例谈高中数学一题多解和一题多变的意义

例谈高中数学一题多解和一题多变的意义

杨水长

摘 要：高中数学教学中,用一题多解和一题多变的形式,可以使所学的知识得到活化，融会贯通，而且可以开阔思路，培养学生的发散思维和创新思维能力，从而达到提高学生的学习兴趣，学好数学的效果。

关键词：一题多变 一题多解 创新思维 数学效果

很大部分的高中生对数学的印象就是枯燥、乏味、不好学、没兴趣.但由于高考“指挥棒”的作用，又只能硬着头皮学.如何才能学好数学？俗话说“熟能生巧”，很

多人认为要学好数学就是要多做.固然，多做题目可以

使学生提高成绩，但长期如此，恐怕也会使学生觉得数学越来越枯燥。

我觉得要使学生学好数学，首先要提高学生的学

习兴趣和数学思维能力。根据高考数学“源于课本，

高于课本”的命题原则，教师在教学或复习过程中可

以利用书本上的例题和习题，进行对比、联想，采取

一题多解与一题多变的形式进行教学.这是提高学生数学学习兴趣和思维能力的有效途径。下面举例说明：

例题： 已知tanα=4

3

,求sinα,cosα的值

分析：因为题中有sinα、cosα、tanα，考虑他们之间的关系，最容易想到的是用同角三角函数关系式和方程解此题：

法一 根据同角三角函数关系式tanα= 4

3=

α

αcos sin ，

且sina2α + cos2α =1。

两式联立，得出：cos2α=2516,cosα= 5

4

或者

cosα= -54

；而sinα=53或者sinα=-53 。

分析：上面解方程组较难且繁琐，充分利用用同角三角函数关系式“1”的代换，不解方程组，直接求解就简洁些：

法二 tanα=4

3

：α在第一、三象限

在第一象限时： cos2α

=

ααcos sin cos 2

2

2

5+=αtan 2

11+=2516

cosα=5

4

sinα=αcos

21-=5

3 而在第三象限时： cosa=- 5

4 sina=- 53

分析：利用比例的性质和同角三角函数关系式，解此题更妙： 法三 tanα= 43= αα

cos sin ↔4cos α=

3sin α

↔4cos α=

3sin α= ±

3

4cos sin

2

2

2

2

++α

α

∴sinα=53，cosα= 54

或sinα=-53，cosα=-54

分析： 上面从代数法角度解此题，如果单独考虑sinα、cosα、tanα，可用定义来解此题。初中时，三角函数定义是从直角三角形引入的，因此我们可以尝试几何法来解之：

法四 当α为锐角时，由于tana=4

3,在直角△ABC 中，设α=A,a=3x,b=4x ，则勾股定理，得，c=5x

sinA=AB

BC =

53

,cosA=AB AC =5

4

∴sinα= 53

，cosα=54

或sinα= -53

，cosα= -54

分析 ：用初中三角函数定义解此题，更应该尝试用三角函数高中的定义解此题，因为适用范围更广：

法五 当α为锐角时，如下图所示，在单位圆中，

设α=∠AOT ， 因为tanα=

4

3，则T 点坐标是T(1,

4

3 ),由勾股定理得：OT=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+432

1= 45

∵△OMP ∽△0A T ∴AT MP =OA OM =OT OP

，OM=54, MP =53

, p(54, 53),

∴sinα= 53，cosα= 54

或sinα=-53，cosα= -5

4

分析： 圆和直线已经放入直角坐标系中，肯定可以尝试用解析几何法来解此题：

解法六，如上图，易求出直线OT 的方程和单位圆的方程

y=4

3 x ；x2+y2=1

两式联立，得出：

⎩⎨⎧==545

3x y ， 或

⎩⎨⎧-=-=54

5

3x y .

T 点坐标是P(-54, -53) P(5

4

,

53 )

∴sinα= 53

，cosα=54

或sinα= -53

，cosα= -54

分析： 先考虑sinα、cosα两者之间的关系，容易想到用三角函数辅助角公式来帮助解决此问题：

解法七tanα= 43= α

αcos sin

4sina-3cosa=0

由三角函数辅助角公式得，

5sin （a+φ）= 0,其中，sinφ=53 , cosφ=54

∴a+φ=kπ ，k ∈Z

sina=sin （k π -φ）=sinφ α在第一、三象限

∴容易求出sinα=53 ，cosα= 5

4

或sinα=-53，co sα= -54

分析： 仅仅从角度变换考虑，看一看，用二倍

角公式是否能解决此问题：

解法八，由二倍角公式，得，tanα=

2

2tan

2

12

tan

α

α

-=

4

3

3tan22

α +8tan 2

α-3=0

∴tan 2

α= -3,或tan 2α=31