第三章 一元函数的导数及其应用第四课时 导数与函数的零点
【2022高考数学一轮复习(步步高)】目录
第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.1集合§1.2 充分条件与必要条件§1.3 全称量词与存在量词§1.4 不等关系与不等式§1.5 一元二次不等式及其解法§1.6 基本不等式强化训练1不等式中的综合问题第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数的概念及其表示第1课时函数的概念及其表示第2课时函数的定义域与值域§2.2 函数的基本性质第1课时单调性与最大(小)值第2课时奇偶性、对称性与周期性第3课时函数性质的综合问题§2.3 幂函数与二次函数§2.4 指数与指数函数§2.5 对数与对数函数§2.6 函数的图象§2.7 函数与方程强化训练2函数与方程中的综合问题§2.8 函数模型及其应用第三章导数及其应用§3.1 导数的概念及运算§3.2 导数与函数的单调性§3.3 导数与函数的极值、最值强化训练3导数中的综合问题高考专题突破一高考中的导数综合问题第1课时利用导数研究恒(能)成立问题第2课时利用导函数研究函数的零点第3课时利用导数证明不等式第四章三角函数、解三角形§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式§4.3 简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时简单的三角恒等变换§4.4 三角函数的图象与性质§4.5 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用强化训练4三角函数中的综合问题§4.6 解三角形高考专题突破二高考中的解三角形问题第五章平面向量、复数§5.1 平面向量的概念及线性运算§5.2 平面向量基本定理及坐标表示§5.3 平面向量的数量积强化训练5平面向量中的综合问题§5.4 复数第六章数列§6.1 数列的概念与简单表示法§6.2 等差数列及其前n项和§6.3 等比数列及其前n项和强化训练6数列中的综合问题高考专题突破三高考中的数列问题第七章立体几何与空间向量§7.1空间几何体及其表面积、体积强化训练7空间几何体中的综合问题§7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系§7.3 直线、平面平行的判定与性质§7.4 直线、平面垂直的判定与性质强化训练8空间位置关系中的综合问题§7.5 空间向量及其应用高考专题突破四高考中的立体几何问题第八章解析几何§8.1直线的方程§8.2 两条直线的位置关系§8.3 圆的方程§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系强化训练9直线与圆中的综合问题§8.5 椭圆第1课时椭圆及其性质第2课时直线与椭圆§8.6 双曲线§8.7 抛物线强化训练10圆锥曲线中的综合问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第1课时范围与最值问题第2课时定点与定值问题第3课时证明与探索性问题第九章统计与统计案例§9.1 随机抽样、用样本估计总体§9.2 变量间的相关关系、统计案例强化训练11统计中的综合问题第十章计数原理、概率、随机变量及其分布§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理§10.2 排列、组合§10.3 二项式定理§10.4 随机事件的概率与古典概型§10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差§10.6 二项分布与正态分布高考专题突破六高考中的概率与统计问题。
2023年高考数学总复习第三章 导数及其应用第5节：利用导数研究函数的零点问题(教师版)
2023年高考数学总复习第三章导数及其应用利用导数研究函数的零点问题题型一判断、证明或讨论函数零点的个数例1已知函数f (x )＝13x 3－a (x 2＋x ＋1).(1)若a ＝3，求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )只有一个零点.(1)解当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2－3x －3，f ′(x )＝x 2－6x －3.令f ′(x )＝0，解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3.当x ∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(3－23，3＋23)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)单调递增，在(3－23，3＋23)单调递减.(2)证明由于x 2＋x ＋1>0，所以f (x )＝0等价于x 3x 2＋x ＋1－3a ＝0.设g (x )＝x 3x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x )＝x 2（x 2＋2x ＋3）（x 2＋x ＋1）2≥0，仅当x ＝0时g ′(x )＝0，所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增.故g (x )至多有一个零点，从而f (x )至多有一个零点.又f (3a －1)＝－6a 2＋2a －13＝－a －162－16<0，f (3a ＋1)＝13>0，故f (x )有一个零点.综上，f (x )只有一个零点.感悟提升利用导数研究方程根(函数零点)的一般方法(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.(2)根据题目要求，画出函数图像的走势规律，标明函数极(最)值的位置.(3)数形结合法分析问题，可以使问题的求解过程有一个清晰、直观的整体展现.训练1设函数f (x )＝ln x ＋m x ，m 为正数.试讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3零点的个数.解由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0).转化为函数y ＝m 与y ＝－13x 3＋x 的图像的交点情况.设φ(x )＝－13x 3＋x (x >0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减，∴x ＝1是φ(x )唯一的极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点，∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.结合y ＝φ(x )的图像(如图)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当实数m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点.题型二根据零点个数确定参数范围例2(2021·全国甲卷)已知a ＞0且a ≠1，函数f (x )＝x a ax (x ＞0).(1)当a ＝2时，求f (x )的单调区间；(2)若函数φ(x )＝f (x )－1有且仅有两个零点，求a 的取值范围.解(1)当a ＝2时，f (x )＝x 22x ，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x （2－x ln 2）2x(x ＞0)，令f ′(x )＞0，则0＜x ＜2ln 2，此时函数f (x )单调递增，令f ′(x )＜0，则x ＞2ln 2，此时函数f (x )单调递减，所以函数f (x )(2)函数φ(x )＝f (x )－1有且仅有两个零点，则转化为方程x a a x ＝1(x ＞0)有两个不同的解，即方程ln x x ＝ln a a 有两个不同的解.设g (x )＝ln x x (x ＞0)，则g ′(x )＝1－ln x x2(x >0)，令g ′(x )＝1－ln x x 2＝0，得x ＝e ，当0＜x ＜e 时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增，当x ＞e 时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减，故g (x )max ＝g (e)＝1e，且当x ＞e 时，g (x )g (1)＝0，所以0＜ln a a ＜1e，所以a ＞1且a ≠e ，故a 的取值范围为(1，e)∪(e ，＋∞).感悟提升在解决已知函数y ＝f (x )有几个零点求f (x )中参数t 的取值范围问题时，经常从f (x )中分离出参数t ＝g (x )，然后用求导的方法判断g (x )的单调性，再根据题意求出参数t 的值或取值范围.解题时要充分利用导数工具和数形结合思想.训练2已知函数f (x )＝ax －2ln x －a x(a ∈R ).