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2017年重庆中考数学24题特殊数字类——阅读理解专题

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重庆中考数学材料阅读24题练习题

重庆中考数学材料阅读24题练习题

2017年重庆中考材料阅读练习题1、2017届南开（融侨）中学九上入学24．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数abc 的“F ”运算：把abc 的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，例如abc =213时，则：213 F u r 36(333213++=36) F u r 243(3336243+=)。

数字111经过三次“F ”运算得_________，经过四次“F ”运算得___________，经过五次“F ”运算得__________，经过2016次“F ”运算得___________。

（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a ，百位上的数字是b ，十位上的数字是c ，个位上的数字是d ，如果a+b+c+d 可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除。

你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数abcd 为例即可）。

2、2017届南开（融侨）中学九上阶段一23．有这样一对数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为反序数。

比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504。

根据以上阅读材料，回答下列问题：（1）已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，求证：原三位数与其反序数之差的绝对值等于198；（2）若一个两位数与其反序数之和是一个完全平方数，求满足上述条件的所有两位数。

3、2017届南开（融侨）中学九上期末25．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有2个实数根，且其中一个实数根是另一个实数根的3倍，则称该方程为“立根方程”．（1）方程2430x x -+=_____立根方程，方程2230x x --=______立根方程；(请填“是”或“不是”)（2）请证明：当点(,)m n 在反比例函数3y x=上时，一元二次方程240mx x n ++=是立根方程； （3）若方程20ax bx c ++=是立根方程，且两点2(1,)P p p q ++、2(5,)Q p q q -++均在二次函数2y ax bx c =++上，请求方程20ax bx c ++=的两个根。

2017年四川省重庆市中考数学试题及答案(清晰无错版)

2017年四川省重庆市中考数学试题及答案(清晰无错版)

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大动脉之一，将数 11000 用科学记数法表示为
．
14．计算： | ﹣3|+ （﹣ 1）2=
．
15．如图， BC 是⊙ O 的直径，点 A 在圆上，连接 AO， AC，∠ AOB=6°4 ，则∠
ACB=
．
16．某班体育委员对本班学生一周锻炼时间（单位：小时）进行了统计，绘制了
如图所示的折线统计图， 则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是
甲、乙两人相距的路程 y（米）与甲出发的时间 x（分钟） 之间的关系如图所示，
则乙到达 A 地时，甲与 A 地相距的路程是
米．
18．如图，正方形 ABCD中， AD=4，点 E 是对角线 AC上一点，连接 DE，过点 E 第3 页 共3 页
作 EF⊥ ED，交 AB于点 F，连接 DF，交 AC于点 G，将△ EFG沿 EF 翻折，得到△
形， , ，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（
）
A．73 B．81 C．91 D．109 11．如图，小王在长江边某瞭望台 D 处，测得江面上的渔船 A 的俯角为 40°， 若 DE=3米，CE=2米，CE平行于江面 AB，迎水坡 BC的坡度 i=1 ：0.75 ，坡长 BC=10 米，则此时 AB的长约为 （ ）（参考数据： sin40 °≈ 0.64 ，cos40°≈ 0.77 ， tan40 °≈ 0.84 ）． 【出处： 21 教育名师】
A．5.1 米 B．6.3 米 C．7.1 米 D．9.2 米 12．若数 a 使关于 x 的分式方程 + =4 的解为正数，且使关于 y 的不等式
组
的解集为 y＜﹣ 2，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16 二、填空题（本大题 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分） 13．“渝新欧”国际铁路联运大通道全长 11000 千米，成为服务“一带一路”的

2017年重庆市中考数学试卷和解析PDF版(a卷)

2017年重庆市中考数学试卷和解析PDF版(a卷)

三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 19． （8 分）如图，AB∥CD，点 E 是 CD 上一点，∠AEC=42°，EF 平分∠AED 交 AB 于点 F，求∠AFE 的度数．
20． （8 分）重庆某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖 20 年，点赞新重庆” 作文比赛， 该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图 1 和如图 2 两幅 不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题．
15． （4 分）如图，BC 是⊙O 的直径，点 A 在圆上，连接 AO，AC，∠AOB=64°， 则∠ACB= ．
16． （4 分）某班体育委员对本班学生一周锻炼时间（单位：小时）进行了统计， 绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是 小时．
17． （4 分）A、B 两地之间的路程为 2380 米，甲、乙两人分别从 A、B 两地出发， 相向而行，已知甲先出发 5 分钟后，乙才出发，他们两人在 A、B 之间的 C 地相 遇，相遇后，甲立即返回 A 地，乙继续向 A 地前行．甲到达 A 地时停止行走， 乙到达 A 地时也停止行走．在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀 速行走，甲、乙两人相距的路程 y（米）与甲出发的时间 x（分钟）之间的关系 如图所示，则乙到达 A 地时，甲与 A 地相距的路程是 米．
4． （4 分）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ A．对重庆市初中学生每天阅读时间的调查 B．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查 C．对某批次手机的防水功能的调查 D．对某校九年级 3 班学生肺活量情况的调查 5． （4 分）估计 +1 的值应在（ ）
A．3 和 4 之间 B．4 和 5 之间 C．5 和 6 之间 D．6 和 7 之间 6． （4 分）若 x=﹣ ，y=4，则代数式 3x+y﹣3 的值为（ A．﹣6 B．0 C．2 D．6 有意义，x 应满足的条件是（ ） ）

2017年重庆中考数学材料阅读24题练习题

2017年重庆中考数学材料阅读24题练习题

2017年重庆中考材料阅读练习题1、2017届南开（融侨）中学九上入学24．能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能够被3整除的三位数abc 的“F ”运算：把abc 的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，例如abc =213时，则：213 F u r 36(333213++=36) F u r 243(3336243+=)。

数字111经过三次“F ”运算得_________，经过四次“F ”运算得___________，经过五次“F ”运算得__________，经过2016次“F ”运算得___________。

（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a ，百位上的数字是b ，十位上的数字是c ，个位上的数字是d ，如果a+b+c+d 可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除。

你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数abcd 为例即可）。

2、2017届南开（融侨）中学九上阶段一23．有这样一对数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为反序数。

比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504。

根据以上阅读材料，回答下列问题：（1）已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，求证：原三位数与其反序数之差的绝对值等于198；（2）若一个两位数与其反序数之和是一个完全平方数，求满足上述条件的所有两位数。

25．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有2个实数根，且其中一个实数根是另一个实数根的3倍，则称该方程为“立根方程”．（1）方程2430x x -+=_____立根方程，方程2230x x --=______立根方程；(请填“是”或“不是”)（2）请证明：当点(,)m n 在反比例函数3y x=上时，一元二次方程240mx x n ++=是立根方程； （3）若方程20ax bx c ++=是立根方程，且两点2(1,)P p p q ++、2(5,)Q p q q -++均在二次函数2y ax bx c =++上，请求方程20ax bx c ++=的两个根。

