玻耳兹曼分布PPT讲稿
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《物理化学第4版》第六章6.4 玻尔兹曼分布ppt课件
即 q0 = qt·qr qv0qe0qn0
能量零点的选择对玻尔 兹曼分布有无影响 ？
ni
N
gq0 qe0 kT
形式完全相同！
ni
N q
g i e i
kT
N q0 eε 0
kT
g e
ε
0 i
ε
0
kT
i
N q0
g eε
0 i
i
kT
结论：对玻尔兹曼分布中任一能级上粒子的分布
4. 能量零点的选择对配分函数的影响
设粒子的能级为ε0，ε1，ε2，…，则
q
g i e i
kT
g 0 e 0
kT
g e1 / kT 1
i
通常选择粒子的基态能级作为能量的零点(任何能级的
能量不为负)，各能级的能量为 i0 i 0
q0
g ei0 i
kT
g eε
0 0
0
kT
g1eε
0 1
/ kT
数 ni 没有影响。
结论：选择不同的能量零点会影响配分函数的
值，但对计算玻尔兹曼分布中任一能级上粒子 的分布数 ni 没有影响。
注意：
由基态能级的能位为零的粒子 配分函数q0，计算所得系统系
U
nii
ni
(
0 i
0)
统的热力学函数U、H、A、G
i
i
，与由绝对能量对应的粒子配
ni
0 i
N 0
kT
i
振动配分函数
qv
g e v,i v ,i
kT
i
电子配分函数
qe
g ee ,i e ,i
kT
i
能量零点的选择对玻尔 兹曼分布有无影响 ？
ni
N
gq0 qe0 kT
形式完全相同！
ni
N q
g i e i
kT
N q0 eε 0
kT
g e
ε
0 i
ε
0
kT
i
N q0
g eε
0 i
i
kT
结论：对玻尔兹曼分布中任一能级上粒子的分布
4. 能量零点的选择对配分函数的影响
设粒子的能级为ε0，ε1，ε2，…，则
q
g i e i
kT
g 0 e 0
kT
g e1 / kT 1
i
通常选择粒子的基态能级作为能量的零点(任何能级的
能量不为负)，各能级的能量为 i0 i 0
q0
g ei0 i
kT
g eε
0 0
0
kT
g1eε
0 1
/ kT
数 ni 没有影响。
结论：选择不同的能量零点会影响配分函数的
值，但对计算玻尔兹曼分布中任一能级上粒子 的分布数 ni 没有影响。
注意：
由基态能级的能位为零的粒子 配分函数q0，计算所得系统系
U
nii
ni
(
0 i
0)
统的热力学函数U、H、A、G
i
i
，与由绝对能量对应的粒子配
ni
0 i
N 0
kT
i
振动配分函数
qv
g e v,i v ,i
kT
i
电子配分函数
qe
g ee ,i e ,i
kT
i
《玻耳兹曼统计》PPT课件
第七章 玻耳兹曼统计
可分辨（定域）粒子系统统计
h
1
主要内容
7.1 热力学量的统计表达式 7.2 理想气体的物态方程
基础
7.3 麦克斯韦速度分布率 7.4 能量均分定理 7.5 理想气体的内能和热容量
对理想气 体体系的 应用
7.6 理想气体的熵 7.7 固体热容量的爱因斯坦理论
对固体的 应用
h
§7.1 热力学量的统计表达式
21m(px2py2pz2)
U 3 NkT 2
CV
3 Nk 2
Cp 5 CV 3
P202， 表 7.2
Cp
5 2
Nk
h
B. 双原子分子理想气体
z
r
5 kT 2
刚性连接：r =常量
pr
21M(px2 py2 pz2)21I (p2 si1n2 p2)
21pr2u(r)
p
Mm1m2
m1m2
二、配分函数
21m(px2py2pz2)
d 2m (px 2p2 ypz 2)
Z e 1
xd y xdd yp dzzp d h3
p
h 1 3
p x 2
p 2 y
p z 2
dxd ey 2 m d dxp z e2 m dyp e2 m dzp
Z1 V(2h2m)3/2
h
三、物态方程
p
N
ln Z1 V
N V[lV n2 3ln2h(2m)]
p NkT V
四、内能
U N lnZ1
