光纤通信系统-阶跃折射率光纤的模式理论解析
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3 阶跃折射率光纤的模式理论
本节主要讨论：光波在光纤中传输的 基本方程，包括： 1)导波场方程 2) 波导的特征方程 3)导波的模式和传输特性
2. 光纤中的光波 （1）麦克斯韦方程 麦克斯韦方程是分析光纤中光特性的基础，其形式为
B E t H D t D 0 B 0 D E B H
r 2 2 2
z
0
Biblioteka Baidu
z
Ez、Hz的场方程（2.3－5）式是三维偏微分方程， 可用分离变量法求解。步骤： 1) 根据物理概念，设一试探函数为方程的解; 2) 将试探函数代入（2.3－5）式; 3) 根据电磁边界条件，确定待定常数。 下面我们以Ez、HZ为例进行讨论： EZ ARr Z z 式中，A——指待定 1）设试探函数为： -------随的 常数R——Ez随r 的变化情况（规律）； 变化情况（规律）；Z(z)——EZ随Z的变化情况（规 律）。 设导波是沿Z向传输，由导波概念知，沿Z向呈行波 态。用表示行波的相位常数，则有：
E1t E 2t H H 1t 2t D1n D2 n B1n B2 n
（2.2.32）
（2）波动方程及其解 对光纤中电磁场的分析，通常采用圆柱坐标，设电磁场沿 z方向传播，有 E E (r, )e （2.2.33a） H H (r, )e (2.2.33b) 2 式中β是电磁波传播常数 k 的z分量。一般而言，场既有横向分量，又有纵向 E 、E、H 、H ，纵向分量 分量，它们都是时间和坐标的简谐函数，横向分量是 E 、H ，电场强度和磁场强度可以表示成 是 E ar Er a E az Ez （2.2.34a） H ar H r a H az H z (2.2.34b) 将上式代入麦克斯韦方程，利用圆柱坐标，可以得到光纤中场的纵向分量所满足 E 1 E 1 E 的方程 (k ) E 0 r r r r （2.2.35） H 1 H 1 H (k ) H 0 （2.2.36） r r r r 上式即为波动方程。场的纵向分量解出后，所有的横向分量就可以通过下列关系 得到确定 E k H j E r k n r （2.2.37a） E k H j (2.2.37b) E r r k n r (2.2.37c) H (2.2.37d) k n E j H
j( t z) 0 j( t z) 0 r r
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r k 0 n r H z 0 E z j H 2 2 k0 n 2 2 0 k0 n r
（1）TE模和TM模 对于TE模，有Ez＝0，也即（2.2.38）式中的常数A＝0。根据边界条件， 可以求得m=0（省略了推导），由 (2.2.45) 式得到 J (U ) K (W ) 0 （2.2.46） UJ (U ) WK (W ) 利用贝塞尔函数的递推公式，又可将（2.2.46）式写成 J (U ) K (W ) 0 （2.2.47） UJ (U ) WK (W ) 这就是TE模特征方程的一般表达式。 对于TM模，有Hz＝0，同样可求得须m=0时边界条件才成立，此时得TM 模的特征方程为 J (U ) n K (W ) 0 UJ (U ) n WK (W ) （2.2.48） 在弱导条件下（2.2.48）式与（2.2.47）式一致，也就是说，此时TE模和TM模有着 共同的特征方程。m=0，意味着光场与θ无关，即场分量在光纤中呈轴对称分布。 （2）EH模和HE模 如果 m 0 ，场量沿圆周方向按或函数分布，要使边界条件得到满足，则 A和B都不得为0，也就是说Hz和Ez同时存在，此时对应同一m值，有两组不同的解， 分别对应着两类不同的模式，（2.2.45）式右边取正号时所解的一组模式称为EH模， 取负号时所解的一组模式称为HE模。 根据（2.2.45）式，并利用贝塞尔函数的递推公式，得EH波和HE波的特 J (U ) K (W ) 0 征方程为 UJ (U ) WK (W ) EH模 （2.2.49） J (U ) K (W ) 0 UJ (U ) WK (W ) HE模 （2.2.50a） 利用贝塞尔函数的递推公式，不难得到该公式的另一种表达式 UJ (U ) WK (W ) （2.2.50b） 0
Z z e jz
经整理求得光纤波导的特征方程，该特征方程有如下形式：
利用以上边界条件可以得到特征方程
上式是弱导光纤的特征方程，它是分析弱导光纤传输特性的基础，由于 该方程是一个复杂的超越方程，通常只能用数值解。
•
通过对特征方程的求解，可以发现传播常数为一系列 的离散值，通常，对于每个整数m，都存在多个解，记为， n=1,2,3· · · · 。每一个值都对应着由（2.2.38）～(2.2.42) 式 确定的、能在光纤中传播的光场的一个空间分布，这种空 间分布在传播的过程中只有相位的变化，没有形态的变化， 且始终满足边界条件，这种空间分布称为导波模的模式， 简称模式。 除了m＝0的情况外，光纤中导波模的模式分布中，电 场和磁场的纵向分量都存在，我们将这种情况称之为混合 模，根据或哪一个相对作用大些，又可将混合模 分成模EH (Ez>Hz)和模（Hz>Ez）；当m＝0时，将模 HE0n和模EH0n分别记为TE0n和TH0n，它们分别对应于 场的纵向分量Ez＝0和 Hz＝0的模式，简称TE模和TM模。
（2.2.31） 式中为E电场强度矢量，D为电位移矢量，H为磁场强度矢量，B为磁感应强度矢 量，对于简谐电磁场， j 。 t 在没有电荷或电流分布的介质分界面上，电场强度和磁场强度的切向分量连续， 电位移矢量和磁感应强度的法向分量应连续，用下标t和n分别表示介质分界面上 的切向分量和法向分量，则边界条件可以写成