重庆市中考数学专题训练——数字为载体的阅读理解题

重庆市中考数学专题训练——数字为载体的阅读理解题

数字为载体的阅读理解题一．解答题（共40小题）1．（2018•南岸区模拟）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为D（n），把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即E（123）=321，规定F（n）=，如F（123）==1．（1）计算：F（159），F（246）；（2）若D（s）是百位数字为1的数，D（t）是个位数字为9的数，且满足F（s）+F（t）=5，记k=，求k的最大值．2．（2018春•沙坪坝区校级期中）对于一个四位自然数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数n为“平衡数”．对于一个“平衡数”，从千位数字开始顺次取出三个数字构成四个三位数，把这四个三位数的和与222的商记为F（n）．例如：n=1526，因为1+6=2+5，所以1526是一个“平衡数”，从千位数字开始顺次取出三个数字构成的四个三位数分别为152、526、261、615，这四个三位数的和为：152+526+261+615=1554，1154÷222=7，所以F（1526）=7．（1）写出最小和最大的“平衡数”n，并求出对应的F（n）的值；（2）若s，t都是“平衡数”，其中s=10x+y+3201，t=1000m+10n+126（0≤x≤9，0≤y≤8，1≤m≤9，0≤n≤7，x，y，m，n都是整数），规定：k=，当F（s）+F（t）是一个完全平方数时，求k的最大值．3．（2018•南岸区模拟）材料1：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也成立．材料2：两位数m和三位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为F（m，n），例如：F（12，345）=13+14+15+23+24+25=114；F（11，369）=13+16+19+13+16+19=96．（1）填空：F（16，123）=，并求证：当n能被3整除时，F（m，n）一定能被6整除；（2）若一个两位数s=21x+y，一个三位数t=121x+y+199（其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x、y均为整数），交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t′，当t′与s的个位数字的3倍的和能被11整除时，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中F（s，t）的最大值．4．（2018•重庆模拟）先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．5．（2017•沙坪坝区校级一模）一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．（1）求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；（2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．6．（2017秋•渝中区月考）将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列（含n本身）后，得到新的三位数（a＜c），在所有重新排列大的数中，当|a+c ﹣2b|最小时，我们称是n的“天时数”，并规定F（n）=b2﹣ac．当|a+c﹣2b|最大时，我们称是n的“地利数”，并规定G（n）=ac﹣b2．并规定M（n）=是n的“人和数”，例如：215可以重新排列为125，152，215，因为|1+5﹣2×2|=2，|1+2﹣2×5|=7，|2+5﹣2×1|=5，且2＜5＜7，所以125是215的“天时数”F（215）=22﹣1×5=﹣1，152是215的“地利数”，G（215）=1×2﹣52=﹣23，M（215）=．（1）计算：F（168），G（168）；（2）设三位自然数s=100x+50+y（1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y均为正整数），交换其个位上的数字与百位上的数字得到t，若s﹣t=693，那么我们称s为“厚积薄发数”；请求出所有“厚积薄发数”中M（s）的最大值．7．（2018•长寿区模拟）对于一个三位正整数t，将各数位上的数字重新排序后（包括本身），得到一个新的三位数（a≤c），在所有重新排列的三位数中，当|a+c﹣2b|最小时，称此时的为t的“最优组合”，并规定F（t）=|a﹣b|﹣|b﹣c|，例如：124重新排序后为：142、214、因为|1+4﹣4|=1，|1+2﹣8|=5，|2+4﹣2|=4，所以124为124的“最优组合”，此时F（124）=﹣1．（1）三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，求证：F（t）=0（2）一个正整数，由N个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数能被2整除，前三位数能被3整除，…，一直到前N位数能被N 整除，我们称这样的数为“善雅数”．例如：123的第一位数1能披1整除，它的前两位数12能被2整除，前三位数123能被3整除，则123是一个“善雅数”．若三位“善雅数”m=200+10x+y（0≤x≤9，0≤y≤9，x、y为整数），m的各位数字之和为一个完全平方数，求出所有符合条件的“善雅数”中F（m）的最大值．8．（2018•重庆模拟）任意一个正整数n，都可以表示为：n=a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我们就称a×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n）=，例如：6=1×1×6=1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|=5，|2×2﹣（1+3）|=0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）==2．（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）=2．（2）t是一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x 和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．9．（2018春•沙坪坝区期末）我们知道，任意一个正整数a都可以进行这样的分解：a=m×n（m，n是正整数，且m≤n），在a的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是a的最佳分解．并规定：F（a）=．例如：12可以分解成1×12，2×6，3×4，因为|1﹣12|＞|2﹣6|＞|3﹣4|，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）求F（18）﹣F（16）；（2）若正整数p是4的倍数，我们称正整数p为“四季数”．如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x＜y≤9，x，y为自然数），交换个位上的数字与十位上的数字得到的新两位正整数减去原来的两位正整数所得的差为“四季数”，那么我们称这个数t为“有缘数”，求所有“有缘数”中F（t）的最小值．10．（2017春•巫溪县校级月考）一个三位自然数m．将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三位自然数m'（m'可以与m相同），记m'=，在m’所有的可能情况中，当|a+2b﹣c|最小时，我们称此时的m’是m的“幸福美满数”，并规定K（m）=a2+2b2﹣c2．例如：318按上述方法可得新数有：381、813、138；因为|3+2×1﹣8|=3，|3+2×8﹣1|=18，|8+2×1﹣3|=7，|1+2×3﹣8|=1，1＜3＜7＜18．所以138是318的“幸福美满数”．K（318）=12+2×32﹣82=﹣45．（1）若三位自然数t的百位上的数字与十位上的数字都为n（1≤n≤9．n为自然数），个位上的数字为0，求证：K（t）=0；（2）设三位自然数s=100+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y为自然数），且x＜y，交换其个位与十位上的数字得到新数s'，若19s+8s'=3888，那么我们称s为“梦想成真数”，求所有“梦想成真数”中K（s）的最大值．11．（2018春•九龙坡区校级期中）如果一个多位自然数能被l7整除，那么将这个多位自然数分解为末三位与末三位之前的数，用末三位数减去末三位之前的数的3倍，所得的差一定能被17整除，反之也成立．（1）利用上述规律判断并填空：3074（填“能”或“不能”）被17整除，36125（填“能”或“不能”）被17整除；（2）证明：任意一个多位自然数末三位数减去末三位之前的数的3倍，如果所得的差能被17整除，那么这个多位数一定能被17整除．（3）对于一个两位自然数t，规定F（t）=（其中a，b分别是这个两位数的十位数字和个位数字）例如：F（23）=．已知一个五位自然数，其末三位数表示为，前两位数n=10（x+2）+（y+1）（其中1≤x≤7，1≤y ≤8且均为整数）．若交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后，所得的新五位自然数能被17整除．求F（n）的最大值．12．（2016秋•沙坪坝区校级期末）阅读下列材料，回答问题．正整数m（m≥2）可分解成两个正整数的和，即m=s+t（s、t是正整数，且s≤t），在m的所有这些加和中，若s、t两加数之差的绝对值最小，称s+r为m 的最美加和，并规定F（m）=7s﹣6t，如7=1+6=2+5=3+4，因为6﹣1＞5﹣2＞4﹣3，所以3+4为7的最美加和，所以F（7）=7×3﹣6×4=﹣3．（1）F（8）=，F（9）=：（2）对任意的正整数n（n≥2），用含n的代数式分别表示出n为奇数，偶数时的F（n）：（3）若一个三位正整数q是7的倍数，且满足各位数字之和为7，称这个数q 为“潜力数“，求所有“潜力数”中F（q）的最大值．13．（2017春•涪陵区期末）一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数．所有这些两位数的和等于这个三位数本身．则称这样的三位数N为“友好数”．例如：132．选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31．选择百位数字1和个位数字2所组成的两位数为：12和21．选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23．因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“友好数”．一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和．则称这样的三位数为“和平数“，（1）判断123是不是“友好数“？请说明理由．（2）一个三位数，如果百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z，则把这个三位数记作，三位数可用多项式表示为100x+10y+z，比如三位数523可用多项式表示为：5×100+2×10+3．证明：当一个“和平数”是“友好数”时，则z=2x．14．（2018春•北碚区校级月考）一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数N为“公主数”．例如：132，选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31，选择百位数字1和个位数字2组成的两位数为：12和21，选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23，因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“公主数”．一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数为“伯伯数”．（1）判断123是不是“公主数”？请说明理由．（2）证明：当一个“伯伯数”是“公主数”时，则z=2x．（3）若一个“伯伯数”与132的和能被13整除，求满足条件的所有“伯伯数”．15．（2017•江北区校级模拟）任意一个正整数都可以进行这样的分解：n=p×q （p、q是正整数，且p≤q），正整数的所有这种分解中，如果p、q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是正整数的最佳分解．并规定：F（n）=．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为24﹣1＞12﹣2＞8﹣3＞6﹣4，所以4×6是24的最佳分解，所以F（24）=．（1）求F（18）的值；（2）如果一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x、y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为m，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为n，若mn为4752，那么我们称这个数为“最美数”，求所有“最美数”；（3）在（2）所得“最美数”中，求F（t）的最大值．16．（2017春•渝中区校级月考）如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数，例如：自然数4312，其中3＞1，4=3+1，2=3﹣1，所以4312是亲密数；（1）最小的亲密数是，最大的亲密数是；（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的新数叫做这个亲密数的友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，请求出这个亲密数．17．对于一个三位正整数m各数位上的数字重新排序后得到新数（a≥b且a，b，c均不为零且可以与m相同），当所有重新排列中最小时，则称为m的“倍约数”，并规定F（m）=c2﹣（a+b）2，其中[a，b]表示a，b 的最小公倍数，（a，c）表示a，c的最大公约数，如：m=324时，重新排列432、423重，因为==6，==4，且4＜6，所以423是m=324的“倍约数”，此时F（m）=32﹣（4+2）2=﹣27，若m=522，重新排列522，225，因为==10，==2，且2＜10，所以225是m=522的“倍约数”，此时F（m）=52﹣（2+2）2=9．根据以上阅读材料，解决下列问题．（1）若三位正整数m能被19整除，且m百位上的数字比个位数上的数字大2，十位上的数字比个位上的数字小2，求证：F（m）是一个完全平方数．（2）已知三位正整数m，n均小于300的完全平方数，且m﹣n=p（p为质数），当m最大时，求F（m）的值．18．（2018春•汉阳区期末）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“差异数”，将一个“差异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算F（243）；（2）若一个“差异数”表示为，（其中1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，且a，b，c均为正整数），则求证：F（）=a+b+c；（3）若s，t都是“差异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，直接写出k的最大值．19．（2017•沙坪坝区校级三模）若一个三位数t=（其中a、b、c不全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记为T（t）．例如，357的差数T（357）=753﹣357=396．（1）已知一个三位数（其中a＞b＞1）的差数T（）=792，且各数位上的数字之和为一个完全平方数，求这个三位数；（2）若一个三位数（其中a、b都不为0）能被4整除，将个位上的数字移到百位得到一个新数被4除余1，再将新数个位数字移到百位得到另一个新数被4除余2，则称原数为4的“闺蜜数”．例如：因为612=4×153，261=4×65+1，126=4×31+2，所以612是4的一个闺蜜数．求所有小于500的4的“闺蜜数”t，并求T（t）的最大值．20．（2017秋•埇桥区月考）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（143），F（624）；（2）若m是“相异数”，m的百位上的数字为7，十位上的数字比个位上的数字多3，且F（m）=22，“相异数”m是多少？（3）若s，t都是“相异数”，其中s=100a+35，t=160+b（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b都是正整数），当F（s）+F（t）=22时，求a+b的值．21．（2018春•沙坪坝区校级期末）已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数即是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，∵3=2+1，∴321是“和数”，∵3=22﹣12，∴321是“谐数”，∴321是“和谐数”．（1）最小的和谐数是，最大的和谐数是；（2）证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；（3）已知m=10b+3c+817（0≤b≤7，1≤c≤4，且b，c均为整数）是一个“和数”，请求出所有m．22．（2018•重庆模拟）根据阅读材料，解决问题．数n是一个三位数，各数位上的数字互不相同，且都不为零，从它各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个不同的两位数，我们把这六个不同的两位数叫做数n的“生成数”．数n的所有“生成数”之和与22的商记为G（n），例如n=123，它的六个“生成数”是12，13，21，23，31，32，这六个“生成数”的和12+13+21+23+31+32=132，132÷22=6，所以G（123）=6．（1）计算：G（125），G（746）；（2）数s，t是两个三位数，它们都有“生成数”，a，1，4分别是s的百位、十位、个位上的数字，x，y，6分别是t的百位、十位、个位上的数字，规定：k=，若G（s）•G（t）=84，求k的最小值．23．（2016秋•渝中区校级期末）任意写一个个位数字不为零的四位正整数A，将该正整数A的各位数字顺序颠倒过来，得到四位正整数B，则称A和B为一对四位回文数．例如A=2016，B=6102，则A和B就是一对四位回文数，现将A的回文数B从左往右，依次顺取三个数字组成一个新数，最后不足三个数字时，将开头的一个数字或两个数字顺次接到末尾，在组成三位新数时，如遇最高位数字为零，则去掉最高位数字，由剩下的两个或一个数字组成新数，将得到的所有新数求和，把这个和称为A的回文数B作三位数的和．例如将6102依次顺取三个数字组成的新数分别为：610，102，26，261，它们的和为：610+102+26+261=999，把999称为2016的回文数作三位数的和．（1）请直接写出一对四位回文数：猜想一个四位正整数的回文数作三位数的和能否被111整除？并说明理由；（2）已知一个四位正整数（千位数字为1，百位数字为x且0≤x≤9，十位数字为1，个位数字为y且0≤y≤9）的回文数作三位数的和能被27整除，请求出x与y的数量关系．24．（2018秋•沙坪坝区校级月考）若一个四位自然数n满足千位与个位相同，百位与十位相同，我们称这个数为“天平数”．将“天平数”n的前两位与后两位交换位置得到一个新的“天平数”n′，记F（n）=，例如n=2112，n′=1221，F（2112）==9（1）计算F（5335）=；若“天平数”n满足F（n）是一个完全平方数，求F（n）的值；（2）s、t“天平数“，其中s=，t=（1≤b＜a≤9，1≤x＜y≤9且a，b，xy为整数），若F（s）能被8整除，且F（s）+F（t）﹣9（y+1）=0，规定：K （s，t）=，求K（s，t）的所有结果的值．25．（2017秋•万州区期末）一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：若把这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383﹣357=26，26能被13整除，因此383357是“十三数”．（1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由．（2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”．①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除．②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．26．（2017•沙坪坝区校级模拟）在一个m（m≥3，m为整数）位的正整数中，若从左到右第n（n≤m，n为正整数）位上的数字与从右到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k（k为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”，其中k=12．（1）已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s（1≤s≤9，s为整数），百位上的数字为t（0≤t≤9，t为整数），是整数，求这个四位“对称等和数”；（2）已知数A，数B，数C都是三位“对称等和数”．A=（1≤a≤9，a为整数），设数B十位上的数字为x（0≤x≤9，x为整数），数C十位上的数字为y（0≤y≤9，y为整数），若A+B+C=1800，求证：y=﹣x+15．27．（2017秋•沙坪坝区校级期末）一个三位自然数是s，将它任意两个数位的数字对调后得到一个首位不为0的新三位自然数s′（s′可以与s相同），设s′=，在s′所有的可能情况中，当|x+3y﹣z|最大时，我们称此时的s′是s的“梦想数”，并规定P（s）=x2+3y2﹣z2．例如127按上述方法可得到新数有：217、172、721，因为|2+3﹣7|=2，|1+21﹣2|=20，|7+6﹣1|=12，2＜12＜20，所以172是172的“梦想数”，此时，P（127）=12+3×72﹣22=144．（1）求512的“梦想数”及P（512）的值；（2）设三位自然数S=交换其个位与十位上的数字得到新数s′，若29s+7s′=4887，且P（s）能被7整除，求s的值．28．（2018•重庆）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．29．（2018春•沙坪坝区校级期末）若正整数k满足个位数字为1，其他数位上的数字均不为1且十位与百位上的数字相等，我们称这样的数k为“言唯一数”，交换其首位与个位的数字得到一个新数k'，并记F（k）=+1．（1）最大的四位“言唯一数”是，最小的三位“言唯一数”是；（2）证明：对于任意的四位“言唯一数”m，m+m'能被11整除；（3）设四位“言唯一数”n=1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9且y≠1，x、y 均为整数），若F（n）仍然为“言唯一数”，求所有满足条件的四位“言唯一数”n．30．（2017春•开州区期末）阅读下列材料，解决后面两个问题．如果一个四位数的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，则称这个四位数为“四位友谊数”．如2112，5225，7667，…等都是“四位友谊数”．如果将一个“四位友谊数”的百位数字与千位数字，个位数字与十位数字都交换位置，得到一个新四位数，我们把这个新四位数叫做“四位友谊数的姊妹数”，如果“四位友谊数”的百位数字是0，则交换位置后保留首位的“0”，即它的姊妹数就是首位为“0”的四位数，如2112的对应数为1221，5225的对应数为2552，1001的对应数为0110．（1）任意写一个“四位友谊数”及它的“姊妹数”；猜想任意一个“四位友谊数”与它的“姊妹数”的差是否都能被11整除？并说明理由．（2）一个“四位友谊数”的千位数字为a（1≤a≤9），百位数字为b（0≤b≤9，b ＜a）．若这个“四位友谊数”与它的姊妹数的差能被486整除，求这个四位友谊数．31．（2017•重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．32．（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x 为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．33．（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再如22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x 为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．34．（2018•沙坪坝区校级一模）对于两个两位数m和n，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为F（m，n）．例如：当m=36，n=10时，将m 十位上的3放置n中1与0之间，将m个位上的6位置于n中0的右边，得到1306．将n十位上的1放置于m中3和6之间，将n个位上的0放置于m 中6的右边，得到3160．这两个新四位数的和为1306+3160=4466，4466÷11=406，所以F（36，10）=406．（1）计算：F（20，18）（2）若a=10+x，b=10y+8（0≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是自然数）．当150F（a，36）+F（b，49）=62767时，求F（5a，b）的最大值．35．（2018春•渝北区期末）对于两个两位数p和q，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为F（p，q）．例如：当p=23，q=15时，将p十位上的2放置于q中1与5之间，将p个位上的3位置于q中5的右边，得到1253．将q十位上的1放置于p中2和3之间，将q个位上的5放置于p中3的右边，得到2135．这两个新四位数的和为1253+2135=3388，3388÷11=308，所以F （23，15）=308．（1）计算：F （13，26）；（2）若a=10+m，b=10n+5，（0≤m≤9，1≤n≤9，m，n均为自然数）．当150F （a，18）+F（b，26）=32761时，求m+n的值．36．阅读材料：若一个四位数的前2位数是后2位数的2倍，则称该数为“欢喜数”．如1005、2211等都是欢喜数．若各个数位上的数字之和等于十位上的数字的2倍，则称该数为“半和数”，如132等都是半和数．一个三位数字，若十位上数字等于百位数字与个位数字的平方差，则称该数为“平方差数”．根据上面的材料，回答下列问题．（1）证明所有的三位“半和数”均能被11整除；（2）若一个四位正整数abbc是欢喜数，bmc既是半和数又是平方差数，求m 的值．37．（2017秋•南岸区校级期中）对于任意一个自然数N，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K，我们把K称为N的“中子数”，并记f（x）=K，例如，163→1+6+3=10→1+0=1，∴f（163）=1（1）计算：f（2018888）=；（2）易知：任意两个自然数M和N，如果各个数位上的数字之和相等，则f（M）=f（N），此时我们称M、N是“特别有缘数”，例如163和28即为“特别有缘数”，若已知一个三位数和一个两位数是“特别有缘数”，请证明它们的差一定能被9整除；（3）有一个三位自然数L=，已知f（L）=6，而且x、y、z都是偶数，我们规定i=y2+xz，请求出i取最大值时的自然数L．38．（2018春•顺义区期末）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字。

2017年重庆中考24题几何专题1

2017年重庆中考24题几何专题1

2017年重庆中考24题几何专题11、如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上且AD=AE，连接CD，BE，过点A作AF⊥BE交BC于F，过点F作FG⊥CD交CA于G。

证明：（1）∠AFB=∠GFC；（2）AE=CG2、如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D、F为BC边上的两点，CD=BF，连接AD，过点C作AD的垂线交AB于E点，连接EF．（1）若∠DAB=15°，AB＝，求线段DF的长；（2）求证：∠EFB=∠CDAGFEDCBAPFEDCBA3、如图，在ABC Rt ∆中，∠BAC=90°，点E 是BC 的中点，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ； （1）、求证：∠ADE=∠BDE ；（2）、过点C 作CG ⊥AD 于点G ，交AB 于点F ，求证：BF DE 21=；4、如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 上一点，点F 是CD 延长线上一点，连接EF ，若BE ＝DF ，点P 是EF 的中点。

（1）求证：DP 平分∠ADC ；（2）若∠AEB ＝750，AB ＝2，求△DFP 的面积。

FEDCBAOEDCBA5、已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，延长BC 到D ，使BD=2BC ，连接AD ，过C 作CE ⊥BD 交AD 于点E ，连接BE 交AC 于点O. （1）求证：∠CAD=∠ABE. （2）求证：OA=OC6、已知，矩形ABCD 中，延长BC 至E ，使BE ＝BD ，F 为DE 的中点，连接AF 。

（1）若AB ＝3，AD ＝4，求DE 的长； （2）求证：12DAF ADB ∠=∠EDCA7、已知如图，在菱形ABCD 中，CO ⊥BD ，垂足为点O ，E 为BC 上一点，F 为AD 延长线上一点，EF 交CD 于点G ，EG ＝FG ＝DG ，连接OE 、OF 。