(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数h (x )＝1－a 2x －f （x ）2恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.解(1)函数f(x)＝ax－2ln x－ax的定义域是(0，＋∞)，求导可得f′(x)＝a－2x＋ax2＝ax2－2x＋ax2.当a≤0时，f′(x)<0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减.当a≥1时，4(1－a2)≤0，此时f′(x)＝ax2－2x＋ax2≥0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.当0<a<1时，4(1－a2)>0，令f′(x)＝0，得x1＝1－1－a2a，x2＝1＋1－a2a，所以函数f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增；在(x1，x2)上单调递减.综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a≥1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当0<a<1时，函数f(x)(1－1－a2a，1＋1－a2a)上单调递减.(2)由题意得函数h(x)＝1－a2x－f（x）2＝1－a2x＋ln x(x>0)，则函数h(x)＝1－a2xf（x）2恰有两个不同的零点即方程1－a2x＋ln x＝0恰有两个不同的根.由1－a2x＋ln x＝0得a＝2（1＋ln x）x，所以直线y＝a与函数g(x)＝2（1＋ln x）x的图像有两个不同的交点.由g(x)＝2（1＋ln x）x，得g′(x)＝－2ln xx2，当0<x<1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝2.又e－2<1，g(e－2)＝2（1＋ln e－2）e－2＝－2e－2<0，x>1时，g(x)>0，所以实数a的取值范围为(0，2).题型三可化为函数零点的个数问题例3已知函数f(x)＝ln x(0<x≤1)与函数g(x)＝x2＋a的图像有两条公切线，求实数a的取值范围.解设公切线与函数f(x)＝ln x的图像切于点A(x1，ln x1)(0<x1≤1)，因为f(x)＝ln x，所以f′(x)＝1 x，所以在点A(x1，ln x1)处切线的斜率k1＝f′(x1)＝1 x1，所以切线方程为y－ln x1＝1x1(x－x1)，即y＝xx1＋ln x1－1，设公切线与函数g(x)＝x2＋a的图像切于点B(x2，x22＋a)，因为g(x)＝x2＋a，所以g′(x)＝2x，所以在点B(x2，x22＋a)处切线的斜率k2＝g′(x)＝2x2，所以切线方程为y－(x22＋a)＝2x2(x－x2)，即y＝2x2x－x22＋a，1x1＝2x2，ln x1－1＝－x22＋a.因为0<x1≤1，所以1x1＝2x2≥1，x2≥12.又a＝－ln2x2＋x22－1，令t＝x2∈12，＋∞，则h(t)＝－ln2t＋t2－1＝－ln2－ln t＋t2－1，所以h′(t)＝2t2－1 t.令h′(t)>0且t≥12，得t>22；令h ′(t )<0且t ≥1，得12≤t <22.所以h (t )在12，所以函数f (x )＝ln x (0<x ≤1)与函数g (x )＝x 2＋a 有两条公切线，满足h (t )≤ln2－12<h (t )≤－34，所以a ln 2－12，－34.感悟提升解决曲线的切线条数、两曲线的交点个数、方程根的个数等问题的关键是转化为对应函数的零点个数问题，利用数形结合思想，通过研究函数的零点个数解决相关问题.训练3已知函数f (x )＝1＋ln x x.(1)求函数f (x )的图像在x ＝1e 2处的切线方程(e 为自然对数的底数)；(2)当x >1时，方程f (x )＝a (x －1)＋1x(a >0)有唯一实数根，求a 的取值范围.解(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－ln x x 2，所以f 2e 4，又e 2，所以函数f (x )的图像在x ＝1e2处的切线方程为y ＋e 2＝2e 即y ＝2e 4x －3e 2.(2)当x >1时，f (x )＝a (x －1)＋1x，即ln x －a (x 2－x )＝0.令h (x )＝ln x －a (x 2－x )，有h (1)＝0，h ′(x )＝－2ax 2＋ax ＋1x.令r (x )＝－2ax 2＋ax ＋1(a >0)，则r (0)＝1，r (1)＝1－a ，①当a≥1时，r(1)≤0，r(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以x∈(1，＋∞)时，r(x)<0，即h′(x)<0，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递减，故当x>1时，h(x)<h(1)＝0，所以方程f(x)＝a(x－1)＋1x无实根.②当0<a<1时，r(1)＝1－a>0，r(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以存在x0∈(1，＋∞)，使得x∈(1，x0)时，r(x)>0，即h(x)单调递增；x∈(x0，＋∞)时，r(x)<0，即h(x)单调递减.所以h(x)max＝h(x0)>h(1)＝0.取x＝1＋1(x>2)，则1＋1a ln1＋1a a1＋1a＋a1＋1a ln1＋1a－1＋1a.令t＝1＋1a>0，故m(t)＝ln t－t(t>2)，则m′(t)＝1t－1<0，所以m(t)在(2，＋∞)单调递减，所以m(t)<ln2－2<0，即h 1＋1a故存在唯一x1x0，1＋1a，使得h(x1)＝0.综上，a的取值范围为(0，1).隐零点问题在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如，函数f(x)在区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫作隐零点；若x0容易求出，就叫作显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.例1设函数f(x)＝e x－ax－2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值.解(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝e x－a.当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)单调增区间为(－∞，＋∞)，无单调减区间.当a>0时，令f′(x)<0，得x<ln a，令f′(x)>0，得x>ln a，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞). (2)由题设可得(x－k)(e x－1)＋x＋1>0，即k<x＋x＋1e x－1(x>0)恒成立，令g(x)＝x＋1e x－1＋x(x>0)，得g′(x)＝e x－1－（x＋1）e x（e x－1）2＋1＝e x（e x－x－2）（e x－1）2(x>0).由(1)的结论可知，函数h(x)＝e x－x－2(x>0)是增函数.又因为h(1)<0，h(2)>0，所以函数h(x)的唯一零点α∈(1，2)(该零点就是h(x)的隐零点).当x∈(0，α)时，g′(x)<0；当x∈(α，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)min＝g(α)＝α＋1eα－1＋α.又h(α)＝eα－α－2＝0，所以eα＝α＋2且α∈(1，2)，则g(x)min＝g(α)＝1＋α∈(2，3)，所以k的最大值为2.例2已知函数f(x)＝(x－1)e x－ax的图像在x＝0处的切线方程是x＋y＋b＝0.(1)求a，b的值；(2)求证函数f(x)有唯一的极值点x0，且f(x0)>－32.(1)解因为f′(x)＝x e x－a，由f′(0)＝－1得a＝1，又f(0)＝－1，所以切线方程为y－(－1)＝－1(x－0)，即x＋y＋1＝0，所以b＝1.(2)证明令g(x)＝f′(x)＝x e x－1，则g′(x)＝(x＋1)e x，所以当x<－1时，g(x)单调递减，且此时g(x)<0，则g(x)在(－∞，－1)内无零点；当x≥－1时，g(x)单调递增，且g(－1)<0，g(1)＝e－1>0，所以g(x)＝0有唯一解x0，f(x)有唯一的极值点x0.由x0e x0＝1⇒e x0＝1 x0，f(x0)＝x0－1x0－x0＝1x又＝e2－1<0，g(1)＝e－1>0⇒12<x0<1⇒2<1x0＋x0<52，所以f(x0)>－3 2 .1.已知函数f(x)＝e x＋(a－e)x－ax2.(1)当a＝0时，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在区间(0，1)内存在零点，求实数a的取值范围.解(1)当a＝0时，f(x)＝e x－e x，则f′(x)＝e x－e，f′(1)＝0，当x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，且极小值为f(1)＝0，无极大值.(2)由题意得f′(x)＝e x－2ax＋a－e，设g(x)＝e x－2ax＋a－e，则g′(x)＝e x－2a.