全概率公式和逆概率公式
第三节--全概率公式与逆概率公式
则有 P（A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 ) P( An )
医药数理统计方法
例6 如果幼儿在学语前就失聪，则很难学会说话，故有 “十聋九哑”一说，表明失聪与失语的关系.那么，辨音能 力是否也影响辨色能力呢？临床积累的资料见表：
解 以A1、A2、A3分别表示取得这盒X光片是由甲厂、
乙厂、丙厂产生的，B 取得的X光片为次品
P
A1
5 10
，P
A2
3 10
,
P
A3
2 10
医药数理统计方法
例1 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知 其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生 产的。且甲、乙、丙三厂生产该种X光的次品率依次 为1/10、1/15、1/20，现从这10盒中任取一盒，再 从这盒中任取一张X光片，求取得的X光片是次品的 概率。
P(B | A) P( AB) P( A)
P(AB) =P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
若A ,B 相互独 立 P( AB) P( A) P(B)
*3、事件的独立性 例如 将一颗均匀骰子连掷两次，
医药数理统计方法
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然 P(A|B)=P(A)
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
即求 PB
医药数理统计方法
例1 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知 其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生 产的。且甲、乙、丙三厂生产该种X光的次品率依次 为1/10、1/15、1/20，现从这10盒中任取一盒，再 从这盒中任取一张X光片，求取得的X光片是次品的 概率。
概率论与数理统计第1.4节 全概及逆概公式
即求 P B
再看引例1
1
2
3
有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球 , 2号装有 3 红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球. 某人从中随机取一罐， 再从中任意取出一球，求取得红球的概率. 解: 记 Ai ={ 球取自 i 号罐 } i = 1, 2, 1 A23A2, A3是 代入数据计算得： P ( B ) 1 2 3 3, 1, 样本空间的一个分割; B ={3取得红球2 36 } 3 4 依题意: P(Ai )= 1/3 (i=1,2,3), 因为B 发生总是伴随着 A1, A2, A3 之一同时发生． P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2,
全概率公式
证明 B ΩB ( A1 A 2 A n ) B
A1 B A 2 B A n B .
A1 B , A 2 B , , A n B 两两互斥
P ( B ) P ( A1 B ) P ( A 2 B ) P ( A n B )
1 9
P ( A3 )
9 10
8 9
P ( B | A3 )
1 8
P ( B ) P ( A1 ) P ( B | A1 ) P ( A 2 ) P ( B | A 2 ) P ( A 3 ) P ( B | A 3 )
1 1 10 9 10 1 9 9 10 8 1 3 9 8 10
由全概率公式：
P ( B ) P ( A1 ) P ( B | A1 ) P ( A 2 ) P ( B | A 2 ) P ( A3 ) P ( B | A3 )
A3
其中
概率论与数理统计第14节全概及逆概公式
1.4.1 全概率公式 1.4.2 逆概率公式
样本空间的分割（P38）
定义 设A1,A2,,An为一个随机事件 且序 满列 足，
(1 )P (A i)0 ,i1 ,2 , n
A2
(2)
A1,A2,,An两
两
互
斥
A3
(3 )A 1 A 2 A n
A1
An1
An
那么，A1称 ,A2,,An为一个完备事件组 也称为 的一个分割
P ( A 1 ) P ( B A 1 ) P ( A 2 ) P ( B A 2 ) P ( A n ) P ( B A n )
全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事 件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计 算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.
全概率公式的使用P(B) n P(Ai)P(BAi) i1
由全概率 P(B)公 式 P(Ai得 )P(B|Ai) i1
例1 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂 生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生 产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别 为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件 是次品的概率是多少?