(1)若DG ＝5，OC ＝8，求BD 的长； (2)求证： 1902OFG BEF ∠=-∠8、如图，在等腰Rt ABC △中，90ABC ︒∠=，BC AB =，D 为斜边AC 延长线上一点,过D 点做BC 的垂线交其延长线于点E ，在AB 的延长线上取一点F ,使得BF =CE ，连接EF .（1）若AB =2，BF =3，求AD 的长度（2）G 为AC 中点，连接GF ，求证：AFG BEF GFE ∠+∠=∠FEDABC9、如图，在等腰三角形ABC 中，CA = CB ，∠ACB = 90°，点D 、E 是直线BC 上两点且CD = BE ，过点C 作CM ⊥AE 交AE 于点M ，交AB 于点F ，连接DF 并延长交AE 于点N ．(1) 若AC = 2，CD = 1，求CM 的值； (2) 求证：∠D =∠E ．10、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，取BC 中点D ，连接AD ，BE 是∠ABC 的角平分线交AD 于点E ，在BC 上取一点F ，使得∠BFE=∠BAE ，连接AF. （1）证明：AB=BF ；（2）证明：130EFA EBD 3︒-∠=∠FEDC B A11、如图，E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，连接AE ，过A 作AF ⊥AE 交CB 的延长线于F ，连接EF ，取EF 的中点P ，连接AP 、BP ．（1）若AB = 6，∠DAE = 30°，求四边形ABCE 的面积； （2）求证：45BPF BAP ∠=︒-∠．12、如图，在△ABC 和△ABD 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠ADB ＝90°，过点C 作CE ∥AB ，交BD 的延长线于点E ，连接EF 。

重庆中考数学24题 (专题练习答案详解)

重庆中考数学24题 (专题练习答案详解)

重庆中考数学24题专题练习1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点EEF∥CA，（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA 的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF 的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD 外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB 的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC 于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．参考答案1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE；（2）延长CD和BE的延长线交于H，∵BF⊥CD，∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EBF=∠ECH，又∠BEC=∠CEH=90°，BE=CE（已证），∴△BEG≌△CEH，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE（已证），∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，又EG=EH（已证），ED=ED，∴△GED≌△HED，∴DG=DH，∴BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，∴AD=DF，∵DF=DC﹣FC，∵△EBH≌△GFC，∴FC=BH=1，∴AD=4﹣1=3．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．（1）解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠DAB=∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE=2，，∴…（5分）（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M，∴四边形FDME是矩形，∴FE=DM，∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，∴△BME≌△ECB，∴BM=CE，∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图），在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四边形ACEG是平行四边形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∴，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF（AAS），∴CF=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∴OF∥BE．（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．证明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．（1）解：连接BD，由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，又∵BF⊥CD，∴∠DFE=90°又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，∴△GAD≌△EFD，∴DA=DF，又∵BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF又∵CF=6，∴BC=，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDF=∠CBD，∴CD=CB=8．（2）证明：∵AD∥BC，∴∠E=∠CBF，∵∠HDF=∠E，∴∠HDF=∠CBF，由（1）得，∠ADB=∠CBD，∴∠HDB=∠HBD，∴HD=HB，由（1）得CD=CB，CBD CDBCBD HDF CDB CBH∴∠=∠∴∠-∠=∠-∠∠∠∴即BDH=HBDHB=HD∴△CDH ≌△CBH ，∴∠DCH=∠BCH ，∴∠BCH=∠BCD==．6、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm ，，求梯形ABCD 的面积；（2）若E 、F 、G 、H 分别是梯形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上一点，且满足EF=GH ，∠EFH=∠FHG ，求证：HD=BE+BF ．解：（1）连AC ，过C 作CM ⊥AD 于M ，如图，在Rt △ABC 中，AB=6，sin ∠ACB==， ∴AC=10，∴BC=8，在Rt △CDM 中，∠D=45°，∴DM=CM=AB=6，∴AD=6+8=14，∴梯形ABCD 的面积=•（8+14）•6=66（cm 2）；（2）证明：过G 作GN ⊥AD ，如图，∵∠D=45°，∴△DNG 为等腰直角三角形，∴DN=GN ，又∵AD∥BC，∴∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，∴∠BFE=∠GHN，∵EF=GH，∴Rt△BEF≌Rt△NGH，∴BE=GN，BF=HN，∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE．7、已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．（1）证明：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵DF=CD，∴AB∥DF．∵DF=CD，∴AB=DF．∴四边形ABDF是平行四边形，∴AE=DE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD．∴∠COD=90°．∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF∥BD．∴∠CAF=∠COD=90°．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．（1）证明：在△DAE和△DCE中，∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），ED=DE（公共边），AE=CE（正方形的四条边长相等），∴△DAE≌△DCE （SAS），∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）；又∵CG=CE（已知），∴∠G=∠CEG（等边对等角）；而∠CEG=2∠EAC（外角定理），∠ECB=2∠CEG（外角定理），∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，∴∠G=∠CEG=30°；过点C作CH⊥AG于点H，∴∠FCH=30°，∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，∴EG=2×CF=3CF．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF 的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．（1）证明：连接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．（SAS）∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90°．∵P是EF的中点，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．又AD=CD，PD公共，∴△PAD≌△PCD，（SSS）∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；（2）作PH⊥CF于H点．∵P是EF的中点，∴PH=EC．设EC=x．由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∴EF=2x，FC=x，BE=2﹣x．在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．∴PH=﹣1+，FD=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．∴S△DPF=（﹣2+4）×=3﹣5．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．∵E为CD的中点，∴ED=EC．∴△ADE≌△FCE．∴EF=EA．（5分）（2）解：连接GA，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠DAB=90°．∵DG⊥BC，∴四边形ABGD是矩形．∴BG=AD，GA=BD．∵BD=BC，∴GA=BC．由（1）得△ADE≌△FCE，∴AD=FC．∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．∵由（1）得EF=EA，∴EG⊥AF．（5分）11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．（1）证明：∵△ADF为等边三角形，∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）∵AE为公共边∴△FAE≌△BAE（4分）∴EF=EB（5分）（2）解：如图，连接EC．（6分）∵在等边三角形△ADF中，∴FD=FA，∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA，∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分）由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，∴BE=BA=6．∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，∴∠GEB=30°，∵∠ABC=60°，∴∠GBE=30°∴GE=GB．（8分）∵点G是BC的中点，∴EG=CG∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，∴△CEG为等边三角形，∴∠CEG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2∴CE=，∴BC=（10分）；解法二：过C作CQ⊥AB于Q，∵CQ=AB=AD=6，∵∠ABC=60°，∴BC=6÷=4．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．（1）证明：∵AB=DC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°．∴∠DBC=∠ADB=30°．∴∠BDC=90°．（1分）由已知AE⊥BD，∴AE∥DC．（2分）又∵AE为等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中点，∵F是DC的中点，∴EF∥BC．∴EF∥AD．∴四边形AEFD是平行四边形．（3分）∴AE=DF（4分）∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，∴GF=DF，（5分）∴AE=GF．（6分）（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，∵AE=1，∴AD=2．在Rt△DGC中∠C=60°，并且DC=AD=2，∴DG=．（8分）由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2，又∵DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴四边形DEGF的面积=EF•DG=．（10分）13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，∵DE⊥EC，∴∠AED+∠BEC=90°∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠BEC=∠ADE，∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，∴△EAD≌△EBC，∴AD=BE．（2）答：△ABF是等腰直角三角形．理由是：延长AF交BC的延长线于M，∵AD∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，∴△ADF≌△MFC，∴AD=CM，∵AE=BC，∴AB=BM，∴△ABM是等腰直角三角形，∵△ADF≌△MFC，∴AF=FM，∴∠ABC=90°，∴BF⊥AM，BF=AM=AF，∴△AFB是等腰直角三角形．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．解答：（1）证明：连接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴，∴△ADC≌△AEC，（AAS）∴AD=AE；（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，∴AB=10．说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．（1）证明：∵AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，已知E是BD的中点，∴AE⊥BD．（2）解：延长AE交BC于G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠GBE，又∵AE⊥BD（已证），∴∠AEB=∠GEB，BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴AE=GE，BG=AB=AD，又F是AC的中点（已知），所以由三角形中位线定理得：EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）=×（14﹣4）=5．答：EF的长为5．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，∴△BCE≌△CAD．∴CD=BE．（2）解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC==5，∵△BCE≌△CAD，∴CE=AD=3．∴AE=AC﹣CE=2．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．（1分）∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4×=2（2分）在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．（4分）在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．（5分）19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF﹣ED；（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．解：（1）作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=×6=3；∴四边形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；在Rt△AFE中，AE==5；（2）延长AF、BC交于点N．∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，∴△ADF≌△NCF（AAS），∴AD=CN；∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．解：（1）证明：过D作DE∥AC交BC延长线于E，（1分）∵AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形．（2分）∴CE=AD，DE=AC．∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BD=AC=DE．∵AC⊥BD，∴DE⊥BD．∴△DBE为等腰直角三角形．（4分）∵DH⊥BC，∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．（5分）∴．（7分）∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE=6，∴．∴梯形ABCD的面积为18．（8分）注：此题解题方法并不唯一．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，DG∥BC，∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，∴△AGD是等边三角形，AG=GD=AD，∠AGD=60°．∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，∴△AGE≌△DAB；（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．∵EF∥DB，DG∥BC，∴四边形BFED是平行四边形．∴EF=BD，∴EF=AE．∵∠DBC=∠DEF，∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．∴△AFE是等边三角形，∠AFE=60°．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；（2）△DCF是等腰直角三角形，证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；（3）共四种情况：∵DF⊥BC，∴当PF=CF时，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；当PC=CD=（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；当PC=CD=（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每个1分）24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；解答：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，∴AB=CD，∵AD=DC，∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS）．（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴∠BPF=120°．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积？解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠DBC=∠ABD，∵在梯形ABCD中AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠DBC+2∠DBC=90°∴∠DBC=30°∴∠ABC=60°（2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵∠DBC=30°，BC=8，∴DC=4，∵CF=CD∴CF=4，∴BF=12，∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC∵∠DBC=30°，∴∠F=∠DBC，∴DB=DF，∴，在直角三角形DBH中，∴，∴，∴，即△DBF的面积为．26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB 的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．（1）证明：连接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可证△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形，（2）解：∵BE为△BCG的中线，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF为斜边AB上的中线，∴EF=AB=5cm．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC 于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，∴∠ECB=15°，∵∠ECD=45°，∴∠DCF=60°，在Rt△DFC中：∠DCF=60°，FC=3，∴DF=3，DC=6，由题得，四边形ABFD是矩形，∴AB=DF=3，∵AB=BC，∴BC=3，∴BF=BC﹣FC=3﹣3，∴AD=DF=3﹣3，∴C梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3，答：梯形ABCD的周长是9+3．（2）过点C作CM垂直AD的延长线于M，再延长DM到N，使MN=BE，∴CN=CE，可证∠NCD=∠DCE，∵CD=CD，∴△DEC≌△DNC，∴ED=EN，∴ED=BE+FC．28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．（1）证明：∵AD∥BC，E是AB的中点，∴AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F．∴△BCE≌△AFE（AAS）．（2）解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠ABC=90°．∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，∴△BCE≌△AFE．∴AF=BC=4．∵EF2=AF2+AE2=9+16=25，∴EF=5．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，∴△DCF≌△BCF．（2）延长DF交BC于G，∵AD∥BG，AB∥DG，∴四边形ABGD为平行四边形．∴AD=BG．∵△DFC≌△BFC，∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．又∵∠3=∠4，∴△DFE≌△BFG．∴DE=BG，EF=GF．∴AD=DE．（3）∵EF=GF，DF=BF，∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．∵DG=AB，∴BE=AB．∵C△DFE=DF+FE+DE=6，∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．∴AB+AD=6．又∵AD=2，∴AB=4．∴DG=AB=4．∵BG=AD=2，∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3．又∵DC=BC=5，在△DGC中∵42+32=52∴DG2+GC2=DC2∴∠DGC=90°．∴S梯形ABCD=（AD+BC）•DG=（2+5）×4=14．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．解答：解：（1）证明：∵AD∥BC，DE2=CD2+CE2=42+32=25，∴∠OAD=∠OEB，∴DE=5又∵AB=AD，AO⊥BD，∴AD=BE=5，∴OB=OD，∴S梯形ABCD=．又∵∠AOD=∠EOB，∴△ADO≌△EBO（AAS），∴AD=EB，又∵AD∥BE，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD∴四边形ABCD是菱形．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DE=BE，。

2017年重庆中考各校阅读理解题分类汇编无答案

2017年重庆中考各校阅读理解题分类汇编无答案

2017年重庆中考各校阅读理解题分类汇编专题一：数字类1.阅读下列材料，解决问题：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数的和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明。

材料1：将分式231x xx-++拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式。

解：()()()()212151213552 111111 x x x x x xx xxx x x x x x+-++++-+==-+=-+ ++++++这样，分式231x xx-++就拆分成一个整式2x-与一个分式51x+的和的形式。

材料2：已知一个能被11整除的个位与百位相同的三位整数10010x y x++，且14x≤≤，求y x与的函数关系式。

解：101109911229111111x y x y x y x yx y+++--==++，又14,09,728x y x y≤≤≤≤∴-≤-≤，还要使211x y-为整数，20x y∴-=，即2y x=。

（1）将分式2631x xx+--拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为；（2）已知整数x使分式225203x xx+--的值为整数，则满足条件的整数x=；（3）已知一个六位整数2017xy能被33整除，求满足条件的,x y的值。

2．如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”.(1)请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；(2) 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x(14x ≤≤，x 为自然数)，十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式3. 若设a 1=32–12, a 2=52–32,a 3=72=52…容易知道a 1=8, a 2=16 a 3=24,如果一个数表示为8的倍数，我们就说它能被8整除，所以a 1，a 2，a 3都能被8整除， （1）探究a n 是否为8的倍数，并用文字语言表述你获得的结论（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，试找出a 1，a 2, a 3, a n …这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，a n 为完全平方数。