N [lV n2 3ln2 h(2 m)]
U 3 NkT 2
h
§7.3 麦克斯韦速度分布率
目的 对气体分子
可分辨（定域）粒子系统统计
h
1
主要内容
7.1 热力学量的统计表达式 7.2 理想气体的物态方程
基础
7.3 麦克斯韦速度分布率 7.4 能量均分定理 7.5 理想气体的内能和热容量
对理想气 体体系的 应用
7.6 理想气体的熵 7.7 固体热容量的爱因斯坦理论
对固体的 应用
h
§7.1 热力学量的统计表达式
21m(px2py2pz2)
U 3 NkT 2
CV
3 Nk 2
Cp 5 CV 3
P202， 表 7.2
Cp
5 2
Nk
h
B. 双原子分子理想气体
z
r
5 kT 2
刚性连接：r =常量
pr
21M(px2 py2 pz2)21I (p2 si1n2 p2)
21pr2u(r)
p
Mm1m2
m1m2
二、配分函数
21m(px2py2pz2)
d 2m (px 2p2 ypz 2)
Z e 1
xd y xdd yp dzzp d h3
p
h 1 3
p x 2
p 2 y
p z 2
dxd ey 2 m d dxp z e2 m dyp e2 m dzp
Z1 V(2h2m)3/2
h
三、物态方程
p
N
ln Z1 V
N V[lV n2 3ln2h(2m)]
p NkT V
四、内能
U N lnZ1
N [lV n2 3ln2 h(2 m)]
U 3 NkT 2
h
§7.3 麦克斯韦速度分布率
目的 对气体分子
第三章 费米分布及玻耳兹曼分布ppt课件
对于半导体晶体，价电子填满了价带，最外的导带是 空的，费米能级位置在禁带内，且随其中的杂质种类、杂 质浓度以及温度的不同而改变。
.
22
3.2.2 玻耳兹曼分布函数
1. 电子的玻耳兹曼分布函数 EEF kT 时 , ex[p (EF)-/E k T1 ]
此时,电子的费米分布函数近似为
fFE 1 ＋ ex E p k E T F － 1exE pk -E (T F)-
T=0K时，价带中的量子态完全填满，导带完全空着。 本征激发
T>0K后，本征半导体的价带中的电子激发到导带，同时在 价带中产生等量空穴。
本征半导体的电中性条件 本征激发条件下，电子和空穴成对出现，因此导带中电子的 浓度n0应等于价带中空穴的浓度p0，即n0=p0
.
40
3.3.1 本征半导体的电中性条件和费米能级的确定
.
热平衡状态下，电子按能量大小，具有一定的统计分布规律性。 电子是费米子，遵从费米分布。
3.2.1 费米分布函数
绝对温度T 下的物体内，电子达到热平衡状态时，一个 能量为Ｅ的独立量子态，被一个电子占据的几率f(E）为：
fnE
1
EEF
电子的费米分布函
1e k0T
K0为玻尔兹曼常数。 EF为一个类似于积分常数的一个待定常数，称为费米能级。
exE pF-(E)kT
这时空穴的费米分布函数转化为空穴的玻耳兹曼分布：
fBVEexpEFk0TE
.
24
3.2.2 玻耳兹曼分布函数
非简并系统和简并系统
通常将可以用玻尔兹曼分布描述的系统称为非简并系统，而 必须用费米分布描述的系统称为简并系统。
对于电子系统，当填充的能级的位置都能满足: E-EF>>kT 时，可以用玻尔兹曼分布来计算电子的填充几率， 此时的电子系统是非简并的； 对于空穴系统，当填充的能级的位置都能满足: EF-E>>kT 时，可以用玻尔兹曼分布来计算空穴的填充几率 ，此时的空穴系统是非简并的。
.
22
3.2.2 玻耳兹曼分布函数
1. 电子的玻耳兹曼分布函数 EEF kT 时 , ex[p (EF)-/E k T1 ]
此时,电子的费米分布函数近似为
fFE 1 ＋ ex E p k E T F － 1exE pk -E (T F)-
T=0K时，价带中的量子态完全填满，导带完全空着。 本征激发
T>0K后，本征半导体的价带中的电子激发到导带，同时在 价带中产生等量空穴。
本征半导体的电中性条件 本征激发条件下，电子和空穴成对出现，因此导带中电子的 浓度n0应等于价带中空穴的浓度p0，即n0=p0
.