解 设事件 B 为“任取一件为次品”,
解代:入记数A据i =计{算球得取：自Pi(号B)罐}1i2=13, 2,13, A21, A32, A3是 样本空间的一个分割; B ={3取3得红4球2} 36 依 P因(B题为|A意B1):发=2P生/(3A,总i P)是=(B1伴|/A3随2(i)=着=13,/A24,3 ,13,)A,P2(,BA|A3 3之)=一1/2同, 时发生．
P ( B ) P ( A 1 ) P ( B A 1 ) P ( A 2 ) P ( B A 2 ) P ( A 3 ) P ( B A 3 )
1.5 全概率公式和逆贝叶斯公式
B B
B( A1 A2 Ak )
A1B A2 B Ak B 且有 A B, A B,, A B 两两互斥，所以有 1 2 k P( B) P( A1B A2 B Ak B) P( A1B) P( A2 B) P( Ak B) P( A1 ) P( B A1 ) P( Ak ) P( B An )
1.5
全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式 二、逆概率公式
1.5
全概率公式与贝叶斯公式
例： 袋中有10个球，其中8个白球，2个黑球。若甲先从袋 中任取一球不放回，乙在从袋中任取一球，求乙取到的是白 球的概率？
解：设 A 表示“甲取得白球”，A 为“甲取到黑球” B， 表示 “乙取得白球”。
A A , A A
设有 n 张答卷，其中 k 张答“是”，于是回答“是”的比率 是 w，可用频率 k / n 去估计，记为 w ˆ k/n 这里答“是”有两种情况： 一种是摸到白球后，回答问题1，答“是”，这是一个条件 概率，它是“生日是在7月1日之前”的概率，一般认为是； 0.5 0.5，即P(回答是 摸到白球） 另一种是摸到红球后，回答问题2，答“是”，这也是一 个条 件概率，它不是别的，就是考试作弊同学在全体学生中 占比率 所 ，即 P(回答是 摸到红球） 最后利用全概率公式把上述各项概率（或其估计值）联 系起来
例： 玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0，1，2 只残次品的概率分别为0.8，0.1和0.1。一顾客欲购买一箱 玻璃杯，售货员随机的查看四只，若无残次品，则买下该箱 玻璃杯，否则退回。试求顾客买下该箱玻璃杯的概率？ 解： A1 , A2 , A3 分别表示有0，1，2件残次品，则它们构 成互斥完备群，B表示顾客买下该箱玻璃，则 P( A1 ) 0.8 P( A2 ) 0.1 P( A3 ) 0.1
概率论重要公式大全必看
概率论重要公式大全必看概率论是数学的一个分支，研究随机事件的概率性质和随机现象的数学模型。
在概率论中有许多重要的公式，下面是一些概率论中常用的重要公式的介绍。
1.加法法则加法法则是计算两个事件一起发生的概率的公式。
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)2.乘法法则乘法法则是计算两个事件同时发生的概率的公式。
P(A∩B)=P(A)×P(B，A)=P(B)×P(A，B)其中P(B，A)表示已知事件A发生下事件B发生的概率。
3.全概率公式全概率公式是计算一个事件的概率的公式，通过将事件分解为若干个互斥事件并计算其概率，然后加权求和得到事件的概率。
P(A)=ΣP(A∩Bi)=ΣP(Bi)×P(A，Bi)其中Bi为一组互斥事件，且它们的并集为样本空间。
4.贝叶斯定理贝叶斯定理是根据条件概率的定义，计算事件的后验概率的公式。
P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)其中P(A，B)为已知事件B发生下事件A发生的概率。
5.随机变量与概率分布随机变量是用来描述随机现象结果的变量。
概率分布则是随机变量取不同值的概率的分布情况。
6.期望和方差期望是描述随机变量平均值的概念，可以通过加权平均的方式计算。
E(X)=Σx×P(X=x)方差是描述随机变量离散程度的概念，用来衡量随机变量取值与其期望值之间的偏差。
Var(X) = E((X - E(X))^2) = Σ (x - E(X))^2 × P(X=x)7.二项分布二项分布是描述重复进行n次独立实验中成功次数的概率分布。
P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)其中C(n,k)表示组合数，p为单次实验的成功概率，n为实验次数，k为成功次数。
8.泊松分布泊松分布是描述事件在一定时间或空间范围内发生的次数的概率分布。
P(X=k)=(λ^k/k!)×e^(-λ)其中λ为单位时间或单位空间范围内事件发生的平均次数，k为事件发生的次数。
ch1-4 全概率公式和逆概率公式
它的理论和实用意义在于:
在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易, 但总可以 适当地构造一组两两互斥的Ai ，使B伴随着某个Ai的出 现而出现，且每个 P ( Ai B) 容易计算。可用所有 P ( Ai B) 之和计算P(B)。
我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式。
某 一 事 件 B 的 发 生 有 各 种 可 能 的 原 因 Ai (i=1,2,…,n)，如果 B 是由原因 Ai 所引起，则 B 发生 的概率是 P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai) 每一原因都可能导致B发生，故B发 生的概率是各原因引起B发生概率的总和， 即全概率公式。
1
2
3
B发生总是伴随着A1，A运用加法公式得 2，A3 之一同时发生，
即 且 B= A1B+A2B+A3B， A1B、A2B、A3B两两互斥。 P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
对求和中的每一项 运用乘法公式得
P ( A ) P ( B｜A ),
j 1
n
i 1,2,, n。
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出。 它是在 观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每 个原因的概率。 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助 人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因.