若a＝0，则f(x)的最大值f(1)＝0，故由(1)得f(x)在区间(0，1)内没有零点.若a<0，则g′(x)＝e x－2a>0，故函数g(x)在区间(0，1)内单调递增.又g(0)＝1＋a－e<0，g(1)＝－a>0，所以存在x0∈(0，1)，使g(x0)＝0.故当x∈(0，x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(x0，1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.因为f(0)＝1，f(1)＝0，所以当a<0时，f(x)在区间(0，1)内存在零点.若a>0，由(1)得当x∈(0，1)时，e x>e x.则f(x)＝e x＋(a－e)x－ax2>e x＋(a－e)x－ax2＝a(x－x2)>0，此时函数f(x)在区间(0，1)内没有零点.综上，实数a的取值范围为(－∞，0).2.设函数f(x)＝12x2－m ln x，g(x)＝x2－(m＋1)x，m>0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m≥1时，讨论f(x)与g(x)图像的交点个数.解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝（x＋m）（x－m）x.当0<x<m时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>m时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增.综上，函数f(x)的单调递增区间是(m，＋∞)，单调递减区间是(0，m).(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－12x2＋(m＋1)x－m ln x，x>0，题中问题等价于求函数F(x)的零点个数.F′(x)＝－（x－1）（x－m）x，当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)为减函数，因为F(1)＝32>0，F(4)＝－ln4<0，所以F(x)有唯一零点；当m>1时，0<x<1或x>m时，F′(x)<0；1<x<m时，F′(x)>0，所以函数F(x)在(0，1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单调递增，因为F(1)＝m＋12>0，F(2m＋2)＝－m ln(2m＋2)<0，所以F(x)有唯一零点.综上，函数F(x)有唯一零点，即函数f(x)与g(x)的图像总有一个交点.3.已知函数f(x)＝(x－1)e x－ax2＋b＋12.(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)当a＝12时，f(x)的图像与直线y＝bx有3个交点，求b的取值范围.解(1)当a＝1时，f(x)＝(x－1)e x－x2＋b＋12(x∈R)，则f′(x)＝e x＋(x－1)e x－2x＝x(e x－2).令f′(x)>0，解得x<0或x>ln2；令f′(x)<0，解得0<x<ln2，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(ln2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln2).(2)因为a＝12，所以f(x)＝(x－1)e x－12x2＋b＋12.由(x－1)e x－12x2＋b＋12＝bx，得(x－1)e x－12(x2－1)＝b(x－1).当x＝1时，方程成立.当x≠1时，只需要方程e x－12(x＋1)＝b有2个实根.令g(x)＝e x－12(x＋1)，则g′(x)＝e x－12.当x <ln 12时，g ′(x )<0，当x >ln 12且x ≠1时，g ′(x )>0，所以g (x )∞，ln 12，(1，＋∞)上单调递增，因为＝12－12＋＝12ln 2，g (1)＝e －1≠0，所以b 2，e －(e －1，＋∞).4.已知函数f (x )＝ax cos x －1在0，π6上的最大值为3π6－1.(1)求a 的值；(2)证明：函数f (x )2个零点.(1)解f ′(x )＝a (cos x －x sin x )，因为x ∈0，π6，所以cos x >sin x ≥0，又1>x ≥0，所以1·cos x >x sin x ，即cos x －x sin x >0.当a >0时，f ′(x )>0，所以f (x )在区间0，π6上单调递增，所以f (x )max ＝a ·π6×32－1＝3π6－1，解得a ＝2.当a <0时，f ′(x )<0，所以f (x )在区间0，π6上单调递减，所以f (x )max ＝f (0)＝－1，不符合题意，当a ＝0时，f (x )＝－1，不符合题意.综上，a ＝2.(2)证明设g (x )＝cos x －x sin x ，则g ′(x )＝－2sin x －x cos x x所以g (x )又g (0)＝1>0，＝－π2<0，所以存在唯一的x0g(x0)＝0，当0<x<x0时，g(x)>0，即f′(x)＝2g(x)>0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增；当x0<x<π2时，g(x)<0，即f′(x)＝2g(x)<0，所以f(x)0又f(0)＝－1<0，＝2π4－1>0，1<0，所以f(x)综上，函数f(x).。
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第3章 一元函数的导数及其应用 3.1 导数的概念、意义及运算
3.1 导数的概念、意义及运算
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值就从f(x0)变化
到f(x0+Δx),这时,x的变化量为Δx,y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)设曲线与经过点 A(2,-2)的切线相切于点 P(x0,03 -402 +5x0-4).
∵f'(x0)=302 -8x0+5,
∴切线方程为 y-(-2)=(302 -8x0+5)(x-2),
又切线过点 P(x0,03 -402 +5x0-4),
∴03 -402 +5x0-2=(302 -8x0+5)(x0-2),
它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'= yu'·ux' .
1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是
周期函数.
1 ' 1
2.熟记以下结论:(1)
=- 2 ;
1
(2)(ln|x|)'=;
1 '
'()
(3) () =2(f(x)≠0);
[()]
于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点
的纵坐标.
3.已知切线方程(斜率)求参数的值(取值范围)的关键是能利用函数的导数
等于切线斜率列出方程.
对点训练2
(1)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的
2021版新高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4.2导数与函数零点课件新人教B版
令x+1=t,则ln t<t-1(t>1),
所以 2 1 1 ln 1，
aa
a
所以S(x)在 (ln 1 , 2) 上有且只有一个零点,
aa
综上,0<a<1.
【规律方法】 处理函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点问题的常用方法 (1)数形结合,即分别作出两函数的图象,观察交点情况; (2)将函数交点问题转化为方程f(x)=g(x)根的个数问题,通过构造函数y=f(x)g(x),利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况.
【解析】(1)a=1,f(x)=x2-x-ln x,则
f′(x)=2x-1- 1 (2x 1)(x 1) (x 0)，
x
x
当0<x<1时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,
当x>1时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增, 所以f(x) 在x=1处取最小值0.
(2)由 f(x)=ax2-x-ln x,
a
(2)由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2. 设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4. 由题意知1-k>0, 当x≤0时,g′(x)=3x2-6x+1-k>0, g(x)单调递增, g(-1)=k-1<0,g(0)=4, 所以g(x)=0在(-∞,0]有唯一实根. 当x>0时,令h(x)=x3-3x2+4,
2
(2)若直线l与曲线y=f(x)有两个不同的交点,求实数a的取值范围.
