高等数学平均值
统计学基础：均值与方差
统计学基础：均值与方差统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，它在各个领域都有广泛的应用。
在统计学中，均值和方差是两个重要的概念，它们用于描述数据的集中趋势和离散程度。
本文将介绍均值和方差的概念、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、均值均值是一组数据的平均值，它是描述数据集中趋势的一个重要指标。
均值的计算方法是将所有数据相加，然后除以数据的个数。
假设有n个数据，分别为x1、x2、...、xn，那么均值的计算公式为：均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n均值可以用来表示数据的中心位置，它是数据集中的一个典型值。
例如，某班级的学生考试成绩为80、85、90、95、100，那么这些成绩的均值为(80+85+90+95+100)/5=90，可以认为90是这个班级的平均水平。
均值的计算方法简单直观，但它对极端值比较敏感。
如果数据中存在极端值，那么均值可能会被拉向极端值的方向。
因此，在某些情况下，均值可能不是一个很好的描述数据集中趋势的指标。
二、方差方差是一组数据的离散程度的度量，它描述了数据与均值之间的差异程度。
方差的计算方法是将每个数据与均值的差的平方相加，然后除以数据的个数。
假设有n个数据，分别为x1、x2、...、xn，均值为μ，那么方差的计算公式为：方差 = ((x1-μ)^2 + (x2-μ)^2 + ... + (xn-μ)^2) / n方差可以用来衡量数据的离散程度，它越大表示数据的离散程度越大，反之亦然。
例如，某班级的学生考试成绩为80、85、90、95、100，这些成绩的均值为90，那么方差的计算为((80-90)^2 + (85-90)^2 + (90-90)^2 + (95-90)^2 + (100-90)^2) / 5 = 50，可以认为这个班级的成绩离散程度较大。
方差的计算方法中，将差的平方相加的目的是为了消除正负差值的抵消效应。
方差的单位是数据的单位的平方，因此在比较不同数据集的方差时，需要注意它们的单位是否一致。
高等数学知识点归纳
六. 凹凸与拐点(必求导!):
1. y " 表格; ( f "(x0 ) 0 )
2. 应用: (1)泰勒估计; (2) f ' 单调; (3)凹凸.
七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点)
(1)区别: *单变量与双变量?
* x [a,b] 与 x [a, ), x (, ) ?
(2)类型: * f ' 0, f (a) 0 ;
* f ' 0, f (b) 0
5
* f " 0, f (a), f (b) 0 ; * f "(x) 0, f '(x0) 0, f (x0) 0
(5)隐式(方程): F (x, y) 0
x x(t)
(6)参式(数一,二):
y
y (t )
(7)变限积分函数:
F(x)
x
f (x,t)dt
a
(8)级数和函数(数一,三): S (x) anxn, x n0
2. 特征(几何):
(1)单调性与有界性(判别); ( f (x) 单调 x0 , (x x0 )( f (x) f (x0 )) 定号)
f
(x)
;
f
'(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0) x x0
(1) f '(0) lim f (x) f (0) (注: lim f (x) A( f 连续) f (0) 0, f '(0) A )
x0
x
x0 x
(2)左右导:
§3.4.6平均值、__广义积分_东南大学高等数学
b
无穷区间（-，b]上的广义积分，记为 即
lim f (x )dx a a f (x )dx
b b
，
②
这时也称广义积分收敛；否则称广义积分发散。
定义 3：设函数 f ( x ) 在区间（-，+)内连续， cR ，
如果广义积分
1 b 2 [a 在数学上称 a f (x)dx 为函数 f (x) 在,b] 上 b a 的均方根。
交流电流、电压的有效值就是它们在一个周期上的均方根。
§3.5 反常积分
一、常义积分与广义积分
b 若 a f (x)dx 满足条件：
（1）[a，b]是有限闭区间；
（2） f ( x) 是 [a，b]上的有界函数。
解：因为自由落体的速度为 v gt ，
1 T 1 1 2T 1 v gtdt gt gT 。 T 0 T 2 0 2
例 2.求纯电阻电路中交流电流i( t ) I m sin t 在 一个
周期上功率的平均值（简称平均功率） 。
解：设电阻为 R，
则电路中的电压为
R
U i R I m Rsin t
c f ( x )dx
