正多边形和圆知识点整理+典型例题+课后练习

个性化辅导教案

正多边形和圆

知识梳理:

1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。

2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把一

个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每 一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

正n 边形的一个中心角的度数为： 型 正多边形的中心角

与外角的大小相等。

3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是

4、圆内接正n 边形的性质(nA3，且为自然数)：

(1)当n 为奇数时，圆内接正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴；但不是中心对称图形。

接圆的圆心。

的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。

(1)用量角器等分圆周。

8、定理1:把圆分成n(n 》3)等份:

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正

学生姓名: 授课教师: 所授科目:

学生年

级： 上课时间：2016年 月

分至 时 分共 小时

教学重难点

教学标题

正n 边形每一个内角的度数为:

n 2 180

180 °。 ⑵ 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形,

对称中心是正多边形的中心, 即外

5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系: (1)圆内接正三角形：d

1

—r

(2)圆内接正四边形:

2

(设圆内接正多边形的半径为

d

丘

d ——r

r ,边心距为d)

(3)圆内接正六边形:

43

—r 2

6、常见圆内接正多边形半径 r 与边长x 的关系:

(1)圆内接正三角形：x

(2)圆内接正四边形:

(3)圆内接正六边形: x=r

7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关, 要做半径为

R 的正n 边形，只要把半径为 R

(2)用尺规等分圆(适用于特殊的正

n 边形)。

(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正

n 边形;

n 边形。

说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依

次连结圆的n(n > 3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的

n(n > 3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边。.

(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件。

(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形。

定理2:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

经典例题

例1、已知正六边形ABCDEF如图所示，其外接圆的半径是a, ?求正六边形的周长和面积。

分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂

上钩，很自然应连接0A,过0点作0M丄AB垂于M，在RtAAOM?中便可求得AM，又应用垂径定理可求得

AB的长•正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的。

例2 :已知O 0和O 0上的一点A(如图).

(1)作O 0的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH

⑵在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是Q 0内接正十二边形的一边

例3 （中考）：

如图，在桌面上有半径为2cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆

课堂练习:

选择题

1•一个正多边形的一个内角为120 ，则这个正多边形的边数为（）

A. 9

B. 8

C. 7

D. 6

2 •如图所示，正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳手的开口a的值应是（）

片的半「径最小应为多

5.

若半径为5cm 的一段弧长等于半径为 2cm 的圆的周长，？则这段弧所对的圆心角为（

）

6 •正六边形的周长为 12,则同半径的正三角形的面积为 7.正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为

8•如图所示，正△ ABC 的外接圆的圆心为 0,半径为2，求△ ABC 的边长a ，周长P ,边心距r ，面积S.

巩固练习

姓名

所授科目年级

授课老师 米晓菲 完成时间

A. 2語 cm

B .的 cm

2祚

C. 3 cm

D . 1 cm

第2题图 第3题图 第4题图

3 •如图所示，两个正六边形的边长均为

1,其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上,

则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是 （

A . 7

B . 8

C . 9 D. 10

4.如图4所示，正六边形 ABCDEF 内接于O O ,则/ ADB 的度数是（）.

A . 60

B . 45°

C . 30°

D . 22. 5

A . 18

B . 36 C. 72 D . 144

，同半径的正方形的周长为