正多边形和圆知识点整理+典型例题+课后练习
最新正多边形和圆知识点整理+典型例题+课后练习(1)
个性化辅导教案学生姓名： 授课教师： 所授科目：学生年级: 上课时间： 2016 年 月 日 时 分至 时 分 共 小时教学标题 正多边形和圆教学重难点知识梳理：1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。
2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。
把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
正n 边形每一个内角的度数为：()2180n n-⨯︒正n 边形的一个中心角的度数为：360n︒正多边形的中心角与外角的大小相等。
3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是180°。
4、圆内接正n 边形的性质（n ≥3，且为自然数）：(1) 当n 为奇数时，圆内接正n 边形是轴对称图形，有n 条对称轴；但不是中心对称图形。
(2) 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心，即外接圆的圆心。
5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系：(设圆内接正多边形的半径为r ，边心距为d) （1）圆内接正三角形：1d 2r=（2）圆内接正四边形：2d 2r = （3）圆内接正六边形：3d 2r = 6、常见圆内接正多边形半径r 与边长x 的关系：（1）圆内接正三角形：3x r = （2）圆内接正四边形：x 2r=（3）圆内接正六边形：x=r 7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关，要做半径为R 的正n 边形，只要把半径为R 的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。
（1）用量角器等分圆周。
（2）用尺规等分圆（适用于特殊的正n 边形）。
8、定理1：把圆分成n(n ≥3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。
部编数学九年级上册专题13正多边形与圆、弧长和面积公式(热考题型)解析版含答案
专题13 正多边形与圆、弧长和面积公式【思维导图】◎考点题型1 正多边形和圆正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．正多边形的相关概念：➢正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．➢正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．➢正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．➢正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．半径、边心距，边长之间的关系：画圆内接正多边形方法（仅保留作图痕迹）：1）量角器（作法操作复杂，但作图较准确）2）量角器+圆规（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）3）圆规+直尺（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）例．（2022·江苏·九年级）中心角为45°的正n 边形的边数n 等于（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6变式1．（2022·山东青岛·中考真题）如图，正六边形ABCDEF 内接于O e ，点M 在»AB 上，则CME Ð的度数为（ ）A ．30°B ．36°C ．45°D ．60°【答案】D 【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．【详解】解：连接OC 、OD 、OE ，如图所示：变式2．（2022·北京四中九年级阶段练习）如图，,AB BC 和AC 分别为O e 内接正方形，正六边形和正n 边形的一边，则n 是（ ）．A ．六B ．八C ．十D ．十二【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形边数与中心角的关系是解题的关键．变式3．（2022·河南信阳·九年级期末）若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（ ）A．B．4C．D．2【点睛】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质，正确求出正六边形的中心角的度数是解题关键．◎考点题型2 弧长设的半径为，圆心角所对弧长为，弧长公式：（弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）例．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）实验学校的花坛形状如图所示，其中，等圆⊙O1与⊙O2的半径为3米，且⊙O1经过⊙O2的圆心O2．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为（ ）A ．4π米B ．6π米C ．8π米D ．12π米变式1．（2022·河南三门峡·九年级期末）如图，在扇形OAB 中，100,9AOB OA Ð=°=，将扇形OAB 沿着过点B 的直线折叠，点O 恰好落在弧AB 上的点D 处，折痕交OA 于点C ，则弧AD 的长为（结果保留p ）（ ）A ．pB ．2pC ．3pD ．4p【答案】B根据折叠的性质知，OB =DB ．又∵OD =OB ，∴OD =OB =DB ，即△ODB 是等边三角形，∴∠DOB =60°．∵∠AOB =100°，∴∠AOD =∠AOB -∠DOB =40°，变式2．（2021·浙江金华·九年级阶段练习）如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AB C ¢¢，则 ¼BB¢ 的长为（ ）A ．pB ．2pC ．7D ．6【答案】A 【分析】利用格点可知∠BAB ′＝45°，再利用弧长公式，可求出弧¼BB¢的长．变式3．（2022·四川内江·中考真题）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为6，则这个正六边形的边心距OM 和»BC的长分别为（ ）A ．4，3pB ．πC ．43pD ．2πQ 六边形ABCDEF 为正六边形，360606BOC °\Ð==°，故选：D．【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理,熟练掌握正六边形的性质，由勾股定理求出OM是解决问题的关键．◎考点题型3 扇形面积扇形面积公式：例．（2022·浙江湖州·九年级期末）如图，已知扇形OAB的半径OA=6，点P为弧AB上一动点，过点P作PC⊥OA，PD⊥OB，连接CD，当CD取得最大值时，扇形OAB的面积为（）A．9p B．12p C．13.5p D．15p变式1．（2021·湖北恩施·一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，以顶点A为圆心，AD为半径画弧，若顶点C恰好在BD弧上，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．43p -B ．23p -C ．43p -D ．23p变式2．（2022·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学三模）如图，点A ，B ，C 是O e 上的点，连接,,AB AC BC ，且15ACB Ð=°，过点O 作OD AB ∥交O e 于点D ．连接,AD BD ，已知O e 半径为2，则图中阴影面积为( )A ．2pB ．3pC ．4pD ．23p变式3．（2022·广东河源·二模）如图，已知平行四边形ABCD ，以B 为圆心，AB 为半径作»AE 交BC 于E ，然后以C 为圆心，CE 为半径作»EF 交CD 于F ，若5AD =，3FD =，60B Ð=°，则阴影部分的面积为（ ）A ．4324pB ．3pC ．596pD ．12p【答案】B【分析】根据平行四边形的性质和题意可设AB =CD =BE =x ，CE =CF =x -3，则BE +CE =BC =AD =5，求出x 的值，再根据扇形面积公式求解即可．◎考点题型4求圆心角例．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）A ．90°B ．100°C ．120°D ．150°变式1．（2021·山东泰安·期中）将一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为2:3:4，则这三个扇形的圆心角的度数为（ ）A ．80120160°°°、、B ．60120180°°°、、C ．50100150°°°、、D ．306090°°°、、【答案】A 【分析】根据一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为2:3:4，可得这三个扇形的圆心角的度数之比为2:3:4，可设这三个扇形的圆心角的度数分别为2,3,4x x x ，从而得到234360x x x ++=°，即可求解．【详解】解：∵一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为2:3:4，∴这三个扇形的圆心角的度数之比为2:3:4，设这三个扇形的圆心角的度数分别为2,3,4x x x ，根据题意得：234360x x x ++=°，解得：40x =°，∴这三个扇形的圆心角的度数分别为80,120,160°°°．故选：A ．【点睛】本题主要考查了求扇形的圆心角，根据题意得到这三个扇形的圆心角的度数之比为2:3:4是解题的关键．变式2．（2021·福建师范大学附属中学初中部九年级期中）已知扇形半径是9cm ，弧长为4πcm ，则扇形的圆心角为（ ）A ．20°B ．40°C ．60°D ．80°变式3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点,,A B C 在半径为6的O e 上，劣弧»AB 的长为2p ，则ACB Ð的大小是（ ）A ．20oB ．30oC ．45oD ．60o【答案】B 【分析】连接,OA OB ，利用同弧圆心角与圆周角的关系，需求∠AOB 即可，利用AB 弧长与弧长公式即可例．（2021·广东·江东镇初级中学一模）一个钟表的时针长10厘米，在中午12时到下午3时，时针的针尖划过的弧长是（ ）厘米．A．2.5p B．5p C．25p D．50p变式1．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校二模）如图，菱形ABCD的边长为3，60Ð=°，将BAD菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转，使得点B 与点D 重合，点D 和点C 的对应点分别为点E ，F ，则点C 的运动路径弧CF 的长为（ ）A B ．2p C ．D ．4p Q 菱形ABCD 的边长为3,//AD AB CD\=120ADC \Ð=°60ADO \Ð=°变式2．（2022·河北石家庄·九年级期末）如图，在扇形纸片AOB 中，12OA =，30AOB Ð=°，OB 在桌面内的直线l 上，现将此扇形沿l 按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA 落在l 上时，停止旋转．则点O 所经过的路线长为（ ）A ．12pB ．13pC ．14pD ．105p +-变式3．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在ABC D 中，90ACB Ð=°，30ABC Ð=°，1AC =．将ABC D 绕直角顶点C 逆时针旋转60°得△A B C ¢¢；则点B 转过的路径长为（ ）A ．3pB ．23pCD ．p◎考点题型6 求扇形扫过的面积例．（2022·内蒙古包头·模拟预测）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1，将△ABC 绕点B 逆时针旋转120°至A BC ¢¢△的位置，则边BA 扫过的面积是（ ）A ．3pB ．23pC ．43pD ．83p变式1．（2022·四川·一模）如图，已知»AB 所在圆的半径为4，弦AB 长为C 是»AB 上靠近点B 的四等分点，将»AB 绕点A 逆时针旋转120°后得到¼AB ¢，则在该旋转过程中，线段CB 扫过的面积是（ ）A．83pB．163pC．πD．