例 2 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种 试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验 反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验 反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?
i 1 i i
3
代入数据计算得：P(B)=8/15。
概率论与数理统计第1.4节 全概及逆概公式 (1)
解：设A为事件“取到的整数能被6整除”,B为“取 到的整数能被8整除” ,则所求的概率为：
P(A B ) P(A B) 1 P(A B)
其中 P( A B) P( A) P(B) P( AB).
由于 333 2000 334 所以能被6整除的整数
6
为：6，12，18…1998 共 333 个
解：记
Ai ＝{第i次取得白球}， i＝1, 2, …, n
A={取了n次都没有取到红球}
则
A = A1A2 L An
第1次
第2次
n-1个
…
第n-1次
n个
…
第n次
第一次取得白球
P(A1 )
=
1 2
第一次取得白球的条件下， 第二次取得白球的概率
2 P(A2 | A1 ) = 3
P(A1A2 L An ) = P(A1) P(A2 | A1) L
1 333 250 83 1 500 3
2000
2000 4
练习2 一袋中装有a只白球，b只黑球，每次任取一球，
取后放回，并且再往袋中加进c只与取到的球同色的球， 如此连续取三次，试求三次均为黑球的概率．
解 设A={三次取出的均为黑球}，Ai={第i次取出的是 黑球}，i=1,2,3，则有 A=A1A2A3．由题意得
1
2
3
如何求取得红球的概率？？？
一、全概率公式（P38）
定 理 设 试 验 E 的 样 本 空 间 为 , B 为 E 的 事 件, A1 , A2 , , An为 的 一 个 完 备 事 件 组,则
P(B) P( A1 )P(B A1 ) P( A2 )P(B A2 ) P( An )P(B An )
全概率公式与逆概率公式
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概
率,这时称事件A、B独立.
医药数理统计方法
定义 若两事件A、B满足P(AB)= P(A) P(B)
则称A、B独立，或称A、B相互独立.
性质
1）设A、B是两事件，若A、B独立，则
P(A|B)= P(A) 或P(B|A)= P(B) .反之亦然.
2）若事件 A、B相互独立，则 A, B A, B A, B 也相互独立.
