，同时考查了计算力量，属于中档题．22．（13分）已知动点M到点F（1，0）的距离，等于它到直线x=﹣1的距离．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点F任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△FPQ面积的最小值．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线；轨迹方程．【专题】：综合题．【分析】：（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），由题意得，由此能求出点M的轨迹C的方程．（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P 的坐标为．由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．（Ⅲ）题题设能求出|EF|=2，所以△FPQ 面积．【解析】：解：（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），由题意得，，化简得y2=4x，所以点M的轨迹C的方程为y2=4x．（4分）（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P 的坐标为．由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），由得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=（2k2+4）2﹣4k4=16k2+16＞0．由于直线l1与曲线C于A，B两点，所以x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=．所以点P 的坐标为．由题知，直线l2的斜率为，同理可得点的坐标为（1+2k2，﹣2k）．当k≠±1时，有，此时直线PQ的斜率k PQ =．所以，直线PQ 的方程为，整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0．于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．（10分）（Ⅲ）可求得|EF|=2，所以△FPQ 面积．当且仅当k=±1时，“=”成立，所以△FPQ面积的最小值为4．（13分）【点评】：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，具有肯定的难度，解题时要认真审题，留意挖掘隐含条件，认真解答．23．（14分）已知函数f（x）=（x3﹣6x2+3x+t）e x，t∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为4x﹣y+1=0，则求t的值（Ⅱ）若函数y=f（x）有三个不同的极值点，求t的值；（Ⅲ）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，求正整数m的最大值．【考点】：利用导数争辩曲线上某点切线方程；利用导数争辩函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）求出导数，求出切线的斜率，令f′（0）=4，即可得到t；（Ⅱ）求出导数，令g（x）=x3﹣3x2﹣9x+3+t，则方程g（x）=0有三个不同的根，求出g（x）的导数，求得g（x）的极值，令微小值小于0，极大值大于0，解不等式即可得到t的范围；（Ⅲ）先将存在实数t∈[0，2]，使不等式f（x）≤x恒成立转化为将t看成自变量，f（x）的最小值）≤x；再构造函数，通过导数求函数的单调性，求函数的最值，求出m的范围．【解析】：解：（Ⅰ）函数f（x）=（x3﹣6x2+3x+t）e x，则f′（x）=（x3﹣3x2﹣9x+3+t）e x，函数f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为f′（0）=3+t，由题意可得，3+t=4，解得，t=1；（Ⅱ）f′（x）=（x3﹣3x2﹣9x+3+t）e x，令g（x）=x3﹣3x2﹣9x+3+t，则方程g（x）=0有三个不同的根，又g′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x2﹣2x﹣3）=3（x+1）（x﹣3）令g′（x）=0得x=﹣1或3且g（x）在区间（﹣∞，﹣1），（3，+∞）递增，在区间（﹣1，3）递减，故问题等价于即有，解得，﹣8＜t＜24；（Ⅲ）不等式f（x）≤x，即（x3﹣6x2+3x+t）e x≤x，即t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x．转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x恒成立．即不等式0≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x在x∈[1，m]上恒成立．即不等式0≤e﹣x﹣x2+6x﹣3在x∈[1，m]上恒成立．设φ（x）=e﹣x﹣x2+6x﹣3，则φ'（x）=﹣e﹣x﹣2x+6．设r（x）=φ'（x）=﹣e﹣x﹣2x+6，则r'（x）=e﹣x﹣2，由于1≤x≤m，有r'（x）＜0．故r（x）在区间[1，m]上是减函数．又r（1）=4﹣e﹣1＞0，r（2）=2﹣e﹣2＞0，r（3）=﹣e﹣3＜0故存在x0∈（2，3），使得r（x0）=φ'（x0）=0．当1≤x＜x0时，有φ'（x）＞0，当x＞x0时，有φ'（x）＜0．从而y=φ（x）在区间[1，x0]上递增，在区间[x0，+∞）上递减．又φ（1）=e﹣1+4＞0，φ（2）=e﹣2+5＞0，φ（3）=e﹣3+6＞0，φ（4）=e﹣4+5＞0，φ（5）=e﹣5+2＞0，φ（6）=e﹣6﹣3＜0．所以当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；当x≥6时，恒有φ（x）＜0；故使命题成立的正整数m的最大值为5．【点评】：本题考查利用导数求切线方程、函数的极值、极值点是导函数的根、解决不等式恒成立常用的方法是构造函数利用导数求函数的最值．。
2021届陕西省西安中学高三第二次模拟考试数学(理)试题及答案