40
3.3.1 本征半导体的电中性条件和费米能级的确定
.
热平衡状态下，电子按能量大小，具有一定的统计分布规律性。 电子是费米子，遵从费米分布。
3.2.1 费米分布函数
绝对温度T 下的物体内，电子达到热平衡状态时，一个 能量为Ｅ的独立量子态，被一个电子占据的几率f(E）为：
fnE
1
EEF
电子的费米分布函
1e k0T
K0为玻尔兹曼常数。 EF为一个类似于积分常数的一个待定常数，称为费米能级。
exE pF-(E)kT
这时空穴的费米分布函数转化为空穴的玻耳兹曼分布：
fBVEexpEFk0TE
.
24
3.2.2 玻耳兹曼分布函数
非简并系统和简并系统
通常将可以用玻尔兹曼分布描述的系统称为非简并系统，而 必须用费米分布描述的系统称为简并系统。
对于电子系统，当填充的能级的位置都能满足: E-EF>>kT 时，可以用玻尔兹曼分布来计算电子的填充几率， 此时的电子系统是非简并的； 对于空穴系统，当填充的能级的位置都能满足: EF-E>>kT 时，可以用玻尔兹曼分布来计算空穴的填充几率 ，此时的空穴系统是非简并的。
玻尔兹曼方程PPT课件
5.4.4 (k)的物理意义
如果在上式中忽略掉(1-cos)因子，积分将表示在 k 状态
的电子被散射的总的概率，因而，上式说明弛豫时间就是电子
的自由碰撞时间。
式中(1-cos )因子的作用可作如下分析：
' ' 1 1 ( k , k )1 cos dk 3 ( 2 π)
e ( k ) k m
将上面式子比较得
如果 沿x轴方向，则
' ' ( k ) ' 1 1 dk ( k , k )1 3 ( 2π) (k )
' k 'x ' 1 ( k , k )1 dk 3 ( 2π) kx 1
， B
温度梯度
k
变化
f变化 f变化
r 变化
电子分布函数f是波矢 k 、空间坐标
r 和时间t的函数。
1.相空间
以波矢 k 坐标 r 为变量组成的空间称为相空间。 在相空间中讨论非平衡条件下电子的分布函数。
f (r , k , t ) 描述t时刻电子在晶体内 r 处波矢为 k 的概率。
1 r k E
f r f rT T
e k ( v B )
玻尔兹曼方程为：
f f0 1 f e ( k E T ) ( v B ) k f T (k )
§5.4-2 弛豫时间的统计理论
碰撞项：由于晶格原子的振动或杂质的存在等具体的原
' 因，电子不断发生从 k k态的跃迁，电子态的这种变化常称
为散射。 只考虑相同自旋态之间的跃迁。
玻耳兹曼分布律PPT讲解
自由运动的路程 ：自由程 其平均值 ：平均自由程
二、平均碰撞频率
v
一个分子在单位时间内和其他分子碰撞的次数 Z ：碰撞频率
其平均值 Z ：平均碰撞频率
一个分子在单位时间内走过的平均路程：v ， v / Z
4
三、Z 、 的计算
d ：分子直径
v
Z d 2vn
d 2：分子碰撞截面
Z 2d 2vn
V1
V2
V
V2 V
10
功 A是过程量，不是状态量，与 P，V，T，E不同
元功 dA，dP、 dV 、dT 、 dE
9
四、平衡态、准静态过程、功的几何表示
理想气体， PV RT
P
P
P
（ P，V ）
V
V
点 平衡态
有向曲线 准静态过程
V1
P
面积 A V2 PdV V1
面积 准静态过程的功
只有 PV 图上的面积表示功
解： Z 2d 2vn 2d 2 8RT P kT
81.19 亿次/秒
kT
2d 2P
ห้องสมุดไป่ตู้
2.09 107 m
T t 273.15 ， 1atm 1.013105Pa
6
热力学基础 第1节 几个基本概念
