曲线的切线方程
高数中求曲线的切线方程
高数中求曲线的切线方程
在高等数学中，我们经常需要求曲线的切线方程。
给定一个曲线和一个点，我们要找出这个点处的切线方程。
假设曲线方程为 y = f(x)，给定的点为 (x0, y0)。
切线的斜率就是函数在该点的导数。
所以，首先我们需要求出函数 f(x) 在 x0 处的导数。
然后，使用点斜式方程 y - y0 = m(x - x0) 来求切线方程，其中 m 是斜率。
用数学公式表示，我们有：
1.导数 f'(x0) = lim (x->x0) [f(x) - f(x0)] / (x - x0)
2.切线方程为 y - y0 = f'(x0) * (x - x0)
现在我们要来解这个问题，给定一个具体的曲线和点，求出切线方程。
计算结果为：切线斜率 m = 0
所以，给定点 (x0, y0) 处的切线方程为：y0。
求曲线在某点的切线方程方法
求曲线在某点的切线方程方法引言在数学和物理学中，研究曲线的切线是很常见的问题。
切线可以帮助我们了解曲线的局部特征和性质，它在微积分、力学和工程学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍一些常见的方法来求解曲线在某点的切线方程。
切线的定义在数学中，曲线上某点的切线可以被定义为通过该点并且与曲线在该点附近重合的直线。
切线的斜率即为曲线在该点的导数。
方法一：求导法一种常见的方法是使用导数来求解曲线在某点的切线方程。
设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。
1.首先求曲线的导数f'(x)。
2.将点(x0,y0)带入导数函数，求出导数的值f'(x0)。
3.使用切线方程的一般形式y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。
方法二：斜率和点法另一种常用的方法是使用斜率和已知点来求解切线方程。
同样假设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。
1.计算曲线在点(x0,y0)处的斜率，即f'(x0)。
2.使用点斜式切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。
方法三：曲线近似法第三种方法是使用曲线的近似来求解切线方程。
此方法适用于那些难以计算导数的曲线。
1.在点(x0,y0)处取曲线的一个非常小的线段，该线段基本上与切线重合。
2.使用线性函数来拟合这个线段，得到近似切线方程。
方法四：参数法对于参数方程表示的曲线，我们可以使用参数法来求解切线方程。
假设曲线的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，我们要求解曲线在参数值t0处的切线方程。
1.计算参数值t0对应的点的坐标(x0,y0)。
2.求解参数方程的导数dx/d t和dy/dt。
3.使用点斜式切线方程y-y0=(dy/d t)/(dx/d t)(x-x0)，将(x0,y0)、dx/d t和d y/dt代入，得到切线方程。
怎么求曲线的切线方程
怎么求曲线的切线方程
曲线的切线是指在曲线上某一点处的切线，它与曲线在该点处相切。
求解曲线的切线方程可以通过以下步骤进行：
1. 求出曲线在该点处的斜率
首先需要求出曲线在该点处的导数，即斜率。
如果已知曲线的解析式，可以通过对其求导得到导函数，再将该点的横坐标代入导函数中计算
得到斜率。
如果不知道曲线的解析式，可以通过绘制切线和曲线相交
于该点，并利用直角三角形中斜边长与直角边长之比等于正切值来计
算斜率。
2. 利用点斜式或一般式求出切线方程
已知一条直线的斜率和一点坐标时，可以利用点斜式或一般式求出该
直线的方程。
其中，点斜式为y-y1=k(x-x1)，其中k为直线的斜率，(x1,y1)为直线上已知的一点；一般式为Ax+By+C=0，其中A、B、C 分别为常数。
3. 将所得到的方程化简
通常情况下，将所得到的方程化简成y=mx+b形式会更加方便使用。
具体来说，可以将一般式中的A、B、C除以B得到Ax/B+y+C/B=0，再将其转化为y=-Ax/B-C/B，其中m=-A/B，b=-C/B。
需要注意的是，在求解曲线的切线方程时，应该特别关注曲线在该点
处是否存在垂直于x轴的切线或不存在切线的情况。
如果曲线在该点