323p变式2．（2021·广西柳州·中考真题）如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A¢，则此时线段CA扫过的图形的面积为（）A ．B ．6C ．43pD ．83p变式3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，将△ABC 绕点A 逆时针方向旋转40°得到△ADE ，点B 经过的路径为»BD，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．143π－6B ．259πC ．338π－3D π【答案】B【分析】对图形进行分析，可得所求阴影面积等于扇形DAB 的面积，从而计算扇形面积即可．【详解】ADE ABCDAB S S S S =+-V V 阴影扇形ADE ABC S S =V V Q ，DAB S S \=阴影扇形，例．（2022·河北唐山·二模）如图，△ABC 内接于⊙O ，若45A Ð=°，⊙O 的半径r =4，则阴影部分的面积为（ ）A ．4pB ．2pC ．48p -D ．416p -变式1．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）A ．23pB ．23pC ．43p -D ．43p∵∠AOB=2×360 12°变式2．（2022·云南·双柏县教师进修学校二模）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，BC＝()A．π－8B．16π－8C．4π－8D．16π－4变式3．（2021·山东临沂·模拟预测）如图，点A 、B 、C 在O e 上，若45BAC Ð=°，2OC =，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．2p -B ．4p -C ．213p -D ．223p -◎考点题型8 求不规则图形的面积例．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为6的正方形ABCD 中，以BC 为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）A．9B．6C．3D．12【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．变式1．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（）A 4pB ．pCD 2p变式2．（2022·山西·中考真题）如图，扇形纸片AOB 的半径为3，沿AB 折叠扇形纸片，点O 恰好落在»AB 上的点C 处，图中阴影部分的面积为（ ）A ．3π-B ．3πC ．2π-D ．6π【答案】B 【分析】根据折叠，ACB AOB ≌△△，进一步得到四边形OACB 是菱形；进一步由3OC OB BC ===得到OBC V 是等边三角形；最后阴影部分面积=扇形AOB 面积-菱形的面积，即可【详解】依题意：ACB AOB ≌△△，3AO BO ==∵3OC OB ==∴3OC OB BC ===变式3．（2022·山东省实验初级中学模拟预测）如图，正方形ABCD 的边长为4，以BC 为直径的半圆O 交对角线BD 于点E ．则图中阴影部分的面积为（ ）A ．8p-B ．4p +C ．6p -D ．3p+Q 四边形ABCD 为正方形，且边长为AB BC CD AD \===◎考点题型9 求圆锥的侧面积母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
2020年九年级数学上册专题24.3正多边形和圆(讲练)【含解析】
2020年九年级数学上册专题24.3正多边形和圆（讲练）一、知识点1.正多边形与圆（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC 为等边△a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2二、标准例题：例1：如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，连接BD ．则∠CBD 的度数是（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A【解析】∵在正六边形ABCDEF 中，∠BCD ＝＝120°，BC ＝CD，(62)1806-⨯∴∠CBD ＝（180°﹣120°）＝30°，12故选：A ．总结：本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．例2：如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（ ）A ．B ．C ．D ．45342312【答案】C【解析】连接AC ，设正方形的边长为a ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B=90°，∴AC 为圆的直径，a ，，223π=≈故选C.总结：本题考查的是正多边形和圆，掌握圆周角定理、正方形的性质是解题的关键．例3：如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，BE 是⊙O 的直径，连接BF ，延长BA ，过F 作FG ⊥BA ，垂足为G .(1)求证：FG是⊙O的切线；(2)已知FG ＝，求图中阴影部分的面积.【答案】(1)见解析；(2) 图中阴影部分的面积为.83π【解析】(1)证明：连接OF ，AO ，∵AB ＝AF ＝EF ，∴，AB AF EF ==∴∠ABF ＝∠AFB ＝∠EBF ＝30°，∵OB ＝OF ，∴∠OBF ＝∠BFO ＝30°，∴∠ABF ＝∠OFB ，∴AB ∥OF ，∵FG ⊥BA ，∴OF ⊥FG ，∴FG 是⊙O 的切线；(2)解：∵，AB AF EF ==∴∠AOF ＝60°，∵OA ＝OF ，∴△AOF 是等边三角形，∴∠AFO ＝60°，∴∠AFG ＝30°，∵FG ＝，∴AF ＝4，∴AO ＝4，∵AF ∥BE ，∴S △ABF ＝S △AOF ，∴图中阴影部分的面积＝.260483603ππ⨯=总结：此题考查切线的判定，等边三角形的判定，扇形面积，解题关键在于利用等弧对等角三、练习1．如图，正六边形的边长为2，分别以点为圆心，以为半径作扇形，扇形ABCDEF ,A D ,AB DCABF ．则图中阴影部分的面积是（ ）DCE A ．B ．C ．D．43π83π-43π-43π【答案】B 【解析】解：∵正六边形的边长为2，ABCDEF ∴正六边形的面积是：，，ABCDEF ()22sin 606622︒⨯⨯=⨯=120FAB EDC ∠=∠=∴图中阴影部分的面积是：，21202823603ππ⨯⨯-⨯=故选：B ．2．有一个正五边形和一个正方形边长相等，如图放置，则的值是（）1∠A ．B ．C ．D ．15︒18︒20︒9︒【答案】B 【解析】解：正五边形的内角的度数是1(52)1801085︒︒⨯-⨯=正方形的内角是90°，则∠1=108°-90°=18°．故选：B ．3．如图，已知正方形的顶点、在上，顶点、在内，将正方形绕点逆ABCD A B O C D O ABCD A 时针旋转，使点落在上.若正方形的边长和的半径均为，则点运动的路径长为D O ABCD O 6cm D （）A ．B ．C ．D ．2cmπ32cm πcm π12cm π【答案】C 【解析】解：设圆心为O ，连接AO ，BO ， OF ，∵AB=6，AO=BO=6，∴AB=AO=BO，∴三角形AOB 是等边三角形，∴∠OAB=60°∵AF=AO=FO=6，∴△FAO 是等边三角形，∴∠OAF=60°∠FAB=∠OAB+∠OAF =120°，∴∠EAC=120°-90°=30°，∵AD=AB=AF=6，∴点D 运动的路径长为：=π．306180π⨯⨯故选：C ．4．如图，在正五边形中，，的延长线交于点，则等于（ ）.ABCDE AE CD FF ∠A ．B ．C ．D ．30°32︒36︒38︒【答案】C 【解析】∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠AED =∠EDC =108°，∴∠FED =∠FDE =72°，由三角形的内角和定理得：∠F =180°﹣72°﹣72°=36°．故选C ．5．如图，已知正五边形内接于，连结，则的度数是（ ）ABCDE O BD ABD ∠A ．B ．C ．D ．60︒70︒72︒144︒【答案】C 【解析】∵五边形为正五边形ABCDE ∴()1552180108ABC C ∠=∠=-⨯︒=︒∵CD CB =∴181(8326)010CBD ∠=︒-︒=︒∴72ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒故选：C ．6．如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）A ．B ．C ．D ．π-2π-π+2π+【答案】A【解析】解：6个月牙形的面积之和，2132622πππ⎛=--⨯⨯= ⎝故选：A ．7．阅读理如图1,在平面内选一定点O,引一条有方向的射线Ox,再选定一个单位长度,那么平面上任一点M 的位置可由∠MOx 的度数θ与OM 的长度m 确定,有序数对(θ,m)称为M 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”。
中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题(含答案)
中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题（含答案）知识点总结1.正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。
2.正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
练习题1、（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为厘米．【分析】根据对称性和周长公式进行解答即可．【解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．2、（2022•营口）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝度．【分析】设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角为120°，在△ABC中，根据等腰三角形两底角相等得到∠BAC＝30°，从而∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，过点B作BM⊥AC于点M，根据含30°的直角三角形的性质求出BM，根据勾股定理求出AM，进而得到AC的长，根据tan∠ACF＝＝＝即可得出∠ACF＝30°．【解答】解：设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠BAF＝120°，∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，如图，过点B作BM⊥AC于点M，则AM＝CM（等腰三角形三线合一），∵∠BMA＝90°，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝，∴AM＝＝＝，∴AC＝2AM＝，∵tan∠ACF＝＝＝，∴∠ACF＝30°，故答案为：30．3、（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为（用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为．【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形面积的计算方法进行计算即可；扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面直径．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD＝＝108°，∴S扇形＝＝；又∵弧BD的长为＝，即圆锥底面周长为，∴圆锥底面直径为，故答案为：；．4、（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度数．【解答】解：如图，连接OA，正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．故答案为：12．5、（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大1OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA 于2＝1，则BE⌒，AE，AB所围成的阴影部分面积为．