流体力学-流体动力学
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流体力学 水力学 流体动力学
流体力学、水力学和流 体动力学的关系
汇报人：
目录
添加目录标题
01
流体力学概述
02
流体动力学的基本概 念
04
流体力学、水力学和 流体动力学的关系
05
水力学的基本概念
总结与展望
03
06
添加章节标题
流体力学概述
流体的定义和特性
流体：一种可以流动的物质包括液体和气体 流体的特性：流动性、可压缩性、热传导性、表面张力等 流体力学：研究流体的力学性质和运动规律的学科 流体力学的应用：工程、气象、海洋、航天等领域
流体动力学的研究对象和主要内容
研究对象：流体包括液体和气体
主要内容：流体的流动规律、流体与固体的相互作用、流体与流体之间的相互作用等
研究方法：理论分析、实验研究和数值模拟等 应用领域：航空航天、海洋工程、环境工程、生物医学等
流体动力学的应用领域
航空航天：飞机、火箭、卫星等飞行器 的设计、制造和运行
交叉融合：流体力学、水力学和流体动力学之间的交叉融合将更加紧密共同推动学科 发展。
应用领域：流体力学、水力学和流体动力学将在更多领域得到应用如航空航天、海 洋工程、环境科学等。
计算流体力学：计算流体力学将得到进一步发展提高计算效率和准确性为工程实践提 供更好的支持。
实验研究：实验研究将继续在流体力学、水力学和流体动力学中发挥重要作用为理 论研究和工程实践提供数据支持。
流体力学与水力学的应用领域不同流体力学广泛应用于航空航天、能源、环境等领域而水力学广泛 应用于水利、海洋、环境等领域。
水力学与流体动力学的关系
流体力学是研究 流体（液体和气 体）的力学性质 和运动规律的学 科包括水力学和
流体动力学。
水力学是研究液 体（如水）的力 学性质和运动规 律的学科是流体 力学的一个分支。
汇报人：
目录
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01
流体力学概述
02
流体动力学的基本概 念
04
流体力学、水力学和 流体动力学的关系
05
水力学的基本概念
总结与展望
03
06
添加章节标题
流体力学概述
流体的定义和特性
流体：一种可以流动的物质包括液体和气体 流体的特性：流动性、可压缩性、热传导性、表面张力等 流体力学：研究流体的力学性质和运动规律的学科 流体力学的应用：工程、气象、海洋、航天等领域
流体动力学的研究对象和主要内容
研究对象：流体包括液体和气体
主要内容：流体的流动规律、流体与固体的相互作用、流体与流体之间的相互作用等
研究方法：理论分析、实验研究和数值模拟等 应用领域：航空航天、海洋工程、环境工程、生物医学等
流体动力学的应用领域
航空航天：飞机、火箭、卫星等飞行器 的设计、制造和运行
交叉融合：流体力学、水力学和流体动力学之间的交叉融合将更加紧密共同推动学科 发展。
应用领域：流体力学、水力学和流体动力学将在更多领域得到应用如航空航天、海 洋工程、环境科学等。
计算流体力学：计算流体力学将得到进一步发展提高计算效率和准确性为工程实践提 供更好的支持。
实验研究：实验研究将继续在流体力学、水力学和流体动力学中发挥重要作用为理 论研究和工程实践提供数据支持。
流体力学与水力学的应用领域不同流体力学广泛应用于航空航天、能源、环境等领域而水力学广泛 应用于水利、海洋、环境等领域。
水力学与流体动力学的关系
流体力学是研究 流体（液体和气 体）的力学性质 和运动规律的学 科包括水力学和
流体动力学。
水力学是研究液 体（如水）的力 学性质和运动规 律的学科是流体 力学的一个分支。
流体力学 流体动力学
流体力学流体动力学
流体力学主要分为两个分支：稳态流体力学和非稳态流体力学。
稳态流体力学研究流体在恒定状态下的运动，而非稳态流体力学则研究流体在变化状态下的运动。
流体动力学则是研究流体运动中的力学特性，包括流体的速度、压力、密度等。
它还可以帮助我们理解和解释各种自然现象，例如气旋和洋流等。
流体力学和流体动力学在现代科学中有着广泛的应用，包括工业设计、航空航天、气象预测、海洋科学等。
在各个领域，这两个学科都是非常重要的基础学科。
- 1 -。
4工程流体力学 第四章流体动力学基础
因为 F 沿 y 轴正向，所以 Fy 取正值
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
Fy F V•n dS = -V0 dS
= =
=
ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS ρ vV n dS
CS
S0
S1
S2
v = -V0 sin
0
0
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续18）
由于V1，V2在y方向上无分量，
忽略粘性摩擦力，控制体所受表面力包括两
端面及流管侧表面所受的压力，沿流线方向总压
力为：
FSl
pS p δpS δS
p
δp 2
δS
Sδ p 1 δpδS 2
流管侧表面所受压力在流 线方向分量，平均压强
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续27z）
控制体所受质量力只有重力，沿流线方向分
Q2
Q0 2
1 cosθ
注意：同一个问题，控制体可以有不同的取法，
合理恰当的选取控制体可以简化解题过程。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程（续23）
微元控制体的连续 方程和动量方程
从流场中取一段长度为l 的流管元，因
为流管侧面由流线组成，因此无流体穿过；流 体只能从流管一端流入，从另一端流出。