处存在垂直于x轴的切线，则斜率不存在；如果曲线在该点处不存在
切线，则斜率也不存在。
此外，还应该注意曲线在该点处是否有多个
切线，这种情况下需要分别求解每条切线的方程。
综上所述，求解曲线的切线方程需要先求出曲线在该点处的斜率，然
后利用点斜式或一般式求出切线方程，并将其化简成y=mx+b形式。
同时还需要注意特殊情况下的处理。
曲线的切线与切点的求解
曲线的切线与切点的求解曲线是数学中一个重要的概念，它在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
在研究曲线的性质时，我们常常需要求解曲线的切线与切点，这对于理解曲线的特性和应用都具有重要意义。
一、曲线的切线在数学中，曲线的切线是指与曲线在某一点相切且方向与曲线在该点的切线方向一致的直线。
求解曲线的切线可以通过求解曲线的导数来实现。
曲线的导数表示了曲线在某一点的斜率，而切线的斜率与曲线在该点的斜率相等。
以一条平面曲线为例，设曲线的方程为y=f(x)，其中f(x)为曲线的函数表达式。
要求解曲线在点(x0, y0)处的切线，首先需要计算曲线在该点的导数f'(x0)。
导数表示了曲线在该点的斜率，即切线的斜率。
求解导数的方法有很多，最常见的是使用微分法。
通过对函数f(x)进行微分，可以得到导函数f'(x)。
然后将x0代入导函数，即可得到曲线在点(x0, y0)处的切线的斜率。
得到切线的斜率后，我们还需要确定切线的截距。
通过将切线的斜率和切点的坐标代入直线的一般方程y-y0=k(x-x0)，可以求解出切线的方程。
二、曲线的切点切点是指曲线与其切线的交点。
求解曲线的切点可以通过联立曲线方程和切线方程来实现。
设曲线的方程为y=f(x)，切线的方程为y=kx+b。
联立这两个方程，即可求解切点的坐标。
将切线的方程中的k和b代入曲线的方程，可以得到一个关于x的方程。
通过解这个方程，可以得到切点的x坐标。
将切点的x坐标代入切线的方程，即可得到切点的y坐标。
需要注意的是，有些曲线可能存在多个切点。
在求解切点时，需要考虑曲线的性质和切线的方向，以确定所求的切点是否符合要求。
三、应用举例曲线的切线与切点的求解在实际应用中有着广泛的应用。
下面以两个具体的例子来说明。
1. 物理学中的应用在物理学中，曲线的切线与切点的求解经常用于描述物体的运动轨迹。
例如，当我们研究一个自由落体运动的物体时，可以通过求解其运动轨迹的切线和切点，来分析物体在不同时刻的速度和加速度。
求曲线在某点的切线方程公式
求曲线在某点的切线方程公式曲线在某点的切线方程公式，我们可以通过求解曲线在该点的导数来得到。
设曲线的方程为y=f(x)，求曲线在点（a,f(a)）处的切线方程。
首先，我们需要求解曲线在该点的导数。
导数表示曲线在某一点处的斜率，也就是切线的斜率。
通过求取函数f(x)的导函数，我们可以得到导数的表达式。
记导函数为f'(x)，则切线的斜率为f'(a)。
接下来，我们使用点斜式来确定切线方程。
点斜式由一个点和斜率确定，我们已经得到了切线的斜率f'(a)，因此切线方程为：
y - f(a) = f'(a)(x - a)
这就是曲线在点（a,f(a)）处的切线方程公式。
请注意，该公式中的f(x)和f'(x)代表了曲线的具体方程和导函数的形式，具体的求解步骤需要根据具体的曲线方程进行。
微积分中的曲线的切线与法线方程
微积分中的曲线的切线与法线方程微积分是数学中的重要分支，其中涉及到了许多曲线的研究。
在微积分中，我们经常需要求解曲线上某一点的切线和法线方程。
本文将介绍微积分中的曲线的切线与法线方程的求解方法。
一、曲线的切线方程在微积分中，我们常常需要求解曲线上某一点的切线方程。
切线是曲线上某一点处与曲线相切的直线。
求解曲线的切线方程的方法如下：1. 确定曲线上某一点的坐标首先，我们需要确定曲线上某一点的坐标，假设该点的坐标为(x0, y0)。
2. 求解曲线的导数接下来，我们需要求解曲线的导数。
曲线的导数可以表示曲线在某一点处的斜率，即切线的斜率。
3. 利用点斜式求解切线方程切线的方程可以使用点斜式来表示，即y - y0 = k(x - x0)，其中k为曲线在某一点处的导数。
通过以上步骤，我们可以求解出曲线在某一点处的切线方程。
二、曲线的法线方程曲线的法线是与曲线相切且与切线垂直的直线。
求解曲线的法线方程的方法如下：1. 确定曲线上某一点的坐标首先，我们需要确定曲线上某一点的坐标，假设该点的坐标为(x0, y0)。
