§9.2 常见的简谐振动 阻尼振动
《阻尼和振动公式》课件
线性阻尼的数学模型通常表示为： y''(t) + 2*zeta*omega*y'(t) +
omega^2*y(t) = 0，其中 y(t) 是振动 位移，zeta 是阻尼比，omega 是无阻
尼自然频率。
该模型描述了阻尼振动的基本特征，即 线性阻尼适用于描述大多数物理系统的
振幅随时间衰减的现象。
阻尼行为。
故障诊断与预测
通过监测机械设备的振动数据，结合振动公式，可以对设备故障进 行诊断和预测，及时发现潜在问题，提高设备维护效率。
在航空航天中的应用
1 2 3
飞行器稳定性分析
航空航天领域的飞行器在飞行过程中会受到各种 气动力的作用，振动公式的应用可以帮助分析飞 行器的稳定性。
结构强度与疲劳寿命评估
航空航天器的结构和零部件在长期使用过程中会 受到疲劳损伤，振动公式的应用可以评估结构的 强度和疲劳寿命。
受迫振动
当物体受到周期性外力作用时， 会产生受迫振动。受迫振动公式 的推导基于牛顿第二定律和周期
性外力模型。
多自由度系统的振动公式推导
多自由度系统
当一个物体有多个自由度时，其运动可以用多个振动公式 的组合来表示。多自由度系统的振动公式推导基于牛顿第 二定律和多自由度系统模型。
耦合振动
当多个自由度之间存在耦合作用时，其振动规律更为复杂 。耦合振动公式的推导需要考虑各自由度之间的相互作用 。
实验步骤与操作
步骤一
准备实验器材，包括振动平台、 阻尼器、测量仪器等。
步骤三
启动振动平台，记录物体在不同 阻尼条件下的振动情况。
步骤二
将待测物体放置在振动平台上， 调整阻尼器以模拟不同阻尼情况 。
简谐振动理论概述
简谐振动理论概述简谐振动是物理学中一种基本的振动形式，广泛应用于机械、电子、光学等领域。
本文将概述简谐振动的理论基础及相关特性。
一、简谐振动的定义与基本特性简谐振动是指在恢复力作用下，物体围绕平衡位置做往复振动的一种运动形式。
它具有以下几个基本特性：1. 平衡位置：简谐振动的平衡位置是物体受到恢复力时的位置，也是物体运动的稳定状态。
2. 往复运动：物体在简谐振动中以一定的频率围绕平衡位置做往复运动，即向远离平衡位置的方向运动，然后再回到平衡位置。
3. 振幅：振幅是简谐振动的最大偏离平衡位置的距离，它决定了振动的强度。
4. 周期与频率：简谐振动的周期是物体完成一次完整振动所需的时间，频率是单位时间内振动的次数。
它们之间存在着倒数关系，即周期等于频率的倒数。
二、简谐振动的数学表示简谐振动可以通过数学函数来描述。
其中，最常用的是正弦函数和余弦函数。
简谐振动的数学表示形式如下：x(t) = A * sin(ωt + φ)其中，x(t)表示时间t时物体离平衡位置的距离；A表示振幅；ω表示角频率，与振动的周期和频率有关；φ表示相位，描述振动的初始时刻。
三、简谐振动的力学模型简谐振动的力学模型通常可以使用弹簧振子来描述。
弹簧振子由弹簧和质点组成，在无阻尼情况下可以实现简谐振动。
根据胡克定律，弹簧振子的恢复力与质点的位移成正比，可以通过以下公式表示：F = -kx其中，F表示恢复力的大小；k表示弹簧的劲度系数；x表示质点相对平衡位置的位移。
四、简谐振动的能量在简谐振动中，系统的总能量保持不变，由动能和势能组成。
质点的动能和势能在振动过程中相互转换。
动能和势能可以通过以下公式表示：动能 K = 1/2 * m * v^2势能 U = 1/2 * k * x^2其中，m表示质点的质量；v表示质点的速度；k表示弹簧的劲度系数；x表示质点相对平衡位置的位移。
五、简谐振动的应用简谐振动在各个领域都有重要的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 机械振动：简谐振动广泛应用于机械系统中，如弹簧振子、钟摆等。
简谐振动的动力学特征.
