条件概率与概率的三个基本公式

合集下载

概率公式从基本概率公式到条件概率的推导

概率公式从基本概率公式到条件概率的推导概率是数学中非常重要的一个概念，用来描述某个事件发生的可能性。

概率公式是计算概率的数学工具，从基本概率公式到条件概率的推导，为我们提供了不同场景下求解概率的方法。

本文将介绍概率公式的推导过程以及它们在实际问题中的应用。

一、基本概率公式在概率理论中，我们用P(A)表示事件A发生的概率，该概率在[0, 1]的范围内。

基本概率公式是计算概率的基础，它由事件A发生的可能性与样本空间Ω中所有事件的可能性之比得出。

P(A) = N(A)/N(Ω)其中，N(A)表示事件A发生的结果数，N(Ω)表示样本空间Ω中所有事件的结果数。

举个例子，假设我们有一副标准扑克牌，其中共有52张牌。

如果我们想知道抽到一张黑桃的概率，可以使用基本概率公式来计算。

假设事件A表示抽到一张黑桃，那么N(A) = 13，因为一副扑克牌中有13张黑桃牌。

样本空间Ω中的结果数为N(Ω) = 52，所以P(A) = 13/52 = 1/4 = 0.25。

二、条件概率的定义与公式条件概率是在已知其他相关事件发生的情况下，求解某个事件发生的概率。

条件概率表示为P(A|B)，读作事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。

条件概率的计算方法为：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

举个例子，假设事件A表示抽到一张黑桃，事件B表示抽到一张红桃。

我们想求解在抽到红桃的情况下，抽到黑桃的条件概率。

假设一副扑克牌中有26张红桃牌和13张黑桃牌。

那么P(B) =26/52 = 1/2。

在红桃已经抽出的情况下，剩下的牌中有13张黑桃牌，所以P(A∩B) = 13/52 = 1/4。

根据条件概率的计算公式，我们可以得到P(A|B) = (1/4) / (1/2) = 1/2。

这表示在已知抽到的牌是红桃的情况下，抽到黑桃的概率为1/2。

三、乘法法则与全概率公式乘法法则是计算多个事件同时发生的概率的方法。

概率论中的条件概率与全概率公式

概率论中的条件概率与全概率公式概率论是数学中的一个分支，研究的是随机事件发生的概率及其规律。

在概率论中，条件概率和全概率公式是两个重要的概念和工具，用于计算复杂事件的概率。

本文将详细介绍条件概率与全概率公式的定义和应用。

一、条件概率的定义条件概率是指在某一事件发生的前提下，另一事件发生的概率。

用数学符号表示为P(A|B)，读作“事件B发生的条件下事件A发生的概率”。

条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率， P(B)表示事件B发生的概率。

条件概率的计算可以通过实际观测数据或假设条件来进行推导。

例如，某班有30名男生和20名女生，现从中随机抽取一人，假设该人是男生，求其来自某个特定城市的概率。

根据条件概率的定义，我们有：P(来自某个特定城市|男生) = P(来自某个特定城市∩男生) / P(男生)假设该特定城市的男生人数为10，那么有：P(来自某个特定城市|男生) = 10 / 30 = 1/3二、全概率公式的定义和应用全概率公式是一种计算复杂事件概率的方法，它基于对样本空间的划分和对条件概率的累加。

全概率公式的定义如下：对于事件A，若存在一组互不相容的事件B1，B2，…，Bn，并且它们的并集覆盖了样本空间，即B1∪B2∪…∪Bn = S，则有：P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + … + P(A|Bn)P(Bn)其中，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率，P(Bi)表示事件Bi发生的概率。

全概率公式的应用非常广泛，可以用于解决各种与条件发生相关的概率问题。

例如，在某人可能患有某种疾病的情况下，通过一系列检查可以得到以下信息：检查结果为阳性的人中，有80％实际患有该疾病；检查结果为阴性的人中，有10％实际患有该疾病。

现在假设某人检查结果为阳性，请问他实际上患有该疾病的概率是多少？根据题意，可以将该问题划分为两个互不相容的事件：实际患病（A）和不患病（A'），其中A'表示“不患有该疾病”。

