第三章 刚体力学1

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B 定轴转动：刚体上各质点都绕同一轴作圆周运动。 如果转轴固定不动，就称定轴转动。（两个质点始终 不动，整个刚体绕着这条直线转动）
只有一个独立变量： 转的角度
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第三章 刚体力学
C 平面平行运动：刚体运动中，刚体中任意一点始 终在平行于某一固定平面的平面内运动。 （可以分解为某一平面内任意一点的平动及绕通过此 点且垂直于固定平面的固定轴的转动） 有三个独立变量
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D 定点转动：如果刚体运动时，只有一点固定不动， 整个刚体围绕着通过这点的某一瞬时轴线转动。 两个独立变量确定轴线，一个确定角度，需三个独立 变量。
E 一般运动：可分解为质心的平动和绕通过质心的 某直线的定点转动，需六个独立变量。
9
第三章 刚体力学
自由度的确定
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10
§3—2 角速度矢量
转动瞬轴。
量值为 d
dt
2. 刚体转动时一点的速度与刚体角速度的关系
rr
nr
rr
vr drr
r ddtnr
dt
vr
drr dt
rr n r lim t0 t
r lim n rr t0 t
r rr
※角速度为整个刚体所公有，而速度只是刚体内某一点的线速度(与位矢有14 关)。
§3—3 欧勒角
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第三章 刚体力学
§3—5 转动惯量
第三章 刚体力学
I. 刚体的动量矩
1. 刚体角动量的矢量表示
r
J
n
rr (ri mivi )
n
mi
r (ri
(r
r ri
பைடு நூலகம்
))
i 1
i 1
n
mi[r r
2 i
r ri
(r grri
)]
r J0
i 1
,r 共线条件：
(i)r grri 0,r rri , (刚体为平面薄板状)
I. 有限转动与无限小转动
在定轴转动中，在转动轴上截取一个有方向的线段来 代表角速度；定点转动，首先要证明角速度是矢量。
1.
有限角度的角位移不是矢量
rr rr AB B A
相加运算不符合平行四边形法则对易律。
2. 无限小角位移是矢量 nr nr nr nr
符合矢量平行四边形法则对易律。
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第三章 刚体力学
（任何两个质点间的距离，不因力的作用而发生改变。）
3
第三章 刚体力学
现实生活中的刚体
4
§3—1 刚体运动的分析
I. 描述刚体位置的独立变量
B
d=3 + 2 + 1=6， A B C （不共线）
A
C
或 d=3×3 － 3 = 6，
如一个刚体由n个质点组成，3n个坐标变量， 第a个和第b个质点的矢径满足：
力偶臂：两力之间的垂直距离；
力偶矩：力和力偶臂的乘积，是力偶唯一的力学效果；为矢量， 用垂直于力偶面的任一直线来表示，其方向用右手螺旋法则确定。
2. 力偶矩是自由矢量: 可作用于力偶面上的任意一点。 20 第三章 刚体力学
3. 力的平移定理
Ar
r rr F2 P
F
r F1
第三章 刚体力学
作用在刚体某一点的力，相当于平行地移到另一点上的力与一个 力偶，这个力偶的力矩等于这个新点到原来点与原来力的矢积。
动系原点与质心重合。
r R
0,
质心由加速度
m&x&c m&y&c
Rx Ry
marc
n
rr
F (e) i
R
r dJ
(c )
dt
i 1
r M (c)
n i 1
rri
r Fi
(e)
若Mr C
r 0,则 dJ(c)
dt
m&z&c Rz
r
dJ
(c
)
x
rdt
r M (c)x
z
Z
y
yM
O
Y
x
X
N
r
x
y
z
r
&
&sin siny &sin cosy &cos
r
& &cosy
&siny
r
y&
y&
17
x y
&sin &sin
siny cosy
&cosy &siny
z &cos y&
用途：
欧勒运动学方程
(1)若已知（t），（t），y（t），求＝？ (2)若已知x，y，z，求（t），（t），y（t）
( ra- rb )2= lab2 。 (const.)