2. 求解曲线的导数与求解切线方程类似，我们需要求解曲线的导数。
3. 求解法线的斜率法线的斜率与切线的斜率互为相反数，即k' = -1/k，其中k为曲线在某一点处的导数。
4. 利用点斜式求解法线方程法线的方程可以使用点斜式来表示，即y - y0 = k'(x - x0)，其中k'为法线的斜率。
通过以上步骤，我们可以求解出曲线在某一点处的法线方程。
总结：在微积分中，曲线的切线和法线方程的求解是一个重要的问题。
通过求解曲线的导数，我们可以确定曲线在某一点处的切线和法线的斜率，进而求解出切线和法线方程。
这些方程对于研究曲线的性质和特点非常有用。
在实际应用中，我们可以利用切线和法线方程来解决各种问题，例如求解曲线上某一点的切线和法线的交点等。
微积分中的曲线的切线与法线方程是一个广泛研究的领域，本文只是提供了一个基本的介绍和求解方法。
求曲线的切线方程
求曲线的切线方程曲线是指空间中的折线或曲线，它不断变化，可以用不同方程来表示。
在微积分中，对于形状复杂的曲线，我们需要求出它的切线方程。
曲线的切线方程是当某点处函数不断变化时，一般点之间的关系。
它说明了一点处函数极限变化速度恒定，即曲线的切线方程是曲线斜率恒定的关系。
为了求出曲线的切线方程，首先需要弄清楚曲线的定义域和它的表达式。
一般来说，曲线一般定义在实数域上，如果曲线函数为y=f(x)，那么它的定义域就是f(x)可以取得实数值的范围，即x∈R。
曲线的表达式一般由分式或参数方程构成，只要能够指定曲线的形状，就能求出它的切线方程。
在求出曲线的定义域和表达式之后，我们就可以用一般正则点的定义及几何性质，进而求出曲线的切线方程。
一般来说，令曲线上的某点为P，则沿着曲线的正则方向，在P点的切线的斜率也应变化，但是变化的速度是恒定的。
又由于切线的斜率也就是曲线的斜率，因此可以利用微积分中的导数定理：即f′(x)=dy/dx，求出曲线的切线方程，即斜率为f′(x)。
另外，当曲线函数为复杂函数时，如果想求出它的切线方程，可以采用参数方程的方式。
当曲线函数用参数方程写出的时候，通过求参数对曲线的极限变化速度，也可以求出曲线的切线方程。
总之，求曲线的切线方程是微积分中常见的知识点。
以上的思路，主要是利用一般正则点的定义及几何性质，以及参数方程的思想，求取曲线的切线方程。
无论是利用正则点的定义，还是利用参数方程，都必须对曲线函数有深入的理解，并正确应用其切线方程。
本文只是简单介绍了求曲线的切线方程的思路，更多的内容需要读者自行讨论探究，以获得更深入的理解。
- 1 -。
曲线的切线与法线方程
曲线的切线与法线方程在微积分中，曲线的切线和法线是研究曲线性质的重要工具。
切线和法线是与曲线相切于某一点的直线，切线贴近曲线的趋势，法线则与切线垂直。
本文将详细介绍如何求解曲线的切线和法线方程。
一、曲线的切线方程切线是曲线上与曲线相切于某一点的直线。
要求解曲线的切线方程，首先需要计算出曲线在该点处的斜率。
1. 首先，确定曲线方程。
假设我们有一个曲线方程y=f(x)，其中f(x)是曲线的函数表达式。
2. 然后，选择曲线上的一点P(x0, y0)，该点是我们感兴趣的切线与曲线相切的点。
3. 接下来，求解曲线在P点处的导数。
导数表示曲线在该点的斜率，可以用f'(x)来表示。
4. 利用导数计算曲线在点P的斜率。
斜率可以通过求解斜率公式来进行计算，即斜率k = f'(x0)。
5. 最后，使用点斜式或一般式等形式得到切线方程。
切线方程可以表示为y-y0 = k(x-x0)，或者转换为一般式Ax+By+C=0的形式。
二、曲线的法线方程法线是与切线垂直的直线。
要求解曲线的法线方程，同样需要计算出曲线在该点处的斜率。
1. 同样地，我们需要确定曲线方程y=f(x)，其中f(x)是曲线的函数表达式。
2. 选择曲线上的一点P(x0, y0)，该点是我们感兴趣的法线与曲线相切的点。
3. 求解曲线在点P的导数。
导数表示曲线在该点的斜率，可以用f'(x)来表示。
4. 计算曲线在点P处的斜率的负倒数。
法线的斜率是切线斜率的负倒数，即斜率k' = -1/f'(x0)。
5. 利用点斜式或一般式等形式得到法线方程。
法线方程可以表示为y-y0 = k'(x-x0)，或者转换为一般式Ax+By+C=0的形式。
总结：通过求解曲线在特定点的导数，我们可以得到切线的斜率和法线的斜率。
利用点斜式或一般式，我们可以得到切线和法线的方程。
这些方程可以用来描述曲线的性质，并且在解决相关问题时起到重要作用。