概率论的基本概念与公式

概率论的基本概念与公式概率论是数学中的一个重要分支，研究事件发生的可能性和规律。

本文将介绍概率论的基本概念与公式，包括样本空间、事件、概率、概率分布等内容。

一、样本空间在概率论中，样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。

用S表示样本空间。

例如，掷一枚硬币的样本空间为S={正面，反面}。

二、事件事件是样本空间的子集，表示某一特定结果或结果的集合。

常用大写字母A、B、C等表示事件。

发生事件A的条件是实验结果属于事件A。

三、概率概率是对随机事件发生可能性的数值度量，用P(A)表示事件A的概率。

概率的取值范围介于0和1之间，即0≤P(A)≤1。

当P(A)=0时，表示事件A不可能发生；当P(A)=1时，表示事件A必然发生。

四、概率公式1.加法公式加法公式用于计算两个事件A和B的并集事件。

若A和B是互不相容的事件，则有：P(A∪B) = P(A) + P(B)2.乘法公式乘法公式用于计算两个事件A和B同时发生的概率。

若A和B是相互独立的事件，则有：P(A∩B) = P(A) * P(B)3.条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

条件概率用P(A|B)表示，读作“在B发生的条件下A发生的概率”。

计算条件概率的公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)4.全概率公式全概率公式用于计算一个事件A的概率，通过已知与A有关的多个条件事件的概率来确定。

全概率公式的公式为：P(A) = P(A|Bi) * P(Bi)，其中i表示条件事件的个数，Bi表示条件事件。

五、概率分布概率分布是指随机变量的所有可能取值及其对应的概率。

常见的概率分布包括离散概率分布和连续概率分布。

离散概率分布适用于随机变量的取值为一系列离散值的情况，如二项分布、泊松分布等；连续概率分布适用于随机变量的取值为连续范围内的情况，如正态分布、指数分布等。

六、期望与方差期望是随机变量的预期值，表示随机变量取值的平均水平。

条件概率与概率的三个基本公式

球”，则事件 A “第一次取到黑球”，事件 B “第二次取到黑球”．（1）法一已知第一次取到白球，那么袋中剩 4 个球，其中 2 个
白球， 2 个黑球，则已知第一次取到白球的条件下，第二次取到的是黑
球的概率为
P(B |
A)
2
1
．
42
法二由古典概率知 P( A) 3 ， P( AB) P31 P21 3 .
注意 ① P(B) 表示“事件 B 发生”的概率，计算时，是
在整个样本空间上考察事件 B 发生的概率；②而 P(B | A)
为已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，计算时，实际上仅限于在事件 A 发生的范围内，来考察事件 B 的概率．一般地， P(B | A) P(B) ．
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
条件概率是概率论的基本概念之一，同时又是计算概率的重要工具．概率的三个基本公式（乘法公式、全概率公式
和贝叶斯 (Bayes) 公式）都建立在条件概率的概念之上．本
节重要学习以下内容：一、条件概率
二、乘法公式
三、全概率公式
四、贝叶斯（Bayes）公式
第一章随机事件与概率 1
3 这是因为事件 A 的发生，排除了 bb 发生的可能性，这时样本空间也随之缩小为 A ，而在 A 中事件 B 只含 2 个样本点，故 P(B | A) 2 ．事实上，以上条件概率还可写成
3 P(B | A) 2 2 / 4 P( AB) ． 3 3 / 4 P( A)
公式（1.5）和（1.6）都称为两个事件积的概率的乘法公式．这两个乘法公式还可推广到有限个事件积的概率的情形：
设 A1, A2 , , An 是任意 n 个事件，且 P( A1A2 An ) 0 ，则 P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 ) . P( An | A1A2 An1)