CS
定义在系统上 的变量N对时 间的变化率
定义在固定控制 体上的变量N对 时间的变化率
N变量流出控制 体的净流率
——雷诺输运定理的数学表达式，它提供了对
于系统的物质导数和定义在控制体上的物理量
变化之间的联系。
§4-2 对控制体的流体力学积分方程 一、连续方程
在流场内取一系统其体积为 ，则系统内
的流体质量为：
根据物质导数的定义，有：
流体力学 4-4流体动力学
面壁的冲力F是多少？
解：设射流的初始速度为v0，因为
Q1，v0
x
壁面光滑，水平射流的速度只改变 方向不改变大小；
光滑壁面对射流的反力R垂直于壁
y
Q0，v0
θ o
面，合外力在x方向上为0，列x方
F =-R
向的动量方程可得
0 ( ρQ1v0 ρQ2v0 ) ρQ0v0 cos θ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Q2，v0 例4－7图
C 断面形心出的流速 D 断面上压力中心处的流速
§4-4 动量方程及其应用
在工程实际中有时要计算流体与固体相互作用的力，动量 方程提供了流体与固体相互作用的动力学规律。
一、稳定流动量方程 从物理学中的动量定律知道，单位时间内物体的动量变化 等于作用于该物体上外力的总和。
2 2
1
v2 II
1
III
v1 I 1
22
1
图4－15 控制体及系统
如图示是一个稳定流动。首
因此可认为：
（1）控制体内液流的能量损失 hw 0
（2）水平射流与壁面在接触后， 射流只是改变方向，不改变大小；
（3）由于壁面的对称性，水平射 流的反作用力R平行于射流方向。
v
Q/2
Q
θ F=-R
v
θx
Q/2 v
图4－19
例4-6 试求图示的射流对挡板的作用力。
解：设水平射流的流量为Q，因曲面 对称且正迎着射流，则两股流量可 认为相等，都为Q/2，x方向动量方 程为
（4）
考虑到 v1 v1n1及v2 v 2 n2 ，上式可写成
R 1Q1v1n1 2Q2v2n2 p1 A1n1 p2 A2n2 Fb ( p1 A1 1Q1v1 )n1 ( p2 A2 2Q2v2 )n2 Fb
流体力学基础知识
流体力学基础知识 流体力学基础知识
目 录 Contents
一 绪论 二 流体静力学 三 流体运动学 四 流体动力学
第一章： 绪论
1.1 流体力学的研究对象
流体力学是研究流体平衡与运动的规律以及它与固 体之间相互作用规律的科学。
其中流体包括液体和气体，相对于固体，它在力学 上表现出以下特点： 流体不能承受拉力。 流体在宏观平衡状态下不能承受剪切力。 对于牛顿流体（如水、空气等）其切应力与应变的时间 变化率成比例，而对弹性体（固体）来说，其切应力则 与应变成比例。
• 数值方法 计算机数值方法是现代分析手段中发展最快的方法之一
1.4 流体力学的发展史
• 第一阶段（16世纪以前）：流体力学形成的萌芽阶段 • 第二阶段（16世纪文艺复兴以后-18世纪中叶）流体力学
成为一门独立学科的基础阶段 • 第三阶段（18世纪中叶-19世纪末）流体力学沿着两个方
向发展——欧拉、伯努利 • 第四阶段（19世纪末以来）流体力学飞跃发展
体静力学的基础
第二阶段（16世纪文艺复兴以后-18世纪中叶） 流体力学成为一门独立学科的基础阶段
• 1586年 斯蒂芬——水静力学原理 • 1650年 帕斯卡——“帕斯卡原理” • 1612年 伽利略——物体沉浮的基本原理 • 1686年 牛顿——牛顿内摩擦定律 • 1738年 伯努利——理想流体的运动方程即伯努利方程 • 1775年 欧拉——理想流体的运动方程即欧拉运动微分方
1.2 连续介质模型
• 连续介质 流体微元——具有流体宏观特性的最小体积的流体团
• 理想流体 不考虑粘性的流体
• 不可压缩性 ρ=c
1.3 流体力学的研究方法
理论分析方法、实验方法、数值方法相互配合，互为补充
目 录 Contents
一 绪论 二 流体静力学 三 流体运动学 四 流体动力学
第一章： 绪论
1.1 流体力学的研究对象
流体力学是研究流体平衡与运动的规律以及它与固 体之间相互作用规律的科学。
其中流体包括液体和气体，相对于固体，它在力学 上表现出以下特点： 流体不能承受拉力。 流体在宏观平衡状态下不能承受剪切力。 对于牛顿流体（如水、空气等）其切应力与应变的时间 变化率成比例，而对弹性体（固体）来说，其切应力则 与应变成比例。
• 数值方法 计算机数值方法是现代分析手段中发展最快的方法之一
1.4 流体力学的发展史
• 第一阶段（16世纪以前）：流体力学形成的萌芽阶段 • 第二阶段（16世纪文艺复兴以后-18世纪中叶）流体力学
成为一门独立学科的基础阶段 • 第三阶段（18世纪中叶-19世纪末）流体力学沿着两个方
向发展——欧拉、伯努利 • 第四阶段（19世纪末以来）流体力学飞跃发展
体静力学的基础
第二阶段（16世纪文艺复兴以后-18世纪中叶） 流体力学成为一门独立学科的基础阶段
• 1586年 斯蒂芬——水静力学原理 • 1650年 帕斯卡——“帕斯卡原理” • 1612年 伽利略——物体沉浮的基本原理 • 1686年 牛顿——牛顿内摩擦定律 • 1738年 伯努利——理想流体的运动方程即伯努利方程 • 1775年 欧拉——理想流体的运动方程即欧拉运动微分方
1.2 连续介质模型
• 连续介质 流体微元——具有流体宏观特性的最小体积的流体团
• 理想流体 不考虑粘性的流体
• 不可压缩性 ρ=c
1.3 流体力学的研究方法
理论分析方法、实验方法、数值方法相互配合，互为补充
流体力学 4-2流体动力学
问题分析：
A断面：zA =0 m pA =1.96×105Pa vA=? B断面：zB =3 m pB =? C断面：zC =3.2m pC =0 水头损失：hwA-C=0.6m vC=?
