北京版-数学-九年级上册- 圆周角综合练习

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北京课改版九年级数学上册 21.4.1 《圆周角定理》同步练习(含答案)

北京课改版九年级上册21.4.1 圆周角定理同步练习一．选择题（共10小题，3*10=30）1．下列图形中，∠BAC是圆周角的是( )2．如图，已知点A，B，C在⊙O上，ACB为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是( ) A．2∠C B．4∠BC．4∠A D．∠B＋∠C3．如图，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC的大小是( )A．30° B．45°C．60° D．70°4. 如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是( )A．25° B．27.5° C．30° D．35°5．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF＝20°，则∠EOD等于( ) A．10° B．20° C．40° D．80°6. 如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝66°，则∠OCB的度数是( )A．24° B．28° C．33° D．48°7. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于( )333A．4B．6C．2D．88．如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA的度数是( )A．64° B．58° C．32° D．26°9. 如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB ，交⊙O 于点C ，连接OA ，OB ，BC ，若∠ABC ＝20°，则∠AOB 的度数是( )A ．40°B ．50°C ．70°D ．80°10．如图，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC ＝50°，则∠OAB 的度数为()A ．25°B ．50°C ．60°D ．30°二．填空题（共8小题，3*8=24）11.如图，图中的圆周角有_______个，分别是 ________________________________,．12．如图所示，AB 是⊙O 的直径，C ，D ，E 三点在⊙O 上，则∠1＋∠2＝__ __度．13．如图，已知A ，B ，C 三点都在⊙O 上，∠AOB ＝60°，则∠ACB ＝________．14．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，P 是上任意一点，则AD ︵ ∠ABP ＋∠DCP ＝_______．15. 如图，在⊙O 中，点A ，C ，B 在⊙O 上，且∠AOB ＝100°，则圆周角∠ACB ＝________．16. 如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OC 垂直AB ，点D 是⊙O 上一点，且点D 与点C 位于弦AB 两侧，连接AD ，CD ，OB ，若∠BOC ＝70°，则∠ADC ＝_________度．17．如图，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD ＝35°，则∠B ＋∠E ＝_________°.18．如图，在半径为6 cm 的⊙O 中，点A 是劣弧的中点，点D 是优弧上一点，且BC ︵ BC ︵ ∠D ＝30°，下列四个结论：①OA ⊥BC ；②BC ＝6 cm ；③sin ∠AOB ＝；④四边形ABOC 是菱形．332其中正确结论的序号是______________.三．解答题（共7小题，46分）19. (6分) 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC ＝AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？20. (6分) 如图，⊙O 的弦AB ，CD 的延长线相交于点M ，若所对的圆心角为72°，AC ︵所对的圆心角为18°.BD ︵求∠M ＋∠AEC 的值．21. (6分) 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC ＝BC ＝DC.(1)若∠CBD ＝39°，求∠BAD 的度数；(2)求证：∠1＝∠2.22．(6分) 如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC ＝BD ，连结AC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E.(1)求证：AB ＝AC ；(2)若⊙O 的半径为4，∠BAC ＝60°，求DE 的长．23. (6分) 如图，BC 是⊙O 的弦，A 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于D ，且BD ＝1，∠A ＝60°，求BC 的长及⊙O 的半径．24. (8分) 如图，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是的中点．AB ︵ (1)求证：AB 平分∠OAC ；(2)延长OA至P，使OA＝AP，连接PC，若⊙O的半径R＝1，求PC的长．25. (8分) 如图①，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB，AC于D，E.(1)求证：△ODE是等边三角形；(2)如图②，若∠A＝60°，AB≠AC，则(1)中的结论是否成立？如果成立，请说明理由．参考答案1-5AACDC 6-10AADDA11. 4，∠A，∠B，∠C，∠ADC12. 9013. 30°14. 45°15. 130°16. 3517. 21518．①②③④19. 解：BD＝CD.理由：连结AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∵AC＝AB，∴BD＝CD.20. 解：根据题意得∠A＝∠C＝9°，∠ABC＝36°.∵∠AEC＝∠A＋∠ABC，∴∠AEC＝9°＋36°＝45°.又∵∠ABC＝∠C＋∠M，∴∠M＝∠ABC－∠C＝36°－9°＝27°，∴∠M＋∠AEC＝27°＋45°＝72°21. 解：(1)∵BC＝DC，∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD，又∵∠CBD ＝39°，∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ，∴∠BAD ＝78°　(2)∵BC ＝EC ，∴∠CBE ＝∠BEC ，又∠CBE ＝∠1＋∠CBD ，∠BEC ＝∠2＋∠BAC ，由(1)得∠BAC ＝∠CBD ，∴∠1＝∠222. 解：(1)证明：如答图，连结AD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵DC ＝BD ，∴AB ＝AC.(2)∵∠BAC ＝60°，又由(1)知AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．又∵DC ＝BD ，∴DC ＝BD ＝4.又∵DE ⊥AC ，∴∠CDE ＝30°，CE ＝2，∴DE ＝2.323. 解：如图，连结BO ，CO.∵BC 是⊙O 的弦，OD ⊥BC 于D ，∴CD ＝BD ＝1，∴BC ＝BD ＋CD ＝2.∵∠A ＝60°，∴∠BOC ＝120°.∵BC 是⊙O 的弦，A 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于D ，∴BD ＝CD ，∠BOD ＝∠COD ＝60°，∠OBD ＝30°，在Rt △BOD 中，BD ＝1，BO ＝.233即⊙O 的半径为.23324. 解：(1)连接OC ，∵∠AOB ＝120°，C 是的中点，AB ︵ ∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°，∵OA ＝OC ，∴△ACO 是等边三角形，∴OA ＝AC ，同理OB ＝BC ，∴OA ＝AC ＝BC ＝OB ，∴四边形AOBC 是菱形，∴AB 平分∠OAC (2)连接OC ，∵C 是的中点，由(1)知AC ＝AO ，∴AP ＝AC ，AB ︵ ∴∠APC ＝30°，∴△OPC 是直角三角形，∴PC ＝OC ＝3325. 解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，∵OB=OD,OE=OC ，∴∠B ＝∠ODB ＝60°，∠C ＝∠OEC ＝60°∴△BOD 与△COE 均为等边三角形，∴∠DOE ＝60°，又OD ＝OE ，∴△ODE 是等边三角形　(2)(1)中结论仍然成立，理由如下：连结DC ，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC ＝90°，又∠A ＝60°，∴∠DCE ＝30°，∴∠DOE ＝2∠DCE ＝60°，又OD ＝OE ，∴△ODE 是等边三角形。

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合题(含答案)

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合题1．如图，在⊙ O中，弦AC，BD相交于点M，且∠OAC=∠OBD．（1）求证：AC=BD；（2）若OA=4，∠OAC=30°，当AC⊥BD时，求：①图中阴影部分面积．②弧CD的长．2．已知⊙O中，弦AB＝AC，⊙BAC＝120°（1）如图①，若AB＝3，求⊙O的半径．（2）如图②，点P是⊙BAC所对弧上一动点，连接PB、PA、PC，试请判断PA、PB、PC之间的数量关系并说明理由．3．如图（1），已知矩形ABCD中，AB=6cm，BC=2√3cm，点E为对角线AC 上的动点.连接BE，过E作EB的垂线交CD于点F.（1）探索BE与EF的数量关系，并说明理由.（2）如图（2），过F作AC垂线交AC于点G，交EB于点H，连接CH.若点E从A出发沿AC方向以2√3cm/s的速度向终点C运动，设E的运动时间为ts.①是否存在t，使得H与B重合？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；②t为何值时，△CFH是等腰三角形；③当CG=GH时，求△CGH的面积.4．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求证：⊙C＝2⊙DBE.（3）若EA＝AO＝2，求图中阴影部分的面积.（结果保留π）5．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，⊙ABC中，点D 是BC边上一点，连结AD，若AD2=BD⋅CD，则称点D是⊙ABC中BC边上的“好点”.（1）如图2，⊙ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”.（2）⊙ABC中，BC=9，tanB=43，tanC=23，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长.（3）如图3，⊙ABC是⊙O的内接三角形，OH⊙AB于点H，连结CH并延长交⊙O于点D.①求证：点H是⊙BCD中CD边上的“好点”.②若⊙O的半径为9，⊙ABD=90°，OH=6，请直接写出CHDH的值.6．如图，⊙O为等边⊙ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B 重合），连接DA，DB，DC.（1）求证：DC是⊙ADB的平分线；（2）设四边形ADBC的面积为S，线段DC的长为x，试用含x的代数式表示S；（3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D 运动到每一个确定的位置，⊙DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值.7．在⊙ABC中，D，E分别是⊙ABC两边的中点，如果弧DE（可以是劣弧、优弧或半圆）上的所有点都在⊙ABC的内部或边上，则称弧DE为⊙ABC的中内弧．例如，图1中弧DE是⊙ABC其中的某一条中内弧．（1）如图2，在边长为4 √3的等边⊙ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．画出⊙ABC的最长的中内弧DE，并直接写出此时弧DE的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2 √3，6），B（0，0），C（t，0），在⊙ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t＝2 √3，求⊙ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②请写出一个t的值，使得⊙ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标可以取全体实数值．8．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊙AB于点D，延长DO 交⊙O于点P，过点P作PE⊙AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若⊙POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD=OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．9．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O.点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E.在射线CD上取点F，使DF=32CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF.设AQ=3x.（1）用关于x的代数式表示BQ=，DF=.（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长.（3）当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长.10．如图，⊙ABC中，⊙ACB=90°，D是边AB上一点，且⊙A=2⊙DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长．11．已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM 在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持⊙ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；（2）请利用如图1所示的情形，求证：ABPB=OMBM；（3）若AO=2 √6，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．12．（问题情境）如图①，小区A、B位于一条笔直的道路l的同侧，为了方便A，B两个小区居民投放垃圾，现在l上建一个垃圾分类站C，使得C与A，B的距离之比为2：1.（1）（初步研究）在线段AB上作出点C，使CACB=2.如图，做法如下：第一步：过点A作射线AM，以A为圆心，任意长为半径画弧，交AM于点P1；以P1为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P2；以P2为圆心，AP1长为半径画弧，交AM于点P3.第二步：连接BP3，作∠AP2C=∠AP3B，交AB于点C.则点C即为所求.请证明所作的点C满足CACB=2.（2）（深入思考）如图，点C在线段AB上，点D在直线AB外，且DADB=CACB=2.求证：DC是∠ADB的平分线.（3）（问题解决）如图，已知点A，B和直线l，点C在线段AB上，且CACB=2.用直尺和圆规完成下列作图.（保留作图痕迹，不写作法）（⊙）在直线AB上作出点E（异于点C），使EAEB=2；（⊙）在直线l上作出点F，使FAFB=2.13．在矩形ABCD中，BC=2AB，点E是对角线AC上任意一点，过点E作AD的垂线分别交AD，BC于点F，G，作FH平行AC交CD于点H．（1）证明：EF=CH．（2）连结GH交AC于点K，若AE：CK=3，求AE：EK的值．（3）作⊙FGH的外接圆⊙O，且AB=1．①若⊙O与矩形的边相切时，求CH的长．②作点E关于GH的对称点E'，当E'落在⊙O上时，直接写出⊙FGH的面积。

北京课改版九年级数学上册第22章《圆(下)》综合测试卷(含答案)