与
f ( x )dx c
都收敛，则称
上面两个广义积分之和为函数 f ( x ) 在（-，+)内的 广义积分，记为
f ( x )dx
，即
c
f ( x )dx =
c
f ( x )dx +
f ( x )dx
③
这时也称广义积分收敛；否则就称广义积分发散。
1 n 1 n b 1 y lim f ( x i ) lim f (x i )x i b a a f (x )dx n n i 1 n b a i 1
平均值和标准差
平均值和标准差在统计学中，平均值和标准差是两个常用的统计量，它们可以帮助我们更好地理解数据的分布和变异程度。
本文将对平均值和标准差进行详细介绍，包括它们的定义、计算方法以及在实际应用中的意义和作用。
首先，让我们来看一下平均值。
平均值，也称为均值，是一组数据的总和除以数据的个数。
它是对数据集中心位置的一种度量，可以帮助我们了解数据的集中趋势。
计算平均值的公式如下：\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]其中，\( \bar{x} \) 表示平均值，\( n \) 表示数据的个数，\( x_i \) 表示第 \( i \) 个数据点。
平均值的计算方法比较简单，只需要将所有数据相加，然后除以数据的个数即可。
它可以帮助我们快速了解数据的集中程度，但在某些情况下，平均值可能会受到极端值的影响，因此在分析数据时需要谨慎对待。
接下来，让我们来介绍标准差。
标准差是一组数据的离散程度的度量，它可以帮助我们了解数据的分散程度和稳定性。
标准差的计算方法如下：\[ s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i \bar{x})^2} \]其中，\( s \) 表示标准差，\( n \) 表示数据的个数，\( x_i \) 表示第 \( i \) 个数据点，\( \bar{x} \) 表示平均值。
标准差的计算相对复杂一些，需要先计算每个数据点与平均值的差值的平方，然后将其相加并除以数据的个数，最后再取平方根。
标准差越大，表示数据的离散程度越高；标准差越小，表示数据的离散程度越低。
在实际应用中，平均值和标准差经常被用来描述和比较不同数据集的特征。
例如，在财务分析中，我们可以用平均值来表示公司的平均收入或利润水平，用标准差来表示收入或利润的波动程度；在医学研究中，我们可以用平均值来表示患者的平均年龄或体重，用标准差来表示年龄或体重的变异程度。
高等数学中好听的名词解释
高等数学中好听的名词解释数学是一门抽象而深奥的学科，其中有许多令人着迷的名词。
在高等数学中，这些名词不仅具有美妙的音韵，更蕴含着深刻的数学思想。
本文将介绍一些高等数学中的好听的名词，并尝试解释它们所代表的数学意义。
1. 极限 (Limit)极限是高等数学中最为核心和重要的概念之一。
如果把数列或函数看作一个动态的过程，那么极限就是描述这个过程趋向于的某个固定值。
极限的概念不仅在微积分中起着重要作用，也在其他数学分支中发挥着巨大影响。
它既是一种极具凝练和精确性的概念，又是多元数学思想的基础。
2. 微分 (Differential)微分是微积分中的基本思想之一，用于描述函数在某一点上的变化率。
微分的概念源于对自然界和现实生活中的变化过程的观察和研究。
通过微分，我们可以获得函数的斜率、速度以及其他与变化相关的信息。
微分不仅涉及到导数的计算，还包含了对变化与极小量的研究。
3. 级数 (Series)级数是数学中一种迷人的数列形式。
级数由一系列的项组成，每一项都与前一项有某种特定关系。
级数的和是其中所有项的代数和。
级数在实际问题中的应用非常广泛，包括金融计算、物理领域和工程学等。
通过对级数的研究，我们可以揭示一些复杂现象中的规律和性质。
4. 偏微分方程 (Partial Differential Equation)偏微分方程是描述多元函数之间关系的方程，其中涉及到函数的多个变量及其各阶偏导数。
偏微分方程在数学和物理科学中有着广泛的应用，能够描述许多自然界中的现象，如波动、传热和量子力学等。
解析偏微分方程是一个具有挑战性的问题，对它们的理解和求解有助于认识到许多自然界的基本规律。
5. 不等式 (Inequality)不等式是数学中刻画数值大小关系的重要工具。
与等式不同，不等式描述了数值之间的相对大小情况。
通过不等式，我们可以推导出数学中的许多重要不等关系，如三角不等式、柯西-施瓦茨不等式等。
不等式在实际问题中的应用广泛，可以帮助我们解决最优化问题，比如优化生产成本和资源分配等。
标准差与平均值
标准差与平均值标准差和平均值是统计学中常用的两个概念，它们在描述数据分布和变异程度上起着重要的作用。
在实际应用中，我们经常会遇到需要计算和理解标准差和平均值的情况，因此对这两个概念有清晰的认识是非常重要的。
首先，让我们来了解一下平均值。