重庆市中考数学专题训练——数字为载体的阅读理解题

重庆市中考数学专题训练——数字为载体的阅读理解题

数字为载体的阅读理解题一．解答题（共40小题）1．（2018•南岸区模拟）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为D（n），把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即E（123）=321，规定F（n）=，如F（123）==1．（1）计算：F（159），F（246）；（2）若D（s）是百位数字为1的数，D（t）是个位数字为9的数，且满足F（s）+F（t）=5，记k=，求k的最大值．2．（2018春•沙坪坝区校级期中）对于一个四位自然数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数n为“平衡数”．对于一个“平衡数”，从千位数字开始顺次取出三个数字构成四个三位数，把这四个三位数的和与222的商记为F（n）．例如：n=1526，因为1+6=2+5，所以1526是一个“平衡数”，从千位数字开始顺次取出三个数字构成的四个三位数分别为152、526、261、615，这四个三位数的和为：152+526+261+615=1554，1154÷222=7，所以F（1526）=7．（1）写出最小和最大的“平衡数”n，并求出对应的F（n）的值；（2）若s，t都是“平衡数”，其中s=10x+y+3201，t=1000m+10n+126（0≤x≤9，0≤y≤8，1≤m≤9，0≤n≤7，x，y，m，n都是整数），规定：k=，当F（s）+F（t）是一个完全平方数时，求k的最大值．3．（2018•南岸区模拟）材料1：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也成立．材料2：两位数m和三位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为F（m，n），例如：F（12，345）=13+14+15+23+24+25=114；F（11，369）=13+16+19+13+16+19=96．（1）填空：F（16，123）=，并求证：当n能被3整除时，F（m，n）一定能被6整除；（2）若一个两位数s=21x+y，一个三位数t=121x+y+199（其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x、y均为整数），交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t′，当t′与s的个位数字的3倍的和能被11整除时，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中F（s，t）的最大值．4．（2018•重庆模拟）先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．5．（2017•沙坪坝区校级一模）一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．（1）求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；（2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．6．（2017秋•渝中区月考）将一个三位正整数n各数位上的数字重新排列（含n本身）后，得到新的三位数（a＜c），在所有重新排列大的数中，当|a+c ﹣2b|最小时，我们称是n的“天时数”，并规定F（n）=b2﹣ac．当|a+c﹣2b|最大时，我们称是n的“地利数”，并规定G（n）=ac﹣b2．并规定M（n）=是n的“人和数”，例如：215可以重新排列为125，152，215，因为|1+5﹣2×2|=2，|1+2﹣2×5|=7，|2+5﹣2×1|=5，且2＜5＜7，所以125是215的“天时数”F（215）=22﹣1×5=﹣1，152是215的“地利数”，G（215）=1×2﹣52=﹣23，M（215）=．（1）计算：F（168），G（168）；（2）设三位自然数s=100x+50+y（1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y均为正整数），交换其个位上的数字与百位上的数字得到t，若s﹣t=693，那么我们称s为“厚积薄发数”；请求出所有“厚积薄发数”中M（s）的最大值．7．（2018•长寿区模拟）对于一个三位正整数t，将各数位上的数字重新排序后（包括本身），得到一个新的三位数（a≤c），在所有重新排列的三位数中，当|a+c﹣2b|最小时，称此时的为t的“最优组合”，并规定F（t）=|a﹣b|﹣|b﹣c|，例如：124重新排序后为：142、214、因为|1+4﹣4|=1，|1+2﹣8|=5，|2+4﹣2|=4，所以124为124的“最优组合”，此时F（124）=﹣1．（1）三位正整数t中，有一个数位上的数字是另外两数位上的数字的平均数，求证：F（t）=0（2）一个正整数，由N个数字组成，若从左向右它的第一位数能被1整除，它的前两位数能被2整除，前三位数能被3整除，…，一直到前N位数能被N 整除，我们称这样的数为“善雅数”．例如：123的第一位数1能披1整除，它的前两位数12能被2整除，前三位数123能被3整除，则123是一个“善雅数”．若三位“善雅数”m=200+10x+y（0≤x≤9，0≤y≤9，x、y为整数），m的各位数字之和为一个完全平方数，求出所有符合条件的“善雅数”中F（m）的最大值．8．（2018•重庆模拟）任意一个正整数n，都可以表示为：n=a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我们就称a×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n）=，例如：6=1×1×6=1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|=5，|2×2﹣（1+3）|=0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）==2．（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）=2．（2）t是一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x 和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．9．（2018春•沙坪坝区期末）我们知道，任意一个正整数a都可以进行这样的分解：a=m×n（m，n是正整数，且m≤n），在a的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是a的最佳分解．并规定：F（a）=．例如：12可以分解成1×12，2×6，3×4，因为|1﹣12|＞|2﹣6|＞|3﹣4|，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）求F（18）﹣F（16）；（2）若正整数p是4的倍数，我们称正整数p为“四季数”．如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x＜y≤9，x，y为自然数），交换个位上的数字与十位上的数字得到的新两位正整数减去原来的两位正整数所得的差为“四季数”，那么我们称这个数t为“有缘数”，求所有“有缘数”中F（t）的最小值．10．（2017春•巫溪县校级月考）一个三位自然数m．将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三位自然数m'（m'可以与m相同），记m'=，在m’所有的可能情况中，当|a+2b﹣c|最小时，我们称此时的m’是m的“幸福美满数”，并规定K（m）=a2+2b2﹣c2．例如：318按上述方法可得新数有：381、813、138；因为|3+2×1﹣8|=3，|3+2×8﹣1|=18，|8+2×1﹣3|=7，|1+2×3﹣8|=1，1＜3＜7＜18．所以138是318的“幸福美满数”．K（318）=12+2×32﹣82=﹣45．（1）若三位自然数t的百位上的数字与十位上的数字都为n（1≤n≤9．n为自然数），个位上的数字为0，求证：K（t）=0；（2）设三位自然数s=100+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y为自然数），且x＜y，交换其个位与十位上的数字得到新数s'，若19s+8s'=3888，那么我们称s为“梦想成真数”，求所有“梦想成真数”中K（s）的最大值．11．（2018春•九龙坡区校级期中）如果一个多位自然数能被l7整除，那么将这个多位自然数分解为末三位与末三位之前的数，用末三位数减去末三位之前的数的3倍，所得的差一定能被17整除，反之也成立．（1）利用上述规律判断并填空：3074（填“能”或“不能”）被17整除，36125（填“能”或“不能”）被17整除；（2）证明：任意一个多位自然数末三位数减去末三位之前的数的3倍，如果所得的差能被17整除，那么这个多位数一定能被17整除．（3）对于一个两位自然数t，规定F（t）=（其中a，b分别是这个两位数的十位数字和个位数字）例如：F（23）=．已知一个五位自然数，其末三位数表示为，前两位数n=10（x+2）+（y+1）（其中1≤x≤7，1≤y ≤8且均为整数）．若交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后，所得的新五位自然数能被17整除．求F（n）的最大值．12．（2016秋•沙坪坝区校级期末）阅读下列材料，回答问题．正整数m（m≥2）可分解成两个正整数的和，即m=s+t（s、t是正整数，且s≤t），在m的所有这些加和中，若s、t两加数之差的绝对值最小，称s+r为m 的最美加和，并规定F（m）=7s﹣6t，如7=1+6=2+5=3+4，因为6﹣1＞5﹣2＞4﹣3，所以3+4为7的最美加和，所以F（7）=7×3﹣6×4=﹣3．（1）F（8）=，F（9）=：（2）对任意的正整数n（n≥2），用含n的代数式分别表示出n为奇数，偶数时的F（n）：（3）若一个三位正整数q是7的倍数，且满足各位数字之和为7，称这个数q 为“潜力数“，求所有“潜力数”中F（q）的最大值．13．（2017春•涪陵区期末）一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数．所有这些两位数的和等于这个三位数本身．则称这样的三位数N为“友好数”．例如：132．选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31．选择百位数字1和个位数字2所组成的两位数为：12和21．选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23．因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“友好数”．一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和．则称这样的三位数为“和平数“，（1）判断123是不是“友好数“？请说明理由．（2）一个三位数，如果百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z，则把这个三位数记作，三位数可用多项式表示为100x+10y+z，比如三位数523可用多项式表示为：5×100+2×10+3．证明：当一个“和平数”是“友好数”时，则z=2x．14．（2018春•北碚区校级月考）一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同且都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数，所有这些两位数的和等于这个三位数本身，则称这样的三位数N为“公主数”．例如：132，选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31，选择百位数字1和个位数字2组成的两位数为：12和21，选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23，因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“公主数”．一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和，则称这样的三位数为“伯伯数”．（1）判断123是不是“公主数”？请说明理由．（2）证明：当一个“伯伯数”是“公主数”时，则z=2x．（3）若一个“伯伯数”与132的和能被13整除，求满足条件的所有“伯伯数”．15．（2017•江北区校级模拟）任意一个正整数都可以进行这样的分解：n=p×q （p、q是正整数，且p≤q），正整数的所有这种分解中，如果p、q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是正整数的最佳分解．并规定：F（n）=．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为24﹣1＞12﹣2＞8﹣3＞6﹣4，所以4×6是24的最佳分解，所以F（24）=．（1）求F（18）的值；（2）如果一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x、y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为m，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为n，若mn为4752，那么我们称这个数为“最美数”，求所有“最美数”；（3）在（2）所得“最美数”中，求F（t）的最大值．16．（2017春•渝中区校级月考）如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数，例如：自然数4312，其中3＞1，4=3+1，2=3﹣1，所以4312是亲密数；（1）最小的亲密数是，最大的亲密数是；（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的新数叫做这个亲密数的友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，请求出这个亲密数．17．对于一个三位正整数m各数位上的数字重新排序后得到新数（a≥b且a，b，c均不为零且可以与m相同），当所有重新排列中最小时，则称为m的“倍约数”，并规定F（m）=c2﹣（a+b）2，其中[a，b]表示a，b 的最小公倍数，（a，c）表示a，c的最大公约数，如：m=324时，重新排列432、423重，因为==6，==4，且4＜6，所以423是m=324的“倍约数”，此时F（m）=32﹣（4+2）2=﹣27，若m=522，重新排列522，225，因为==10，==2，且2＜10，所以225是m=522的“倍约数”，此时F（m）=52﹣（2+2）2=9．根据以上阅读材料，解决下列问题．（1）若三位正整数m能被19整除，且m百位上的数字比个位数上的数字大2，十位上的数字比个位上的数字小2，求证：F（m）是一个完全平方数．（2）已知三位正整数m，n均小于300的完全平方数，且m﹣n=p（p为质数），当m最大时，求F（m）的值．18．（2018春•汉阳区期末）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“差异数”，将一个“差异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算F（243）；（2）若一个“差异数”表示为，（其中1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，且a，b，c均为正整数），则求证：F（）=a+b+c；（3）若s，t都是“差异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，直接写出k的最大值．19．（2017•沙坪坝区校级三模）若一个三位数t=（其中a、b、c不全相等且都不为0），重新排列各数位上的数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记为T（t）．例如，357的差数T（357）=753﹣357=396．（1）已知一个三位数（其中a＞b＞1）的差数T（）=792，且各数位上的数字之和为一个完全平方数，求这个三位数；（2）若一个三位数（其中a、b都不为0）能被4整除，将个位上的数字移到百位得到一个新数被4除余1，再将新数个位数字移到百位得到另一个新数被4除余2，则称原数为4的“闺蜜数”．例如：因为612=4×153，261=4×65+1，126=4×31+2，所以612是4的一个闺蜜数．求所有小于500的4的“闺蜜数”t，并求T（t）的最大值．20．（2017秋•埇桥区月考）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（143），F（624）；（2）若m是“相异数”，m的百位上的数字为7，十位上的数字比个位上的数字多3，且F（m）=22，“相异数”m是多少？（3）若s，t都是“相异数”，其中s=100a+35，t=160+b（1≤a≤9，1≤b≤9，a，b都是正整数），当F（s）+F（t）=22时，求a+b的值．21．（2018春•沙坪坝区校级期末）已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数即是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，∵3=2+1，∴321是“和数”，∵3=22﹣12，∴321是“谐数”，∴321是“和谐数”．（1）最小的和谐数是，最大的和谐数是；（2）证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；（3）已知m=10b+3c+817（0≤b≤7，1≤c≤4，且b，c均为整数）是一个“和数”，请求出所有m．22．（2018•重庆模拟）根据阅读材料，解决问题．数n是一个三位数，各数位上的数字互不相同，且都不为零，从它各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个不同的两位数，我们把这六个不同的两位数叫做数n的“生成数”．数n的所有“生成数”之和与22的商记为G（n），例如n=123，它的六个“生成数”是12，13，21，23，31，32，这六个“生成数”的和12+13+21+23+31+32=132，132÷22=6，所以G（123）=6．（1）计算：G（125），G（746）；（2）数s，t是两个三位数，它们都有“生成数”，a，1，4分别是s的百位、十位、个位上的数字，x，y，6分别是t的百位、十位、个位上的数字，规定：k=，若G（s）•G（t）=84，求k的最小值．23．（2016秋•渝中区校级期末）任意写一个个位数字不为零的四位正整数A，将该正整数A的各位数字顺序颠倒过来，得到四位正整数B，则称A和B为一对四位回文数．例如A=2016，B=6102，则A和B就是一对四位回文数，现将A的回文数B从左往右，依次顺取三个数字组成一个新数，最后不足三个数字时，将开头的一个数字或两个数字顺次接到末尾，在组成三位新数时，如遇最高位数字为零，则去掉最高位数字，由剩下的两个或一个数字组成新数，将得到的所有新数求和，把这个和称为A的回文数B作三位数的和．例如将6102依次顺取三个数字组成的新数分别为：610，102，26，261，它们的和为：610+102+26+261=999，把999称为2016的回文数作三位数的和．（1）请直接写出一对四位回文数：猜想一个四位正整数的回文数作三位数的和能否被111整除？并说明理由；（2）已知一个四位正整数（千位数字为1，百位数字为x且0≤x≤9，十位数字为1，个位数字为y且0≤y≤9）的回文数作三位数的和能被27整除，请求出x与y的数量关系．24．（2018秋•沙坪坝区校级月考）若一个四位自然数n满足千位与个位相同，百位与十位相同，我们称这个数为“天平数”．将“天平数”n的前两位与后两位交换位置得到一个新的“天平数”n′，记F（n）=，例如n=2112，n′=1221，F（2112）==9（1）计算F（5335）=；若“天平数”n满足F（n）是一个完全平方数，求F（n）的值；（2）s、t“天平数“，其中s=，t=（1≤b＜a≤9，1≤x＜y≤9且a，b，xy为整数），若F（s）能被8整除，且F（s）+F（t）﹣9（y+1）=0，规定：K （s，t）=，求K（s，t）的所有结果的值．25．（2017秋•万州区期末）一个能被13整除的自然数我们称为“十三数”，“十三数”的特征是：若把这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除．例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是383﹣357=26，26能被13整除，因此383357是“十三数”．（1）判断3253和254514是否为“十三数”，请说明理由．（2）若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”．①求证：任意一个四位“间同数”能被101整除．②若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．26．（2017•沙坪坝区校级模拟）在一个m（m≥3，m为整数）位的正整数中，若从左到右第n（n≤m，n为正整数）位上的数字与从右到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k（k为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”，其中k=12．（1）已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s（1≤s≤9，s为整数），百位上的数字为t（0≤t≤9，t为整数），是整数，求这个四位“对称等和数”；（2）已知数A，数B，数C都是三位“对称等和数”．A=（1≤a≤9，a为整数），设数B十位上的数字为x（0≤x≤9，x为整数），数C十位上的数字为y（0≤y≤9，y为整数），若A+B+C=1800，求证：y=﹣x+15．27．（2017秋•沙坪坝区校级期末）一个三位自然数是s，将它任意两个数位的数字对调后得到一个首位不为0的新三位自然数s′（s′可以与s相同），设s′=，在s′所有的可能情况中，当|x+3y﹣z|最大时，我们称此时的s′是s的“梦想数”，并规定P（s）=x2+3y2﹣z2．例如127按上述方法可得到新数有：217、172、721，因为|2+3﹣7|=2，|1+21﹣2|=20，|7+6﹣1|=12，2＜12＜20，所以172是172的“梦想数”，此时，P（127）=12+3×72﹣22=144．（1）求512的“梦想数”及P（512）的值；（2）设三位自然数S=交换其个位与十位上的数字得到新数s′，若29s+7s′=4887，且P（s）能被7整除，求s的值．28．（2018•重庆）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．29．（2018春•沙坪坝区校级期末）若正整数k满足个位数字为1，其他数位上的数字均不为1且十位与百位上的数字相等，我们称这样的数k为“言唯一数”，交换其首位与个位的数字得到一个新数k'，并记F（k）=+1．（1）最大的四位“言唯一数”是，最小的三位“言唯一数”是；（2）证明：对于任意的四位“言唯一数”m，m+m'能被11整除；（3）设四位“言唯一数”n=1000x+100y+10y+1（2≤x≤9，0≤y≤9且y≠1，x、y 均为整数），若F（n）仍然为“言唯一数”，求所有满足条件的四位“言唯一数”n．30．（2017春•开州区期末）阅读下列材料，解决后面两个问题．如果一个四位数的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，则称这个四位数为“四位友谊数”．如2112，5225，7667，…等都是“四位友谊数”．如果将一个“四位友谊数”的百位数字与千位数字，个位数字与十位数字都交换位置，得到一个新四位数，我们把这个新四位数叫做“四位友谊数的姊妹数”，如果“四位友谊数”的百位数字是0，则交换位置后保留首位的“0”，即它的姊妹数就是首位为“0”的四位数，如2112的对应数为1221，5225的对应数为2552，1001的对应数为0110．（1）任意写一个“四位友谊数”及它的“姊妹数”；猜想任意一个“四位友谊数”与它的“姊妹数”的差是否都能被11整除？并说明理由．（2）一个“四位友谊数”的千位数字为a（1≤a≤9），百位数字为b（0≤b≤9，b ＜a）．若这个“四位友谊数”与它的姊妹数的差能被486整除，求这个四位友谊数．31．（2017•重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．32．（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（1≤x≤4，x 为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．33．（2015•重庆）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再如22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x 为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．34．（2018•沙坪坝区校级一模）对于两个两位数m和n，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为F（m，n）．例如：当m=36，n=10时，将m 十位上的3放置n中1与0之间，将m个位上的6位置于n中0的右边，得到1306．将n十位上的1放置于m中3和6之间，将n个位上的0放置于m 中6的右边，得到3160．这两个新四位数的和为1306+3160=4466，4466÷11=406，所以F（36，10）=406．（1）计算：F（20，18）（2）若a=10+x，b=10y+8（0≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是自然数）．当150F（a，36）+F（b，49）=62767时，求F（5a，b）的最大值．35．（2018春•渝北区期末）对于两个两位数p和q，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为F（p，q）．例如：当p=23，q=15时，将p十位上的2放置于q中1与5之间，将p个位上的3位置于q中5的右边，得到1253．将q十位上的1放置于p中2和3之间，将q个位上的5放置于p中3的右边，得到2135．这两个新四位数的和为1253+2135=3388，3388÷11=308，所以F （23，15）=308．（1）计算：F （13，26）；（2）若a=10+m，b=10n+5，（0≤m≤9，1≤n≤9，m，n均为自然数）．当150F （a，18）+F（b，26）=32761时，求m+n的值．36．阅读材料：若一个四位数的前2位数是后2位数的2倍，则称该数为“欢喜数”．如1005、2211等都是欢喜数．若各个数位上的数字之和等于十位上的数字的2倍，则称该数为“半和数”，如132等都是半和数．一个三位数字，若十位上数字等于百位数字与个位数字的平方差，则称该数为“平方差数”．根据上面的材料，回答下列问题．（1）证明所有的三位“半和数”均能被11整除；（2）若一个四位正整数abbc是欢喜数，bmc既是半和数又是平方差数，求m 的值．37．（2017秋•南岸区校级期中）对于任意一个自然数N，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K，我们把K称为N的“中子数”，并记f（x）=K，例如，163→1+6+3=10→1+0=1，∴f（163）=1（1）计算：f（2018888）=；（2）易知：任意两个自然数M和N，如果各个数位上的数字之和相等，则f（M）=f（N），此时我们称M、N是“特别有缘数”，例如163和28即为“特别有缘数”，若已知一个三位数和一个两位数是“特别有缘数”，请证明它们的差一定能被9整除；（3）有一个三位自然数L=，已知f（L）=6，而且x、y、z都是偶数，我们规定i=y2+xz，请求出i取最大值时的自然数L．38．（2018春•顺义区期末）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字。