v
x
A sin 0t
A0
cos0t
2
a
v
x
A
2 0
cos0t
A
2 0
cos0t
设：x 0t ,
v
0t
2
,
a 0t
则，
v
x
2
,
a
v
2
,
a x
⑴式表明：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其 频率和分振动频率相同。
或者：由简谐 振动的旋转矢量法表示： A1、A2以
频率 0 旋转， A1 、 A2 之间的夹角不变， A1 A2 也 以 0 旋转，平行四边形的形状不变。
27
讨论：
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
位不仅决定于系统本身性质，而且取决于初始条件。
三、 简谐振动的图象：x-t 图线
描述：质点在各个时刻的偏离平衡位置的位移。 中学里经常作正弦、余弦函数的图象，故不再多讲，请看书。
15
四、 简谐振动的矢量表示法
用旋转矢量的投影表示简谐振动。
如图示： x Acos0t
v
A0
cos
m
x 2 x 0 （1）
2
x 2 x 0 （1）
弹簧振子作简谐振动的动力学方程。
总结：
如质点运动的动力学方程可归结为：x
2 0
阻尼振动
2
H m
h
d x dt
2
2
0 x h cos t
2
在阻尼较小时,其通解为对应齐次方程的通解加上 一个特解,为
x A0e
2013-5-9
t
cos
0 t 0 A cos t
2 2
P.9/27
振动学基础
x A0e
x x 1 x 2 2 A cos(
2 1
t ) cos(
2
1
t)
2
2
P.2/27
7. 相互垂直振动合成的基本方法
2013-5-9
振动学基础
§4-3
阻尼振动
阻尼振动(damped vibration)：振动系统在回复力和阻 尼力共同作用下发生的减幅振动. F kx 物体速度较小时，
y , 上升、下降流温差 z , 温度分布的非线性度
用计算机模拟求解,偶然发现初值的微小差异带来结果 的巨大偏差.
相图：
洛仑兹奇异吸引子
2013-5-9
P.23/27
振动学基础
相轨迹在两“翅”上跳跃,自身不相交,不构成任何 周期运动,系统状态变化具有不可预测的随机性.
2013-5-9
P.24/27
同学们好
振动学基础
简谐振动的描述
1. 理想模型：弹簧振子,单摆,复摆 2. 基本物理量：振幅A,角频率,初相 3. 运动学、动力学方程,振动曲线 4. 孤立谐振动系统机械能守恒
E Ep Ek 1 2 kA
2
恒量
5. 同方向同频率简谐振动合成,合振动仍为该直线上 同一频率的谐振动 x x 1 x 2 A cos( t ) 6. 同方向频率相近简谐振动合成,合振动为“拍 ”
阻尼振动受迫振动.ppt
【课后思考题与作业题】 1.阅读20页《科学漫步》 2.思考： （1）军队或火车过桥时为什么要放慢速度或便 步走？ （2）机器运转时防止共振怎么做？ 3.通过各种方式去研究：
共振筛、共鸣箱、收音机的选台、核磁共 振成像技术。人体内部器官的固有频率。
❖谢谢合作！
1、阻尼振动：振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动，也叫 减幅振动．
2、振幅减小的快慢跟所受的阻尼有关，阻尼越大，振幅 减小得越快．
3、阻尼振动若在一段不太长的时间内振幅没有明显的减 小，可认为是等幅振动．
思考：怎样才能使受阻力振动的物体 的振幅不变，而一直振动下去呢？
在实际振动中，为了不因阻尼的存在 而使振动停止，我们通常给系统加一个 周期性的外力，来补偿系统的能量损失， 使系统持续的振动下去。
神 功 解 秘
三.共振：
1.共振： 驱动力的频率等于物体的固有频率时， 受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。
2.共振条件: f驱=f固
3.共鸣：声音的共振现象。 声音的共鸣可以通过共鸣箱来实现
共振的应用
共鸣箱（在乐器上用的比较多）
共振的危害
“打摆子”的楼房
共振的防止
1、军队或火车过桥时要放慢速度或便步走 2、机器运转时为了防止共振要调节转速 3、在振动物体底座加防振垫 4、装修剧场、房屋时使用吸声材料等
物体的驱动力频率有联系？
魔术表演：让小球飞
实验表明2：
• 受迫振动的频率与物体的固有频率无关，但是如果 驱动力的频率接近或等于物体的固有频率时，振动 物体的振幅将达到最大.
受迫振动的振幅A与驱 动力的频率f之间的关系. 可用图象来表示：这个 图象叫共振曲线（如右 图）.