平均值是一组数据中所有数值的总和除以数据的个数。
它是描述数据集中趋势的一个重要指标，可以帮助我们了解数据的集中程度。
在统计学中，平均值通常用来代表整个数据集的中心位置，是最常用的集中趋势测度之一。
通过计算平均值，我们可以得到一个大致的数据集中值，从而更好地理解数据的特征。
而标准差则是用来衡量数据的离散程度的指标。
标准差越大，说明数据的离散程度越高；标准差越小，说明数据的离散程度越低。
标准差的计算过程包括求出每个数据与平均值的差值，然后将这些差值的平方求和，再除以数据的个数，最后再开方。
标准差的大小可以帮助我们判断数据的波动情况，从而对数据的稳定性和可靠性进行评估。
在实际应用中，平均值和标准差经常结合使用，可以帮助我们更全面地了解数据的特征。
例如，在市场调研中，我们可以通过计算某种产品的平均销售量和标准差来了解其销售情况的稳定性和波动程度；在财务分析中，我们可以通过计算某项投资的平均收益率和标准差来评估其风险和收益的平衡情况。
此外，平均值和标准差还经常用于判断数据的分布情况。
当数据呈正态分布时，平均值和标准差可以完整地描述数据的特征；而当数据呈现偏态分布或者其他非正态分布时，平均值和标准差的解释和应用就需要更加谨慎和灵活。
总的来说，平均值和标准差是统计学中非常重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解和描述数据的特征。
通过对平均值和标准差的合理运用，我们可以更准确地把握数据的中心趋势和离散程度，从而为决策提供更有力的支持。
因此，在进行数据分析和应用时，我们应该充分理解和运用平均值和标准差这两个概念，以提高数据分析的准确性和有效性。
算术几何平均值和theta函数
［ １ ］ 四川大学数学系高等数学教研室． 高等数学 ： 第三版 ［ Ｍ］ ．
北京 ： 高等教育 出版社 ， １ ９ ９ ５ ．
［ ２ ］ 刘证 ． 算术几何 平均值 和几何 条何平 均值 的注记 ［ Ｊ ］ ． 鞍
继续推广到其他类别的 ｔ ｈ ｅ ｔ ａ函数 ， 将 在以后探
讨．
那 么有
ａ ：ａ （ ｑ ” ） ， ｂ ＝ ｂ （ ｑ ）
参
考
文
献
当１ １ ， 趋 向于无穷 时 ， ｇ 趋 向于零 ， 有 Ａ ＧＭ（ ａ （ ｇ ） ， ｂ （ ｑ ） ） 由Ａ Ｇ Ｍ 的性 质 ， 得 到 Ａ Ｇ Ｍ（ １ ， ｂ （ ｑ ） ／ ａ （ ｑ ） ）＝１ ／ ａ （ ｑ ） （ １ ９ ） 令． ｊ ｝ （ ｑ ）＝０ （ ｑ ） ／ （ ｑ ） ＝ｃ （ ｑ ） ／ ａ （ ｑ ） ， 由文 献 ＝ Ａ Ｇ Ｍ（ ａ （ ｑ ） ， （ １ ８ ） ｂ （ ｑ “ ） ）＝ＡＧ Ｍ（ １ ， １ ）＝ １
。 （ ｑ ２ ）：
（ １ ２ ）
由文 献 ［ ４ ］ ，
口 （ ｑ ） ＝ｂ （ ｑ ）＋ｃ （ ｑ ）
所 以
广开来 ， Ａ Ｇ Ｍ是两个元素的叠代式 ， 是否也能找
到参 数化 的递 推 关 系 呢？ 这 可 以从 ｔ ｈ ｅ ｔ ａ函数 的
一
（ １ ３ ）
些性质 中找到 联 系． 定义 三个 ｔ ｈ ｅ ｔ ａ函数 为
（ １ ）
ｅ ）＝ （ ｅ ， ｏ ） ． 以上 三个 函数另 写为 ：
６ ｔ （ ｇ ）＝ （ ０ ， ０ ）＋（ ｅ ， ｅ ）＋（ ｅ ， ０ ）＋（ ０ ， ｅ ）
（ ７ ）
高等数学十大定理公式
高等数学十大定理公式高等数学十大定理公式有有界性、最值定理、零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理（泰勒公式）、积分中值定理（平均值定理）。
1、有界性|f(x)|≤K2、最值定理m≤f(x)≤M3、介值定理若m≤μ≤M，∃ξ∈[a,b]，使f(ξ)=μ4、零点定理若f(a)⋅f(b)<0∃ξ∈(a,b) ，使f(ξ)=05、费马定理设f(x)在x0处：1，可导2，取极值，则f′(x0)=06、罗尔定理若f(x)在[a,b] 连续，在(a,b) 可导，且f(a)=f(b) ，则∃ξ∈(a,b) ，使得f′(ξ)=07、拉格朗日中值定理若f(x)在[a,b] 连续，在(a,b) 可导，则∃ξ∈(a,b) ，使得f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)8、柯西中值定理若f(x)、g(x)在[a,b] 连续，在(a,b) 可导，且g′(x)≠0 ，则∃ξ∈(a,b) ，使得f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)9、泰勒定理（泰勒公式）n阶带皮亚诺余项：条件为在$x_0$处n阶可导$f(x)=f(x_0)f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\dfra