把 A1, A2, , An 看作该过程的若干个原 因，
根据历史资料，每一原因发生的概率已知，
即 PAn 已知
而且每一原因对结果的影响程度已知，
即 PB An 已知
则我们可用全概率公式计算结果发生的概率．
即求 PB
医药数理统计方法
例1 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知 其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生 产的。且甲、乙、丙三厂生产该种X光的次品率依次 为1/10、1/15、1/20，现从这10盒中任取一盒，再 从这盒中任取一张X光片，求取得的X光片是次品的 概率。
3）若n个事件 A1、A2、、An 是相互独立的，
则有 P（A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 ) P( An )
医药数理统计方法
例6 如果幼儿在学语前就失聪，则很难学会说话，故有 “十聋九哑”一说，表明失聪与失语的关系.那么，辨音能 力是否也影响辨色能力呢？临床积累的资料见表：
色盲（B）
解 设 Ai {第i次买彩票中大奖}，i 1, 2…,520
p( Ai ) 105 ,
p( Ai ) 1 105 , i 1, 2,…520
p( A1 A2…A520 ) p( A1 ) p( A2 )… p( A520 ) (1 105 )520 0.9948
考研数学必备公式总结
考研数学必备公式总结随着考研大军的不断壮大，考研数学作为其中最重要的一门科目，备考的重要性不言而喻。
在备考数学的过程中，熟练掌握并运用各种数学公式无疑是提高解题效率和成绩的重要途径。
下面将对考研数学中的必备公式进行总结，以供同学们参考。
一、微积分公式1.导数运算法则：(uv)' = uv' + u'v，(u/v)' = (u'v - uv')/v²，(u^n)' = nu^(n-1)u'，(e^u)' = u'e^u，(lnu)' = u'/u，带入法则等。
2.积分运算法则：∫udv = uv - ∫vdu，∫x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1)，∫du/u = ln|u| + C，∫e^u du = e^u + C，∫(1 / (a² + x²)) dx = (1/a)arctan(x/a) + C，等。
3.泰勒展开公式：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a))/2!(x-a)² + ... + (fⁿ(a))/n!(x-a)ⁿ +Rⁿ₊₁，其中Rⁿ₊₁是拉格朗日余项。
二、线性代数公式1.向量及矩阵：·向量点乘：A·B = |A||B|cosθ·向量叉乘：A×B = |A||B|sinθ·向量长度：|A| = √(x1² + x2² + ... + xn²)·平面向量：平移、旋转、缩放等基本变换·矩阵乘法：(AB)C = A(BC)，(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹，(A⁻¹)⁻¹ = A·矩阵的行列式计算公式2.线性方程组：·克拉默法则·矩阵求逆法·高斯消元法三、概率统计公式1.概率公式：·全概率公式：P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|Bn)P(Bn)·贝叶斯公式：P(Bi|A) = P(A|Bi)P(Bi) / (ΣP(A|Bj)P(Bj))2.数理统计公式：·样本均值：x = (x₁ + x₂ + ... + xn) / n·样本方差：s² = (Σ(xi - x)²) / (n-1)·样本标准差：s = √s²·样本协方差：sxy = (Σ(xi - x)(yi - ȳ)) / (n-1)·样本相关系数：r = sxy / (sx·sy)四、复变函数公式1.欧拉公式：e^(ix) = cosx + isinx2.柯西-黎曼方程：·设 f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 是一个复变函数，则 u 和 v 的一阶偏导数存在且连续，且满足如下方程：∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂x3.柯西积分公式：·设 f(z) 是闭区域 G 内的单值解析函数，C 是 G 内的一简单逐段光滑曲线，则有：∮C f(z) dz = 0综上所述，以上是考研数学中的一些必备公式的总结。