共振曲线特点：做受迫振动的系统， 当固有频率等于驱动力频率时，振幅最大； 当固有频率不等于驱动力频率时，二者越接近， 振幅越大。 驱动力频率与固有频率相差越大，受迫振动的振 幅越小。
第五节简谐运动的能量、阻尼振动 第六节受迫振动共振知识精讲 人教版
第五节简谐运动的能量、阻尼振动第六节受迫振动共振知识精讲【同步教育信息】一. 本周教学内容第五节简谐运动的能量、阻尼振动第六节受迫振动共振二. 知识要点知道振幅越大，振动能量越大。
能根据机械能守恒计算单摆的重力势能与动能。
定性说明弹簧振子的弹性势能与动能的转化。
知道什么是阻尼振动，知道阻尼振动中能量的转化情况。
知道在什么情况下可以把实际发生的振动看作简谐运动。
知道什么是受迫振动，知道受迫振动频率等于驱动力的频率。
知道什么是共振及发生共振的条件，知道共振的预防与应用。
三. 重点、难点解析1. 简谐运动的能量不考虑摩擦和介质阻力，振动系统（自由振动系统）的机械能守恒。
自由振动系统，在振动过程中动能与势能互相转变，在位移最大时势能最大，在位移最小时动能最大。
此时动能数值等于最大势能值。
改变振动的振幅，即是改变振动的最大势能，也就是改变了振动的能量，所以振动能量与振幅有关，振幅越大则振动能量越大。
自由振动的简谐运动，振幅保持不变。
2. 阻尼振动振幅逐渐减小的振动叫阻尼振动。
形成阻尼振动的原因是振动物体受到阻尼（摩擦和其它阻力），克服阻尼做功，机械能减小。
由于振动周期与回复力有关，即与位移有关系的那个力有关，与质量有关，而受阻尼时，驱动力在第1个周期做正功，则第2个周期还做正功。
振动的能量在每个周期都能增加，所以当驱动力的周期与振动物体的固有周期相等时，振幅最大，这种现象叫共振。
驱动力的频率连续变化，物体受迫振动的振幅也随着变化振幅的变可用曲线表示。
（2）摆球从最大位移向平衡位置运动时间为4T ，gl T t 24π==，重力冲量lg 22m g l mg mgt I G ππ=== 由动量定理知)cos 1(2θ-==gl m mv I 合（3）由于单摆振动一个周期内2次做正功，2次做负功且互相间隔，即重力做正功的周期为振动周期的一半。
∴ 振动变化的周期为gl π 点评：在解（2）中合力是变力，现阶段不能由定义求合力的冲量。
简谐运动的能量阻尼振动 受迫振动 共振
x
O
t
阻尼振动的图像
驱动力：
周期性的外力
受迫振动： 外界驱动力作用下的振动
实验: P34
实验表明：
物体在外力驱动下振动时，振动稳定后的频率等 于外力驱动的频率，跟物体的固有频率没有关系。 如何变化？ 注意： 驱动力的频率变化时，振幅会随驱动力的 频率变化而变化 课本34页实验 演示：
结论：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
受迫振动的频率与物体的固有频率无关，但 是如果驱动力的频率接近或等于物体的固有 频率时，振动物体的振幅将达到最大.
3、竖直弹簧振子的振动能量
沿竖直方向振动的 弹簧振子：通过重力 和弹簧弹力的做功， 动能和势能（包括重 力势能、弹性势能） 间相互转化． 在 此 过 程中， 因 为 只有重力和弹簧弹力 做功，所以总机械能 不变．
因此：
1、简谐运动中，通过回复力做功，动能和势能 间相互转化，总机械能保持不变．
一、简谐运动的能量
1、水平振动的弹簧振子的能量
1、在振动时，弹簧振子在平衡位置的动能最大，势能为零． 2、弹簧振子偏离平衡位置到最大时，动能为零，势能最大． 3、在弹簧振子的振动过程中，只有弹簧弹力做功，所以总机械 能守恒（不考虑空气阻力）．
2、单摆振动时的能量
如图从AO重力做正功，重力势能减少，动能增加； 到O时，动能最大，势能最小； OB，重力做负功，动能减小，势能增加，到达B 时，动能为零，势能最大， 同理可分析，之后过程中能量的转化情况． 在此过程中，因为只有重力做功，所以总机械能不变
2、势能可以是重力势能（例如单摆），可以是弹性势能 （例如水平方向振动的弹簧振子），也可以是重力势能和 弹性势能之和（例如沿竖直方向振动的弹簧振子）， 3、简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能量 越大． 4、简谐运动是理想化的振动，振动过程中系统的能量守 恒
简谐运动的能量、阻尼振动、受迫振动
简谐运动的能量、阻尼振动、受迫振动和共振的教案示例一、教学目标1)知道阻尼振动和无阻尼振动，并能从能量的观点给予说明。
((2)知道受迫振动的概念。
知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，而跟振动物体的固有频率无关。
(3)理解共振的概念，知道常见的共振的应用和危害。
二、教学重点、难点受迫振动，共振。
