第19讲 等腰三角形
第19 讲 等腰三角形 (测)(解析版)
2021年中考数学一轮复习讲练测专题19等腰三角形达标检测1．（2020·河北九年级其他模拟）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1＋∠2等于( )A．90°B．100°C．130°D．180°【答案】B【解析】试题分析：如图，∠1=90°-∠BAC；∠2=120°-∠ACB；∠3=120°-∠ABC；∴∠1+∠2+∠3=90°-∠BAC+120°-∠ACB+120°-∠ABC=150°∵∠3=50°∴∠1+∠2=100°故选B考点：1．特殊角的度数；2．三角形内角和2．（2020·河南濮阳市·油田十中八年级期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．18【答案】B试题分析：根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是6，6．3+6＞6，符合条件．成立．∴C=3+6+6=15．故选B．考点：等腰三角形的性质．3．（2020·四川广安市·九年级其他模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】B【解析】如图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，22）（0，-22）（0，4）．故选B．4．（2020·河北邢台市·九年级零模）在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上,要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合,其余的两个顶点都在矩形的边上).这个等腰三角形有几种剪法？（）A．1 B．2 C．3 D．4【详解】解：根据题意可得有以下三种情况：故选：C.【点睛】本题考查等腰三角形的性质.5．（2020·德昌县民族初级中学八年级期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．60°【答案】B【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=80°，∴∠B=∠ADB=80°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°，∵AD=CD，∴∠C=18018010040.22ADC-︒︒-=︒=︒∠故选B．考点：等腰三角形的性质．6．（2020·柳州市柳林中学中考真题）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．【详解】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．由此可知：选项A符合条件，故选A．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．7．（2020·浙江台州市·中考真题）如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于12AB同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB=CD【答案】D【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案【详解】解：由作图知AC=AD=BC=BD，∴四边形ACBD是菱形，∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，不能判断AB=CD，故选：D．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、菱形的判定方法等，解题的关键是掌握菱形的判定与性质．8．（2020·广东汕头市·九年级其他模拟）如图，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（）A．△DEF是等边三角形B．△ADF≌△BED≌△CFEC．DE=12ABD．S△ABC=3S△DEF【答案】C【分析】求出∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，求出∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°，推出DF=DE=EF，即可得出等边三角形DEF，根据全等三角形性质推出三个三角形全等即可．求出AB=3BE，3，即可判断选项C．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断选项D．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠B=∠C=∠A=60°，∵DE ⊥BC 、EF ⊥AC 、FD ⊥AB ，∴∠DEB=∠EFC=∠FDA=90°，∴∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=180°﹣90°﹣30°=60°，∴DF=DE=EF ，∴△DEF 是等边三角形，在△ADF 、△BED 、△CFE 中ADF=BED=CFE{A=B=CDF=DE=EF∠∠∠∠∠∠ ∴△ADF ≌△BED ≌△CFE ，∴AD=BE=CF ，∵∠DEB=90°，∠BDE=30°，∴BD=2BE ，DE=3BE，∴AB=3BE ，即3DE=AB ，即DE=12AB 错误； ∵△ABC 和△DEF 是等边三角形，∴△ABC ∽△DEF ，∴S △ABC ：S △DEF =（AB ）2：（DE ）2=（3DE ）2：DE 2=3，即只有选项C 错误；选项A 、B 、D 正确．故选C ．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握判定定理和性质是关键.9．（2020·青海中考真题）如图所示ΔABC中，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线MN交AC 于D,ΔDBC的周长是24cm,则BC=___________cm．【答案】10【分析】由MN是AB的垂直平分线可得AD=BD，于是将△BCD的周长转化为BC与边长AC的和来解答．【详解】C ，∵24cmDBC∴BD+DC+BC=24cm，∵MN垂直平分AB，∴AD=BD，∴AD+DC+BC=24cm，即AC+BC=24cm，又∵AC=14cm，∴BC=24-14=10cm．故答案为：10点睛：解答本题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．此题将垂直平分线的性质与三角形的周长问题相结合，体现了转化思想在解题时的巨大作用．10．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）做如下操作：在等腰三角形ABC中，AB= AC，AD平分∠BAC，交BC于点D．将△ABD作关于直线AD的轴对称变换，所得的象与△ACD 重合对于下列结论：①在同一个三角形中，等角对等边；②在同一个三角形中，等边对等角；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合由上述操作可得出的是_________(将正确结论的序号都填上)【答案】②③【分析】认真读题，由已知条件沿直线AD对折，重合，说明∠B与∠C相等，AD⊥BC，BD=CD，根据结论对号入座即可．【详解】解：从操作过程没有体现角相等，边就相等，故①不符合；因为AB=AC，操作之后得到∠B与∠C重合，即等边对等角，故②符合；根据所得的图象与△ACD重合，所以AD⊥BC，BD=CD，又AD平分∠BAC，所以③符合．故操作可以得出的是②③两结论．故答案为：②③．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及轴对称的性质；做题时，要认真读题，紧靠题目的已知条件和操作的结论进行判断．11．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）如图，△ABC为正三角形，BD是角平分线，点F 在线段BD上移动，直线CF与AB交于点E，连结AF，当AE＝AF时，∠BCE＝_____度．【答案】20．【分析】根据题意易得△ABF≌△CBF（SAS），设∠BAF＝∠BCF＝α，得到∠AEF＝60°+α，在△AFE 中，得到α＝20°，即可求解．【详解】解：∵△ABC为正三角形，BD是角平分线，∴∠ABC＝60°，BD⊥AC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，AB＝BC，∵BF＝BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴∠BAF＝∠BCF，设∠BAF＝∠BCF＝α，∴∠AEF＝60°+α，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝60°+α，∴60°+α+60°+α+α＝180°，∴α＝20°，∴∠BCE＝20°，故答案为：20．【点睛】此题主要考查三角形全等的判定与性质、三角形的外角等于与其不相邻的两个内角和，熟练进行逻辑推理是解题关键．12．（2020·河北九年级其他模拟）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=_________．【答案】30°【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空．【详解】∵△ABC 是等边三角形，∴60BAC AB AC ∠=︒=，．又点D 是边BC 的中点， ∴1302BAD BAC ∠=∠=︒． 故答案是：30°．【点睛】考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．13．（2020·湖南永州市·九年级二模）如图，在ΔABC 中，∠A=36°,AB=AC,BD 平分∠ABC ，则图中等腰三角形的个数是__________【答案】3【解析】分析：由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．详解：∵AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．∵BD 平分∠ABC 交AC 于D ，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD 是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C ， ∴△BDC 是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．故答案为3．点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．14．（2020·浙江八年级其他模拟）如图，a ∥b ，∠ABC=50°，若△ABC 是等腰三角形，则∠α=__°（填一个即可）【答案】130【解析】分类讨论：（1）AB AC =则50∠=°ACB a ∥b130α∴=︒（2）AB BC =则65ACB ∠=︒ a ∥b115α∴=︒（3）AC BC =则80ACB ∠=︒a ∥b100α∴=︒综上述，=α 130或100或11515．（2020·黑龙江绥化市·九年级一模）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48，则该等腰三角形的底角的度数为______．【答案】69°或21°【解析】分两种情况讨论：①若∠A<90°，如图1所示：∵BD ⊥AC ，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°−48°=42°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C=12(180°−42°)=69°； ②若∠A>90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°−48°=42°，∴∠BAC=180°−42°=138°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C=12(180°−138°)=21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°.故答案为69°或21°.16．（2020·江苏镇江市·九年级其他模拟）如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD=___．【答案】44°【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠BAC，再根据两直线平行，内错角相等解答．【详解】∵AB=AC，∠ABC=68°，∴∠BAC=180°﹣2×68°=44°，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC=44°．故答案为44°．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，是基础题，熟记各性质是解题的关键．17．（2020·福建省福州第一中学九年级一模）根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法）.如图，已知△ABC中，AB=AC，BD是BA边的延长线．（1）作∠DAC的平分线AM；（2）作AC边的垂直平分线，与AM交于点E，与BC边交于点F；（3）联接AF，则线段AE与AF的数量关系为．【答案】答案见解析【分析】(1)直接利用角平分线的作法得出答案；(2)直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；(3)根据线段中垂线的性质得出答案．【详解】(1) 如图所示：(2)如图所示：(3)AE=AF．【点睛】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定与性质等知识，属于基础题型．正确掌握基本作图方法是解题关键．18．（2020·广东清远市·九年级二模）作图题：（要求保留作图痕迹，不写作法）（1）作△ABC中BC边上的垂直平分线EF（交AC于点E，交BC于点F）；（2）连结BE，若AC=10，AB=6，求△ABE的周长．【答案】（1）答案见解析；（2）16．【分析】(1)分别以点B、C为圆心，以大于12BC长为半径画弧，在BC的两侧两弧分别相交于一点，作这两点作直线即可；(2)根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=CE，从而得到△ABE的周长等于AB与AC的和，代入数据进行计算即可．【详解】解：(1)如图所示，(2)∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC，∵AB=6，BC=10，∴△ABE的周长=6+10=16．