【分析】连接OE、OB．由题意可知，∴△AOE为等边三角形，推出S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE ﹣S△AOB，即可求出答案．【解答】解：连接OE、OB，由题意可知，直线MN垂直平分线段OA，∴EA＝EO，∵OA＝OE，∴△AOE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，∴∠AOB＝90°，∴∠BOE＝30°，∵S弓形AOE＝S扇形AOE﹣S△AOE，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB＝S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB＝+﹣＝．故答案为：．6、（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是．【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l 将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH ⊥OF于点H，连接OA，由正六边形的性质得出AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，进而得出△OAF是等边三角形，得出OA＝OF＝AF＝6，由AM＝2，得出MF＝4，由MH⊥OF，得出∠FMH＝30°，进而求出FH＝2，MH＝2，再求出OH＝4，利用勾股定理求出OM＝2，即可求出MN的长度，即可得出答案．【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M 作MH⊥OF于点H，连接OA，∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝6，中心为O，∴AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，∵OA＝OF，∴△OAF是等边三角形，∴OA＝OF＝AF＝6，∵AM＝2，∴MF＝AF﹣AM＝6﹣2＝4，∵MH⊥OF，∴∠FMH＝90°﹣60°＝30°，∴FH＝MF＝×4＝2，MH＝＝＝2，∴OH＝OF﹣FH＝6﹣2＝4，∴OM＝＝＝2，∴NO＝OM＝2，∴MN＝NO+OM＝2+2＝4，故答案为：4．。
正多边形与圆 知识点+例题+练习(非常好 分类全面)
§ 2.6 正多边形与圆一、概念知识点1 正多边形及其有关概念★正多边形：________相等、________也相等的多边形叫做正多边形.注：边数3n 的多边形必须同时满足“各边相等”和“各角相等”这两个条件，才能判定它是正多边形.例1 下列说法正确的是（）A.正三角形不是正多边形B.平行四边形是正多边形C.正方形是正多边形D.各角相等的多边形是正多边形知识点2 正多边形的对称性（重点）1.正多边形都是________图形.一个正n边形共有_______条对称轴，每一条对称轴都经过正n边形的_________.2.一个正多边形，如果有偶数条边，那么它是________________图形，也是_________________图形；如果有奇数条边，那么是_______________图形.注：（1）如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心；（2）正n边形的内角和等于________________，每一个内角都等于___________________，每一个外角都等于_________________.知识点3 正多边形的判定例2 如图，在正∆ABC中，E,F,G,H,L,K分别是各边的三等分点，试说明六边形EFGHLK是正六边形.二、经典题型题型1 根据正多边形的性质求角例1 如图，正方形ABCD是O的内接正方形，点P是弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC等于___________.题型2 利用正多边形的性质求图形的面积例 2 如图，正六边形内接于O，O的半径为10，则图中阴影面积_________.典例精讲：1． 下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面( ) 、(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(4)C ．(1)(3)D ．(1)(4)2. 若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．1:2:3B ．3:2:1C ．1:2:3D ． 3:2:13． 已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O的半径为______________________．（第4题） （第5题）4．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD 上，则∠BEC= ．5．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是 度．OB CDA EF E D C A O6．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为 ．7.如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则AB B A 11的值为（ ）A ．21 B ．22 C ．41D ．42。
人教版九年级数学上册《24.3 正多边形和圆》同步练习题-附答案
人教版九年级数学上册《24.3 正多边形和圆》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点 正多边形与圆1.定义：正多边形的 圆的圆心叫做这个正多边形的中心 圆的半径叫做正多边形的半径 正多边形每一边所对的 角叫做正多边形的中心角 到正多边形的一边的距离 叫做正多边形的边心距。
2.公式：正多边形的有关概念：边长（a ） 中心（O ） 中心角（∠AOB ） 半径（R ）） 边心距（r ） 如图所示①．边心距222a r R ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中心角360n ︒=关键点:三角形的内切圆与外接圆 关系定义圆心 实质半径图示外接圆经过三角形各顶点的圆外心三角形各边垂直平分线的交点交点到三角形三个顶点的距离相等内切圆与三角形各边都相切的圆内心三角形各内角平分线的交点交点到三角形各边的距离相等名校提高练习:一选择题：本题共10小题每小题3分共30分。
在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的。
1.(2024·四川省泸州市·月考试卷)已知圆内接正三角形的面积为√ 3则该圆的内接正六边形的边心距是( )A. 2B. 1C. √ 3D. √ 322.同一个圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距分别为r3r4r6则r3：r4：r6等于( )A. 1:√2:√3B. √3:√2:1C. 1：2：3D. 3：2：13.如图若干个全等的正五边形排成环状图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 10B. 9C. 8D. 74.(2024·贵州省黔东南苗族侗族自治州·月考试卷)正六边形ABCDEF内接于⊙O正六边形的周长是12则⊙O的半径是( )A. √ 3B. 2C. 2√ 2D. 2√ 35.(2024·山东省·单元测试)《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法其步骤是：①在⊙O上任取一点A连接AO并延长交⊙O于点B②以点B为圆心BO为半径作圆弧分别交⊙O于C D两点③连接CO DO并延长分别交⊙O于点E F④顺次连接BC CF FA AE ED DB得到六边形AFCBDE.再连接AD EF AD EF交于点G.则下列结论不正确的是( )A. GF=GDB. ∠FGA=60°C. EFAE=√ 2 D. AF⊥AD6.(2024·江苏省·同步练习)以半径为2的圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距为三边作三角形则该三角形的面积是( )A. √ 22B. √ 32C. √ 2D. √ 37.(2024·江苏省·同步练习)如图正十二边形A1A2…A12连接A3A7A7A10则∠A3A7A10的度数为( )A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°8.(2024·江苏省·同步练习)如图若干个全等的正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 6B. 7C. 8D. 99.(2024·北京市市辖区·期末考试)如图正方形ABCD的边长为6且顶点A B C D都在⊙O上则⊙O 的半径为()．A. 3B. 6C. 3√ 2D. 6√ 210.(2024·广东省广州市·月考试卷)如图已知⊙O的周长等于4πcm则圆内接正六边形的边长为()cm．A. √ 3B. 2C. 2√ 3D. 4二填空题：本题共6小题每小题3分共18分。
正多边形和圆及圆的有关计算
正多边形和圆及圆的有关计算一、知识梳理： 1、正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。
定理：把圆分成n （n ＞3）等分：（l ）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。
定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。
外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。
正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。
正n 边形的每个中心角等于n360正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。
若n 为偶数，则正n 边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。
2、正多边形的有关计算正n 边形的每个内角都等于nn180)2(-定理：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形。
正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。
3、画正多边形(1)用量角器等分圆 (2)用尺规等分圆正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。
正五边形的近似作法(等分圆心角) 4、圆周长、弧长（1）圆周长C ＝2πR ；（2）弧长180Rn L π= 5、圆扇形，弓形的面积 （l ）圆面积：2R S π=；（2）扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。
在半径为R 的圆中，圆心角为n °的扇形面积S 扇形的计算公式为：3602R n S π=扇形 注意：因为扇形的弧长180Rn L π=。
所以扇形的面积公式又可写为LR S 21=扇形（3）弓形的面积由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。
弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。
如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。
正多边形与圆的有关的证明和计算知识讲解及典型例题解析