三、教具弹簧振子、受迫振动演示仪、摆的共振演示器、投影仪、投影片若干。
四、教学过程(一)复习提问让学生注意观察教师的演示实验。
教师把弹簧振子的振子向右移动至B点，然后释放，则振子在弹性力作用下，在平衡位置附近持续地沿直线振动起来。
重复两次让学生在黑板上画出振动图象的示意图(图1中的?)。
再次演示上面的振动，只是让起始位置明显地靠近平衡位置，再让学生在原坐标上画出第二次振子振动的图象(图1中的?)。
?和?应同频、同相、振幅不同。
教师把画得比较标准的投影片向学生展示。
结合图象和振子运动与学生一起分析能量的变化并引入新课。
(二)新课教学现在以弹簧振子为例讨论一下简谐运动的能量问题。
问:振子从B向O运动过程中，它的能量是怎样变化的,引导学生答出弹性势能减少，动能增加。
问:振子从O向C运动过程中能量如何变化,振子由C向O、又由O向B运动的过程中，能量又是如何变化的,问:振子在振动过程中总的机械能如何变化,引导学生运用机械能守恒定律，得出在不计阻力作用的情况下，总机械能保持不变。
教师指出:将振子从B点释放后在弹簧弹力(回复力)作用下，振子向左运动，速度加大，弹簧形变(位移)减少，弹簧的弹性势能转化为振子的动能。
当回到平衡位置O时，弹簧无形变，弹性势能为零，振子动能达到最大值，这时振子的动能等于它在最大位移处(B点)弹簧的弹性势能，也就是等于系统的总机械能。
在任何一位置上，动能和势能之和保持不变，都等于开始振动时的弹性势能，也就是系统的总机械能。
由于简谐运动中总机械能守恒，所以简谐运动中振幅不变。
如果初始时B点与O点的距离越大，到O点时，振子的动能越大，则系统所具有的机械能越大。
谐振运动和阻尼振动
谐振运动和阻尼振动
谐振运动和阻尼振动是物理学中常见的两种振动现象，它们在不同的系统中起着重要作用。
下面将分别介绍谐振运动和阻尼振动的基本概念、特点和应用。
谐振运动是指在没有外界干扰的情况下，受到周期性外力作用而产生的振动现象。
在谐振运动中，振动系统的位移、速度和加速度都是正弦函数。
谐振运动的特点是振幅恒定、频率固定，能够产生明确定义的共振现象。
例如，钟摆的摆动、弹簧振子的振动等都属于谐振运动。
谐振运动在工程领域中有广泛的应用，比如调谐收音机、共振器等。
阻尼振动是指振动系统在受到外部干扰后，由于存在阻尼力而逐渐减少振幅并最终停止振动的现象。
阻尼振动的特点是振幅随时间逐渐减小，振动频率不变但振幅逐渐减小。
阻尼振动常见于机械系统中，如汽车避震器的弹簧振动、风琴的音膜振动等。
谐振运动和阻尼振动在振动学和动力学中具有重要的地位，它们相互补充、相互影响，在工程实践中有着各自的应用价值。
在设计振动系统时，需要充分考虑谐振运动和阻尼振动的特性，以便合理设计系统结构，提高系统性能。
总的来说，谐振运动和阻尼振动是物理学中两种常见的振动现象，它们分别具有自己的特点和应用领域。
通过深入理解谐振运动和阻尼振动的原理和特性，可以更好地应用于工程实践中，提高系统的振动
性能和稳定性。
谐振运动和阻尼振动的研究将有助于推动振动领域的发展，为工程技术的进步做出贡献。
带阻尼的简谐振动
带阻尼的简谐振动简谐振动是物理学中的重要概念，它描述了一种在无外力作用下，系统围绕平衡位置进行周期性振动的现象。
然而，在真实的物理系统中，往往会存在阻尼的影响，这就是带阻尼的简谐振动。
本文将探讨带阻尼的简谐振动的特点以及其在实际中的应用。
首先，带阻尼的简谐振动与无阻尼的简谐振动相比，有一些明显的区别。
在无阻尼的情况下，振动系统将永远保持振幅不变，频率恒定。
而在带阻尼的情况下，振动系统的振幅会逐渐减小，频率也会发生变化。
这是由于阻尼力的存在，它会消耗振动系统的能量，导致振幅的衰减。
同时，阻尼力还会改变振动系统的周期，使得振动频率减小。
带阻尼的简谐振动在实际中有着广泛的应用。
一个典型的例子是弹簧阻尼器。
弹簧阻尼器是一种利用弹簧的弹性和阻尼力来减震的装置。
当地震或其他外力作用于建筑物时，弹簧阻尼器可以通过调节弹簧的刚度和阻尼力的大小，使建筑物发生带阻尼的简谐振动，从而减小震动的幅度和对建筑物的破坏。
这种技术已经在一些高楼大厦的设计中得到了广泛应用，有效地提高了建筑物的抗震能力。
此外，带阻尼的简谐振动还在机械工程中有着重要的应用。
例如，汽车的悬挂系统中通常会采用带阻尼的简谐振动来提供舒适的乘坐体验。
通过合理设计悬挂系统的阻尼器，可以使汽车在行驶过程中对路面的震动进行有效吸收，从而减少车辆的颠簸感，提高乘坐舒适度。
类似地，飞机的起落架和火车的轮对也采用了类似的原理，以减少振动对乘客和货物的影响。
除了工程应用，带阻尼的简谐振动还在物理实验中有着重要的作用。
例如，光学实验中的干涉仪和衍射仪就是利用带阻尼的简谐振动来实现对光波的精确测量。