切线方程求法
切线方程求法在数学中，切线是一条与曲线相切的直线。
当我们研究曲线的性质时，切线是非常重要的工具。
切线方程是描述切线的数学公式，可以帮助我们更好地理解和分析曲线的性质。
本文将介绍切线方程的求法及其应用。
一、切线的定义在平面直角坐标系中，曲线上一点的切线是通过该点的一条直线，与曲线在该点处相切且方向与曲线在该点处的切线方向相同。
切线可以用来描述曲线在该点处的斜率和变化率。
二、切线方程的求法1. 切线方程的一般形式切线方程的一般形式为：y-y0 = k(x-x0)其中，(x0, y0)是曲线上一点的坐标，k是曲线在该点处的斜率。
2. 求曲线在某点处的斜率曲线在某点处的斜率可以通过求导数来得到。
假设曲线的方程为y=f(x)，则曲线在点(x0, y0)处的斜率为：k = f'(x0)其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数。
3. 求切线方程已知曲线在点(x0, y0)处的斜率k，可以将切线方程的一般形式中的参数代入得到具体的切线方程：y-y0 = k(x-x0)将该方程化简可得：y = kx + (y0-kx0)这就是切线方程的标准形式，其中k是曲线在该点处的斜率，(x0, y0)是曲线上的一点。
三、切线方程的应用切线方程可以帮助我们更好地理解和分析曲线的性质。
以下是一些切线方程的应用：1. 求曲线在某点处的切线已知曲线的方程和某一点的坐标，可以通过求导数和切线方程的求法来得到曲线在该点处的切线方程。
这可以帮助我们更好地理解曲线在该点处的性质。
2. 求曲线上的极值曲线上的极值是指曲线上的最大值或最小值。
当曲线在某点处的斜率为0时，该点就是曲线上的极值点。
可以通过求导数和切线方程来求得曲线上的极值。
3. 求曲线的拐点曲线的拐点是指曲线上的一点，在该点处曲线的方向发生了变化。
可以通过求导数和切线方程来求得曲线的拐点。
四、总结切线方程是描述切线的数学公式，可以帮助我们更好地理解和分析曲线的性质。
高三复习-曲线的切线方程
曲线的切线方程
曲线的切线方程为：若点在曲线上，公式为y-f(a)=f
(a)(x-a)；若点不在曲线上，公式为y-f(x0)=f
(x0)(x-x0)。
切线方程是研究切线以及切线的斜率方程，涉及几何、代数、物理向量、量子力学等内容。
曲线的切线方程1、如果某点在曲线上：
设曲线方程为y=f(x)，曲线上某点为(a，f(a))
求曲线方程求导，得到f
(x)，
将某点代入，得到f
(a)，此即为过点(a，f(a))的切线斜率，
由直线的点斜式方程，得到切线的方程。
y-f(a)=f
(a)(x-a)
2、如果某点不在曲线上：
设曲线方程为y=f(x)，曲线外某点为(a，b)
求对曲线方程求导，得到f
(x)
设：切点为(x0，f(x0))，
将x0代入f
(x)，得到切线斜率f
(x0)，
由直线的点斜式方程，得到切线的方程y-f(x0)=f (x0)(x-x0)，
因为(a，b)在切线上，代入求得的切线方程，有：b-f(x0)=f
(x0)(a-x0)，得到x0，
代回求得的切线方程，即求得所求切线方程。
曲线在某点的切线方程
曲线在某点的切线方程
1 曲线上某点的切线
曲线与切线相互割裂，穿越曲线的切线就叫做曲线上的切线，它的奇迹在于，将曲线的点分开，斜率也可称为曲线的斜率。
曲线上某点的切线，是指过该点以及其他任意一点，切割曲线的切线，主要用来求曲线在该点的切线方程。
求曲线在某点的切线方程，其实是求曲线某点的切率，由定义知斜率是任意两点之间的横纵坐标之比，表达式为`斜率=Δy/Δx`，其中Δy 表示纵坐标之差，Δx 表示横坐标之差。
由于曲线在点的切线方程定义的是切率，所以一般式为 y −
y0=k(x − x0)，其中k 是曲线在某一点的切率，(x0，y0) 是该点的坐标。
接下来，要解决曲线在某点的切线方程，就需要找到曲线某点的斜率，而切线斜率，又可求出曲线在该点处的切线方程。
总结起来，曲线上某点的切线方程，就是动态表达曲线上某点的斜率及坐标的比较，是非常重要的一种地质考察方法，也是曲线数学应用的主要考察知识点。
曲线的切线方程和法线方程
我们要找出一个给定曲线的切线方程和法线方程。
首先，我们需要知道切线和法线的定义和性质。
假设曲线方程为 y = f(x)，其中 f(x) 是给定的函数。
切线方程：
切线与曲线在某一点 (x0, y0) 相切，切线的斜率就是函数在该点的导数。
即，切线斜率 = f'(x0)。
