第三章 刚体力学1
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第三章刚体力学基础
（1）轴通过棒的一端并与棒垂直轴。z
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
第3章刚体力学
23
例8 ： 一质点的质量为m，位矢为：r =acost i+bsint j (式中a、b、 均为常量); 求质点的角动量及它所受的力矩。
dr 解： a sin ti b cos tj dt L r ( m ) 2 2 mab cos tk mab sin tk
mg
14
例6： 一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可绕一水平光滑 轴o在竖直平面内转动，o轴离A端的距离为 l/3。今使棒从静
止开始由水平位置绕o轴转动，求棒转过角 时的角加速度和
角速度。 解 细棒AB受的重力可集中在质心，故重力的力矩为
M o mg l cos
6
A
o C
1 l 2 1 2 2 I o ml m( ) ml 12 6 9
I V r dm
2
式中r为刚体上的质元dm到转轴的距离。 线状刚体： 面状刚体： 体状刚体：
dm dl dm dS dm dV
Io
o
d
Ic
C
2 (3)平行Biblioteka 定理： Io=Ic+MdM
Ic 通过刚体质心的轴的转动惯量;
M 刚体系统的总质量; d 两平行轴(o,c)间的距离。
动力学规律可以推广应用到刚体。
2
二 . 刚体定轴转动的描述
刚体在作定轴转动时，刚体上所以质点都作圆周运动且角 速度相同，所以用角量描述最为方便。
d , dt
线量与角量的关系：
d dt
r a r a r 2 n
o
r
P
x
刚体作匀速、匀变速定轴转动时，各角参量之间的关系 与质点作匀速、匀变速圆周运动时所满足的关系一样。
例8 ： 一质点的质量为m，位矢为：r =acost i+bsint j (式中a、b、 均为常量); 求质点的角动量及它所受的力矩。
dr 解： a sin ti b cos tj dt L r ( m ) 2 2 mab cos tk mab sin tk
mg
14
例6： 一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可绕一水平光滑 轴o在竖直平面内转动，o轴离A端的距离为 l/3。今使棒从静
止开始由水平位置绕o轴转动，求棒转过角 时的角加速度和
角速度。 解 细棒AB受的重力可集中在质心，故重力的力矩为
M o mg l cos
6
A
o C
1 l 2 1 2 2 I o ml m( ) ml 12 6 9
I V r dm
2
式中r为刚体上的质元dm到转轴的距离。 线状刚体： 面状刚体： 体状刚体：
dm dl dm dS dm dV
Io
o
d
Ic
C
2 (3)平行Biblioteka 定理： Io=Ic+MdM
Ic 通过刚体质心的轴的转动惯量;
M 刚体系统的总质量; d 两平行轴(o,c)间的距离。
动力学规律可以推广应用到刚体。
2
二 . 刚体定轴转动的描述
刚体在作定轴转动时，刚体上所以质点都作圆周运动且角 速度相同，所以用角量描述最为方便。
d , dt
线量与角量的关系：
d dt
r a r a r 2 n
o
r
P
x
刚体作匀速、匀变速定轴转动时，各角参量之间的关系 与质点作匀速、匀变速圆周运动时所满足的关系一样。
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
第03章(刚体力学)习题答案
内力做功，机械能守恒，动量守恒的条件为合外力为零，转轴不属于系统，转轴与盘之间有
作用力，动量不守恒。
3-2 如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑
O
固定轴 O 旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打
击细杆．设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆
与小球这一系统的哪种物理量守恒？ 答：在碰撞时，小球重力过转轴，杆的重力也过轴，外力矩为
思考题 32 图
零，所以角动量守恒。因碰撞时转轴与杆之间有作用力，所以动量不守恒。碰撞是非弹性的，
所以机械能也不守恒。
3-3 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴 O 以角速度w按图示方向转动.若如图
所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力
F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度w 如何变化？
解：此过程角动量守恒
Jw0
=
1 3
Jw
Þ
w
=
3w0
3-10 一轴承光滑的定滑轮，质量为 M＝2.00 kg，半径为 R＝0.100 m，
一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为 m＝5.00
kg 的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为 J＝ 1 MR 2 ，其初角速 2
w 0
R M
解：（1）设在任意时刻定滑轮的角速度为w，物体的速度大小为 v，则有 v=Rw.