北京版九年级数学上册第22章圆(下)综合测试卷（时间90分钟，满分120分）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若⊙O的面积为25π，在同一平面内有一个点P，且点P到圆心O的距离为4.9，则点P与⊙O的位置关系为()A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定2．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．无法确定3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以点C为圆心，r为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为()A．2 cm B．2.4 cmC．3 cm D．4 cm4. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连结OC交⊙O于点D，连结BD，∠C＝40°，则∠ABD的度数是()A．30°B．25°C．20°D．15°5. 如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是()C ．50°D ．65°6．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝6，以AB 为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为( )A ．25π－6 B.252π－6C.256π－6D.258π－6 7．如图，线段AB 与⊙O 相切于点B ，线段AO 与⊙O 相交于点C ，AB ＝12，AC ＝8，则⊙O 的半径为________． A ．5 B ．6 C ．8 D ．108．如图，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB 的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB 的长为20 m ，则圆环的面积为( ) A ．10 m 2 B ．10 π m 2C ．100 m 2D ．100 π m 29．如图所示，在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB ，CD 与小圆分别相切于点E ，F ，则弦AB 与CD 的大小关系是( )A ．AB>CDB ．AB ＝CD10．如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D ，E ，过劣弧DE(不包括端点D ，E)上任一点P 作⊙O 的切线MN ，与AB ，BC 分别交于点M ，N ，若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( ) A ．r B.32rC ．2r D.52r二、填空题(每小题3分，共24分)11．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，以点A 为圆心，4为半径作的⊙A 与直线BC 的位置关系是________．12．如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，那么∠A ＝________．13．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，若OA ＝2，∠P ＝60°，则AB ︵的长为________．14．如图，AB 是⊙O 的直径，BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，且∠BDC ＝110°.连接AC ，则∠A 的度数是________．15．一元钱硬币的直径约为24 mm ，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过________mm.16．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，若∠C ＝20°，则∠CDA ＝________.17．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为1，则AB ︵的长为________(结果保留π)．18．如图，在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，∠C ＝90°，⊙I 分别切AC ，BC ，AB 于点D ，E ，F ，则Rt △ABC 的内心I 与外心O 之间的距离为________．三、解答题(共66分)19．(8分) 已知△ABC 内接于⊙O ，过点A 作直线EF.(1)如图①，若AB 为⊙O 的直径，要使EF 成为⊙O 的切线，还需要添加的一个条件是(要求写出两种情况)：__________________或__________________．(2)如图②，如果AB 是不过圆心O 的弦，且∠CAE ＝∠B ，那么EF 是⊙O 的切线吗？请说明理由．20．(8分) 如图，圆内接三角形ABC 的外角∠ACM 的平分线与圆交于D 点，DP ⊥AC ，垂足是P ，DH ⊥BM ，垂足为H ，求证：AP ＝BH.21．(8分) 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.(1)求证：AB＝AC.(2)若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，求DE的长．22．(10分) 如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30 km/h，受影响区域的半径为200 km，B市位于点P北偏东75°的方向上，距离P点320 km处．(1)试说明台风是否会影响B市；(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间．23．(10分) 如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.(1)求证：直线PB与⊙O相切．(2)PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4.求弦CE的长．24．(10分) 已知PA，PB分别切⊙O于A，B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C，交PB于D.(1)若PA＝6，求△PCD的周长；(2)若∠P＝50°，求∠DOC.25．(12分) 如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，CD＝CE.(1)求证：OA＝OB；(2)已知AB＝43，OA＝4，求阴影部分的面积．参考答案：1-5CBBBB 6-10DADBC 11. 相切 12．99° 12.43π 14．35° 15.12 16.125° 17.π3 18. 519．解：(1)∠BAE ＝90°；∠CAE ＝∠B (2)EF 是⊙O 的切线．理由：如图，作直径AM ，连接CM ，则∠ACM ＝90°，∠M ＝∠B ， ∴∠M ＋∠CAM ＝∠B ＋∠CAM ＝90°.∵∠CAE ＝∠B ，∴∠CAM ＋∠CAE ＝90°，∴AE ⊥AM. ∵AM 为直径，∴EF 是⊙O 的切线．20．证明：连接AD ，BD.∵∠DAC ，∠DBC 是DC ︵所对的圆周角． ∴∠DAC ＝∠DBC.∵CD 平分∠ACM ，DP ⊥AC ，DH ⊥CM ，∴DP ＝DH. 在△ADP 和△BDH 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DAP ＝∠DBH ，∠DPA ＝∠DHB ＝90°，DP ＝DH ，∴△ADP ≌△BDH ，∴AP ＝BH. 21．(1)证明：如图，连接AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∵DC ＝BD ，∴AB ＝AC. (2)解：由(1)知AB ＝AC ， ∵∠BAC ＝60°，∠ADB ＝90°， ∴△ABC 是等边三角形，∠BAD ＝30°. 在Rt △BAD 中，∠BAD ＝30°，AB ＝8， ∴BD ＝4，即DC ＝4. 又∵DE ⊥AC ，∴DE ＝DC·sin C ＝4·sin 60°＝4×32＝2 3.22．解：(1)如图，过B 作BH ⊥PQ 于H ，在Rt △BHP 中，由条件易知：BP ＝320 km ，∠BPQ ＝30°.∴BH ＝12BP ＝160 km<200 km.∴台风会影响B 市．(2)如图，以B 为圆心，200 km 为半径作圆，交PQ 于P 1，P 2两点，连接BP 1，由垂径定理知P 1P 2＝2P 1H.在Rt △BHP 1中，BP 1＝200 km ， BH ＝160 km ，∴P 1H ＝2002－1602＝120(km)． ∴P 1P 2＝2P 1H ＝240 km.∴台风影响B 市的时间为24030＝8(h)．23．(1)证明：过点O 作OD ⊥PB 于点D ，连接OC. ∵AP 与⊙O 相切，∴OC ⊥AP. 又∵PO 平分∠APB ，∴OD ＝OC. ∴D 在⊙O 上， ∴PB 是⊙O 的切线．(2)解：如图，过点C 作CF ⊥PE 于点F. 在Rt △OCP 中，OP ＝OC 2＋CP 2＝5.∵S △OCP ＝12OC·CP ＝12OP·CF ，∴CF ＝125.在Rt △COF 中，OF ＝CO 2－CF 2＝95，∴FE ＝3＋95＝245.在Rt △CFE 中，CE ＝CF 2＋EF 2＝1255.24．解：(1)连接OE ，∵PA ，PB 与⊙O 相切，∴PA ＝PB ＝6. 同理可得：AC ＝CE ，BD ＝DE.∴△PCD 的周长＝PC ＋PD ＋CD ＝PC ＋PD ＋CE ＋DE ＝PC ＋PD ＋AC ＋BD ＝PA ＋PB ＝12. (2)∵PA ，PB 与⊙O 相切，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.又∵∠P ＝50°， ∴∠AOB ＝360°－90°－90°－50°＝130°. 在Rt △AOC 和Rt △EOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OE ，OC ＝OC ， ∴Rt △AOC ≌Rt △EOC(HL)． ∴∠AOC ＝∠COE. 同理：∠DOE ＝∠BOD ， ∴∠DOC ＝12∠AOB ＝65°.25．(1)证明：连接OC. ∵AB 与⊙O 相切于点C ， ∴OC ⊥AB. ∵CD ＝CE ， ∴∠AOC ＝∠BOC. 在△AOC 和△BOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOC ＝∠BOC ，OC ＝OC ，∠ACO ＝∠BCO ＝90°， ∴△AOC ≌△BOC ，∴OA ＝OB.(2)解：∵△AOC ≌△BOC ，∴AC ＝BC ＝12AB ＝2 3. ∵OB ＝OA ＝4，且△OCB 是直角三角形，∴根据勾股定理，得OC ＝OB 2－BC 2＝2，∴OC ＝12OB ，∴∠B ＝30°，∴∠BOC ＝60°.∴S 阴影＝S △BOC －S 扇形COE ＝12×2×23－60π×22360＝23－23π.。

北京课改版九年级数学上册 21.4.2 《圆周角定理的推论》同步练习(含答案)

北京课改版九年级上册 21.4.2 圆周角定理的推论同步练习一．选择题（共10小题，3*10=30）1．如图，DC 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点F ，连接BC ，DB ，则下列结论错误的是( ) A.AD ︵＝BD ︵B ．AF ＝BFC ．OF ＝CFD ．∠DBC ＝90°2．已知AB ，CD 是⊙O 的两条直径，∠ABC ＝30°，那么∠BAD ＝( ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．30°3．如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上的一点，∠OAC ＝32°，则∠B 的度数是( ) A ．58° B ．60° C ．64° D ．68°4．如图，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB ＝60°，则∠BDC 的度数是( ) A ．20° B ．25° C ．30° D ．40°5．在⊙O 中，∠AOB ＝160°，则弦AB 所对的圆周角是( ) A ．80° B ．320° C ．160° D ．80°或100°6．如图，▱ABCD 的顶点A ，B ，D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ，∠E ＝36°，则∠ADC 的度数是( ) A ．44° B ．54° C ．72° D ．53°7. 如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为( ) A ．6 B ．8 C ．5 2 D ．5 38．如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过C 作CD ⊥AB 交AB 于点D.已知cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为( )A ．1 B.203C ．3 D.1639．如图，B ，C 是⊙A 上的两点，AB 的垂直平分线与⊙A 交于E ，F 两点，与线段AC 交于D 点．若∠BFC ＝20°，则∠DBC ＝( ) A ．30° B ．29°C ．28°D ．20°10. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过B ，C 两点的⊙O 交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接EO 并延长交⊙O 于点F ，连接BF ，CF ，若∠EDC ＝135°，CF ＝2 ，则AE 2＋BE 2的值为( ) A ．8 B ．12 C ．16 D ．20二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，⊙O 的直径CB 的延长线与弦ED 的延长线交于点A ，∠A ＝20°，且CE ︵＝BE ︵，则∠C 的度数是______．12．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝55°，则∠BCD 的度数为________．13．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是⊙O 的直径，∠ABC ＝45°，AC ＝2 cm ，则AD ＝______cm.14. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为_________.15．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，＝.若∠CAB＝40°，则∠CAD＝________．16．如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝_________．17．如图，在⊙O中，CD⊥AB于E，若∠B＝60°，则∠A＝________．18．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD为⊙O的直径，AD＝6，则DC＝_________．三．解答题（共7小题，46分）19. (6分)如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 都在圆上，且AB ︵＝BC ︵＝AC ︵，D 是BC ︵上一点，连结AD ，在AD 上截取AE ＝DC ，试判断△BDE 的形状，并说明理由．20. (6分)如图，在圆内接四边形ABCD 中，CD 为△BCA 的外角的平分线，求证：△ABD 为等腰三角形．21. (6分) 如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A ，B ，点A 的坐标为(0，4)，M 是圆上一点，∠BAO ＋∠BMO ＝180°，∠BMO ＝120°.求⊙C 的半径．22．(6分) 如图,AB 是☉O 的弦,AB=10,点C 是☉O 上的一个动点,且∠ACB=45°,若点M 、N 分别是AB 、BC 的中点,求MN 长的最大值.23. (6分) 如图,等腰△ABC 内接于☉O,已知AB=AC,∠ABC=30°,BD 是☉O 的直径,如果CD=433,求AD 的长.24. (8分) 如图，已知四边形ADBC是⊙O的内接四边形，AB是直径，AB＝10 cm，BC＝8 cm，CD平分∠ACB.(1)求AC与BD的长；(2)求四边形ADBC的面积．25. (8分) 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D，求证：(1)D是BC的中点；(2)△BEC∽△ADC；(3)BC2＝2AB·CE.参考答案1-5CDACD 6-10BBDAC 11. 25° 12. 35° 13. 2 14．65°15. 25° 16. 60° 17. 30° 18. 2 319. 解：等边三角形，理由：∵AB ︵＝BC ︵＝AC ︵，∴AB=BC=AC ，∴△ABC 为等边三角形， ∵AB=BC ，∠BAE=∠BCD ，AE ＝DC ∴△ABE ≌△CBD ，∴BE ＝BD ， ∠DBE ＝60°，∴△BDE 为等边三角形20. 解：∵四边形ABCD 为圆内接四边形，∴∠BCD ＋∠BAD ＝180°，又∠BCD ＋∠MCD ＝180°，∴∠BAD ＝∠MCD. ∵CD 为△BCA 的外角的平分线，∴∠MCD ＝∠DCA ，又∠DBA ＝∠DCA ，∴∠BAD ＝∠DBA ，∴DB ＝DA ， ∴△ABD 为等腰三角形21. 解：∵∠BAO ＋∠BMO ＝180°.∠BMO ＝120°，∴∠BAO ＝60°. 在Rt △ABO 中，AO ＝4，∠BAO ＝60°， ∴AB ＝2AO ＝8.∵∠AOB ＝90°， ∴AB 为⊙C 的直径．∴⊙C 的半径为422. 解：∵点M 、N 分别是AB 、BC 的中点,∴MN=12AC,∴当AC 为☉O 的直径时,MN 取得最大值.当AC 为直径时,∠ABC=90°. ∵∠ACB=45°,AB=10,∴BC=AB=10.在Rt △ABC 中,由勾股定理可得AC=AB 2+BC 2= 102+102=102,∴MN=12AC=52,即MN 长的最大值是5 2. 23. 解：∵AB=AC,∠ABC=30°, ∴∠ABC=∠ACB=∠ADB=30°.∵BD 是直径,∴∠BAD=90°,∴∠ABD=60°, ∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=30°, ∴∠ABC=∠CBD,∴AC ︵=CD ︵=AB ︵， ∴AD ︵=BC ︵∴AD=BC.∵∠BCD=90°,∠CBD=30°,CD=433,∴BC=4,∴AD=4.24. 解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6(cm)．∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ， ∴AD ︵＝BD ︵∴AD ＝BD.在Rt △ABD 中，AD 2＋BD 2＝AB 2. ∴BD ＝AD ＝22AB ＝5 2 (cm) (2)四边形ADBC 的面积＝△ABC 的面积＋△ADB 的面积＝12×6×8＋12×52×5 2 ＝49 (cm 2)25. 解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，又AB ＝AC ，∴D 是BC 的中点(2)∵∠CBE ＝∠CAD ，∠BCE ＝∠ACD ，∴△BEC ∽△ADC (3)由△BEC ∽△ADC 可知CE BC ＝CDAC，即CD·BC ＝AC·CE ，∵D 是BC 的中点，CD ＝12BC ，又AB ＝AC ， ∴CD·BC ＝AC·CE＝12BC·BC ＝AB·CE ，即BC 2＝2AB·CE。