c{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)\ ,x\xrightarrow{} x_0$ n阶带拉格朗日余项：条件为n+1阶可导$f(x)=f(x_0)f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\dfra c{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0 )^{n+1}\ ,x\xrightarrow{} x_0$10、积分中值定理（平均值定理）若f(x)在[a,b] 连续，则∃ξ∈(a,b)，使得∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a)。
高等数学 第6章 第六节 平均值
从而非恒定电流 i(t) 的有效值
I 1 T i 2 (t)dt T0
6
正弦电流 i(t ) I m s的in有效t 值为
I
1
2
2
0
I
2 m
sin2
tdt
I
2 m
2
sin2 td t
2 0
2
I
2 m
4
at
sin 2t
2 0
3、f(x) 在[a，b]上的均方根
Im 2
我们把
1 b f 2 ( x)dx
4．函数 f(x) 在[a，b]上的平均值：
f ( x)
y[a,b]
b
1 a
b
f ( x)dx
a
5．函数f(x) 在[a，b]上的均方根：
1 b f 2 ( x)dx
ba a
8
第六节 平均值
一、函数的平均值
1、n 个数的算术平均值：
设有n个数y1， y2， … yn
称
y1 n
n i 1
yi
为这n个数的算术平均值。
2、函数 y = f (x)在区间[a,b]上的平均值的定义：
把区间[a,b]分成 n 等分，每个小区间的长度为 在每个小区间内取一点xi，其相应的函数值为 f ( xi )
ba a
叫做 f(x) 在[a，b] 上的均方根。
I 1 T i 2 (t)dt T0
所以，上述非恒定电流 i(x)的有效值，就是这电流在一个 周期上的均方根。
7
小结
１．变力F(x)沿直线有a到b所作的功：
2．水压力：
b
P g x f ( x)dx
a
3．引力。（参见例题）
高等数学公式必背大全
高等数学必背公式说明：这里有你想要的东西，高等数学必备公式一应俱全。
导数公式：a = sec" x (cfgx)f = -csc 2 x (secx)f = secx-^x (cscx/ = -cscx-ctgx {a x y = a x \na(arcsinx)'=〔——=vl-x 2 (arc COSY )"=1 x\na基本积分表：j tgxdx = -In |c osx| + C j ctgxdx = In |sin x| + C j secxdx = ln|secx ++ Cj c scxdx = In |cscx - ctg^ + C r dx1 x -I —一 =-arctg-+C J^r+对 aaf —2— = f sec 2 xdx = tgx+ C Jcos" x 」| ] *'、— = jcsc 2 xdx = -ctgx + C J secx ・ tgxclx = secx + C J c sex ・ ctgxdx = - c sex + Cjshxdx = chx + C f chxdx = shx + C72]I n = jsin ，xdx =jcos" xdx =-——on_______ _____________ 2 ______________ j* ylx 2 +a 2dx =扌 \/x 2 +a 2 + 牛ln(x + >Jx 2 +a~) + Cf y/x 2 -erdx =丄yjx 2 -a 2 J2 2-x 2+ —arcsin —+ C 2 a. 2u 1-M 2 Xsin x = ------- , cosx = -------- - , u =tQ —9\ + u 2 1 + M 2 2Per -；r= arcsin —+ C =ln(x + 土/ ) + C+ C- — In x + yjx 2 -a 2 +Cj* yja 1 -x 2dx = y 三角函数的有理式积分：1 + w2 a + x一些初等函数: 两个重要极限:双曲正弦皿r -X-x双曲余弦:C/2X =匚丄2双曲正切:〃X=—=chx e x +e ']・ sinxlim ------ = 1lim (1 + 丄)x=e = 2.718281828459045...xX->Xarshx = ln(x + V%2 +1)archx = ±\n(x + Jx? _])1 1 + xart hx = —In ----2 1 — x三角函数公式:•诱导公式：数角sin cos tg ctg-a -sina cosa -tga -ctga90°-a cosa sina ctga tga90°+a cosa -sina -ctga -tga180°-a sma -cosa -tga -ctga180°+a -sina ・ cosa tga ctga27O°-a -cosa -sina ctga tga27O°+a -cosa sma -ctga -tga360°-a -sina cosa -tga -ctga360°+a sma cosa tga ctga•和差化积公式：sin(a ±0) = sinacos0 土cosasin 0 sin a + sin 0 = 2sin a + ^cos—―— cos(tz±^)= cosacos/7 + sinasin 03土tg/3•和差角公式:恥±0匕珂"0 亦匕±0）仝曲50期2 2 sin a-sin 0 = 2cos Q "sin ―—2 2q c a + fl a_ 卩cosa + cosp = 2cos ---------- cos ------ —2 2 cosa-cos0 = 2sin ° + " sin ——2 2•倍角公式:•半角公式^叫宀+響宀+…W+…+S,中值定理与导数应用拉格朗日中值定理:f(b) - /(d) = f 《)0 - a)当F(x) = x 时，柯西中值定理就是立格朗日中值定理＜：曲率:sin la = 2sincrcosacos2a = 2cos 2 cr-1 = l-2sin 2 a = cos' a-sin' a ctg2a = ------------2ctga fg2a = 2弋sin 3a = 3sina-4sin 、a cos3a = 4cos a-3cosa1一3妙 a・a sin —= 2a U-cosa l-cosa sin a tg — = ± \ ----------------------- = ----------- = ----------- '2 V 1 + cosa sine? 1 + cosaa , /1 + cosaCOS — =±a ---------2 V 2a ll + cosa 1 + cosa sin er etg — = ±A i---------- = ------------ = ------------ 2 Vl-cosa sin a l-cosa^— = 2RsinC•余弦定理：c 2=«2 +b 2 - labeQsC•反三角函数性质：arcsinx = — -arc COST 2aretgx = —- arcctgx高阶导数公式一莱布尼兹(Leibniz)公式: 柯西中值定理:F(b)-F ⑷广⑷ 陀)-正弦定理:bsinB弧微分公式：ds = y ］\ + y ,2dx,其中y = Fga平均曲率斤彳予卜a:从M 点到M ，点，切线斜率的倾角变化量；As ： MM 弧长。
高中数学各种不等式定理的汇总
高中数学各种不等式定理的汇总在高中数学中，不等式理论是一个重要的部分，其中包括了各种不等式的定理。
这些定理在解决各类数学问题时起到了至关重要的作用。
下面是对几个常用不等式定理的汇总。
1.平均值不等式：平均值不等式又称柯西不等式，它是一种常用的不等式。
平均值不等式表明了若干个正数的平均值大于等于它们的几何平均值，而几何平均值又大于等于它们的算术平均值。
平均值不等式的形式可以表示为：对于任意正数 a1, a2, ..., an ，有(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1*a2*...*an)≥ (a1+a2+...+an)/n2.三角不等式：三角不等式是指三角函数的绝对值之间的不等关系。
对于任意实数a 和b，有：a+b，≤，a，+，ba-b，≤，a，+，bsin a + sin b，≤ 2sin a - sin b，≤ 2cos a + cos b，≤ 2cos a - cos b，≤ 2等等3.欧拉不等式：e^x≥x+14.伯努利不等式：伯努利不等式是一种数学归纳法的应用，它表示了一个正实数的n次幂的凸性。
伯努利不等式的形式如下：(1+x)^n ≥ 1 + nx，其中x ≥ -1 ，且 n 为自然数。
5.可加性不等式：可加性不等式表示了一个函数在两个变量相加时的不等关系。
对于任意实数a和b，有：f(a+b)≥f(a)+f(b)这仅是高中数学中常见的一些不等式定理，实际上还有许多其他不等式定理，如柯西-施瓦茨不等式，霍尔德不等式，杨辉三角不等式等等。
这些不等式定理在高等数学、概率论、数论等领域都有重要应用，能够帮助我们解决各类数学问题。
高等数学公式大全
(tgx)′ = sec2 x
(ctgx)′ = − csc2 x
(sec x)′ = sec x ⋅tgx
(csc x)′ = − csc x ⋅ ctgx
(a x )′ = a x ln a
(log a
x)′
=
1 x ln a
高等数学公式
(arcsin x)′ = 1 1− x2