条件概率,全概率公式,贝叶斯公式

条件概率
在实际问题中经常考虑在一个事件发生的前提下另一个事件发生的概率，这样就引入了条件概率的概念。条件概率中同时考虑了两个事件， A与B．在B发生的前提下考虑A发生的可能性的大小。用记号P（A|B）表示。合理的看法是P（A|B）与P（AB）成正比：用公式表达如下 P（A/B）， P（A/B）=kP（AB）因为P（B/B）=1=kP（BB）=kP（B）所以k=1/P（B）得到P（A/B）= 当然有P（B）>0. 上面作为条件概率的定义。容易证明，条件概率也满足概率定义中三条公理所以条件概率也是概率。条件概率的运算规律与、普通概率完全一样。特别有：例1．4．2 设一批产品中一，二，三等品各占 60%，30%，10%。从中随意抽取一件，发现不是三等品，求此产品不是一等品的概率。解：设Ai表示“取出的产品是i等品“，i=1， 2，3，则：
例.1.4.4。解:
全概率公式与贝叶斯公式.
全概率公式是一个计算复杂事件的概率的公式:
其基本想法是样本空间的划分的概念. ,
全概率公式可以理解为各个条件概率的一种平均值。（加权平均，权重为各种可能的可能性大小）。
贝叶斯公式：是一个计算复杂的条件概率的公式：
注意到上式的特点，贝叶斯公式也叫逆概公式。
通常条件概率不是通过定义计算的。而是用其它方法计算（或者是直接给出）。其中一种常用的方法是缩减样本空间。
乘法公式： P（AB）=P（A/B）P（Bபைடு நூலகம்=P（B/A）P（A）
使用乘法公式的注意事项： 1．先发生的当条件 2．简单的当条件 3．用问题中已经知道（或者容易计算的）的为条件。
例1．4．3 已知P（A）=0.6,P(C)=0.2,P(AC)=0.1, P(B|)=0.7,A,求解:

条件概率及全概率公式

? 解: 设A={掷出点数之和不小于10}
B={第一颗掷出6点}
应用定义
解法1:
P(A|
B)
P(AB) P(B)
3 6
36 36
1 2
解法2: P(A|B)31 62
在B发生后的缩减样本空间中计算
.
例2 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为 0.8，活到25岁以上的概率为0.4。如果现在有一个20 岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？
(2)
A 1A 2 A n . B=B1A B2A BnA
则称
A1, A2,An
为样本空间 Ω的一个划分。 BA1 BA2 …... BAn
A1 A2 …... An
Ω
.
1.全概率公式: 定理1.2
设 A1,A2,…,An 是两两互斥的事件，且
PA(1A, Ai)2>,0…，,Ai n=之1,一2,…同,时n, 发另生有，一即事件B B,n它A总i ，是与
综合运用
加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
.
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
例1 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3 号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.
解：记 Ai={球取自i号箱},
.
多个事件的乘法公式
设A1，A2，，An为n个随机事件，且
PA 1A 2 A n 1 0
则有
P A 1A 2 A n P A 1 P A 2A 1 P A 3A 1 A 2P A nA 1 A 2 A n 1

§14_条件概率与概率的三个基本公式

§14_条件概率与概率的三个基本公式条件概率和概率的三个基本公式是概率论中非常重要的概念和公式。

条件概率指的是在一些条件下事件发生的概率，而概率则是指事件发生的可能性。

三个基本公式分别是全概率公式、贝叶斯公式和乘法规则。

下面将详细介绍这三个公式。

一、全概率公式：全概率公式是概率论中最基本也是最重要的公式之一、它用于计算一个事件在多个互斥且完备的情况下发生的概率。

它的数学表示如下：P(A)=P(A，B1)P(B1)+P(A，B2)P(B2)+...+P(A，Bn)P(Bn)其中，P(A)表示事件A发生的概率，B1,B2,...Bn是一组互斥且完备的事件，P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A，Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率。

这个公式的直观理解是将事件A分解成多个情况下事件A发生的概率之和。

二、贝叶斯公式：贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯提出的。

它是用于更新事件发生概率的一种方法。

贝叶斯公式的数学表示如下：P(B，A)=P(A，B)P(B)/P(A)其中，P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率，P(A，B)表示在事件B已经发生的条件下事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。