则物体与定滑轮的总角动量为： L = Jw + mvR = Jw + mR2w
根据角动量定理，刚体系统所受的合外力矩等于系统角动量对时间的变化率：
M = dL ,该系统所受的合外力矩即物体的重力矩:M=mgR dt
所以： b
理论力学周衍柏第三章
一、基础知识 1. 力系：作用于刚体上里的集合. 平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系. 等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同. 二、公理： 1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作 用下必呈平衡。 2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原 力系的运动效应。 3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，幵不改变其作用 效果，F与F’等效。 注：1）以上公理适用于刚体, 2) 力的作用线不可随便平移
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
§3.1 刚体运动的分析
力的作用线迁移后，转化为一个力和一个力偶（矩）
空间力系的简化 可以简化为空间定点的一个单力F和一个力偶矩M，F称主矢， M称主矩，定点称简化中心。
Note: (1)简化中心可以任意选取（一般取质心）；
(2)主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关。
例如：作用在A点的力F分别向B、C迁移：
B rBC
迁移到B，需添加：M
z
质点组(n个质点)：自由度= 3n
确定刚体在空间的位置，最少需要几个独立变量？
B
A
C
至少需要6个独立变6个独立变量？
刚体位置的描述 （1）三点法：
C xC , yC , zC
从9个非独立坐标 中任取6个独立的
A xA, yA, zA B xB , yB , zB
定点转动的自由度：3个
§3.2 角速度矢量
设刚体绕通过定点O的某轴线转动了Δθ角度
角位移： 在转动轴上截取有向线段 n称为角位移
n的方向：与旋转方向成右手螺旋关系
n
n
角位移是不是矢量？
——矢量的合成满足平行四边形法则 满足对易律：A+B=B+A
A B
有限转动 ：角位移不是矢量，不满足矢量加法对易律
dJ dt
Fe Me
刚体： mdJrC dt
i i
Fie
F
ri
Fi e
M
Note：
6个方程正好确定
①明确方程中各个量的意义。 刚体的6个独立变量
F
:主矢
J ,
M：以质心为中心得到的动量矩和主矩。
②当研究刚体对固定点的转动时，可以将第二方程换为
dJ dt
i
ri
Fi e
空间力系的简化 可以简化为空间定点的一个单力F和一个力偶矩M，F称主矢， M称主矩，定点称简化中心。
Note: (1)简化中心可以任意选取（一般取质心）；
(2)主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关。
例如：作用在A点的力F分别向B、C迁移：
B rBC
迁移到B，需添加：M
z
质点组(n个质点)：自由度= 3n
确定刚体在空间的位置，最少需要几个独立变量？
B
A
C
至少需要6个独立变6个独立变量？
刚体位置的描述 （1）三点法：
C xC , yC , zC
从9个非独立坐标 中任取6个独立的
A xA, yA, zA B xB , yB , zB
定点转动的自由度：3个
§3.2 角速度矢量
设刚体绕通过定点O的某轴线转动了Δθ角度
角位移： 在转动轴上截取有向线段 n称为角位移
n的方向：与旋转方向成右手螺旋关系
n
n
角位移是不是矢量？
——矢量的合成满足平行四边形法则 满足对易律：A+B=B+A
A B
有限转动 ：角位移不是矢量，不满足矢量加法对易律
dJ dt
Fe Me
刚体： mdJrC dt
i i
Fie
F
ri
Fi e
M
Note：
6个方程正好确定
①明确方程中各个量的意义。 刚体的6个独立变量
F
:主矢
J ,
M：以质心为中心得到的动量矩和主矩。
②当研究刚体对固定点的转动时，可以将第二方程换为
dJ dt
i
ri
Fi e
第3章刚体力学基础
将圆盘视为一个系统，破裂后其受合 外力矩为零，所以其角动量守恒。
§3-3 刚体的能量
一、力矩的功
α
二、力矩的功率
说明：1、变力矩情况
2、此式的简单应用 三、转动动能 对刚体上任一质点mi, ri Vi ω 和质点的动能形式进行比较。
四、动能定理
意义：合外力矩对定轴转动的刚体所作的功， 等于刚体转动动能的增量。
第三章 刚体力学基础
§3-1 刚体运动的描述 一、刚体（rigid body） 刚体:在任何外力作用下，其形状和大小均不发生 改变的物体。 说明：
1）理想模型。
2）在外力的作用下，物体的形状和大小的变化很小 ,可以忽略不计,该物体仍可视为刚体。
二、刚体的运动 1、平动（translation）
刚体内任意两点的连线在
由平行轴定理
6g sinq 由(1)、(2)得： w = 2 7l v v v + mg = ma c 应用质心运动定理： N
(3) (4)
7 = ml 48
2
(2)
