初中数学竞赛重要定理公式(代数篇)
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初中数学竞赛重要定理、公式及结论
代数篇
【乘法公式】
完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,
平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2,
立方和(差)公式:(a±b)(a2 ∓ab+b2)=a3±b3
多项式平方公式:(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
二项式定理:(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4)
(a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3+5ab4±b5)
…………
在正整数指数的条件下,可归纳如下:设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-3b2- …
+ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1
类似地:(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)=a n-b n
公式的变形及其逆运算
由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab
由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)
由公式的推广③可知:当n为正整数时
a n-
b n能被a-b 整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。重要公式(欧拉公式)
(a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc
【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式,并不是总能整除。当被
除式f(x)除以除式g(x),(g(x)≠0) 得商式q(x)及余式r(x)时,就有下列等式:
f(x)=g(x)q(x)-r(x)
其中r(x)的次数小于g(x)的次数,或者r(x)=0。当r(x)=0时,就是f(x)能被g(x)整除。
【余式定理】多项式f(x)除以x-a所得的余数等于f(a)。
【因式分解方法】拆项、添项、配方、待定系数法、求根法、对称式和轮换对称式等。
【部分分式】把一个分式写成几个简单分式的代数和,称为将分式化为部分分式,它是分式运算的常用技巧。分式运算的技巧还有:换元法、整体法、逐项求和、拆项求和等。
【素数和合数】2是最小的素数,也是唯一的一个既是偶数又是素数的数.
小于100的素数有如下25个:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.
性质 1 一个大于1的正整数n ,它的大于1的最小因数一定是质数.
性质 2 如果n 是合数,那么n 的最小质因数 一定满足a 2≤n .
性质 3 质数有无穷多个.
性质 4(算术基本定理)每一个大于 1 的自然数n ,必能写成以下形式: 这里的P 1,P 2,…,P r 是质数,a 1,a 2,…,a r 是自然数.如果不考虑P 1,P 2,…,P r 的次序,那么这种形式是唯一的.
性质 5 任何大于3的素数都可以表示为6k ±1
【不定方程】
定理 1.二元一次不定方程 a x +by =c ,,
(1)若其中(a ,b ) c ,则原方程无整数解;;
(2)若
(a ,b )=1,则
原方程有整; (3)若(a ,b )|c ,则可以在方程两边同时除以(a ,b )从而使原方程的一次项系数互质,从而转化为(2)的情形.
定理
2:利用分解法求不定方程ax+by=cxy(abc≠0)整数解的基本思路:将ax+by=cxy 转化为(x -a)(cy -b)=ab 可分解.
【高斯函数】设x ∈R ,用[x]或int(x)表示不超过x 的最大整数,并用{χ}表示x 的非负纯小数,则y=[x]称为高斯(Guass )函数,也叫取整函数。
任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和,即:x=[x]+{χ}(0≤{x}<1) 性质
1:[x]≤x<[x]+1, x-1<[x] ≤x [n+x]=n+[x],n 为整数 2:厄尔米特恒等式: 对任x 大于0,恒有[x]+[x+1/n]+[x+2/n]+… …+[x+(n -1)/n]=[nx]。 【同余】定义 1 给定正整数m ,若用m 去除两个正整数a 和 b 所得的余数相同,则称
a 与
b 对于模m 同余,或称a 与b 同余,模m ,记为 a ≡b (mod m ),
此时也称b 是a 对模m 的同余。
否则称a 与b 对于模m 不同余,或称a 与b 不同余,模m ,记为a ∓b (mod m )。
【完全平方数整除性】
(1)平方数的个位数字只可能是0,1,4,5,6,9;
(2)偶数的平方数是4的倍数,奇数的平方数被8除余1,即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1;
(3)奇数平方的十位数字是偶数;
(4)十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6;
r
a r a a p p p n ⋅⋅=2121
(5)不能被3整除的数的平方被3除余1,能被3整除的数的平方能被3整除。因而,平方数被9也合乎的余数为0,1,4,7,且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1,4,7;
(6)平方数的约数的个数为奇数;
(7)任何四个连续整数的乘积加1,必定是一个平方数。
(8)设正整数a,b之积是一个正整数的k次方幂(k≥2),若(a,b)=1,则a,b
都是整数的k次方幂。一般地,设正整数a,b,c……之积是一个正整数的k次方幂(k≥2),若a,b,c……两两互素,则a,b,c……都是正整数的k次方幂。【数的整除性】
(1)1与0的特性:
1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a.
0是任何非零整数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0.
(2)若一个整数的末位是0、2、4、6 或 8,则这个数能被2 整除。
(3)若一个整数的数字和能被3 整除,则这个整数能被3 整除。
(4)若一个整数的末尾两位数能被 4 整除,则这个数能被 4 整除。
(5)若一个整数的末位是0 或 5,则这个数能被5 整除。
(6)若一个整数能被2 和 3 整除,则这个数能被6 整除。
(7)若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2 倍,如果差是7 的倍数,则原数能被7 整除。如果差太大或心算不易看出是否7 的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。例如,判断133 是否 7 的倍数的过程如下:13-3×2=7 ,所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:613-9×2=595,59-5×2=49,所以6139是7的倍数,余类推。
(8)若一个整数的未尾三位数能被8 整除,则这个数能被8 整除。
(9)若一个整数的数字和能被9 整除,则这个整数能被9 整除。
(10)若一个整数的末位是0,则这个数能被10 整除。
(11)若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11 整除,则这个数能被 11 整除。