2-2-1 椭圆及其标准方程

能力拓展提升

一、选择题

11．已知方程x 2|m |－1＋y 2

2－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m

的取值范围是( )

A ．m <2

B ．1

C ．m <－1或1

D ．m <－1或1

2

[答案] D

[解析]

由题意得⎩⎪⎨⎪

⎧

|m |－1>0，2－m >0，

2－m >|m |－1.

即⎩⎨

⎧

m >1或m <－1，

m <2，m <32.

∴1

2

或m <－1，故选D.

12．若△ABC 的两个焦点坐标为A (－4,0)、B (4,0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( )

A.x 225＋y 2

9

＝1 B.y 225＋x 2

9

＝1(y ≠0) C.x 216＋y 2

9＝1(y ≠0) D.x 225＋y 2

9

＝1(y ≠0) [答案] D

[解析] |AB |＝8，|AC |＋|BC |＝10>|AB |，故点C 轨迹为椭圆且两焦点为A 、B ，又因为C 点的纵坐标不能为零，所以选D.

13．椭圆x 212＋y 2

3

＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段

PF 1的中点M 在y 轴上，那么点P 的纵坐标是( )

A ．±34

B ．±22

C ．±32

D ．±34

[答案] C

[解析] 设F 1(－3,0)，∵PF 1的中点M 在y 轴上，且MO ⊥x 轴，∴P 点横坐标为3，代入x 212＋y 2

3

＝1中得，

y 2＝34，∴y ＝±32

.

14．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (0，－2)和C (0,2)，顶点B 在椭圆y 212＋x 2

8＝1上，则sin A ＋sin C sin B

的值是( )

A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．4 [答案] A

[解析] 由椭圆定义得|BA |＋|BC |＝43， 又∵sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝43

4＝3，故选A.

二、填空题

15．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，若|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则该椭圆的方程是________．

[答案] x 24＋y 2

3

＝1

[解析] 由题意得2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|， ∴4c ＝2a ，∵c ＝1，∴a ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝3，

故椭圆方程为x 24＋y 2

3

＝1.

16．如图，把椭圆x 225＋y 2

16＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分

点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________.

[答案] 35

[解析] 设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性知， |P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，

∴原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋1

2(|P 4

F |＋|P 4F ′|)＝7a ＝35. 三、解答题

17．已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 2

64＝1的两个焦点，P 是椭圆上任

一点，若∠F 1PF 2＝π

3

，求△F 1PF 2的面积．

[解析] 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n . 根据椭圆定义有m ＋n ＝20，

又c ＝100－64＝6，∴在△F 1PF 2中， 由余弦定理得m 2＋n 2－2mn cos π

3

＝122，

∴m2＋n2－mn＝144，∴(m＋n)2－3mn＝144，

∴mn＝256 3，

∴S△F1PF2＝1

2|PF1||PF2|sin∠F1PF2

＝1

2×256

3×

3

2＝

643

3.

18．已知椭圆y2

a2＋x2

b2＝1(a>b>0)的焦点分别为F1(0，－1)，F2(0,1)，

且3a2＝4b2.

(1)求椭圆的方程；

(2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值．

[解析](1)由题意得椭圆焦点在y轴上，且c＝1.

又∵3a2＝4b2，∴a2－b2＝1

4a

2＝c2＝1，

∴a2＝4，b2＝3，

∴椭圆标准方程为y2

4＋

x2

3＝1.

(2)如图所示，|PF1|－|PF2|＝1.

又由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝4，

∴|PF1|＝5

2，|PF2|＝3

2，|F1F2|＝2，

cos∠F1PF2＝(

5

2)

2＋(

3

2)

2－22

2×

5

2×

3

2

＝

9

15＝

3

5.