绝密★启用前西安中学高2021届高三第二次模考理科数学试题学校：注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（本大题共12小题，共60分） 1. 满足{1}⊆A ⊆{1,2，3}的集合A 的个数是()A.2B.3C.4D.82. 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为()A.1500元B.1550元C.1750元D.1800元3. 在中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =() A.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 4. 若{a n }是公比为e 的正项等比数列，则{lna 3n−1}是()A.公比为e 3的等比数列B.公比为3的等比数列C.公差为3e 的等差数列D.公差为3的等差数列5. 已知双曲x 2a 2−y2b 2=1(a >b >0)的渐近线与圆x 2−2x +y 2+34=0相切，则此双曲线的离心率等于() A. √2B.√3C.2√33D.26.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.(10+2√2)π2+1B.13π6B.C.(11+√2)π2+1D.(11+2√2)π2+17.2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p+2是素数，素数对(p,p+2)称为孪生素数．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是()A.115B.215C.245D.4458.设α,β是两平面，a,b是两直线.下列说法正确的是()①若，，则②若a⊥α，b⊥α，则③若a⊥α，a⊥β，则④若α⊥β，α∩β=b，a⊂α，a⊥b，则a⊥βA.①③B.②③④C.①②④D.①②③④9.某市政府决定派遣8名干部分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，则不同的派遣方案共有()A.320种B.252种C.182种D.120种10.在等差数列{a n}中a10<0，a11>0，且a11>|a10|，则在S n<0中，n的最大值为()A.17B.18C.19D.2011.已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限)，若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB⃗⃗⃗⃗ ，则直线l的斜率为()A.2B.12C.√32D.√312.设函数f(x)=ln(1+|x|)−11+x2，则使得f(x)<f(2x−1)成立的x的取值范围是()A.(13,1) B.(−∞,13)∪(1,+∞)B.C.(−13,13) D.(−∞,−13)∪(13,+∞)第二卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.函数y=sin(2x+φ)(0<φ<π2)图象的一条对称轴是x=π12，则φ的值是______．14.设复数z1，z2满足|z1|=|z2|=2，z1+z2=√3+i，则|z1−z2|=______．15.给出下列命题：16.①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”；17.②“x=−1”是“x2−5x−6=0”的必要不充分条件；18.③命题“∃x∈R，使得x2+x−1<0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x−1>0”；19.④命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题．20.其中所有正确命题的序号是______．21.若函数f(x)=x2+1与的图象存在公共切线，则实数a的最大值为________．三、解答题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答.(一）必考题，共60分22.（本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD中，∠ADC=900，∠A=450，AB= 2，BD=5，(1)求ADBcos(2)若DC=2√2，求BC．23.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是边长为4的等边三角形，∠A1AB=∠A1AC，D为BC的中点．(1)证明：BC⊥平面A1AD．(2)若△A1AD是等边三角形，求二面角D−AA1−C的正弦值．24.（本小题满分12分）某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N人，若逐个检验就需要检验N 次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这个k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人的检验次数为k+1次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p．(Ⅰ)为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若p=0.1，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；(Ⅱ)设ξ为k个人一组混合检验时每个人的血需要检验的平均次数（例如5人一组，血液混合在一起检查为阴性，则平均每人检查次数为0.2次）．①当k=5，p=0.1时，求ξ的分布列；②是运用统计概率的相关知识，求当k和p满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数．25.（本小题满分12分）已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，其长轴长为2√2．(1)求椭圆E的方程；(2)直线l1:y=k1x交E于A,C两点，直线l2:y=k2x交E于B,D两点，若k1⋅k2=−12.求四边形ABCD的面积．26.（本小题满分12分）已知函数f(x)=e x−ax+sinx−1．(Ⅰ)当a=2时，求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)当1≤a<2时，证明：函数f(x)有2个零点．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任意选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.27.(本题满分10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1−t21+t2,y=2t1+t2(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+√3ρsinθ+ 4=0．(1)求C的普通方程和l的直角坐标方程；。