本节主要讨论：光波在光纤中传输的 基本方程，包括： 1)导波场方程 2) 波导的特征方程 3)导波的模式和传输特性
2. 光纤中的光波 （1）麦克斯韦方程 麦克斯韦方程是分析光纤中光特性的基础，其形式为
B E t H D t D 0 B 0 D E B H
r 2 2 2
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Ez、Hz的场方程（2.3－5）式是三维偏微分方程， 可用分离变量法求解。步骤： 1) 根据物理概念，设一试探函数为方程的解; 2) 将试探函数代入（2.3－5）式; 3) 根据电磁边界条件，确定待定常数。 下面我们以Ez、HZ为例进行讨论： EZ ARr Z z 式中，A——指待定 1）设试探函数为： -------随的 常数R——Ez随r 的变化情况（规律）； 变化情况（规律）；Z(z)——EZ随Z的变化情况（规 律）。 设导波是沿Z向传输，由导波概念知，沿Z向呈行波 态。用表示行波的相位常数，则有：
E1t E 2t H H 1t 2t D1n D2 n B1n B2 n
（2.2.32）
（2）波动方程及其解 对光纤中电磁场的分析，通常采用圆柱坐标，设电磁场沿 z方向传播，有 E E (r, )e （2.2.33a） H H (r, )e (2.2.33b) 2 式中β是电磁波传播常数 k 的z分量。一般而言，场既有横向分量，又有纵向 E 、E、H 、H ，纵向分量 分量，它们都是时间和坐标的简谐函数，横向分量是 E 、H ，电场强度和磁场强度可以表示成 是 E ar Er a E az Ez （2.2.34a） H ar H r a H az H z (2.2.34b) 将上式代入麦克斯韦方程，利用圆柱坐标，可以得到光纤中场的纵向分量所满足 E 1 E 1 E 的方程 (k ) E 0 r r r r （2.2.35） H 1 H 1 H (k ) H 0 （2.2.36） r r r r 上式即为波动方程。场的纵向分量解出后，所有的横向分量就可以通过下列关系 得到确定 E k H j E r k n r （2.2.37a） E k H j (2.2.37b) E r r k n r (2.2.37c) H (2.2.37d) k n E j H
j( t z) 0 j( t z) 0 r r
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（1）TE模和TM模 对于TE模，有Ez＝0，也即（2.2.38）式中的常数A＝0。根据边界条件， 可以求得m=0（省略了推导），由 (2.2.45) 式得到 J (U ) K (W ) 0 （2.2.46） UJ (U ) WK (W ) 利用贝塞尔函数的递推公式，又可将（2.2.46）式写成 J (U ) K (W ) 0 （2.2.47） UJ (U ) WK (W ) 这就是TE模特征方程的一般表达式。 对于TM模，有Hz＝0，同样可求得须m=0时边界条件才成立，此时得TM 模的特征方程为 J (U ) n K (W ) 0 UJ (U ) n WK (W ) （2.2.48） 在弱导条件下（2.2.48）式与（2.2.47）式一致，也就是说，此时TE模和TM模有着 共同的特征方程。m=0，意味着光场与θ无关，即场分量在光纤中呈轴对称分布。 （2）EH模和HE模 如果 m 0 ，场量沿圆周方向按或函数分布，要使边界条件得到满足，则 A和B都不得为0，也就是说Hz和Ez同时存在，此时对应同一m值，有两组不同的解， 分别对应着两类不同的模式，（2.2.45）式右边取正号时所解的一组模式称为EH模， 取负号时所解的一组模式称为HE模。 根据（2.2.45）式，并利用贝塞尔函数的递推公式，得EH波和HE波的特 J (U ) K (W ) 0 征方程为 UJ (U ) WK (W ) EH模 （2.2.49） J (U ) K (W ) 0 UJ (U ) WK (W ) HE模 （2.2.50a） 利用贝塞尔函数的递推公式，不难得到该公式的另一种表达式 UJ (U ) WK (W ) （2.2.50b） 0
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经整理求得光纤波导的特征方程，该特征方程有如下形式：
利用以上边界条件可以得到特征方程
上式是弱导光纤的特征方程，它是分析弱导光纤传输特性的基础，由于 该方程是一个复杂的超越方程，通常只能用数值解。
•
通过对特征方程的求解，可以发现传播常数为一系列 的离散值，通常，对于每个整数m，都存在多个解，记为， n=1,2,3· · · · 。每一个值都对应着由（2.2.38）～(2.2.42) 式 确定的、能在光纤中传播的光场的一个空间分布，这种空 间分布在传播的过程中只有相位的变化，没有形态的变化， 且始终满足边界条件，这种空间分布称为导波模的模式， 简称模式。 除了m＝0的情况外，光纤中导波模的模式分布中，电 场和磁场的纵向分量都存在，我们将这种情况称之为混合 模，根据或哪一个相对作用大些，又可将混合模 分成模EH (Ez>Hz)和模（Hz>Ez）；当m＝0时，将模 HE0n和模EH0n分别记为TE0n和TH0n，它们分别对应于 场的纵向分量Ez＝0和 Hz＝0的模式，简称TE模和TM模。
（2.2.31） 式中为E电场强度矢量，D为电位移矢量，H为磁场强度矢量，B为磁感应强度矢 量，对于简谐电磁场， j 。 t 在没有电荷或电流分布的介质分界面上，电场强度和磁场强度的切向分量连续， 电位移矢量和磁感应强度的法向分量应连续，用下标t和n分别表示介质分界面上 的切向分量和法向分量，则边界条件可以写成