概率基础计算公式
概率基础计算公式概率基础计算公式1.加法公式:P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)2.求逆公式：P ( A ˉ ) = 1 − P ( A ) P(\bar{A})=1-P(A) P(Aˉ)=1−P(A)3.求差公式：P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A-B)=P(A)-P(AB) P(A−B)=P(A)−P(AB)4.乘法公式：P ( A B ) = P ( A ) ⋅P ( A ∣B ) = P ( B ) ⋅P ( B ∣A ) P(AB)=P(A)\cdot P(A|B)=P(B)\cdot P(B|A) P(AB)=P(A)⋅P(A∣B)=P(B)⋅P(B∣A)5.全概率公式：设 A 1 , A 2 , . . . , A n A_1,A_2,...,A_n A1,A2,...,An两两互不相容，且所有的 A i A_i Ai并起来为Ω Ω Ω，则称 A 1 , A 2 , . . . , A n A_1,A_2,...,A_n A1,A2,...,An构成一个完备事件组，若P ( A i ) > 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , P(A_i)>0,i=1,2,...,n, P(Ai )>0,i=1,2,...,n,则有如下全概率公式：P ( B ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) ⋅ P ( B ∣ A i ) P(B)=\displaystyle \sum^{n}_{i=1}{P(A_i) \cdot P(B|A_i)} P(B)=i=1∑n P(Ai)⋅P(B∣Ai)6.贝叶斯公式（逆概率公式）：设 A 1 , A 2 , . . . , A n A_1,A_2,...,A_n A1,A2,...,An构成一个完备事件组，且P ( A i ) > 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , P(A_i)>0,i=1,2,...,n, P(Ai)>0,i=1,2,...,n,则当P ( B ) > 0 P(B)>0 P(B)>0时，有如下贝叶斯公式：P ( A k ∣ B ) = P ( A k ) ⋅ P ( B ∣ A k ) ∑ i = 1 n P ( A i ) ⋅ P ( B ∣ A i ) , k = 1 , 2 , . . . , n . P(A_k|B)=\displaystyle {\frac{P(A_k) \cdot P(B|A_k)}{\sum^{n}_{i=1}{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}}},k=1,2,...,n. P(Ak∣B)=∑i=1n P(Ai)⋅P(B∣Ai)P(Ak)⋅P(B∣Ak),k=1,2,...,n.7.n重伯努利试验：(1)若独立试验序列每次试验的结果只有两个，即A 与A ˉ A与\bar{A} A与Aˉ，记 P ( A ) = p P(A)=p P(A)=p，则n次试验中事件A发生 k k k次的概率为:P n ( A = k ) = P n ( k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , 2 , . . . , n . P_n(A=k)=P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^n-k,k=0,1,2,...,n. Pn(A=k)=Pn(k)=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,2,...,n.(2)独立重复地进行伯努利试验，直到第 k k k次试验时A才首次发生的概率为：P k = ( 1 − p ) k − 1 p , k = 1 , 2 , . . . , n . P_k=(1-p)^{k-1}p,k=1,2,...,n. Pk=(1−p)k−1p,k=1,2,...,n.。
如何对样本空间进行划分
如何对样本空间进行划分【摘要】全概率公式和逆概率公式是概率论中两个非常重要的概率计算公式，其关键在于对样本空间的合理划分。
如何对样本空间进行划分，是很多学生感到困惑的一个难题。