l = w2 a cl 4 6 = g sin q 7 l a = ct 4
(5)
由 (3)(4)(5)(6) 可解得：
l l 4 mg cos q = 4 J o 3 g cos q = (6) 7 13 N = mg sin q , l 7
解得:
应用型问题研究时以ω 绕轴旋转，在Δt 时间内其 角速度变为零。 d X C 碰撞过程中受力图为： ω Nx L/2 在图示坐标中， NY 依角动量定理： Z Y F
∵X方向无运动,∴NX = 0 结论：门碰装在离轴2/3处，开门时对轴的冲击力最小。
3）刚体匀变速转动公式
同匀变速直线运动公式。
第三章 刚体力学
第三章刚体力学本章介绍刚体运动状态的描述（§3.1-§3.2）以及刚体受力与运动状态的关系（§3.3-§3.10）。
其内容包括：刚体运动学、刚体静力学和刚体动力学，重点掌握刚体运动学和刚体动力学。
刚体是指在任何情况下形状、大小都不发生变化的力学体系，它是一种理想物理模型，只要一个物体中任意两点的距离不因受力而改变，它就可以称为刚体。
§3.1 刚体运动的分析一、描述刚体位置的独立变量刚体的特性是任意两点距离不因受力而变。
这种特性决定了确定刚体的位置并不需要许多变量，而只要少数变量就行。
能完全确定刚体位置的，彼此独立的变量个数叫刚体的自由度。
二、刚体运动的分类及其自由度1、平动：自由度3，可用其中任一点的坐标x、y、z描述；2、定轴转动：自由度1，用对轴的转角φ描述；3、平面平行运动：自由度3，用基点的坐标(x o,y o)及其对垂直平面过基点的轴的转角φ描述。
4、定点转动：自由度3，用描述轴的方向的θ，ψ角和轴线的转角ψ描述。
5、一般运动：自由度6，用描述质心位置的坐标(x c,y c,z c)和通过的定点的轴的三个角（θ,φ,ψ）描述。
§3.2 角速度矢量、角速度矢量及其与刚体中任本节重点是：掌握角位移矢量一点的线位移、线速度的相互关系。
理解有限转动时角位移不是矢量，只有无限小角位移才是矢量。
一、有限转动与无限小转动1、有限转动不是矢量，不满足对易律2、无限小转动是矢量，它满足矢量对易律。
①线位移△r与无限小角位移△n的关系设转轴OM，有矢量△n，其大小等于很小的转角Δθ，方向沿转轴方向，转轴的方向与刚体转动方向成右手螺旋,则△n称为角位移矢量。
由图3.2.1很容易求得即线位移△r=角位移△n与位矢r的矢量积。
②角位移和△n满足矢量对易律利用两次位移的可交换性，可证得该式表明：微小转动的合成遵循平行四边形加法的对易律，从而无限小角位移△n是一个矢量。
第三章 刚体力学
y’
y,η x
ψ
N
x,ξ
实际上，据刚才的分析， O 轴 可认为 是刚体绕 转动的角速度 ，绕ON轴 转动的角速度 ，和绕 z轴转动的角速度 的矢量
z θ
z
ψ
y
M ’
y’
sin sini sin cosj cosk
F2
d o1o2
P
O1 A
rAB
B
F1 F2 F
O2
为力偶面
F1
力偶臂：两平行力之间的垂直距离 如图所示的O1O2 力偶对任意一点P的力矩等于两平 行力对同一点P的力矩之代数和
M F2 .PO2 F1.PO1 F.O1O2
M
力偶矩：力和力偶臂的乘积，方向右手螺旋法则
二 角速度矢量 角速度：
lim
t 0
既然角位移 且与角位移的方向相同 转动瞬轴： 定点转动时某时刻的转轴
n是矢量，则角速度也是矢量，
线速度：因转动而具有的速度 线速度和角速度之间的关系：
r 为刚体内某质点到点O的位矢， 是刚体绕通过
该点某轴线的角速度
dr dn r v r dt dt
y,η
k
ψ N
cosi sinj
y
x,ξ
x’
x
cos sin sin x
sin sin cos y
x
cos z
已知 (t ) ,θ(t),ψ(t)可以求得ω，反之亦然。
二、刚体的运动微分方程 1.质心运动方程 根据质心运动定理，取质心为简化中心， d r 为刚体质心相对于 m F F 则 dt 某定点O的位矢 分量式： m C Fx x
大学物理-第三章 刚体力学
向力的作用点P的矢量。 M rF
大小：M rF sin Fd
M
O
z
M
r
d
P*
F
方向：右手螺旋，图中向上
0 , M o，沿转轴向上，使刚体绕转轴逆时针转
2 , M o，沿转轴向下，使刚体绕转轴顺时针转
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2.外力F不在转动平面内 MFOFr FFz r F r Fz
T
N2
mg T2 T2 2m
2mg
解 ： 设 整 体 顺 时 针 运 动， 即 两 滑 轮 转 轴 正 向 向内 。
右 质 点2m正 向 向 下 ， 左 质 点m正 向 向 上 ，
受力分析如图。
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右质点 2mg T2 2ma
左质点 T1 mg ma
右 滑 轮 T2 r
Tr
第三章 刚体力学
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刚体：不发生形变的物体（理想模型）
刚体模型突出了物体的大小形状，忽略形变和振动。 刚体的运动形式：平动、转动、滚动、进动
刚体复杂运动可视为：平动 转动（绕某轴线转动） 刚体力学研究方法 把刚体看成不变质点系(任意两个质元的相对距离 保持不变),运用质点系定理和定律研究刚体的运动。