一、系统与外界 确定为研究对象的宏观体系：系统或体系 系统以外的物体：外界或环境
二、准静态过程 系统状态随时间的变化：热力学过程 准静态过程：如果一个过程进行的无限缓慢，体系所经历的 每一个中间态都无限接近于平衡态
例：求大气中 n 相差一倍的两处的高度差
已知：空气摩尔质量 28.97 103 kg ，T 300K
解： h1处：n1
gh1
第六章玻耳兹曼统计pptppt文档
第六章玻耳兹曼统计ppt
第五章指出：定域系统和满足经典极限条件的玻 色（费米）系统都遵从玻耳兹曼分布。按照统计 思想，宏观量是对应微观量的统计平均值，根据 等概率原理，这两类系统玻耳兹曼分布出现的概 率最大，其他分布实际上不出现，所以对这两类 系统，宏观量是玻耳兹曼分布下微观量的统计平 均值。本章根据玻耳兹曼分布讨论这两类系统的 热力学性质。
kT
上考式虑中到k两应个是互熵为S热的平函衡数的。系下统面合说起明来其总实能k与量熵守S恒无，关
这两个系统必有一个共同的β因子（习题6.5）， 正好与互为热平衡的系统温度相同一致。所以，β
只能是温度的函数，不可能与熵有关 。
上式中k应是常数。称为玻耳兹曼常数，在将理论 用于实际问题（例如理想气体）时得到k值为
本章主要内容
玻耳兹曼统计的热力学量表达式 玻耳兹曼统计的统计公式的应用 理想气体的物态方程，理想气体的内能和热容量， 固体热容量的爱因斯坦理论
玻耳兹曼统计的分布公式的应用 麦克斯韦速度分布律，能量均分定律， 两者的应用
§6.1 热力学量的统计表达式
本节根据玻耳兹曼分布推导热力学量的统计表 达式。要解决的问题：宏观量（如：热力学基 本函数）与玻耳兹曼分布的联系。我们根据宏 观量是微观量的统计平均值去寻找联系。
§6.1 热力学量的统计表达式
五、经典统计理论中热力学函数的表达式
配分函数的经典表达式
§6.1 热力学量的统计表达式
由于熵与系统的微观状态数有关，所以对于即使满
足经典极限条件的玻色（费米）系统，若 S k ln 仍然成立，则系统的微观状态数应换为 M.B. N!
S
Nk ln
Z1
ln
Z1
k
ln
N!
第五章指出：定域系统和满足经典极限条件的玻 色（费米）系统都遵从玻耳兹曼分布。按照统计 思想，宏观量是对应微观量的统计平均值，根据 等概率原理，这两类系统玻耳兹曼分布出现的概 率最大，其他分布实际上不出现，所以对这两类 系统，宏观量是玻耳兹曼分布下微观量的统计平 均值。本章根据玻耳兹曼分布讨论这两类系统的 热力学性质。
kT
上考式虑中到k两应个是互熵为S热的平函衡数的。系下统面合说起明来其总实能k与量熵守S恒无，关
这两个系统必有一个共同的β因子（习题6.5）， 正好与互为热平衡的系统温度相同一致。所以，β
只能是温度的函数，不可能与熵有关 。
上式中k应是常数。称为玻耳兹曼常数，在将理论 用于实际问题（例如理想气体）时得到k值为
本章主要内容
玻耳兹曼统计的热力学量表达式 玻耳兹曼统计的统计公式的应用 理想气体的物态方程，理想气体的内能和热容量， 固体热容量的爱因斯坦理论
玻耳兹曼统计的分布公式的应用 麦克斯韦速度分布律，能量均分定律， 两者的应用
§6.1 热力学量的统计表达式
本节根据玻耳兹曼分布推导热力学量的统计表 达式。要解决的问题：宏观量（如：热力学基 本函数）与玻耳兹曼分布的联系。我们根据宏 观量是微观量的统计平均值去寻找联系。
§6.1 热力学量的统计表达式
五、经典统计理论中热力学函数的表达式
配分函数的经典表达式
§6.1 热力学量的统计表达式
由于熵与系统的微观状态数有关，所以对于即使满
足经典极限条件的玻色（费米）系统，若 S k ln 仍然成立，则系统的微观状态数应换为 M.B. N!