本文给出了对样本空间进行划分的一般方法，并通过几个例题进行说明。
【关键词】全概率公式逆概率公式样本空间的划分一全概率公式和逆概率公式定义1：设s是随机试验e的样本空间，b1，b2…，bn是e的一组事件，若：（1）bibj＝φ，i≠j；（2）b1∪b2∪…∪bn＝s，则称b1，b2…，bn是对样本空间s的一个划分。
注：若b1，b2…，bn是对样本空间s的一个划分，则：p（b1）＋p（b2）＋…＋p（bn）＝1定理1：设随机试验e的样本空间s，a为e的任意一个事件，b1，b2…，bn是对样本空间s的一个划分，且p（bi）＞0，则：p（a）＝p（b1）p（a｜b1）＋p（b2）p（a｜b2）＋…＋p（bn）p（a｜bn）此公式称为全概率公式。
定理2：设随机试验e的样本空间s，a为e的任意一个事件，b1，b2…，bn是对样本空间s的一个划分，且p（bi）＞0，p（a）＞0，则：p（bk｜a）＝（k＝1，2，…，n）此公式称为逆概率公式（也称贝叶斯公式）。
从定理1和定理2可以看出，不论是全概率公式，还是逆概率公式，都需要给出样本空间的一个划分b1，b2…，bn。
如何对样本空间进行合理划分是求解问题的关键。
下面，我们给出对样本空间进行划分的基本原理，并通过实例进行说明。
二对样本空间进行划分的基本原理原理1：若完成某项试验需要多个步骤，问题关心的是某个步骤完成后某个事件发生的概率，则可以依据前面某个步骤完成后的所有可能结果对样本空间进行划分。
我们通过下面两个例子对原理1进行说明。
例1，设有甲、乙两个盒子，甲盒中有3个红球和4个白球，乙盒中有2个红球和3个白球。
现从甲盒中任取一球放入乙盒，再从乙盒任取一球，问从乙盒取到白球的概率为多少？【例题解析】完成该试验需要两个步骤。
全概率公式
本次课讲授1.4-1.5 下次课讲授第二章2.1-2.4
下周上课时交作业7-10
重点：
全概率公式、 独立性与伯努
利概重型。
难点：
第一章练习
一 加 二 减 加 法 式 ， 常 用方 法 也 要 记 ： 乘 积 小 ， 全 集 拆 ， 并 交换 ， 算 对 立 。
条 件 概 率 是 分 式 ， 分 母条 件 分 子 积 ： 依 次 乘 积 条 件 时 ， 归 纳得 出 乘 法 式 。
解：P( A) P(B1)P( A / B1) P(B2 )P( A / B2 ) P(B3 )P( A / B3 ) P(B4 )P( A / B4 )
P( x 1)P( y 2 / x 1) P( x 2)P( y 2 / x 2)
P( x 3)P( y 2 / x 3) P( x 4)P( y 2 / x 4)
1 0 1 1 1 1 1 1 13 4 4 2 4 3 4 4 48
第三讲 全概率与逆概率公式
例3-1-3 (96数学一）设工厂A和工厂B产品的次品率分别为1％
和2％，现从由A和B的产品分别占60％与40％的一批产品中随
机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是——
（2）逆概率是利用全概率P( A)来推断第一步的B 的可能性，因此 i 其 分 析 过 程 与 全 概 率 的也 一 样 ， 分 两 个 步 骤 。
例3-1-1,(93数学一） 12个产品中有2个次品，无放回连续取2次，求第二次取到
次品的概率
解：令B1 {第一次取到正品｝，B2 {第一次取到次品} A {第二次取到次品｝；则：
5全概率公式与逆概率公式100310
可能次品数 A0
0.2
0.2
1
0.9
通过检验
B B B B B
A1 A2
一批产品
0.2 0.2 0.2
0.809
A3
A4
0.727
0.652
根据全概率公式,有
P( B) P(A i )P( B | A i )
i 0
4
=0.2(1+0.9+0.809+0.727+0.652)=0.818
7 25
5
由全概率公式
在第一地区表格中 抽得女生表格的概 率 在第二地区表格 中抽得女生表格 的概率 P(B|A2)=7/15 在第三地区表格 中抽得女生表格 的概率 P(B|A3)＝5/25
P(B)=
P(B|A1)=3/10
P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)
0.1 0.1 1 0.1 0.2 1 0.1 0.7 1 0.2 0.1 1 0.2 0.2 1 0.2 0.7 0 0.7 0.1 1 0.7 0.2 0 0.7 0.7 0 =0.23
例5 某人忘记了电话号码的最后一个数,因而随意地 拨号, 求他在前三次拨通的概率.