m 2
r
2
左滑轮Tr
T1r
m 2
r 2
关联方程 a r
解出 T 11 mg 8
N1
T
T1
mg
T1 m
mg
T
N2
a
mg T2
T2 2m
2mg
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M,
J
大小：M rF sin Fd
M
O
z
M
r
d
P*
F
方向：右手螺旋，图中向上
0 , M o，沿转轴向上，使刚体绕转轴逆时针转
2 , M o，沿转轴向下，使刚体绕转轴顺时针转
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2.外力F不在转动平面内 MFOFr FFz r F r Fz
T
N2
mg T2 T2 2m
2mg
解 ： 设 整 体 顺 时 针 运 动， 即 两 滑 轮 转 轴 正 向 向内 。
右 质 点2m正 向 向 下 ， 左 质 点m正 向 向 上 ，
受力分析如图。
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右质点 2mg T2 2ma
左质点 T1 mg ma
右 滑 轮 T2 r
Tr
第三章 刚体力学
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刚体：不发生形变的物体（理想模型）
刚体模型突出了物体的大小形状，忽略形变和振动。 刚体的运动形式：平动、转动、滚动、进动
刚体复杂运动可视为：平动 转动（绕某轴线转动） 刚体力学研究方法 把刚体看成不变质点系(任意两个质元的相对距离 保持不变),运用质点系定理和定律研究刚体的运动。
m 2
r
2
左滑轮Tr
T1r
m 2
r 2
关联方程 a r
解出 T 11 mg 8
N1
T
T1
mg
T1 m
mg
T
N2
a
mg T2
T2 2m
2mg
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M,
J
第3章 刚体力学基础
刚体力学的基础知识包括刚体绕定轴转 动的动力学方程和动能定理，刚体绕定轴 转动的角动量定理及角动量守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
§3-1 刚体 刚体定轴转动的描述
dt
当输---出----功----率-----一----定----时----,-力----矩-----与----角----速----度-----成----反----比----。------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W
2 1
Md
2 1
Jd
2 1
J d d
dt
W
2 1
Jd
第3章 刚体力学基础
§3.1 刚体 刚体定轴转动的描述 §3.2 刚体定轴转动的转动定律 §3.3 刚体定轴转动的动能定理 §3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量 守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
➢刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速度) 相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加速度) 大小与质元到转轴的距离成正比 。
-------------------------------------------------------------------------------
§3-2 刚体定轴转动的转动定律
对滑轮 ， 由转动定律
T2R T1R J ④
由于绳不可伸长
aA aB R
⑤
J 1 mR2
第3章_刚体
刚体由
d dr
F
r
P
1 2
2
A Md
1
2
刚体同时受几个力作用时, 合力或合力矩的功：
A Ai
1
M d
i
2
1
M d
合外力矩的功
M 等于各力矩的功的代数和
dA d 力矩的功率： P M M dt dt
力矩的功率等于力 矩和角速度的乘积
O
u
1 1 2 1 2 2 mu mv J 2 2 2
由系统角动量守恒
mul J mvl
6mu ( M 3m)l
u ( M 3m) v M 3m
z
r
v
P
第二节 刚体对定轴的角动量和转动惯量
刚体是任意两质点间的距离保持不变的特殊质点系 1、刚体对定轴的角动量 这一特殊质点系对该轴上任一O点 的角动量在该轴上的分量或投影 任一质点或质元对O点的角动量为：
z
Li Ri mi vi
在轴上的分量：
vi
1 2 Ek mv 2
z
d dr
F
O
r
P
外力 F 作用于刚体上的P点，时间 dt 内刚 。 体绕定轴转过角度 d ，P点的位移 dr
元功： dA F dr F cos dr
z
O
F cos rd Frsin d Md
z
薄板形刚体对板面内的两条 正交轴的转动惯量之和等于 对过该两轴的交点并垂直于 板面的那条转轴的转动惯量
o
y
ri xi
J z J x J y
d dr
F
r
P
1 2
2
A Md
1
2
刚体同时受几个力作用时, 合力或合力矩的功：
A Ai
1
M d
i
2
1
M d
合外力矩的功