正多边形与圆的有关的证明和计算知识讲解及典型例题解析【考纲要求】1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是360n；所以正n边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【思路点拨】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长 FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．【答案与解析】（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3=135°，∵OA=5，∴的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=，∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．故答案为：．【总结升华】本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．举一反三：【变式1】如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图，则其最高点与地面的距离是______米．【答案】31+.解析：如图，以三个圆心为顶点等边三角形O1O2O3的高O1C＝3，所以AB＝AO1+O1C+BC＝1313122++=+．【变式2】同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是__________.32：：【变式3】一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为2，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5：4 B．5：2 C．：2 D．：【答案】A.【解析】解：如图1，连接OD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：OD==2，∴扇形的面积是=π；如图2，连接MB、MC，∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=2，∴MC=MB=，∴⊙M的面积是π×（）2=2π，∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（2π）=．故选：A．类型二、正多边形与圆有关面积的计算2．(1)如图(a)，扇形OAB 的圆心角为90°，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q分别表示阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是( )．A ．P ＝QB ．P ＞QC ．P ＜QD ．无法确定(2)如图(b)，△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝3，以BC 为直径的半圆与斜边AB 交于点D ，则图中阴影部分的面积是________．(3)如图(c)，△AOB 中，OA ＝3cm ，OB ＝1cm ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°到△A ′OB ′，求AB 扫过的区域(图中阴影部分)的面积．(结果保留π)【思路点拨】 直接使用公式计算阴影部分面积比较困难时，可采用和差法、转化法、方程法等，有时也需要运用变换的观点来解决问题．【答案与解析】解：(1)阴影部分的面积直接求出十分困难，可利用几个图形面积的和差进行计算：2OAB OCA P S S Q =-+扇形半圆2211()42R R Q Q ππ=-+=； (2)(转化法“凑整”)利用BmD CnD S S =弓形弓形，则阴影部分的面积可转化为△ACD 的面积，等于△ABC 面积的一半，答案为94； (3)(旋转法)将图形ABM 绕点O 逆时针旋转到A ′B ′M ′位置，则A OA MOM S S S ''=-阴影扇形扇形2211244OA OM πππ=-=． 【总结升华】求阴影面积的几种常用方 (1)公式法；(2)割补法；（3）旋转法；(4)拼凑法；(5)等积变形法；(6)构造方程法．举一反三：【变式】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＝8，BC ＝12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( )A ．64π127-B ．16π32-C ．16π247-D ．16π127-【答案】解：如图，由AB ，AC 为直径可得AD ⊥BC ，则BD ＝DC ＝6．在Rt △ABD 中，228627AD =-=，∴ 211246271612722S ππ⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯=-⎪⎝⎭阴影． 答案选D.3．如图所示，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，连AC ，求阴影部分的面积．【思路点拨】图中的阴影是不规则图形，不易直接求出，如果连接OB 、OC ，由BC ∥OA ，根据同底等高的三角形面积相等，于是所求阴影可化为扇形OBC 去求解．【答案与解析】解：如图所示，连OB 、OC∵ BC ∥OA ．∴ △OBC 和△ABC 同底等高，∴ S △ABC ＝S △OBC ，∴∵ AB 为⊙O 的切线，∴ OB ⊥AB ．∵ OA ＝4，OB ＝2，∴ ∠AOB ＝60°．∵ BC ∥OA ，∴ ∠AOB ＝∠OBC ＝60°．∵ OB ＝OC ，∴ △OBC 为正三角形．∴ ∠COB ＝60°，∴ 260223603OBC S S ππ⨯===阴影扇形．【总结升华】通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中①可根据平移、旋转或轴对称等图形变换；②可根据同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等进行转化．举一反三：【变式】如图所示，半圆的直径AB ＝10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于________．【答案】 解：连接OC 、OD 、CD ．∵ C 、D 为半圆的三等分点，∴ ∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝180603=°°． 又∵ OC ＝OD ，∴ ∠OCD ＝∠ODC ＝60°，∴ DC ∥AB ，∴ PCD OCD S S =△△，∴ 2605253606S S ππ===g g 阴影扇形OCD ．4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E．（1）求弧BE所对的圆心角的度数．（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【思路点拨】（1）连接OE，由条件可求得∠EAB=45°，利用圆周角定理可知弧BE所对的圆心角∠EOB=2∠E AB=90°；（2）利用条件可求得扇形AOE的面积，进一步求得弓形的面积，利用Rt△ADC的面积减去弓的面积可求得阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OE，∵四边形ABCD为正方形，∴∠EAB=45°，∴∠EOB=2∠EAB=90°；（2）由（1）∠EOB=90°，且AB=4，则OA=2，∴S扇形AOE==π，S△AOE=OA2=2，∴S弓形=S扇形AOE﹣S△AOE=π﹣2，又∵S△ACD=AD•CD=×4×4=8，∴S阴影=8﹣（π﹣2）=10﹣π．【总结升华】本题主要考查扇形面积的计算和正方形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键，注意弓形面积的计算方法．»AB）对应5．将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（的中心角（∠AOB）为120°，AO的长为4cm，求图中阴影部分的面积.【思路点拨】看是否由“规则的”三角形、四边形、圆、扇形、弓形等可求面积的图形，经过怎样的拼凑、割补、叠合而成，这是解决这类题的关键．【答案与解析】阴影部分的面积可看成是由一个扇形AOB 和一个Rt △BOC 组成，其中扇形AOB 的中心角是120°，AO 的长为4，Rt △BOC 中，OB ＝OA ＝4，∠BOC ＝60°，∴ 可求得BC 长和OC 长，从而可求得面积，阴影部分面积＝扇形AOB 面积+△BOC 面积＝21623cm 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【总结升华】本题是求简单组合图形的面积问题，解答时，常常是寻找这些“不规则的图形”是由哪些“可求面积的、规则的图形”组合而成.举一反三：【变式】如图，矩形ABCD 中，AB ＝1，2AD =．以AD 的长为半径的⊙A 交BC 于点E ，则图中阴影部分的面积为________．【答案】1224π--. 解析：连接AE ，易证AB ＝BE ＝1，∠BAE ＝45°，所以∠EAD ＝45°， 所以21112(2)22824ABE ABCD DAE S S S S ππ=--=--=--△阴影矩形扇形．6．如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，连接AC ，过点O 作AC 的垂线交AC 于点D ，交⊙O 于点E ．已知AB ﹦8，∠P=30°．（1）求线段PC 的长；（2）求阴影部分的面积．【思路点拨】（1）连接OC，由PC为圆O的切线，根据切线的性质得到OC与PC垂直，可得三角形OCP为直角三角形，同时由直径AB的长求出半径OC的长，根据锐角三角函数定义得到tanP为∠P的对边OC与邻边PC的比值，根据∠P的度数，利用特殊角的三角函数值求出tanP的值，由tanP及OC的值，可得出PC 的长；（2）由直角三角形中∠P的度数，根据直角三角形的两个锐角互余求出∠AOC的度数，进而得出∠BOC的度数，由OD与BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三线合一得到OD为∠BOC的平分线，可求出∠COD度数为60°，再根据直角三角形中两锐角互余求出∠OCD度数为30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边OC的长求出OD的长，先由∠COD的度数及半径OC的长，利用扇形的面积公式求出扇形COE的面积，再由OD与CD的长，利用直角三角形两直角边乘积的一半求出直角三角形COD 的面积，用扇形COE的面积减去三角形COD的面积，即可求出阴影部分的面积．【答案与解析】解：（1）连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵AB=8，∴OC=12AB=4，又在直角三角形OCP中，∠P=30°，∴tanP=tan30°=OCPC，即PC=433=43；（2）∵∠OCP=90°，∠P=30°，∴∠COP=60°，∴∠A OC=120°，又AC⊥OE，OA=OC，∴OD为∠AOC的平分线，∴∠COE=12∠AOC=60°，又半径OC=4，∴S扇形OCE=26048=3603ππ⨯，在Rt△OCD中，∠COD=60°，∴∠OCD=30°，∴OD=12OC=2，根据勾股定理得：CD=22OC-OD=23，【总结升华】此题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，以及扇形的面积公式，遇到已知切线的类型题时，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得出垂直，利用直角三角形的性质来解决问题．。
正多边形与圆(八大题型)( 原卷版)
A．1B．2C． D．
解题技巧提炼
主要考查了正多边形和圆，正六边形的性质、正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，正确掌握它们的性质是解决问题的关键．
【变式3-1】（2022•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）
A． B． C．3D．2
正多边形.
◆2等于 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的n个等分点；
（2）顺次连接各等分点.
【例题1】下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．正多边形一定是中心对称图形
C．各角相等的圆内接多边形是正多边形
D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径
半径
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
边心距
内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
中心角
正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
◆2、正多边形的判定：
一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形.
解题技巧提炼
根据正多边形的相关概念进行判断即可，正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n为偶数时，正n边形为中心对称图形.