2021届陕西省西安市长安区高三下学期一模考试数学(理)试卷及答案
2021届陕西省西安市长安区高三下学期一模考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷总分150分.考试时间120分钟.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i z +=2，则=-z z 2（ ）A. 10B. 2C.26D. 32.设集合{}062≤--=x x x A ，{}02≤+=a x x B ，且{}22≤≤-=x x B A ，则=a ( )A. 2B. 2-C. 4-D. 43.设抛物线C:px y 22=的焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线C 上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）A.经过点PB.经过点OC.平行于直线OPD.垂直于直线OP4.6))(2(y x y x +-的展开式中43y x 的系数为（ ）A. 25B. 25-C. 15D. 15-5.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价(元)4 5 6 7 8 9 销量(件) 90 84 83 80 75 68由表中数据,求得线性回归方程a x y+-=4ˆ,若在这些样本点中任取一点,则它在回归直线右上方的概率为( )A. B. C. D.6.“中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）.其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积Rh π2S =，其中R 为球的半径，h 为球冠的高），设球冠底的半径为r ,周长为C ,球冠的面积为S ，则当ππ162==S C ，时，=R r （ ） 1622572.+A 815.B 162-2572.C 813.D 7.将函数()sin f x x ω=（其中ω>0）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像关于直线π=x 对称，则ω的最小值是( ) A ．31 B ．2 C ．53 D ．32 8.已知直线l 是曲线342)(x x x f -=在点))1(,1(f 处的切线，点),(n m P 是直线l 上位于第一象限的一点，则nm n m ⋅+2的最小值为（ ） A. 4 B. 9 C. 25 D. 169.一个动圆与定圆F:4)322=+-y x （相外切,且与直线1:-=x l 相切,则动圆圆心的轨迹方程为( )A. x y 62=B.x y 42=C. x y 82=D. x y 122=10.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且,cos 45sin sin A b b B A a -= ABC c b ∆=+,10的面积为，4325则=a （ ） A. 32 B ．8 C ．5 D.223log 2111.2=a 已知, 2log 25=b , 75.0=c ,则c b a ,,的大小关系为（ ） A. c a b >> B. c b a >> C. a c b >> D. b a c >>12.设点P 在ABC ∆内且为ABC ∆的外心， 30=∠BAC ,如图.若PBC ∆，,PCA ∆PAB ∆的面积分别为y x ,,21，则y x ⋅的最大值是（ ）。
2021届陕西省西安市长安区第一中学高三上学期第二次检测数学(理)试题(解析版)
12021届陕西省西安市长安区第一中学高三上学期第二次检测数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知全集U =R ，集合A ={x|−2<x <2},B ={x|(x +1)(x −3)>0}，则A ∩B 等于 A ．(−1,2) B ．(−2,−1] C ．(−2,−1) D ．(2,3) 2．已知i 为虚数单位，若复数z =1−ti 1+i在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为A ．[−1,1]B ．(−1,1)C ．(−∞,−1)D ．(1,+∞)3．要计算1+12+13+⋯+12017的结果，如图程序框图中的判断框内可以填A ．n ＜2017B ．n ≤2017C ．n ＞2017D ．n ≥20174．2017年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为x 1,x 2，中位数分别为y 1，y 2，则A ．x 1>x 2，y 1＞y 2B ．x 1>x 2，y 1=y 2C ．x 1<x 2，y 1=y 2D ．x 1<x 2，y 1＜y 25．已知函数f (x )={m −3x ,x ≤0−x 2,x >0给出下列两个命题，p ：存在m ∈(−∞,0)，使得方程f （x ）=0有实数解；q ：当m =13时，f （f （1））=0，则下列命题为真命题的是A ．p ∧qB ．（￢p ）∧qC ．p ∧（￢q ）D ．p ∨（￢q ） 6．若方程x 2k−2−y 25−k=1表示双曲线，则实数k 的取值范围是A ．2<k <5B ．k >5C ．k <2或k >5D ．以上答案均不对 7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为A ．2π3B ．π3C ．2π9D ．16π98．如图所示，已知菱形ABCD 是由等边△ABD 与等边△BCD 拼接而成，两个小圆与△ABD 以及△BCD 分别相切，则往菱形ABCD 内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为A ．√39πB ．√318πC ．√3π18D ．√3π99．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足当x ≥0时，f (x )=log (x +2)2+x +b ，则|f (x )|>3的解集为A ．(−∞,−2)∪(2,+∞)B ．(−∞,−4)∪(4,+∞)C ．(−2,2)D ．(−4,4) 10．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为 A ．72 B ．120 C ．192 D ．240 11．椭圆x 25+y 24=1的左焦点为F ，直线x =a 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是A ．√55 B ．6√55C ．8√55D ．