M 等于各力矩的功的代数和
dA d 力矩的功率： P M M dt dt
力矩的功率等于力 矩和角速度的乘积
O
u
1 1 2 1 2 2 mu mv J 2 2 2
由系统角动量守恒
mul J mvl
6mu ( M 3m)l
u ( M 3m) v M 3m
z
r
v
P
第二节 刚体对定轴的角动量和转动惯量
刚体是任意两质点间的距离保持不变的特殊质点系 1、刚体对定轴的角动量 这一特殊质点系对该轴上任一O点 的角动量在该轴上的分量或投影 任一质点或质元对O点的角动量为：
z
Li Ri mi vi
在轴上的分量：
vi
1 2 Ek mv 2
z
d dr
F
O
r
P
外力 F 作用于刚体上的P点，时间 dt 内刚 。 体绕定轴转过角度 d ，P点的位移 dr
元功： dA F dr F cos dr
z
O
F cos rd Frsin d Md
z
薄板形刚体对板面内的两条 正交轴的转动惯量之和等于 对过该两轴的交点并垂直于 板面的那条转轴的转动惯量
o
y
ri xi
J z J x J y
第三章刚体力学(1)
Mg
v 2ah v 1 R R
4mgh 2m M 4mgh 2m M
Quiz:
哪个门的运动状态更容易改变？
转动惯量小
转动惯量大
复 习 刚体的概念 刚体的运动——平动和转动 描述刚体转动的物理量——角速度和角加速度
力矩 转动定律
转动惯量
例2、一根长为L、质量为m的均匀细直棒，其一端
d d d d M J J J J dt d dt d 1 代入M＝ mgL cos Md Jd 2
定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有
细绳，绳的一端固定在滑轮边上，
另一端挂一质量为ｍ的物体而下垂。
忽略轴处摩擦，求物体ｍ由静止下
Mg
落高度ｈ时的速度和此时滑轮的角
速度。
解： 对M：M ＝T R＝J其中J＝ 1 MR 2
1
2
对m：mg T1 ma其中a R
m 解方程得：a mM g 2
2 150 0 5 rad / s t 60 而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1)
0 5 (rad / s 2 ) t 30 6 负号表示角加速度方向与角速度方向相反 （飞轮做匀减速转动）
2 2 0 (5 ) 2 75 (rad ) 2 2 ( )
质点力学：
研究对象 —— 质点
运动规律 —— 牛顿定律，守恒定律
刚体力学：
研究对象 —— 刚体（质点系） 运动规律 —— 平动的规律和绕定轴转动的规律
（可由牛顿定律推演而来）
刚体只是质点系的一个特例，运动规律还是牛顿定律， 那为什么还要专门讲刚体的运动规律呢？
柔道“臀摔”
v 2ah v 1 R R
4mgh 2m M 4mgh 2m M
Quiz:
哪个门的运动状态更容易改变？
转动惯量小
转动惯量大
复 习 刚体的概念 刚体的运动——平动和转动 描述刚体转动的物理量——角速度和角加速度
力矩 转动定律
转动惯量
例2、一根长为L、质量为m的均匀细直棒，其一端
d d d d M J J J J dt d dt d 1 代入M＝ mgL cos Md Jd 2
定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有
细绳，绳的一端固定在滑轮边上，
另一端挂一质量为ｍ的物体而下垂。
忽略轴处摩擦，求物体ｍ由静止下
Mg
落高度ｈ时的速度和此时滑轮的角
速度。
解： 对M：M ＝T R＝J其中J＝ 1 MR 2
1
2
对m：mg T1 ma其中a R
m 解方程得：a mM g 2
2 150 0 5 rad / s t 60 而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1)
0 5 (rad / s 2 ) t 30 6 负号表示角加速度方向与角速度方向相反 （飞轮做匀减速转动）
2 2 0 (5 ) 2 75 (rad ) 2 2 ( )
质点力学：
研究对象 —— 质点
运动规律 —— 牛顿定律，守恒定律
刚体力学：
研究对象 —— 刚体（质点系） 运动规律 —— 平动的规律和绕定轴转动的规律
（可由牛顿定律推演而来）
刚体只是质点系的一个特例，运动规律还是牛顿定律， 那为什么还要专门讲刚体的运动规律呢？
柔道“臀摔”
第三章 刚体力学基础
J mi ri2
m1
r1
r2
m2
若质量连续分布
质量为线分布
J r dm
2
质量为面分布
质量为体分布
dm dl
为质量的线密度
dm ds
为质量的面密度
dm dV
为质量的体密度
线分布
面分布
体分布
注 意
只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才 用积分计算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。
0 x
d 角速度 dt 2 d d 角加速度 2 dt dt 由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周 运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方法，此处全部 可用。
d