【变式1-1】下列说法中，错误的是（ ）
A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心
B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径
C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距
（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》
正多边形和圆(3个考点6大类型)(题型专练)(原卷版)
专题06正多边形和圆（3个考点6大类型）【题型1 正多边形与圆求角度】【题型2正多边形与圆求线段长度】【题型3正多边形与圆求半径】【题型4正多边形与圆求面积】【题型5正多边形与圆求周长】【题型6正多边形与直角坐标系综合】【题型1 正多边形与圆求角度】1．（2022秋•仙居县期末）如图，正五边形ABCDE中，点F是CD的中点，连接AC，AF，则∠CAF的度数为（）A．15°B．18°C．22.5°D．30°2．（2023•湖里区校级模拟）如图，在正六边形ABCDEF中，∠ACF的度数为（）A．30°B．35°C．20°D．25°3．（2023•泗水县三模）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°4．（2023•三明模拟）正八边形的中心角的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．（2022秋•余姚市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（）A．36°B．45°C．60°D．75°6．（2022秋•河西区校级期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，点P 为劣弧BC上的任意一点（不与B，C重合），则∠BPC的度数是（）A．120°B．130°C．135°D．150°7．（2023•海淀区校级四模）如图，AB是⊙O内接正五边形的一条边，点P在优弧AB上，则∠APB的度数为°．8．（2023•修文县模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P在AE上，则∠CPB的度数为．9．（2023•上杭县模拟）如图摆放着正五边形ABCDE和正△EFG，其中点A、B、F在同一直线上，EG∥BF，则∠DEG的度数是．10．（2023•鼓楼区校级三模）如图，将边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHK的AB边重合叠放在一起，则∠GBC的度数是．【题型2正多边形与圆求线段长度】11．（2023春•罗定市校级期中）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O 的周长是12π，则正六边形的边长是（）A．B．3C．6D．12．（2023•玉屏县模拟）如图，正六边形ABCDEF的顶点A，F分别在正方形BMGH的边BH，GH上．若正方形的边长为6，则正六边形的边长为（）A．2B．4C．4.5D．5 13．（2022秋•易县期末）如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）A．4B．8C．D．14．（2022秋•柘城县期中）一个圆的半径为2，则该圆的内接正方形的边长为（）A．B．2C．D．2 15．（2023•尤溪县校级模拟）已知正六边形的半径是2，则这个正六边形的边长是．16．（2023•南京三模）如图，在正六边形ABCDEF中，⊙O经过点E，且与AB，BC相切．若⊙O的半径为4，则正六边形的边长为．17．（2023•绥化模拟）如图，在正五边形ABCDE中，若边长AB＝2，则AC的长为．18．（2023•南关区一模）如图，点O为正六边形ABCDEF对角线AC上一点，阴影部分的面积和为，则正六边形的边长是．【题型3正多边形与圆求半径】19．（2022•博白县校级一模）边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是（）A．1B．2C．D．20．（2022秋•浙江月考）如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若边心距，则⊙O的半径为（）A．B．2C．1D．4 21．（2022秋•昌平区期末）如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则⊙O 的半径为（）A．B．C．3D．22．（2023春•宿豫区期末）一枚圆形古钱币的中间是一个边长为1cm的正方形孔，圆面积是正方形面积的9倍，则圆的半径为cm．23．（2023•湟中区校级开学）已知一个正六边形的边心距2cm，则该正六边形的半径为cm．24．（2022秋•城西区校级期末）已知正三角形ABC的边心距为cm，则正三角形的半径为cm．【题型4正多边形与圆求面积】25．（2023•南岗区校级模拟）已知正六边形的半径为．则此正六边形的面积为（）A．B．C．3D．4 26．（2023•梧州二模）剪纸艺术是我国非物质文化遗产，如图是一幅包含了圆，正八边形等图形设计成的剪纸作品，已知圆的半径是2，此作品的阴影部分面积是（）A．B．πC．2πD．4π27．（2023•阜城县校级模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，现将它沿AB方向平移1个单位，得到正六边形A′B′C′D′E′F′，则阴影部分A′BCDE′F′的面积是（）A．3B．4C．D．2 28．（2023•迁安市二模）如图，以正六边形ABCDEF的对角线BD为边，向右作等边△BDG，若四边形BCDG（图中阴影部分）的面积为6，则五边形ABDEF 的面积为（）A．15B．12C．8D．629．（2023•承德一模）如图，正六边形的两条对角线AE、BE把它分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，则该三部分的面积比为（）A．1：2：3B．2：2：4C．1：2：4D．2：3：5 30．（2022秋•裕华区校级期末）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，边心距OH＝，则正六边形的面积为（）A．6B．C．D．8 31．（2022•石家庄三模）如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是2，那么非阴影部分面积是（）A．6B．C．D．8 32．（2022秋•襄汾县月考）如图，⊙O为正方形ABCD的外接圆，若BC＝2，则⊙O的面积为（）A．2πB．3πC．4πD．8π33．（2023•榆阳区一模）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，已知⊙O的半径为2，则⊙O的内接正六边形ABCDEF的面积为6．【题型5正多边形与圆求周长】34．（2021秋•卫辉市期末）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边心距的长度为，那么正六边形ABCDEF的周长为（）A．2B．6C．12D．6 35．（2022•定州市二模）如图，点P、M、N分别是边长为2的正六边形中不相邻三条边的中点，则△PMN的周长为（）A．6B．6C．6D．9 36．（2023春•青羊区校级期末）一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，则这个多边形的周长是．37．（2023•雁塔区校级四模）如图，已知圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG等于，则⊙O的周长等于．38．（2022秋•同心县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为cm．39．（2022•新城区模拟）如图，AC、AD为正六边形ABCDEF的两条对角线，若该正六边形的边长为2，则△ACD的周长为．【题型6正多边形与直角坐标系综合】40．（2023•二七区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重台，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（）A．（，﹣1）B．（﹣1，﹣）C．（﹣，1）D．（1，）41．（2023•浉河区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF 的边AB在x轴上，点F在y轴上，将正六边形ABCDEF沿x轴正方向每次以一个单位长度无滑动滚动，若AB＝1，在第2023次滚动后，点F的坐标为（）A．B．（）C．D．42．（2022秋•泗洪县期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，得到正六边形OA n B n∁n D n E n，当n ＝2022时，顶点C2022的坐标是（）A．B．C．（1，﹣2）D．43．（2021秋•凤山县期末）如图，将正六边形ABCDEF放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若AB＝2，则点D的坐标是（）A．（1，0）B．（2，0）C．D．（3，0）44．（2023•缙云县二模）如图，正六边形ABCDEF放置在平面直角坐标系内，若点A的坐标为（1，0），则点D的坐标为．。
多边形和圆的初步认识知识归纳及经典例题解析
多边形和圆的初步认识知识讲解【要点梳理】要点一、多边形及正多边形1．定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：要点诠释：正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；2．相关概念：顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．要点诠释：(1)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n ． (2)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形．类型一、多边形及正多边形1．如图，（1）从正六边形的顶点A 出发,可以画出 条对角线，分别用字母表示出来为 ；（2）这些对角线把六边形分割成 个三角形.【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成的三角形的个数即可.E A B CF D【答案】（1）3，线段AC、线段AD、线段AE；（2）4.【总结升华】(1)n边形有n个顶点,n条边,n个内角.n n 条(2)过n边形的每一个顶点有(n－3)条对角线,n边形总共(3)2对角线.(3)n边形从一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余各顶点,可以分割（n－2）个三角形.举一反三：【变式】（2015春•郑州期末）过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是（）A．八边形B．九边形C．十边形D．十一边形【答案】B若一个多边形的内角和等于720°，则从这个多边形的一个顶点引出对角线条．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A．27 B．35 C．44 D． 542．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗?【答案与解析】解：这个问题，我们可以用图来说明．按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形．按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形．按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形．答：余下的图形是五边形或四边形或三角形．【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题．举一反三：【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（ C ）.A.6B.7C.8D.9要点二、圆及扇形1.圆的定义如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.②圆是一条封闭曲线.2.扇形（1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图：（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形.要点诠释：圆可以分割成若干个扇形.（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.