【点睛】此题主要考查了基本作图，正确线段垂直平分线的性质与画法是解题关键．19．（2020·贵州铜仁市·九年级零模）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、F分别为AB、AC中点，ED⊥AB，GF⊥AC，若BC＝15cm，求EG的长．【答案】EG＝5cm．【分析】连接AE、AG，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得EB=EA，再根据等腰三角形两底角相等求出∠B ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEG=60°，同理求出∠AGE=60°，从而判断出，△AEG 为等边三角形，再根据等边三角形三边都相等列式求解即可．【详解】解：如图，连接AE 、AG ，∵D 为AB 中点，ED ⊥AB ，∴EB ＝EA ，∴△ABE 为等腰三角形，又∵∠B ＝1801202︒︒-＝30°， ∴∠BAE ＝30°，∴∠AEG ＝60°，同理可证：∠AGE ＝60°，∴△AEG 为等边三角形，∴AE ＝EG ＝AG ，又∵AE ＝BE ，AG ＝GC ，∴BE ＝EG ＝GC ，又BE +EG +GC ＝BC ＝15（cm ），∴EG ＝5（cm ）．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形与等边三角形是解题的关键．20．（2020·山东济南市·九年级一模）如图，点C 是线段AB 上任意一点，分别以AC BC 、为边在AB 的同侧作等边ACD ∆和等边BCE ∆，分别连接AE BD 、.求证：AE BD =.【答案】见解析【解析】【分析】根据等边三角形的性质，证ACE DCB ∆≅∆，得.AE BD =【详解】解：ACD ∆和BCE ∆是等边三角形，,,AC DC EC BC ∴== 60ACD BCE ∠=∠=ACD DCE BCE DCE ∴∠+∠=∠+∠ACE BCD ∴∠=∠ACE DCB ∴∆≅∆AE BD ∴=【点睛】考核知识点：等边三角形的性质，全等三角形判定和性质.理解性质是关键.21．（2020·河北九年级其他模拟）如图1，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA PE =，PE 交CD 于F ，连接CE .（1）证明：ADP CDP △≌△；（2）判断CEP △的形状，并说明理由.（3）如图2，把菱形ABCD 改为正方形ABCD ，其他条件不变，直接．．写出线段AP 与线段CE 的数量关系.【答案】（1）证明见解析；（2）CEP ∆是等边三角形，理由见解析；（3）2CE =.【分析】（1）由菱形ABCD 性质可知，AD CD =，ADP CDP ∠=∠，即可证明；（2）由△PDA ≌△PDC ，推出PA=PC ，由PA=PE ，推出DCP DEP ∠=∠，可知60CPF EDF ∠=∠=︒，由PA═PE=PC ，即可证明△PEC 是等边三角形；（3）由△PDA ≌△PDC ，推出PA=PC ，∠3=∠1，由PA=PE ，推出∠2=∠3，推出∠1=∠2，由∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC ，推出∠FPC=EDF=90°，推出△PEC 是等腰直角三角形即可解答；【详解】（1）证明：在菱形ABCD 中，AD CD =，ADP CDP ∠=∠，在ADP ∆和CDP ∆AD CD ADP CDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ADP CDP SAS ∆≅∆.（2）CEP ∆是等边三角形，由（1）知，ADP CDP ∆≅∆，∴DAP DCP ∠=∠，AP CP =，∵PA PE =，∴DAP DEP ∠=∠，∴DCP DEP ∠=∠，∵CFP EFD ∠=∠（对顶角相等），∴180180PFC PCF DFE DEP ︒-∠-∠=︒-∠-∠，即60CPF EDF ∠=∠=︒，又∵PA PE =，AP CP =；∴PE PC =，∴CEP ∆是等边三角形.（3）CE =.过程如下：证明：如图1中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=DC ，∠ADB=∠CDB=45°，∠ADC=90°，在△PDA 和△PDC 中，PD PD PDA PDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，， ∴△PDA ≌△PDC ，∴PA=PC ，∠3=∠1，∵PA=PE ，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC ，∴∠FPC=EDF=90°，∴△PEC 是等腰直角三角形．∴CE=2PC =2AP .【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形判定、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22．（2020·通辽市科尔沁区第七中学八年级月考）问题探究：如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．（1）证明：AD=BE；（2）求∠AEB的度数．问题变式：（3）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．（Ⅰ）请求出∠AEB的度数；（Ⅱ）判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见详解；（2）60°；（3）（Ⅰ）90°；（Ⅱ）AE=BE+2CM，理由见详解.【分析】（1）由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到对应边相等，即AD=BE；（2）根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出∠ADC=120°，从而可以求出∠AEB的度数；（3）（Ⅰ）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD ≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；（Ⅱ）根据DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此判断出AE=BE+2CM．【详解】解：（1）如图1，∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCE CD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°；（3）（Ⅰ）如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCE CD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=180-45=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°，故答案为90°；（Ⅱ）如图2，∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，∴CM=DM=EM，∴DE=DM+EM=2CM，∵△ACD≌△BCE（已证），∴BE=AD，∴AE=AD+DE=BE+2CM，故答案为AE=BE+2CM．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．。
等腰三角形课件PPT
在等腰三角形中，若点P位于底边中线上，则AP、BP、CP分别交BC、AC、AB于点D、E 、F时，满足塞瓦定理和梅涅劳斯定理。
挑战性问题：寻找最大面积等腰三角形
问题描述
给定一条长度为L的线段AB，在 AB的同一侧作两个等边三角形 ABC和ABD，连接CD。在AB上 取一点P，连接CP和DP。试找出 使得△CPD面积最大的点P的位置
05
等腰三角形相关定理证明
勾股定理在等腰三角形中证明
01
勾股定理基本内容
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
02
等腰三角形与勾股定理关系
当等腰三角形为直角三角形时，其两条腰为直角边，底边为斜边，满足
勾股定理。
03
证明过程
设等腰直角三角形的两条腰为a，底边为c，根据勾股定理有a² + a² =
等角对等边
两个底角相等，且每个 底角都等于顶角的补角
。
对称性
等腰三角形是轴对称图 形，对称轴是底边的垂
直平分线。
等腰三角形与等边三角形关系
等边三角形是特殊的等腰三角形
等边三角形的三边都相等，因此它也满足等腰三角形的定义。
等腰三角形不一定是等边三角形
虽然等腰三角形的两腰相等，但它的底边可以与两腰不等，因此不是所有等腰 三角形都是等边三角形。
c²，化简得2a² = c²，从而证明了在等腰直角三角形中，勾股定理成立
。
射影定理在等腰三角形中证明
射影定理基本内容
在直角三角形中，斜边上的垂线 将斜边分为两段，这两段与直角 边的乘积相等。
等腰三角形与射影定 理关系
当等腰三角形为直角三角形时， 其高线即为斜边上的垂线，满足 射影定理。
等腰三角形
等腰三角形性质及分类讨论（讲义）一、知识点睛1. 在等腰三角形中，顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（也称“三线合一”），这是等腰三角形的重要性质．2. 在一个三角形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，尝试构造等腰三角形．3. 分类讨论的类型： ①定义法则．如绝对值，平方，完全平方式等． ②关键词不明确．如等腰三角形的角（底角与顶角），边（底边与腰）等． ③位置不确定．如线段端点的位置，角的位置，高等． ④对应关系不确定．如两部分的差，全等三角形对应关系等． 4. 分类讨论题目解题要点： ①辨识类型；②画出各种类型的图形并求解； ③根据标准进行取舍．标准包括限制条件，实际意义等．二、精讲精练1. 已知：如图，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD ，BE 交于点O ．求证：AB =AC ．O EC DB2. 已知：如图，在△ABC 中，∠A =90º，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，若CE =5cm ，求BD 的长．AED3.如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD=AC，连接AD，CF平分∠ACB，交AB于F，AF=BF．求证：BC=CD．AF4.如图，在△ABC中，点E在AB上，AE=AC，连接CE，点G为EC的中点，连接AG并延长交BC于D，连接ED，过点E作EF∥BC交AC于点F．求证：EC平分∠DEF．GEBFC A5.（1）若4x2-(m-1)xy+9y2是完全平方式，则m=_________．（2）若x2-4xy+ny2是完全平方式，则n=_________．（3）若9x2-12xy+(m+1)2y2是完全平方式，则m=_________．6.等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，则顶角的度数为______________．7.已知一等腰三角形的三边分别是3x-1，x+1，5，则x=________．8.在直线l上任取一点A，截取AB=2cm，再截取AC=3cm，则线段BC的长为______________．9.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为__________．10.若等腰三角形的底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分之差为3cm，则腰长为__________．11.已知等腰三角形的周长为20cm，两边的差为2cm，则底边长为__________．12.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为30º，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？求出每个等腰三角形顶角的度数．B30°lA13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△P AB为等腰三角形，找出所有符合条件的点P．AB C三、回顾与思考_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ______________________________【参考答案】1.证明略（提示：连接BC，证明AC=BC，AB=BC）2.10cm（提示：延长CE交BA的延长线于点F，证明BD=2CE）3.证明略（提示：延长CF到E，使CF=EF，连接BE，证明△AFC≌△BEF，再证明BE=BC）4.证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”，证明AD⊥EC，再证明ED=CD，利用平行导角）5.（1）-11，13 （2）4 （3）1，-36.120°或20°7. 28.1cm或5cm9.65°或115°10. 8cm 11. 8cm 或163cm 12. 作图略 13. 作图略等腰三角形性质及分类讨论（随堂测试）1. 若x 2-(a+1)xy +4y 2是完全平方式，则a =_________．2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形顶角的度数为______________．3. 如图，在△ABC 中，D ，E 为BC 上的点，AC =CD ，CF ⊥AD 交AD 于G ，交AB 于F ，AD 平分∠BAE ． 求证：DF ∥AE ．【参考答案】1．3或-52．50°或130°3．证明略；（利用等腰三角形“三线合一”得到AG =DG ，得到AF =FD ，证得∠F AD =∠FDA ，由角平分线可得∠FDA =∠EAD ，所以DF ∥AE ） FGEDA等腰三角形性质及分类讨论（作业）14.已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD=CD，E，F分别为AB，AC边上的点，BE=CF．求证：DE=DF．15.已知：如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，CE=CD，DM⊥BC，垂足为M．求证：BM=ME．16.如图，在△ABC中，D为BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，DE平分∠ADB，AF=FC，连接AD．M DAF DAE求证：BD=CD．AFE17.若4x2-axy+16y2是完全平方式，则a=_________．18.在直线l上任取一点A，截取AB=8cm，点C为AB中点，截取CD=5cm，则线段AD的长为______________．