贝叶斯公式的直观理解是根据已知的信息来更新我们对事件发生概率的估计。

三、乘法规则：乘法规则是概率论中计算一个复合事件发生概率的一个基本公式。

它是由条件概率推导而来的。

乘法规则的数学表示如下：P(A∩B)=P(A，B)P(B)=P(B，A)P(A)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。

乘法规则的直观理解是用事件B发生的概率乘以在事件B发生的条件下事件A发生的概率来计算事件A与事件B同时发生的概率。

高中数学公式大全概率与条件概率的计算公式

高中数学公式大全概率与条件概率的计算公式高中数学公式大全：概率与条件概率的计算公式数学中的概率和条件概率是高中数学中较为重要的概念，在各类数学问题中都有广泛的应用。

为了更好地理解和应用概率与条件概率，掌握相关的计算公式是必不可少的。

本文将为您全面介绍高中数学中概率与条件概率的计算公式，帮助您更好地学习和运用这一重要的数学知识。

一、概率的计算公式1.基本概率公式：在随机试验中，若S是随机试验的样本空间，E是S的某个事件，P(E)表示事件E发生的概率，则基本概率公式如下：P(E) = n(E) / n(S)其中，n(E)表示事件E的样本点个数，n(S)表示样本空间的样本点个数。

2.加法公式：若事件A与事件B互不相容（即A与B不同时发生），则加法公式如下：P(AUB) = P(A) + P(B)3.减法公式：若事件A发生，则事件B的非发生记作A-B，减法公式如下： P(A-B) = P(A) - P(A∩B)4.乘法公式：若事件A与事件B相继发生，则乘法公式如下：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

5.全概率公式：对于一事件B，若B能由有限个互不相容的事件A1、A2、...、An组成，并且B=A1∪A2∪...∪An，则全概率公式如下： P(B) = P(A1)×P(B|A1) + P(A2)×P(B|A2) + ... + P(An)×P(B|An)二、条件概率的计算公式1.条件概率公式：在随机试验中，设A，B是两个事件，且P(A) > 0，则事件B在事件A发生的条件下发生的概率用条件概率表示为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)2.独立事件的条件概率：若事件A与事件B相互独立，则条件概率公式如下：P(B|A) = P(B)3.乘法公式（条件概率的推广）：若事件A、B同时发生的概率用条件概率表示为：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)4.贝叶斯定理：在全概率公式的基础上，根据条件概率的定义，可以推导出贝叶斯定理：P(A|B) = P(A) × P(B|A) / [P(A) × P(B|A) + P(A') × P(B|A')]三、总结通过学习和掌握上述概率与条件概率的计算公式，我们能够更好地理解和应用概率与条件概率的相关概念。

事件的条件概率和三个基本公式

2 2 4 P( AB ) . P( A B) 3 34 P( B )
3
条件概率的计算公式规定如下：
P( AB ) (P( B) 0) P( A B ) P( B )
例设袋中有7个黑球，3个白球，非还原摸取两次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率。若改为还原摸取，结果如何？解设A,B分别表示第一、二次摸到白球,则
一件甲厂、乙厂、丙厂的产品；
P( A) P( AB1 ) P( AB2 ) P( AB3 )
P( B1 )P( A B1 ) P( B2 )P( A B2 ) P( B3 )P( A B3 )
0.3 0.03 0.2 0.03 0.5 0.01 0.02 .
P( Ω B) 1 ；
(3) 可列可加性设 A1 ,, An 是两两不相容的事件，则
P Ai B P( Ai B) i 1 i 1
并由此推出条件概率的其它性质：
(4) P(Ø B) 0 ；
(5) P( A B) 1 P( A B) ;
13
定义
若事件组 B1 , B2 ,, Bn 满足以下两个条件：
(1) B1 , B2 ,, Bn 两两不相容 (即每次至多发生其中一个)
( 2 ) B1 B2 Bn Ω (即每次至少发生其中一个)
则称 B1 , B2 ,, Bn 为一个完备事件组 .
在上面例1中，如买到一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到贝叶斯公式. 在全概率公式的假定下，有
P( ABk ) P( Bk A) P( A)
P( Bk )P( A Bk )