S
Nk ln
Z1
ln
Z1
k
ln
N!
大学物理课件玻尔兹曼分布律
归一化条件
0 Nd( N x N ,y,z)f(x,y,z)dxd 1 ydz
分布函数的概念有着普遍的意义，在速度空间有 麦克斯韦速度分布函数。
6
*力学量的平均值
xxNdNxf(x)dx g(x)g(N x)dN g(x)f(x)dx
7
4.2 玻尔兹曼分子数密度分布
重力场中粒子按高度的分布（ P ）mgh
而且与 e kT 成正比。这个结论称为玻尔兹曼能量 分布律，称 e kT为玻尔兹曼因子。
* 粒子数密度是指单位相空间的粒子数
13
§5 麦克斯韦速度分布律
5.1 麦克斯韦速度分布律
上节我们得到，温度为T的热平衡态中，任何 系统的微观分子数密度按状态的分布规律：
ne(Kp) kT
在无外加势场的平衡态下，气体分子之间的相互作用 又可忽略时，分子在空间的分布是均匀的，玻尔兹曼
设分子质量为m，单位体积的分子
数为n。如图所示的体元内分子受
上下端面的压力差与其自身重力相
平衡
dP SmgnS dz
PdP
S
dz
P g
dP mgn dz
按公式 P=nkT ,可知
等温气体在重力场中，分 子数密度随高度的分布律 n0是z=0处的分子数密度
dn mgn
dz
kT
n(z)n0em gkzT
热平衡气体在重力场中气体密度分布随高度变 化，即密度分布是不均匀的，依赖于分子所在 力场的性质。
用U(r) 代替mgz
• 玻尔兹曼密度分布律
将重力场势能推广到任意势场，U( r )中，有
n(z)n0emgkzT
n(r)n0eU(r)kT
它描述了热平衡态下分子数密度在任意势场 U(r)1m2r2
0 Nd( N x N ,y,z)f(x,y,z)dxd 1 ydz
分布函数的概念有着普遍的意义，在速度空间有 麦克斯韦速度分布函数。
6
*力学量的平均值
xxNdNxf(x)dx g(x)g(N x)dN g(x)f(x)dx
7
4.2 玻尔兹曼分子数密度分布
重力场中粒子按高度的分布（ P ）mgh
而且与 e kT 成正比。这个结论称为玻尔兹曼能量 分布律，称 e kT为玻尔兹曼因子。
* 粒子数密度是指单位相空间的粒子数
13
§5 麦克斯韦速度分布律
5.1 麦克斯韦速度分布律
上节我们得到，温度为T的热平衡态中，任何 系统的微观分子数密度按状态的分布规律：
ne(Kp) kT
在无外加势场的平衡态下，气体分子之间的相互作用 又可忽略时，分子在空间的分布是均匀的，玻尔兹曼
设分子质量为m，单位体积的分子
数为n。如图所示的体元内分子受
上下端面的压力差与其自身重力相
平衡
dP SmgnS dz
PdP
S
dz
P g
dP mgn dz
按公式 P=nkT ,可知
等温气体在重力场中，分 子数密度随高度的分布律 n0是z=0处的分子数密度
dn mgn
dz
kT
n(z)n0em gkzT
热平衡气体在重力场中气体密度分布随高度变 化，即密度分布是不均匀的，依赖于分子所在 力场的性质。
用U(r) 代替mgz
• 玻尔兹曼密度分布律
将重力场势能推广到任意势场，U( r )中，有
n(z)n0emgkzT
n(r)n0eU(r)kT
它描述了热平衡态下分子数密度在任意势场 U(r)1m2r2
MaxwellBoltzmann分布律.ppt
费米系统
离域子、粒子不可分辨、处在同一个量子态上的粒子数只限一个； 讨论能级εi 上ni个粒子放在ωi个量子态上的排列数 第1个粒子有 ωi 第2个粒子有 ωi-1 …… 第ni个粒子有 ωi-(ni-1) 种放法： 进一步考虑粒子不可分辨性，排列数为 则分布｛ni｝拥有的微 观状态数为： 宏观状态（N,V,E） 总的微观状态数 种放法： 种放法：
Lagrange不定乘数α,β由守恒条件确定
i N n e i i i i
（ 8）
i E n e ii i i i i