19.若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则此等腰三角形顶角的度数为______________．20.已知一等腰三角形的三边分别是5x 3，3x+3，27，则x=__________．21.等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为30°，则顶角的度数为__________．22.已知等腰三角形的周长为24cm，两边的差为3cm，则底边长为__________．23.在已知直线l上找一点C，和直线外的A，B两点组成一个等腰三角形．一共可以画出几个符合条件的等腰三角形？请你在直线l上找出所有符合条件的点C．l【参考答案】1.证明略（提示：延长AD到H，使DH=AD，连接BH，证明△BHD≌△CAD，导出AB=AC，再证明△BED≌△CFD）2.证明略（提示：连接BD，利用“三线合一”证明∠DBE=∠E=30°）3.证明略（提示：证明AD=DC，AD=BD）4.±165. 1cm 或9cm6. 80°或40°7. 6或88. 60°或120°9. 10cm 或6cm 10. 点C 有5个，作图略等腰三角形（讲义）一、知识点睛1. ______________的三角形叫做等腰三角形．2. 等腰三角形是_________图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“__________”），它们所在的直线都是等腰三角形的_________．3. 等腰三角形的两个底角________，简称______________．如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称_________________．4. 三边都______的三角形是等边三角形．等边三角形三边都相等，三个内角都是________．二、精讲精练1. 在下面的等腰三角形中，∠A 是顶角，请分别将它们底角的度数标注在相应的图上．2. 如图，在△ACD 中，AD =BD =BC ，若∠C =25°，则∠ADB =____．ABC DABDC第2题图第3题图3. 如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，D 为边BC 上一点，CD =AC ，AD =BD ，则∠BAC =_________．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，DE 垂60°108°BA C ABC A BCA直平分AC ，交AC 于D ，交BC 于E ，连接AE ，若 ∠BAE :∠BAC =1:5，则∠C =_____．5. 如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC ，DE ∥BC ． （1）若∠ADE =80°，则∠DEB =________．（2）若F 为BE 中点，则DF 与BE 的位置关系是________．C DAB EF6. 已知：如图，在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，且CE =CD ，DM ⊥BC 于M ． 求证：M 是BE 的中点．7. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为AC 上任意一点，延长BA 到E ，使AE =AD ，连接DE ．求证：DE ⊥BC ．E DCAECMAD B8. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，DF ⊥AC 于F ，延长DF 到E ，使EF =DF ，连接AE ．求∠E 的度数．FE DCBA9. 若等腰三角形的周长为13cm ，其中一边长为3cm ，则该等腰三角形的底边长为_______________．10. 若等腰三角形的周长是25cm ，一腰上的中线将周长分为3:2的两部分，则此三角形的底边长为_____________．11. 若等腰三角形的一个内角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．12. 若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．13. 已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上（AB 与l 不垂直），请在直线l上另找一点C ，使△ABC 是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．14.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为60°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．三、回顾与思考_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ______________________________【参考答案】一、知识点睛1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形．2.等腰三角形是轴对称图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．3.等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角．如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等，简称等角对等边．4.三边都相等的三角形是等边三角形．等边三角形三边都相等，三个内角都是60°．1.60°，60°；45°，45°；36°，36°2.80°3.108°4.40°5.（1）40°；（2）DF⊥BE6.提示：连接BD，由三线合一得∠DBC=∠E=30°，从而得到BD=ED，△BDE是等腰三角形，利用三线合一可以知道底边BE上的高DM也是BE边上的中线，所以M是BE的中点．7.提示：延长ED与BC交于点F，根据已知条件可以知道△AED和△ABC是等腰三角形，设∠E=α，可以表示出∠CDF=α，∠BAC=2α，∠C=90 α，得到∠EFC=90°，所以DE⊥BC．8.提示：连接AD，利用垂直平分线定理得AD=AE，从而∠E=∠ADE．9.3cm10.5cm或353cm11.40°或100°12.50°或130°13.这样的点有4个14.这样的点有2个等腰三角形（随堂测试）1.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=BD=BC．若∠A=40°，则∠DBC=______．DC2. 等腰三角形的周长为28cm ，其中一边长为10cm ，则该等腰三角形的底边长为_______________．3. 已知：如图，在△ABC 中，E 为BC 边上一点，连接AE ，D 为AE 的中点，连接BD ，∠BAD =∠EAC +∠C ．求证：AD ⊥BD ．E DCB A【参考答案】1. 20°2. 10cm 或8cm3. 提示：利用外角可以得到∠AEB =∠BAD ，根据等角对等边，得到BA =BE ，因为D 是AE 的中点，利用等腰三角形三线合一，可以得到AD ⊥BD ．等腰三角形（作业）1. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，点E 在BC 边上，且BD =BE ．若∠A =84°，则∠DEC =______．E DC BA2. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为AB 边上一点，若CD =AD =BC ，则∠A =_________．DCB AN MEA第2题图第3题图3. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ．若BM +CN =9，则线段MN 的长为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．94. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD 于D ，12CD BC．求证：∠ACD =∠B ．DB A5. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，点P 在AD 上．求证：PB=PC ．DBAP6. 已知：如图，B ，D ，E ，C 在同一直线上，AB =AC ，AD =AE ． 求证：BD =CE ．AB CD E7. 等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为________． 8. 等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则这个三角形的顶角的度数为_____________．9. 已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上，AB 与l 的夹角是30°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．1.78°2.36°3. D4.提示：过点A作AE⊥BC于E，可证Rt△ADC≌Rt△AEB（HL），从而得到∠ACD=∠B．5.提示：利用等腰三角形三线合一的性质，得AD垂直平分BC，从而得到PB=PC．6.提示：根据等边对等角可以得到∠B=∠C，∠ADE=∠AED，进而可以得到∠BAD=∠CAE，从而证明△ABD≌△ACE（ASA），根据全等三角形对应边相等，可以得到BD=CE．7.208.80°或40°9.共有4个，图略．。
人教版初中数学中考考点系统复习 第19讲 等腰三角形与直角三角形
60°
的三角形是等边三角形；
（2）三个内角都⑰
的三角形是等边三角形；
定
（3）有一个角是⑱
的等腰三角形是等边三角形
面
【拓展补充】如图，顶角为36°（或底角为72°）的等腰三角形叫做黄金三角形. 性质：
（2）底角的平分线BF将其分成底角为36°（△ABF）和顶角为36°（△BCF）的 等腰三角形； （3）过点F作FE⊥AB于点E，则EF为腰AB的垂直平分线.
A.60°
B.70°
C.80°
D.90°
第2题图
3.（甘肃中考）如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为（ B ）
A.（1，1）
第3题图
4.在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）.若在坐标轴上取点C，使 △ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ A ）
A.5
B.6
C.7
三角形的性质或三角函数进行求解.
对点训练 8.（2022·荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受
损.已知该金字塔的下底面是一个边长为120 m的正方形，且每一个侧面与地面 的夹角为60°，则金字塔原来的高度为（ B ） A.120 m
9.（陕西中考）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点 A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ D ）
质 （4）等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴，对称轴为顶角⑤ 平分
线 所在的直线（如图中AD所在的直线）
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形； 判
（2）如果一个三角形有两个角⑥ 相等 ，那么这两个角所对的边也
《等腰三角形的性质》ppt课件
在处理与等腰三角形有关的问题时，常常需要分类讨论，并考虑各种特殊情况。
04
等腰三角形面积计算与应用
面积计算公式推导
1 2
等腰三角形面积公式
S = 1/2 × b × h，其中b为底边长度，h为高。
通过已知两边和夹角求面积
特点
等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，即底边的垂直平 分线；等腰三角形的两底角相等；等腰三角形底边上的垂直 平分线、底边上的中线、顶角平分线和底边上的高互相重合 ，简称“三线合一”。
与等边三角形关系
区别
等边三角形的三边都相等，而等腰三 角形只有两边相等；等边三角形的三 个内角都是60度，而等腰三角形的 两个底角相等，但不一定都是60度 。
应用举例
利用两边相等定理解决与等腰 三角形相关的问题，如角度计
算、边长求解等。
两角相等定理
两角相等定理内容
等腰三角形的两个底角相 等。
定理证明方法
通过构造高线或利用相似 三角形进行证明。
应用举例
利用两角相等定理解决与 等腰三角形相关的问题， 如角度计算、相似三角形 判定等。
对称性及其推论
对称性
等腰三角形是轴对称图形，其 对称轴是底边的垂直平分线。
若已知等腰三角形的两边a和夹角θ，则面积S = 1/2 × a^2 × sinθ。
3
通过已知三边求面积
应用海伦公式，先求出半周长p = (a + b + c) / 2，再代入公式S = sqrt[p(p - a)(p - b)(p - c)] 。
典型例题解析
例题1
例题3
已知等腰三角形的底边长为10cm， 腰长为8cm，求其面积。
2012年中考数学复习精品课件：第19讲_等腰三角形
【解析】选B.∵∠B=60°, ∴∠BAP+∠APB=120°. ∵∠APD=60°,∴∠CPD+∠APB=120°, ∴∠BAP=∠DPC,∴△ABP∽△PCD,
∵AB=3,BP=1,PC=2,∴CD2= .
3
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3.(2010·宁波中考)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
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13．(12分)如图，等边三角形ABC边长为4，E是边BC上动点，
EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点
P，使PE=EB.设EC=x(0＜x≤2).
(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条
线段(不再另外添加辅助线)；
(2)Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是
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【解析】第1次折叠，即图2的一条腰长是 2，第2次折叠，
2
即图3的一条腰长是( 2)2，第3次折叠，即图4的一条腰长是
2
( )23，以此类推，第n次折叠后的等腰直角三角形的一条腰
2
长是( )2n.