d A 0.05m
d C 0.02m
vB=? d B 0.05m
hwA-B=0.5m
hwB-C=0.1m
动能修正系数的物理意义:总流有效断面上的实际动能对按 平均流速算出的假想动能的比值。α是由于断面上速度分 布不均匀引起的，不均匀性愈大,α值越大。 在圆管紊流运动中 α=1.05 ～ 1.10 ，在圆管层流运动中， α=2。在工程实际计算中，由于流速水头本身所占的比例 较小，故一般常取α=1。
2 2 p1 u1 p2 u2 ' z1 z2 h w12 g 2g g 2g
上面计算过程中基准面为A断面，压力为相对压力, 当选取C断面为基准面，压力取绝对压力时: A断面：zA =-3.2m pA =2.97×105Pa vA=?
B断面：zB =-0.2m pB=? C断面：zC = 0m vB=? pC = 1.01×105Pa vC=?
解得：
vA vB 2.89m / s vC 18.06m / s pB 262700Pa (绝对压力) pB 161700Pa (相对压力) Q vC AC 5.68L / s
§4-2 实际流体总流的伯努利方程
一、实际流体总流的伯努利方程
对于实际（粘性）流体，流动时存在
① 流体间的摩擦阻力
② 某些局部管件引起的附加阻力
因而导致实际流体流动过程中，其总机械能沿
流动方向不断减小。如果实际流体从截面1流向截
面2，则截面2处的总机械能必定小于截面1处的总
流体力学 第三章 流体动力学
按周界性质： ①总流四周全部被固体边界限制——有压流。如 自来水管、矿井排水管、液压管道。 ②总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接 触——无压流。如河流、明渠。 ③总流四周不与固体接触——射流。如孔口、管 嘴出流。
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
流体力学ppt课件-流体动力学
g
g
2g
水头
，
z
p
g
v2
2g
总水头， hw 水头损失
第二节 热力学第一定律——能量方程
水头线的绘制
总水头线
hw
对于理想流体，总水
1
v12 2g
2
v22 2g
头线是沿程不变的，
测压管水头线
p2
为一水平直线，对于
g
实际流体，总水头沿 程降低，但测压管水
p1 g
头线沿程有可能降低、
z2
不变或者升高。
z1
v2 A2 e2
u22 2
gz2
p2
v1A1 e1
u12 2
gz1
p1
微元流管即为流线，如果不 可压缩理想流体与外界无热 交换，热力学能为常数，则
u2 gz p 常数
2
这个方程是伯努利于1738年首先提出来的，命名为伯努利 方程。伯努利方程的物理意义是沿流线机械能守恒。
第二节 热力学第一定律——能量方程
皮托在1773年用一根弯成直角的玻璃管，测量了法国塞纳河 的流速。原理如图所示，在液体管道某截面装一个测压管和 一个两端开口弯成直角的玻璃管（皮托管），皮托管一端正 对来流，一端垂直向上，此时皮托管内液柱比测压管内液柱 高h，这是因为流体流到皮托管入口A点受到阻滞，速度降为 零，流体的动能变化为压强势能，形成驻点A，A处的压强称 为总压，与A位于同一流线且在A上游的B点未受测压管的影 响，其压强与A点测压管测得的压强相等，称为静压。
第四章 流体动力学
基本内容
• 雷诺输运公式 • 能量方程 • 动量方程 • 流体力学方程应用
第一节 雷诺输运方程
• 前面解决了流体运动的表示方法,但要在流 体上应用物理定律还有困难.