【解题导思】
序号
(1)曲线y=f(x)在直线l的上方
1 2
x2
自考高等数学一教材目录
自考高等数学一教材目录第一章实数与函数1.1 实数1.1.1 有理数1.1.2 无理数1.2 函数1.2.1 函数的概念1.2.2 函数的性质1.2.3 常用函数的性质第二章一元函数的极限理论2.1 极限的概念与性质2.1.1 无穷小与无穷大2.1.2 极限的存在性与唯一性2.1.3 极限的四则运算2.2 函数极限与极限的运算性质2.2.1 函数极限的定义2.2.2 极限的运算性质2.3 无穷小的比较与无穷大的比较2.3.1 无穷小的比较2.3.2 无穷大的比较第三章一元函数的连续性3.1 连续函数的概念与性质3.1.1 连续函数的定义3.1.2 连续函数的性质3.2 连续函数的运算与初等函数的连续性 3.2.1 连续函数的四则运算3.2.2 初等函数的连续性3.3 闭区间上连续函数的性质3.3.1 闭区间上连续函数的性质3.3.2 奇偶函数与周期函数的连续性第四章一元函数导数与微分4.1 导数的概念与性质4.1.1 导数的定义4.1.2 导数的性质4.1.3 导数的几何意义与物理意义4.2 导数的基本运算法则4.2.1 导数的基本运算法则4.2.2 高阶导数4.3 微分的概念与计算法则4.3.1 微分的定义4.3.2 微分的计算法则第五章高阶导数与隐函数及参数方程的导数 5.1 高阶导数5.1.1 高阶导数的定义5.1.2 高阶导数的计算方法5.2 隐函数及参数方程的导数5.2.1 隐函数的导数5.2.2 参数方程的导数第六章微分中值定理与泰勒公式6.1 罗尔中值定理及其应用6.1.1 罗尔中值定理的原理6.1.2 罗尔中值定理的应用6.2 拉格朗日中值定理及其应用 6.2.1 拉格朗日中值定理的原理 6.2.2 拉格朗日中值定理的应用 6.3 高阶导数的应用6.3.1 泰勒公式6.3.2 高阶导数的应用第七章不定积分与定积分7.1 不定积分的概念与性质7.1.1 不定积分的概念7.1.2 不定积分的性质7.2 不定积分的基本计算方法7.2.1 基本积分表7.2.2 第一换元法7.2.3 第二换元法7.3 牛顿-莱布尼兹公式7.3.1 牛顿-莱布尼兹公式7.3.2 无穷小技术7.4 定积分的概念与性质7.4.1 定积分的概念7.4.2 定积分的性质7.4.3 函数的定积分第八章定积分的计算法则与应用8.1 定积分的计算法则8.1.1 区间可加性8.1.2 线性性质8.1.3 线性变换与曲线坐标系下的定积分 8.2 反常积分8.2.1 第一类反常积分8.2.2 第二类反常积分8.3 定积分的几何应用8.3.1 平面图形的面积与弧长8.3.2 旋转体的体积与曲线的弧长第九章微分方程初步9.1 微分方程的基本概念9.1.1 微分方程的概念9.1.2 微分方程的阶与解的概念9.2 一阶微分方程9.2.1 可分离变量的微分方程9.2.2 一阶线性微分方程9.2.3 齐次线性微分方程9.2.4 Bernoulli微分方程9.3 高阶线性微分方程9.3.1 高阶线性微分方程的常系数齐次线性微分方程 9.3.2 常系数线性非齐次微分方程第十章空间解析几何初步10.1 三维空间的点、直线、平面10.1.1 点的概念与坐标10.1.2 直线的方程与相交关系10.1.3 平面的方程与夹角10.2 空间曲线与曲面10.2.1 空间曲线的参数方程与方程 10.2.2 空间曲面的方程10.2.3 空间曲线与曲面间的相交关系 10.3 空间向量与标量积10.3.1 空间向量的基本概念与运算 10.3.2 两向量的数量积10.3.3 向量的投影与夹角10.4 空间向量与矢量积10.4.1 两向量的向量积10.4.2 矢量积的几何意义及其应用。
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第3章 一元函数的导数及其应用 3.4 导数的综合应用
(1)解 由题设,知f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)= -1,
令f'(x)=0,解得x=1.
当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
(2)证明 由(1)知 f(x)在 x=1 处取得最大值,最大值为 f(1)=0.
则当 x≠1 时,ln x<x-1.
求实数λ的取值范围.
e
1
1
解 同例题过程,得 +x+>λ 在区间 2 ,6 上有解,
e
1
令 g(x)= +x+,则需 λ<g(x)max.
1
由例题解答过程可知,g(x)在区间 2 ,1 上单调递减,
1
1
5
e6 37
1
在区间[1,6]上单调递增,且 g 2 =2e2 + 2,g(6)= 6 + 6 >g 2
1
当
1
0,
1
0<x< ;令
f'(x)>0,得
上单调递减,在区间
1
x> ,
1
,+∞
上单调递增.
≤1,即 a≥1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增,故函数 f(x)在区间[1,2]上
的最小值为 f(1)=1;
1
当
≥2,即 0<a≤
1
时,函数
2
上的最小值为 f(2)=aln
f(x)在区间[1,2]上单调递减,故函数 f(x)在区间[1,2]
第三章 一元函数的导数及其应用-新高考高中数学双基复习
第三章一元函数的导数及其应用第一节导数的概念及其意义、导数的运算一、基本概念1导数的概念（一差二比三极限）（1）函数)(x f y =在0x x =处的平均变化率为x x f x x f ∆-∆+)()(00（2）函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率为x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000)(x f y =在0x x =处的导数）2、导函数2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝_______3、函数)(x f y =在0x x =处的导数的几何意义)(x f y =在0x x =处的导数的几何意义是)(x f y =在0x x =处切线的斜率。
说明：利用导数解决切线方程问题：总结切线问题：找切点求导数得斜率（1）曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 点处的切线方程。
利用导数的几何意义先求出)(0''x f y =，再利用点斜式写出切线方程))(()(00'0x x x f x f y -=-（2）曲线)(x f y =，C 过),(b a P 点处的切线方程。
设切点))(,(00x f x 利用导数的几何意义列出ax b x f x f y --==000'')()(，求出切点横坐标。
计算)(0''x f y =，再用点斜式写出切线方程))(()(00'0x x x f x f y -=-或))((0'a x x f b y -=-（3）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数．（4）函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．【例】1、已知曲线C:3x y =上一点)1,1(P （1）求曲线C 在点)1,1(P 处的切线方程（2）求曲线C 过点)1,1(P 处的切线方程2、若点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小距离为__________。
第三章 导数及其应用3-4定积分与微积分基本定理(理)
＝
2 3 1 x ＋ x249 3 2 2
2 3 2 3 1 2 1 1 2 ＝ ×9 － ×4 ＋ ×9 － ×4 ＝45 . 3 2 3 2 2 2 6 1＋cosx (4) cos dx＝ dx 2 2
π 0
2x
π 0
1 0
1 1 3 1 －3 2 (2) x ＋x4dx＝ 3x －3x 1
2 1
2
8 1 1 1 21 ＝ － － ＋ ＝ . 3 3 3×8 3 8
(3)
9 4
1 x(1＋ x)dx＝ (x ＋x)dx 2
b a b a
n －1 i ＝0
分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积 式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积．
对定义的几点说明：
(1)定积分bf(x)dx是一个常数． a
(2)用定义求定积分的一般方法是： ①分割区间：将区间分为n个小区间，实际应用 中常常是n等分区间[a，b]； ②近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
1，xi]上任取一点ζi(i＝1,2，…，n)，作和
式
n f(ζi)Δx，记λ为每个小区间Δxi＝xi＋1－xi i＝ 1
(i＝0,1,2，…，n－1)中的长度最大者，当λ 趋近于0时，所有小区间的长度都趋近于0.