2
答案：
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专题19 等腰三角形(归纳与讲解)(解析版)
专题19 等腰三角形【专题目录】技巧1：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法技巧2：巧用特殊角构造含30°角的直角三角形技巧3：分类讨论思想在等腰三角形中的应用【题型】一、等腰三角形的定义【题型】二、根据等边对等角求角度【题型】三、根据三线合一求解【题型】四、根据等角对等边证明等腰三角形【题型】五、根据等角对等边求边长【题型】六、等腰三角形性质与判定的综合【题型】七、等边三角形的性质【题型】八、含30°角的直角三角形【考纲要求】1.了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．2.了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．3.掌握线段中垂线的性质及判定．【考点总结】一、等腰三角形【考点总结】二、等边三角形【考点总结】三、直角三角形【技巧归纳】技巧1：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法【类型】一、作“三线”中的“一线”1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF.求证：DE＝DF.【类型】二、作平行线法2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图①，当点P为AB的中点时，求证：PD＝QD.(2)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，ED，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．【类型】三、截长补短法3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB.【类型】四、加倍折半法4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．5．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.参考答案1．证明：如图，连接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∵EF∥BC，∴AD⊥EF.∵AE＝AF，∴AD垂直平分EF.∴DE＝DF.2．(1)证明：如图①，过点P作PF∥AC交BC于F.①点P和点Q同时出发，且速度相同，①BP＝CQ.①PF①AQ，①①PFB＝①ACB，①DPF＝①DQC.又①AB＝AC，①①B＝①ACB，①①B＝①PFB，①BP＝FP，①FP＝CQ.在①PFD和①QCD中，①DPF＝①DQC，①PDF＝①QDC，FP＝CQ，①①PFD①①QCD(AAS)，①PD＝QD.(2)解：线段ED的长度保持不变．理由如下：如图②，过点P作PF∥AC交BC于F.由(1)知PB＝PF.∵PE⊥BF，∴BE＝E F.由(1)知△PFD≌△QCD，∴FD＝CD，∴ED＝EF＋FD＝BE＋CD＝12BC，∴线段ED的长度保持不变．3．证明：如图，延长BD至E，使BE＝AB，连接CE，AE.∵∠A BE＝60°，BE＝AB，∴△ABE为等边三角形．∴∠AEB＝60°，AB＝AE.又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE.∴∠ACE＝∠AEC.∴∠DCE＝∠DEC.∴DC＝DE.∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋DC，即BD＋DC＝AB.4．解：在DC上截取DE＝BD，连接AE，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AD是线段BE的垂直平分线，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB.∵AB＋BD＝DC，DE＝BD，∴AB＋DE＝CD.而CD＝DE＋EC，∴AB＝EC，∴AE＝EC.∴∠EAC＝∠C，可设∠EAC＝∠C＝x，∵∠AEB 为△AEC 的外角，∴∠AEB ＝∠EAC ＋∠C ＝2x ，∴∠B ＝2x ，∴∠BAE ＝180°－2x －2x ＝180°－4x.∵∠BAC ＝120°，∴∠BAE ＋∠EAC ＝120°，即180°－4x ＋x ＝120°，解得x ＝20°，则∠C ＝20°.5．证明：如图，延长CE 到点F ，使EF ＝CE ，连接FB ，则CF ＝2CE.∵CE 是△ABC 的中线，∴AE ＝BE.在△BEF 和△AEC 中，⎩⎨⎧BE ＝AE ，∠BEF ＝∠AEC ，EF ＝EC ，∴△BEF ≌△AEC(SAS)． ∴∠EBF ＝∠A ，BF ＝AC.又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∴∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ＝∠EBF ＋∠ABC ＝∠CBF.∵CB 是△ADC 的中线，∴AB ＝BD.又∵AB ＝AC ，AC ＝BF ，∴BF ＝BD.在△CBF 与△CBD 中，⎩⎨⎧CB ＝CB ，∠CBF ＝∠CBD ，BF ＝BD ，∴△CBF ≌△CBD(SAS)．∴CF ＝CD.∴CD ＝2CE.技巧2：巧用特殊角构造含30°角的直角三角形【类型】一、直接运用含30°角的直角三角形的性质1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝1，则BC ＝( )A . 3B ．2C ．3D .3＋22．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝30°，AB ⊥AD ，AD ＝4 cm .求BC 的长．【类型】二、连线段构造含30°角的直角三角形3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE ＝8，求CE的长．4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AB于点D，交BC 于点E.求证：CE＝2BE.【类型】三、延长两边构造含30°角的直角三角形5．如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长．【类型】四、作垂线构造含30°角的直角三角形6．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，AC平分∠DAB，∠DAB＝30°.求证：AD＝2BC.参考答案1．C2．解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°.又∵AB⊥AD，∴∠ADB＝60°.又∵∠ADB＝∠C＋∠CAD，∴∠CAD＝30°＝∠C.∴CD＝AD＝4 cm.∵AB⊥AD，∠B＝30°，∴BD＝2AD＝8 cm.∴BC＝BD＋CD＝12 cm.3．解：连接AD，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝12∠BAC＝12×120°＝60°.在Rt△ADE中，∠EAD＝60°，∴∠ADE＝30°，∴AD＝2AE＝16.在△ABC中，AB ＝AC，∠BAC＝120°.∴∠B＝∠C＝30°，∴AC＝2AD＝2×16＝32.∴CE＝AC－AE＝32－8＝24.4．证明：如图，连接AE.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE.∴∠BAE＝∠B＝30°.∴∠EAC＝120°－30°＝90°.又∵∠C＝30°，∴CE＝2AE.又∵BE＝AE，∴CE＝2BE.5．解：延长AD，BC交于点E.∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°.又∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝180°－120°＝60°.∴△DCE是等边三角形．设CD＝CE＝DE＝a，则有2(1＋a)＝4＋a，解得a＝2.∴CD的长为2.6．证明：过点C作CE⊥AD交AD的延长线于E.∵DC∥AB，∠DAB＝30°，∴∠CDE＝30°.在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，∴CD＝2CE.又∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，又∵DC∥AB，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD.又∵CE⊥AE，CB⊥AB，AC平分∠DAB，∴BC＝CE，∴AD＝2BC.7．证明：过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，则∠DEB＝90 °.∵∠BAD＝30°，∴BE＝12AB.∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠DEB＝∠DAC.又∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，∴△BED≌△CAD，∴BE＝AC，∴AC＝12AB.点拨：由结论AC＝12AB和条件∠BAD＝30°，就想到能否找到或构造直角三角形，而显然图中没有含30°角的直角三角形，所以过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，这样就得到了直角三角形ABE，这是解决本题的关键．技巧3：分类讨论思想在等腰三角形中的应用【类型】一、当顶角或底角不确定时，分类讨论1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为()A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝12BC，则等腰三角形ABC的底角的度数为()A．45°B．75°C．45°或75°D．65°3．若等腰三角形的一个外角为64°，则底角的度数为________．【类型】二、当底和腰不确定时，分类讨论4．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为() A．8或10B．8C．10D．6或125．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．6．若实数x，y满足|x－4|＋(y－8)2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．【类型】三、当高的位置关系不确定时，分类讨论7．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．【类型】四、由腰的垂直平分线引起的分类讨论8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的度数．【类型】五、由腰上的中线引起的分类讨论9．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分．求腰长．【类型】六、点的位置不确定引起的分类讨论10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有()A．7个B．6个C．5个D．4个11．如图，在△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．参考答案1．D 2.C 3.32° 4.C 5.23或25 6.207．解：设AB＝AC，BD⊥AC；(1)高与底边的夹角为25°时，高一定在△ABC的内部，如图①，∵∠DBC＝25°，∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∠A＝180°－2×65°＝50°.(2)当高与另一腰的夹角为25°时，如图②，高在△ABC的内部时，∵∠ABD＝25°，∴∠A＝90°－∠ABD＝65°，∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝57.5°；如图③，高在△ABC的外部时，∵∠ABD＝25°，∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°，∴∠BAC＝180°－65°＝115°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°，故三角形各个内角的度数为：65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.点拨：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外．8．解：此题分两种情况：(1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝50°，∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－50°)÷2＝65°.(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，∴∠BAC ＝130°.∵AB＝AC，∴∠B＝(180°－130°)÷2＝25°.故∠B的大小为65°或25°.9．分析：由于题目中没有指明是“(AB＋AD)－(BC＋CD)”为3 cm，还是“(BC＋CD)－(AB＋AD)”为3 cm，因此必须分两种情况讨论．解：∵BD为AC边上的中线，∴AD＝CD，(1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，有AB－BC ＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝5＋3＝8(cm)；(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，有BC－AB＝3 cm，∵BC＝5 cm，∴AB＝5－3＝2(cm)，但是当AB＝2 cm时，三边长分别为2 cm，2 cm，5 cm.而2＋2＜5，不能构成三角形，舍去．故腰长为8 cm.[来源:学*科*网Z*X*X*K]10．B11．解：(1)当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图①，∵BE＝BC，∴∠BEC＝(180°－∠ABC)÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2，∵∠DCE＝∠BEC－∠ADC，∴∠DCE＝(180°－∠ABC)÷2－∠BAC÷2＝(180°－∠ABC－∠BAC)÷2＝∠ACB÷2＝40°÷2＝20°.(2)当点D、E在点A的同侧，且点D在D′的位置，E在E′的位置时，如图②，与(1)类似地也可以求得∠D′CE′＝∠ACB÷2＝20°.(3)当点D、E在点A的两侧，且E点在E′的位置时，如图③，∵BE′＝BC，∴∠BE′C＝(180°－∠CBE′)÷2＝∠ABC÷2，∵AD＝AC，∴∠ADC ＝(180°－∠DAC)÷2＝∠BAC÷2， 又∵∠DCE′＝180°－(∠BE′C ＋∠ADC)，∴∠DCE′＝180°－(∠ABC ＋∠BAC)÷2＝180°－(180°－∠ACB)÷2＝90°＋∠ACB÷2＝90°＋40°÷2＝110°.(4)当点D 、E 在点A 的两侧，且点D 在D′的位置时，如图④， ∵AD′＝AC ，∴∠AD′C ＝(180°－∠BAC)÷2， ∵BE ＝BC ，∴∠BEC ＝(180°－∠ABC)÷2，∴∠D′CE ＝180°－(∠D′EC ＋∠ED′C)＝180°－(∠BEC ＋∠AD′C) ＝180°－[(180°－∠ABC)÷2＋(180°－∠BAC)÷2] ＝(∠BAC ＋∠ABC)÷2＝(180°－∠ACB)÷2＝(180°－40°)÷2＝70°.综上所述，∠DCE 的度数为20°或110°或70°.【题型讲解】【题型】一、等腰三角形的定义例1、已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（ ） A ．9 B ．17或22C ．17D ．22【答案】D【提示】分类讨论腰为4和腰为9，再应用三角形的三边关系进行取舍即可． 