切线方程可以用点斜式表示为：y - y0 = f'(x0) × (x - x0)。
法线方程：
法线与切线在同一点 (x0, y0) 相交，法线的斜率是切线斜率的负倒数。
即，法线斜率 = -1/f'(x0)。
法线方程可以用点斜式表示为：y - y0 = -1/f'(x0) × (x - x0)。
现在，我们可以用给定的函数 f(x) 和点 (x0, y0) 来计算切线和法线的方程。
切线方程为：y - 1 = 1/2 * (x - 2)。
法线方程为：y - 1 = -2 * (x - 2)。
切线方程表达式
切线方程表达式在几何中，切线是表示某一点到每条曲线上的某一点的最近距离的一条直线，它的切线方程表达式是一个显示曲线上特定点周围曲线的属性的重要工具，也是很多学科中常用的数学工具。
比如，在物理中，通过切线方程可以求出物体表面上的速度和加速度；在化学中，可以求出反应物之间的反应速率；在生物学中，可以求出物体之间的激素分泌速率；也可以用切线方程求出有关曲线上点的曲率等等。
切线方程表达式的最基本形式是极坐标下的切线方程，它可以表示一条曲线上的某一点的切线，这条切线的法向量的方向是一定的：当曲线在极坐标系中不变，则切线的方向不变，可以简写为y=tanθ，其中θ是点在极坐标系中的极角。
某一点的切线可以近似地用一维泛函一次近似表示，这种近似的切线方程叫做一次切线方程，它的形式是y=f(x)+f(x)(x-x0)，其中x0是切点的x坐标，f(x)是函数f(x)在x0处的导数，它表示切线的斜率。
当曲线处于平面中时，可以用二次切线方程来表示曲线上某一点的切线，它的形式是y=f(x)+f(x)(x-x0)+f(x)[(x-x0)2-2yy0]，其中xx0是切点的x坐标，yy0是切点的y坐标，f(x)是函数f(x)在x0处的导数，f(x)是函数f(x)在x0处的二阶导数，它表示切线的曲率。
三维曲线的切线方程表达式则有些复杂，但原理和上述的切线方程表达式类似。
三维曲线的切线方程表达式是y=f(x)+f(x)(x-x0)+f(x)(y-y0)+f(x)[(x-x0)2+(y-y0)2-2zz0]，其中xx0是切点的x坐标，yy0是切点的y坐标，zz0是切点的z坐标，f(x)是函数f(x)在x0处的偏导，f(x)是函数f(x)在x0处的二阶偏导，f(x)是函数f(x)在x0处的三阶偏导，它表示切线的曲率半径。
通过以上分析，我们可以看出，切线方程表达式是描述曲线上某一点的切线的一种特殊的方程，它是用来描述切线的方向、斜率和曲率等特征的重要工具，在几何、物理、化学、生物学等学科中都有着广泛的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
导数的几何意义、曲线的切线方程：一、框架1.命题分析：本题型在高考解答题主要是在第(1)问中出现，也有可能在选择题或填空题中出现，若为解答题，主要考点为：(1)导数的几何意义;(2)直线与函数图象相切的条件。
2.几何意义：函数()x f 在0x 处的导数就是曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率，即斜率为()0'x f .3.物理意义：函数()s f t =在0t 处的导数就是曲线()s f t =在0t 时刻的速度.4.曲线)(x f y =上在点())(,00x f x 处的切线方程为))(()(00'0x x x f x f y -=-.5.切线方程的求解方程问题：第一步：判切点：求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程。
切点已知直接求，切点未知设切点；第二步：求斜率（导数）：通常若切点为())(,00x f x ，则在该点处曲线的斜率为()0'x f ；第三步：用公式：所对应的曲线)(x f y =上在点())(,00x f x 处的切线方程为))(()(00'0x x x f x f y -=-。
6.利用切线方程（或切线的性质）判断参数的值（或取值范围）第一步：求斜率（导数）：求出函数()x f y =在0=x x 处的导数()0'x f ，即函数()x f y =的图象在点())(,00x f x 处切线的斜率；第二步：列关系式：根据已知条件，列出关于参数的关系式； 第三步：求解即可得出结论。
7.注意点：求曲线的切线方程时先分清是“在点处”的切线方程还是“过点”的切线方程。
切点已知直接求，切点未知设切点。