当λ→0时，此和式如果无限接近某个常数，这个 常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作 f(x)dx. 即 f(x)dx＝ lim f (ξi)Δxi，这里a与b分别叫做积 λ→0
在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之 1 与曲线以及x轴所围成的面积为 .则 12 (1)切点A的坐标为________． (2)过切点A的切线方程为________．
第三章 一元函数的导数及其应用(选择性必修第二册)检测(一) 导数的概念及意义、导数的运算
A. B.-
C.-eD.e
6.下列曲线中,在x=1处切线的倾斜角为 的是( )
A.y=x2- B.y=xln x
C.y=x2-1D.y=x3-2x2
7.(多选题)下列结论中正确的是( )
A.若y=cos ,则y′= sin
B.若y=sin x2,则y′=2xcos x2
第三章 一元函数的导数及其应用(选择性必修第二册)
检测(一) 导数的概念及意义、导数的运算
1.已知f(x)=3x2,则f′(-1)等于( )
A.-3B.-6
C.3D.6
2.下列求导结果正确的是( )
A.(cos )′=-sin
B.(3x)′=x·3x-1
C.(log2x)′=
D.g(x)=xln x,g′(x)=ln x+
10.若曲线f(x)=ax2+ln x存在平行于x轴的切线,则实数a的取值范围是.
补偿训练
1.已知函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),则 f′(0)=.
2.若曲线y=ln(3x-8)与曲线y=x2-3x在公共点处有相同的切 x2+2xf′(2 021)+2 021ln x-2,则f′(2 021)等于( )
A.2 022B.2 021
C.2 020D.2 019
4.设函数f(x)=x·ln x,则曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为( )
A.y=-x-1B.y=x+1
C.y=-x+1D.y=x-1
C.若y=ln(5x),则y′=
D.若y=e2x,则y′=e2x
8.(多选题)直线y=2x+m能作为下列函数图象的切线的有( )
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第3章 §3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第三章 一元函数的导数及其应用§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数 (形如f(ax＋b))的导数.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.导数的概念f′(x0)y′| (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作或 .0x x＝(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))斜率y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)处的切线的，相应的切线方程为 .3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝__f (x )＝x α(α∈R ，且α≠0)f ′(x )＝______f (x )＝sin xf ′(x )＝_____f (x )＝cos xf ′(x )＝______f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝______f (x )＝e x f ′(x )＝___0αx α－1cos x －sin x a x ln a e x知识梳理f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)f′(x)＝_____ f(x)＝ln x f′(x)＝___4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[f (x )±g (x )]′＝ ；[f (x )g (x )]′＝ ；[cf (x )]′＝ .f ′(x )±g ′(x )f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )cf ′(x )5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y u′·u x′y x′＝，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.常用结论1.区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )(3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( )(4)(cos 2x ) ′＝－2sin 2x .( )×××√1.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则√因为函数f(x)＝3x＋sin 2x，所以f′(x)＝3x ln 3＋2cos 2x.y＝(e－1)x＋2又∵f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.3.已知函数f(x)＝x ln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝ .由题意得f′(x)＝1＋ln x＋2ax，第二部分√√√对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；对于D，(2x＋cos x)′＝(2x)′＋(cos x)′＝2x ln 2－sin x，故D正确.(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于√A.1B.－9C.－6D.4因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.√√√f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A 正确；f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；f(x)＝x ln x，f′(x)＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1，故D正确.命题点1 求切线方程例2 (1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2ln x＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为√A.4e x－y＋e2＝0B.4e x－y－e2＝0C.4e x＋y＋e2＝0D.4e x＋y－e2＝0所以f(e)＝2e2ln e＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，即4e x－y－e2＝0.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为_______，_________.先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·重庆模拟)已知a为非零实数，直线y＝x＋1与曲线y＝ea ln(x＋1)相切，则a＝_____.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)e x有两条过坐标原点的切线，(－∞，－4)∪(0，＋∞)则a的取值范围是 .因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为A (x 0，(x 0＋a ) )，O 为坐标原点，0e x 0e x 0x x ＝000()ex x a x 因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.跟踪训练2 (1)曲线f(x)＝在(0，f(0))处的切线方程为√A.y＝3x－2B.y＝3x＋2C.y＝－3x－2D.y＝－3x＋2所以f′(0)＝3，f(0)＝－2，所以曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－(－2)＝3(x－0)，即y＝3x－2.√例4 (1)若直线l：y＝kx＋b(k>1)为曲线f(x)＝e x－1与曲线g(x)＝eln x的公切线，则l的纵截距b等于A.0B.1√C.eD.－e设l 与f (x )的切点为(x 1，y 1)，则由f ′(x )＝e x －1，得l ：y ＝ ＋(1－x 1) .同理，设l 与g (x )的切点为(x 2，y 2)，11e x x －11e x －11e x －11e x －因为k >1，所以l ：y ＝x 不成立，故b ＝－e.