2017年重庆市中考数学试卷(含答案解析)

2017年重庆市中考数学试卷(含答案解析)

绝密★启用前重庆市2017年初中毕业生学业水平暨普通高中招生考试(A 卷)数 学本试卷满分150分,考试时间120分钟.参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24(,)24b ac b a a --,对称轴为2b x a=-. 第Ⅰ卷(选择题 共48分)一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.在实数3-,2,0,4-中,最大的数是( ) A .3- B .2C .0D .4- 2.下列图形中是轴对称图形的是( )AB CD3.计算62x x ÷正确的是( ) A .3 B .3x C .4x D .8x 4.下列调查中,最适合采用全面调查(普查)的方式的是( )A .对重庆市初中学生每天阅读时间的调查B .对端午节期间市场上粽子质量情况的调查C .对某批次手机的防水功能的调查D .对某校九年级3班学生肺活量情况的调查 5.1的值应在( )A .3和4之间B .4和5之间C .5和6之间D .6和7之间 6.若13x =-,4y =,则代数式33x y +-的值为()…①②③④-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------________________ _____________A .6-B .0C .2D .6 7.要使分式43x -有意义,x 应满足的条件是( )A .3x ＞B .3x =C .3x ＜D .3x ≠ 8.若ABC DEF △∽△,相似比为3:2,则对应高的比为( )A .3:2B .3:5C .9:4D .4:99.如图,矩形ABCD 的边1AB =,BE 平分ABC ∠,交AD 于点E .若点E 是AD 的中点,以点B 为圆心,BE 长为半径画弧,交BC 于点F ,则图中阴影部分的面积是 ( )A .π24-B .3π24- C .π28-D .3π28- 10.下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有3个菱形,第②个图形中一共有7个菱形,第③个图形中一共有13个菱形,……,按此规律排列下去,第⑨个图形中菱形的个数为( ) A .73B .81C .91D .10911. 如图,小王在长江边某瞭望台D 处,测得江面上的渔船A 的俯角为40,若3DE =米,2CE =米,CE 平行于江面AB ,迎水坡BC 的坡度1:0.75i =,坡长10BC =米,则此时AB 的长约为 ( )(参考数据：sin 400.64≈,cos400.77≈,tan 400.84≈) A .5.1米 B .6.3米 C .7.1米 D .9.2米12.若数a 使关于x 的分式方程2411ax x+=--的解为正数,且使关于y 的不等式组21,322()0y yy a +⎧-⎪⎨⎪-⎩＞≤的解集为2y -＜,则符合条件的所有整数a 的和为( )A .10B .12C .14D .16第Ⅱ卷(非选择题 共102分)二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填写在题中的横线上)13.“渝新欧”国际铁路联运大通道全长超过11000千米,成为服务“一带一路”的大动脉之一.将数11000用科学记数法表示为 . 14.计算：2|3|(1)-+-= . 15.如图,BC 是O 的直径,点A 在圆上,连接AO ,AC ,64AOB ∠=,则ACB ∠=度.16.某班体育委员对本班学生一周锻炼时间(单位：小时)进行了统计,绘制了如图所示的折线统计图,则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是 小时.A ,B 两地出发,17.A ,B 两地之间的路程为2380米,甲、乙两人分别从相向而行.已知甲先出发5分钟后,乙才出发.他们两人在A ,B 之间的C 地相遇,相遇后,甲立即返回A 地,乙继续向A 地前行.甲到达A 地时停止行走,乙到达A 地时也停止行走.在整个行走过程中,甲、乙两人(米)与甲出发的均保持各自的速度匀速行走.甲、乙两人相距的路程y 时间x (分钟)之间的关系如图所示,则乙到达A 地时,甲与A 地相距的路程是米.18.如图,正方形ABCD 中,4AD =,点E 是对角线AC 上一点,连接DE ,过点E 作EF ED ⊥,交AB 于点F ,连接DF ,交AC 于点G ,将EFG△沿EF 翻折,得到EFM △,连接DM ,交EF 于点N .若点F 是AB 边的中点,则EMN △的周长是 .三、解答题(本大题共8小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(本小题满分8分)如图,AB CD ∥,点E 是CD 上一点,42AEC ∠=,EF 平分AED ∠交AB 于点F .求AFE ∠的度数.20.(本小题满分8分)重庆某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖20年,点赞新重庆”作文比赛.该校将收到的参赛作文进行分年级统计,绘制了如图1和图2两幅不完整的统计图.根据图中提供的信息完成以下问题.图1 图2(1)扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是 度,并补全条形统计图；(2)经过评审,全校有4篇作文荣获特等奖,其中有一篇来自七年级,学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上,请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率.21.(本小题满分10分,每题5分) 计算： (1)2(2)()x x y x y --+；(2)2321(2)22a a a a a -++-÷++.22.(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数(0)y mx n m =+≠的图象与反比例函数(0)ky k x=≠的图象交于第一、三象限内的A ,B 两点,与y 轴交于点C .过点B 作BM x ⊥轴,垂足为M ,BM OM =,OB =,点A 的纵坐标为4.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接MC ,求四边形MBOC 的面积.23.(本小题满分10分)某地大力发展经济作物,其中果树种植已初具规模.2017年受气候、雨水等因素的影响,樱桃较2016年有小幅度的减产,而枇杷有所增产.(1)该地某果农2017年收获樱桃和枇杷共400千克,其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍,求该果农2017年收获樱桃至少多少千克？(2)该果农把2017年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售.该果农2016年樱桃的市场销售量为100千克,销售均价为30元/千克,2017年樱桃的市场销售量比2016年减少了m %,销售均价与2016年相同；该果农2016年枇杷的市场销售量为200千克,销售均价为20元/千克,2017年枇杷的市场销售量比2016年增加了2m %,但销售均价比2016年减少了m %.该果农2017年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他2016年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同,求m 的值.24.(本小题满分10分)在ABM △中,45ABM ∠=,AM BM ⊥,垂足为M .点C 是BM 的延长线上一点,连接AC .图1图2(1)如图1,若AB =5BC =,求AC 的长；(2)如图2,点D 是线段AM 上一点,MD MC =,点E 是ABC △外一点,EC AC =,连接ED 并延长交BC 于点F ,且点F 是线段BC 的中点.求证：BDF CEF ∠=∠.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------25.(本小题满分10分)对任意一个三位数n ,如果n 满足各数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“相异数”.将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为()F n .例如123n =,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213321132666++=,6661116÷=,所以(123)6F =.(1)计算：(243)F ,(617)F ；(2)若s ,t 都是“相异数”,其中10032s x =+,150t y =+,(19x ≤≤,19y ≤≤,x ,y 都是正整数),规定：()()F s k F t =.当()()18F s F t +=时,求k 的最大值.26.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线2y x =x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,对称轴与x 轴交于点D ,点(4,)E n 在抛物线上.图1图2备用图(1)求直线AE 的解析式；(2)点P 为直线CE 下方抛物线上的一点,连接PC ,PE .当PCE △的面积最大时,连接CD ,CB ,点K 是线段CB 的中点,点M 是CP 上一点,点N 是CD 上的一点,求KM MN NK ++的最小值； (3)点G 是线段CE 的中点.将抛物线2=y x x 轴正方向平移得到新抛物线y ',y '经过点D ,y '的顶点为点F .在新抛物线y '的对称轴上,是否存在点Q ,使得FGQ △为等腰三角形？若存在,直接写出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由.重庆市2017年初中毕业生学业水平暨普通高中招生考试(A 卷)数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】B【解析】4302<-<<∵-，∴四个实数中，最大的实数是2.故选：B. 【提示】根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，比较即可. 【考点】实数大小比较 2.【答案】A【解析】A.是轴对称图形，故此选项符合题意；B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A. 【提示】根据轴对称图形的概念求解. 【考点】轴对称图形 3.【答案】C【解析】62624x x x x -÷==故选：C.∠A︒tan tan40⊥，交DC于P，交AB于Q，连接BE，【解析】解法一：如图1，过E作PQ DC解法二：如图3，过G作GK AD⊥于K，作GR AB⊥于R，AD KG ADAF GR AF=2DG hGF h=，DNF MNFS S=其它解法同解法一，可得：解法三：如图4，过E 作EP AP EQ AD ⊥⊥，，100203545--=，补全条形统计图如图所示：2222121(1)2(1)1a a a a a a a a +-++⎤==⎥-+--⎦. ）先将括号里的进行通分，再将除法化为乘法，分解因式后进行约分. 【考点】分式的混合运算，单项式乘多项式，完全平方公式22222OM OC OM MB ⨯+=+）根据题意可以求得点B 的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求得点从而可以求得一次函数的解析式；中的函数解析式可以求得点C ，点M ，点过点P 作PF y ∥轴，交CE 于点F .如图2所示：作点K 关于CD 和CP 的对称点G H 、，连接G H 、交CD 和CP 与N M 、.（3）如图3所示：21/ 21。