属于理想、稳定、完整约束，这样的约束共有 n(n-1)/2 个。
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第三章 刚体力学
II. 刚体运动的分类 (约束)
第三章 刚体力学
A 平动: 刚体上任意两点间的联线在整个运动过程中， 保持原方向不变。各个时刻，刚体中任意一条直线 始终彼此平行。（只研究质心即可，三个独立变量）
rr +nr rr +nr rr =rr +rr +rr 12
如果对易转动次序， （1） 转动前： rr （2） 转动nr 后：rr +nr rr （3） 再转动nr 后：rr +nr rr +nr (rr +nr rr )
rr +nr rr +nr rr =rr +rr +rr
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第三章 刚体力学
平行力的求和，不能应用平行四边形法则，没有公共交点。 合力的量值，方向由代数和决定；合力的作用线，用力矩确定。 合力对垂直于诸力的某轴线的力矩应与诸分力对同一轴线力矩 的代数和相等。 r
F2
P O1
A
r F1
B
M F2gPO2 F1gPO1 FgO1O2
O2
r M
rr
r F
nr
第三章 刚体力学
nr ; nr为角位移
P
rr
r
M
P
r rr rr
r
rr PM g
PM r sin rr r sin r gnr gsin
或rr＝nr rr
O
如果转动两次，
（1） 转动前： rr
（2） 转动nr 后：rr +nr rr （3） 再转动nr 后：rr +nr rr +nr (rr +nr rr )
n
(ii)
mirri
(r
r gri
)
0
i=1
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第三章 刚体力学
29
30
x
Y
XN
z
Z
y 1.旋进角（进动角） [0,2 ]
y M 2.章动角（使Z分开） [0, ]
O
x
X
N
Y 3.自转角（绕Z转动）y [0,2 ]
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第三章 刚体力学
II. 欧勒运动学方程（Euler）
第三章 刚体力学
直角坐标系（动坐标系内分解，互相垂直）：r＝xir
y
r j
z
r k
斜（不一定垂直，x标量，x&矢量）:r＝r&r&yr&
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第三章 刚体力学
§3—4 刚体运动方程与平衡方程
I. 作用在刚体上的力系的简化
1. 力是滑移矢量（力的可传性原理）可以沿力的作用线 滑移，作用点不起作用。！不能改变作用线
r
rr
F
F F
r F r F
AB
共面的任意两非平行力，应用力的可传性原理，将其汇交于一 点，在用平行四边形法则，即可求任意数目的共面力的合力。
I. 欧勒角的形成
当刚体做定点转动时，可选定点为坐标系原
点，用三个独立的角度来确定转动在空间的 取向和刚体绕这轴线所转过的角度。
z
Z
y
yM
O
Y
x
X
N
ON为节线，y、、 被称为Euler角， Euler 角不是矢量，其转动与 顺序有关。
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第三章 刚体力学
Z (z)
Z(z)
O
X (x)
Y (y)
y
O
0
dJ (c rdt
)
y
r M (c) y
dJ
(c
)
z
dt
r M23(c) z
III. 刚体的平衡
第三章 刚体力学
1.
平衡方程：
r R
n
r Fi 0
Mr
i 1
r
(任意点)＝（ 0 M
O
r =M
O
uuur +OO
r R）
刚体平衡时，诸外力在每一坐标轴上投影之和为零，诸外力
对每一坐标轴的力矩之和亦为零。
(i)
Rx Ry
0 0
M z 0
(ii)共面共点力系
Rx Ry
0（力矩作用力为零） 0
(iii)共面平行力系
Ry
0(平行方向上合力为零)
Mr z
0 r
r
r
(iv)三力平衡定理：R r rr
F1
F2
F3
0
F3 (F1 F2 ),故三力作用线必交于一点。
25
Homework: 用固定坐标系表示出欧勒运动学方程
第三 章 刚体力学
§ 3—1 § 3—2 § 3—3 § 3—4 § 3—5 § 3—6
§ 3—7
§ 3—8
刚体运动的分析 角速度矢量 欧勒角 刚体运动方程与平衡方程 转动惯量 刚体的平动与绕固定轴的转动 刚体的平面平行运动 刚体绕固定点转动的解
1
第三章 刚体力学
2
第三章 刚体力学
刚体：形状和大小都不改变的物体 （理想模型）
O
r
0
(ii)R 0,MO 0
rr
一般情况：R
r 0,MO
0 ba..若若MrMOO
R 一个单力 r
P R, 力螺旋
※ 力系不变量：主矢；主矢，主矩的标积
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II. 刚体运动的微分方程
第三章 刚体力学
rri 刚体中任一质点Pi对静止坐标系原点O的位矢；
r rc
质心C对O的位矢；rri
Pi对质心C的位矢；
rr +rr =rr +rr , rr +nr rr +nr rr rr +nr rr +nr rr i.e.:nr +nr =nr +nr
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第三章 刚体力学
II. 角速度矢量
第三章 刚体力学
1. 角速度：
r lim nr dnr
t0 t dt
刚体如做定点转动，某一时刻的转轴，叫做该时刻的
4. 作用在刚体上的力系简化结果 (1)汇交力系：合力
(2)平行力系：找一对力， 之后汇交，找作用点。
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(3)任意力系：合力
第三章 刚体力学
简化中心 O ；
nr r
主矢：力的矢量和
Fi Ri
i 1
主矩：力偶矩的矢量和叫简化中心的主矩
r n r r
M o ri FI
i 1
特殊情况：
r
(i)R=0,M
2. 静定和超静定问题
未知数个数小于等于平衡方程数，静定；
未知数个数大于方程数，超静定。
3. 平衡条件的其他形式
r
r
r
(i)对不共线三点的力矩为零M
r
r
A
0, M B
0, MC
0,
(ii)M A 0, M B 0, RX 0(主矢在与两点连线不垂直轴上的投影为24零。)
4. 特殊情况－－共面力系的平衡条件 第三章 刚体力学