(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a 的取值范围是√设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为(x1，ln x1－1)，(x2，ax)，其中x1>0，令g (x )＝2x 2－x 2ln x ，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )，令g ′(x )＝0，得x ＝ ，32e 当x ∈(0， )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；32e当x ∈(，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，32e 32e思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解.跟踪训练3 (1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x －4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于A.－3 B.1√C.3D.5依题意，设曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同.∵f(x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.(2)已知f(x)＝e x－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有A.0条B.1条√C.2条D.3条根据题意，设直线l与f(x)＝e x－1相切于点(m，e m－1) ，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)(n>0)，对于f(x)＝e x－1，f′(x)＝e x，则k1＝e m，则直线l的方程为y＋1－e m＝e m(x－m) ，即y＝e m x＋e m(1－m)－1，可得(1－m)(e m－1)＝0，即m＝0或m＝1，则切线方程为y＝e x－1 或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有两条.第三部分1.(2023·广州模拟)曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为√A.y＝3x＋3B.y＝3x＋1C.y＝－3x－1D.y＝－3x－3因为f′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3，又当x＝－1时，a＝(－1)3＋1＝0，所以y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为y＝3(x＋1)，即y＝3x＋3.2.记函数f(x)的导函数为f′(x).若f(x)＝e x sin 2x，则f′(0)等于√A.2B.1C.0D.－1因为f(x)＝e x sin 2x，则f′(x)＝e x(sin 2x＋2cos 2x)，所以f′(0)＝e0(sin 0＋2cos 0)＝2.3.(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝＋2，那么f(1)＋f′(1)等于√A.1B.2C.3D.44.已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为√A.－2B.2C.－eD.e设切点坐标为(t，t ln t)，∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，∴直线l的方程为y－t ln t＝(ln t＋1)(x－t)，将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－t ln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，∴直线l的斜率为f′(e)＝2.。
人教版高中数学目录(详细)
§1数列的概念和表示
必 修
第二 章
数列
§2等差数列 §3等差数列前n项和
§4等比数列
12
五
§5等比数列前n项和
§1不等关系与不等式
§2一元二次不等式
第三 章
不等式
及其解法 §3一元二次不等式 （组）与简单线性规
划
一元二次不等式（组）与平面区域 简单的线性规划问题
16
§4基本不等式
命题
§1命题及其关系
向量加法运算及其几何意义 向量减法运算及其几何意义
第二 章
平面向量
12
必
修
§2平面向量的线性运
四
算
向量数乘运算及其几何意义
第二 章
平面向量
§3平面向量的基本定 理
及坐标表示
平面向量基本定理 平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的坐标运算
12
平面向量共线坐标表示
§4平面向量的数量积
平面向量数量积的物理背景及意义 平面向量数量积的坐标表示、模、夹
§3离散型随机变量
离散型随机变量的均值
的均值与方差
离散型随机变量的方差
§4正态分布 §1回归分析的基本思
第三 章
统计案例
想 §2独及立其性初检步验应的用基本
思想及其初步应用
§1合情推理与演绎推
合情推理
第二 章
理
推理与证明 §2直接证明与间接证 明
演绎推理 综合法与分析法
反证法
§3数学归纳法
§1数系的扩充和
数系的扩充和复数的概念
第三 章
数系的扩充 与复数的引入
复数的概念
§2复数代数形式的 四则运算
复数的几何意义 复数代数形式的加减运算及其几何意
人教版高中数学目录(详细)
§2导数的计算 §3导数在研究函数中 的应用 第一章 导数及其应用 §4生活中的优化问题 举例 §5定积分的概念 §6微积分基本定理
选 修 2-2
曲边梯形的面积 汽车行驶的路程 定积分的概念 定积分在几何中的应用
§7定积分的简单应用 §1合情推理与演绎推理 第二章 推理与证明 §2直接证明与间接证明
12
16
8
第一章
三角函数
§4三角函数的图像 与性质 §5函数的图像 y=Asin（ ） §6三角函数模型的 简单应用
16
必 修 四
第二章
平面向量
向量的物理背景与概念 向量的几何表示 相等向量与共线向量 向量加法运算及其几何意义 §2平面向量的线性运算 向量减法运算及其几何意义 向量数乘运算及其几何意义 平面向量基本定理 §3平面向量的基本定理 平面向量的正交分解及坐标表示 及坐标表示 平面向量的坐标运算 平面向量共线坐标表示 平面向量数量积的物理背景及意义 §4平面向量的数量积 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 平面几何中的向量方法 §5平面向量的应用举例 向量在物理中的应用举例 §1平面向量的实际 背景及基本概念 §1两角和与差的正弦 、余弦和正切公式 §2简单三角恒等变换 §1正弦定理和余弦定理 两角差的余弦公式 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式 正弦定理 余弦定理
16
第一章
常用逻辑 用语
§3简单的逻辑联结词
§4全称量词与存在量词 选 修 2-1 第二章 §1曲线与方程 圆锥曲线 与方程 §2椭圆 §3双曲线 §4抛物线
第三章
空间向量与 立体几何
§1空间向量及其运算
§2立体几何中的 向量方法 §1变化率与导数 变化率问题 导数的概念 导数的几何意义 几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及 导数的运算法则 函数的单调性与导数 函数的极值与导数 函数的最大（小）值与导数
第三章一元函数的导数及其应用
2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率 k，即 k＝f_′__(_x0_)___．
3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数
f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
答案：C 解析：由题意可知 y′＝2cos x－sin x，则 y′|x＝π＝－2.所以曲线 y ＝2sin x＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为 y＋1＝－2(x－π)，即 2x ＋y＋1－2π＝0，故选 C.
6．[2019·全国Ⅰ卷]曲线 y＝3(x2＋x)ex 在点(0,0)处的切线方程为 ________．
5．复合函数的导数 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系 为 y′x＝_y_′__u·_u_′__x，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导 数的乘积．
【教材提炼】
一、教材改编 1．[选修二·P18 A 组 T5]已知函数 f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则 f′(1)＝ () A．e B．1 C．－1 D．－e
x′＝cos
x′ex－cos ex2
xex′＝－sin
x＋cos ex
x .
3．f(x)＝x(2 019＋ln x)，若 f′(x0)＝2 020，则 x0＝________.
答案：1 解析：f′(x)＝2 019＋ln x＋x·1x＝2 020＋ln x，由 f′(x0)＝2 020， 得 2 020＋ln x0＝2 020，∴x0＝1.
4．[2020·山东省实验中学第一次诊断性考试]设 f(x)＝aex＋bln x， 且 f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，则 a＋b＝________.