通过调节阻尼器的大小，可以控制振动系统的阻尼程度，从而影响干涉或衍射的效果。
这种技术在光学测量、光学仪器校准等领域有着广泛的应用。
总之，带阻尼的简谐振动是一种常见且重要的物理现象。
它与无阻尼的简谐振动相比，具有振幅衰减和频率变化的特点。
在实际中，带阻尼的简谐振动在工程、物理实验等领域都有着广泛的应用。
简谐振动与阻尼振动的特性
简谐振动与阻尼振动的特性振动是物体周期性运动的一种表现形式，它在自然界和人类生活中都有广泛的应用。
在振动的研究领域中，简谐振动和阻尼振动是两个重要的概念。
本文将着重讨论简谐振动与阻尼振动的特性及其在实际中的应用。
一、简谐振动的特性简谐振动是指物体在无外力作用下，受到恢复力作用而产生的周期性振动。
其特点可以归纳为以下几个方面：1. 振动的周期恒定。
简谐振动的周期是固定不变的，即物体从一个极点到另一个极点所需的时间是恒定的。
2. 振动的频率与周期有关。
频率是指单位时间内振动的次数，与周期成反比。
频率越高，周期越短，振动速度越快。
3. 振动的幅度有限。
简谐振动的幅度是物体在振动中偏离平衡位置的最大位移，它是由振动的初位移和振幅决定的。
4. 振动的轨迹是正弦曲线。
简谐振动的运动轨迹可以用正弦或余弦函数描述，呈现出规律的周期性变化。
二、阻尼振动的特性阻尼振动是指物体在受到阻尼力作用后的振动状态。
与简谐振动相比，阻尼振动具有以下几个不同之处：1. 振幅逐渐减小。
在阻尼振动中，振幅会随时间的推移而不断减小，直至最终停止振动。
2. 振动周期变长。
由于阻尼力的存在，物体的振动周期会逐渐延长，振动速度减慢。
3. 振动的幅频特性发生改变。
在阻尼振动中，幅频特性曲线会逐渐偏离简谐振动的理想曲线，呈现出衰减的趋势。
4. 振动的能量逐渐损失。
由于阻尼力对物体进行能量耗散，阻尼振动的能量会逐渐减少，最终消失。
三、简谐振动与阻尼振动的应用1. 机械工程领域。
简谐振动的特性在机械振动控制与设计中有着广泛应用，例如在建筑物抗震设计、车辆悬挂系统和机械零件振动评估等方面。
2. 力学研究。
研究简谐振动和阻尼振动的特性可以帮助我们更好地理解物体的振动行为，对材料的抗震性能、结构的稳定性等进行分析和优化设计。
3. 电子技术领域。
简谐振动的原理在电子学中有着重要的应用，例如电路中的振荡器、收音机的调谐电路和激光的共振腔等。
4. 医学领域。
阻尼振动的特性在医学上也有应用，例如在理疗中利用振动的按摩效果促进血液循环和放松肌肉。
力学简谐振动与阻尼振动
力学简谐振动与阻尼振动简谐振动是物体在没有阻力和其他外力作用下，沿一个平衡位置做扰动，并以固有频率振动的现象。
阻尼振动则是在有阻力的情况下发生的振动。
本文将探讨力学简谐振动和阻尼振动的特点和应用。
一、力学简谐振动力学简谐振动是一种往复性的振动，其特点是周期性、无衰减、振幅恒定、频率固定以及相位差恒定。
力学简谐振动的运动方程可以表示为：x = A*sin(ω*t+φ)其中，x为振动物体离开平衡位置的距离，A为振动的振幅，ω为角频率，t为时间，φ为相位差。
简谐振动在物理学的许多领域中都有广泛的应用，比如在力学、声学、光学以及电磁学等方面。
二、阻尼振动阻尼振动是在外界存在阻力的情况下发生的振动，其特点是振幅逐渐减小，并且振动不再呈现周期性。
阻尼振动的运动方程可以表示为：x = Ae^(-γt)*sin(ωt+φ)其中，γ为阻尼系数，A为振动的振幅，ω为角频率，t为时间，φ为相位差。
阻尼振动广泛应用于工程领域中的减振器设计，例如在摩擦减震器和汽车避震器中，都采用了阻尼振动原理来减少振动和冲击。
三、力学简谐振动与阻尼振动的比较1. 振幅衰减：力学简谐振动的振幅是恒定的，而阻尼振动的振幅会随着时间的推移而逐渐减小。
2. 周期性：力学简谐振动的周期是恒定的，而阻尼振动的周期不再固定。
3. 振动类型：力学简谐振动是无衰减的谐波振动，而阻尼振动是受到阻尼作用的振动。
4. 振动特征：力学简谐振动具有稳定的相位差，而阻尼振动的相位差可能会发生改变。
四、应用领域1. 简谐振动应用：简谐振动在物理学研究中有着广泛的应用，例如弹簧振子、摆钟等都涉及到简谐振动的理论。
2. 阻尼振动应用：阻尼振动广泛应用于工程领域中的减振器设计，为机械设备提供减少振动和冲击的功能。
五、总结力学简谐振动和阻尼振动在物理学和工程学中都具有重要的地位和应用。
力学简谐振动是一种周期性、无衰减的振动，而阻尼振动则受到阻力的影响，振幅逐渐减小。
了解和掌握这些振动的特点和应用，对于理解和应用物理学和工程学的相关领域具有重要意义。
力学理解简谐振动与阻尼振动
力学理解简谐振动与阻尼振动简谐振动和阻尼振动是力学中的两个重要概念，它们在物理学和工程学中都有广泛应用。
本文将介绍简谐振动和阻尼振动的基本概念、特点以及应用领域，并探讨它们背后的力学原理。
