2021年宁夏高考数学重难点热点复习：圆锥曲线

2021年宁夏高考数学重难点热点复习：圆锥曲线

1．已知点A （0，﹣2），椭圆E ：

x 2a 2

+

y 2b 2

=1（a ＞b ＞0）的离心率为

√2

2

，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为2，O 为坐标原点． （1）求E 的方程；

（2）设过点P （0，√3），且斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于不同的两M 、N ，且|MN |=8√2

7，求k 的值．

【解答】解：（1）由离心率e =c

a =√2

2，则a =√2c ， 直线AF 的斜率k =0−(−2)

c−0=2，则c ＝1，a =√2，b 2＝a 2﹣c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为

x 2

2

+y 2＝1；

（2）设直线l ：y ＝kx −√3，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则{y =kx −√3

x 22+y 2=1，整理得（1+2k 2）x 2﹣4√3kx +4＝0，

△＝（﹣4√3k ）2﹣4×4×（1+2k 2）＞0，即k 2＞1，∴x 1+x 2=

4√3k 1+2k

2，x 1x 2=41+2k 2，

∴|MN |=2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1

+x 2

)2

−4x 1x 2=

4√(+k 2

)(k 2

−1)

1+2k

2

=8√2

7，

即17k 4﹣32k 2﹣57＝0，解得k 2＝3或−19

17（舍去）， ∴k ＝±√3， 2．已知双曲线C ：

x 2a 2

−

y 2b 2

=1（a ＞0，b ＞0）与双曲线

x 216

−

y 24

=1有相同的渐近线，且

双曲线C 过点（4，√3）．

（1）若双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线C 上有一点P ，使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积；

（2）过双曲线C 的右焦点F 2作直线l 与双曲线右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长是

403

，求直线l 的方程．

【解答】解：（1）设双曲线C ：x 2

16

−

y 2

4

=λ，把点（4，√3）代入得：λ=1

4，

∴双曲线的方程为

x 24

−y 2＝1．

在△PF 1F 2中，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，

∴{

|m −n|=4cos∠F 1PF 2=m 2+n 2−202mn =

12

，

可得（m ﹣n ）2+2mn ﹣20＝mn ， 即16+2mn ﹣20＝mn ，mn ＝4， ∴△F 1PF 2的面积S ＝mn sin60°=√3；

（2）∵△F 1AB 的周长是|AF 1|+|BF 1|+|AB |＝|AF 2|+2a +|BF 2|+2a +|AB |＝8+2|AB |=40

3

， ∴|AB |=8

3，

1°当直线AB 的斜率不存在时，|AB |＝1，不符合题意（舍）， 2°当直线AB 斜率存在时，设AB ：y ＝k （x −√5），

联立{y =k(x −√5)

x 24−y 2=1，消y 可得（4k 2﹣1）x 2﹣8√5k 2x +20k 2+4＝0，

∴|AB |=√1+

k 2•|x

1﹣x 2|=

√1+k 2⋅√16k 2+16

|4k 2

−1|

=

4(k 2

+1)|4k 2

−1|

=8

3，

解得k ＝±1，此时△＞0，

∴直线l 的方程：y ＝x −√5或y ＝﹣x +√5．

3．已知动圆C 的圆心为点C ，圆C 过点P （3，0）且与被直线x ＝1截得弦长为4√2．不过原点O 的直线l 与点C 的轨迹交于A ，B 两点，且|OA →

+OB →

|＝|OA →

−OB →

|． （1）求点C 的轨迹方程；

（2）求三角形OAB 面积的最小值．