九年级数学圆知识点及习题(含答案)

九年级数学圆知识点及习题(含答案)1.圆上各点到圆心的距离都等于半径。

2.圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形, 圆心是它的对称中心。

3.垂直于弦的直径平分这条弦 ,并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。

4.在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一组量相等 ,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

5.同弧或等弧所对的圆周角相等 ,都等于它所对的圆心角的一半。

6.直径所对的圆周角是 90° ,90°所对的弦是直径。

7.三角形的三个顶点确定 1 个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,三角形的外接圆的圆心叫外心,是三角形三边垂直平分线的交点。

8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 ,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点的交点,叫做三角形的内心。

9.圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形．10.圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻内角的对角2、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系共有三种：①点在圆外 ,②点在圆上 ,③点在圆内；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：①d > r,②d = r,③d < r.2.直线与圆的位置关系共有三种：①相交 ,②相切 ,③相离；对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：①d < r,②d = r,③d > r.3.圆与圆的位置关系共有五种：①内含 ,②相内切 ,③相交 ,④相外切 ,⑤外离；两圆的圆心距d和两圆的半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：①d < R-r,②d = R-r,③ R-r < d < R+ r,④d = R+r,⑤d > R+r.4.圆的切线垂直于过切点的半径；经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.5.从圆外一点可以向圆引 2 条切线, 切线长相等,这点与圆心之间的连线平分这两条切线的夹角。

2.4 圆周角(第二课时直径所对圆周角)(练习)-2021届九年级数学上册同步精品试题解析版

2021届九年级数学上册同步精品试题第二章圆2.4 圆周角（第二课时直径所对圆周角）精选练习答案一、单选题（共10小题)1．（2020·苏州市期末）如图，已知AB是△ABC外接圆的直径，∠A=35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C【解析】试题分析：由AB是△ABC外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠C=90°，又由直角三角形两锐角互余的关系即可求得∠B的度数：∵AB是△ABC外接圆的直径，∴∠C=90°，∵∠A=35°，∴∠B=90°﹣∠A=55°．故选C．2．（2020·徐州市期中）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于()A．33°B．57°C．67°D．66°【答案】B【解析】如图，连接DC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴∠D=180-∠BCD-∠DBC=180°-90°-33°=57°，又∵∠A=∠D，∴∠A=57°.故选B.3．（2018·连云港市期末）从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】∵直径所对的圆周角等于直角，∴从直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．故选B．4．（2020·江阴市期中）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（）A．勾股定理B．直径所对的圆周角是直角C．勾股定理的逆定理D．90°的圆周角所对的弦是直径【答案】B【详解】由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC=a 为半径花弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．故选B．5．（2019·盐城市期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ACO＝50°，则∠B 的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°【答案】C【详解】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵∠ACO＝50°，∴∠BCO＝90°﹣50°＝40°．∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO＝40°．故选：C．6．（2019·灌云县期中）如图，ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（）A．36°B．46°C．27°D．63°【答案】A【详解】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=54°，∴∠B=∠ADC=54°．∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE=90°．∴∠AEB=90°﹣∠B=90°﹣54°=36°．故选A．7．（2019·淮安市期中）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=30，则∠B的度数为( )A．30°B．50°C．60°D．80°【答案】C【详解】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠C=90°，∵∠A=30°，∴∠B=180°-90°-30°=60°．故选：C．8．（2019·无锡市期末）如图，已知的内接正方形边长为2，则的半径是（）A．1B．2C．D．【答案】C【详解】如图，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，边长为2，∴BC=CD=2，∠BCD=90°，∴BD==2，∵正方形ABCD是⊙O的内接四边形，∴BD是⊙O的直径，∴⊙O的半径是=，故选：C.9．（2019·无锡市期中）如图，已知是半圆的直径，，是的中点，那么的度数是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】连接BC，∵AB是半圆O的直径，∠BAC=32°，∴∠ACB=90°，∠B=90°-32°=58°，∴∠D=180°-∠B=122°（圆内接四边形对角互补），∵D是的中点，∴∠DAC=∠DCA=（180°-∠D）÷2=29°，故选B．10．（2019·扬州市期中）如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，BD为⊙O的直径，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB的大小为（）A．60°B．45°C．30°D．25°【答案】C【详解】∵四边形ABCO是平行四边形，OA=OC，∴四边形ABCO是菱形，∴OA=AB，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴∠ADB=30°.故选C.二、填空题（共5小题)11．（2019·常州市期中）如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．【答案】40【分析】若要利用∠BAD的度数，需构建与其相等的圆周角；连接BD，由圆周角定理可知∠ACD=∠ABD，在Rt△ABD中，求出∠ABD的度数即可得答案．【详解】连接BD，如图，∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，∴∠ACD=∠ABD=40°，故答案为：40．12．（2019·南通市期中）如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为______.【答案】1【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=∠CDB=30°，∴BC=AB=，故答案为1．13．（2019·苏州市期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD 的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC=______．【答案】70°【详解】解：连接AC，∵点C为弧BD的中点，∴∠CAB=∠DAB=20°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=70°，故答案为70°．14．（2018·常州市期末）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为_____．【答案】60°【解析】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角），∵∠CBD=30°，∴∠D=60°（直角三角形的两个锐角互余），∴∠A=∠D=60°（同弧所对的圆周角相等）；故答案是：60°15．（2018·镇江市期末）如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为_______．【答案】65°．【分析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数【详解】解:∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°．∵∠B=∠ACD=25°，∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．故答案为:65°三、解答题（共2小题）16．（2018·扬州市期中）△ABC内接于⊙O，AH⊥BC，垂足为H，AD平分∠BAC，交⊙O于点D．求证：AD平分∠HAO.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：首先延长AO交⊙O于N，连接BN，根据圆周角定理与AH⊥BC，可得∠ABN=∠AHC=90°，又由∠C=∠N，可得∠BAN=∠HAC，然后根据AD平分∠BAC，即可证得∠DAO=∠DAH．试题解析：证明：延长AO交⊙O于N，连接BN，∵AN是⊙O的直径，AH⊥BC，∴∠ABN=∠AHC=90°，∴∠BAN+∠N=90°，∠HAC+∠C=90°，∵∠N=∠C，∴∠BAN=∠HAC，∵AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD，∴∠DAO=∠DAH．∴AD平分∠HAO.17．（2019·连云港市期中）如图，AB是圆O的直径，∠ACD＝30°，（1）求∠BAD的度数．（2）若AD＝4，求圆O的半径．【答案】（1）60°；（2）4【详解】（1）∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠C＝30°，∴∠BAD＝60°；（2）∵∠B＝30°，∠ADB＝90°，∴AB＝2AD，∵AD＝4，∴AB＝8，∴圆O的半径为4．。

2019年北京市各区九年级上册期末试卷分类汇编：圆基础(有答案)-(数学)

圆基础★与圆的位置关系1．（密云18期末5）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC=4，BC=3.以点A 为圆心，AC 长为半径作圆.则下列结论正确的是（） A.点B 在圆内B.点B 在圆上C.点B 在圆外 D .点B 和圆的位置关系不确定 C2．（门头沟18期末6）已知ABC △，AC =3，CB =4，以点C 为圆心r 为半径作圆，如果点A 、点B 只有一个点在圆内，那么半径r 的取值范围是A ．3r ＞B ．4r ≥C ．34r ＜≤D ．34r ≤≤C3．（顺义18期末13）已知矩形ABCD 中， AB =4，BC =3，以点B 为圆心r 为半径作圆，且⊙B 与边CD 有唯一公共点，则r 的取值范围是．13．35r ≤≤；4．（石景山18期末14）14．如图，在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，AB =10．若以点C 为圆心，CB 为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC =________．14．35★圆周角、圆心角5．（密云18期末6）如图，ABC ∆内接于O ，80AOB ∠=︒，则ACB ∠的大小为（）A.20︒B.40︒C.80︒D.90︒B6．（大兴18期末2）如图，点A ，B ，P 是⊙O 上的三点，若︒=∠40AOB ，则APB ∠的度数为（）A. ︒80B. ︒140C. ︒20D. ︒50 C7．（平谷18期末6）如图，△ABC 内接于⊙O ，连结OA ，OB ，∠ABO =40°，则∠C的度数是（）A．100°B．80°C．50°D40°C8．（昌平18期末4）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A =50︒，则∠BOC的大小为（）A．40°B．30°C．80°D．100°D9．（门头沟18期末3）如图，DCE∠是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果75∠的度数是（）DCE∠=︒，那么BADA．65︒B．75︒C．85︒D．105︒B10．（朝阳18期末6）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB=14，BC=7.则∠BDC的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°B11．（石景山18期末3）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠的度数为（）∠25ACD，则BOD︒=A．︒120100B．︒C．︒150130D．︒C12．（西城18期末5）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD=34°，那么∠BAD等于（）．A．34° B．46°C．56°D．66°C13．（丰台18期末7）如图，A，B是⊙O上的两点，C是⊙O上不与A，B重合的任意一点. 如果∠AOB=140°，那么∠ACB的度数为（）A．70°B．110°C ．140°D ．70°或110°D14．（怀柔18期末5）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BOC =100°，则∠A 的大小为（） A ． B ． C ．D ．B15．（通州18期末4）如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上.若︒=∠55ABD ，则BCD ∠的度数为（） A ．︒25 B ．︒30 C ．︒35 D ．︒40C16．（燕山18期末3）3．如图，圆心角 ∠ AOB=25°，将 AB 旋转n°得到 CD ，则∠ COD 等于（） A ．25° B ．25°+ n° C ．50°D ．50°+ n° 17．（燕山18期末13）如图，量角器的直径与直角三角尺 ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3°的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点 E ，则第 20 秒点 E 在量角器上对应的读数是 °13.120°18．（通州18期末15）⊙O 的半径为1，其内接ABC △的边2=AB ，则C ∠的度数为________.19．（东城18期末14）⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，AC 平分∠BAD ，则正确结论的序号是.①AB=AD ；②BC=CD ；③AB AD =；④∠BCA=∠DCA ； ⑤ BC CD =.40︒50︒80︒100︒20．（丰台18期末14）在平面直角坐标系中，过三点A （0，0），B （2，2），C （4，0）的圆的圆心坐标为 .14.（2，0）；21．（西城18期末16）如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内，4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.如果OB ⊥OP ，那么OB 的长为 . 1★垂径定理22．（顺义18期末6）如图，已知⊙O 的半径为6，弦AB 的长为8，则圆心O 到AB 的距离为（）A B ．C ．D ．10B23．（石景山18期末4）如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ．若⊙O 的半径为4，则弦AB 的长为（） A ．32B ．34C ．52D ．54B24．（通州18期末6）如图，⊙O 的半径为4.将⊙O 的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O .则折痕AB 的长为（） A. 3B. 32C. 6D. 34 D25．（怀柔18期末7）某校科技实践社团制作实践设备，小明的操作过程如下：①小明取出老师提供的圆形细铁环，先通过在圆一章中学到的知识找到圆心O ，再任意找出圆O 的一条直径标记为AB （如图1），测量出AB =4分米；②将圆环进行翻折使点B 落在圆心O 的位置，翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为C 、D （如图2）；③用一细橡胶棒连接C 、D 两点（如图3）； ④计算出橡胶棒CD 的长度.小明计算橡胶棒CD 的长度为（） A ．22分米 B ．23分米 C ．32分米 D ．33分米B26．（门头沟18期末13）如图，在△ABC 中，∠A =60°，⊙O 为△ABC的外接圆．如果BC=,那么⊙O 的半径为________. 227．（西城18期末13）如图，⊙O 的半径等于4，如果弦AB 所对的圆心角等于120 ，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 . 228．（大兴18期末13）如图，在半径为5cm 的⊙O 中，如果弦AB 的长为8cm ，OC ⊥AB ，垂足为C ，那么OC 的长为 cm ．329．（东城18期末12）如图，AB 是⊙O 的弦，C 是AB 的中点，连接OC 并延长交⊙O 于点D .若CD =1，AB =4,则⊙O 的半径是_______.12、5230．（燕山18期末11）如图，AB 、AC 是⊙O 的弦，OM ⊥ AB ，ON ⊥ AC ，垂足分别为 M 、N ．如果 MN =2.5，那么BC =_______5★正多边形31．（东城18期末2）边长为2的正方形内接于M，则M的半径是（）A．B．2C D．C32．（丰台18期末12）如图，等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径OA的长为2，则其内切圆半径的长为.133．（通州18期末13）如图，AD，AE是正六边形的两条对角线.在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1）__________________________；（2）______________________.34．（昌平18期末13）如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，则劣弧AB的长为．35．（朝阳18期末9）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为3，则正六边形ABCDEF的边长为.36．（平谷18期末13）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术注》中提到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”．“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB 是圆内接正六边形的一条边，半径OB =1，OC ⊥AB 于点D ，则圆内接正十二边形的边BC 的长是（结果不取近似值）．13=★弧长、扇形面积37．（西城18期末4）圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（）.A.48πB.24πC.4πD.2πB38．（东城18期末5）A ，B 是O 上的两点，OA =1， AB 的长是1π3，则∠AOB 的度数是（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°B39．（大兴18期末4）在半径为12cm 的圆中，长为4πcm 的弧所对的圆心角的度数为（）A. ︒10B. ︒60C. ︒90D. ︒120B40．（通州18期末2）已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是（）A ．6πB ．πC ．3πD ．32πD41．（海淀18期末13）若一个扇形的圆心角为60°，面积为6π，则这个扇形的半径为_______． 642．（丰台18期末10）半径为2的圆中，60°的圆心角所对的弧的弧长为_______.10.2π343．（大兴18期末14）圆心角为160°的扇形的半径为9cm ，则这个扇形的面积是_______cm 2．14. 36 π .44．（密云18期末12）扇形半径为3cm ，弧长为πcm ，则扇形圆心角的度数为__________.12.60︒45．（平谷18期末10）圆心角为120°，半径为6cm 的扇形的弧长是cm （结果不取近似值）．10．4π46．（朝阳18期末7）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =4，以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转45°，得到△A’B’C ，则图中阴影部分的面积为（）A ．2B ．2πC ．4D ．4πB47．（石景山18期末11）如图，扇形的圆心角︒=∠60AOB ，半径为3cm ．若点C 、D 是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是________cm 2．11．2π48．（怀柔18期末15）在学校的花园里有一如图所示的花坛，它是由一个正三角形和圆心分别在正三角形顶点、半径为1米的三个等圆组成，现在要在花坛正三角形以外的区域（图中阴影部分）种植草皮.草皮种植面积为米2.π2549．（顺义18期末20）制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再备料．下图是一段管道，其中直管道部分AB 的长为3 000mm ，弯形管道部分BC ，CD 弧的半径都是1 000mm ，∠O =∠O ’=90°，计算图中中心虚线的长度．20． 901000500180180n r l πππ⨯===…………………………….…….……….3分中心虚线的长度为 30005002300010ππ+⨯=+…………………4分=30001000 3.14=6140+⨯……………………………………………..…5分。