流体力学(流体动力学)
伯诺里方程各项的物理意义和几何意义
§4－2
欧拉运动微分方程的积分
一、兰伯－葛罗米柯型运动微分方程
欧拉运动微分方程 (2) Fra bibliotek一式的右边有：
du x u x u x u x u x ux uy uz dt t x y z
2 u x 1 u x u x u x uy uz t 2 x y z
(3)
这组方程式称为兰伯－葛罗米柯型运动微分方程式。它比欧拉 运动微分方程式便于积分。
二、理想流体沿流线的伯诺里方程(伯诺里积分)
假设条件 （1）流动为恒定流。此时
u x u y u z p 0 t t t t
（2）流体是不可压缩的，密度ρ= 常数。
（3）流体受有势质量力作用，具有势函数U。即
实际流体的运动微分方程式
一、实际流体的内应力
实际流体运动时，表面力不仅有法向应力，还有切向应力。 任意一点取垂直于 y 轴的平面，作用在此平面上的表面力： 法向应力－pyy（负号表示压力方向与 y 轴方向相反）； 切应力τyx 、τyz 。（第一个角标表示应力所在的面与哪个坐
标轴垂直，第二个角标表示应力方向） 。
u x u 2 1 p X 2(u z y u y z ) x t x 2 u y u 2 1 p Y 2(u x z u z x ) y t y 2 2 1 p u z u Z 2(u y x u x y ) z t z 2
（2）
对于不可压缩和可压缩流体，欧拉运动微分方程均适用。
在不可压缩流体中，ρ= 常数，未知量为ux、uy、uz和p共四个， 要解这个方程必须借助于连续性方程。
2-流体力学-第三章-流体动力学(1)-三大方程-黄国钦
d ∂ ∂ ∂ ∂ = +u +v + w dt ∂t ∂x ∂y ∂z
质点导数亦称随体导数亦称物质导数等。
11 12
2
例题 例题:
r r r r V = x 2 yi − 3 yj + 2 z 2 k
3.2 几个概念 3.2.1 流动的分类——定常流和非定常流
试求点 (1, 2 , 3) 处流体加速度的三个分量 解:
•
欧拉法是流场法，
它定义流体质点的速 度矢量场为：
选定某一空 选定某一空 间固定点 间固定点
记录流动空间 某固定位置 处，流体运动 要素（速度、 加速度）随时 间变化规律
r r u =u (x,y,z,t)
综合流场中 许多空间点 随时间的变 化情况
(( x ,, y ,, zz )) 是 x y 是空 空间 间点 点（ （场 场 r u 点）。流速 是在 点）。流速 是在 tt 时 时 刻占据 (( x ,, y ,, zz )) 的那个流 刻占据 x y 的那个流
工程流体力学 Engineering Fluid Mechanics
制造工程系：黄国钦
1
2
3.1.2 描述流体运动的两种方法及质点导数概念
3.1.2 描述流体运动的两种方法 3.1.2.1 拉格朗日法
基本思想：以研究个别流体质点的运动为基础，跟踪每个流体质点的运动全 基本思想： 过程，记录它们在运动过程中的各物理量及其变化规律。即通过描述每一质 点的运动了解流体运动。(随体法或跟踪法)
迹线
M(-1,-1)
o
x
流线
t = 0 时过 M(-1,-1)点的流线和迹线示意图
19
dx dy dz = = vx v y vz
液压流体力学第五章流体动力学基础
液压流体力学
南京工程学院
夏庆章
20150720
第五章 流体动力学基础
• • • • • • 流体动力学概述 5.1理想流体的运动微分方程式 5.3理想流体的伯努利方程式 5.4实际流体总流的伯努利方程式 5.7伯努利方程的应用 5.8动量、动量矩定理及其应用
流体动力学概述
流体动力学是研究流体在外力作用下的运
动规律即研究流体动力学物理量和运动学 物理量之间的关系的科学。 流体动力学主要研究内容就是要建立流体 运动的动量平衡定律、动量矩平衡定律和 能量守恒定律（热力学第一定律）。
5.1 理想流体的运动微分方程式
1、选取控制体：在所研究的运动流体中，任取一 微小平行六面体，如图5-1所示。六面体边长分别 为dx、dy、dz，平均密度为 ，顶点A 处的压强 为 p。 2、受力分析 质量力：fxdxdydz , fydxdydz , fzdxdydz 表面力：设A点压强为p时，则与其相邻的ABCD 、 ADEH、ABGH三个面上的压强均为p，而与这三个 面相对应的EFGH、 BCFG、 CDEF 面上的压强可 由泰勒级数展开略去二阶以上无穷小量而得到，分 p p p p dz p dx p dy 别为 z x y
p V p V z1 1 1 z 2 2 2 h w g 2 g g 2 g
2 2
式（5-1）的几何解释如图5-1所示，实际总水头线沿微元流 束下降，而静水头线则随流束的形状上升或下降。
图5-1 伯努利方程的几何解释
二、黏性流体总流的伯努利方程 流体的实际流动都是由无数微元流束所组成的有效截面为 有限值的总流流动，例如流体在管道中和渠道中的流动等。 微元流束的有效截面是微量，因而在同一截面上流体质点 的位置高度 z 、压强 p 和流速 V 都可认为是相同的。而 总流的同一有效截面上，流体质点的位置高度 z 、压强 p 和流速 V 是不同的。总流是由无数微元流束所组成的。 因此，由黏性流体微元流束的伯努利方程来推导总流的伯 努利方程，对总流有效截面进行积分时，将遇到一定的困 难，这就需要对实际流动作某些必要的限制。为了便于积 分，首先考虑在什么条件下总流有效截面上各点的 p z 常数？这只有在有效截面附近处有缓变流动时 g 才能符合这个要求。
南京工程学院
夏庆章
20150720
第五章 流体动力学基础
• • • • • • 流体动力学概述 5.1理想流体的运动微分方程式 5.3理想流体的伯努利方程式 5.4实际流体总流的伯努利方程式 5.7伯努利方程的应用 5.8动量、动量矩定理及其应用
流体动力学概述
流体动力学是研究流体在外力作用下的运
动规律即研究流体动力学物理量和运动学 物理量之间的关系的科学。 流体动力学主要研究内容就是要建立流体 运动的动量平衡定律、动量矩平衡定律和 能量守恒定律（热力学第一定律）。
5.1 理想流体的运动微分方程式