一、简谐振动简谐振动是指一个物体在一个恢复力作用下，沿着一个固定轴或平面上作往复运动的现象。
典型的简谐振动包括弹簧振子和单摆等。
其数学模型可以用简单的正弦函数表示。
在简谐振动中，物体的振动周期T、频率f和角频率ω具有确定的关系。
其周期可以表示为T=2π/ω，频率可以表示为f=1/T。
简谐振动的周期和频率与其振动系统的特性有关，如质量、弹性系数等。
简谐振动的特点之一是其振动幅度保持恒定。
当没有外力作用时，简谐振动会持续进行，直到摩擦力或其他阻力使振动停止。
简谐振动还具有相位差、能量守恒等特性，在实际应用中广泛运用于钟摆、电子集成电路等领域。
二、阻尼振动阻尼振动是指在一个物体受到恢复力和阻力的共同作用下，发生的振动现象。
阻尼振动可以分为过阻尼、临界阻尼和欠阻尼三种情况。
过阻尼振动是指阻尼力过大，使物体返回平衡位置的时间比期望的长。
临界阻尼振动是指达到最快恢复到平衡位置的振动。
欠阻尼振动是指阻尼力过小，使物体回到平衡位置的时间比期望的长。
阻尼振动的特点是振动幅度会逐渐减小，并且振动周期和频率也会发生变化。
阻尼振动在实际应用中常用于减振器、车辆悬挂系统等领域，以减小振动对系统的影响。
三、力学原理简谐振动和阻尼振动的力学原理可以通过牛顿第二定律来解释。
对于简谐振动，弹性力F= -kx，其中k为弹性系数，x为偏离平衡位置的位移。
根据牛顿第二定律F=ma，我们可以得到mx''= -kx，其中m为物体的质量，x''为加速度。
对于阻尼振动，阻尼力F_d= -bv，其中b为阻尼系数，v为物体的速度。
因此，考虑到弹性力和阻尼力的共同作用，我们可以得到mx''= -kx - bv，即为阻尼振动的运动方程。
简谐振动与阻尼振动
Oscillations & Vibrations Department of PhysicsSoutheast UniversitySeptember 2011◆简谐振动◆阻尼振动◆受迫振动与共振Oscillation is the repetitive variation,typically in time,of some measure about a central value (often a point of equilibrium)or between two or more different states.Familiar examples include a swinging pendulum and AC power.---wikipedia例子:LC回路对水平放置的振子的描述:质量为m 的物体在x 方向无摩擦运动;物体与一弹簧相连,弹簧的左端被固定;x 是物体离开平衡位置的位移,也是弹簧长度的变化量; 物体偏离平衡位置时,它所受的合外力倾向于使它回到平衡位置上来.我们称这个力为恢复力.对水平放置的简谐振子的描述:当恢复力与位移x 成正比(即满足胡克定律)时,水平放置的振子的振动最简单,该振动被称为简谐振动.作简谐振动的振子被称为简谐振子.x F x F kx=-根据牛顿第二定律,简谐振子的运动方程为:22x x d xkx F ma m dt -===220d xkx m dt +=这个简谐振动的角频率被定义为:kmω=水平放置的简谐振子的运动方程于是变成:20x x ω+=20q q ω+=q 可以这个例子中的位移;LC 回路中电容器某极板的带电量或流过自感线圈的电流,等等.电容器两端电势差为自感线圈的自感电动势为导线中的电流为/u q c =d d i Ltε=-d d qi t=-||u ε=1q q LC +=设垂直于纸面向外的方向为z 轴正方向根据角动量定理d d Lt τ=质点相对于挂点的角动量为ˆL I I ωω==z d d t θω=作用在质点上的、相对于挂点的合外力矩为sin ()ˆr F Lmg τθ=⨯=-z 2I mL =整理可得sin 0gL θθ+=sinθθ≈θ当摆角很小时,0gL θθ+≈根据叫动量定理可得：在摆角很小时，0dmg I θθ+≈I =刚体相对于过挂点转轴的转动惯量；d =重心与挂点之间的距离。
§1简谐振动§2谐振子§3阻尼振动
x(t) x(t T )
各种振动的本质不同，具有不同的性质， 但形式上具有相同特征和规律。
振动分类
受迫振动
自由振动
阻尼自由振动
无阻尼自由非谐振动 无阻尼自由振动
无阻尼自由谐振动
(简谐振动)
§ 1 简谐振动
一. 简谐振动
表达式 x(t)=Acos( t+)
二、描述简谐振动的特征量
3、周期、频率、圆频率
T：完成一次完全振动所需的时间
x(t) Acos( t ) T 2
Acos[ (t T ) ]
: 单位时间内完成完整振动的来自数 1/T :圆频率 2
二、描述简谐振动的特征量