重庆中考数学24题专题

重庆中考数学24题专题

重庆中考几何一、相关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质1、如图，在直角梯形 ABCD中， AD∥ BC，∠ ABC=90°， E 为 AB 延伸线上一点，连结 ED，与 BC 交于点 H．过 E 作 CD的垂线，垂足为 CD上的一点 F，并与 BC交于点 G．已知 G为 CH的中点，且∠BEH=∠HEG．（1）若 HE=HG，求证：△ EBH≌△ GFC；（2）若 CD=4， BH=1，求 AD的长．（1）证明：∵ HE=HG，∴∠ HEG=∠HGE，∵∠ HGE=∠FGC，∠ BEH=∠ HEG，∴∠ BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴ HG=GC，∴ HE=GC，∵∠ HBE=∠CFG=90°．∴△ EBH≌△ GFC；（2）解：过点H作 HI ⊥EG于 I ，∵ G为 CH的中点，∴ HG=GC，∵ EF⊥ DC，HI ⊥ EF，∴∠ HIG=∠GFC=90°，∠ FGC=∠ HGI，∴△ GIH≌△ GFC，∵△ EBH≌△ EIH（ AAS），∴ FC=HI=BH=1，∴ AD=4-1=3．AB、 AC 为边，向形外作等边△ABD 2、已知， Rt △ABC 中，∠ ACB=90°，∠ CAB=30°．分别以和等边△ ACE．（ 1）如图 1，连结线段BE、 CD．求证： BE=CD；（ 2）如图 2，连结 DE交 AB 于点 F．求证： F 为 DE中点．证明：（ 1）∵△ ABD和△ ACE是等边三角形，∴AB=AD， AC=AE，∠ DAB=∠ EAC=60°，∴∠ DAB+∠BAC=∠ EAC+∠ BAC，即∠ DAC=∠BAE，在△ DAC和△ BAE中，AC=AE∠ DAC=∠ BAE AD=AB，∴△ DAC≌△ BAE（ SAS），∴ DC=BE；（ 2）如图，作DG∥AE，交 AB于点 G，由∠ EAC=60°，∠ CAB=30°得：∠ FAE=∠EAC+∠ CAB=90°，∴∠ DGF=∠FAE=90°，又∵∠ ACB=90°，∠ CAB=30°，∴∠ ABC=60°，又∵△ ABD为等边三角形，∠DBG=60°， DB=AB，∴∠ DBG=∠ABC=60°，在△ DGB和△ ACB中，∠ DGB=∠ ACB ∠ DBG=∠ ABC DB=AB，∴△ DGB≌△ ACB（ AAS），∴ DG=AC，又∵△ AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴ DG=AE，在△ DGF和△ EAF中，∠ DGF=∠ EAF ∠ DFG=∠ EFA DG=EA，∴△ DGF≌△ EAF（ AAS），∴ DF=EF，即 F 为 DE中点．， AD与BC延伸线交于点F，3、如图，在直角梯形ABCD 中， AD ⊥ DC ， AB ∥ DC ， AB=BCG 是 DC 延伸线上一点，AG ⊥ BC 于 E．（ 1）求证： CF=CG ；（ 2）连结 DE ，若 BE=4CE ，CD=2 ，求 DE 的长．解答：（ 1）证明：连结AC ，∵ DC∥ AB ， AB=BC ，∴∠ 1=∠ CAB ，∠ CAB= ∠ 2，∴∠ 1=∠ 2；∵∠ ADC= ∠ AEC=90 °， AC=AC ， ∴△ ADC ≌△ AEC ， ∴ CD=CE ；∵∠ FDC= ∠GEC=90 °，∠ 3= ∠4， ∴△ FDC ≌△ GEC ， ∴ CF=CG ．（ 2）解：由（ 1）知， CE=CD=2 ， ∴ BE=4CE=8 ，∴ AB=BC=CE+BE=10 ，∴在 Rt △ ABE 中， AE= AB 2-BE 2 =6，∴在 Rt △ ACE 中， AC= AE 2+CE 2 = 2 10由（ 1）知，△ ADC ≌△ AEC ，∴ CD=CE ， AD=AE ，∴ C 、 A 分别是 DE 垂直均分线上的点，∴ DE ⊥ AC ， DE=2EH ；（ 8 分） 在 Rt △ AEC 中， S △AEC =1AE?CE= 1 AC?EH ，22∴ EH=AE CE= 62 =3 10 AC2 10 5∴ DE=2EH=2 ×3 10 =6 10554、如图， AC 是正方形 ABCD 的对角线，点 O 是 AC 的中点，点 Q 是 AB 上一点，连结 CQ ， DP ⊥ CQ 于点 E ，交 BC 于点 P ，连结 OP ， OQ ；求证：（ 1）△ BCQ ≌△ CDP ；（ 2） OP=OQ ．证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ B= ∠PCD=90 °， BC=CD ， ∴∠ 2+∠ 3=90°， 又∵ DP ⊥ CQ ， ∴∠ 2+∠ 1=90°， ∴∠ 1=∠ 3，在△ BCQ 和△ CDP 中，∠ B= ∠PCD BC=CD ∠1=∠ 3．∴△ BCQ ≌△ CDP ．（ 2）连结 OB ．由（ 1）：△ BCQ ≌△ CDP 可知： BQ=PC ，∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ ABC=90 °， AB=BC ，而点 O 是 AC 中点，∴ BO= 1 AC=CO ，∠ 4= 1∠ ABC=45 ° =∠PCO ，2 2在△ BCQ 和△ CDP 中， BQ=CP ∠ 4= ∠PCO BO=CO ∴△ BOQ ≌△ COP ，∴ OQ=OP ．5、在等腰梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AB=AD=CD,∠ ABC=60° , 延伸 AD 到 E, 使 DE=AD,延伸 DC 到 F ，使 DC=CF,连结 BE 、 BF 和 EF.ADE⑴求证：△ ABE ≌△ CFB;⑵假如 AD=6,tan ∠ EBC 的值 .CB解：（ 1）证明：连结 CE ，在△ BAE 与△ FCB 中，F∵ BA=FC ，∠ A=∠ BCF ，，AE=BC ， ∴△ BAE ≌△ FCB ；（ 2）延伸 BC 交 EF 于点 G ，作 AH ⊥ BG 于 H ，作 AM ⊥ BG ，∵△ BAE ≌△ FCB ，∴∠ AEB=∠FBG ， BE=BF ，∴△ BEF 为等腰三角形，又∵AE ∥BC ，∴∠ AEB=∠EBG ，∴∠ EBG=∠ FBG ，∴ BG ⊥ EF ，∵∠ AMG=∠EGM=∠ AEG=90°，∴四边形 AMGE 为矩形，∴ AM=EG ，在 Rt △ ABM 中， AM=AB?sin60°=6×3= 3 3，∴ EG=AM=3 3 ，2BG=BM+MG=6×2+6× cos60 ° =15，∴ tan ∠EBC=EG 3 3 3BG1556、如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥BC ，∠ C=90°， E 为 CD 的中点， EF ∥AB 交 BC 于点 F（ 1）求证： BF=AD+CF ；（ 2）当 AD=1， BC=7，且 BE 均分∠ ABC 时，求 EF 的长．（ 1 ）证明： 如图（ 1 ），延伸 AD 交 FE 的延伸线于 N∵∠ NDE= ∠FCE=90 °∠ DEN= ∠ FEC DE=EC∴△ NDE ≌△ FCE∴ DN=CF∵AB ∥ FN ，AN ∥ BF ∴四边形 ABFN 是平行四边形∴B F=AD+DN=AD+FC（2 ）解：∵ AB ∥EF ，∴∠ ABN= ∠ EFC ，即∠ 1+ ∠ 2=∠ 3，又∵∠ 2+ ∠BEF= ∠ 3，∴∠ 1= ∠BEF ，∴BF=EF ，∵∠ 1= ∠ 2，∴∠ BEF= ∠2 ，∴ EF=BF ，又∵BC+AD=7+1 ∴ BF+CF+AD=8而由（ 1 ）知 CF+AD=BF∴BF+BF=8∴2BF=8 ，∴B F=4 ，∴ BF=EF=47、已知： AC 是矩形 ABCD 的对角线，延伸CB 至 E，使 CE=CA ，F 是 AE 的中点，连结DF 、CF 分别交 AB 于 G、H 点（ 1）求证： FG=FH ；（ 2）若∠ E=60°，且 AE=8 时，求梯形AECD 的面积．（ 1）证明：连结BF∵ABCD 为矩形∴AB ⊥ BC AB ⊥ AD AD=BC∴△ ABE 为直角三角形∵F是 AE 的中点∴ AF=BF=BE∴∠ FAB= ∠FBA∴∠ DAF= ∠ CBF∵AD=BC, ∠DAF= ∠ CBF ,AF=BF ,∴△ DAF ≌△ CBF∴∠ ADF= ∠ BCF∴∠ FDC= ∠ FCD∴∠ FGH= ∠FHG∴FG=FH ；（2）解：∵ AC=CE ∠ E=60°∴△ ACE 为等边三角形∴CE=AE=8∵AB ⊥BC∴BC=BE= 1CE=4 2∴依据勾股定理AB=43∴梯形AECD的面积 =1 ×(AD+CE)× CD=1×(4+8)×4 3 = 24 3 228、如图，直角梯形ABCD 中， AD ∥BC ，∠ BCD=90 °，且CD=2AD ， tan∠ ABC=2 ，过点D 作 DE∥ AB ，交∠ BCD 的均分线于点 E，连结BE．（ 1）求证： BC=CD ；（ 2）将△ BCE 绕点 C，顺时针旋转 90°获得△ DCG ，连结 EG．求证： CD 垂直均分 EG；（ 3）延伸 BE 交 CD 于点 P．求证： P 是 CD 的中点．证明：（ 1）延伸 DE 交 BC 于 F，∵AD ∥BC，AB ∥DF，∴AD=BF ，∠ ABC= ∠DFC ．在 Rt△ DCF 中，∵ tan∠DFC=tan ∠ ABC=2 ，∴CD=2，CF即 CD=2CF ，∵CD=2AD=2BF ，∴ BF=CF ，∴BC=BF+CF= 1CD+1CD=CD ．22即 BC=CD ．（2）∵ CE 均分∠ BCD ，∴∠ BCE= ∠DCE ，由（ 1）知 BC=CD ，∵ CE=CE ，∴△BCE ≌△DCE ，∴ BE=DE ，由图形旋转的性质知 CE=CG ， BE=DG ，∴DE=DG ，∴C， D 都在 EG 的垂直均分线上，∴CD 垂直均分 EG．（3）连结 BD ，由（ 2）知 BE=DE ，∴∠ 1=∠ 2．∵AB ∥DE，∴∠ 3=∠ 2．∴∠ 1=∠3．∵ AD ∥ BC ，∴∠ 4= ∠ DBC ．由（ 1）知 BC=CD ，∴∠ DBC= ∠ BDC ，∴∠ 4=∠BDP ．又∵ BD=BD ，∴△ BAD ≌△ BPD(ASA) ∴DP=AD ．∵ AD= 1 CD ，∴ DP= 1CD ．∴ P 是 CD 的中点．229．(2011 南岸二诊 ) 如图，已知点 P 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过点 P 作 EF ⊥ DP ，交 AB 于点 E ，交 CD 于点 G ，交 BC 的延伸线于点 F ，连结 DF ．（ 1）若 DF3 2 ，求 DP 的长；AD（2）求证： AECF .EPGBF24题图C10．如图，正方形CGEF 的对角线 CE 在正方形 ABCD 的边 BC 的延伸线上（ CG ＞BC ）， M 是线段AE 的中点， DM 的延伸线交 CE 于 N ．（ 1）线段 AD 与 NE 相等吗？请说明原因；（ 2）研究：线段 MD 、 MF 的关系，并加以证明．11、如图，梯形 ABCD 中， AD ∥BC ，AB=DC=10cm ，AC 交 BD 于 G ，且∠ AGD=60°， E 、 F 分别为 CG 、AB 的中点．（ 1）求证： △ AGD 为正三角形；（ 2）求 EF 的长度．解答：（ 1）证明：连结 BE ，∵梯形 ABCD 中， AB=DC ，∴ AC=BD ，可证 △ ABC ≌△ DCB ，∴∠ GCB= ∠GBC ，又∵∠ BGC= ∠ AGD=60° ∴△ AGD 为等边三角形，（ 2）解：∵ BE 为 △ BCG 的中线，∴ BE ⊥ AC ，在 Rt △ ABE 中， EF 为斜边 AB 上的中线， ∴ EF= AB=5cm ．12、如图，梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，DE=EC ， EF∥ AB 交 BC 于点 F， EF=EC，连结DF．（ 1）试说明梯形 ABCD 是等腰梯形；（ 2）若 AD=1 ， BC=3 ， DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（ 2）下，射线 BC 上能否存在一点 P，使△PCD 是等腰三角形，若存在，请直接写出PB 的长；若不存在，请说明原因．解答：解：（1）证明：∵ EF=EC，∴∠ EFC=∠ ECF，∵ EF∥ AB ，∴∠ B=∠ EFC，∴∠ B=∠ ECF，∴梯形 ABCD 是等腰梯形；（2）△ DCF 是等腰直角三角形，证明：∵ DE=EC ，EF=EC ，∴ EF= CD ，∴△ CDF 是直角三角形（假如一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），∵梯形ABCD 是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵ DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△ DCF 是等腰直角三角形；（ 3）共四种状况：∵ DF⊥ BC ，∴当 PF=CF 时，△PCD 是等腰三角形，即PF=1，∴ PB=1 ；当 P 与 F 重合时，△ PCD 是等腰三角形，∴PB=2；当 PC=CD=（P在点C的左边）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3 ﹣；当 PC=CD=（P在点C的右边）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．故共四种状况：PB=1 ， PB=2 ，PB=3 ﹣，PB=3+．（每个1分）13．在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC， AB=CD ，且 DE⊥ AD 于 D，∠ EBC= ∠CDE ,∠ECB= 45°．⑴求证： AB=BE ；⑵延伸 BE ，交 CD 于 F．若 CE = 2 ，tan∠CD E=1，求BF的长．313．⑴证明：延伸DE，交 BC 于 G．∵DE ⊥AD 于 D，∴∠ ADE=90°又 AD ∥BC，∴∠ DGC =∠ BGE =∠ ADE =90°，而∠ ECB=45°, ∴△ EGC 是等腰直角三角形，∴EG=CG在△BEG 和△DCG 中，EBG CDGEGB CGDEG CG∴△ BEG≌△ DCG(AAS)∴BE=CD=AB⑵连结 BD ．∵∠ EBC= ∠CDE ∴∠ EBC +∠ BCD = ∠ CDE+∠ BCD=90°，即∠ BFC =90° ∵ CE= 2 ，∴ EG=CG= 1 又 tan ∠ CDE= 1 ，∴CG1 ，∴ DG =33 DG3∵△ BEG ≌△ DCG ，∴ BG=DG= 3∴ BE BG 2 EG 210∴ CD=BE= 10法一：∵ S VBCD1BC gDG1CD gBF ， 14 3 110gBF ∴ BF6 1022 225 法二：经研究得， △BEG ∽△ BFC ，∴BEBC ，∴ 10 4 ∴ BF 6 10BGBF3 BF514．如图， 直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC , ADC 90o , ABC 45o , AB 的垂直均分线 EG交 BC 于 F ，交 DC 的延伸线于 G. 求证： (1) CFCG ； (2) BC DG.A DECBF证明： (1)EFAB,B45oGEFB 90o 45o 45o CFG 45o Q AD / / BC, ADC 90oFCG90oFCG45o ,CFCG(2) 连结 AF ， EF 是 AB 的中垂线AFBF ,FEAB AFE BFE 45AFB 90AFB DCB AF // CD,AD // BCAFDC ,BF DC由 (1)知 CF CG BF CFDCCG, 即： BC DG二、相关“截长补短”题型1、在Y ABCD中，对角线BD BC ,G为 BD 延伸线上一点且ABG 为等边三角形，CBD 的均分线订交于点E ，连结AE交BD于F，连结GE 。