【详解】解：分两种情况：当腰为4时，449+<，所以不能构成三角形；当腰为9时，994,994+>-<，所以能构成三角形，周长是：99422++=． 故选：D ．【题型】二、根据等边对等角求角度例2、如图，在①ABC 中，①A ＝40°，AB ＝AC ，点D 在AC 边上，以CB ，CD 为边作□BCDE ，则①E 的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【答案】D【提示】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出①C的度数，再根据平行四边形的性质解答即可．【详解】解：①①A＝40°，AB＝AC，①①ABC=①C=70°，①四边形ABCD是平行四边形，①①E=①C=70°．故选：D．【题型】三、根据三线合一求解例3、如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【提示】根据尺规作图的方法步骤判断即可．【详解】由作图痕迹可知AD为①BAC的角平分线，而AB=AC，由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，BD=3，故选B【题型】四、根据等角对等边证明等腰三角形例4、下列能断定①ABC为等腰三角形的是（）A．①A=40°，①B=50°B．①A=2①B=70°C．①A=40°，①B=70°D．AB=3，BC=6，周长为14【答案】C【提示】根据三角形内角和计算角的度数，判断三角形中是否有相等的角；根据三角形的周长计算是否有相等的边即可判断.【详解】A.①C=180°−40°−50°=90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误；B、①①A=2①B=70°，①①B=35°，①①C=75°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误；C 、①C=180°−40°−70°=70°，有相等的角，则是等腰三角形，本选项正确；D 、①AB=3，BC=6，周长为14，①AC=14−6−3=5，没有相等的边，则不是等腰三角形，本选项错误； 故选C ．【题型】五、根据等角对等边求边长例5、如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点.O 若5AE =，3BF =，则AO 的长为（ ）A B C ．D ．【答案】C【提示】先证明,AE AF =再求解,,AB AC 利用轴对称可得答案． 【详解】解：由对折可得：,,AFO CFO AF CF ∠=∠= 矩形ABCD ，//,90,AD BC B ∴∠=︒ ,CFO AEO ∴∠=∠ ,AFO AEO ∴∠=∠ 5,AE AF CF ∴=== 3,BF =4,AB ∴==BC=8AC ∴===由对折得：12OA OC AC === 故选C ．【题型】六、等腰三角形性质与判定的综合例6、如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，测得30CAB ∠=︒，45ABC ∠=︒，8AC =千米，求A 、B 两点间的距离． 1.4≈ 1.7≈，结果精确到1千米）．【答案】A 、B 两点间的距离约为11千米． 【提示】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD 、AD 的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD 的长，然后根据线段的和差即可得． 【详解】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D在Rt ACD △中，30CAD ∠=︒，8AC =千米118422CD AC ∴==⨯=（千米），AD == 在Rt BCD 中，45DBC ∠=︒Rt BCD ∴是等腰直角三角形4BD CD ∴==千米44 1.7410.811AB AD BD ∴=+=≈⨯+=≈（千米）答：A 、B 两点间的距离约为11千米．【题型】七、等边三角形的性质例7、如图，面积为1的等边三角形ABC 中，,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则DEF ∆的面积是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．14【答案】D【提示】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是14． 【详解】①,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点,且①ABC 是等边三角形, ①①ADF①①DBE①①FEC①①DFE, ①①DEF 的面积是14． 故选D ．【题型】八、含30°角的直角三角形例8、如图，在Rt ABC 中， 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（ ）A ．1cmB ．2cmCD ．【答案】B【提示】由旋转的性质可知，'=60∠∠=CAB BAB ，进而得出'∆BAB 为等边三角形，进而求出'==2BB AB ．【详解】解：① 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒= 由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知， ①=2=2AB AC cm ，又①CAB =90°-①ABC =90°-30°=60°，由旋转的性质可知：'=60∠∠=CAB BAB ，且'=AB AB ， ①'∆BAB 为等边三角形， ①'==2BB AB ． 故选：B ．等腰三角形（达标训练）一、单选题1．如图，在①ABC 中，AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ，连接AE ，若AE ＝4，EC ＝2，则BC 的长是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB ＝EA ＝4，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：①DE 是AB 的垂直平分线，AE ＝4， ①EB ＝EA ＝4，①BC ＝EB ＋EC ＝4＋2＝6， 故选：C ．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．2．如图，在ABC 中，5AC =，7BC =，9AB =，用图示尺规作图的方法在边AB 上确定一点D ．则ACD 的周长为（ ）．A ．12B ．14C ．16D ．21【答案】B【分析】根据题意得：尺规作图的方法所作的直线是BC 的垂直平分线，可得CD BD = ，从而得到ACD 的周长为AC CD AD ++ ，即可求解．【详解】解：根据题意得：尺规作图的方法所作的直线是BC 的垂直平分线， ①CD BD = ， ①9AB =，①9CD AD AD BD AB +=+== ， ①5AC =，①ACD 的周长为5914AC CD AD AC AB ++=+=+= ． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 3．下列命题，错误的是（ ）A ．有一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等B ．如果①A 和①B 是对顶角，那么①A ＝①BC ．等腰三角形两腰上的高相等D ．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等 【答案】D【分析】利用全等三角形的判定、对顶角的性质、等腰三角形的性质及垂直平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项.【详解】解：A 、有一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，正确，不符合题意； B 、如果①A 和①B 是对顶角，那么①A ＝①B ，正确，不符合题意； C 、等腰三角形两腰上的高相等，正确，不符合题意；D 、三角形三边垂直平分线的交点到三角形三顶点的距离相等，故原命题错误，符合题意． 故选：D ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的判定、对顶角的性质、等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，属于基础性知识，比较简单．4．如图，点F ，E 在AC 上，AD CB =，D B ∠=∠．添加一个条件，不一定能证明ADE CBF ≌的是（ ）A ．AD BC ∥B ．DE FB ∥C ．DE BF =D ．AE CF =【答案】D【分析】根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】A ：①AD BC ∥， ①A C ∠=∠，①在ADE 和CBF 中， A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①()ADE CBF ASA ≌，正确，故本选项错误； B ：①DE FB ∥， ①AED CFB ∠=∠， ①在ADE 和CBF 中，AED CFB D BAD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①()ADE CBF AAS ≌，正确，故本选项错误； C ：①在ADE 和CBF 中， DE BF D B AD CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①()ADE CBF SAS ≌，正确，故本选项错误；D ：根据AD CB =，D B ∠=∠，AE CF =不能推出ADE CBF ≌，错误，故本选项正确． 故选D ．【点睛】本题考查全等三角形的判定的应用，平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键．5．如图，矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 、BC 于点E 、O 、F ，若1216AB BC ==，，则EF 的长为（ ）A ．8B ．15C ．16D ．24【答案】B【分析】根据矩形的性质得到AO =CO ，①AOE =①COF ,根据平行线的性质得出①EAO =①FCO ,根据ASA 推出①AEO ①①CFO ，由全等得到OE =OF ，推出四边形是平行四边形，再根据EF ①AC 即可推出四边形是菱形，根据垂直平分线的性质得出AF =CF ，根据勾股定理即可得出结论． 【详解】连接AF ，CE ，①EF 是AC 的垂直平分线， ①AO =CO ，①AOE =①COF =90°， ①四边形ABCD 是矩形， ①AD ①BC ， ①①EAO =①FCO ， 在①AEO 和①CFO 中，EAO FCO AO COAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩, ①①AEO ①①CFO （ASA ）， ①OE =OF ， 又①OA =OC ，①四边形AECF 是平行四边形， ①EF ①AC ，①平行四边形AECF 是菱形， ①AE =CE ， 设AE =CE =x ，①EF 是AC 的垂直平分线， ①AE =CE =x ，DE =16-x ，在Rt ①CDE 中，222CD DE AE +=,()2221216x x +-=，解得252x =， ①AE =252,①20AC =, ①12AO AC ==10,①152OE =, ①EF =2OE =15, 故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证得四边形AECF 是菱形是解题的关键．二、填空题6．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，2BD CD =，点D 到AB 的距离为5.6，则BC =___cm ．【答案】16.8【分析】过D 作DE ①AB 于E ，根据角平分线性质得出CD ＝DE ，再求出BD 长，即可得出BC 的长． 【详解】解：如图，过D 作DE ①AB 于E ，①①C ＝90°， ①CD ①AC ， ①AD 平分①BAC ， ①CD ＝DE ，①D 到AB 的距离等于5.6cm ， ①CD ＝DE ＝5.6cm ， 又①BD ＝2CD ， ①BD ＝11.2cm ，①BC ＝5.6＋11.2＝16.8cm ， 故答案为：16.8．【点睛】本题主要考查了角平分线性质的应用，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 7．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，BE CE ⊥于点E ，AD CE ⊥于点D ，请你添加一个条件__________，使BEC CDA ≌（填一个即可）．【答案】AC BC =（答案不唯一）【分析】两个三角形全等已具备的条件是：90ADC CEB ∠=∠=︒，ACD CBE ∠=∠，根据三角形全等的判定方法即可确定添加的条件． 【详解】解：添加的条件是AC BC =， BE CE ⊥，AD CE ⊥，90BEC ADC ∴∠=∠=︒，90BCE CBE ∴∠+∠=︒ ，90ACB ACD ECB ∠=∠+∠=︒，ACD CBE ∴∠=∠，在BEC ∆和CDA ∆中， 90BEC ADC ACD CBEAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BEC CDA AAS ∴∆≅∆．故答案为：AC BC =（答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．三、解答题8．如图，E 、F 分别是矩形ABCD 对角线上的两点，且BE DF =．求证：AE CF =．【答案】见解析；【分析】根据矩形ABCD 的性质得出AB CD =，ABE CDF ∠=∠ ，再根据BE DF = ，用SAS 可直接证明出ABE CDF ≅，即可证明出AE CF = ． 【详解】证明：ABCD 是矩形， ∴ AB CD = ,ABE CDF ∠=∠，在ABE △和CDF 中AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴ABE CDF ≅()SAS ，AE CF ∴= ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形性质和判定，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键．等腰三角形（提升测评）一、单选题1．如图，点D 、E 分别为①ABC 的边AB 、AC 的中点，点F 在DE 的延长线上，CF ∥BA ，若①ADE 的面积为2，则四边形BCFD 的面积为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4【答案】B【分析】根据三角形中位线定理得到DE ∥BC ，DE =12BC ，证明ADEABC ；根据相似三角形的性质计算（相似三角形的面积比等于相似比的平方），可求得S ABC 的面积；根据三角形全等的判定和性质定理，证明ADE ≌CFE ，可得S ADE =S CFE ，从而可得S 四边形BCFD = S ABC 即可． 【详解】解：①D ，E 分别是ABC 的边AB ，AC 的中点 ①DE 是ABC 的中位线 ①AE =CE ，DE ∥BC ，DE =12BC ①ADEABC①S ADE =21()2ABCS①S ADE =2 ①S ABC =8 又①CF ∥BA ①∠A=∠FCE在ADE 和CFE 中，A FCE AE CEAED CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①ADE ≌CFE （ASA ） ①S ADE =S CFE①S ADE + S 四边形BCED =S CFE +S 四边形BCED ①S 四边形BCFD = S ABC =8故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、相以三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．2．