3、周期、频率、圆频率
§ 1 简谐振动 § 2 谐振子 § 3 阻尼振动 § 4 受迫振动 § 5 同一直线上两个简谐振动的合成 § 6 互相垂直简谐振动的合成
振动
振动有各种不同的形式 电磁振动 、机械振动 机械振动：物体在平衡位置附近往返运动
广义振动：任一物理量(如位移、电 流等) 在某一数值附近反复变化。
周期振动：
O
t
t
x(t) Acos( t )
稳态时
1、振动频率等于策动力的频率 2、振幅稳定，A 与 、及初始条件有关
三、共振 1、位移共振
——振动系统受迫振动时，其振幅达最大值的现象
A
h
(
2 0
2)2
(2 ) 2
A
位移共振条件
r
2 0
2
2
Amax 2
h
2 0
A0et cos[ 02 2 t 0 ] Acos( t )
§9.2 常见的简谐振动 阻尼振动
x
T2
F m2 g T2 m2a
T2 R T1 R J J a , T2 T1 1 Ma R 2
T1 T0 m1a , T0 k( x l )
o x x
m2
a
m2 g
Chapter 9. 机械振动 作者：杨茂田 §9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
2
C
M mgl sin mgl
mgl 2 0 0 J
mg
0 cos ( t )
J mgl , T 2 mgl J
Chapter 9. 机械振动 作者：杨茂田 §9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
2x 0 x
即系统作简谐振动！
mg
k (m1 m2 M )
2
( the end )
Chapter 9. 机械振动 作者：杨茂田 §9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
P. 12
3. 复摆与单摆： 设 复摆作小角度摆动。
( M 为重力矩 ) M J J d J dt 2
T1 M ,R
x
T2
试证明下图中系统角频率为：
k1 k2 m
k1
m
o x k2 x
m2
m2 g
Chapter 9. 机械振动 作者：杨茂田 §9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
P. 8 /
例 如图，光滑桌面，已知：m1、m2、M 及 k，轻绳轻 弹簧，证明系统运动为简谐振动，并求角频率。
P. 6 /
2. 光滑平面上的复合弹簧：
x1 x 2 x k1 x1 k2 x2
简谐振动总结
★简谐运动简谐运动〔Simple harmonic motion〕〔SHM〕〔直译简单和谐运动〕是最根本也最简单的机械振动。
当某物体进展简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置。
它是一种由自身系统性质决定的周期性运动。
〔如单摆运动和弹簧振子运动〕实际上简谐振动就是正弦振动。
故此在无线电学中简谐信号实际上就是正弦信号。
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像〔x-t图像〕是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。
定义如果做机械振动的质点，其位移与时间的关系遵从正弦〔或余弦〕函数规律，这样的振动叫做简谐运动，又名简谐振动。
因此，简谐运动常用作为其运动学定义。
其中振幅A，角频率，周期T，和频率f的关系分别为：、。
科学结论振幅、周期和频率简谐运动的频率〔或周期〕跟振幅没有关系，而是由本身的性质〔在单摆中由初始设定的绳长〕决定，所以又叫固有频率。
一般简谐运动周期 , 其中m为振子质量，k为振动系统的回复力系数。
一般，假设振子受重力与弹力二力等效k=k,但平衡位置为kx=mg时所在位置。
单摆运动周期其周期〔π为圆周率〕这个公式仅当偏角很小时才成立。
T与振幅〔a<5°〕都和摆球质量无关，仅限于绳长<<地球半径。
[2]扩展：由此可推出，据此可利用实验求某地的重力加速度。
周期公式证明为了使示意图更加简洁，全部假设k=1，这样的话以为F回=-kx〔并且在此强调此处负号只表示方向，不表示数值，所以在证明中使用数值关系时全部忽略负号〕，所以回复力F数值上和在图中的线段长度等于位移x，所以在两个示意图中都是用一条线表示的。
一般简谐运动周期公式证明因为简谐运动可以看做圆周运动的投影，所以其周期也可以用圆周运动的公式来推导。
圆周运动的；很明显v无法测量到，所以根据得到。
其中向心力F便可以用三角函数转换回复力得到即〔F=-kx中负号只表示方向，所以在这省略〕。
所以得到；因为x与r之间的关系是：x=rcosα，所以上式继续化简得到：。