概率论基本公式

概率论与数理统计基本公式第一部分概率论基本公式1、A _B =A B=A_AB; A 一 B =.A (B _A)2、对偶率：A B 二A B；A ' B = A. B.3、概率性率：P(A-B) = P(A)-P(AB),特别，BUA 时有：P(A _B) = P(A) _ P(B); P(A) K P(B)4、古典概型5、条件概率例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，(1)求取得红球的概率；(2)如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？解:(1)设B i =｛球取自i号罐｝, i =1,2,3。

(2)伯努利概型如果随机试验只有两种可能结果：事件A发生或事件A不发生，则称为伯努利试验，即：P(A)=p, P(A) =1 -p =q (0<pv1,p+q=1)相同条件独立重复n次，称之为n重伯努利试验，简称伯努利概型。

伯努利定理：b(Kn,p) =C：p k(1-p)n* (k=0,1,2 ……)k—1事件A首次发生概率为：P(1 - p)例：设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，(1)进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；(2)进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。

第二章7、常用离散型分布(1)两点分布：若一个随机变量X只有两个可能的取值，且其分布为：P｛X =X1^ p; P｛X =X2｝ =1-p (0<p<1)则称X服从X1、X2处参数为p的两点分布。

条件概率有关条件概率的三个重要计算公式

第二周条件概率和独立性2.2条件概率有关条件概率的三个重要计算公式上一讲中我们引入了条件概率，有了这一概念，我们对事件的表达就有了更丰富的工具。

下面我们就希望能够有效地计算条件概率，得到我们想要的概率结果。

对于条件概率而言呢，主要有三个计算公式，分别是乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。

这三个计算公式的应用贯穿概率论的始终，是非常基本和重要的计算工具。

下面我们看第一个乘法公式。

*********************************************************乘法公式（1）设B A ,是两个事件，()0>B P ，则()()()B A P B P AB P |=证明：()()()()()()||P AB P A B P AB P B P A B P B =⇒=（2）设n A A A ,,,21 为n 个事件，且()0121>-n A A A P ，则()()()()()12121312121|||-⋅⋅=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P 。

证明：数学归纳法，设()()()()111211||-⋅⋅=k k k A A A P A A P A P A A P ，()()()1112112|k k k kP A A P A A A P A A A A ++=⋅ ()()()121112||.k k P A P A A P A A A A +=⋅⋅ 直接验证：()()()()121312121|||n n P A P A A P A A A P A A A A -⋅⋅ ()()()()()()()12312121112121n n P A A A P A A A P A A P A P A P A A P A A A -= ()12.n P A A A =*********************************************************例2.2.1设箱子内有a 个白球，b 个黑球，在其中不放回地连取3次，问前2次取到白球而第3次取到黑球的概率。

概率的计算方法

概率的计算方法概率是数学中的一个重要概念，用于描述事件发生的可能性。

在统计学、经济学、生物学等领域中，概率计算是非常常见和关键的技巧。

本文将介绍一些常用的概率计算方法，以帮助读者更好地理解和应用概率概念。

一、基本概率计算法基本概率计算法是概率计算的基石，通常由两部分组成：事件的可能数和总的可能数。

事件的可能数指的是满足某一特定条件的结果个数，总的可能数指的是所有可能结果的个数。

通过计算事件的可能数与总的可能数的比值，即可得到概率的估计。

例如，求一副扑克牌中从中抽出一张牌的概率。

首先，我们需要确定事件的可能数。

一副扑克牌中共有52张牌，因此抽取一张牌的可能数为52。

接下来，我们需要确定总的可能数，即一副扑克牌中所有抽取1张牌的可能数，也是52。

因此，这个事件的概率为1/52。

二、条件概率计算法条件概率计算法是指在已知某一条件下，事件发生的概率。

条件概率计算通常涉及到条件事件和事件的交集。

条件事件指的是事件A在事件B已经发生的条件下发生的概率。

它的计算方法是计算事件A与事件B的交集的大小除以事件B的大小。

例如，在一个班级中，有30%的学生是女生，而其中有20%的女生戴眼镜。

要求计算一个随机选到的戴眼镜的学生也是女生的概率。

首先，我们需要计算戴眼镜的女生的个数，即将30%与20%的交集乘以总人数。

然后，我们计算所有戴眼镜的学生的个数，将其除以总人数。

最后，将两个数量相除，即可得到概率的估计。

三、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率计算中的重要工具，用于计算一个事件在另一个已经发生的事件下的条件概率。