1、选取控制体：在所研究的运动流体中，任取一 微小平行六面体，如图5-1所示。六面体边长分别 为dx、dy、dz，平均密度为 ，顶点A 处的压强 为 p。 2、受力分析 质量力：fxdxdydz , fydxdydz , fzdxdydz 表面力：设A点压强为p时，则与其相邻的ABCD 、 ADEH、ABGH三个面上的压强均为p，而与这三个 面相对应的EFGH、 BCFG、 CDEF 面上的压强可 由泰勒级数展开略去二阶以上无穷小量而得到，分 p p p p dz p dx p dy 别为 z x y
p V p V z1 1 1 z 2 2 2 h w g 2 g g 2 g
2 2
式（5-1）的几何解释如图5-1所示，实际总水头线沿微元流 束下降，而静水头线则随流束的形状上升或下降。
图5-1 伯努利方程的几何解释
二、黏性流体总流的伯努利方程 流体的实际流动都是由无数微元流束所组成的有效截面为 有限值的总流流动，例如流体在管道中和渠道中的流动等。 微元流束的有效截面是微量，因而在同一截面上流体质点 的位置高度 z 、压强 p 和流速 V 都可认为是相同的。而 总流的同一有效截面上，流体质点的位置高度 z 、压强 p 和流速 V 是不同的。总流是由无数微元流束所组成的。 因此，由黏性流体微元流束的伯努利方程来推导总流的伯 努利方程，对总流有效截面进行积分时，将遇到一定的困 难，这就需要对实际流动作某些必要的限制。为了便于积 分，首先考虑在什么条件下总流有效截面上各点的 p z 常数？这只有在有效截面附近处有缓变流动时 g 才能符合这个要求。
流体力学讲义 第三章 流体动力学基础
第三章流体动力学基础本章是流体动力学的基础。
主要阐述了流体运动的两种描述方法,运动流体的基本类别与基本概念，用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程。
此外，还阐述了无旋流与有旋流的判别，引出了流函数与势函数的概念，并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多复杂问题。
第一节流体流动的基本概念1.流线（1）流线的定义流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。
图3-1为流线谱中显示的流线形状。
（2）流线的作法：在流场中任取一点（如图3-2），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。
流线是欧拉法分析流动的重要概念。
图3-1 图3-2（3）流线的性质（图3-3）a.同一时刻的不同流线，不能相交。
图3-3因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。
b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。
因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。
c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。
因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。
（4）流线的方程（图3-4）根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：图3-4设d s为流线上A处的一微元弧长:u为流体质点在A点的流速:因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和d s重合。
所以即展开后得到：——流线方程（3-1）（或用它们余弦相等推得)2.迹线(1)迹线的定义迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。
图3-5中烟火的轨迹为迹线。
(2)迹线的微分方程（3-2）式中，u x,u y,u z均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。
流体力学3-动力学
二、流体动力学基本概念
1. 流束：指在流体中沿流动方向分离出一块基本元面积dA、长为 L的一束流体。 元流（微细流）：指断面无穷小的流束。 总流：指无数微细流的总和。
微元流束
图 3-2 总流和微元流束
3. 流速
质点流速（点速）：指过流断面上各质点的速度，以“u”表示，m/s 断面平均流速（流速）： 指过流断面上各质点的速度的平均值，以“W” 表示，m/s 4.流量：指单位时间内通过某一断面积流体的量。 ① 体积流量（Q）：指单位时间内通过某一断面积流体的体积。m3/s ② 质量流量(m):指单位时间内通过某一断面积流体的质量。Kg/s ③ 重量流量（G）：指单位时间内通过某一断面积流体的重量。 三者之间关系： m = ρQ G = mg = ρQg 体积流量Q与流速W之间关系： Q = WA （A—流体通过的某一断面面积）
Q1 = Q2
W1 A1 = W2 A2
Q1 = Q2 + Q3
分流时：
W1 A1 = W2 A2 + W3 A3
Q1 + Q2 = Q3
合流时：
W1 A1 + W2 A2 = W3 A3
§3-4 流体流动伯努利方程
伯努利方程从功能原理出发，描述流体在外力作用下是按照什 么规律来运动的，从而求出流速的绝对值等。
ρw12
2
= ( ρ − ρ a ) gZ 2 + P2 +
2 ρ w2
2
+ ∆ P1− 2
对于1，3 断面的伯努利方程如下：
不同条件下临界流速Wk不同；但是临界雷诺数Rek都是相同的， 其值约为2000，
Re ≤ 2000 层流 2000 < Re < 4000 过渡态 Re ≥ 4000 紊流
流体力学 第3章流体动力学基础
第3章 流体动力学基础教学提示：流体力学是研究流体机械运动的一门学科，与理论力学中分析刚体运动的情况相似。
如研究的范围只限于流体运动的方式和状态，则属于流体运动学的范围。
如研究的范围除了流体运动的方式和状态以外，还联系到流体发生运动的条件，则属于流体动力学的范围。
前者研究流体运动的方式和速度、加速度、位移等随空间与时间的变化，后者研究引起运动的原因和流体作用力、力矩、动量和能量的方法。
如前所述，流体力学的研究方法是基于连续介质体系的，重点研究由流体质点所组成的连续介质体系运动所产生的宏观效果，而不讨论流体分子的运动。
与处于相对平衡状态下的情况不同，处于相对运动状态下的实际流体，粘滞性将发生作用。