(arccos x)′ = − 1 1− x2
=
0， dy dx
=
−
Fx Fy
， d 2 y dx 2
=
∂ ∂x
(−
Fx Fy
)＋ ∂ ∂y
(−
Fx Fy
)⋅
dy dx
隐函数F (x, y, z) = 0， ∂z = − Fx ， ∂z = − Fy
∂x Fz
∂y Fz
∂F ∂F
⎧F (x, 隐函数方程组：⎩⎨G(x,
y,u,v) y,u,v)
2、过此点的切平面方程：Fx (x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + Fy (x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0
3、过此点的法线方程： x − x0 = y − y0 = z − z0 Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )
2
2
a
sin
x
=
2u 1+ u
2
， cos
x
=
1− 1+
u u
2 2
， u
=
tg
高等数学公式汇总(大全)
高等数学公式汇总(大全)导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数公式：·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
对数不等式和均值不等式
对数不等式和均值不等式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：对数不等式和均值不等式是数学中常见的重要不等式之一，常常在高等数学中出现。
这两类不等式的性质和用途在很多数学问题中都起到了重要的作用，尤其是在优化理论、凸函数理论、概率统计等领域中。
首先我们来说说对数不等式。
对数不等式是指不等式的两边都取对数后形成的不等式，常见的对数不等式有如下几种形式：1. 若a>0，b>0，则a^b>b^a。
4. 若a>0，则\ln{(1+a)}<a。
对数不等式在数学中有很多应用，例如在高等代数、概率论、微积分等领域中都能见到其影子。
对数不等式在研究数学问题时可以简化问题的难度，有时也可以用来证明其他数学不等式。
接下来说说均值不等式。
均值不等式是数学中一类重要的不等式，其基本思想是对一组数进行加工处理，然后比较其大小关系。
常见的均值不等式有如下几种形式：1. 算术平均数不小于几何平均数，即AM\geq GM，其中AM表示算术平均数，GM 表示几何平均数。
3. 三者平均不小于谐均值，即(AM+GM+QM)/3\geq HM，其中HM 表示谐均值。
均值不等式在数学中也有很多应用，特别是在概率统计、优化理论等领域中。
通过均值不等式可以得到很多有用的结论，对于解决一些复杂的问题起到了非常关键的作用。
对数不等式和均值不等式是数学中常见的重要不等式，它们在数学分析、凸函数理论等领域中有很重要的作用。
研究这两种不等式可以帮助我们更好地理解数学问题，解决实际问题中遇到的困难，也能够培养我们的数学思维和分析能力。
希望通过学习对数不等式和均值不等式，能够给我们带来更多的启发和收获。
【文章结束】。
第二篇示例：对数不等式和均值不等式是高等数学中的两个重要概念，它们在解决实际问题和证明数学定理中都有广泛的应用。
在本文中，我将分别介绍对数不等式和均值不等式，并探讨它们在数学领域的重要性和实际应用。
让我们来了解一下对数不等式的概念和特点。
高等数学第六章第3节平均值
ba n
x
定 积 分
1
n
lim
b a x0 i1
yi1x
b
1
a
lim
x0
n i 1
f ( xi1 )x,
y
b
1
a
b
a
f
(
x)dx
几何平均值公式
区间长度
(b a) y (b a) f ( )
-4-
第三节 平均值
例 1 计算纯电阻电路中正弦交流电i Im sint
(Um Im R)
结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率
等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一．
-6-
二 均方根
第三节 平均值
通常交流电器上标明的功率就是平均功率。交流
电器上标明的电流值都是一种特定的平均值，习惯
上称为有效值．
第 六
章 周期性非恒定电流i （如正弦交流电）的有效值
定 规定如下：当i(t )在它的一个周期T 内在负载电阻
Im2
2
sin2 td ( t )
2 0
第
六 章 定
Im2
4
tLeabharlann sin 22t
2
0
Im . 2
积 分
结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的1
2
函数 f ( x)在[a, b]上的均方根
b
1
a
b
a
f
2(
x )dx .