２) 刚体定轴转动角量与线量的关系 所有质点的角量都相同 ； 质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比 。
2
物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小 反映了改变刚体转动状态的难易程度。
2. 与转动惯量有关的因素 ①刚体的质量及其分布; ②转轴的位置; ③刚体的形状。 3. 转动惯量的计算 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质 点的质量与这一质点到转轴的距离平方的 乘积之和。 质量离散分布的刚体
ri
0
f ji
rj
rij
f ij
二、刚体定轴转动的转动定律
如右图所示：刚体绕定轴z转动，在 刚体上任取一质元mi ，它绕z轴作 圆周运动，取自然坐标系 对mi 用牛顿第二定律：
z
fi
Or i
Fi
i
mi
i
Fi f i mi ai
cos i f i cos i ) mi ain mi ri 2
m1
r1
r2
m2
若质量连续分布
质量为线分布
J r dm
2
质量为面分布
质量为体分布
dm dl
为质量的线密度
dm ds
为质量的面密度
dm dV
为质量的体密度
线分布
面分布
体分布
注 意
只有几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才 用积分计算其转动惯量,一般刚体则用实验求其转动惯量。
0 x
d 角速度 dt 2 d d 角加速度 2 dt dt 由于这时组成刚体的各质点均在各自的转动平面内绕轴作圆周 运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方法，此处全部 可用。
d
２) 刚体定轴转动角量与线量的关系 所有质点的角量都相同 ； 质点的线量与该质点的轴矢径大小成正比 。
2
物理意义：转动惯量是对刚体转动惯性大小的量度，其大小 反映了改变刚体转动状态的难易程度。
2. 与转动惯量有关的因素 ①刚体的质量及其分布; ②转轴的位置; ③刚体的形状。 3. 转动惯量的计算 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质 点的质量与这一质点到转轴的距离平方的 乘积之和。 质量离散分布的刚体
ri
0
f ji
rj
rij
f ij
二、刚体定轴转动的转动定律
如右图所示：刚体绕定轴z转动，在 刚体上任取一质元mi ，它绕z轴作 圆周运动，取自然坐标系 对mi 用牛顿第二定律：
z
fi
Or i
Fi
i
mi
i
Fi f i mi ai
cos i f i cos i ) mi ain mi ri 2
理论力学第三章刚体力学
理论力学
电子科技大学物理电子学院 付传技
Em以看作是一种特殊 的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不 变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它 的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。
我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程 后，着重研究平面平行运动和定点运动。
1. 描写刚体位置的独立变量
质点3个变量
质点组3n个变量
确定刚体在空间的位置，需要几个变量？
B A
C 6个变量可以确定刚体位置
2. 刚体运动的分类 1）平动
平动的独立变量为三个
2）定轴转动
定轴转动的独立变量只有一个
世界最大的摩天轮——“伦敦眼”
3）平面平行运动
平面平行运动的独立变量有三个
4）定点转动
此时，有
3
e＝ a e （＝1, 2,3） ＝1
可以省去求和符号，默认对重复指标自动求和，
e＝a e 这种约定称为爱因斯坦约定。
用任意点的位矢点乘上式两端，得
x a x （＝1，2，3）
上式即是从空间系到本体系的坐标变换，可以
将它表示成矩阵形式：
x1 a11 a12 a13 x1
rˆ Aˆ rˆ Aˆ Aˆrˆ 因为rˆ是任意的，所以 Aˆ Aˆ＝1ˆ 1ˆ为单位阵，对调空间系和本体系的地位，可知上式 中Aˆ与Aˆ 的位置也可以交换，所以Aˆ是可逆的，逆阵与 逆变换相对应。
转动不改变位矢的长度，所以
rˆT rˆ ( Aˆ rˆ)T Aˆ rˆ rˆT ( AˆT Aˆ)rˆ rˆT rˆ
由rˆ的任意性可得 AˆT Aˆ＝1ˆ
这表明Aˆ的逆矩阵就是其转置。
这个结论还可以写成 Aˆ AˆT＝AˆT Aˆ＝1ˆ
或a a
电子科技大学物理电子学院 付传技
Em以看作是一种特殊 的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不 变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它 的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。
我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程 后，着重研究平面平行运动和定点运动。
1. 描写刚体位置的独立变量