由于流体具有易流动性和粘滞性的影响，因此流体力学的研究方法与固体力学有明显的区别。
教学要求：流体运动的形式虽然多种多样的，但从普遍规律来讲，都要服从质量守恒定律、动能定律和动量定律这些基本原理。
在本章中，我们将阐述研究流体流动的一些基本方法，讨论流体运动学方面的一些基本概念，应用质量守恒定律、牛顿第二运动定律、动量定理和动量矩定理等推导出理想流体动力学中的几个重要的基本方程：连续性方程、欧拉方程、伯努利方程、动量方程、动量矩方程等，并举例说明它们的应用。
3.1 流体运动的描述方法要研究流体运动的规律，就要建立描述流体运动的方法。
在流体力学中，表达流体的运动形态和方式有两种不同的基本方法：拉格朗日法和欧拉法。
3.1.1 拉格朗日法拉格朗日法是瑞士科学家欧拉首先提出的，法国科学家J. L.拉格朗日作了独立的、完整的表述和具体运用。
该方法着眼于流体内部各质点的运动情况，描述流体的运动形态。
按照这个方法，在连续的流体运动中，任意流体质点的空间位置，将是质点的起始坐标),,(c b a (即当时间t 等于起始值0t 时的坐标)以及时间t 的单值连续函数。
若以r 代表任意选择的质点在任意时间t 的矢径，则： ),,,(t c b a r r = (3-1) 式中，r 在x 、y 、z 轴上的投影为x 、y 、z ；a 、b 、c 称为拉格朗日变量。
流体力学-第四章 流体动力学基础
Dt t CV
CS
单位质量流体的能量 e (u V 2 gz) 流体系统的总能量
2
DE ed eV ndS
Dt t CV
CS
E ed
初始时刻系统与控制体重合
Q WSYS Q WCV
ed eV ndS Q W
t CV
CS
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
§4.1 系统和控制体，雷诺输运定理
雷诺输运定理：
举例：动量定理运用于流体系统
F Dk Dt
F 是外界作用系统的合力，K 是系统的动量，
k Vd
由于系统不断改变位置、形状大小，组成系统的流体质点的密度和速度随
时间也是变化的，所以系统的动量也是变化的，求其对时间的变化率，即
求该流体系统体积分的物质导数。
取 N M 单位体积的质量
DM 0 Dt
d V ndS 0
t CV
CS
d V ndS 0
t CV
CS
积分形式的连续性方程
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
非定常流动情况下：
d V ndS 0
t CV
CS
即单位时间内控制体内流体质量的增加或减少等于同时间内通过控制面流入 或流出的净流体质量。如果控制体内的流体质量不变，则必然同一时间内流 入与流出控制体的流体质量相等。
左端第一项——是控制体内流体动量随时间变化而产生的力，它反映流体运动的非定常性
左端第二项——是单位时间内流体流入和流出控制体的动量之差，它表示流入动量与流出动量
不等所产生的力。
§4.2 对控制体的流体力学积分方程
定常流动条件：
F
FB FS
VV ndS
CS
VV ndS
流体力学——流体动力学
0.849 2 pv 9.8 6.4 2 9.8 63.1kPa
3.11 如图， 水泵的提水高度 z＝20m， 抽水流量 Q＝35 L/s， 已知吸水管和压水管的直径相同， d＝180mm，离心泵的效率 η1＝0.82，电动机的效率 η2＝0.95，设总水头损失 hw＝1.5mH2O， 求电动机应有的功率 P。 （参考分数：12 分）
1 v1 θ 1 2
解：由连续性方程得
2 v2
d1 0.1 v2 v1 d 1.5 0.075 2.67 m/s 2
2
2
Q A1v1 0.0118 m3/s
列 1、2 断面能量方程，得
0
p1
v1 v 00 2 0 2g 2g
700 4
pA
1v12
2g
pA＝25.1kN 3.14 如图，虹吸管从水池引水至 C 端流入大气，已知 a＝1.6m，b＝3.6m。若不计损失，试 求： （1）管中流速 v 及 B 点的绝对压强 pB。 （2）若 B 点绝对压强水头下降到 0.24m 以下时， 将发生汽化，设 C 端保持不动，问欲不发生汽化，a 不能超过多少？（参考分数：12 分）
1v1 A1 2 v2 A2
2 1v1 A1
v 2 A2 5.218kg/m3
得
Qm 1v1 A1 0.768kg/s
3.7 一变直径管段 AB，直径 dA＝0.2m，dB＝0.4m，高差 Δh＝1.5m。今测得 pA＝30kN/m2， pB＝40kN/m2，B 处断面平均流速 vB＝1.5m/s。试判断水在管中的流动方向。
P
QH
12
流体力学第三章流体动力学(1)
（2）流线的作法
流线的作法如下：在流速场中任取一点1（如下图），绘出
在某时刻通过该点的质点的流速矢量u1，再在该矢量上取距
点1很近的点2处，标出同一时刻通过该处的另一质点的流速
矢量u2……如此继续下去，得一折线1 2 3 4 5 6……，若
折线上相邻各点的间距无限接近，其极限就是某时刻流速场 中经过点1的流线。
(b)非恒定流
mt1 流线 mt2
迹线 mt3
且与迹线重合。
3. 均匀流和非均匀流 划分依据：按流速的大小和方向是否沿程变化
（1）均匀流
流速沿程不变的流动称为均匀流
在均匀流时不存在迁移加速度，即 auuo s
其流线为彼此平行的直线
例：等直径直管中的液流或者断面形状和水深不变的长直渠道中的水流 都是均匀流。
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
质点的加速度由两部分组成：
auuu t s
欧拉加速度
ax
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
uz t
ux
பைடு நூலகம்
uz x
uy
uz y
uz
uz z
①时变加速度（当地加速度）——流动过程中液体由于速度 随时间变化而引起的加速度； ——等号右边第一项是时变 加速度 ②位变加速度（迁移加速度）——流动过程中液体由于速度 随位置变化而引起的加速度。 ——后三项是位变加速度
（1） （a,b,c）=Const , t为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻 所处的位置。 （2） （a,b,c）为变数, t =Const ，可以得出某一瞬间不同质点在空 间的分布情况。