九年级数学上册《圆周角》练习题含答案

九年级数学上册《圆周角》练习题复习巩固1．如图，O是△ABC的外接圆，连接OB，OC，若OB＝BC，则∠BAC等于()A．60°B．45°C．30°D．20°2．如图，已知CD是O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D＝50°，则∠C＝()A．50°B．40°C．30°D．25°3．如图，四边形ABCD内接于O，若∠C＝36°，则∠A的度数为()A．36°B．56°C．72°D．144°4．如图，小华同学设计了一个圆的直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，当测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为()A．12个单位B．10个单位C．4个单位D．15个单位5．如图，已知点E是圆O上的点，B，C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC＝46°，则∠AED的度数为__________．6．如图，量角器外沿上有A，B两点，它们的读数分别是70°，40°，则∠1的度数为__________．7．如图，点C在O上，将圆心角∠AOB绕点O按逆时针方向旋转到∠A′OB′，旋转角为α(0°＜α＜180°)．若∠AOB=30°，∠BCA′=40°，则∠α=_________°8．如图，O是△ABC的外接圆，已知∠B＝60°，则∠CAO的度数是__________．9．如图，已知AB为O的直径，AB=AC，BC交O于点D，AC交O于点E，∠BAC=45°.(1)求∠EBC的度数；(2)求证：BD=CD.能力提升10．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A，B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内O上的一点，若∠DA B＝20°，则∠OCD＝__________.11．如图，正方形ABCD内接于O，P是劣弧AD上任意一点，则∠ABP＋∠DCP＝__________.12．如图，点A，D，B，C都在O上，OC⊥AB，∠ADC=30°(1)求∠BOC的度数；(2)求证：四边形AOBC是菱形．13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，以DC为直径的O交△ABC的边于G，F，E点．求证：(1)F是BC的中点；(2)∠A=∠GEF.参考答案复习巩固1．C 2.D 3.D4．B连接EF，∵∠EOF＝90°，∴EF是圆的直径．由勾股定理，得EF＝2222OE OF+=+＝10.故选B.865．69°∵B，C分别是劣弧AD的三等分点，∠BOC＝46°，∴∠AOD＝3×46°＝138°.∠AOD＝69°.∴∠AED＝126．15°由题意知，∠AOB＝70°－40°＝30°.∠AOB＝15°.因此∠1＝127．110°∵∠BCA′＝40°，∴∠BOA′＝2∠BCA′＝80°.∴∠α＝∠AOB＋∠BOA′＝30°＋80°＝110°.8．30°如图，延长AO交O于点D，连接CD，则∠D＝∠B＝60°.∵AD是O的直径，∴∠ACD＝90°.∴∠CAO＝90°－∠D＝30°.9．(1)解：如图，连接AD.∵AB为O的直径，∴∠ADB＝90°.∴AD⊥BC.∵AB＝AC，∴∠BAD ＝∠CAD ＝22.5°. ∴∠EBC ＝∠CAD ＝22.5°. (2)证明：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BD ＝CD .能力提升10．65° 设O 交y 轴的负半轴于点E ，连接AE ，则∠OCD＝∠DAE ＝∠DAB ＋∠BAE .∵∠EOB ＝90°， ∴∠BAE ＝12∠EOB ＝12×90°＝45°. ∴∠OCD ＝20°＋45°＝65°.11．45° 连接AO ，DO ，则∠AOD ＝90°，所以AD 的度数为90°，即AP 与DP 的度数之和为90°. 故∠ABP ＋∠DCP ＝45°.12．(1)解：∵点A ，D ，B ，C 都在O 上，OC ⊥AB ，∴AC BC =. ∵∠ADC ＝30°，∴∠BOC ＝∠AOC ＝2∠ADC ＝60°. (2)证明：由(1)得AC BC =， ∴AC ＝BC .又∵CO ＝BO ，∠BOC ＝60°，∴△BOC 为等边三角形．∴BC ＝BO ＝CO .∴AO ＝BO ＝AC ＝BC . ∴四边形AOBC 是菱形．13．证法一：(1)如图①，连接DF .图①∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点， ∴BD ＝DC ＝12AB . ∵DC 是O 的直径，∴DF ⊥BC .∴BF ＝FC ，即F 是BC 的中点． (2)∵D ，F 分别是AB ，BC 的中点， ∴DF ∥AC ，∠A ＝∠BDF . ∵∠BDF ＝∠GEF ， ∴∠A ＝∠GEF .图②证法二：(1)如图②，连接DF ，DE . ∵DC 是O 的直径，∴∠DEC ＝∠DFC ＝90°. ∵∠ECF ＝90°，∴四边形DECF 是矩形．∴EF ＝C D ，DF ＝EC .∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，∴EF＝CD＝BD＝12 AB.∴Rt△DBF≌Rt△EFC(HL)．故BF＝FC，即F是BC的中点．(2)∵△DBF≌△EFC，∴∠BDF＝∠FEC，∠B＝∠EFC.∵∠ACB＝90°，(也可证AB∥EF，得∠A＝∠FEC)∴∠A＝∠FEC.∵∠FEG＝∠BDF，由(1)可知DF∥AC，∴∠A＝∠BDF.∴∠A＝∠GEF.。

中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题(含答案)

中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1.圆心角、弦以及弧之间的关系：①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。

2.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

3.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

4.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

5.圆的内接四边形：①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。

②性质：I：圆内接四边形的对角互补。

II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

练习题1、（2022•襄阳）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为2，那么弦AC所对的圆周角的度数等于．【分析】首先利用勾股定理逆定理得∠AOC＝90°，再根据一条弦对着两种圆周角可得答案．【解答】解：如图，∵OA＝OC＝1，AC＝，∴OA2+OC2＝AC2，∴∠AOC＝90°，∴∠ADC＝45°，∴∠AD'C＝135°，故答案为：45°或135°．2、（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为．【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC 即可．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），所以圆形镜面的半径为cm，故答案为：cm．3、（2022•永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝度．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求出∠AOC的度数，根据平角的定义即可得到∠BOC＝180°﹣∠AOC的度数．【解答】解：∵∠ADC是所对的圆周角，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120．4、（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝°．【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案为：62．5、（2022•湖州）如图，已知AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC 的延长线交⊙O 于点D ．若∠APD 是AB ⌒所对的圆周角，则∠APD 的度数是．【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD ＝∠BOD ，进而得出∠AOD ＝60°，由圆周角定理得出∠APD ＝∠AOD ＝30°，得出答案．【解答】解：∵OC ⊥AB ，∴，∴∠AOD ＝∠BOD ，∵∠AOB ＝120°，∴∠AOD ＝∠BOD ＝∠AOB ＝60°，∴∠APD ＝∠AOD ＝×60°＝30°，故答案为：30°．6、（2022•徐州）如图，A 、B 、C 点在圆O 上，若∠ACB ＝36°，则∠AOB ＝．【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB ＝∠AOB ，∠ACB ＝36°，∴∠AOB ＝2×∠ACB ＝72°．故答案为：72°．7、（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为．【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．8、（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为．【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．9、（2022•甘肃）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝°．【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70．。

九年级数学上册 22.4 圆周角同步练习北京课改版

22.4圆周角
1、⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是〔〕．
〔A〕30°〔B〕150°〔C〕30°或150°
〔D〕)60°
2、△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，假设BC=12，AB=12，那么
的度数为〔〕．
〔A〕60°〔B〕80°〔C〕100°
〔D〕)120°
3、如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，那么图中60°的角共有( )个．
〔A〕3 〔B〕4 〔C〕5
〔D〕6
4、如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，那么∠A的度数为〔〕
〔A〕70°〔B〕65°〔C〕60°〔D〕50°
第3题图第4题图
5、圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5，那么这个三角形内角的度数分别为__________．
6、如图，A B是⊙O的直径，CD⊥AB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD和AC的长．
7、：如图，△A BC是⊙O的内接三角形，⊙O的直径BD交AC于E，AF⊥BD于F，延长AF交BC于G．求证：
参考答案
1、C；
2、A；
3、B；
4、B；
5、45°，60°，75°；
6、提示：连结BC，构成双垂直三角形，由△ADC∽△ACB，△ADC∽△CDB得比例式，求得CD=6cm，AC= cm．
7、提示：连结AD，可证∠C=∠D=∠BAG，△ABG∽△CBA即可．。