质点3个变量
质点组3n个变量
确定刚体在空间的位置，需要几个变量？
B A
C 6个变量可以确定刚体位置
2. 刚体运动的分类 1）平动
平动的独立变量为三个
2）定轴转动
定轴转动的独立变量只有一个
世界最大的摩天轮——“伦敦眼”
3）平面平行运动
平面平行运动的独立变量有三个
4）定点转动
此时，有
3
e＝ a e （＝1, 2,3） ＝1
可以省去求和符号，默认对重复指标自动求和，
e＝a e 这种约定称为爱因斯坦约定。
用任意点的位矢点乘上式两端，得
x a x （＝1，2，3）
上式即是从空间系到本体系的坐标变换，可以
将它表示成矩阵形式：
x1 a11 a12 a13 x1
rˆ Aˆ rˆ Aˆ Aˆrˆ 因为rˆ是任意的，所以 Aˆ Aˆ＝1ˆ 1ˆ为单位阵，对调空间系和本体系的地位，可知上式 中Aˆ与Aˆ 的位置也可以交换，所以Aˆ是可逆的，逆阵与 逆变换相对应。
转动不改变位矢的长度，所以
rˆT rˆ ( Aˆ rˆ)T Aˆ rˆ rˆT ( AˆT Aˆ)rˆ rˆT rˆ
由rˆ的任意性可得 AˆT Aˆ＝1ˆ
这表明Aˆ的逆矩阵就是其转置。
这个结论还可以写成 Aˆ AˆT＝AˆT Aˆ＝1ˆ
或a a
刚体
线量与角量的关系
这是定轴转动中线量与角量的基本关系
小质元可看成质点，它的速度、加速 度等均是线量；线量是反映刚体局部 某点的
刚体上所有质元转动的共同速度、加 速度等均是角量；角量反映刚体整体 的
质点直线运动或刚体平动
刚 体 公式对比 角位移
的 定 轴 转 动
位移 速度
加速度 匀速直线运动 匀变速直线运动
如何描述刚体的 定轴转动呢？
第三节圆周、刚体运动
1-3
一质点A作圆周运动
descriptions of circular motion and rigid body motion
约定：逆时针为正
角坐标、角位移
约定：反时针为正
角速度
角加速度
一般方法
求解圆周运动问题的一般方法
角线量关系
角线关系简例
刚体及其平动
平 动
刚体任意两点的连线保持方 向不变。各点的
相同，可当作质点处理。
刚体定轴转动
刚体的定轴转动
刚体每点绕同一 轴线作圆周运动， 且该转轴空间位置 及方向不变。
轴上所有各点都保持不动 刚体内不在轴上的其 它各点都在通过各点 且垂直于轴的平面内 绕轴做圆周运动 轴外所有各点在同一时间间 隔内走过的弧长虽不同，但 转过的角度都相等
续参量
角加速度 14 . . 角位置
描述刚体转动状态改变 描述刚体（上某点）的位置 的快慢和改变的方向 刚体定轴转动 的运动方程 刚体
刚体中任 一点 (t+△t) (t) 参考 方向
2. 角位移
匀角速 常量 匀角加速
转动平面（包含p并与转轴垂直） 转轴
常量 变角加速 描述刚体转过的大小和方向
只有 同描述刚体转动的快慢和方向， 和反 两个方向，故
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I. 欧勒角的形成
当刚体做定点转动时，可选定点为坐标系原
点，用三个独立的角度来确定转动在空间的 取向和刚体绕这轴线所转过的角度。
z
Z
y
yM
O
Y
x
X
N
ON为节线，y、、 被称为Euler角， Euler 角不是矢量，其转动与 顺序有关。
15
第三章 刚体力学
Z (z)
Z(z)
O
X (x)
Y (y)
y
O
x
Y
XN
z
Z
y 1.旋进角（进动角） [0,2 ]
y M 2.章动角（使Z分开） [0, ]
O
x
X
N
Y 3.自转角（绕Z转动）y [0,2 ]
16
第三章 刚体力学
II. 欧勒运动学方程（Euler）
第三章 刚体力学
直角坐标系（动坐标系内分解，互相垂直）：r＝xir
y
r j
z
r k
斜（不一定垂直，x标量，x&矢量）:r＝r&r&yr&
z
Z
y
yM
O
Y
x
X
N
r
x
y
z
r
&
&sin siny &sin cosy &cos
r
& &cosy
&siny
r
y&
y&
17
x y
&sin &sin
siny cosy
&cosy &siny
z &cos y&
用途：
欧勒运动学方程
(1)若已知（t），（t），y（t），求＝？ (2)若已知x，y，z，求（t），（t），y（t）
2. 静定和超静定问题
未知数个数小于等于平衡方程数，静定；
未知数个数大于方程数，超静定。
3. 平衡条件的其他形式
r
r
r
(i)对不共线三点的力矩为零M
r
r
A
0, M B
0, MC
0,
(ii)M A 0, M B 0, RX 0(主矢在与两点连线不垂直轴上的投影为24零。)
4. 特殊情况－－共面力系的平衡条件 第三章 刚体力学
转动瞬轴。
量值为 d
dt
2. 刚体转动时一点的速度与刚体角速度的关系
rr
nr
rr
vr drr
r ddtnr
dt
vr
drr dt
rr n r lim t0 t
r lim n rr t0 t
r rr
※角速度为整个刚体所公有，而速度只是刚体内某一点的线速度(与位矢有14 关)。
§3—3 欧勒角
6
B 定轴转动：刚体上各质点都绕同一轴作圆周运动。 如果转轴固定不动，就称定轴转动。（两个质点始终 不动，整个刚体绕着这条直线转动）
只有一个独立变量： 转的角度
7
第三章 刚体力学
C 平面平行运动：刚体运动中，刚体中任意一点始 终在平行于某一固定平面的平面内运动。 （可以分解为某一平面内任意一点的平动及绕通过此 点且垂直于固定平面的固定轴的转动） 有三个独立变量