e
N i e i
i
（ 8）
β的数值现阶段还无法直接求解，以后我们会证明
由于δni受到守恒条件(4)(5)式的限制，应用Lagrange不定乘数法，分别用α、 β乘以(4)(5)两式，并减去(6)式
n i n ( i 1 , 2 , . . . ) i
7/2h
5/2h
3/2h
A： B： C：
1/2h
状态1 A: n=0 B: n=0 C: n=4
状态2 A: n=0 B: n=4 C: n=0
状态3 A: n=4 B: n=0 C: n=0
状态4 A: n=0 B: n=3 C: n=1
状态5 A: n=0
状态6 A: n=3 B: n=0 C: n=1
F D i i i i i n i i M B i i i i i i i i
玻色子分布与费米子分布在非简并条件趋向相同，都趋向 于麦-玻分布，显然N！是粒子不可分辨性代入的校正因子
从前面讨论可以看出：微观状态数Ω是宏观状态的状态函数，可以表示为 Ω(N,V,E)，事实上Ω是以N,V,E为特征变量的特性函数
高二物理竞赛玻尔兹曼分布函数PPT(课件)
Why？ 思考：导带中绝大多数电子分布在导带底附近 价带中绝大多数空穴分布在价带顶附近
总电子数微分： dN fB (E)gc (E)dE
玻尔兹曼分布：
fB
(E)
exp(
E EF k0T
)
态密度：
gc (E)
V
2 2
(2mn* )3/2
3
(E EC )1/2
dN
V
2 2
(2mn* )3/ 2
3
E E k T 热平衡状态下的非简并半导体
半 故导其体空中 穴， 分E布F可常用位玻于耳禁兹带曼内分，布且函与数导描带F写底或价带0顶的距离远大于k0T
在一定T时，电子占据能量为E的量子态的概率
由指数因子 e 与掺杂无关，与费米能级无关
与掺杂无关，与费米能级无关
故其空穴分布可用玻耳兹曼分布函数描写
对导带中的所有量子态来说
被电子占据的概率，一般都满足 f(E)<<1 故其电子分布可用玻耳兹曼分布函数描写
对价带中的所有量子态来说
被空穴占据的概率，一般都满足 1 f E 1
故其空穴分布可用玻耳兹曼分布函数描写
有何区 别？
非简并性系统：服从玻耳兹曼统计律的电子系统
简并性系统：服从费米统计律的电子系统
热温有 半平度兴导衡 、 趣体状半的 中态导最 ，下体高 EF的材温常非料度位简的为于并导5禁0半电0带K导类内体型，e、且x杂p与质导E的带k含底0T量E或以F价及带能顶量的1零距点离的远选大取于有k0关T。
E k0T
所决定。 玻耳兹曼分布函数
EEF
EF E
fB E e k0T ek0T e k0T
也就是量子态被空穴占据的概率
麦克斯韦-玻耳兹曼分布PPT课件
解： v ( 1 / 2)h
gv 1
N j
Ng je j /(kT ) g ei /(kT )
ii
Ng je j /(kT ) q
N e
(v 0 ) kT
N0
0, 1, 2,
h
e kT
例：一维简谐振子的振动能 v
1 2
h 。一定温
度下已知处于振动第二激发能级的分子数与基态分
Nj / N
粒子处于j 能级的概率
gj越大，Nj /N越大
j越大，Nj /N越小
N j
N g je j /(kT ) g e i /(kT )
ii
N g je j /(kT ) 或 q
Nj N
g e j /(kT ) j q
上述系统中 麦玻分布 = 最概然分布 = 平衡分布
g je j /kT 玻耳兹曼因子 与平衡时系统中能量为j 的分子数成正比
求取未定乘数 和
ln
gj Nj
j
0
N j g jee j
N
j N j e
j g je j
e N
j g je j
玻耳兹曼常数
kR L
E
j N j j N
g e j
j jj
j g je j
1 / (kT )
麦克斯韦–玻尔兹曼分布
e N
j g je j
N j gie e j
N!