重庆市2017年中考数学真题试题-含答案解析

重庆市2017年中考数学真题试题-含答案解析

重庆市2017年中考数学真题试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．5的相反数是（ ）A ．﹣5B ．5C ．D ．【答案】A ．【解析】试题分析：5的相反数是﹣5，故选A ．考点：相反数．2．下列图形中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D ．考点：轴对称图形．3．计算结果正确的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B ．【解析】试题分析：=．故选B ．15-1553a a ÷a 2a 3a 4a 53a a ÷2a考点：同底数幂的除法．4．下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）A ．对某地区现有的16名百岁以上老人睡眠时间的调查B ．对“神舟十一号”运载火箭发射前零部件质量情况的调查C ．对某校九年级三班学生视力情况的调查D ．对某市场上某一品牌电脑使用寿命的调查【答案】D ．考点：全面调查与抽样调查．5的值在（ ）A．2和3之间B ．3和4之间 C ．4和5之间 D ．5和6之间【答案】C ．【解析】试题分析：∵3＜4，∴4＜5在4和5之间，故选C ．考点：估算无理数的大小．6．若x =﹣3，y =1，则代数式2x ﹣3y +1的值为（ ）A ．﹣10B ．﹣8C ．4D ．10【答案】B ．【解析】试题分析：∵x =﹣3，y =1，∴2x ﹣3y +1=2×（﹣3）﹣3×1+1=﹣8，故选B ．考点：代数式求值．7．若分式有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3 B ．x ＜3 C ．x ≠3 D ．x =311113x -【答案】C ．【解析】试题分析：∵分式有意义，∴x ﹣3≠0，∴x ≠3；故选C ． 考点：分式有意义的条件．8．已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1：2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ）A ．1：4B ．4：1C ．1：2D ．2：1【答案】A ．考点：相似三角形的性质；图形的相似．9．如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =2，分别以A 、C 为圆心，AD 、CB 为半径画弧，交AB 于点E ，交CD 于点F ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C ．【解析】试题分析：∵矩形ABCD ，∴AD =CB =2，∴S 阴影=S 矩形﹣S 半圆=2×4﹣π×22=8﹣2π，故选C ． 考点：扇形面积的计算；矩形的性质．10．下列图象都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为（ ） 13x-42π-82π-82π-84π-12A ．116B ．144C ．145D ．150【答案】B ．考点：规律型：图形的变化类．11．如图，已知点C 与某建筑物底端B 相距306米（点C 与点B 在同一水平面上），某同学从点C 出发，沿同一剖面的斜坡CD 行走195米至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度（或坡比）i =1：2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯视角为20°，则建筑物AB 的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（ ）A ．29.1米B ．31.9米C ．45.9米D ．95.9米【答案】A ．【解析】试题分析：作DE ⊥AB 于E 点，作AF ⊥DE 于F 点，如图，设DE =xm ，CE =2.4xm ，由勾股定理，得 x 2+（2.4x ）2=1952，解得x ≈75m ，DE =75m ，CE =2.4x =180m ，EB =BC ﹣CE =306﹣180=126m ．∵AF ∥DG ，∴∠1=∠ADG =20°，tan ∠1=tan ∠ADG = =0.364． AF =EB =126m ，tan ∠1==0.364，DF =0.364AF =0.364×126=45.9，AB =FE =DE ﹣DF =75﹣45.9≈29.1m，故选sin 20cos 20DF AFA ．【来源：21·世纪·教育·网】考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．12．若数a 使关于x 的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程有非负数解，则所以满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．3 B ．1 C ．0 D ．﹣3【答案】A ．考点：分式方程的解；一元一次不等式组的整数解；含待定字母的不等式（组）；综合题．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．据统计，2017年五一假日三天，重庆市共接待游客约为14300000人次，将数14300000用科学记数法表示为．【答案】1.43×107．【解析】试题分析：14300000=1.43×107，故答案为：1.43×107．考点：科学记数法—表示较大的数．2122274x x x a-⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩2222a y y+=--14．计算：．【答案】4．【解析】试题分析：原式=3+1=4．故答案为：4．考点：实数的运算；零指数幂．15．如图，OA 、OC 是⊙O 的半径，点B 在⊙O 上，连接AB 、BC ，若∠ABC =40°，则∠AOC =度．【答案】80．考点：圆周角定理．16．某同学在体育训练中统计了自己五次“1分钟跳绳”成绩，并绘制了如图所示的折线统计图，这五次“1分钟跳绳”成绩的中位数是个．【答案】183．【解析】试题分析：由图可知，把数据从小到大排列的顺序是：180、182、183、185、186，中位数是183． 故答案为：183．0|3|(4)-+-考点：折线统计图；中位数．17．甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需分钟到达终点B．【答案】18．考点：函数的图象．18．如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是．【答案】． 【解析】∴CG =，∴EG =，连接GM 、GN ，交EF 于H ，∵∠GFE =45°，∴△GHF 是等腰直角三角形，∴GH =FH =，∴EH =EF ﹣FH ，∴∠NDE =∠AEF ，∴tan ∠NDE =tan ∠AEF = =，∴EN ，∴NH =EH ﹣EN =，Rt △GNH 中，GN ，由折叠得：MN =GN ，EM =EG ，∴△EMN 的周长2223⨯8238223-5232532101010210EN GH DE EH =10310210=12102101010622GH NH +221010()()36+52=EN +MN +EM =+=； 故答案为：．考点：翻折变换（折叠问题）；正方形的性质；综合题．三、解答题（共5小题）19．如图，直线EF ∥GH ，点A 在EF 上，AC 交GH 于点B ，若∠FAC=72°，∠ACD =58°，点D 在GH 上，求∠BDC 的度数．21教育名师原创作品【答案】50°．考点：平行线的性质．20．中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富，某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：2322（1）扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角为度，并将条形统计图补充完整．（2）此次比赛有四名同学活动满分，分别是甲、乙、丙、丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．【答案】（1）72；（2）． 【解析】 （2）画树状图，如图所示：共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个，∴P （选中的两名同学恰好是甲、丁）==．2·1·c ·n ·j ·y1621216考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．21．计算：（1）；（2）． 【答案】（1）；（2）．考点：分式的混合运算；单项式乘多项式；完全平方公式．22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =ax +b （a ≠0）的图象与反比例函数（k ≠0）的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，点O 是线段CH 的中点，AC =cos ∠ACH =，点B 的坐标为（4，n ）（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△BCH 的面积． 2(2)()x x y x y --+2321(2)22a a a a a -++-÷++24xy y --11a a +-k y x=5【答案】（1），y =﹣2x +4；（2）8． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形．23．某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m %，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m %，但销16y x=-售均价比去年减少了m %，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m 的值．【答案】（1）50；（2）12.5．考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．24．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点E 是AC 上一点，连接BE ．（1）如图1，若AB =，BE =5，求AE 的长；（2）如图2，点D 是线段BE 延长线上一点，过点A 作AF ⊥BD 于点F ，连接CD 、CF ，当AF =DF 时，求证：DC =BC ．21教育网【答案】（1）1；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC =BC =AB =4，根据勾股定理得到CE，2于是得到结论；考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理．25．对任意一个三位数n ，如果n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F （n ）．例如n =123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F （123）=6．（1）计算：F （243），F （617）；（2）若s ，t 都是“相异数”，其中s =100x +32，t =150+y （1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y 都是正整数），规定：k =，当F （s ）+F （t ）=18时，求k 的最大值． 【答案】（1）F （243）=9，F （617）=14；（2）． 【解析】试题分析：（1）根据F （n ）的定义式，分别将n =243和n =617代入F （n ）中，即可求出结论；（2）由s =100x +32、t =150+y 结合F （s ）+F （t ）=18，即可得出关于x 、y 的二元一次方程，解之即可得出x 、y 的值，再根据“相异数”的定义结合F （n ）的定义式，即可求出F （s ）、F （t ）的值，将其代入k =中，找出最大值即可．试题解析：（1）F （243）=（423+342+234）÷111=9；()()F s F t 54()()F s F tF （617）=（167+716+671）÷111=14．考点：因式分解的应用；二元一次方程的应用；新定义；阅读型；最值问题；压轴题．26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E （4，n ）在抛物线上．（1）求直线AE 的解析式；（2）点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC ，PE ．当△PCE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K 是线段CB 的中点，点M 是CP 上的一点，点N 是CD 上的一点，求KM +MN +NK 的最小值；（3）点G 是线段CE 的中点，将抛物线x 轴正方向平移得到新抛物线y ′，y ′经过点D ，y ′的顶点为点F ．在新抛物线y ′的对称轴上，是否存在一点Q ，使得△FGQ 为等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．233y x x =-233y x x =-【答案】（1）；（2）3；（3）Q 的坐标为（3，）或′（3，）或（3，3，）． （3）由平移后的抛物线经过点D ，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G 的坐标，然后分为QG =FG 、QG=QF ，FQ =FQ三种情况求解即可．试题解析：（1）∵y =（x +1）（x ﹣3），∴A （﹣1，0），B （3，0）． 当x =4时，y =，∴E （4，）． 设直线AE 的解析式为y =kx +b ，将点A 和点E 的坐标代入得：，解得：k =，b =，∴直线AE 的解析式为． 33y x =+43-+43--5-233y x x =-33333y x =设点P 的坐标为（xF （x ），则FP =）﹣（）=，∴△EPC 的面积=×（）×4=，∴当x =2时，△EPC 的面积最大，∴P （2如图2所示：作点K 关于CD 和CP 的对称点G 、H ，连接G 、H 交CD 和CP 与N 、M ．∵K 是CB 的中点，∴k （）． 23233x x 233x 233x 23233x x 2343x x +122343x 2238333x x -+332∵点H 与点K 关于CP 对称，∴点H 的坐标为（，﹣）． ∵点G 与点K 关于CD 对称，∴点G （0，0），∴KM +MN +NK =MH +MN +GN ． 当点O 、N 、M 、H 在条直线上时，KM +MN +NK 有最小值，最小值=GH ，∴GH=3，∴KM +MN +NK 的最小值为3．322考点：二次函数综合题；最值问题；分类讨论；存在型；压轴题．。

2017年重庆中考阅读理解篇(无答案)

2017年重庆中考阅读理解篇(无答案)