流体力学_04_流体动力学-1
u x u x u x u x ＝dxdydz t u x x u y y u z z
质量力 时变加速度
u x u x u x 1 p u x X ux uy uz x t x y z
表面力
Y
1 p ux uy uz y t x y z
速度水头
p
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ伯 努 利 方 程
****************
u2 H z 2g
总水头
14
第四节 伯诺里方程的能量意义和几何意义
总机械能不变，并 不是各部分能量都保 持不变。三种形式的 能量可以各有消长， 相互转换，但总量不 会增减。 伯努利方程是能量守恒原理在流体力 学中的具体体现，故被称之为能量方程。 伯努利方程在流线上成立，也可认为 在元流上成立，所以伯努利方程也就是 理想流体恒定元流的能量方程。
u2 gz Cl 2 p
流线
2
1 o o
或
u2 z Cl 2g p
对同一流线上任意两点 1 和 2 利用 伯努利积分，即有 伯 努 p1 u12 p2 u22 利 z1 z2 2g 2g 方 程 这是流体力学中普遍使用的方程。
10
第三节 理想流体的伯诺里方程
**************** 实际使用中，在测得 h，计算流速 u 时，还 要加上毕托管修正系数 c，即 u c 2 gh
实用的毕托管常将测压 管和总压管结合在一起。
Ⅱ管 Ⅰ管 Ⅰ管测压孔
Ⅱ管测压孔
18
第四节 伯诺里方程的能量意义和几何意义
补充例题一 测量流速的皮托管如图所示，设被测流 体密度为ρ，测压管内液体密度为ρ1，测压管中液面高 差为h。试证明所测流速 p
质量力 时变加速度
u x u x u x 1 p u x X ux uy uz x t x y z
表面力
Y
1 p ux uy uz y t x y z
速度水头
p
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ伯 努 利 方 程
****************
u2 H z 2g
总水头
14
第四节 伯诺里方程的能量意义和几何意义
总机械能不变，并 不是各部分能量都保 持不变。三种形式的 能量可以各有消长， 相互转换，但总量不 会增减。 伯努利方程是能量守恒原理在流体力 学中的具体体现，故被称之为能量方程。 伯努利方程在流线上成立，也可认为 在元流上成立，所以伯努利方程也就是 理想流体恒定元流的能量方程。
u2 gz Cl 2 p
流线
2
1 o o
或
u2 z Cl 2g p
对同一流线上任意两点 1 和 2 利用 伯努利积分，即有 伯 努 p1 u12 p2 u22 利 z1 z2 2g 2g 方 程 这是流体力学中普遍使用的方程。
10
第三节 理想流体的伯诺里方程
**************** 实际使用中，在测得 h，计算流速 u 时，还 要加上毕托管修正系数 c，即 u c 2 gh
实用的毕托管常将测压 管和总压管结合在一起。
Ⅱ管 Ⅰ管 Ⅰ管测压孔
Ⅱ管测压孔
18
第四节 伯诺里方程的能量意义和几何意义
补充例题一 测量流速的皮托管如图所示，设被测流 体密度为ρ，测压管内液体密度为ρ1，测压管中液面高 差为h。试证明所测流速 p
工程流体力学-第四章
p
p x
dx
dydz
X
dxdydz
dxdydz
dux dt
X 1 p dux
x dt
X 1 p dux
x dt Y 1 p duy
y dt Z 1 p duz
z dt
——Euler运动方程Βιβλιοθήκη f 1 p u (u )u
t
（1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表 面力之代数和等于其加速度。 （2）适用条件：理想流体。
z p C
g
急变流：流动参量沿流程急剧变化的总流。
例如：
缓变流断面：
1－1、4－4
急变流断面：
2－2、3－3
这样，即可得到：
1
gQ
A (z
p )gudA g
1
gQ
(z
p
g
)
A
gudA
z
p
g
动能修正系数
引入目的： 解决积分
1，
u 2 gudA
gQ A 2g
代之以 V 表达的关系式。
因为总流有效断面上的速度分布是不均匀的，设各点
2gQ
A
u3A 2gQ
1
3
u
A
2
dA
u2A
u2 2g
1 3
u
A
2
dA
u2A
动能修正
系数
则
1
u 2 gudA u 2
gQ A 2g
2g
令
hw12
1
gQ
A2 A1
hw 12 gudA
则（2）式变成：
z1
p1
g
1
u12 2g
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例 用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与 管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头 损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线 解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程
H
0
0
v22 2g
hw
1
1
v2 2gH hw 4.43m / s
Q v2 A2 0.35m3 / s
2 F d v2
p1A1 F Qv2 v1
2
（f）解出F
1
（g）由牛顿第三定律，螺栓组受力F’与F大 小相等、方向相反
例：来自喷嘴的射流垂直射向挡板，射流速度v0， 流量Q，密度ρ，求挡板受射流作用力
解：a.控制体
b.受力图：F 注意：p1=p2=0
c.动量方程（水平方向）：
F Q0 v0
例：水从喷嘴喷出流入大气，已知D、d、、v2， 求螺栓组受力
解：（a）取1-1、2-2断面间的水为控制体
（b）受力图p1A1，F
1
注意：（1）p2=0；
D
（2）螺栓是作用在
p1 v1
管壁上，不是作用
在控制体内，千万
不可画！
1
2 F d v2
2
（c）连续性方程
1
（d）能量方程 （e）动量方程
D p1 v1
2
ρa
p2
z1
p1ab
g
v12 2g
z2