4√55此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号2 12．定义在R 上的函数f(x)满足f(x +2)=2f(x)，且当x ∈[2,4]时，f(x)={−x 2+4x,2≤x ≤3,x 2+2x,3<x ≤4,g(x)=ax +1，对∀x 1∈[−2,0]，∃x 2∈[−2,1]，使得g(x 2)=f(x 1)，则实数a 的取值范围为A ．(−∞,−18)∪[18,+∞) B ．[−14,0)∪(0,18] C ．(0,8] D ．(−∞,−14]∪[18,+∞)二、填空题13．正项等比数列{a n }中，a 1+a 4+a =72,a 3+a 6+a 9=18，则{a n } 的前9项和S 9=_____．14．面积为4√3的等边三角形ABC 中，D 是AB 边上靠近B 的三等分点，则CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =_____． 15．已知实数x ，y 满足不等式组{x −y −2≤0,x +2y −5≥0,y −2≤0,且z =2x −y 的最大值为a ，则∫acos2x 2d x π=_____．16．等腰△ABC 中，AB =AC ，BD 为AC 边上的中线，且BD =3，则△ABC 的面积最大值为_____．三、解答题17．已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，2sin 7π6sin (π6+C )+cosC =−12（1）求C ；（2）若c =√13，且△ABC 面积为3√3，求sinA +sinB 的值．18．如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB =2，∠BAD =60°．（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）若PA =AB ，求PC 与平面PBD 所成角的正弦值．19．大学生小王自主创业，在乡下承包了一块耕地种植某种水果，每季投入2万元，根据以往的经验，每季收获的此种水果能全部售完，且水果的市场价格和这块地上的产量具有随机性，互不影响，具体情况如表：（1）设X 表示在这块地种植此水果一季的利润，求X 的分布列及期望； （2）在销售收入超过5万元的情况下，利润超过5万元的概率．20．已知椭圆：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，圆x 2+y 2−2y =0的圆心与椭圆C 的上顶点重合，点P 的纵坐标为53．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若斜率为2的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，探究：在椭圆C 上是否存在一点Q ，使得PA⃑⃑⃑⃑⃑ =BQ ⃑⃑⃑⃑⃑ ，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 21．已知函数f (x )=xlnx −x , g (x )=a2x 2−ax (a ∈R )．（1）若f (x )和g (x )在（0，+∞）有相同的单调区间，求a 的取值范围；（2）令ℎ(x )=f (x )−g (x )−ax (a ∈R )，若ℎ(x )在定义域内有两个不同的极值点． ①求a 的取值范围；②设两个极值点分别为x 1,x 2，证明：x 1⋅x 2>e 2．22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ−12，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为{x =2−12ty =1+√32t(t 为参数）. （1）写出直线l 的一般方程与曲线C 的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；（2）将曲线C 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D ，设曲线D 经过伸缩变换{x′=x,y′=2y,得到曲线E ，设曲线E 上任一点为M (x,y )，求√3x +12y 的取值范围.23．设函数f (x )=|x −a |,a ∈R . （1）当a =5时，解不等式f (x )≤3；（2）当a =1时，若∃x ∈R ，使得不等式f (x −1)+f (2x )≤1−2m 成立，求实数m 的取值范围2019届陕西省西安市长安区第一中学高三上学期第二次检测数学（理）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】先求得集合B元素的取值范围，然后求A,B的交集.【详解】对于集合B，解集为{x|x<−1,x>3}，所以A∩B=(−2,−1).所以选C.【点睛】本小题考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的求法，考查运算求解能力，属于基础题. 2．B【解析】由题z=1-ti1+i =(1-ti)(1-i)(1+i)(1-i)=1-t2-1+t2i．又对应复平面的点在第四象限，可知1−t2>0且−1+t2<0，解得−1<t<1．故本题答案选B．3．B【解析】从算法流程图中提供的运算程序可知：当n=2017时，运算程序结束，所以判断框内应填n≤2017，应选答案B。
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高2020-2021届第二次模拟考试
数学（理）试题含答案
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．
（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合2
{|(1)}(,),A x x a a i a R i A R ==+-∈⊆是虚数单位若，则a=
A ．1
B ．-1
C ．±1
D ．0 2．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是 ． A ．2
()f x x =
B ．1()f x x
=
C ．()ln 26f x x x =+-
D ．()sin f x x =
3．已知p ：存在22
00,20.:,210x R mx q x R x mx ∈+≤∈-+>任意，若“p 或q ”为假命
题，则实数m 的取值范围是
A ．[1，+∞）
B ．（一∞，一1]
C ．（一∞，一2]
D ．[一l ，1]
4．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若14611,6a a a =-+=-,则当S n 取最小值时．n 等