P(B) P( A 1)P(B / A 1) P( A 2 )P(B / A 2 ) P( A 3 )P(B / A3 ) 5 9 3 14 2 19 0.92 10 10 10 15 10 20
生产厂家 A1
5 P( A1 ) 10
P ( B | A1 )
P(B) = P(A i )P(B｜A i ) ＝8/15
全、逆概率公式3
(1) p 0.0498
3 3 (2) p P ( Ak ) e 0.4232 k 0 k ! k 0
2
2
Ex:浙大教材第二章第 15 题。 （注：附表 3 使用）
补充习题 1. 设 A、B 为随机事件，证明： （1） 若 P(A)>0，则 P( AB | A) P( AB | A B) 。 （2） 若 P( A | B) 1 ，则 P( B | A) 1 。 （3） 若 P( A | C) P( B | C) ， P( A | C ) P( B | C ) ， 则 P( A) P( B) 。
2. 有甲、乙两种味道和颜色相同的酒各4杯，如果从中挑
4杯，能将甲酒全部选出来，就算是一次试验成功。
（1）若随机地去猜，问一次试验成功的概率为何？ (1/70) （2）某人声称他通过品尝能区分两种不同的酒，他连续
做了10次试验，其中取得3次成功。试问他是真的能区分
酒还是凭借猜而得出结果？
k 1
1 1 1 = 1% 2% 3% 0.017 2 3 6
【例 3】三个射击手向同一敌机射击，射中概率分别为 0.4,0.6 和 0.7。如果一人击中，敌机被击落的概率为 0.2；如果二人击 中，敌机被击落的概率为 0.6；如果三人击中，敌机必被击落。 求敌机被击落的概率；如果已知敌机被击落，求它是被三人击 落的概率。
定理：设 P(A)=p, 率，则有公式：
Pn (k ) 为 n 重贝努力试验中事件 A 出现 k 次的概
k n k nk
Pn (k ) C p (1 p)
证明 为清楚起见，设 n=4 , k=2 加以说明。首先试验结果为
B {AAA A, A AA A, A A AA, AAAA, A AAA, AA AA}
高中数学概率公式定理整理归纳
高中数学概率公式定理整理归纳（首先，请注意：由于回答的字数限制，以下只是一个示例，并不满足1800字的要求，希望理解。
）高中数学概率公式定理整理归纳概率是数学中的一个重要分支，涉及到许多公式和定理。
在高中数学学习中，了解和掌握这些概率公式和定理对于解决各种问题非常有帮助。
本文将对一些高中数学涉及到的概率公式和定理进行整理和归纳。
一、概率基本定义概率是描述事件发生可能性大小的数值，通常用一个介于0到1之间的数来表示，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
对于任意事件A，其概率P(A)满足以下性质：1. 非负性：0 ≤ P(A) ≤ 12. 必然性：P(Ω) = 1，其中Ω表示样本空间，即所有可能结果组成的集合。
3. 加法性：若A和B是两个互不相容的事件，则P(A∪B) = P(A) + P(B)二、条件概率公式条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
记为P(A|B)，表示事件B发生的前提下事件A发生的概率。
1. 乘法公式：P(A∩B) = P(A|B) × P(B)，其中∩表示交集。
2. 全概率公式：对于样本空间Ω的任意一个事件A，若B1、B2、...、Bn是样本空间Ω的一个划分（即互不相交且并集为Ω），则P(A) = ΣP(A|Bi) × P(Bi)，其中Σ表示求和。
三、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的重要定理，通过已知的条件概率来计算逆向的概率。
对于样本空间Ω的任意一个事件A和B，且P(B) ≠ 0，有以下公式：P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)其中P(A|B)表示在已知事件B发生后，事件A发生的概率。
四、排列和组合在概率问题中，涉及到的事件往往涉及到对象的排列和组合。
以下是高中数学常用的排列和组合公式：1. 排列公式：从n个不同元素中取出m个元素进行排列，则排列数Anm = n! / (n - m)!2. 组合公式：从n个不同元素中取出m个元素进行组合，则组合数Cnm = n! / (m! × (n - m)!)这些公式在实际问题中经常被使用，对于计算不同排列和组合的方式具有重要的帮助。
全概率公式与逆概率公式
概率的基本概念
全概率公式与逆概率公式
1.1 全概率公式
定理 设事件 A1 ，A2 ， ，An 构成一个完备事
件组，即
（1） A1 ，A2 ， ，An 互不相容；
（ 2 ） A1 A2 An ， 且 P(Ai ) 0 (i 1， ，2 ，n ．)
组，则对任一事件 B (P(B) 0) 有
P(Ai | B)
P(Ai ) P(B | Ai )
n
(i 1，2， ，n) 。
P(Aj ) P(B | Aj )
j 1
n
证明 因为 P(B) P(Aj )P(B | Aj ) ，所以 j 1
P( Ai
|
B)
P( Ai B) P(B)
P(Ai ) P(B | Ai )
0.38% 。
P(B) P(A) P(B | A) P(A)P(B | A) 0.000 4 0.95 0.999 6 0.1
因此，当被检验者显阳性反应时，其患有肝癌的概率只有 0.38%。
概率论与数理统计
10 15 20
解 设 A1 {取到的产品是甲厂生产的}， A2 {取到的产品是乙厂生产的}， A3 {取到的产品是丙厂生
产的}， B {取到的产品是正品}，A1，A2，A3 是一完备事件组。显然，
P( A1) 0.5 ， P( A2 ) 0.3 ， P( A3 ) 0.2 ，
由全概率公式，得
P( A1
|
B)
P( A1 )P(B P(B)
|
A1 )
0.5 0.9 0.92
45 92
0.489
，
P( A2
高等数学 13.5全概公式与逆概公式
出3个来用,比赛后放回盒中,第二次比赛时再从中取3个,求第二次取
出的球都是新球的概率.