北师大版高中数学必修一目录
必修（第一册）（共计72 课时）第一章集合与常用逻辑用语（10课时）1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3 集合的基本运算阅读与思考集合中元素的个数1.4 充分条件与必要条件阅读与思考几何命题与充分条件、必要条件1.5 全称量词与存在量词第二章一元二次函数、方程和不等式（8课时）2.1 等式性质与不等式性质2.2 基本不等式2.3 二次函数与一元二次方程，不等式第三章函数的概念与性质（12课时）3.1 函数的概念及其表示阅读与思考函数概念的发展历程3.2 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象3.3 幂函数探究与发现探究函数的图象与性质3.4 函数的应用（一）文献阅读与数学写作* 函数的形成与发展第四章指数函数与对数函数（16课时）4.1 指数4.2 指数函数阅读与思考放射性物质的衰减信息技术应用探究指数函数的性质4.3 对数阅读与思考对数的发明4.4 对数函数探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系4.5 函数的应用（二）阅读与思考中外历史上的方程求解文献阅读与数学写作* 对数概念的形成与发展数学建模（3课时）建立函数模型解决实际问题第五章三角函数（23课时）5.1 任意角和弧度制5.2 三角函数的概念阅读与思考三角学与天文学5.3 诱导公式5.4 三角函数的图象与性质探究与发现函数及函数的周期探究与发现利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质5.5 三角恒等变换信息技术应用利用信息技术制作三角函数表5.6 函数5.7 三角函数的应用阅读与思考振幅、周期、频率、相位必修（第二册）（共计69 课时）第六章平面向量及其应用（18课时）6.1 平面向量的概念6.2 平面向量的运算阅读与思考向量及向量符号的由来6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.4 平面向量的应用阅读与思考海伦和秦九韶数学探究（2课时）用向量法研究三角形的性质第七章复数（8课时）7.1 复数的概念7.2 复数的四则运算阅读与思考代数基本定理7.3*复数的三角表示探究与发现的次方根第八章立体几何初步（19课时）8.1 基本立体图形8.2 立体图形的直观图阅读与思考画法几何与蒙日8.3 简单几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、锥体的体积8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系8.5 空间直线、平面的平行8.6 空间直线、平面的垂直阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法文献阅读与数学写作*几何学的发展第九章统计（13课时）9.1 随机抽样阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应信息技术应用统计软件的应用9.2 用样本估计总体阅读与思考统计学在军事中的应用——二战时德国坦克总量的估计问题阅读与思考大数据9.3 案例统计公司员工的肥胖情况调查分析第十章概率（9课时）10.1 随机事件与概率10.2 事件的相互独立性10.3 频率与概率阅读与思考孟德尔遗传规律选择性必修（第一册）（共计43 课时）第一章空间向量与立体几何（15课时）1.1 空间向量及其运算1.2 空间向量基本定理1.3 空间向量及其运算的坐标表示阅读与思考向量概念的推广与应用1.4 空间向量的应用第二章直线和圆的方程（16课时）2.1 直线的倾斜角与斜率2.2 直线的方程探究与发现方向向量与直线的参数方程2.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何2.4 圆的方程阅读与思考坐标法与数学机械化2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系第三章圆锥曲线的方程（12课时）3.1 椭圆信息技术应用用信息技术探究点的轨迹：椭圆3.2 双曲线探究与发现为什么是双曲线的渐近线3.3 抛物线探究与发现为什么二次函数的图象是抛物线阅读与思考圆锥曲线的关学性质及其应用文献阅读与数学写作* 解析几何的形成与发展选择性必修（第二册）（共计30 课时）第四章数列（14课时）4.1 数列的概念阅读与思考斐波那契数列4.2 等差数列4.3 等比数列阅读与思考中国古代数学家求数列和的方法4.4*数学归纳法第五章一元函数的导数及其应用（16课时）5.1 导数的概念及其意义5.2 导数的运算探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解5.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质文献阅读与数学写作* 微积分的创立与发展选择性必修（第三册）（共计35 课时）第六章计数原理（11课时）6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少6.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质6.3 二项式定理数学探究（2课时）杨辉三角的性质与应用第七章随机变量及其分布（10课时）7.1 条件概率与全概率公式阅读与思考贝叶斯公式与人工智能7.2 离散型随机变量及其分布列7.3 离散型随机变量的数字特征7.4 二项分布与超几何分布探究与发现二项分布的性质7.5 正态分布信息技术应用概率分布图及概率计算第八章成对数据的统计分析（9课时）8.1 成对数据的统计相关性8.2 一元线性回归模型及其应用阅读与思考回归与相关8.3 列联表与独立性检验数学建模（3课时）建立统计模型进行预测。
导数及其应用讲导数与函数的零点
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目 录
• 导数概念 • 导数与函数零点 • 导数在几何中的应用 • 导数在物理中的应用 • 导数的实际应用
01
导数概念
导数的定义
函数在某一点的导数
函数f在x=x0点的导数是指当h趋近 于0时，f(x0+h)与f(x0)之差与h的商 的极限。
导数的几何意义
第一步，求函数的导数；第二步，根据导数判断函数的单调性；第三步，求出函数与x轴的交点，即 函数的零点。
函数零点存在性定理
定理内容
如果函数在区间[a,b]上连续，且在(a,b)上有导数，那么函数在(a,b)上至少有一个 零点。
定理证明
利用中值定理，当f'(x)在区间[a,b]上连续且在(a,b)上有导数时，存在ξ∈(a,b)， 使得f'(ξ)=0，从而证明了定理。
通过求出函数的一阶导数并令其等于零，可以找到函数的极值点，从而找到函数的最大值或最小值。
05
导数的实际应用
最大利润问题
总结词
导数可以用于求解最大利润问题。
详细描述
在经济学和商业决策中，最大利润是一个重 要的目标。通过使用导数，可以找到函数的 最小值点，从而确定获得最大利润的最佳决 策。例如，一个公司可以通过研究成本函数 和收益函数的导数来找到最大利润的生产水 平。
极值
导数小于0的区间，函数值单调递减；导 数大于0的区间，函数值单调递增。极值 点是导数为0的点。
VS
最值
在一定区间内，函数值有最大值和最小值 。最值点可能是区间的端点或是极值点。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
利用导数判断曲线的凹凸性。当函数在某区间的导数大于0时，该区间内曲线是凹的；当函数在某区间的导数小 于0时，该区间内曲线是凸的。
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考点聚焦突破
【训练 2】 已知函数 f(x)＝x12＋aln x(a∈R). (1)求f(x)的单调递减区间; (2)已知函数f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围. 解 (1)由题意可得，f′(x)＝－x23＋ax＝ax2x－3 2(x>0)， 当a≤0时,f′(x)<0,函数f(x)在(0,＋∞)上单调递减,
且 f
2a＝a2＋a2ln 2a<0，
化为 ln 2a<－1，解得 a>2e.
所以实数a的取值范围是(2e,＋∞).
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@《创新设计》 考点聚焦突破
考点三 函数零点的综合问题 【例3】 设函数f(x)＝e2x－aln x.
(1)讨论 f(x)的导函数 f′(x)零点的个数； (2)证明：当 a>0 时，f(x)≥2a＋aln 2a. (1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－ax(x>0). 当a≤0时,f′(x)>0,f′(x)没有零点; 当 a>0 时，因为 y＝e2x 单调递增，y＝－ax单调递增，
所以f′(x)在(0,＋∞)上单调递增.
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@《创新设计》 考点聚焦突破
又
f′(a)>0，当
b
满足
0<b<a4，且
1 b<2ln
2
时，f′(b)<0，
故当a>0时,f′(x)存在唯一零点.
(2)证明 由(1),可设f′(x)在(0,＋∞)上的唯一零点为x0,
当x∈(0,x0)时,f′(x)<0;当x∈(x0,＋∞)时,f′(x)>0.
1
@《创新设计》 考点聚焦突破
可得x∈(0,1)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增; x∈(1,＋∞)时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减. ∴当x＝1时,函数g(x)取得极大值也是最大值, ∴g(x)≤g(1)＝0,即ln x≤x－1. (2)f′(x)＝1x－2x＋a＝－2x2＋x ax＋1，x>0. 令－2x20＋ax0＋1＝0，解得 x0＝a＋ 4a2＋8(负值舍去)， 在(0,x0)上,f′(x)>0,函数f(x)单调递增; 在(x0,＋∞)上,f′(x)<0,函数f(x)单调递减. ∴f(x)max＝f(x0).