如图，Rt①ABC中，①C＝90°，BD平分①ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD ＝3，则①DBE的面积为（）A．10B．12C．9D．6【答案】C【分析】如图：过D作DF①AB于F,然后根据角平分线的性质可得DF=CD=3,然后再根据中点的定义求得BE的长，最后根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：如图：过D作DF①AB于F,①①C＝90°，BD平分①ABC交AC于点D，①DF=CD=3①点E为AB的中点，AB＝12①BE=12AB=6①①DBE的面积为1163922BE DF=⨯⨯=．故选：C．【点睛】本题主要考查了角平分线定理、中点的定义、三角形的高等知识点，作出①DBE的高并运用角平分线定理求出成为解答本题的关键．3．如图，Rt①ABC中，①C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=5，P为AB上一动点，则PD的最小值为()A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】当DP ①AB 时，根据垂线段最短可知，此时DP 的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP =CD 解决问题；【详解】解：当DP ①AB 时，根据垂线段最短可知，此时DP 的值最小． 由作图可知：AE 平分①BAC ， ①①C =90°， ①DC ①AC ， ①DP ①AB ， ①DP =CD =5， ①PD 的最小值为5， 故选：D ．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，基本作图等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题．4．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点G 在CD 边上，GAE BAE ∠=∠，AG交BF 于点H ，连接,,EH EG CH ．下列结论：①AHE BCF △≌△；①GE BF ∥；①sin ABF ∠=①14GCH ABH S S =△△，其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个．【答案】B【分析】先证明①AHE ①①BCF （AAS ），即可判断①，由三角形的中位线定理可证GE BF ，即可判断①，由勾股定理可求BF 的长，即可求sin①ABF ＝sin①BFC ，即可判断①，由相似三角形的性质可求FH ，CH ，AO 的长，即可求出16GCHABHSS，即可判断①．【详解】解：如图，设BF 与AE 的交点为O ，设AB ＝4a ，①四边形ABCD 是正方形，①AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝4a ，①ABC ＝①BCD ＝90°， ①E ，F 分别为BC ，CD 的中点， ①CF ＝DF ＝2a ＝CE ＝BE ， ①①ABE ①①BCF （SAS ），①①BAE ＝①CBF ，BF ＝AE ，①AEB ＝①BFC ， ①①ABF +①CBF ＝90°＝①ABF +①BAE ， ①①AOB ＝90°＝①AOH ， 又①①BAE ＝①GAE ，AO ＝AO ， ①①AOH ①①AOB （ASA ）， ①AH ＝AB ，①AOB ＝①AOH ＝90°， ①AE 垂直平分BH ，①BE ＝EH ，①ABE ＝①AHE ＝90°，①①AHE ＝①BCF ＝90°，AH ＝AB ＝BC ，①GAE ＝①BAE ＝①BCF ， ①①AHE ①①BCF （AAS ），故①正确； ①AH ＝AB ， ①①AHB ＝①ABH ， ①AB CD ， ①①ABF ＝①CFB ，①①CFB ＝①AHB ＝①CHF ， ①FG ＝GH ， ①HE ＝BE ＝CE ，①①CHE ＝①ECH ，①EHB ＝①EBH ，①①CHE ＋①ECH ＋①EHB ＋①EBH ＝2①CHE ＋2①EHB ＝180°， ①①BHC ＝①CHE ＋①EHB ＝ 90°， ①①GHC ＝①GCH ， ①CG ＝GH ， ①FG ＝GC ＝GH ＝a ， 又①CE ＝BE ， ①GE BF ，故①正确；①BF ==，①sin①ABF ＝sin ①BFC ＝BC BF ==， 故①正确；①①CHF ＝①BCF ＝90°，①CFH ＝①CFB ， ①①CFH ①①BFC ， ①CF CH FHBF BC CF == ，42CH FHa a ==，①CH =，FH =，①BH =，①sin ①ABF ＝AO AB ，①AO =， ①FG ＝GC ，①211122225GCHFCHS S a ==⨯=，①21132225ABHSAO BH a =⨯⨯==， ①16GCHABHSS=，故①错误，故选：B ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．二、填空题5．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的动点．且BE CF =，连接BF 、DE ，则BF DE +的最小值为______．【答案】【分析】连接AE ，利用ABE BCF △△≌转化线段BF 得到BF DE AE DE +=+,则通过作点A 关于BC 的对称点H ，连接DH 交BC 于点E ，利用勾股定理求出DH 的长即可． 【详解】解：连接AE ，如图1， 四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABE BCF ∠∠==︒，又BE CF =，ABE ∴①(BCF SAS ）． AE BF ∴=．所以BF DE +最小值等于AE DE +最小值． 作点A 关于BC 的对称点H 点，如图2， 连接BH ，则A 、B 、H 三点共线，连接DH ，DH 与BC 的交点即为所求的E 点． 根据对称性可知AE HE =， 所以AE DE DH +=．在Rt ADH中，DH=∴+最小值为BF DE故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．6．正方形ABCD的边长为4，E为AD的中点，连接CE，过点B作BF CE⊥交CD于点F，垂足为G，则EG=______．【分析】先证明①BFC①①CED，得到DE＝CF＝2，CE＝BF，利用勾股定理可求BF的长，由面积法可求EG．【详解】解：正方形ABCD的边长为4，E为AD的中点，∠=∠=︒，DE＝2，BCD ADC∴==，90AD CD BC∴∠+∠=︒，90DCE DEC⊥，BF CE①①CGF＝90°，DCE CFB∴∠+∠=︒，90∴∠=∠，BFC DEC∴△①CEDBFC△（AAS），2DE CF ∴==，CE BF =，BF ∴=CE ∴=1122BFCSBC CF BF CG =⨯⨯=⨯⨯，42∴⨯=，CG ∴，①EG ＝CE －CG【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．三、解答题7．如图，在矩形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 为EF 的中点，连接BD 、DG ．(1)试判断ECF △的形状，并说明理由； (2)求BDG ∠的度数．【答案】(1)ECF △是等腰直角三角形，理由见解析 (2)45°【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义及平行线的性质证得45CEF F ∠=∠=︒，90ECF BCD ∠=∠=︒，再根据等角对等边得到EC FC =即可得到结论；（2）根据矩形性质和等腰直角三角形的性质证得BE CD =，DCG BEG ∠=∠，CG EG ，再根据全等三角形的判定与性质证明DCG BEG ≌△△得到DG BG =，DGC BGE ∠=∠，则有90BGD EGC ∠=∠=︒，进而求解即可．（1）解：ECF △是等腰直角三角形；理由如下：①四边形ABCD 是矩形，①AD BC ∥，AB CD ∥，90DAB ABC BCD ∠=∠=∠=︒，①DAE CEF ∠=∠，BAE F ∠=∠．①AE 平分BAD ∠，①45DAE BAE ∠=∠=︒，①45CEF F ∠=∠=︒，①EC FC =．又①90ECF BCD ∠=∠=︒，①ECF △是等腰直角三角形；（2）解：①四边形ABCD 是矩形，①AB CD =，AD BC ∥，①45BEA BAE ∠=∠=︒①AB BE =，即BE CD =．①EC FC =，90ECF ∠=︒，点G 为EF 的中点， ①12CG EF EG ==，1452ECG ECF ∠=∠=︒，90EGC ∠=︒， ①9045135DCG ∠=︒+︒=︒．①18045135BEG ∠=︒-︒=︒，①DCG BEG ∠=∠．在DCG △和BEG 中，DC BE DCG BEG CG EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()DCG BEG SAS △≌△，①DG BG =，DGC BGE ∠=∠，①90BGD EGC ∠=∠=︒．又①DG BG =，①BGD △是等腰直角三角形①45BDG ∠=︒．【点睛】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的斜边中线性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明DCG BEG ≌△△是解答的关键． 8．如图，在四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，=AD DE ，CE AD DE BC ∥，∥，作BF CD ∥交线段DE 于点F ，连接AF ，求证：ΔΔDAF EDC ≅．【答案】证明见解析【分析】根据题意得到四边形BCDF 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到DF BC =，根据平行线的性质及等腰三角形的性质推出=DF CE ，即可利用SAS 证明ΔΔDAF EDC ≅．【详解】∥DE BC ，BF CD ∥，∴四边形BCDF 是平行四边形，=DF BC ∴，①CE AD ∥，=DAE CEB ∴∠∠，ADF DEC ∠=∠，①∥DE BC ，=DEA CBE ∴∠∠，AD DE =，=DAE DEA ∴∠∠，=CEB CBE ∴∠∠，=CE BC ∴，=DF CE ∴，在ΔDAF 和EDC ∆中，===AD DE ADF DECDF CE ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，ΔΔ()DAF EDC SAS ∴≅．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定，熟记平行四边形的判定与性质是解题的关键．。
等腰三角形ppt课件
THANKS
感谢观看
工程绘图
在工程绘图中，等边三角形 可用于表示某些特定的角度 或距离关系，简化绘图过程 。
标志设计
由于等边三角形具有对称性 和稳定性，因此在标志设计 中常被用作基本图形元素， 如交通标志中的警告标志。
数学教育
在数学教育中，等边三角形 常被用作教学工具，帮助学 生理解几何形状、角度和边 长关系等基本概念。
如果一个三角形有两个角相等 ，那么这两个角所对的边也相
等。
等腰三角形性质总结
性质1
等腰三角形的两个底角相等。
性质2
等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高互相 重合，简称“三线合一”。
性质3
等腰三角形的对称轴是底边的 垂直平分线。
性质4
等腰三角形是轴对称图形，只 有一条对称轴。
02 等腰三角形面积 与周长计算
06 课件总结与回顾
关键知识点总结
定义
两边相等的三角形称为等腰三角 形。
性质
等腰三角形的两个底角相等；底 边上的中线、高线和顶角的平分 线三线合一。
关键知识点总结
等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角 对等边）。
推论：三个角都相等的三角形是等边三角形。
特点
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是 底边的垂直平分线。
等腰三角形判定定理
01
02
03
04
边边边定理
如果两个三角形的三边分别相 等，则这两个三角形全等。
边角边定理
如果两个三角形有两边和夹角 分别相等，则这两个三角形全
等。
角边角定理
如果两个三角形有两个角和夹 边分别相等，则这两个三角形
等腰三角形ppt课件
解成基本作图，逐步操作.
感悟新知
知3－练
例6 如图13.3-11， 在△ ABC 中，D 为AC 的中点，DE ⊥
AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求
证：△ ABC 是等腰三角形．
解题秘方：利用“等角对等边”
判定等腰三角形，只需证明三
角形两个内角相等即可.
角的度数，再利用三角形的内角和等于18 0 °
列出方程，求出未知数的值即可.
知2－练
感悟新知
解：设∠ A=x°.
知2－练
∵ AD=DE，∴∠ AED= ∠ A=x°.
∵ DE=EB，∴∠ EBD= ∠ BDE= x°.
∴∠ BDC= ∠ A＋ ∠ EBD= x°.
∵ BC=BD，∴∠ C= ∠ BDC= x°.
∵ AB=AC，∴∠ ABC= ∠ C= x°.
∴ x＋ x＋ x =18 0，解得x =4 5 .∴∠
A=45°.
感悟新知
知2－练
5 -1. [新考向知识情境化中考·衢州]“三等分角”大约是在
公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的
“三等分角仪”能三等分任一角．
感悟新知
知2－练
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
感悟新知
知1－练
1-2.[期末·广州南沙区]若等腰三角形的周长是28 cm，一条
边长为6 cm，则它的腰长为______
11 cm.
感悟新知
知识点 2 等腰三角形的性质
知2－讲
必定是锐角
1. 性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成
2014中考总复习第19讲等腰三角形
②作直线 P Q 交 A B 于点 D , 交 B C 于点 E , 连接 A E . 若 C E = 4, 则 AE= 【答案】 8 .
第二部分
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
8. (2012·荆门) 如图, △A B C 是等边三角形, P 是∠A B C 的平分线 B D 上一点, PE ⊥A B 于点 E , 线段 B P 的垂直平分线交 B C 于点 F , 垂足为点 Q . 若 B F = 2, 则 PE 的长为( A. 2 C. 3 【答案】 C ) B.2 3 D. 3
第二部分
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
知识考点 0 2 等边三角形的性质与判定 等边三角形是特殊的等腰三角形, 因此它不仅具有等腰三角形的一切性质, 而 且还具有一般等腰三角形不具备的特殊性质即: 等边三角形的三边中线、 三边上 的高以及三个内角平分线的交点重合, 且此点到等边三角形的三个顶点的距离 相等、到三边的距离相等、到顶点的距离是到对边中点的距离的 2 倍. 等边三角形的判定方法常用定义进行判定.
第二部分
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
3. 等腰三角形的一个外角是 100°, 其顶角的度数是
.
【解析】 若顶角的外角是 100°, 则顶角是 80°. 若底角的外角是 100°, 则底 角是 80°, 顶角是 20°. 【答案】 80°或 20° 4. (2013·赤峰)在等腰三角形中, 马彪同学做了如下研究: 已知一个角是 60°, 则 另两个角是唯一确定的( 60°, 60°) , 已知一个角是 90°, 则另两个角也是唯一确 定的( 45°, 45°) , 已知一个角是 120°, 则另两个角也是唯一确定的( 30°, 30°) . 由此马彪同学得出结论: 在等腰三角形中, 已知一个角的度数, 则另两个角的度数 也是唯一确定的. 马彪同学的结论是 【答案】 错误 的. ( 填“正确”或“错误”)
中考数学第19讲 等腰三角形与等边三角形
由(1)知 BA＝BC＝BE，
∴∠EAB＝∠AEB.