二、方法诠释类型一：在某点的切线方程例1．求曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程。
解： y ′＝3x 2－2，∴k ＝y ′|x ＝1＝3－2＝1，∴切线方程为y ＝x －1. 类型二：过某点(某点不在曲线上)的切线方程例2．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程． 解：点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x 30)．由题意，所求直线方程的斜率k ＝x 30－0x 0－2＝y ′|x ＝x 0＝3x 20，即x 30x 0－2＝3x 20，解得x 0＝0或x 0＝3. 当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)， 即27x －y －54＝0. 综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0. 类型三：过某点(某点在曲线上)的切线方程,例如例3的第(2)问 例3．(1)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 在原点(0,0)处的切线方程。
(2)求过原点(0,0)且与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 相切的切线方程．解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，设切线的斜率为k ，k ＝f ′(0)＝2，f (0)＝0，所求的切线方程为y ＝2x . (2)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，f (0)＝0，所求的切线方程为y ＝2x .当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)(x 0≠0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，② 由①②得x 0＝32，k ＝y 0x 0＝－14. 所以所求曲线的切线方程为y ＝2x 或y ＝－14x . 三、巩固训练1.已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝02.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 等于( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－23.设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π2，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12C ．－2D ．24.已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1eC ．－eD ．e 5.已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．46．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于 ． 7.曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程是 ．8.已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是 ． 9.已知函数16)(3-+=x x x f ，（1）求曲线)(x f y =在点()62-，处的切线的方程； （2）直线l 为曲线)(x f y =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； （3）如果曲线)(x f y =的某一切线与直线341+-=x y 垂直，求切点坐标与切线的方程.10.已知函数()e cos xf x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.曲线的切线方程答案：1.∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B. 2.∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.故选D.3.A ∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，π2|1.x y ∴'＝＝－由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.4.D [设切点为(x 0，y 0)．由y ′＝e x ，得y ′|x ＝x 0＝e x 0，∴过切点的切线为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，即y ＝e x 0x ＋(1－x 0)e x 0，又y ＝kx 是切线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝e x 0，(1－x 0)e x 0＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，k ＝e.]5.答案 B 解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.6.答案12ln 2解析 y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2，∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)． ∴三角形面积S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2.7.答案 5x ＋y ＋2＝0 解析 因为y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.8.设x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (x )为偶函数，f (x )＝ln x －3x ，f ′(x )＝1x －3，f ′(1)＝－2，切线方程为y ＝－2x －1，即2x ＋y ＋1＝0.9.【解析】（1）∵3(2)22166f =+-=-，∴点()62-，在曲线上. ∵'3'2()(16)31f x x x x =+-=+，∴在点()62-，处的切线的斜率为'2(2)32113k f ==⨯+=. ∴切线的方程为613(2)y x +=-.即1332y x =-.（2）设切点为00(,)x y ，则直线l 的斜率为'200()31k f x x ==+， ∴直线l 的方程为：320000(16)(31)()y x x x x x -+-=+-.又∵直线l 过点(0,0)，∴3200000(16)(31)(0)x x x x -+-=+-，整理得308x =-，∴02x =-，∴026y =-，∴'20(2)3(2)113k f =-=-+=，∴直线l 的方程为13y x =，切点坐标为(2,26)--.（3）∵切线与直线341+-=x y 垂直，∴斜率4k =，∴设切点为00(,)x y ，则'200()314f x x =+=， ∴01x =±，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－18.即切点坐标为(1,14)-或(1,18)--.故切线方程为144(1)y x +=-或184(1)y x +=+.即418y x =-或414y x =- 10.（1）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1x f x x x '=--，(0)0f '=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（2）设()e (cos sin )1xh x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin xxh x x x x x x '=---=-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()(0)0h x h =，即()0f x '. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.。