(北京专版)中考数学第7单元圆第28课时圆的有关概念与性质作业-人教版初中九年级全册数学试题

圆的有关概念与性质1．[2014·] 如图J28－1，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A °，OC ＝4，CD 的长为( )A ．2 2B ．4C ．4 2D ．8图J28－1图J28－22．[2010·] 如图J28－2，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，连接OOC ＝5，CD ＝8，则AE ＝________．3．[2009·] 如图J28－3，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为BC ︵上的一点．若∠CEA ＝28°，则∠ABD ＝________°.图J28－31．[2014·西城一模] 如图J28－4，表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5 cm ，水面宽AB 为8 cm ，则水的最大深度CD 为( )A ．4 cmB ．3 cmC ．2 cmD ．1 cm图J28－4图J28－52．[2015·西城一模] 如图J28－5，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，如果∠BOC ＝70°，那么∠BAD 等于( )A ．20°B ．30°C ．35°D ．70°3．[2015·海淀一模] 如图J28－6，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E .若∠B ＝60°，AC ＝3，则CD 的长为( )A ．6B ．2 3 C. 3 D ．3图J28－6图J28－74．[2015·某某一模] 如图J28－7，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∠AOC ＝40°，则∠CDB 的度数为________．5．[2014·房山期末] 如图J28－8，点A 是半圆上的一个三等分点，点B 是AN ︵的中点，点P是直径MN 上一动点．若⊙O 的半径为1，则AP ＋BP 的最小值是________．图J28－8图J28－96．[2014·怀柔期末] 如图J28－9，圆心B 在y 轴的负半轴上，半径为5的⊙B 与y 轴的正半轴交于点A (0，1)．过点P (0，－7)的直线l 与⊙B 相交于C ，D 两点，则弦CD 长的所有可能的整数值有________个，它们是________．7．[2013·海淀一模] 如图J28－10(1)所示，圆上均匀分布着11个点A 1，A 2，A 3，…，A 11.从A 1起每隔k 个点顺次连接，当再次与点A 1连接时，我们把所形成的图形称为“k ＋1阶正十一角星”，其中1≤k ≤8(k 为正整数)．例如，图J28－10(2)是“2阶正十一角星”，那么∠A 1＋∠A 2＋…＋∠A 11＝________°；当∠A 1＋∠A 2＋…＋∠A 11＝900°时，k ＝________．图J28－108．[2014·丰台期末] 如图J28－11，在⊙O中，C，D为⊙O上的两点，AB是⊙O的直径．已知∠AOC＝130°.求∠D的度数．图J28－119．[2014·东城期末] 如图J28－12，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O 于点E，连接EAB＝8，CD＝2，求EC的长．图J28－12一、选择题1．如图J28－13，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，BD，下列结论中不一定正确的是( )A ．AE ＝BE B.AD ︵＝BD ︵C ．OE ＝DE D ．∠DBC ＝90°图J28－13图J28－142．[2015·东城一模] 如图J28－14，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，连接OC ，A C.若∠D ＝50°，则∠A 的度数是( )A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°3．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )图J28－154．[2013·大兴一模] 如图J28－16，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(－2，3)，以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于( )A ．－4和－3之间B ．3和4之间C ．－5和－4之间D ．4和5之间图J28－16图J28－175．如图J28－17，⊙O 的直径AB ＝2，弦AC ＝1，点D 在⊙O 上，则∠D 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°6．如图J28－18，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A ，B ，点A 的坐标为(0，3)，M 是第三象限内一点，∠BMO ＝120°，则⊙C 的半径为( )A．6 B．5 C．3 D．3 2图J28－18图J28－197．[2012·丰台一模] 如图J28－19是X老师晚上出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示X老师家的位置，则X老师散步行走的路线可能是( )图J28－208．如图J28－21，半圆O的直径AB＝10 cm，弦AC＝6 cm，AD平分∠BAC，则AD的长为( )图J28－21A．4 5 cm B．3 5 cmC．5 5 cm D．4 cm二、填空题9．若直径为10 cm的⊙O中，弦AB＝5 cm，则弦AB所对的圆周角是________．10．[2012·昌平一模] 如图J28－22，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点A处安装了一台监视器，它的监控角度是65°.为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装．．．这样的监视器________台．图J28－2211．如图J28－23，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC＝110°.连接AC，则∠A的度数是________°.图J28－23图J28－2412．[2013·房山一模] 如图J28－24，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y＝x和y＝－x分别交于点A1，A2，A3，A4，…，则点A31的坐标是________．三、解答题13．[2015·某某期末] 如图J28－25，在平面直角坐标系xOy中，以点A(2，3)为圆心的⊙A 交x轴于点B，C，BC＝8，求⊙A的半径．图J28－2514．[2014·房山期末] 已知：在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AB为直径的⊙O交BC于点D.图J28－26(1)如图J28－26，当∠A为锐角时，AC与⊙O交于点E，连接BE，则∠BAC与∠CBE的数量关系是∠BAC＝________∠CBE.(2)如图J28－27，若AB不动，AC绕点A逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，CA的延长线与⊙O 交于点E，连接BE，(1)中∠BAC与∠CBE的数量关系是否依然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．图J28－2715．[2015·西城期末] 如图J28－28，在⊙O 中，弦BC ，BD 关于直径AB 所在的直线对称．E 为半径OC 上的一点，OC ＝3OE ，连接AE 并延长交⊙O 于点F ，连接DF 交BC 于点M .(1)请依题意补全图形；(2)求证：∠AOC ＝∠DBC ；(3)求BM BC的值．图J28－2816．[2013·西城一模] 先阅读材料，再解答问题：图J28－29小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧(或等弧)所对的圆周角相等．如图J28－29，点A ，B ，C ，D 均为⊙O 上的点，则有∠C ＝∠D .小明还发现，若点E 在⊙O 外，且与点D 在直线AB 同侧，则有∠D >∠E .请你参考小明得出的结论，解答下列问题：(1)如图J28－30(a )，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，7)，点B 的坐标为(0，3)，点C 的坐标为(3，0)．①在图(a )中作出△ABC 的外接圆(保留必要的作图痕迹，不写作法)；②若在x 轴的正半轴上有一点D ，且∠ACB ＝∠ADB ，则点D 的坐标为________．(2)如图J28－30(b )，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，m )，点B 的坐标为(0，n )，其中m >nP 为x 轴正半轴上的一个动点，当∠APB 达到最大时，直接写出此时点P 的坐标．图J28－30参考答案真题演练1．C [解析] ∵∠A °，∴∠BOC ＝2∠A ＝45°.∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，∴CE ＝DE ，△OCE 为等腰直角三角形，∴CE ＝22OC ＝2 2，∴CD ＝2CE ＝4 2. 2．2 [解析] ∵AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∴CE ＝12CD ＝4. 在Rt △OCE 中，OE ＝OC 2－CE 2＝3，∴AE ＝OA －OE ＝5－3＝2.3．28 [解析] 本题综合考查了垂径定理和圆周角的求法及性质．由垂径定理可知AC ︵＝AD ︵，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知∠ABD ＝∠CEA ＝28°. 模拟训练1．C [解析] ∵输水管的半径为5 cm ，水面宽AB 为8 cm ，水的最大深度为CD ，∴DO ⊥AB ，AO ＝5 cm ，∴AC ＝4 cm ，∴CO ＝52－42＝3(cm)，∴水的最大深度CD 为5－3＝2(cm)．故选C.2．C 3.D4．20° 5. 2 [解析] 作点A 关于MN 的对称点A ′，连接A ′B ，交MN 于点P ，则此时PA ＋PB 最小，连接OA ′，OB .∵点A 与点A ′关于MN 对称，点A 是半圆上的一个三等分点，∴∠A ′ON ＝∠AON ＝60°，PA ＝PA ′.∵点B 是AN ︵的中点，∴∠BON ＝30°，∴∠A ′OB ＝∠A ′ON ＋∠BON ＝90°.又∵OA ＝OA ′＝1，∴A ′B ＝ 2.∴PA ＋PB ＝PA ′＋PB ＝A ′B ＝ 2.6．3 8，9，10 [解析] 当CD 过圆心B 时，此时CD 为⊙B 的直径，CD ＝10；当CD ⊥y 轴时，CD 为过点P 的最短弦．∵点A (0，1)，BA ＝5，∴点B 的坐标为(0，－4)．∵点P 的坐标为(0，－7)，∴BP ＝－4－(－7)＝3.∵BP ⊥CD ，∴PC ＝PD.在Rt △PBC 中，BC ＝5，BP ＝3，∴PC ＝BC 2－BP 2＝4，∴CD ＝2PC ＝8，∴过点P 的最短弦长为8，最长弦长为10，∴弦CD 长的所有可能的整数值有3个，为8，9，10.7．1260 2或78．解：由∠AOC ＝130°，得∠BOC ＝50°.又∵∠D ＝12∠BOC ，∴∠D ＝12×50°＝25°. 9.解：如图，∵OD ⊥AB ，∴AC ＝BC ＝12AB ＝4. 设AO ＝x .在Rt △ACO 中，AO 2＝AC 2＋OC 2，∴x 2＝42＋(x －2)2.解得x ＝5.∴AE ＝10，OC ＝3.连接BE .∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°.由OC 是△ABE 的中位线可得BE ＝2OC ＝6.在Rt △CBE 中，CE 2＝BC 2＋BE 2，∴EC ＝BC 2＋BE 2＝16＋36＝213.自测训练1．C2．A3．B [解析] ∵直径所对的圆周角是直角，∴直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断弧为半圆的是选项B.故选B.4．A [解析] ∵点P 的坐标为(－2，3)，∴OP ＝22＋32＝13.∵点A ，P 均在以点O 为圆心，以OP 为半径的圆上，∴OA ＝OP ＝13.∵9＜13＜16，∴3＜13＜4.又∵点A 在x 轴的负半轴上，∴点A 的横坐标介于－4和－3之间．5．C [解析] ∵⊙O 的直径是AB ，∴∠ACB ＝90°.又∵AB ＝2，弦AC ＝1，∴sin ∠CBA ＝AC AB ＝12， ∴∠CBA ＝30°，∴∠A ＝∠D ＝60°.故选C.6．C [解析] ∵四边形ABMO 是圆内接四边形，∠BMO ＝120°，∴∠BAO ＝60°.∵∠AOB ＝90°，点A ，B 均在⊙C 上，∴AB 为⊙C 的直径，∠ABO ＝90°－∠BAO ＝90°－60°＝30°.∵点A 的坐标为(0，3)，∴OA ＝3，∴AB ＝2OA ＝6，∴⊙C 的半径＝12AB C. 7．D [解析] 根据函数图象可知，X 老师离家先逐渐远去，有一段时间离家距离不变说明他走的是一段弧线，之后离家越来越近直至回家，分析四个选项只有D 符合题意． 8．A9．30°或150°10．3 [解析] ∵∠A ＝65°，∴该圆周角所对的弧所对的圆心角是130°，∴共需安装360°÷130°≈3(台)．11．35 [解析] 连接O C.∵BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，∴OC ⊥CD ，OB ⊥BD ，∴∠OCD ＝∠OBD ＝90°.∵∠BDC ＝110°，∴∠BOC ＝360°－∠OCD －∠BDC －∠OBD ＝70°，∴∠A ＝12∠BOC ＝35°. 12．(－4 2，－4 2) [解析] ∵31÷4＝7……3，∴点A 31在第三象限．∵在直角坐标系中，以原点O 为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，…，∴OA 31＝8.∴A 31的横坐标是－8sin45°＝－4 2，纵坐标是－4 2.13．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接AB .由题意知BD ＝12BC ＝4. ∵点A 的坐标是(2，3)，∴AD ＝3.在Rt △ABD 中，AB ＝BD 2＋AD 2＝5，∴⊙A 的半径为5.14．解：(1)2(2)(1)中∠BAC 与∠CBE 的数量关系成立．证明：如图，连接AD .∵AB 为⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ，∴∠AEB ＝∠ADB ＝90°，∴∠AEB ＋∠ADB ＝180°.∵∠AEB ＋∠ADB ＋∠CBE ＋∠EAD ＝360°，∴∠CBE ＋∠EAD ＝180°.∵∠DAC ＋∠EAD ＝180°，∴∠CBE ＝∠DAC .又∵AB ＝AC ，∴∠BAC ＝2∠DAC ，∴∠BAC ＝2∠CBE .15．解：(1)补全图形如图，(2)证明：∵弦BC ，BD 关于直径AB 所在的直线对称，∴∠DBC ＝2∠AB C.又∵∠AOC ＝2∠ABC ，∴∠AOC ＝∠DBC .(3)∵BF ︵＝BF ︵，∴∠A ＝∠D .又∵∠AOC ＝∠DBC ，∴△AOE ∽△DBM ，∴OE OA ＝BM BD .∵OC ＝3OE ，OA ＝OC ，∴BM BD ＝OE OA ＝OE OC ＝13. ∵弦BC ，BD 关于直径AB 所在的直线对称，∴BC ＝BD ，∴BM BC ＝BM BD ＝13.16．解：(1)①如图所示．②(7，0)(2)当以AB 为弦的圆C 与x 轴正半轴相切于点P 时，∠APB 的值最大，作CD ⊥y 轴于点D ，连接CP ，CB .∵点A 的坐标为(0，m )，点B 的坐标为(0，n )，∴点D 的坐标是(0，m ＋n 2)，即BC ＝PC ＝m ＋n 2. 在Rt △BCD 中，BC ＝m ＋n 2，BD ＝m －n 2，则CD ＝BC 2－BD 2＝mn ，则OP ＝CD ＝mn ，故点P 的坐标是(mn ，0)．。

