六年级数学奥数培优教案(下册)图形问题之蝴蝶模型

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一

方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到

与面积对应的对角线的比例关系。

类型 1：任意四边形中的蝴蝶模型

① S 1 ⨯ S 3 = S 2 ⨯ S 4 （上、下两部分面积的积等于左、右两部分面积的积）；

② S 1 : S 4 = S 2 : S 3 = (S 1 + S 2 ): (S 4 + S 3 )= AO : OC （左：右 = 左和：右和）

类型 2：梯形中的蝴蝶模型

① S 2 = S 4 ；

② S 1 ⨯ S 3 = S 2 ⨯ S 4 ；

③OC AO s s s s s s s s :)(:)(::34213241=++==

④)(::::::224231ab ab ab b a s s s s 上下平方，左右=

⑤梯形 S 的对应份数为 (a + b )

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【例1】如图，某公园的外轮廓是四边形 ABCD ，被对角线 AC 、BD 分成四个部分，△ AOB

面积为 1 平方千米，△BOC 面积为 2 平方千米，△COD 的面积为 3 平方千米，公园由

陆地面积是 6．92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

【例2】如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，BE=2EC ，CF=FD ，求△AEG 的面积．

【例3】梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，已知梯形上底为 2，且△ABO 的面积

等于△BOC 面积的32 ，求△AOD 与△BOC 的面积之比． 专题：图形问题之蝴蝶模型

【例4】正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米， BE =

31AB , BF = 2

1BC ，四边形 BGHF 的面积是多少平方厘米？

1、如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，则△BGC 的

面积为 ；AG:GC=

2、如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O 若△ABD

的面积等于△BCD 的面积的3

1，且AO=2，DO=3，那么CO 的 长度是DO 的 倍。

3、梯形的下底是上底的1.5倍，△OBC 的面积是9cm 2 ，

则△AOD 的面积是

4、正方形ABCD 的面积是57平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC

的中点，则四边形BGHF 的面积是 平方厘米

5、如图所示，ABCD 是梯形，△ADE 面积是 1.8，△ABF 的面积是 9，△BCF 的面积是 27．那么阴影△AEC 面积是多少？

6、如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为AD中点，F为CE中点，G为BF 中点，求三角形 BDG 的面积．

7、如图，△ABC 是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段 AB 与 CD 相交于 K 点．已知正方形DEFG 的面积 48，AK：KB=1：3，则△BKD 的面积是多少？

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1、如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点，△CEF 、△OEF 、△ODF 、△BOE 的面积依次是

2、 4、 4和6.△GCE 的面积为 。

2、如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 。

3、如图，在△ABC 中，已知M 、N 分别在边AC 、BC 上，BM 与AN 相交于点O,若△AOM 、△ABO 、△BON 的

面积分别是2、4、6，则△MNC 的面积是

4、如图，梯形ABCD 中，△AOB 、△COD 的面积分别是1.2和2.7，则梯形ABCD 的面积是

5、如图面积为12平方厘米的正方形ABCD 中，EF 是DC 边上的三等分点，则阴影部分的面积是

6、如图，长方形ABCD 中，BE ：EC=2:3，DF ：FC=1:2，△DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积。

7、如图，在梯形 ABCD 中，AB 与 CD 平行，且 CD=2AB ，点 E 、F 分别是 AD 和 BC 的中点，

已知阴影四边形 EMFN 的面积是 54 平方厘米，则梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？