贝叶斯定理的公式为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。

贝叶斯定理在概率计算中有着广泛的应用，包括医学诊断、搜索引擎优化等。

四、排列组合排列和组合是概率计算中常用的方法，用于计算各种可能性的数量。

第三节事件的条件概率和三个基本公式

第三节事件的条件概率和三个基本公式在概率论中，事件的条件概率是指在给定另一个事件发生的前提下，其中一事件发生的概率。

条件概率可以用来描述两个事件之间的相关性和依赖关系。

而条件概率的计算可以通过使用三个基本公式：乘法规则、加法规则和全概率公式。

1.乘法规则：乘法规则是最基本的计算条件概率的方法，它描述了两个事件同时发生的概率。

设A和B是两个事件，则A与B的交集（同时发生）的概率可以表示为P(A∩B)。

而A与B同时发生的概率可以表示为事件A发生的概率P(A)乘以事件B在前提A发生的条件下发生的概率P(B，A)，可以表示为：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)2.加法规则：加法规则用于计算两个事件中至少一个事件发生的概率。

设A和B是两个事件，则A与B的并集（至少一个事件发生）的概率可以表示为P(A∪B)。

而A与B同时发生的概率可以表示为事件A发生的概率P(A)加上事件B发生的概率P(B)，再减去事件A与B同时发生的概率P(A∩B)，可以表示为：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)3.全概率公式：全概率公式用于计算一个事件在多个互斥事件发生情况下的总概率。

设A是一个事件，B1、B2、B3...是事件的一个划分（互斥且完备），则事件A发生的概率可以表示为每个事件Bi发生的概率P(Bi)与事件A在条件Bi下发生的概率P(A，Bi)的乘积之和，可以表示为：P(A)=P(B1)*P(A，B1)+P(B2)*P(A，B2)+P(B3)*P(A，B3)+...通过以上三个基本公式，可以在给定条件下计算事件发生的概率，进而用于推断和分析各种实际问题。

例如，假设有一批产品中有10%的次品，其中80%的次品是由机器A 生产的，20%的次品是由机器B生产的。

现在从产品中随机选择了一个并发现是次品，问这个次品是由机器A生产的概率是多少？解答：设事件A表示选择次品，事件B1表示次品由机器A生产，事件B2表示次品由机器B生产。