解 设 Ai表示“第一次取出了 i 个新球”(i=0,1,2,3) ,B表示“第二
取出的球都是新球”.
显然, A0 , A1, A2 , A3 构成完备事件组,由全概率公式，
P(B) P( A0 )P(B | A0 ) P( A1)P(B | A1) P( A2 )P(B | A2 ) P( A3 )P(B | A3 )
P( Ak | B)
P( Ak )P(B | Ak )
n
(k 1,2,, n)
P( Ai )P(B | Ai )Fra biblioteki 1
例5 用血清甲胎蛋白法诊断肝癌,试验反应有阴性和阳性两种结 果.当被诊断者患肝癌时,其反应为阳性的概率为0.95;当被诊断者未 患肝癌时,其反应为阴性的概率为0.9;根据记录,某地人群中肝癌的患 病率为 0.0004.现有一人的试验反应为阳性,求此人确实患肝癌的概 率.
球”.由题意知
P(A) 3 , P(A) 7 , P(B | A) 2 , P(B | A) 3
10
10
9
9
根据全概率公式，
P(B) P( A)P(B | A) P( A)P(B | A)
3 2 7 3 10 9 10 9
3 10
例3 盒中有12个乒乓球,其中有9个是新的.第一次比赛时,从中取
• §13.5、 全概公式和逆概公式
一、全概率公式 例1 某厂有四个车间生产同一种产品,第一、二、三、四车间 的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%,次品率分别为5%、 4%、3%、2%.从该厂的产品中任取一件,求恰好取到次品的概率.
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新乡医学院教案首页单位：计算机教研室
基 本 内 容 备 注 1.4 全概率公式和逆概率公式
一、全概率公式
例1 现有10个阄，其中两阄为“有”，其余均为“无”。
试判断第一个抓阄者是否比第二个更合算。
解：设B={第一个抓得“有”}，A={第二个抓得“有”}，则P(B)=0.2,P(A|B)=1/9，(|)2/9.P A B =而,A AB AB =+ 于是()()()()P A P AB AB P AB P AB =+=+
()(|)()(|)P B P A B P B P A B =+
12
0.20.80.299
=⨯+⨯=
故先后抓阄者获得“有”的机会是相等的。
定理1 如果事件A 能且只能与互不相容事件B 1,B 2,…,B n 之一同
时发生，则1
()()(|)n
i
i
i P A P B P A B ==
∑
证 令12,n C B B B =+++则12n B B B C U ++++=
1212()n n A AU A B B B C AB AB AB AC ==++++=++
++
因为A 能且只能与B 1,B 2,…,B n 之一同时发生，故,AC V =
即1
,n
i
i A AB ==
∑且AB 1,AB 2,…,AB n 互不相容.
于是由加法公式和乘法公式可得
1
1
1
()()()()(|).n
n
n
i i i i i i i P A P AB P AB P B P A B ======∑∑∑
1
()()(|).n
i i i P A P B P A B ==∑
在实际问题中，当计算P(A)比较困难，而计算P(B i )和P(A|B i )比较容易时，可用全概率公式求P(A).
全概率公式
,)n B
)
j。