@《创新设计》
当 x∈(－∞，3－2 3)∪(3＋2 3，＋∞)时，f′(x)>0；
当 x∈(3－2 3，3＋2 3)时，f′(x)<0.
故 f(x)在(－∞，3－2 3)，(3＋2 3，＋∞)单调递增，在(3－2 3，3＋2 3) 单调递减.
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考点聚焦突破
(2)证明 由于 x2＋x＋1>0，所以 f(x)＝0 等价于x2＋xx3＋1－3a＝0.
@《创新设计》
设 g(x)＝x2＋xx3＋1－3a，则 g′(x)＝x2（（xx22＋＋x2＋x＋1）3）2 ≥0，仅当 x＝0 时 g′(x)＝0，
所以 g(x)在(－∞，＋∞)单调递增.
故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点. 又 f(3a－1)＝－6a2＋2a－13＝－6a－162－16<0， f(3a＋1)＝13>0，故 f(x)有一个零点. 综上,f(x)只有一个零点.
故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,＋∞)上单调递增,
所以当x＝x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0). 由于 2e2x0－xa0＝0，
所以 f(x0)＝2ax0＋2ax0＋aln
2a≥2a＋aln
2 a.
故当 a>0 时，f(x)≥2a＋aln 2a.
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@《创新设计》 考点聚焦突破
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考点聚焦突破
考点二 根据零点个数求参数的值(范围) 【例2】 函数f(x)＝ax＋xln x在x＝1处取得极值.
(1)求f(x)的单调区间; (2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点,求实数m的取值范围. 解 (1)函数f(x)＝ax＋xln x的定义域为(0,＋∞). f′(x)＝a＋ln x＋1, 因为f′(1)＝a＋1＝0,解得a＝－1, 当a＝－1时,f(x)＝－x＋xln x, f′(x)＝ln x,令f′(x)>0,解得x>1; 令f′(x)<0,解得0<x<1.
ax＋ 当 a>0 时，f′(x)＝
2ax－ x3
2
a，
由 f′(x)≤0，解得 0<x≤ 2a，
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@《创新设计》 考点聚焦突破
∴此时函数 f(x)的单调递减区间为0，
a2a.
综上可得:a≤0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,＋∞),
a>0 时，函数 f(x)的单调递减区间为0，
2a
a
.
(2)由(1)可得若函数f(x)有两个不同的零点,则必须满足a>0,
2 a.
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考点聚焦突破
@《创新设计》
【训练3】 (2019·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2sin x－xcos x－x,f′(x)为f(x)的导数. (1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点; (2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围. (1)证明 设g(x)＝f′(x),则g(x)＝cos x＋xsin x－1, g′(x)＝xcos x. 当 x∈0，π2时，g′(x)>0； 当 x∈π2，π时，g′(x)<0， 所以 g(x)在0，π2上单调递增，在π2，π上单调递减.
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@《创新设计》 考点聚焦突破
当a＝1时,x0＝1,f(x)max＝f(1)＝0,此时函数f(x)只有一个零点x＝1. 当a>1时,f(1)＝a－1>0, f21a＝ln 21a－41a2＋12<21a－1－41a2＋12
＝－21a－122－14<0， f(2a)＝ln 2a－2a2<2a－1－2a2＝－2a－122－12<0. ∴函数 f(x)在区间21a，1和区间(1，2a)上各有一个零点. 综上可得:当a＝1时,函数f(x)只有一个零点x＝1; 当a>1时,函数f(x)有两个零点.
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考点聚焦突破
【训练 1】 (2018·全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)＝13x3－a(x2＋x＋1). (1)若a＝3,求f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点.
(1)解 当 a＝3 时，f(x)＝13x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3. 令 f′(x)＝0，解得 x＝3－2 3或 x＝3＋2 3.
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@《创新设计》 考点聚焦突破
本节内容结束
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@《创新设计》
规律方法 1.在(1)中，当 a>0 时，f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，从而 f′(x)在(0，
＋∞)上至多有一个零点，问题的关键是找到 b，使 f′(b)<0.
2.由(1)知，函数 f′(x)存在唯一零点 x0，则 f(x0)为函数的最小值，从而把问题转
化为证明 f(x0)≥2a＋aln
3
@《创新设计》 考点聚焦突破
@《创新设计》
规律方法 1.利用导数求函数的零点常用方法: (1)构造函数g(x)(其中g′(x)易求,且g′(x)＝0可解),利用导数研究g(x)的性质,结合 g(x)的图象,判断函数零点的个数. (2)利用零点存在定理,先判断函数在某区间有零点,再结合图象与性质确定函数 有多少个零点. 2.根据参数确定函数零点的个数,解题的基本思想是“数形结合”,即通过研究函 数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等),作出函数的大致图象,然后通过 函数图象得出其与x轴交点的个数,或者两个相关函数图象交点的个数,基本步骤 是“先数后形”.
第四课时 导数与函数的零点
考点一 判断零点的个数 【例1】 (2020·潍坊检测)已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax,a∈R.
(1)证明ln x≤x－1; (2)若a≥1,讨论函数f(x)的零点个数. (1)证明 令g(x)＝ln x－x＋1(x>0),则g(1)＝0, g′(x)＝1x－1＝1－x x，
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考点聚焦突破
当0<x<e时,f(x)＝x(－1＋ln x)<0;当x>e时,f(x)>0. 当x>0且x→0时,f(x)→0; 当x→＋∞时,显然f(x)→＋∞. 由图象可知,－1<m＋1<0, 即－2<m<－1. 所以m的取值范围是(－2,－1).
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@《创新设计》 考点聚焦突破
@《创新设计》16 Nhomakorabea考点聚焦突破
又 g(0)＝0，gπ2>0，g(π)＝－2， 故g(x)在(0,π)存在唯一零点. 所以f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点. (2)解 由题设知f(π)≥aπ,f(π)＝0,可得a≤0. 由(1)知,f′(x)在(0,π)只有一个零点,设为x0, 当x∈(0,x0)时,f′(x)>0;当x∈(x0,π)时,f′(x)<0, 所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,π)上单调递减. 又f(0)＝0,f(π)＝0,所以当x∈[0,π]时,f(x)≥0. 又当a≤0,x∈[0,π]时,ax≤0,故f(x)≥ax. 因此,a的取值范围是(－∞,0].
@《创新设计》
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考点聚焦突破
@《创新设计》
所以f(x)在x＝1处取得极小值,f(x)的单调递增区间为(1,＋∞),单调递减区间为(0,1). (2)y＝f(x)－m－1在(0,＋∞)内有两个不同的零点,可转化为y＝f(x)与y＝m＋1图象 有两个不同的交点. 由(1)知,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增,f(x)min＝f(1)＝－1,