条件概率和全概率公式

高二第11讲条件概率和全概率公式【知识要点】1．事件A 与事件B 互斥：()()()P A B P A P B +=+2．事件A 与事件B 对立：()()()1P A B P A P B +=+=3．事件A 与事件B 相互独立：()()()P AB P A P B =4．条件概率：在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率()(/)()P AB P B A P A =；5．全概率公式：设12,n A A A ⋅⋅⋅，,为一组两两互斥的事件，12n A A A ⋃⋃⋅⋅⋅⋃=Ω，且()0i P A >，(1,2,,i n =⋅⋅⋅)，则对任意事件B ⊆Ω，有1()()()ni i i P B P A P B A ==∑；6．若事件12,,,n A A A ⋅⋅⋅彼此互斥，它们至少有一个发生的概率1212()()()()n n P A A A P A P A P A ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+.【古典概型】1．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为（）1313. . . . 771414A B C D 2．某路公交在某段路上有4个站点(如图)，分别记为0123,,,A A A A ，现有甲、乙两人同时从0A 站点上车，且他们中的每个人在站点i A (1,2,3i =)下车是等可能的，则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为()2331. . . . 3452A B C D 3．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连，不管人的顺序），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（）1111. . . . 102040120A B C D 4．如图，电路从A 到B 上共连接着6个灯泡，每个灯泡断路的概率是13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是()1044810040. . . . 2772924381A B C D【条件概率】5．从装有2个白球和2个黑球的口袋中任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）.A “至少有一个黑球”和“都是黑球”.B “至少有一个黑球”与“至少有一个白球”.C “恰好有一个黑球”和“恰好有两个黑球”..D “至少有一个黑球”和“都是白球”6．（2021新高考1卷8）有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为7”，则（）.A 甲与丙相互独立.B 甲与丁相互独立..C 乙与丙相互独立.D 丙与丁相互独立7．（多选题）设,A B 是两个随机事件，则正确的是（）.A 若,A B 是互斥事件，1()3P A =，1()2P B =，则1()6P A B ⋃=.B 若,A B 是对立事件，则()1P A B ⋃=..C 若,A B 是独立事件，1()3P A =，2()3P B =，则1()9P AB =..D 若1(3P A =，1(4P B =，则1()4P AB =，则,A B 是独立事件.8．根据历年气象统计资料，某市5月份吹南风的概率是1031，下雨的概率是1231，既吹南风又下雨的概率是731，则在吹南风的条件下，下雨的概率是()57710. . . . 6101231A B C D 9．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6六个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，记事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“,x y 中有偶数且x y ≠”，则概率(/)P B A =()1112. . . . 2345A B C D10．某篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为34，若他前一球没投进则后一球投进的概率为14，若他第一球投进的概率为34，则他第二球投进的概率为()3579. . . . 481616A B C D 11．已知事件,,A B C 相互独立，()()()P A P B P C ==，26()27P A B C ⋃⋃=，则()P A =；12．盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是；13．人群中患肺癌的概率是0.1%，在人群中有15%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.5%，则不吸烟者中患肺癌的概率是；（用分数表示）（202304湖南名校联盟13）14．证明：(|)(|)(|)(|)(|)(|)(|)(|)P B A P B A P A B P A B P B A P A B P A B P B A ⋅=⋅ ；（2022高考卷20（2））15．在三棱锥A BCD -中，, BCD ACD ∆∆都是边长为2的正三角形，侧棱3AB =，对其四个顶点随机贴上写有数字1—8的8个标签中的4个，记对应的标号为()f η，（η的取值为,,,A B C D ），E 为侧棱AB 上一点。

概率统计公式大全汇总

概率统计公式大全汇总1.基本概率公式：P(A)=n(A)/n(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本点数，n(S)表示样本空间的样本点数。

2.条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B的概率。

3.乘法公式：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)表示事件A的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

4.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)其中，P(A∪B)表示事件A和事件B至少有一个发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

5.贝叶斯公式：P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)其中，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B)和P(A)分别表示事件B和事件A的概率。

6.期望值公式：E(X)=∑(x*P(X=x))其中，E(X)表示随机变量X的期望值，x表示X的取值，P(X=x)表示X取值为x的概率。

7.方差公式：Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2其中，Var(X)表示随机变量X的方差，E[X^2]表示X的平方的期望值，E[X]表示X的期望值。

8.标准差公式：SD(X) = √Var(X)其中，SD(X)表示随机变量X的标准差，Var(X)表示X的方差。

9.二项分布概率公式：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示X取值为k的概率，C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数，p表示每个元素成功的概率，n表示试验次数。

10.正态分布概率公式：P(X≤x)=Φ((x-μ)/σ)其中，P(X≤x)表示X小于或等于x的概率，Φ表示标准正态分布的累积分布函数，μ表示正态分布的均值，σ表示正态分布的标准差。

