概率习题答案3

第三章多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量及其分布

习题1

设(X,Y)的分布律为

X\Y 1 2 3

1 1/6 1/9 1/18

2 1/3a1/9

求a.

分析：

dsfsd1f6d54654646

解答：

由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知

1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,

解得

a=2/9.

习题2(1)

2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：

(1)P{a

解答：

P{a

习题2(2)

2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：

(2)P{0

解答：

P{0

习题2(3)

2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：

(3)P{X>a,Y≤b}.

解答：

P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).

习题3(1)

3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

试求：

(1)P{12

解答：

P{12

P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}

=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}

=14+0+0=14.

习题3(2)

3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

试求：

(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};

解答：

P{1≤X≤2,3≤Y≤4}

=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}

=0+116+0+14=516.

习题3(3)

3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

试求：

(3)F(2,3).

解答：

F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)

=14+0+0+116+14+0=916.

习题4

设X,Y为随机变量，且

P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47,

求P{max{X,Y}≥0}.

解答：

P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0}

=P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}

=47+47-37=57.

习题5

(X,Y)只取下列数值中的值：

(0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)

且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.

解答：

(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：

{X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13,

{X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}

均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表：

解答：

(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.

(2)当x≤0或y≤0时，显然F(x,y)=0;

当x≥1,y≥1时，显然F(x,y)=1;

设0≤x≤1,0≤y≤1,有

F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.

设0≤x≤1,y>1,有

F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.

最后，设x>1,0≤y≤1,有

F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.

函数F(x,y)在平面各区域的表达式

F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>

习题9

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,

求边缘概率密度fY(y).

解答：

fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy

={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它.

fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx

={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它.

习题10

设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.

解答：

区域G的面积A=∫01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为

f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,

从而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1,即

fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它,

fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1,

即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它.

3.2 条件分布与随机变量的独立性

习题1

二维随机变量(X,Y)的分布律为