【典型例题】9．（2014•长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（B）A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧10．（2015春•张掖校级月考）有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（B）A．1 B． 2 C． 3 D． 419．（2015春•定陶县期末）下列说法正确的是（④）填序号．①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦3．如图是对称中心为点的正六边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处），把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能的值是___________ __ .【答案】根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即可知：360÷30=12；360÷60=6；360÷90=4；360÷120=3；360÷180=2．故n的所有可能的值是2，3，4，6，12．4．（2015•丰泽区校级质检）如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于．【思路点拨】利用等腰三角形的性质可得∠N的度数，根据三角形的内角和定理可得所求角的度数．【答案】80°．【解析】解：∵OM=ON，∴∠N=∠M=50°，∴∠MON=180°﹣∠M﹣∠N=80°，故答案为80°．【总结升华】考查圆的认识；利用圆的半径相等这个知识点是解决本题的突破点．类型三、扇形5. 将一个半径为3的圆形草坪分割成三个扇形，分别种植三种花草，他们的圆心角的度数之比为2：3：4，求这三个圆心角的度数，并尝试求他们的面积，你还能求他们的面积之比吗，你发现了什么【思路点拨】考查扇形面积及圆心角的概念．【答案与解析】解：这三个圆心角的度数分别为：°°236080234⨯=++；°°3360120234⨯=++；°°4360160234⨯=++. 圆的面积29r ππ=，这三个圆心角的面积分别为：8092360ππ⨯=；12093360ππ⨯=；16094360ππ⨯=． 这三个圆心角的面积之比为：2:3:4πππ=2：3：4．发现：扇形的面积之比等于圆心角之比．【总结升华】一个扇形的面积与对应圆的面积比等于扇形圆心角的度数n 与360的比，即S 扇：S 圆＝n ：360， 几个半径相等的扇形的面积比等于这几个扇形的圆心角的比．6.一个扇形圆心角120°，以扇形的半径为边长画一个正方形，这个正方形的面积是16平方厘米．这个扇形的面积为多少？【思路点拨】由题意可知，这个扇形所在的圆的半径r 就是这个正方形的边长，即r2＝边长2＝120平方厘米．【答案与解析】。
正多边形和圆知识点归纳
正多边形和圆知识点归纳1. 正多边形①定义：各边相等，各角也相等的多边形，叫做正多边形；②定义中两个条件缺一不可．我们知道三边相等的三角形是正三角形，三个角相等的三角形也是正三角形．但菱形四条边相等，却不是正四边形．矩形四角都相等，也不是正四边形．所以正多边形的定义中各边相等和各角相等两个条件缺一不可．2. 正多边形与圆的关系把一个圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形，这个圆是这个多边形的外接圆．3、正多边形中各元素间的关系一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．如图，设正多边形的边长为a n，半径为R，边心距为r n，中心角为αn，则它们有如下关系：；正n边形的中心角；正n边形的周长P n=na n；正n边形的面积．4、正多边形有关计算在解决有关正多边形计算时，通常运用转化的思想方法，将正多边形的有关计算化为一个边长分别是正多边形的半径、正多边形边长的一半，正多边形的边心距的直角三角形来解决.5、正多边形的对称性①多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴是每一边的垂直平分线和正多边形的边心距所在的直线，当边数为奇数时，它的对称轴是边心距所在的直线；②只有正偶边形才是中心对称图形；③正n边形绕着它的中心每旋转就与它本身重合．典例讲解例1、填空题1. 如图，小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则该圆的半径为（）A. B. C. D.答案：D2. 正六边形两条平行边间的距离是1，则它的边长为（）A. B. C. D.答案：C3. 已知正三角形的边长为2，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（）A. B. C. D.答案：B4. 边长为a的正三角形的边心距、半径和高之比为（）A.1∶2∶3B.C. D.答案：A例2、如图，圆内接正六边形ABCDEF中，对角线BD、EC相交于点G，求∠BGC的度数.解：正六边形ABCDEF中DC=DE，,∴，同理可证：∠2=，∴∠BGC=∠1＋∠2=．例3、如图，已知正三角形ABC外接圆的半径为R，求正三角形ABC的边长、边心距、周长和面积．思路点拨：过中心向正多边形的边作垂线得到Rt△OCH，在Rt△OCH中包含了中心角的一半、边心距、半径、边长的一半等基本元素．解：连接OB、OC，作OH⊥BC于H．例4、如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积.解：由题意知PD＝PE＝FQ设PD＝PE＝FQ＝xcm，则EF＝ED＝(4－2x)cm，∵∠P=90°,由勾股定理ED=,∴，∴正八边形的边长为4－2x=cm，面积为.。
18正多边形和圆
课时训练
1.(2004· 天津)若一个正多边形的每一个内角都等于120°, 则它是 (C ) A.正方形 B.正五边形 C.正六边形 D.正八边形
2.(2003年· 辽宁省)如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、 1，∠AOB=120°，则阴影部分的面积为 ( )B A.4π B.2π C.4/3π D.π
4.与正多边形有关的概念. ①正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形 的中心.②外接圆的半径叫做正多边形的半径，记作 Rn.③内切圆的半径叫做正多边形的边心距，记作rn。 ④正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，正 多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形 的中心角. α n= 360 n ⑤ 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对 称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心.如果正n边 形有偶数条边，那么它又是中心对称图形，它的中心 就是对称中心。
课时训练
3.(2004年· 重庆)千秋拉绳长3米，静止时踩板离地面0.5 米，某小朋友荡秋千时，秋千在最高处踩板离地面2米 （左右对称），则该秋千所荡过的圆弧长为 ( B ) A.π B.2π C. 4
3
D. 3
2
4.(2004年· 福州)如图，一把纸折扇完全打开后，外侧两 竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部 分宽BD为17cm，贴纸部分的面积为 187 cm2 （结果用π表示）
5.平面镶嵌，用形状相同或不同的平面封闭图形， 把一块地面既无缝隙，又不重叠地全部覆盖，在几 何里叫镶嵌.
课前热身
1.正六边形的边长是4 cm，则它的面积是( D )
A.4 C.8
3 3
cm2 cm2
B.6 3 cm2 D.24 3 cm2
正多边形和圆知识点整理+典型例题+课后练习
正多边形和圆知识点整理+典型例题+课后练习个性化辅导教案正多边形和圆知识梳理:1、正多边形：各边相等，各⾓也相等的多边形是正多边形。
2、正多边形的外接圆：⼀个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。
把⼀个正多边形的外接圆的圆⼼叫做这个正多边形的中⼼，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每⼀边所对的圆⼼⾓叫做正多边形的中⼼⾓，中⼼到正多边形的⼀边的距离叫做正多边形的边⼼距。
正n 边形的⼀个中⼼⾓的度数为：型正多边形的中⼼⾓与外⾓的⼤⼩相等。
3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对⾓和相等，都是4、圆内接正n 边形的性质(nA3，且为⾃然数)：(1)当n 为奇数时，圆内接正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴；但不是中⼼对称图形。
接圆的圆⼼。
的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。
(1)⽤量⾓器等分圆周。
8、定理1:把圆分成n(n 》3)等份:⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正学⽣姓名: 授课教师: 所授科⽬:学⽣年级：上课时间：2016年⽉分⾄时分共⼩时教学重难点教学标题正n 边形每⼀个内⾓的度数为:n 2 180180 °。
⑵当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形⼜是中⼼对称图形,对称中⼼是正多边形的中⼼, 即外5、常见圆内接正多边形半径与边⼼距的关系: (1)圆内接正三⾓形：d1—r(2)圆内接正四边形:2(设圆内接正多边形的半径为d丘d ——rr ,边⼼距为d)(3)圆内接正六边形:43—r 26、常见圆内接正多边形半径 r 与边长x 的关系:(1)圆内接正三⾓形：x(2)圆内接正四边形:(3)圆内接正六边形: x=r7、正多边形的画法：画正多边形⼀般与等分圆正多边形周有关, 要做半径为R 的正n 边形，只要把半径为 R(2)⽤尺规等分圆(适⽤于特殊的正n 边形)。
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形;n 边形。
11正多边形和圆—知识讲解答案版
正多边形和圆—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.【要点梳理】知识点一、正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。
它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.知识点四、正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形。
40.中考数学专题24.3 正多边形和圆讲练(原卷版)