北京课改版九年级数学上册第22章《圆(下)》期末复习卷(含答案)

北京版九年级数学上册第22章圆(下)期末复习卷（时间90分钟，满分120分）一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，AB与⊙O相切于点B，AO＝6 cm，AB＝4 cm，则⊙O的半径为()A．4 5 cm B．2 5 cmC．213 cm D.13 cm2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径是()A．2B．2．5C．3D．43．如图，PA，PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，若∠P＝50°，则∠BOC的度数为()A．25°B．40°C．50°D．60°4．已知OA平分∠BOC，点P是OA上任意一点(不与点O重合)，且以点P为圆心的圆与OC相离，那么⊙P与OB的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．不能确定5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD的长为()A．2．5B．1．6C．1．5D．16．如图，已知⊙O的半径为1，圆心O到直线l的距离为2，过l上任一点A作⊙O的切线，切点为B，则线段AB长度的最小值为()A．1 B. 2C. 3 D．27．如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连结AE，BE，则下列五个结论：①AB⊥DE；②AE＝BE；③OD＝DE；④∠AEO＋12∠ACB＝90°；⑤AE︵＝12AEB.正确结论的个数是()A．2 B．3C．4 D．58．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于P、Q两点，则线段PQ长度的最小值是()A．4．75B．4．8C．5D．4 29. 如图，用一把带有刻度的角尺：(1)可以画出两条平行的直线a与b，如图①；(2)可以画出∠AOB的平分线OP，如图②所示；(3)可以检验工件的凹面是否为半圆，如图③所示；(4)可以量出一个圆的半径，如图④所示．这四种说法中正确的个数有()A．1 B．2C ．3D ．410．如图，A 点在半径为2的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线l ，与⊙O 过A 点的切线交于点B ，且∠APB ＝60°.设OP ＝x ，则△PAB 的面积y 关于x 的函数图象大致是( )二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，∠ACB ＝60°，⊙O 的圆心O 在边BC 上，⊙O 的半径为3，在圆心O 向点C 运动的过程中，当CO ＝ 23 时，⊙O 与直线CA_________．12．如图，已知线段OA 交⊙O 于点B ，且OB ＝AB ，点P 是⊙O 的一个动点，那么∠OAP 的最大值是__ __．13．如图，直线PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 分别为切点，∠APB ＝120°，OP ＝10，则弦AB 的长为__ __.14．如图是一张电脑光盘的表面，两个圆的圆心都是O ，大圆的弦AB 所在的直线是小圆的切线，切点为C ．已知大圆的半径为5 cm ，小圆的半径为1 cm ，则弦AB 的长度为__ __cm ．15．如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D ，E ，过DE ︵(不包括端点D ，E)上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB ，BC 分别交于点M ，N ，若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为__ _．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4 3.若动点D在线段AC上(不与点A，C重合)，过点D作DE⊥AC交AB边于点E. 当点D运动到线段AC中点时，DE＝__ __；17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，内切圆O与边AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，则∠DEF的度数为__ __．18．如图，直线l：y＝－12x＋1与坐标轴交于A、B两点，点M(m,0)是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为_____________________．三．解答题（共7小题，66分）19．(8分)在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，如图所示，I是△ABC的内心，延长AI交△ABC的外接圆于点D，求∠ICD的度数.20．(8分)如图所示，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，求△ADE的面积．21．(8分) 如图2－BZ－4，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，求AD的长.22．(10分) 如图，AB是⊙O的直径，C，D为半圆O上的两点，CD∥AB，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，∠A＝60°.求证：CE是⊙O的切线；23．(10分) 如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2 2，以BC 的中点O 为圆心的⊙O 分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，求DE ︵的长.24．(10分) 如图，公路MN 与公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP ＝160 m ．假设拖拉机行驶时，周围100 m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否受到噪音影响？说明理由；如果受影响，且知拖拉机的速度为18 km/h ，那么学校受影响的时间是多少秒？25．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆O交AC于点D，E为BC的中点，连结DE.(1)求证：DE是半圆O的切线；(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．参考答案：1-5BACAB 6-10CCBDD 11. 相切 12. 30° 13. 5 3 14. 4 6 15. 2r 16. 3 17. 75°18. 2－25或2＋2 519. 解： ∵△ABC 中，∠BAC ＝180°－∠ACB －∠ABC ＝180°－50°－60°＝70°，又∵I 是△ABC 的内心，∴∠BCD ＝∠BAD ＝12∠BAC ＝35°，∠BCI ＝12∠ACB ＝25°，∴∠BCD ＋∠BCI ＝35°＋25°＝60°，即∠ICD ＝60°.20. 解：设DE ＝x cm ，则CE ＝(4－x)cm. ∵CD ，AE ，AB 均为⊙O 的切线， ∴EF ＝CE ＝(4－x)cm ，AF ＝AB ＝4 cm ， ∴AE ＝AF ＋EF ＝(8－x)cm. 在Rt △ADE 中，AE 2＝AD 2＋DE 2，即(8－x)2＝42＋x 2，解得x ＝3. ∴S △ADE ＝12AD·DE ＝12×4×3＝6(cm 2)．21. 解：连结BD.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. ∵OC ∥AD ，∴∠A ＝∠BOC ， ∴cosA ＝cos ∠BOC. ∵BC 切⊙O 于点B ， ∴OB ⊥BC ，∴cos ∠BOC ＝OB OC ＝25，∴cosA ＝cos ∠BOC ＝25.又∵cosA ＝AD AB ，AB ＝4，∴AD ＝85.22. 证明：连结OD ，如答图所示． ∵∠A ＝60°，OA ＝OD ， ∴△OAD 是等边三角形， ∴∠ADO ＝∠AOD ＝60°， ∵CD ∥AB ，∴∠ODC ＝60°， ∵OC ＝OD ，∴△COD 是等边三角形， ∴∠COD ＝60°＝∠ADO ，∴OC ∥AE ， ∵CE ⊥AE ，∴CE ⊥OC ，∴CE 是⊙O 的切线；23. 解：连结OE ，OD ，设⊙O 的半径为r ，∵⊙O 分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点， ∴OE ⊥AC ，OD ⊥AB ， ∴四边形ADOE 是正方形．∵O 是BC 的中点，∴OD 是△ABC 的中位线， ∴OD ＝AE ＝12AC ，∴AC ＝2r ，同理可知：AB ＝2r ， ∴AB ＝AC ，∴∠B ＝45°.∵BC ＝2 2，∴由勾股定理，得AB ＝2， ∴r ＝1， ∴DE ︵＝90π×1180＝π2.24. 解：学校受到噪音影响．理由如下：作AH ⊥MN 于点H ，如图．∵PA ＝160 m ，∠QPN ＝30°， ∴AH ＝12PA ＝80 m ．而80 m ＜100 m ，∴拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校受到噪音影响．以点A 为圆心，100 m 为半径作⊙A 交MN 于B 、C ，连结AB ，如图． ∵AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ．在Rt △ABH 中，AB ＝100 m ，AH ＝80 m ， ∴BH ＝AB 2－AH 2＝60 m ，∴BC ＝2BH ＝120 m ． ∵拖拉机的速度＝18 km/h ＝5 m/s ，∴拖拉机在BC 段行驶所需要的时间＝1205＝24(秒)，∴学校受影响的时间为24秒．25. 解：(1)证明：如图，连结OD ，OE ，BD. ∵AB 为半圆O 的直径， ∴∠ADB ＝∠BDC ＝90°.∵在Rt △BDC 中，E 为斜边BC 的中点，∴DE ＝BE. 在△OBE 和△ODE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ，OE ＝OE ，BE ＝DE ，∴△OBE ≌△ODE ， ∴∠ODE ＝∠ABC ＝90°. 又∵OD 是半圆O 的半径， ∴DE 为半圆O 的切线．(2)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°， ∴BC ＝12AC ，∠C ＝60°.∵BC ＝2DE ＝4，∴AC ＝8. ∵∠C ＝60°，DE ＝EC ，∴△DEC 为等边三角形，即DC ＝DE ＝2， ∴AD ＝AC －DC ＝6.。

九年级数学上册 21.4.2 圆周角课后作业 (新版)北京课改版

故选A。
A．40°，80°
B．50°，100°
C．50°，80°
D．40°，100°
3．（邵阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（）
A．80°
B．60°
C．100°
D．40°
参考答案
一、夯实基础
1.B
2.C
3.A
4.C
5.A
6.A
二、能力提升
7.D
8.C
9.A
10.B
13.已知⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，求证：∠AOD+∠BOC= 180°。
四、中考链接
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（）
A．50°
B．45°
C．60°
D．75°
2．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=40°，则∠ABD与∠AOD分别等于（）
10.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=135°，则∠AOC的度数为( )
A. 45°
B. 90°
C. 100°
D. 135°
11.在⊙O中，圆心O到弦AB的距离等于弦AB的一半，则弦AB所对的圆周角的度数是。
三、课外拓展
12.如图，设AB为半圆直径，弦AC和BD交于点E，求证：AB2=AE•AC+BE•BD。
1.解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOC；
∵∠ADC=（1/2）β，∠AOC=α；而α+β=180°，
α+β＝180°，α=（1/2）β；
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，