(
gNj j
)
j N j!
ln = lnN! j N jlng j j lnN j!
斯特林近似式 N 1时，ln N ! N ln N N
N!
2 N N N
exp(
热学玻尔兹曼分布.ppt
每一个分子的总的平均能量为： (t r 2v) kT 1 ikT，
22
注意
i t r 2v
1）、各种振动、转动自由度都应是确实对能量均分定理作全部贡献的自由度。 2）、只有在平衡态下才成立。 3）、它是对大量分子统计平均所得结果。 4）、它不仅适用于理想气体，而且也适用于液体和固体。 5）、气体：靠分子间大量无规则的碰撞来实现；液体、固体：分子间强相 互作用来实现
若受到限制自由度降低 平面上 2个 平动自由度 t=2 直线上 1个 平动自由度 t=1
例2 自由运动的刚体 (如大家熟悉的手榴弹)自由度？ 首先应明确刚体的振动自由度 s = 0 按基本运动分解：平动 + 转动 整体随某点(通常选质心)平动
cc
cc
c
6个自由度 t+ r = 3 + 3 = 6
定质心位置 需3个平动自由度
n(z) n(0) exp( m*gz )， RT
其中m* m(1 0 )
1908年法国科学家 Perrin首次观测到，1926年 获得诺贝尔物理奖。
旋转体中悬浮粒子径向分布： ω
l
r dr
h
超速离心技术与同位素分离：
台风、飓风和龙卷风：
四、玻尔兹曼分布
设n1和n2分别表示在温度T的系统中，处于粒子能 量为ε 1的某一状态与ε 2的另一状态的粒子数密度。
复习、提问
最概然速度＝？ 思考题2.14
§2.6 玻尔兹曼分布
一、等温大气压强公式
该系统达到平衡的条件为：
p A ( p dp) A gAdz, dp gdz
p dp
z mg dz
0p
0 kT
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dS 1 (dU Ydy) T
（7.1.12）
2020年7月10日星期五
第七章 玻耳兹曼统计
因为：
dU
Ydy
Nd
ln Zl
N
ln Zl y
dy
用β乘以上式，得
(dU
Ydy)
Nd
ln Zl
N
ln Zl y
dy
考虑到配分函数Zl是β和y的函数， lnZl的全微分可写为
d ln Zl
Zl
l
e l
l
hr
（7.1.5）
当各 l 取得足够小时，上式的求和可用积分表示，有
Zl
el (q, p)
dq1
dqrdp1 dpr hr
（7.1.6）
引入配分函数Zl后，玻耳兹曼分布式可改写为
al
N Zl
el l
（7.1.7）
2020年7月10日星期五
第七章 玻耳兹曼统计
式（7.1.2）可改写为
ln Zl
d
ln Zl y
dy
2020年7月10日星期五
第七章 玻耳兹曼统计
ln z1 y
dy
d
ln
z1
ln
z
d
d ( ln z1 ) ln z1 d d ( ln z1 )
d ( ln z1 ) ln z1 d d ( ln z1 )
因此
(dU
Ydy)
Nd (ln
l
l
（5）
比较（1）（4）（5）式可知：系统内能的改变分为两部分：
①作功改变内能：dw aldl —粒子分布不变，广义
力作用下，由于能级的变l化引起内能变化,与外界对系统
作的功对应；
②传热改变内能：dQ ldal —粒子能级不变，由于
粒子分布变化引起内能变l 化。与系统从外界吸收的热量 相对应。可见,从微观来看功和热量是有区别的。
dS
NKd (ln
Zl
ln
Zl )
S
NK (ln
Zl
ln
Zl )
（7.1.15）
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第七章 玻耳兹曼统计
上式就是熵的统计表达式。其中，我们已将积分常数选为零。 现在来讨论熵函数的统计意义：
将 取对数，得
e N Zl
（ 7.1.8）
ln Zl ln N （7.1.16）
e N Zl
（7.1.8）
二、热力学量的统计表达式 U N N l Pl l 1.内能
对于近独立粒子系统，系统的内能等于各个粒子的 平均能量之和，即
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第七章 玻耳兹曼统计
利用式（7.1.3）和式（7.1.4），有
N
U Zl
l
ll e l
N Zl