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F T mg sin
x
mg
x o
T k( x l ) kx mg sin
F kx
k 2 , T 2 m m k
即作简谐运动：
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
2
对作小角度摆动的单摆:
g l , T 2 l g
J ml
l
max cos( t )
例 若单摆最大摆角为5°，起始状态 如图， 则由旋转矢量图可知：
, cos(
2
36 g l t
m
t 0
)
2
max
o 2 0 2 A 0 2
g l , T 2 l g
J ml
l
max cos( t )
m
mgl 0 J
0
2
0 cos ( t )
mgl J
, T 2
J mgl
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
2. 光滑平面上的复合弹簧：
x1 x 2 x k1 x1 k2 x 2
k1k 2 k1 k 2 x kx
k1
k2
m
o
F
x
x
F k2 x 2
k m
k1k2 m(k1 k2 )
F kx
k 2 , T 2 m m k
x 0 x ▲
2
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作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
§9.2 常见的简谐振动
阻尼振动
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
一、简谐振动的判断
满足下列条件之一的振动即为简谐振动：
▲ x A cos(t )
▲ F kx
试证明下图中系统角频率为：
k1 k 2 m
k1
m
k2
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
3. 复摆与单摆： 设 复摆作小角度摆动。
M J J d
2
dt
2
J
( M 为重力矩 )
C
M mgl sin mgl
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§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
1. 简谐振动满足： ▲ x A cos(t ) ▲ F kx
x 0 x ▲
2
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
1. 简谐振动满足： ▲ x A cos(t ) ▲ F kx
即作简谐运动：
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
2. k1 x1 k2 x 2
k1k 2 k1 k 2 x kx
k1
k2
m
o
F
x
x
F k2 x 2
k m
k1k2 m(k1 k2 )
x 0 ▲ x
2
F 为合外力，x 为离开平衡位置的位移，k 为常数。
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§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
二、常见的简谐振动
1. 光滑斜面上的弹簧振子：
平衡位置 o 处： k l mg sin 在 x 处：合力
F T mg sin
x
mg
x o
T k( x l ) kx mg sin
F kx
2 ▲ x A cos(t ) ▲ F kx ▲ x x 0
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§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
二、常见的简谐振动
1. 光滑斜面上的弹簧振子：
C
M mgl sin mgl
mgl 0 J
2 0
mgl J
mg
0 cos ( t )
, T 2
J mgl
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
2
对作小角度摆动的单摆:
x 0 x
2
即系统作简谐振动！
mg
k (m1 m2 M ) 2
( the end )
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
3. 复摆与单摆： 设 复摆作小角度摆动。
M J J d
2
dt
2
J
( M 为重力矩 )