p2ab
g
v22 2g
hw
p1
1 v1
ρ v2
2
1
z2
常用压强表示（Pa）
0 z1
0
gz1
p1ab
v12 2
gz2
p2ab
v22 2
pw
（2）用相对压强 p1ab p1 pa1
2
ρa
p2
1 p1 v1
ρ v2
2
1
z2
0 z1
0
p2ab p2 pa2 p2 pa1 a g z2 z1
2.有能量输入（Hi）或输出（H0）的伯努利方程
z1
p1
g
1v12
2g
Hi
z2
p2
g
2v22
2g
H0
hw
3.有分流（或汇流）的伯努利方程
z1
p1
g
v12 2g
z2
p2
g
v22 2g
hw12
1
2
2
z1
p1
g
v12 2g
z3
p3
g
v32 2g
hw13
1
3 3
4.水头线
总水头线 测压管水头线
水流轴线 基准线
2
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
c
（3）物理意义
z p
g
——单位重量流体的总势能（m）
——位置水头+压强水头 u2
——单位重量流体的动能（m） 2g
——速度水头
z p u2 c
g 2g
单位重量流体的机械能守恒（总水头不变）
2.粘性流体元流的伯努利方程
z1
p1
g
u12 2g
C
B A
40m
解：（a）管内为空气时，取A、C断面列能量方程
40m
pA
v2 2
9
v2 2
v2
v2
12 9.8 1.2 91.2
2
2
A
C B
v 4.43m/ s
117.6
Q vA 0.0348 m3 / s
作压力线
pA 12 9.8 117 .6Pa
v2 11.7Pa
2
A
9 v2 106 Pa
推导：
元流的伯努利方程
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw '
两边同乘以ρgdQ，积分
z1
p1
g
u12 2g
g d Q
z2
p2
g
u22 2g
hw 'gdQ
（1）势能积分
z
p
g
gdQ
z
p
g
gdQ
z
p
g
gQ
（2）动能积分
u2 2g
gdQ
u2 2g
gudA
1 2g
g
u 3dA
v3 gA v2 gQ
解：a.取1-1、2-2断面间内的流体为控制体
b.画控制体的受力图： p1A1、p2A2、F→Fx，Fy
2
p2
2
c.连续性方程： v1A1=v2A2
v2 1
d.能量方程（z1=z2=0）：
p1 v12 p2 v22
p1 v1
θ α
Fx
F
g 2g g 2g
1
Fy
e.动量方程
x : p1A1 p2 A2 cos Fx Qv2 cos v1
10m
解：水温40℃，汽化压强为7.38kPa 大气压强 pa 97.3103 10m
g 992 .2 9.807
汽化压强 pv 7.38 103 0.76m
g 992 .2 9.807
1
1
10m
3 2
2 3
列1-1、2-2断面的能量方程（必须用绝对压强）
10 10 v22 0.76 v22 19.24m
p1A glAcos p2A
l cos z1 z2
z1
p1
g
z2
p2
g
c
——服从流体静力学规律
ΔA
l
p1
θG p2
z2 0
z1 0
2.例 pB gh ' gh pB ' gh gh
pA pB pC
3.急变流压强的分布
FI
沿惯性力方向，压强增加、流速减小
总流的伯努利方程
1.总流的伯努利方程
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
p z
2u z
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
元流的伯努利方程
1.理想流体元流的伯努利方程
（1）推导方法一
将（1）、（2）、（3）各式分别乘以dx、dy、
dz，并相加
Xdx
Ydy
Zdz
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
注意：
水（ρ）-水银（ρ’） 气（ρ）-液（ρ’）
h ' h
h ' h
关于气蚀： 低压区产生汽化，高压区气泡破灭空化，它造成流 量减小，机械壁面造成疲劳破坏，这种有害作用称 气蚀（空蚀） 关于计算气蚀的例子： 大气压强97.3kPa，粗管径 d=150mm，水温40℃，收 缩管直径应限制在什么条 件下，才能保证不出现空 化？（不考虑损失）
位压线
总压线
B
例：空气由炉口a流入，通过燃烧，经b、c、d后流
出烟囱，空气ρa=1.2kg/m3，烟气ρ=0.6kg/m3，损失
压强pw=29ρv2/2，求出口流速，作出压力线，并标
出c处的各种压强 解：取a、b断面列能量方程
50m d
a
gz2
z1
v2 2
29
v2 2
1.2 0.6 9.8 50 0.6 v2 29 0.6 v2 c
z2=z1或ρa=ρ——位压为零
(ρa-ρ)g(z2-z1)——位压
2.压力线
v 2
2 动压
p 静压
a gz2 z1 位压
总压线
势压线 位压线
零压线
静压+动压=全压 静压+动压+位压=总压
3.例：气体由压强为12mmH2O的静压箱A经过直径 为10cm、长为100m的管子流出大气中，高差为 40m，沿管子均匀作用的压强损失为pw=9ρv2/2，大 气密度ρa=1.2kg/m3，（a）当管内气体为与大气温 度相同的空气时；（b）当管内为ρ=0.8kg/m3燃气 时，分别求管中流量，作出压力线，标出管中点B 的压强
2g
2g
列1-1、3-3断面的能量方程（可用相对压强）
10 v32 2g
连续性方程 d2 127 mm
v2 v3
1502
d
2 2
例：定性作水头线
总水头线
总水头线 测压管水头线
p
测压管水头线
p
总水头线
测压管水头线 p
p
总水头线 测压管水头线
气体的伯努利方程
1.气体的伯努利方程
（1）用绝对压强（m）
只有重力 gdz
不可压缩恒定流
1
dp
d
p
dux dx duy dy duz dz
dt
dt
dt
d
ux2
u
2 y
2
u
2 z
d
u2 2
Xdx
Ydy
Zdz
1
p x
dx
p y
dy
p z
dz
dux dx duy dy duz dz
dt
dt
dt
积分
gdz
d
p
d
u2 2
0
gz p u2 c
2
2
v2 294 0.6 284.2
2
5m b a 0m