(人教版)北京市九年级数学上册第四单元《圆》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．在ABC 中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，把它绕AC 旋转一周得一几何体，该几何体的表面积为（）A ．24πB ．21πC ．16.8πD ．36π 2．如图，AC 为半圆的直径，弦3AB =，30BAC ∠=︒，点E 、F 分别为AB 和AC 上的动点，则BF EF +的最小值为（）A ．3B ．332C ．3D ．332+ 3．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P 落在O 上，两边分别交圆O 于A ，B 两点，若O 的直径为6，则弦AB 的长为（）A ．3B ．2C ．2D ．3 4．如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A 、B 、C 是圆上的点，则此圆的面积为（）A ．72πB ．85πC ．100πD ．104π 5．如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，弦DE ⊥AB 于点C ，若OC ：OB ＝3：5，连接DO ，则DE 的长为（）A ．3B ．4C ．6D ．86．如图，AB 、AC 是⊙O 的切线，B 、C 为切点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的点，则∠BPC 的度数是（）A ．65°B ．115°C ．115°或65°D ．130°或65° 7．在平面直角坐标系中，以点()3,4-为圆心，半径为5作圆，则原点一定（） A ．与圆相切B ．在圆外C ．在圆上D ．在圆内 8．已知O 的半径为5，若4PO =，则点P 与O 的位置关系是（） A ．点P 在O 内 B ．点P 在O 上 C ．点P 在O 外 D ．无法判断 9．已知圆锥的底面半径为3cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积是（） A ．18cm 2B ．218cm πC ．27cm 2D ．227cm π 10．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，若∠OCA =50°，OB =2，则弧BC 的长为（）A ．103πB ．59π C ．109π D ．518π 11．如图，⊙O 是四边形 ABCD 的内切圆，连接 OA 、OB 、OC 、OD ．若∠AOB ＝110°，则∠COD 的度数是（）A ．60°B ．70°C ．80°D ．45° 12．一个圆锥的底面直径为4 cm ，其侧面展开后是圆心角为90°的扇形，则这个圆锥的侧面积等于（）A ．4πcm 2B ．8πcm 2C ．12πcm 2D ．16πcm 2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，若OA=2，∠P=60°，则AB 的长为________14．如图，在平面直角坐标系中，点()3,4A ，()3,0B ，以A 为圆心，2为半径作A ，点P 为A 上一动点，M 为OP 的中点，连接BM ，设BM 的最大值为m ，最小值为n ，则m n -的值为_________．15．已知O 的面积为π，则其内接正六边形的边长为______．16．如图，在圆O 的内接五边形ABCDE 中，40CAD ∠=︒，则B E ∠+∠=_______°．17．如图，已知点,,A B C 在O 上，若50ACB ∠=，则AOB ∠=_____________________度．18．如图，O 是正方形ABCD 的外接圆，2,AB =点E 是劣弧AD 上的任意一点，连接BE ，作CF BE ⊥于点F ，连接,AF 则当点E 从点A 出发按顺时针方向运动到点D 时，AF 长的取值范围为________________．19．如图，A ，B ，P 是半径为2的O 上的三点，45APB ∠=︒，则弦AB 的长为______．20．小红在手工制作课上，用面积为215cm π，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为_______cm ．三、解答题21．如图，已知点A 、B 的坐标分别是(0，0) ，(4，0)，将ABC 绕A 点按逆时针方向旋转90°后得到A B C '''．（1）画出A B C '''（不要求写出作法）；（2）写出点C '的坐标；（3）求旋转过程中点B 所经过的路径长．22．如图，已知在△ABC 中，∠A ＝90°．（1）作∠ABC 的角平分线交AC 于点P ，以点P 为圆心，PA 长为半径作⊙P ，则⊙P 与BC 的位置关系是．（2）在（1）的条件下，若AB=3，BC=5，求⊙P 的面积．23．如图，AB 是圆的直径，且AD//OC ，求证：CD BC =．24．如图，O 中，AB CD =，A C ∠=∠，AB 与CD 交于点P ．求证=DP BP ．25．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧CD ，点O 是CD 的圆心，E 为 CD 上一点，OE ⊥CD ，垂足为F ．已知CD=300m ，EF=50m ，求这段弯路的半径．26．已知PA 、PB 分别与O 相切于点A ，B 两点，76APB ∠=︒ ，C 为O 上一点．（1）如图，求ACB ∠的大小；（2）如图，AE 为O 的直径，AE 与BC 相交于点D ，若AB AD =，求EAC ∠的大小．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是圆锥的侧面积加底面积，根据圆锥的侧面积公式计算即可．【详解】解：根据题意得：圆锥的底面周长6π=，所以圆锥的侧面积165152ππ=⨯⨯=，圆锥的底面积239ππ=⨯=，所以以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积15924πππ=+=．故选：A ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．2．B解析：B【分析】作B 点关于直径AC 的对称点B′，过B′点作B′E ⊥AB 于E ，交AC 于F ，如图，利用两点之间线段最短和垂线段最短可判断此时FB ＋FE 的值最小，再判断△ABB′为等边三角形，然后计算出B′E 的长即可．【详解】解：作B 点关于直径AC 的对称点B′，过B′点作B′E ⊥AB 于E ，交AC 于F ，如图，则FB＝FB′，∴FB＋FE＝FB′＋FE＝B′E，此时FB＋FE的值最小，∵∠BAC＝30°，∴∠B′AC＝30°，∴∠BAB′＝60°，∵AB＝AB′，∴△ABB′为等边三角形，∵B′E⊥AB，∴AE＝BE＝32，∴B′E3＝332，即BF＋EF 33．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质．3．A解析：A【分析】连接AO并延长交O于点D，连接BD；根据同弦所对的圆周角相等可得30D P∠=∠=︒；再说明AD=6,然后根据在直角三角形中30°所对的直角边为斜边的一半．【详解】解：如图：连接AO并延长交O于点D，连接BD，30P ∠=︒，30D P ∴∠=∠=︒，∵AD 是O 的直径，6AD =，90ABD ∠=︒， 132AB AD ∴==．故答案为A ．【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，掌握直径所对的圆周角为直角是解答本题的关键．4．B解析：B【分析】连接BC ，作AB ，BC 的垂直平分线，交点为点O ，连接OB ，OC ，根据垂直平分线可得AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，设OD=x ，则OE=16-x ，再根据OB=OC 即可列出方程求得x=7，最后再根据圆的面积公式计算即可．【详解】解：如图，连接BC ，作AB ，BC 的垂直平分线，交点为点O ，连接OB ，OC ，则OB=OC ，AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，设OD=x ，则OE=16-x ，∵OB=OC ，∴OB 2=OC 2，∴22+(16-x) 2=62+x 2，解得x=7，∴r 2=OB 2=22+92=85，∴圆的面积S=πr 2=85π，故选：B ．【点睛】本题考查了作三角形的外心，垂径定理的应用，圆的面积公式，熟练掌握垂径定理是解决本题的关键．5．D解析：D【分析】根据题意可求出OC 长度，再根据勾股定理求出CD 长度，最后根据垂径定理即可得到DE 长度．【详解】∵AB ＝10，∴OB =5OC ：OB ＝3：5，∴OC ＝3，在Rt OCD △ 中，2222534CD OD OC =-=-=∵DE ⊥AB ，∴DE ＝2CD ＝8，故选：D ．【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理．掌握垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦”是解题的关键．6．C解析：C【分析】根据切线的性质得到OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，求出∠BOC ，分点P 在优弧BC 上、点P 在劣弧BC 上两种情况，根据圆周角定理、圆内接四边形的性质计算即可．【详解】解：∵AB 、AC 是⊙O 的切线，∴OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，∴∠OBA ＝90°，∠OCA ＝90°∵∠A ＝50°，∴∠BOC ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，如图，当点P 在优弧BPC 上时，∠BPC ＝12∠BOC ＝65°，当点P ′在劣弧BC 上时，∠BP ′C ＝180°﹣65°＝115°，故选：C ．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理是解题的关键．7．C解析：C【分析】设点（-3，4）为点P，原点为点O，先计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解．【详解】解：∵设点（-3，4）为点P，原点为点O，∴OP5，而⊙P的半径为5，∴OP等于圆的半径，∴点O在⊙P上．故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．8．A解析：A【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d 时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．【详解】∵⊙O的半径为5，若PO=4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．9．B解析：B【分析】已知底面半径即可求得底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解．【详解】解：底面周长是2×3π=6π，则圆锥的侧面积是：12×6π×6=18π（cm 2）．故选：B ．【点睛】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 10．C解析：C【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠A ，再利用圆周角定理求得∠BOC ，最后根据弧长公式求求解即可．【详解】解：∵∠OCA =50°，OA =OC ，∴∠A =50°，∴∠BOC =100°∵BO =2， ∴1002101809BC l ππ⨯==．故答案为C ．【点睛】本题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，根据题意求得∠BOC 是解答本题的关键． 11．B解析：B【分析】设四个切点分别为E 、F 、G 、H ，分别连接切点和圆心，利用切线性质和HL 定理可以得到4对全等三角形，进而可得∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，根据8个角之和为360°即可求解．【详解】解：设四个切点分别为E 、F 、G 、H ，分别连接切点和圆心，则OE ⊥AB ，OF ⊥BC ，OG ⊥CD ，OH ⊥AD ，OE=OF=OG=OH ，在Rt △BEO 和△BFO 中，OE OF OB OB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BEO ≌△BFO （HL ）∴∠1=∠2，同理可得：∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，∴∠1+∠8=∠2+∠7，∠4+∠5=∠3+∠6，∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360°，∴∠1+∠8+∠4+∠5=180°，即∠AOB+∠COD=180°，∵∠AOB=110°，∴∠COD=180°﹣∠AOB=180°﹣110°=70°，故选：B．【点睛】本题考查了圆的切线性质、全等三角形的判定与性质，利用圆的的切线性质，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．12．D解析：D【分析】设展开后的圆半径为r，根据圆锥性质可知底面周长就等于展开后扇形的弧长，然后算出展开后扇形的半径，进而计算出扇形的面积．【详解】解：设展开后的扇形半径为r，由题可得：4π=2rπ解得r=8∴S扇形=14π×82=16π故选：D【点睛】此题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥侧面展开图与各部分对应情况是解题关键．二、填空题13．【分析】连接AB并延长BO交圆于C连接ACPAPB是⊙O的切线由切线长定理知PA=PB；又∠P=60°则等腰三角形APB是等边三角形则有∠ABP=60°BC是直径；由直径对的圆周角是直角得∠PBC=解析：3【分析】连接AB，并延长BO交圆于C，连接AC，PA、PB是⊙O的切线，由切线长定理知PA=PB；又∠P=60°，则等腰三角形APB是等边三角形，则有∠ABP=60°，BC是直径；由直径对的圆周角是直角得∠PBC=90°，则在Rt △ABC 中，有∠ABC=30°，进而可知AB 的长．【详解】解：连接AB ，并延长BO 交圆于C ，连接AC ，∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∴PA=PB ，又∵∠P=60°，∴∠PBA=60°；又∵BC 是圆的直径，∴CB ⊥PB ，∠BAC=90°，∴∠ABC=30°，而BC=4，∴在Rt △ABC 中，cos30°=AB BC ， ∴323 故答案为：3【点睛】本题利用了切线长定理，等边三角形的判定和性质，弦切角定理，直角三角形的性质，正弦的概念求解．注意本题的解法不唯一．掌握相关知识是解题的关键．14．2【分析】方法一：在轴上取一点连接可求由可得由点在上运动可知共线时可以取得最大值或最小值最大值最小值由最大值与最小值求出即可；方法二：连接取中点连接利用三角形三边关系有可得作差计算即可【详解】解：方解析：2【分析】方法一：在x 轴上取一点()6,0E ，连接PE ，可求3OB BE ==，22345AE +=，由OM PM =，OB BE =，可得12BM PE =，由点P 在A 上运动，可知P 、A 、B 共线时，可以取得最大值或最小值，最大值'527EP ==+=，最小值''523EP =-=，由最大值与最小值求出72m =，32n =即可；方法二：连接PA 、OA ，取OA 中点N ，连接MN 、BN ，利用三角形三边关系有BN MN BM BN MN -≤≤+，可得m BN MN =+，n BN MN =-，作差计算22m n MN PA -===即可．【详解】解：方法一：在x 轴上取一点()6,0E ，连接PE ，∵()3,0B ，()3,4A ，∴3OB BE ==，22345AE =+=，∵OM PM =，OB BE =，∴12BM PE =， ∵点P 在A 上运动， ∴P 、A 、B 共线时，可以取得最大值或最小值，最大值'527EP ==+=，最小值''523EP =-=，∴72m =，32n =， ∴2m n -=，故答案为2．方法二：连接PA 、OA ，取OA 中点N ，连接MN 、BN ，BN MN BM BN MN -≤≤+，m BN MN =+，n BN MN =-，22m n MN PA -===．故答案为：2．【点睛】本题考查三角形的中位线，勾股定理，三角形三边关系，线段和差，掌握三角形的中位线，勾股定理，三角形三边关系，线段和差，引辅助线构造准确图形是解题关键． 15．1【分析】首先根据圆的面积求出圆的半径再证明△AOB 是等边三角形即可得到结论【详解】解：如图的面积为设半径为r ∴解得∵OA=OB 为等边三角形故故答案为：1【点睛】本题考查的是正多边形和圆熟知正六边形解析：1【分析】首先根据圆的面积求出圆的半径，再证明△AOB 是等边三角形即可得到结论．【详解】解：如图，O 的面积为π，设半径为r ，2S r ππ∴==，∴21r =，解得，1r =， ∵360606AOB ︒∠==︒，OA=OB AOB ∴为等边三角形，故1AB OA ==．故答案为：1【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的半径与边长相等是解答此题的关键． 16．220【分析】连接CE 根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD 然后求解即可【详解】解析：220【分析】连接CE ，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD ，然后求解即可．【详解】连接CE ，∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接五边形，∴四边形ABCE 是⊙O 的内接四边形，∴∠B ＋∠AEC ＝180°，∵∠CED ＝∠CAD ＝40°，∴∠B ＋∠AED ＝180°＋40°＝220°【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题关键．17．【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论【详解】解：∵∠ACB 与∠AOB 是同弧所对的圆周角与圆心角∠ACB=50°∴∠AOB=100°故答案是：100°【点睛】本题考查的是圆周角定理熟知在同圆或等圆中解析：100【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【详解】解：∵∠ACB 与∠AOB 是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ACB=50°，∴∠AOB=100°．故答案是：100°．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．18．【分析】首先根据题意可知当点与点重合时最长的最大值为；再证明点的运动轨迹为以为直径的通过添加辅助线连接交于点连接由线段公理可知当点与点重合时最短的最小值为即可得解【详解】解：∵由题意可知当点与点重合 512AF ≤≤【分析】首先根据题意可知，当点F 与点B 重合时AF 最长，AF 的最大值为2；再证明点F 的运动轨迹为以BC 为直径的'O ，通过添加辅助线连接'AO 交'O 于点M ，连接'O F ，由线段公理可知，当点F 与点M 重合时AF 最短，AF 51．即可得解．【详解】解：∵由题意可知，当点F 与点B 重合时AF 最长∴此时2AF AB ==，即AF 的最大值为2∵CF BE ⊥∴90CFB ∠=︒∴点F 的运动轨迹为以BC 为直径的'O ，连接'AO 交'O 于点M ，连接'O F ，如图：∵2AB = ∴11'122BO BC AB === ∴在'Rt ABO 中，22''5AO AB BO =+=∴''51AM AO O M =-=-∴由两点之间，线段最短可知，当点F 与点M 重合时AF 最短∴AF 的最小值为51-∴512AF -≤≤．【点睛】本题考查了正多边形和圆的动点问题、90︒的圆周角所对的弦为直径、勾股定理、线段公理等知识点，解题的关键是确定AF 取最大值和最小值时点F 的位置，属于中考常考题型，难度中等．19．【分析】首先连接OAOB 由圆周角定理即可求得∠AOB=90°又由OA=OB=2利用勾股定理即可求得弦AB 的长【详解】解：连接OAOB ∵∠APB=45°∴∠AOB=2∠APB=90°∵OA=OB=2∴解析：22【分析】首先连接OA ，OB ，由圆周角定理即可求得∠AOB=90°，又由OA=OB=2，利用勾股定理即可求得弦AB 的长．【详解】解：连接OA ，OB ，∵∠APB=45°，∴∠AOB=2∠APB=90°，∵OA=OB=2， ∴2222AB OA OB =+=．故答案为：22．【点睛】此题考查了圆周角定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．20．1【分析】根据扇形的面积公式与圆的周长公式即可求解【详解】由得：扇形的弧长=（厘米）圆锥的底面半径=（厘米）故答案是：1【点睛】本题主要考查圆锥的底面半径掌握圆锥的侧面扇形弧长等于底面周长是解题的关键解析：1【分析】根据扇形的面积公式与圆的周长公式，即可求解．【详解】由1=2S lR 扇形得：扇形的弧长=215152ππ⨯÷=（厘米），圆锥的底面半径=221ππ÷÷=（厘米）．故答案是：1．【点睛】本题主要考查圆锥的底面半径，掌握圆锥的侧面扇形弧长等于底面周长，是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）(﹣2，5)；（3）2π【分析】（1）根据旋转的性质得到B '、C '，顺次连线即可；（2）根据（1）直接得到答案；（3）利用弧长公式计算即可.【详解】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为△ABC 绕A 点按逆时针方向旋转90°后的图形；（2）点C′（﹣2，5）；（3）点B 所经过的路径长＝9042180ππ⨯=. 【点睛】此题考查旋转的性质，确定直角坐标系中点的坐标，弧长的计算公式，正确画出旋转图形是解题的关键.22．（1）相切；（2）94π 【分析】（1）先利用角平分线的性质得到点P 到BC 的距离等于PA ，然后根据直线与圆的位置关系进行判断．（2）由全等三角形的性质，先求出CD=2，由勾股定理求出AC=4，再利用勾股定理求出PD 的长度即可．【详解】解：（1）作PD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图：∵PB 平分∠ABC ，∴点P 到BC 的距离等于PA ，∴PA=PD ，∴BC 为⊙P 的切线．故答案为：相切．（2）由（1）可知，易得△ABP ≌△DBP ，∴BD=AB=3，∴CD=5-3=2，∵在直角△ABC 中，由勾股定理，得22534AC =-=，设PA PD r ==，∴4PC r =-，在直角△PDC 中，由勾股定理，则()22242r r -=+，解得：32r =， ∴圆的面积为：223924S r πππ==•=()．【点睛】本题考查了圆的定义，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．23．证明见解析．【分析】主要是根据弧相等只需要证明弧所对的圆周角相等或者弧所对的圆心角相等即可证明．连接AC或者OD都可以证明．【详解】解：连接ACAD//OC∴∠DAC=∠OCAOA=OC∴∠BAC=∠ACO∴∠DAC=∠BAC∴CD BC=．【点睛】主要是考察学生对圆周角定理的内容的掌握．同时角相等和弧相等之间的转化．24．见解析．【分析】根据已知条件和圆周角定理证明△APD≌△CPB即可得到DP=BP．【详解】证明：∵AB CD=，∴CD = AB，∴ CD- CA= AB - AC，∴ AD = BC.又∵∠A=∠C，∠APD=∠CPB，∴△APD≌△CPB.∴DP=BP.【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及圆心角定理：在同圆或等圆中圆心角相等，弧相等，弦相等，弦心距相等，在这几组相等关系中，只要有一组成立，则另外几组一定成立．25．这段弯路的半径为250米．【分析】OF OE EF R．由垂径定理得设这段弯路的半径为R米，可得5011300150()22CF CD m ．由勾股定理可得222OC CF OF =+，解得 R 的值．【详解】解：连接OC ．设这段弯路的半径为R 米则50OF OE EF ROE CD ⊥ 11300150()22CF CD m ．根据勾股定理，得222OC CF OF =+即()22215050R R =+-解之，得250R =所以这段弯路的半径为250米．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键．26．（1）52︒；（2）19︒【分析】（1）连接OA 、OB ，根据切线的性质得到90OAP OBP ∠=∠=︒，可以求出AOB ∠的度数，再根据圆周角定理得到ACB ∠的度数；（2）连接CE ，根据（1）的结论，先求出BCE ∠的度数，再由圆周角定理得到BAE BCE ∠=∠，再等腰三角形ABD 中求出底角ADB ∠的度数，再由外角和定理就可以求出EAC ∠的度数．【详解】解：（1）如图，连接OA 、OB ，∵PA 、PB 是O 的切线，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∴360909076104AOB ∠=︒-︒-︒-︒=︒，根据圆周角定理，1522ACB AOB ∠=∠=︒；（2）如图，连接CE ， ∵AE 是O 的直径， ∴90ACE ∠=︒， ∵52ACB ∠=︒， ∴905238BCE ∠=︒-︒=︒， ∴38BAE BCE ∠=∠=︒， ∵AB AD =， ∴71ABD ADB ∠=∠=︒， ∴19EAC ADB ACB ∠=∠-∠=︒．【点睛】本题考查圆周角定理和切线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行求解．。