高等数学概率的基本公式

=0.3*0.9/0.97=0.278
返回
例题2
甲.乙.丙三人能破译某密码的概率分别为 1 , 1 , 1 .问密码能被破译出来的概率.
534
解: P(A B C) 1 P(A B C)
1 P(ABC)
1 P(A)P(B)P(C)
1 4 2 3 3 534 5
例题3 (见142页例6-18)
例题1
甲打中的概率为0.7,乙打中的概率为0.9。设A=｛甲打中｝；B=｛乙打中｝，则:
P(A)=0.7; P(B)=0.9 1.甲乙两人都打中的概率为:
P(AB)=P(A)P(B)=0.7*0.9=0.63 2.目标被打中的概率为:
P(A+B)=1-(1-0.7)(1-0.9)=0.97
3.P(甲脱靶/目标击中) P(A/( A B)) P(A)P(B) P(A B)
i 1
返回
证明:
B
A1 A2 … Ai … An
P(B) P(BU ) P(B( A1 A2 An )) P( A1B A2B AnB) P( A1B) P( A2B) P( AnB)
P(A1)P(B A1) P(An )P(B An )
n
P(Ai )P(B Ai )
i 1
解：P(恰好1只白球)=P(A)
C C C = 1 1 / 2 0.2032
4
32
36
P(恰好2只白球)=P(B)
C C = 2 2 0.0095
4
36
P(至少1只白球)=P(A+B) =P(A)+P(B)
解法2:
=0.2032+0.0095 =0.2127
C C P(D) 1 P(D) 1 2 32

条件概率与全概率公式

条件概率与全概率公式
条件概率和全概率公式是概率论中的两个重要概念，也是解决实际问题时常用的工具。

条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率；全概率公式则是用来计算某一事件发生的总概率，其中考虑了所有可能的情况。

条件概率的计算方法是根据贝叶斯定理得出的，公式为：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A
发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表
示事件B发生的概率。

全概率公式的计算方法是将一个事件分解为若干个互不相交的
子事件，然后分别计算这些子事件的概率，再将它们相加得到总概率。

全概率公式的表达式为：P(A) = ∑[P(A|B_i)×P(B_i)]，其中B_i
表示事件A的所有可能的子事件，P(A|B_i)表示在B_i发生的条件下，事件A发生的概率，P(B_i)表示B_i发生的概率。

条件概率和全概率公式在实际应用中经常用于解决复杂问题，如在医学诊断中，通过已知的临床表现和检验结果，利用条件概率计算某种疾病的概率；在市场调查中，通过对各种因素的分析，利用全概率公式计算某产品销售的总概率等。

熟练掌握条件概率和全概率公式，对于解决实际问题具有重要的意义。

- 1 -。

条件概率和全概率公式

条件概率和全概率公式条件概率和全概率公式是统计学中常用的数学工具，可以用来分析概率相关的问题，以及用来解决实际的问题。

它们的概念可以追溯到17世纪的概率学家贝尔特，及18世纪初的概率研究者克劳德拉文克。

条件概率公式和全概率公式都是随机变量之间必不可少的联系，它们是从概率分布函数相关的概念中发展出来的重要工具，用于计算不同的概率。

条件概率是指在某一特定条件下的概率。

它可以定义为一个事件A的发生概率，在另一个事件B发生的条件下。

举例来说，抛硬币的事件A的条件概率，当知道另一次抛硬币时的结果B后，就可以用以下公式计算：P（A|B）= P（A∩B）/ P（B）。

全概率是指一组事件中任一事件发生的概率。

当两个或更多个事件独立且完全相互排斥时，全概率可以用另一种简单的公式计算：P （A）= P（A1）+ P（A2）+ P（A3）+…+ P（An）。

条件概率和全概率都是基于数学原理的概率分析方法，可以用来解决实际问题。

在实际情况中，条件概率和全概率的计算能够帮助我们更好地理解概率的性质，把握概率关联的普遍规律以及分析不同事件之间的联系。

比如，可以利用条件概率和全概率来分析自然灾害的可能性，并做出合理的预测：当某一条件满足时，某种自然灾害的发生概率增大；当各个条件都满足时，可以用全概率公式计算出自然灾害发生的整体概率，做出更准确的预测。

另外，条件概率和全概率还可以用于医学领域，比如某一种疾病的发病率，或在某种特定的环境下某些药物的效果，都可以用这两种公式来计算。

随着医疗技术的发展，条件概率和全概率在诊断和治疗疾病方面也发挥着重要作用。

条件概率和全概率公式，是用来解决各种概率问题的重要工具，它们可以帮助我们更好地分析与概率相关的模式，以及把握不同事件之间的联系。

因此，从经济、社会到自然科学各个领域，条件概率和全概率公式的应用都越来越普遍，它们的作用越来越显著。