∴∠BAG＝∠BEF＝∠BCF.
课堂精讲
又∵BA＝BC， ∴△GAB≌△FCB(SAS)． ∴∠GBA＝∠FBC，BG＝BF. ∴∠GBF＝∠GBA＋∠ABF＝∠FBC＋∠ABF＝∠ABC＝120°.
GF ∴BF＝ 3. ∵AE＝5，EF＝CE＝CF＝2，∴GF＝9. ∴BF＝ GF3＝ 93＝3 3.
答案图 ∵∠ADB＝∠EDC， ∴△ABD∽△ECD.∴BDDC＝AEBC. ∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. ∴∠CAD＝∠E.∴AC＝CE.∴BDDC＝AACB.
课堂精讲
例 8 下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后按要求作答： 探究 1：如图 1，在△ABC 中，点 O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线 BO 和 CO 的交点，通过分析发现：∠BOC＝90°＋12∠A.理由如下： ∵BO 和 CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线， ∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠ACB. ∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)． 又∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A， ∴∠1＋∠2＝12(180°－∠A)＝90°－12∠A. ∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－90°－12∠A＝90°＋12∠A.
课堂精讲
考点一 等腰三角形的性质和判定 例1 (1)(2018·成都)等腰三角形的一个底角为50°， 则它的顶角的度数为________． 【答案】80°
课堂精讲
(2)(2018·湖州)如图，AD，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若 AB＝ AC，∠CAD＝20°，则∠ACE 的度数是( )
知识回顾
二、线段的垂直平分线 1．线段垂直平分线定义： 垂直于 一条线段且 平分 这 条线段的直线叫作线段的垂直平分线． 2．性质：线段垂直平分线上的点到 线段两端点 的距离相 等． 3．判定：到一条线段两端点距离相等的点在__这__条__线__段__的___
等腰三角形性质定理(基础)知识讲解
等腰三角形性质定理（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 了解等腰三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识．3. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．4. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图．【要点梳理】要点一、等腰三角形的定义1.等腰三角形有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．2.等腰三角形的作法已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.作法：1.作线段BC=a；2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧，两弧相交于点A;3.连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.3.等腰三角形的对称性(1)等腰三角形是轴对称图形；(2)∠B＝∠C；(3)BD＝CD，AD为底边上的中线.(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线.结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.要点诠释：（1）等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°,等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠.（2）用尺规作图时，画图的痕迹一定要保留，这些痕迹一般是画的轻一些,能看清就可以了，题目中要求作的图要画成实线，最后一定要点题，即“xxx即为所求”.(3) 等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234a.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定，知识要点】要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．推论：等边三角形的各个内角都等于60°.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．2.等腰三角形的性质的作用证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．3.尺规作图：已知底边和底边上的高已知线段a，h（如图）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.作法：1.作线段BC=a.2.作线段BC的垂直平分线l,交BC与点D.3.在直线l上截取DA=h,连接AB,AC.△ABC就是所求作的等腰三角形.【典型例题】类型一、等腰三角形中有关度数的计算题【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例1】1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.【答案与解析】解：∵AB＝AC∴∠B ＝∠C∵AB＝BD∴∠2＝∠3∵∠2＝∠1＋∠C∴∠2＝∠1＋∠B∵∠2＋∠3＋∠B＝180°∴∠B＝180°－2∠2∴∠2＝∠1＋180°－2∠2∴3∠2＝∠1＋180°∵∠1＝30°∴∠2＝70°【总结升华】解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠2＝∠1＋∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C＝∠B，所以把问题转化为△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了.关于角度问题可以通过建立方程进行解决.【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例1练习】举一反三：【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【答案】解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，∴设∠ECD＝∠EDC＝x，∠BCD＝∠BDC＝y，则∠AED＝∠ADE＝2x，∠A＝∠B＝180°－4x在△ABC中，根据三角形内角和得，x＋y＋180°－4x＋180°－4x＝180°①又∵A、D、B在同一直线上，∴2x＋x＋y＝180°②由①，②解得x＝36°∴∠B＝180°－4x＝180°－144°＝36°.类型二、等腰三角形中的分类讨论2、（2016秋•威海期中）在等腰三角形中，已知一个角为40°，那么另两个角的度数是．【思路点拨】由一个等腰三角形内角为40°，分别从40°是等腰三角形顶角与40°是底角的角度去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，故每个底角的度数1140702=⨯︒=︒；(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．∴另两个角为70°，70°或40°，100°．【总结升华】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用，小心别漏解．【高清课堂：389301 等腰三角形的性质及判定：例2（2）】3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【答案与解析】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长1105 2=⨯=．这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．由三角形三边关系可知：两边之和大于第三边，3＋3＜7，故不能构成三角形，应舍去．∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案．举一反三：【变式】计算：（1）一个等腰三角形的一边长为8cm，周长为20cm，求其它两边的长．（2）已知等腰三角形的一边长等于6cm，一边长等于7cm，求它的周长．（3）已知等腰三角形的一边长等于5cm，一边长等于12cm，求它的周长．【答案】解：（1）①底边长为8，则腰长为：（20﹣8）÷2=6，所以另两边的长为6cm，6cm，能构成三角形；②腰长为8，则底边长为：20﹣8×2=4，底边长为8cm，另一个腰长为4cm，能构成三角形．因此另两边长为8cm、4cm或6cm、6cm；（2）①6是腰长时，周长=6+6+7=19；②6是底边时，7是腰，周长=6+7+7=20；综上，它的周长为19或20；（3）分两种情况：当腰为5cm时，5+5＜12，所以不能构成三角形；当腰为12cm时，12+12＞5，12﹣12＜5，所以能构成三角形，周长是：12+12+5=29cm．类型三、等腰三角形的性质及其运用4、如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．【思路点拨】过E作EF∥AB交BC延长线于F，根据等腰三角形的性质及平行线的性质可推出∠F=∠FCE，从而可得到BD=CE=EF，再根据AAS判定△DGB≌△EGF，根据全等三角形的性质即可证得结论．【答案与解析】证明：过E作EF∥AB交BC延长线于F．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵EF∥AB，∴∠F=∠B，∵∠ACB=∠FCE，∴∠F=∠FCE，∴CE=EF，∵BD=CE，∴BD=EF，在△DBG与△GEF中，，∴△DGB≌△EGF（AAS），∴GD=GE．【总结升华】此题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．5、如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD的度数．【思路点拨】（1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°，AB=CA，结合AE=CD，可证明△ABE≌△CAD（SAS）；（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．【答案与解析】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°，在△ABE和△CAD中，AB CABAE CAE CD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABE≌△CAD（SAS）．（2）解：∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．【总结升华】本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等边三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．举一反三：【变式】如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC=120°）绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连接AA1．（1）写出旋转角的度数；（2）求证：∠A1AC=∠C1．【答案】（1）解：∵∠ABC=120°，CBC1=180°-∠ABC=180°-120°=60°，∴旋转角为60°；（2）证明：由题意可知：△ABC≌△A1BC1，∴A1B=AB，∠C=∠C1，由（1）知，∠ABA1=60°，∴△A1AB是等边三角形，∴∠BAA1=60°，∴∠BAA1=∠CBC1，∴AA1∥BC，∴∠A1AC=∠C，∴∠A1AC=∠C1．。
2022中考数学第一部分知识梳理第四单元三角形第19讲全等三角形课件20220623210
理由：∵∠2=∠1+∠E，又∵∠C=∠E，∴∠2=∠1+∠C.
(2)相切.∵点P为半圆O的切点，∴OP⊥CP.
∵OP=1，OC=2，∴∠PCO=30°.∴∠EOD=∠PCO+∠OPC=30°+90°=120°.
∴扇形 =
××
=
.
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2. (2019·河北,23)如图,△ABC和△ADE中,AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°,
∵∠ACB=90°,∴∠EAC+∠ACE=90°,∠BCD+∠ACE=90°,
∴∠EAC=∠BCD.
在△AEC和△CDB中,
∠EAC=∠DCB,
∠AEC=∠BDC，
∵
∴△AEC≌△CDB(AAS),
AC=BC,
∴CE=BD,AE=CD.∵ED=CE+CD,∴ED=AE+BD.
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(2)ED=BD-AE,
①若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,B1C1=B2C2,则△A1B1C1 ≌△A2B2C2;②若∠A1=∠A2,
A1C1=A2C2,B1C1=B2C2,则△A1B1C1≌△A2B2C2.
对于上述的两个结论,下列说法正确的是(
A.①,②都错误
B.①,②都正确
C.①正确,②错误
D.①错误,②正确
A1B1=A2B2,
∠ B 1 = ∠ B 2,
B1C1=B2C2
是否全等
是
判定定理
⑤
是
ASA
是
是
SSS
AAS
⑥
SAS
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续表
类型
第四单元 第十九讲 等腰三角形与直角三角形++++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
过点F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,那么下列结论正确的是 ( C )
①△BDF,△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;
③△ADE的周长为AB+AC;④BD=CE.
A.③④
B.①②
C.①②③
D.②③④
(2)已知△ABC中,AB=AC=4,∠A=60°,则△ABC的周长为________.
股定理求解.
(4)折叠问题中求解线段长度问题,常常将某些条件汇集到一个直角三角形中,再
根据勾股定理列方程求解.
山东3年真题
38
1.(2023·菏泽中考)△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+ 2 − − 3+|c-3 2|=0,
(4)在直角三角形中,若有斜边中点,可考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半.
37
2.勾股定理常见应用与技巧:
(1)已知直角三角形的任意两个边长,可直接利用勾股定理求得第三条边长.
(2)已知三角形的三边长,可运用勾股定理的逆定理确定此三角形是否为直角三角
形.
