曲线的切线方程

导数的几何意义、曲线的切线方程：

一、框架

1.命题分析：本题型在高考解答题主要是在第(1)问中出现，也有可能在选择题或填空题中出现，若为解答题，主要考点为：(1)导数的几何意义;(2)直线与函数图象相切的条件。

2.几何意义：函数()x f 在0x 处的导数就是曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即斜率为()0'x f .

3.物理意义：函数()s f t =在0t 处的导数就是曲线()s f t =在0t 时刻的速度.

4.曲线)(x f y =上在点())(,00x f x 处的切线方程为))(()(00'

0x x x f x f y -=-.

5.切线方程的求解方程问题：

第一步：判切点：求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程。切点已知直接求，切点未知设切点；

第二步：求斜率（导数）：通常若切点为())(,00x f x ，则在该点处曲线的斜率为()0'x f ；

第三步：用公式：所对应的曲线)(x f y =上在点())(,00x f x 处的切线方程为))(()(00'

0x x x f x f y -=-。

6.利用切线方程（或切线的性质）判断参数的值（或取值范围）

第一步：求斜率（导数）：求出函数()x f y =在0=x x 处的导数()0'x f ，即函数()x f y =的图象在点

())(,00x f x 处切线的斜率；

第二步：列关系式：根据已知条件，列出关于参数的关系式； 第三步：求解即可得出结论。

7.注意点：求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程。切点已知直接求，切点未知设切点。 二、方法诠释

类型一：在某点的切线方程

例1．求曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程。

解： y ′＝3x 2－2，∴k ＝y ′|x ＝1＝3－2＝1，∴切线方程为y ＝x －1. 类型二：过某点(某点不在曲线上)的切线方程

例2．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程． 解：点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，

所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 2

0，即x 30x 0－2

＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；

当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0. 综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0. 类型三：过某点(某点在曲线上)的切线方程,例如例3的第(2)问 例3．(1)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 在原点(0,0)处的切线方程。

(2)求过原点(0,0)且与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 相切的切线方程．

解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，设切线的斜率为k ，k ＝f ′(0)＝2，f (0)＝0，所求的切线方程为y ＝2x . (2)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，f (0)＝0，所求的切线方程为y ＝2x .

当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)(x 0≠0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 2

0－6x 0＋2，①又k ＝y 0

x 0

＝x 20－3x 0＋2，② 由①②得x 0

＝32，k ＝y 0x 0＝－14. 所以所求曲线的切线方程为y ＝2x 或y ＝－14

x . 三、巩固训练

1.已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0

2.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋7

2(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为

(1，f (1))，则m 等于( )

A ．－1

B ．－3

C ．－4

D ．－2

3.设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π

2，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )

A ．－1 B.1

2

C ．－2

D ．2

4.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1

e

C ．－e

D ．e 5.已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )

A ．－1

B ．0

C ．2

D ．4

6．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于 ． 7.曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程是 ．

8.已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是 ． 9.已知函数16)(3

-+=x x x f ，

（1）求曲线)(x f y =在点()62-，

处的切线的方程； （2）直线l 为曲线)(x f y =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； （3）如果曲线)(x f y =的某一切线与直线34

1

+-=x y 垂直，求切点坐标与切线的方程.

10.已知函数()e cos x

f x x x =-.