l
el l
l
可得 代入式（7.1.17），有
代入式（7.7.15）得:
2020年7月10日星期五
第七章 玻耳兹曼统计
S
NK (ln
Z1
ln Z1
)
NK (ln N ln Z1 )
K(N ln N N U )
K N ln N
l
al
l
l
al
K
N
ln
N
l
(
l
)al
（7.1.17）
由玻耳兹曼分布公式
al
e l
l
l
y
el l
N Zl
1
y
l
el l
N 1
N
Zl
y
Zl
y ln Zl
（7.1.10）
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第七章 玻耳兹曼统计
比较：
dw dw
Ydy pdV
对于简单系统：
p
N
V
ln
Zl
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第七章 玻耳兹曼统计
（7.1.11）
3．热力学第一定律的统计解释
2020年7月10日星期五
第七章 玻耳兹曼统计
其中 N A 6.023 1023 mol 1 是阿伏伽德罗(Avogadro)常 数；R 8.314J mol1 K1 是气体普适常数。
由此得K的数值为
K 1.3811023 J K1
比较式（7.1.12）和（7.1.13），并考虑到（7.1.14）得
dU dQ dw
（1）
而： dw Yidyi Y dy
i
对于简单系统 dw pdV
Y dy
l
al
l
y
dy
l
al d l
将（2）（3）代入（1）中：
dU dQ aldl
l
（2） （3） （4）
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第七章 玻耳兹曼统计
又
U lal
l
dU aldl ldal
Zl
ln
Zl )
（7.1.13）
比较式（7.1.12）和式（7.1.13）可以看出，未定乘子
β与系统的温度T有关。我们可令
1
KT
（7.1.14）
其中，K是比例常数。由于上面的讨论是普遍的，适用 于任何物质系统，所以常数K是一个普适常数，称为玻耳 兹曼常数。
R 在理想气体的计算中可以得到 K
NA
玻耳兹曼分布课件
一、配分函数
在系统的N个粒子中，处在能级εl 上的粒子出现的概率为
Pl
al N
1 N
e l l
（7.1.1）
由归一化条件
Pl 1
l
可得
e
N
el l
l
（7.1.2）
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第七章 玻耳兹曼统计
代入式（7.1.1）中得：
Pl
al N
el l el l
l
（7.1.3）
令
Zl
el l
l
（7.1.4）
其中，Zl称为配分函数。由式（7.1.3）和（7.1.4） 可以看出，如果将（7.1.3）式右边的分子看作粒子的 某一特定状态的话，则配分函数Zl可视为粒子的“有效 状态和”。
2020年7月10日星期五
第七章 玻耳兹曼统计
式（7.1.4）是配分函数的量子表达式，它的经典表述为
数, . ( y)
②若在外界广义力的作用下，发生广义位移（y变化）， 能级就有变化。
l l dl
dl
l
y
dy
可见： l 相当于外界施于每个粒子上的广义力。
y
对于近独立粒子系统而言，系统受到的作用力为
Y N f N
l
l
y
Pl
利用（7.1.3）和（7.1.4）式，有
Y N Zl
N Z1
Zl
N
ln Zl
（7.1.9）
式（7.1.9）是内能的统计表达式。
2.广义力：
以三维自由粒子为例分析：
2 2 2
mL2
(nx2
ny2
nz2 )
2 2 2
2
mV 3
(nx 2
ny2
nz2 )
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第七章 玻耳兹曼统计
由上式可知：
①粒子能级是外参量V的函数，即是热力学中广义坐标的函
2020年7月10日星期五
第七章 玻耳兹曼统计
4．熵的统计表达式
前面曾经讲过，统计物理的一个基本观点是宏观量 是相应微观量的统计平均值。但是，并非所有的宏观量 都有相应的微观量。
例如，宏观量熵就不存在相应的微观量。对于这种 情况，我们只能通过和热力学理论相比较的方法得到其 统计表达式。
由熵的定义和热力学第一定律