(3)立体图形表面的最短路径问题,可将立体图形展开,构造直角三角形后利用勾
交AC于点D,如果DE垂直平分BC,那么∠A的度数为
A.31° B.62° C.87° D.93°
(C)
8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识要点
3.直角三角形的性质与判定
互余
直角三角形的两个锐角__________
性
斜边
30°角所对的直角边等于______的一半
质
斜边
直角三角形斜边上的中线等于__________的一半
平方和
勾股定理:直角三角形中两直角边的____________等于斜边的平方
等腰三角形的性质课件
等腰三角形的性质课件一、等腰三角形的定义等腰三角形，又称两边相等的三角形，是指一个三角形中有两边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，这两条相等的边被称为腰，而第三条边被称为底边。
等腰三角形具有许多独特的性质，这些性质在几何学中有着广泛的应用。
二、等腰三角形的性质1.两底角相等在等腰三角形中，两腰所对的角相等，即底角相等。
这一性质可以通过三角形的内角和定理来证明。
设等腰三角形的底角为α，顶角为β，则有：α+α+β=180°化简得：2α+β=180°由于等腰三角形的两腰相等，所以两底角也相等，即：α=α2.顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，称为高线合一。
这一性质可以通过三角形的对称性来证明。
设等腰三角形的顶角为A，底边为BC，底边上的中点为D，则有：AD=BD=DC由于AD垂直于BC，所以AD也是BC的高线。
同时，AD平分顶角A，所以AD也是顶角的平分线。
因此，在等腰三角形中，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
3.对称性等腰三角形具有轴对称性，其对称轴为底边上的中线。
将等腰三角形沿着底边上的中线折叠，两腰和两底角完全重合。
这一性质使得等腰三角形在几何作图中具有很好的应用。
4.面积公式等腰三角形的面积可以通过底边和高的长度来计算。
设等腰三角形的底边为a，高为h，则面积为：面积=1/2ah当已知等腰三角形的底边和顶角时，可以通过三角函数求出高，从而计算面积。
5.角平分线性质在等腰三角形中，角的平分线将对边按照两腰的比例分成两部分。
这一性质可以通过相似三角形的性质来证明。
设等腰三角形的顶角为A，底边为BC，角A的平分线为AD，则有：BD/DC=AB/AC由于AB=AC，所以BD=DC。
因此，在等腰三角形中，角的平分线将对边按照两腰的比例分成两部分。
三、等腰三角形的应用等腰三角形的性质在几何学中有着广泛的应用，如解三角形、几何作图、计算面积等。
专题19等腰三角形、等边三角形、直角三角形(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
2021年中考数学 专题19 等腰、等边三角形、直角三角形（知识点总结+例题讲解）一、等腰三角形及其性质：1.定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰；第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角。
2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)。
①推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边；即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称：三线合一)②推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，顶角可为钝角(或直角)； ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b a ＜；④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°-2∠B ，∠B=∠C=1802A ︒-∠． 3.等腰三角形的判定：等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
（1）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；（3）推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
【例题1】(2020•青海)等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )A ．55°，55°B ．70°，40°或70°，55°C．70°，40°D．55°，55°或70°，40°【答案】D【解析】已知给出了一个内角是70°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论．解：分情况讨论：(1)若等腰三角形的顶角为70°时，底角=(180°-70°)÷2= 55°；(2)若等腰三角形的底角为70°时，顶角=180°-70°×2=40°．故选：D。
等腰三角形ppt课件
B
D
C
AB=AC， BD=CD ，
AD=AD, ∴ △BAD ≌ △CAD (SSS). ∴14∠ B最新=版∠整理Cppt(全等三角形的对应角相等).
作底边的高线
证明：等腰三角形的两个底角相等 A
已知： △ ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C.
证明：
作底边高线AD.
则∠ ADB= ∠ ADC=900
求∠D、∠E、∠DAE的度数 .
A
D
B
C
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解：
E
∵BD=CD ∴∠D=∠DAB ∵ ∠ABC=∠D+∠DAB ∴∠1D_ = ∠ABC=250 2_
∵CE=CA ∴∠E=∠CAE ∵ ∠ACB=∠E+∠CAE ∴∠_1_E= ∠ACB=400 2
∵ ∠DAE+∠E+∠D=1800 ∴∠DAE= 1800-250-400=1150
边上的中线、底边上的高互相重合。
（简称“三线合一”，前提是在同一个 等腰三角形中。）
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课后思考
一次数学课上，老师布置了一道几何证明题，通 过大家的激烈讨论得到了许多种证明方法，聪明的你
们，能找出几种证明方法呢？试试看吧！
如图，已知△ABC中，AB=AC,F在AC上，在 BA的延长线上截取AE=AF,求证：ED⊥BC
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巩固提高
谈谈你的收获！
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轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高
互相重合，简称“三线合 一”
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第19讲 等腰三角形
CF＝5，EF＝CD＝4，∠EFB＝∠C，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴EB
＝EF＝4，∴C△EBF＝EB＋EF＋BF＝4＋4＋5＝13. 5．已知等腰三角形的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是 2.5＜x＜5 __． ____________ 【解析】等腰三角形周长为10，腰长为x，则2x＞5且2x＜10，即2.5 ＜x＜5.
第19讲 等腰三角形
1．了解等腰三角形的概念、等腰三角形的性质定理；底边上的高、中 线及顶角平分线重合． 2．掌握等腰三角形的判定定理，等边三角形的性质定理，以及等边三
角形的判定定理．
3．掌握线段垂直平分线的性质及判定，角平分线的性质及判定． 4．能利用等腰三角形的特性来解决一些简单的实际问题．
等边三角形是一种特殊的等腰三角形 ，利用等边三角形的轴对称性 ， 构造含有30°的直角三角形，来计算解题．
线段的垂直平分线
12 ． (2017·预测 ) 如图 ， 线段 AC 的垂直平分线交线段 AB 于点 D ， ∠ A ＝ 50°，则∠BDC＝( B ) A．50° B．100° C．120° D．130° 【解析】根据线段垂直平分线的性质得到 DA＝DC，根据等腰三角形的 性质得到∠DCA＝∠A，根据三角形的外角的性质计算即可． ∵ DE 是线段 AC 的垂直平分线 ， ∴ DA ＝ DC ， ∴∠ DCA ＝ ∠ A ＝ 50° ， ∴∠BDC＝∠DCA＋∠A＝100°，故选B.
11．(2016·青岛)如图，以边长为20 cm的正三角形纸板的各顶点为端点 ，在各边上分别截取4 cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边 的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线剪掉 ，用 剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，求它的容积．
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第19讲 等腰三角形
考点1 等腰三角形的性质
1．(2019·攀枝花)如图，AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠1＝50°，则∠2的度数是(C) A ．55° B ．60° C ．65° D ．70°
2．(2019·广西北部湾)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠A ＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG 的度数为(C)
A ．40°
B ．45°
C ．50°
D ．60°
3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线．若AB ＝13，AD ＝12，则BC 的长为(B) A ．5 B ．10 C ．20 D ．24
4．(2019·宁夏)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，点D 和E 分别在AB 和AC 上，且AD ＝AE.连接DE ，过点A 的直线GH 与DE 平行．若∠C ＝40°，则∠GAD 的度数为(C)
A ．40°
B ．45°
C ．55°
D ．70°
5．(2019·广安)等腰三角形的两边长分别为6 cm ，13 cm ，其周长为32cm. 6．(2019·兰州)在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，则∠B ＝70°．
7．(2019·毕节)如图，以△ABC 的顶点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 边于点D ，连接AD.若∠B ＝40°，∠C ＝36°，则∠DAC 的大小为34°．
8．(2019·白银)定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若
在等腰△ABC 中，∠A ＝80°，则它的特征值k ＝85或1
4
.
考点2 等腰三角形的判定
9．在△ABC 中，其两个内角的度数如下，则能判定△ABC 为等腰三角形的是(C) A ．∠A ＝40°，∠B ＝50° B ．∠A ＝40°，∠B ＝60° C ．∠A ＝20°，∠B ＝80° D ．∠A ＝40°，∠B ＝80°
10．(2018·桂林)如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，则图中等腰三角形的个数是3.
11．(2019·重庆)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
(2)求证：FB＝FE.
解：(1)∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC.
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°.
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.
∴∠BAD＝90°－36°＝54°.
(2)证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.
∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE.
∴∠FBE＝∠FEB.∴FB＝FE.
考点3等边三角形的性质
12．(2018·福建)如图，在等边△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE 等于(A)
A．15°B．30°C．45°D．60°
13．(2019·镇江)如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D.若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝40°.
14.(人教八上教材P82T7变式题)如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，△BDE是等边三角形．求∠C 的度数．
解：∵△BDE是等边三角形，
∴∠DBE＝60°.
∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°.
∵∠C＝∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，
∴∠EBC ＝∠C －60°. ∵∠EBC ＋∠C ＝90°，即∠C －60°＋∠C ＝90°， ∴∠C ＝75°.
考点4 等边三角形的判定
15．(人教八上教材P82T6变式题)如图，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD ⊥AC ，AE ⊥AB. (1)求∠C 的度数；
(2)求证：△ADE 是等边三角形．
解：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°， ∴∠B ＝∠C ＝30°.
(2)证明：∵∠B ＝∠C ＝30°，AD ⊥AC ，AE ⊥AB ， ∴∠DAC ＝∠EAB ＝90°. ∴∠ADC ＝∠AEB ＝60°.
∴∠ADC ＝∠AEB ＝∠EAD ＝60°. ∴△ADE 是等边三角形．
16．(2019·黄石)如图，在△ABC 中，∠B ＝50°，CD ⊥AB 于点D ，∠BCD 和∠BDC 的平分线相交于点E ，F 为边AC 的中点，CD ＝CF ，则∠ACD ＋∠CED ＝(C)
A ．125°
B ．145°
C ．175°
D ．190°
17．(2019·绥化)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A ＝36°．
18．(2019·齐齐哈尔)在等腰△ABC 中，BD ⊥AC ，垂足为D ，且BD ＝12
AC ，则等腰△ABC 底角的度数为45°，
75°或15°．
19．(2019·哈尔滨)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，∠A ＝60°，点E 为AD 边上一点，连接BD ，CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB.若AB ＝8，CE ＝6，则BC 的长为27．
20．(人教八上教材P93T13变式题)在等边△ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且AE ＝BD. (1)当点E 为AB 的中点时，如图1，求证：EC ＝ED ；
(2)当点E 不是AB 的中点时，如图2，过点E 作EF ∥BC ，求证：△AEF 是等边三角形； (3)在(2)的条件下，EC 与ED 还相等吗？请说明理由．
解：(1)证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠A ＝60°. ∵点E 为AB 的中点，
∴AE ＝EB ＝BD ，∠ECB ＝1
2∠ACB ＝30°.
∴∠EDB ＝∠DEB ＝1
2
∠ABC ＝30°.
∴∠EDB ＝∠ECB.∴EC ＝ED. (2)证明：∵EF ∥BC ， ∴∠AEF ＝∠ABC ＝60°，∠AFE ＝∠ACB ＝60°. ∴∠A ＝∠AEF ＝∠AFE ＝60°. ∴△AEF 为等边三角形． (3)EC ＝ED.
理由：∵△AEF 为等边三角形， ∴AE ＝AF ＝EF ＝BD. ∵∠AFE ＝∠ABC ＝60°， ∴∠EFC ＝∠DBE ＝120°. ∵AB ＝AC ，AE ＝AF ，
∴AB －AE ＝AC －AF ，即BE ＝FC.
在△DBE 和△EFC 中，⎩⎪⎨⎪
⎧DB ＝EF ，
∠DBE ＝∠EFC ，BE ＝FC ，
∴△DBE ≌△EFC(SAS)．
∴ED ＝CE.
21．【关注数学文化】(2019·衢州)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC ＝CD ＝DE ，点D ，E 可在槽中滑动．若∠BDE ＝75°，则∠CDE 的度数是(D)
A ．60°
B ．65°
C ．75°
D ．80°。