-9-
第三节 平均值
第 六 章 定 积 分
-1-
第三节 平均值
高教社(亢莹利)高等数学习题集(第三版)教学课件-函数的平均值
1b
y ba
a
f (x)dx ．
几何解释是：以[ a , b ] 为底， y f (x) 为曲边的曲边梯形面积，等于高为 y 的同底 矩形的面积．
知识巩固
§3.3.4函数的平均值
例 8 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度．
解 因为自由落体的速度 v gt ，所以要计算的平均速度为
2
t
，
因为交流电的周期为 T 2π ，所以在一个周期[ 0, 2π ] 内的平均功率为
P
1 2π 0
2π 0
Im2 R sin2
tdt
Im2 R 2π
2π
1
cos
2tdt
0
2
课堂练习
§3.3.4函数的平均值
1．求函数 y sin x 在区间[ 0, π] 上的平均值． 2．有一根长度为 a 的细棒，其上任意点 x 处的密度 x2 1 ，若细棒的一端与坐标原点重合，求细棒的平 均密度．
§3.3.4函数的平均值
y1 ， y2 ，…， yn 的算术平均值 y 很容易， 即
1 y n ( y1 y2
yn ) ．
新知识
§3.3.4函数的平均值
在实际应用中，有时还要考虑一个连续函数 f (x) 在区间[ a , b ] 上所取得“一切值” 的平均值．例如求交流电在一个周期的平均功率等问题．
v 1 T 0
T 0
gtdt
g T
1 2
t2
T
0
1 gT ． 2
例 9 在电阻为 R 的纯电阻电路中，计算正弦交流电 i(t) Im sin t 在一个周期内的平均功
高数中的积分与曲线面积求解
高数中的积分与曲线面积求解在高等数学中，积分是一个重要的概念，与曲线面积求解密切相关。
积分的核心思想是将一个曲线所围成的面积进行分割、逼近，并最终求得准确的面积值。
首先，我们需要了解积分的基本定义。
在高数中，我们使用定积分来表示一个函数在某一区间上的面积。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则[a, b]上f(x)的定积分表示为∫[a, b]f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。
接下来，我们介绍几种常见的求解曲线面积的方法。
1. 用不定积分法或基本积分法求解曲线面积：对于曲线y=f(x)在[a, b]上的面积，我们可以根据不定积分的性质，将其转化为对应的不定积分。
具体步骤是：a. 求出f(x)的一个原函数F(x)；b. 计算F(b)和F(a)；c. 然后计算积分F(b)-F(a)，即可得到曲线y=f(x)在[a, b]上的面积。
2. 使用定积分法求解曲线面积：这种方法适用于不能通过函数的原函数求出不定积分的情况。
具体步骤如下：a. 将曲线y=f(x)划分成若干个小区间；b. 在每个小区间上取一点xi，并计算出该点的纵坐标f(xi)；c. 将这些小区间上的面积进行累加，即可得到近似的曲线面积。
3. 利用几何图形的特点求解曲线面积：对于一些特殊的曲线，我们可以利用几何图形的特点来计算曲线所围成的面积。
例如，对于直线y=ax+b和x轴所围成的面积，可以通过计算该直线与x轴的交点坐标，然后计算面积的形式进行求解。
此外，还有一些常见的曲线面积求解的应用：1. 利用曲线面积求解函数的平均值：通过计算函数曲线所围成的面积，我们可以求解出函数在该区间上的平均值。
具体步骤是将曲线面积除以区间的长度即可得到平均值。
2. 利用曲线面积求解函数的变化量：通过比较两个函数曲线所围成的面积大小，可以求解出函数的变化量。
例如，计算两个函数曲线所围成的面积之差，可以得到函数在两个区间上的变化量。
总结一下，求解高数中的积分与曲线面积可以通过不定积分法、定积分法和几何图形法来实现。