18
第三章 刚体力学
§3—4 刚体运动方程与平衡方程
I. 作用在刚体上的力系的简化
1. 力是滑移矢量（力的可传性原理）可以沿力的作用线 滑移，作用点不起作用。！不能改变作用线
r
rr
F
F F
r F r F
AB
共面的任意两非平行力，应用力的可传性原理，将其汇交于一 点，在用平行四边形法则，即可求任意数目的共面力的合力。
(i)
Rx Ry
0 0
M z 0
(ii)共面共点力系
Rx Ry
0（力矩作用力为零） 0
(iii)共面平行力系
Ry
0(平行方向上合力为零)
Mr z
0 r
r
r
(iv)三力平衡定理：R r rr
F1
F2
F3
0
F3 (F1 F2 ),故三力作用线必交于一点。
25
Homework: 用固定坐标系表示出欧勒运动学方程
O
r
0
(ii)R 0,MO 0
rr
一般情况：R
r 0,MO
0 ba..若若MrMOO
R 一个单力 r
P R, 力螺旋
※ 力系不变量：主矢；主矢，主矩的标积
22
II. 刚体运动的微分方程
第三章 刚体力学
rri 刚体中任一质点Pi对静止坐标系原点O的位矢；
r rc
质心C对O的位矢；rri
Pi对质心C的位矢；
rr +rr =rr +rr , rr +nr rr +nr rr rr +nr rr +nr rr i.e.:nr +nr =nr +nr
13
第三章 刚体力学
II. 角速度矢量
第三章 刚体力学
1. 角速度：
r lim nr dnr
t0 t dt
刚体如做定点转动，某一时刻的转轴，叫做该时刻的
力偶臂：两力之间的垂直距离；
力偶矩：力和力偶臂的乘积，是力偶唯一的力学效果；为矢量， 用垂直于力偶面的任一直线来表示，其方向用右手螺旋法则确定。
2. 力偶矩是自由矢量: 可作用于力偶面上的任意一点。 20 第三章 刚体力学
3. 力的平移定理
Ar
r rr F2 P
F
r F1
第三章 刚体力学
作用在刚体某一点的力，相当于平行地移到另一点上的力与一个 力偶，这个力偶的力矩等于这个新点到原来点与原来力的矢积。
8
D 定点转动：如果刚体运动时，只有一点固定不动， 整个刚体围绕着通过这点的某一瞬时轴线转动。 两个独立变量确定轴线，一个确定角度，需三个独立 变量。
E 一般运动：可分解为质心的平动和绕通过质心的 某直线的定点转动，需六个独立变量。
9
第三章 刚体力学
自由度的确定
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10
§3—2 角速度矢量
（任何两个质点间的距离，不因力的作用而发生改变。）
3
第三章 刚体力学
现实生活中的刚体
4
§3—1 刚体运动的分析
I. 描述刚体位置的独立变量
B
d=3 + 2 + 1=6， A B C （不共线）
A
C
或 d=3×3 － 3 = 6，
如一个刚体由n个质点组成，3n个坐标变量， 第a个和第b个质点的矢径满足：
0
dJ (c rdt
)
y
r M (c) y
dJ
(c
)
z
dt
r M23(c) z
III. 刚体的平衡
第三章 刚体力学
1.
平衡方程：
r R
n
r Fi 0
Mr
i 1
r
(任意点)＝（ 0 M
O
r =M
O
uuur +OO
r R）
刚体平衡时，诸外力在每一坐标轴上投影之和为零，诸外力
对每一坐标轴的力矩之和亦为零。
n
(ii)
mirri
(r
r gri
)
0
i=1
27
28
第三章 刚体力学
29
30
26
第三章 刚体力学
§3—5 转动惯量
第三章 刚体力学
I. 刚体的动量矩
1. 刚体角动量的矢量表示
r
J
n
rr (ri mivi )
n
mi
r (ri
(r
r ri
))
i 1
i 1
n
mi[r r
2 i
r ri
(r grri
)]
r J0
i 1
,r 共线条件：
(i)r grri 0,r rri , (刚体为平面薄板状)
4. 作用在刚体上的力系简化结果 (1)汇交力系：合力
(2)平行力系：找一对力， 之后汇交，找作用点。
21
(3)任意力系：合力
第三章 刚体力学
简化中心 O ；
nr r
主矢：力的矢量和
Fi Ri
i 1
主矩：力偶矩的矢量和叫简化中心的主矩
r n r r
M o ri FI
i 1
特殊情况：
r
(i)R=0,M
( ra- rb )2= lab2 。 (const.)
属于理想、稳定、完整约束，这样的约束共有 n(n-1)/2 个。
5
第三章 刚体力学
II. 刚体运动的分类 (约束)
第三章 刚体力学
A 平动: 刚体上任意两点间的联线在整个运动过程中， 保持原方向不变。各个时刻，刚体中任意一条直线 始终彼此平行。（只研究质心即可，三个独立变量）
I. 有限转动与无限小转动
在定轴转动中，在转动轴上截取一个有方向的线段来 代表角速度；定点转动，首先要证明角速度是矢量。
1.
有限角度的角位移不是矢量
rr rr AB B A
相加运算不符合平行四边形法则对易律。
2. 无限小角位移是矢量 nr nr nr nr
符合矢量平行四边形法则对易律。
11
第三章 刚体力学
nr
第三章 刚体力学
nr ; nr为角位移
P
rr
r
M
P
r rr rr
r
rr PM g
PM r sin rr r sin r gnr gsin
或rr＝nr rr