全概率公式和逆概率公式

新乡医学院教案首页单位：计算机教研室

基 本 内 容 备 注 1.4 全概率公式和逆概率公式

一、全概率公式

例1 现有10个阄，其中两阄为“有”，其余均为“无”。 试判断第一个抓阄者是否比第二个更合算。

解：设B={第一个抓得“有”}，A={第二个抓得“有”}，则P(B)=0.2,P(A|B)=1/9，(|)2/9.P A B =而,A AB AB =+ 于是()()()()P A P AB AB P AB P AB =+=+

()(|)()(|)P B P A B P B P A B =+

12

0.20.80.299

=⨯+⨯=

故先后抓阄者获得“有”的机会是相等的。

定理1 如果事件A 能且只能与互不相容事件B 1,B 2,…,B n 之一同

时发生，则1

()()(|)n

i

i

i P A P B P A B ==

∑

证 令12,n C B B B =+++则12n B B B C U ++++=

1212()n n A AU A B B B C AB AB AB AC ==++++=++

++

因为A 能且只能与B 1,B 2,…,B n 之一同时发生，故,AC V =

即1

,n

i

i A AB ==

∑且AB 1,AB 2,…,AB n 互不相容.

于是由加法公式和乘法公式可得

1

1

1

()()()()(|).n

n

n

i i i i i i i P A P AB P AB P B P A B ======∑∑∑

1

()()(|).n

i i i P A P B P A B ==∑

在实际问题中，当计算P(A)比较困难，而计算P(B i )和P(A|B i )比较容易时，可用全概率公式求P(A).

全概率公式

,)n B

)

j