高中数学-数列公式及解题技巧

数列求和的基本方法和技巧

除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a

n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111q q q a a q

q a q na S n n

n

自然数方幂和公式：

3、 )1(211

+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(6112

++==∑=n n n k S n

k n

5、 21

3

)]1(21[+==

∑=n n k S n

k n [例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0) 解： ∵x≠0

∴该数列是首项为1，公比为x 2的等比数列而且有n+3项 当x 2＝1 即x ＝±1时 和为n+3

评注：

(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本

题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论．

(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项． 对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+1

2

2

2-⋯+n ），……的前顶和为

n

s

，则

n

s

的值。

二、错位相减法求和

错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出

了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.

求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列

的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。

[例] 求和：1

32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S （

1≠x ）………………………①

解：由题可知，{1

)12(--n x

n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1

-n x

}的通项之积

设n

n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n

n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1

----⋅

+=-- ∴ 2

1)

1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 注意、1 要考虑 当公比x 为值1时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项

此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。 对应高考考题：设正项等比数列{}n a 的首项2

1

1=

a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。（Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.

[例] 求证：n

n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++

证明： 设n

n n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①

把①式右边倒转过来得

113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）

又由m

n n m n C C -=可得

n

n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②

①+②得 n

n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ n

n n S 2)1(⋅+=

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

若数列{}n a 的通项公式为n n n b a c +=，其中{}{}n n b a ,中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。

[例]：求数列Λ16

1

4,813,412,211的前n 项和；

分析：数列的通项公式为n n n a 21+=，而数列{}⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧n n 21,分别是等差数列、等比数列，求

和时一般用分组结合法；

[解] ：因为n n n a 2

1

+

=，所以 )2

1

()813()412()211(n n n s ++++++++=Λ

)2

1

814121()321(n n +++++++++=ΛΛ（分组）

前一个括号内是一个等比数列的和，后一个括号内是一个等差数列的和，因此

12122

11)

21

1(212)1(2+-+=--++=n n n n n n

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）ο

οο

οοn n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+