九年级数学上册21.4.1圆周角课后作业北京课改版

21.4。

1 圆周角一、夯实基础1.如图，⊙O中,弦AB、CD相交于点P，若∠A=30°,∠APD=70°，则∠B等于( ）A. 30°B。

35°C。

40°D。

50°2。

如图,已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°,点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°3。

如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点H，E是⊙O上的点，若∠BEC=25°，则∠BAD 的度数为( ）A. 65°B。

25°C. 50°D. 25°4.如图，⊙O的直径BD=6，∠A=60°,则BC的长度为( ）A。

B. 3C。

D。

5.如图，在⊙O中，弦AC=，点B是圆上一点,且∠A BC=45°，则⊙O的半径是( ）A。

2B. 4C。

D。

6。

如图，点A、B、C在⊙O上，∠C+∠AOB=60°，则∠AOB的大小为( ）A。

10°B。

20°C. 30°D。

40°二、能力提升7。

在数学实践活动课中,小辉利用自己制作的一把“直角角尺"测量、计算一些圆的直径，如图,直角角尺，∠AOB=90°,将点O放在圆周上，分别确定OA、OB与圆的交点C、D,读得数据OC=8,OD=9，则此圆的直径约为（）A。

17B。

14C。

12D. 108.如图，在⊙O中，O为圆心,点A，B，C在圆上,若OA=AB，则∠ACB= （ )A. 15°B. 30°C。

45°D。

60°9。

如图,∠C是⊙O的圆周角，∠C=38°，则∠OAB= ( ) 度A。

52B. 38C。

九年级数学上册专题10 圆周角综合题(原卷版)

专题10 圆周角（综合题）知识互联网易错点拨知识点：圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的．3.圆周角定理的推论：是直角，90°的圆周角所对的弦是细节剖析:(1)圆周角必须满足两个条件：①在圆上；②角的两边都和圆(2)圆周角定理成立的前提条件是在中.4.圆内接四边形：（1）定义: ，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形，外角等于（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如 )，那么其它各组量也分别相等(即相对应的也分别相等)。

一．选择题1．（2022•肃州区模拟）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD、BC，若∠ABD＝56°，则∠BCD的度数为（）A．34°B．56°C．68°D．102°2．（2022•黄岩区一模）如图，△ABC是等边三角形，点A，点B在数轴上，点A表示数﹣2，点B表示数2，以AB为直径作圆交边AC于点P，以B为圆心，BP为半径作弧交数轴于点Q，则点Q在数轴上表示的数为（）易错题专训A．B．2C．2﹣2D．2﹣23．（2022•永康市模拟）如图，线段AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠AOC＝60°，点P是线段AB延长线上的一点，连结PC，则∠APC的度数不可能是（）A．30°B．25°C．10°D．5°4．（2021•萧山区二模）在菱形ABCD中，记∠ABC＝∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD＝2，则（）A．C与∠α的大小有关B．当∠α＝45°时，S＝C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上D．S随∠α的增大而增大5．（2019秋•滨江区期末）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且∠OAC＝30°，OD绕着点O顺时针旋转，连接CD交直线AB于点E，当DE＝OD时，∠OCE的大小不可能为（）A．20°B．40°C．70°D．80°6．（2020秋•鹿城区校级期中）如图，分别以AB，AC为直径的两个半圆，其中AC是半圆O的一条弦，E是中点，D是半圆中点．若AB＝12，DE＝2，且AC˃6，则AC长为（）A．6+B．8+C．6+2D．8+2二．填空题7．（2022•沈阳二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，若∠DCE＝75°，∠F＝20°，则∠E的度数为．8．（2022•零陵区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且在AB异侧，连接OC、CD、DA．若∠BOC＝130°，则∠D的大小是．9．（2019•西城区二模）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是的中点，AB＝CD．若∠ODC＝50°，则∠ABC的度数为°．10．（2022•海曙区校级模拟）如图，AB是⊙O的弦，，点P是优弧APB上的动点，∠P＝45°，连接PA，PB，AC是△ABP的中线．（1）若∠CAB＝∠P，则AC＝；（2）AC的最大值＝．11．（2022•禅城区校级一模）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．例：如图1，四边形内接于⊙O，AB＝AD．则四边形ABCD是等补四边形．探究与运用：如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，若CD＝10，AF＝5，则DF的长为．12．（2022•固原一模）如图，点A、B、C在圆O上，BC∥OA，连接BO并延长，交圆O于点D，连接AC，DC，若∠A＝28°，则∠D的大小为．13．（2019•武汉自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆，交AC于E点，交BC于D点、当∠A为锐角时，则∠A与∠CBE的关系为．三．解答题14．（2022•兴化市开学）如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O交△ABE边AE于点D，连接OD，且满足OD∥BE，点P在BA的延长线上，PD交BE于点C．（1）求证：AB＝BE；（2）如果PA＝2，∠B＝60°，PC⊥BE，求直径AB的长．15．（2022•南通）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在BC 的延长线上，连接DE．（1）求直径BD的长；（2）若BE＝5，计算图中阴影部分的面积．16．（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．17．（2021•永嘉县校级模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与AC，BC交于点E，D，且BD＝CD．（1）求证：∠B＝∠C．（2）过点D作DF⊥OD，过点F作FH⊥AB，若AB＝5，CD＝，求AH的值．18．（2022•鹿城区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是劣弧上一点，AG，DC的延长线交于点F．（1）求证：∠FGC＝∠AGD．（2）若G是的中点，CE＝CF＝2，求GF的长．19．（2021秋•洪山区期中）已知⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取上一点H，连CH，与AB相交于点F，连接BC．（1）如图1，连接AH，作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE；（2）如图2，若H为的中点，且HD＝3，求HF的长．20．（2019•南开区一模）已知：如图1，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E．（1）∠E的度数为；（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．。