于 A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
5．定义在R 上的函数()f x 满足2
(6)(),31,()(2),f x f x x f x x +=-≤≤=-+当时当一
1≤x<3时，(),(1)(2)(3)(2013)f x x f f f f =+++=则
A ．2013
B ．2012
C ．338
D ．337
6． 如果实数x 、y 满足条件1010
,10x y y x y -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪++≤⎩
那么z=4x ·2-y 的最大值为
A ．1
B ．2
C ．
12
D ．
14
7．已知函数33(0)()(,)(0)(01)
x
x a x f x x a
x a a -+-<⎧=∈-∞+∞⎨
≥>≠⎩是且上的减函数，则
a 的取值范围是
A ．2(0,]3
B ．1(,1)3
C ．（2，3）
D ．12
(,]23
8．已知F 1，F 2为双曲线22
:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，
1212||2||,cos PF PF F PF =∠则=
A ．
14
B ．
3
4
C ．
3
5
D ．
45
9．已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S —ABC
的体积为
A ．
3
3
B ．
23
3
C ．
43
3
D ．
53
3
10．已知函数y=x 3
-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点．则c= A ．一2或2 B ．一9或3 C ．一1或1 D ．一3或1
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：
（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案值填在答题卡的相应位置）
11．若6
()a x x
-
展开式的常数项是60，则常数a 的值为 ． 12．若曲线||21x
y =+与直线y=b 没有公共点，则b 的取值范围是 ．
13．椭圆22
21(5x y a a
+=为定值，且5a >）的的左焦点为F ，直线x=m 与椭圆相交于点A 、
B 。
△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 。
14．已知函数y=f （x+1）的图象关于点（一1，0）对称， 且当x ∈（一∞，0）时．f （x ）+xf （x ）<0成立（其中()()f x f x 是的导函数），
若0.3
0.3
331
1(3)(3),(log 3)(log 3),(log )(log )99
a f
b f
c f ππ=⋅=⋅=⋅,则a ，b ，c 从大
到小的次序为 . 15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题评分）
A ．（不等式选做题）若不等式4
|1||3|x x a a
++-≥+
对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范圉是 ． B ．（几何证明选做题）如图所示．A ，B 是两圆的交点。
AC 是小圆的直径 D ，E 分别是CA ，CB 的延长线与大圆的交点· 已知AC=4，B E=10，且BC=AD ，则AB= ．
C ．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，已知A （1，0）B （0，
2
π
）点P 在曲线2cos 4cos ρθθρ+=上，则|PA|+|PB|最小值为 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明
过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分） 已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2
2cos 3sin ,12
B
B b ==。
（1）若512
A π
=
，求边c 的大小； （2）若a=2c ，求△ABC 的面积．
17．（本小题满分12分）已知数列{n a }的前n 项和为S n ，常数λ>0,且λa 1a n =S 1+S n 对一切
正整数n 都成立.
（1）求数列{n a }的通项公式；
（2）设10,100,a n λ>=当当为何值时，数列{lg
1
n
a }的前n 项和最大? 18．（本小题满分12分）如图，在四面体ABOC 中， OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，∠AOB=20°，且OA=OB=O C=1．
（1）设P 为AC 的中点．证明：在AB 上存在一点Q ，使
PQ ⊥OA ，并计算
AB
AQ
的值．
（2）求锐二面角O 一AC —B 的平面角的余弦值．
19．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80％，二等品
率为20％：乙产品的一等品率为90％，二等品率为10％．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．
（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求x 的分
布列：
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．
20．（本小题满分13分）已知点P （一1，3
2）是椭圆E ：22221(0)x y a b a b
+=>>上一点
F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，O 是坐标原点，PF 1⊥x 轴．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设A ，B 是椭圆￡上两个动点，满足：(04,2)PA PB PO λλλ+=<<≠且求直线AB 的斜率。
（3）在（2）的条件下，当△PAB 面积取得最大值时，求λ的值。
21．（本小题满分14分）已知函数2
()ln (2).f x x ax a x =-+-
（1）讨论()f x 的单调性： （2）设a>0，证明：当0<x<
1
a
时，11()();f x f x a a +>-
（3）若函数()y f x =的图像与x 轴交于A ，B 两点·线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：
0()0.f x <。