专题24.3 正多边形和圆典例体系（本专题共77题52页）一、知识点1、正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示2、特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC为等边△a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2二、考点点拨与训练考点1：正多边形的边数计算典例：（2020·江苏宿豫·初三期末）如图，AC是⊙O的内接正四边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正六边形的一边．若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值为（）A．6B．8C．10D．12方法或规律点拨本题考查正多边形和圆，解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数．巩固练习1．（2020·上海市建平中学西校初三月考）如果一个正多边形的中心角为72，那么这个正多边形的边数是（）．A．4B．5C．6D．72．（2020·云南麒麟·初三一模）若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（）A．正五边形B．正八边形C．正十边形D．正十八边形3．（2019·河北初三月考）2，则这个多边形的内角和为（）A．720︒B．360︒C．240︒D．180︒4．（2020·上海浦东新·初三二模）如果一个正多边形的中心角等于72︒，那么这个多边形的内角和为（）A．360︒B．540︒C．720︒D．900︒5．（2019·浙江温州·初三月考）一个圆的内接正多边形中，一边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是( )A．6B．5C．4D．36．（2019·福建莆田八中初三期末）若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是()A．6B．12C．16D．187．（2020·湖北仙桃·月考）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在弧AC上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n=____ .8．（2019·河北路南·初三三模）如图，一个正n 边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n ＝_____．9．（2019·全国初三课时练习）如果正n 边形的中心角是40°，那么n=_______.考点2：正多边形的有关计算典例：（2020·江西九江·初三其他）在下列正多边形中，O 是中心，定义：OBC ∆为相应正多边形的基本三角形．如图1，OBC ∆是正三角形ABC 的基本三角形；如图2，OBC ∆是正方形ABCD 的基本三角形；如图3，OBC ∆为正n 边形ABCDEF …的基本三角形．将基本OBC ∆绕点O 逆时针旋转α角度得OB C ''∆．（1）若线段BC 与线段B C ''相交点O '，则：图1中α的取值范围是________；图3中α的取值范围是________；（2）在图1中，求证BO O C '''=（3）在图2中，正方形边长为4，135α=︒，边BC 上的一点P 旋转后的对应点为P '，若B P OP ''+有最小值时，求出该最小值及此时BP 的长度；（4）如图3，当B C OC ''⊥时，直接写出α的值．方法或规律点拨本题属于多边形综合题，考查了正多边形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．巩固练习1．（2020·云南盈江·初三学业考试）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积1S 来近似估计⊙O 的面积S ，设⊙O 的半径为1，则1S S -的值为（ ）（ 3.14π≈）A ．0B ．0.14C ．0.5D ．12．（2020·河北遵化·初三三模）如图，以正六边形ABCDEF 的对角线CF 为边，再作一个正六边形CFGHMN ，若AB =EG 的长为（ ）A ．2B ．C ．3D ．3．（2018·甘肃静宁·初三期末）正多边形的一个中心角为36度，那么这个正多边形的一个内角等于________度．4．（2020·江苏省泰兴市黄桥初级中学月考）正十边形的一个中心角的度数是_____°．5．（2020·东莞外国语学校二模）如图，要拧开一个边长为8a mm =的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为__________mm ．6．（2020·西安高新一中沣东中学初三三模）如图，已知正六边形ABCDEF ，则∠ADF ＝_____度．7．（2020·山东曹县·初三三模）如图，正五边形ABCDE 内接于O ，P 为AB 上一点，连接,PA PE ，则APE ∠的度数为__________.8．（2020·贵州紫云·初三期末）圆内接正六边形一边所对的圆周角的度数是__________．9．（2020·山东岚山·初三其他）若正六边形的边长是5，则其较长的一条对角线长为_______．∠10．（2020·湖南新邵·初三月考）如图所示，正六边形ABCDEF内接于O，连接AD，FD，则FDA 的度数是___________．11．（2020·扬州中学教育集团树人学校初三二模）如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7＝_______°．12．（2020·浙江三门·初三其他）如图，⊙O的半径为r，则它的内接正六边形ABCDEF的周长为____．13．（2020·江苏东台·月考）已知⊙O的半径2，则其内接正三角形的面积为．∆的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动（不与14．（2020·浙江绍兴·月考）如图，O为等边ABC点,A B重合），连接DA，DB，DC．∠的平分线；（1）求证：DC是ADB（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；M N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，（3）若点,∆的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值．DMN考点3：与正多边形有关的作图问题典例：（2020·全国初三课时练习）已如：⊙O与⊙O上的一点A（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．方法或规律点拨本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定与正六边形的性质．巩固练习1．（2020·河北青县·初三二模）如图，AD为O直径，作O的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下：甲：1．作OA的中垂线，交圆O于,B F两点；2．作OD的中垂线，交圆O于,C E两点；3．顺次连接A B C D E F六个点，六边形即为所求；,,,,,乙：1．以A为圆心，OA长为半径作弧，交圆O于,B F两点；2．以D为圆心，OA长为半径作弧，交圆OA B C D E F六个点，六边形即为所求；于,C E两点；3．顺次连接,,,,,对于甲、乙两人的作法，可判断（）A ．甲对，乙不对B ．甲不对，乙对C ．两人都不对D ．两人都对2．（2019·云南官渡·二模）如图，⊙O 是正八边形ABCDEFGH 的外接圆，连接AE ，CE ，若⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．+12πB ．+2πC ．+4πD ．2+1π3．（2020·西藏日喀则·一模）下列命题是假命题的是（ ）A ．半径为RB ．正六边形的每个中心角都等于60°C ．正八边形是轴对称图形D ．正七边形是中心对称图形4．（2020·天津南开·初三期末）如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，BF ，BD 分别交AC 于点G ，H ．若该圆的半径为15cm ，则线段GH 的长为（ ）A B ． C ． D ．5．（2020·江西赣州·初三）如图，某同学在一个边长为a 的正六边形内，随意摆放两个相同的斜边长为a 、含有60°角的直角三角板，则S S 空白阴影是（ ）．A ．6B ．5C ．4D ．36．（2020·福建厦门一中初三二模）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O 的半径为1，若用圆O 的外切正六边形的面积来近似估计圆O 的面积，那么圆O 的面积估计值是（ ）A B ．C ．π D ．2π7．（2020·江西新余·初三一模）如图，正六边形ABCDEF 在正三角形网格内，点O 为正六边形的中心，仅用无刻度的直尺完成以下作图．（1）在图1中，过点O 作AC 的平行线；（2）在图2中，过点E 作AC 的平行线．8．（2020·湖北江汉·三模）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.（1）如图1，A 为圆E 上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：①如图2，在□ABCD 中，E 为CD 的中点，作BC 的中点F;②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC 的高AH9．（2020·江西吉安·初三其他）如图， 已知多边形ABCDEF 中，AB AF =，DC DE =，BC EF =，ABC BCD ∠=∠，分别按请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图.(1)在图①中，画出一个以BC 为边的矩形；(2) 在图②中， 若多边形ABCDEF 是正六边形，试在AF 上画出点M ，使AM AF =10．（2020·江苏海陵·初三一模）在8×6的正方形网格中，正方形边长为1单位，△ABC 的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺作图．(1)在图1中画一个与△ABC 面积相等，且以BC 为边的平行四边形，顶点均在格点上；(2)在图2中画一个以点C 为顶点的正方形，其余三点均在格点上，此正方形的面积与△ABC 面积相等．考点4：同圆（正多边形）与多个正多边形（圆）问题典例：（2020·全国初三课时练习）如图，⊙O 的半径为4cm ，其内接正六边形ABCDEF ，点,P Q 同时分别从,A D 两点出发，以1cm/s 的速度沿,AF DC 向终点,F C 运动，连接,,,PB QE PE BQ ．设运动时间为s t ．（1）求证：四边形PBQE 为平行四边形；（2）填空：①当t =________s 时，四边形PBQE 为菱形；②当t =_________s 时，四边形PBQE 为矩形．方法或规律点拨本题主要考查平行四边形、菱形、矩形的性质与判定，涉及动点问题，掌握各图形的性质及判定方法是解题关键．巩固练习1．（2020·湖北随州·）设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确．．．的是（ ）A ．h R r =+B ．2R r =C ．4r a =D ．3R a = 2．（2020·浙江龙湾·初三学业考试）如图，PQR ∆是O 的内接正三角形，四边形ABCD 是O 的内接正方形，//BC QR ，则QOB ∠的度数是（ ）A ．30B ．20︒C ．18︒D ．15︒3．（2019·河南初三其他）如图，在半径为6的⊙O 中，正六边形ABCDEF 与正方形AGDH 都内接于⊙O ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．27﹣B ．C ．54﹣D ．544．（2020·曲靖市马龙区通泉中学初三其他）如图，正方形ABCD 和等边△AEF 都内接于圆O ，EF 与BC 、CD 别相交于点G 、H ．若AE ＝6，则EG 的长为（ ）A B ．3C D ．35．（2017·天津和平·初三三模）如图，ABC ∆和DEF ∆分别是O 的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为（ ）A ．4B ．2CD6．（2019·上海交大附中初三）如图，ABCDE 是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为________．7．（2020·四川马边·初三二模）如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，则该正六边形的外接圆与内切圆所形成的圆环面积为________．8．（2020·湖北巴东·月考）如图，⊙O 内接正五边形ABCDE 与等边三角形AFG ，则∠FBC ＝__________．9．（2020·四川青羊·初三二模）如图，作半径为2的⊙O的内接正四边形ABCD，然后作正四边形ABCD 的内切圆，得第二个圆，再作第二个圆的内接正四边形A1B1C1D1，又作正四边形A1B1C1D1的内切圆，得第三个圆…，如此下去，则第六个圆的半径为_____．10．（2017·天津和平·初三一模）如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG 的边长为_____．11．（2020·全国初三课时练习）如图，O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．()1正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为______；()2连接BE，BE是否为O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．考点5：正多边形的图形变换问题典例：（2019·江苏六合·初三月考）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为2，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间距离的最小值是_____．方法或规律点拨本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．巩固练习1．（2020·江苏南京·初三一模）如图，将正六边形ABCDEF绕点D逆时针旋转27°得正六边形A′B′C′DE′F′，则∠1＝___°．2．（2020·全国初三课时练习）如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（）A．