电子表格求平均值
如何在Excel 表格里面求平均值方法/步骤第一，还是案例表格，这里我们要求，求出全组同学各科和 总分的平均分阅读阅读第三，在选中的单元格中输入“=”1325 4 5678 g 10'U 12 13 L4，选中高等数学的平均分这个单元格，即B1212 3 4 E 67gg1011L2 13阅读第四，你会发现， 输入“=号后， 表格的任务栏会有如下变化AVEEACEADE朴丁佣"阳坤烙副A 出缶丰步骤阅读第五，点击图中公式选中的倒三角，找到其中的 AVERAGE函数，鼠标左键点击，就会弹出如图的窗口邑E 上尙 AVERAGE *・•■・・ ■ BAM A S i i ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ i iI i ■ IAVERAGE■ ■ I ■■ ■■■-■niii ■■ ■■ ■■ I ■-■■ ■■ -■■ ■■■>価AX I ;smI'EINI'smiF I其它函数・・. 〒Docet2 ? 4 5 6 B 若 & ajEM * ▼「酸I E"L[i3・w«-War*'、八' =AWt«EOM LI J1(*工2^理僭许暫B 威嫌申..-71m—■i-uoh^ --------mi>£ls 9 11L I 31 I W 96的6072馆捷鲫可1!血卉刚BM ：K ：t ：嘩遊,+ eKE-LUtxe.畧度.mnia.Rdi.武厘［”剖I 隨 nTb-rM^iMa> i Mssr 施對趾34 吓 3- 1F (…幽]■ ■ — ■二…一-二.U 一 J- 一 -阅读第六，这里需要说明的是，如果倒三角下拉菜单中，没有找 到AVERAGE 函数，则可以点击其他函数，然后在弹出的窗 口中输入 average,就可以找到此函数。
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（2）求和：设各分点处的函数值为 ，函数 在区间 上的平均值近似为
（3）取极限：每个小区间的长度趋于零.函数 在区间 上的平均值为
（ ）
例1计算纯电阻电路中正弦交流电 在一个周期上的功率的平均值（简称平均功率）.
解：设电阻为 ，则电路中的电压为
功率 一个周期区间
平均功率
结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一．
二、均方根
通常交流电器上标明的功率就是平均功率．交流电器上标明的电流值都是一种特定的平均值，习惯上称为有效值．
周期性非恒定电流 （如正弦交流电）的有效值规定如下：当 在它的一个周期 内在负载电阻 上消耗的平均功率，等于取固定值 的恒定电流在 上消耗的功率时，称这个值 为 的有效值.
有效值计算公式的推导
固定值为 的恒定电流在 上消耗的功率为 ,电流 在 上消耗的功率为 ,它在 上的平均功率为 按定义有
即
正弦交流电 的有效值：
结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的
函数 在 上的均方根
三、小结
函数的平均值
函数的有效值
（理解平均功率、电流的有效值等概念）
思考题
有一根长为 的细棒，其上任一点 （棒的一端与原点重合）的密度 ，求棒的平均密度.
思考题解答
棒的平均密度为密度函数在 上的平均值.
章节题目
第六节平均值
内容提要
函数的平均值
均方根
重点分析
函数平均值的求法、思想
难点分析
求函数平均值的思想
习题布置
Байду номын сангаас：1、4
备注
教学内容
一、函数的平均值
实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均值来描述这个班的成绩的概貌.
问题：求气温在一昼夜间的平均温度.
入手点：连续函数 在区间 上的平均值.
讨论思想：分割、求和、取极限.