5B．6C．8D．103．（2020·全国初三课时练习）如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（）A．12°B．16°C．20°D．24°4．（2020·福建省泉州实验中学初一期中）如图，若干相同正五边形排成环状．图中已经排好前3个五边形，还需（）个五边形完成这一圆环．A．6B．7C．8D．95．（2020·河北滦州·初三一模）如图，将正五边形绕中心O顺时针旋转a角度，与原正五边形构成新的图形，若要使该图形既是轴对称又是中心对称图形，则a的最小角度为（）A．30B．36C．72D．906．（2019·湖北洪山·初三期中）下列正多边形中，绕其中心旋转72°后，能和自身重合的是（）A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正八边形7．（2020·浙江余杭·育海外国语学校初三一模）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B 顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转……连续经过六次旋转．在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是（）A．0.5B．0.7C﹣1D﹣18．（2020·浙江临安·初三期末）如图，CD是⊙O的弦，O是圆心，把⊙O的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，∠CAD=100°，则∠B的度数是（）A ．100°B ．80°C ．60°D ．50°9．（2019·河北迁安·初三一模）如图，将边长为5的正六边形ABCDEF 沿直线MN 折叠，则图中阴影部分周长为（ ）A ．20B ．24C ．30D ．3510．（2020·江苏镇江市索普初级中学月考）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为圆上一点，∠BAC ＝20°，将劣弧AC 沿弦AC 所在的直线翻折，交AB 于点D ，则弧AD 的度数等于（ ）A ．40°B ．50C ．80°D ．10011．（2016·ABCDEF 的顶点A 、B 在圆O 上，顶点C 、D 、E 、F 在该圆内，∠AOB ＝36°，将正六边形ABCDEF 绕点A 逆时针旋转，当点F 第一次落在圆上时，点E 运动的路线长是_____（结果保留π）．考点6：与正多边形有关的阴影面积计算典例：（2019·河北初三二模）如图在正六边形ABCDEF 中，有两点,P Q 同时、同速从AB 中点M 出发，P 沿AB BC CD DE EF →→→→方向运动，Q 点沿AB 方向指向运动，10秒后，两点与多边形中心连线及多边形（延长线）所围成图形的面积如图（阴影部分的面积）有两部分为12,S S ，则12,S S 之间的数量关系是（ ）A ．12S S >B ．12S S <C ．12S SD ．122S S =方法或规律点拨 本题考查正多边形与圆，多边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．巩固练习1．（2019·黑龙江南岗·初三其他）如图，边长为a 的正六边形内有两个三角形（数据如图），则S S 阴影空白的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．（2020·浙江湖州·初三二模）如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，现将它沿AB 方向平移1个单位，得到正六边形A′B′C′D′E′F′，则阴影部分A′BCDE′F′的面积是（ ）A ．B ．CD ．23．（2020·河北邯郸·初三其他）如图，以正六边形ABCDEF 的对角线BD 为边，向右作等边三角形BDG ，若四边形BCDG 的面积为4，则五边形ABCDEF 的面积为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．124．（2020·富顺第三中学校初三二模）如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（ ）A ．45B ．34C ．23D ．125．（2019·云南官渡·初三二模）如图，O 是正八边形ABCDEFGH 的外接圆，连接AE ，CE ．若O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ）．A ．12π+ B ．2π+ C ．4π+ D ．21π+6．（2019·湖北黄冈·初三）如图，设ABCDE 是正五边形，五角星ACEBD （阴影部分）的面积为1，设AC 与BE 的交点为P ，BD 与CE 的交点为Q ，则四边形APQD 的面积等于（ ）．A B ．2 C ．13 D ．127．（2019·福建思明·厦门一中初三一模） 如图，正六边形ABCDEF 中，G ，H 分别是AB ，CD 的中点，△AGF 绕正六边形的中心经逆时针旋转后与△CHB 重合，则旋转角度是（ ）A．60°B．90°C．120°D．180°9．（2020·广西田东·初三一模）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是_____．10．（2020·河北初三二模）如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转60︒，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转______︒，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为4，则所得正八边形的面积为_______．11．（2020·四川省内江市第六中学初三三模）如图，已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四边形ABCD的周长为10，则图中阴影部分的面积为__．12．（2020·山西寿阳·初三期末）已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为2，则⊙O的半径为______．14．（2019·衡阳市逸夫中学）如图，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为，正六边形的周长为______．15．（2020·江苏铜山·初三期中）如图一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a，按此规律，则第n个正多边形的面积为______________．的面积是4，则正六边16．（2020·山东济宁·初三月考）如图，正六边形ABCDEF内接于O，若ADE形ABCDEF的面积是__________．。
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个性化辅导教案
正多边形和圆
知识梳理:
1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。
2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。
把一
个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每 一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
正n 边形的一个中心角的度数为： 型 正多边形的中心角
与外角的大小相等。
3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是
4、圆内接正n 边形的性质(nA3，且为自然数)：
(1)当n 为奇数时，圆内接正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴；但不是中心对称图形。
接圆的圆心。
的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。
(1)用量角器等分圆周。
8、定理1:把圆分成n(n 》3)等份:
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正
学生姓名: 授课教师: 所授科目:
学生年
级： 上课时间：2016年 月
分至 时 分共 小时
教学重难点
教学标题
正n 边形每一个内角的度数为:
n 2 180
180 °。
⑵ 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形,
对称中心是正多边形的中心, 即外
5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系: (1)圆内接正三角形：d
1
—r
(2)圆内接正四边形:
2
(设圆内接正多边形的半径为
d
丘
d ——r
r ,边心距为d)
(3)圆内接正六边形:
43
—r 2
6、常见圆内接正多边形半径 r 与边长x 的关系:
(1)圆内接正三角形：x
(2)圆内接正四边形:
(3)圆内接正六边形: x=r
7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关, 要做半径为
R 的正n 边形，只要把半径为 R
(2)用尺规等分圆(适用于特殊的正
n 边形)。
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正
n 边形;
n 边形。
说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依
次连结圆的n(n > 3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的
n(n > 3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边。
.
(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件。
(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形。
定理2:任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
经典例题
例1、已知正六边形ABCDEF如图所示，其外接圆的半径是a, ?求正六边形的周长和面积。
分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂
上钩，很自然应连接0A,过0点作0M丄AB垂于M，在RtAAOM?中便可求得AM，又应用垂径定理可求得
AB的长•正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的。
例2 :已知O 0和O 0上的一点A(如图).
(1)作O 0的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH
⑵在(1)题的作图中，如果点E在弧AD上，求证：DE是Q 0内接正十二边形的一边
例3 （中考）：
如图，在桌面上有半径为2cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆
课堂练习:
选择题
1•一个正多边形的一个内角为120 ，则这个正多边形的边数为（）
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
2 •如图所示，正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳手的开口a的值应是（）
片的半「径最小应为多
5.
若半径为5cm 的一段弧长等于半径为 2cm 的圆的周长，？则这段弧所对的圆心角为（
）
6 •正六边形的周长为 12,则同半径的正三角形的面积为 7.正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为
8•如图所示，正△ ABC 的外接圆的圆心为 0,半径为2，求△ ABC 的边长a ，周长P ,边心距r ，面积S.
巩固练习
姓名
所授科目年级
授课老师 米晓菲 完成时间
A. 2語 cm
B .的 cm
2祚
C. 3 cm
D . 1 cm
第2题图 第3题图 第4题图
3 •如图所示，两个正六边形的边长均为
1,其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上,
则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是 （
A . 7
B . 8
C . 9 D. 10
4.如图4所示，正六边形 ABCDEF 内接于O O ,则/ ADB 的度数是（）.
A . 60
B . 45°
C . 30°
D . 22. 5
A . 18
B . 36 C. 72 D . 144
，同半径的正方形的周长为。