2017年重庆中考阅读理解篇（无答案）1.观察下列等式：12×231=132×2114×451=154×4132×253=352×2334×473=374×4345×594=495×54……以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”.（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”.①35×=×53②×682=286×（2）设数字对称式左边的两位数的十位数字为m ，个位数字为n ，且2≤m +n ≤9.用含m ，n 的代数式表示数字对称式左边的两位数与三位数的乘积P ，并求出P 能被110整除时mn 的值.2.若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得b a =n ，即a =bn.例如：若整数a 能被整数7整除，则一定存在整数n ，使得7a =n ，即a =7n.（1）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被7整除，则原多位自然数一定能被7整除.例如：将数字1078分解为8和107，107－8×2=91，因为91能被7整除，所以1078能被7整除，请你证明任意一个三位数都满足上述规律.（2）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的k （k 为正整数，1≤k ≤15）倍，所得之和能被13整除.求当k 为何值时使得原多位自然数一定能被13整除.（3）有一个百位数字为1的三位整数，它能被7整除.将这个三位数的百位数字和个位数字交换后所产生的新三位整数仍能够被7整除，求这个三位整数.3.如果一个自然数从高位到个位是由一个数字或几个数字出现组成，那么我们把这样的自然数叫做循环数，被重复的一个或几个数字称为“循环节”，我们把“循环节”的数字个数叫做循环数的阶数，例如：252525，它由“25”依次重复出现组成，所以252525是循环数，它是2阶6位循环数.再如：11，是1阶2位循环数；789789789是3阶9位循环数；473847384738是4阶12位循环数……（1）请你直接写出3个2阶6位循环数，猜想任意一个2阶6位循环数能否被7整除，并说明理由.（2）已知一个能被11整除的2阶4位循环数，设循环节为xy ，求y 关于x 的函数关系式.4.若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如：22，797，12321……，都是对称数.最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的.（1）有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数.如：17的逆序数是71，17＋71=88，88是一个对称数；39的逆序数是93，39＋93=132，132的逆序数是231，132＋231=363，363是一个对称数.根据以上材料，求以687产生的第一个对称数.（2）若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除.（3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，请写出满足条件的三位对称数.（4）若两位自然数A 按上述方式产生的第一个对称数是484，A 的十位上的数字大于个位上的数字，求A 的值.（5）设一个三位对称数为aba （a ＋b <10），该对称数与11相乘后得到一个四位数，该四位数前两位所表示的数和后两位所表示的数相等，且该四位数各位数字之和为8，求这个三位对称数.5.如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”.如：2=13－(-1)3，26=33－13，所以2和26均为“麻辣数”.【立方差公式：a 3－b 3=(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)】（1）请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由.（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“求出在不超过2016的自然数中，所有的‘麻辣数’之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“这个难不倒图图，我们知道奇数可以用2k ＋1表示，再结合立方差公式……”.请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程.6.如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16=52－32，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：小明的办法是一个一个找出来的：0=02－021=12－023=22－124=22－025=32－227=42－328=32－129=52－4211=62－52……小王认为小明的方法太麻烦，他想到：设k 是自然数，由于(k ＋1)2－k 2=(k ＋1＋k )(k ＋1－k )=2k ＋1，所以自然数中所有奇数都是智慧数.问题：（1）根据上述方法，自然数中第12个智慧数是.（2）他们发现0，4，8都是智慧数，由此猜测4k （k ≥3且k 为正整数）都是智慧数，请你参考小王的方法，证明4k （k ≥3且k 为正整数）都是智慧数.（3）他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k ＋2（k 为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由.7.能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能被3整除的三位数abc 的“F ”运算：把abc 的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数.例如：当abc =213时，则213−→−F 36(23＋23＋33=36)−→−F243(33＋63=243).数字111经过3次“F ”运算得，经过4次“F ”运算得，经过5次“F ”运算得，经过2016次“F ”运算得.（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如一个四位数，千位上的数字是a ，百位上的数字是b ，十位上的数字为c ，个位上的数字为d ，如果a ＋b ＋c ＋d 可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）.8.阅读下列材料，解决后面两个问题.我们可以将任意三位数表示为abc （其中a 、b 、c 百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且a ≠0）.显然，abc =100a ＋10b ＋c.我们把形如xyz 和zyx 的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x 、y 、z 是三个连续的自然数）.如：123和321是一对“姊妹数”，678和876是一对“姊妹数”.（1）写出任意一对“姊妹数”，并判断2331是否为一对“姊妹数”的和.（2）如果用x 表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除.9.有一个n 位自然数gh abcd ⋯能被x 0整除，依次轮换个位数字得到的新数gha bcd ⋯能被x 0＋1整除，再依次轮换个位数字得到的新数ghab cd ⋯能被x 0＋2整除，按此规律轮换后，ghabc d ⋯能被x 0＋3整除……g habc ⋯能被x 0＋n －1整除，则称这个n 位数gh abcd ⋯是x 0的一个“轮换数”.例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”……（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”.（2）若三位自然数abc 是3的一个“轮换数”，其中a =2，求这个三位自然数abc .10.定义：如果M 个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M 个数的祖冲之数组.如(3,6)为两个数的祖冲之数组，因为(3×6)能被(3＋6)整除；又如(15,30,60)为三个数的祖冲之数组，因为(15×30)能被(15＋30)整除，(15×60)能被(15＋60)整除，(30×60)能被(30＋60)整除……（1）我们发现：3和6，4和12，5和20，6和30……，都是两个数的祖冲之数组，由此猜测n 和n (n －1)（n ≥2，n 为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想.（2）若(4a ,5a ,6a )是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a.11.对于实数x ，y 我们定义中新运算L (x ,y )=ax ＋by （其中a ，b 均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记L (x ,y )，其中x ，y 叫做线性数的一个数对.若实数x ，y 都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x ，y 叫做正格线性数的正格数对.（1）若L (x ,y )=x ＋3y ，则L (2,1)=，L (3,1)=.（2）已知L (1,-2)=-1，L (23,21)=2.①a =，b =.②若正格线性数L (m ,m －2)，求满足50<L (m ,m －2)<100的正格数对有多少个.③若正格线性数L (x ,y )=76，满足这样的正格数对有多少个？在这些正格数对中，有满足问题②的数对吗？若有，请找出；若没有，请说明理由.12.若一个整数能表示成a 2＋b 2（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为5=22＋12.再如，M =x 2＋2xy ＋2y 2=(x ＋y )2＋y 2（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”.（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”.（2）已知S =x 2＋4y 2＋4x －12y ＋k （x ，y 是整数，k 是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由.（3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”.13.连续整数之间有许多神奇的关系，如：32＋42=52，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于较大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广，设三个连续整数为a ，b ，c （a <b <c ）.若a 2＋b 2=c 2，则称这样的正整数组为“奇幻数组”；若a 2＋b 2<c 2，则称这样的正整数组为“魔幻数组”；若a 2＋b 2>c 2，则称这样的正整数组为“梦幻数组”.（1）若有一组正整数组为“魔幻数组”，写出所有的“魔幻数组”.（2）现有几组“科幻数组”具有下面的特征：若有3个连续整数：25543222++=2；若有5个连续整数：365141312111022222++++=2；若有7个连续整数：2030272625242322212222222++++++=2；……由此获得启发，若存在n （7<n <11）个连续正整数也满足上述规律，求这n 个数.14.任意写一个个位数字不为零的四位正整数A ，将该正整数A 的各位数字顺序颠倒过来，得到四位正整数B ，则称A 和B 为一对四位回文数.例如：当A =2016，B=6102，则A 和B 就是一对四位回文数.现将A 的回文数B 从左往右，依次顺取三个数字组成一个新数，最后不足三个数字时，将开头的一个数字或两个数字顺次接到末尾，在组成三位新数时，如遇最高位数字为零，则去掉最高位数字，由剩下的两个或一个数字组成新数，将得到的所有新数求和，把这个和称为A 的回文数B 作三位数的和.例如：将6102依次顺取三个数字组成的新数分别为：610，102，26，261.它们的和为：610＋102＋26＋261=999，把999称为2016的回文数作三位数的和.（1）请直接写出一对四位回文数，并猜想一个四位正整数的回文数作三位数的和能否被111整除？需说明理由.（2）已知一个四位正整数y x 11（千位数字为1，百位数字为x 且0≤x ≤9，十位数字为1，个位数字为y 且0<y ≤9）的回文数作三位数的和能被27整除，请求出x 与y 的数量关系.15.阅读以下两则材料，解决后续问题：材料一：我们可以将任意三位数记为abc （其中a ，b ，c 分别表示该数的百位数字、十位数字和个位数字，且a ≠0），显然，abc =100a ＋10b ＋c.材料二：若一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字均不为0，则称之为原始数，比如123就是一个原始数，将原始数的三个数位上的数字交换顺序，可产生出5个新的原始数，比如由123可以产生出132，213，231，312，321这5个新原始数.将这6个数相加，得到的和1332称为原始数123生成的终止数.问题：（1）分别求出由下列两个原始数生成的终止数：247，638.（2）若由一个原始数生成的终止数为1110，求满足条件的所有原始数.16.如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上的数大1，那么我们把这样的自然数叫做“妙数”.例如：321，6543，98……，都是“妙数”.（1）若某个妙数恰好等于其个位数的153倍，则这个“妙数”为.（2）证明：任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差，再加上1得到的结果一定能被11整除.（3）在某个三位妙数的左侧放置一个一位自然数m 作为千位上的数字，从而得到一新的四位自然数A ，且m 大于自然数A 百位上的数字，是否存在一个一位自然数n ，使得自然数(9A ＋n )各数位上的数字全都相同？若存在，请求出m 和n 的值；若不存在，请说明理由.17.进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n ，即可称n 进制，通常使用10个阿拉伯数字0~9进行记数，特点是逢十进一.对于任意一个用n （n ≤10）进制表示的数，通常使用n 个阿拉伯数字0~(n －1)进行记数，特点是逢n 进一.我们可以通过以下方式把它转化为十进制.例如：五进制数(234)5=2×52＋3×5＋4=69，记作(234)5=69，七进制数(136)7=1×72＋3×7＋6=76，记作(136)7=76.（1）请将以下两个数转化为十进制：(331)5=，(46)7=.（2）若一个正数可以用七进制表示为(abc )7，也可以用五进制表示为(cba )5，求出这个数并用十进制表示.18.把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”.例如：32→32＋22=13→12＋32=10→12＋02=1，70→72＋02=49→42＋92=97→92＋72=130→12＋32＋02=10→12＋02=1.所以32和70都是“快乐数”.（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4.（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”.19.若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得b a =n ，即a =bn.例如：若整数a 能被11整除，则一定存在整数n ，使得a =n ，即a =11n.一个能被11整除的自然数我们称为“光棍数”，它的特征是奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除.例如：42559奇数位的数字之和为4＋5＋9=18，偶数位的数字之和为2＋5=7，18－7=11，11是11的倍数，所以42559为“光棍数”.（1）请你证明任意一个四位“光棍数”均满足上述规律.（2）若七位整数n m 62175能被11整除，请求出所有符合要求的七位整数.20.若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得b a =n ，即a =bn.例如，若整数a 能被整数3整除，则一定存在整数n ，使得a =n ，即a =3n.（1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除.例如：将数字306371分解为306和371，因为371－306=65，65是13的倍数，所以306371能被13整除，请你证明任意一个四位数都满足上述规律.（2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”.例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”，再如656，9898，37373，171717……，都是摆动数.请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除.21.有这样一对数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为反序数.比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504.根据以上阅读材料，回答下列问题：（1）已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，求证：原三位数与其反序数之差的绝对值为198.（2）若一个两位数与其反序数之和是一个完全平方数，求满足上述条件的所有两位数.22.若将一个自然数从左到右各数位上的数字排成一列后，后一个数减去前一个数的差始终是同一个常数，则这个自然数叫做“阶梯数”.如：四位数1357排列后为1，3，5，7.因为7－5=5－3=3－1=2，且2是常数，故1357是一个四位阶梯数，又如9876，55555等数也是“阶梯数”.若一个自然数从左到右各数位上的数字和另一个自然数从右到左各数位上的数字完全相同，则称这两个自然数互为逆序数，简称为“互逆数”.例如：1357与7531，9876和6789……，都是互逆数.（1）写出一个三位阶梯数及其互逆数：、，并证明任意一个三位阶梯数与其互逆数的差能被198整除（设百位数为a ，后一个数位与前一个数位差的常数为b ，1≤a ≤9，0≤b ≤4，且a 、b 为整数）.（2）若一个四位阶梯数能被6整除，求出符合条件的所有四位阶梯数（设千位数字为x ，后一个数位与前一个数位差的常数为y ，1≤x ≤9，0≤y ≤2，且x 、y 为整数）.23.当一个多位数为偶数时，在其中间位插入一位数k （0≤k ≤9，且k 为整数），得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数.如：435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729.其中，435729=729＋435×1000；4356729=729＋6×1000＋435×10000.阅读以上材料，解决下列问题：（1）若一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足这样的三位关联数.（2）对于任何一个位数为偶数的多位数，中间插入数字m （0≤m ≤9，且m 为3的倍数）得其关联数.试证明：所得的关联数与原数10倍的差一定能被3整除.24.一个自然数m，若将其数字重新排列可得一个新的自然数n，如果m=3n，我们称m是一个“希望数”.例如：3105=3×1035，71253=3×23751，371250=3×123750……（1）请说明41不是“希望数”，并证明任意两位数都不可能是“希望数”.（2）一个四位“希望数”M记为abcd，已知abcd=3×cbad，且c=2，请求出这个四位“希望数”.25.若两个正整数都是三位数，且它们的和为999，则称这两个数互为“对应数”，如372和627互为“对应数”；将一个三位数的个位数字放到最前面作为作为百位数字，得到的新数称为原数的“反转数”，如372的“反转数”为237，627的“反转数”为762.（1）若两个数互为“对应数”，证明它们的“反转数”也互为“对应数”.（2）若两个三位正整数m和n互为“对应数”，n的“反转数”与m的差是5的倍数，且m的十位数字是个位数字与百位数字和的2倍，求m.26.一个正整数N的各位数字不全相等，且都不为0，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数与最小数的差记为N的“差数”，此最大数与最小数的和记为N的“和数”，例如，245的“差数”为：542－245=297，“和数”为：542＋245=787.（1）求证：一个任意三位数的“差数”一定能被9整除.（2）一个四位数M，其中千位数字和百位数字为a，十位数字为1，个位数字为b（且a≥1，b≥1），若它的“和数”是6666，求M的“差数”的值.27.若在一个三位自然数中，百位上的数字恰好等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个三位数为“欢乐数”.例如：在自然数321中，3=2＋1，则321是“欢乐数”；在自然数936中，9=3＋6，则936是“欢乐数”.（1）请你直接写出最小的“欢乐数”，并证明：任意一个“欢乐数”与其个位上数字的2倍之差一定能被11整除.（2）若将一个“欢乐数”加上其各数位上的数字之和，所得结果能同时被4和9整除，求这样的“欢乐数”.28.一个能被17整除的自然数我们称为“灵动数”.“灵动数”的特征是：若把一个整数的个位数字截去，再从余下的数字中，减去个位数的5倍，如果差是17的整倍数（包括0），则原数能被17整除.如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾、倍大、相减、验差”的过程，直到能清楚判断为止.例如：判断1675282能不能被17整除：167528－2×5=167518→16751－8×5=16711→1671－1×5=1666→166－6×5=136，到这里如果你仍然观察不出来，就继续……6×5=30，现在个位数字6×5=30>剩下的13，就用大数减去小数，30－13=17→17÷17=1.所以1675282能被17整除.（1）请用上述方法判断7242和2098754是否是“灵动数”，并说明理由.27，其中个位上的数字n，十位上的数字为m，0≤m≤9，0≤n≤9，且（2）已知一个四位整数可表示为mnm，n为整数.若这个数能被51整除，请求出这个数.29.若一个三位整数，百位上数字的2倍加上十位上数字的3倍，再加上个位上数字所得的和能被7整除，则称这个整数为“劳动数”.例如：判断210是“劳动数”的过程如下：2×2＋3×1＋0=7， 7能被7整除，∴210是“劳动数”；判断322是“劳动数”的过程如下：2×3＋3×2＋2=14， 14能被7整除，∴322是“劳动数”.（1）直接写出最小的“劳动数”为，并请用上面的方法判断448是否为“劳动数”.（2）试证明：所有的“劳动数”均能被7整除.30.如果一个四位数的千位数字与个位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“四位友谊数”.如2112，5225，7667……，都是“四位友谊数”.如果将一个“四位友谊数”的百位数字与千位数字，个位数字与十位数字都交换位置，得到一个新四位数.我们把这个新四位数叫做“四位友谊数的姊妹数”.如果“四位友谊数”的百位数字是0，则交换位置后保留首位的“0”，即它的姊妹数就是首位为“0”的四位数，如2112的对应数为1221，5225的对应数为2552，1001的对应数为0110.（1）任意写一个“四位友谊数”及它的“四位友谊数的姊妹数”；猜想任意一个“四位友谊数”与它的“四位友谊数的姊妹数”的差是否都能被11整除？并说明理由.（2）一个“四位友谊数”的千位数字为a（1≤a≤9），百位数字为b（0≤b≤9，b<a），若这个“四位友谊数”与它的“四位友谊数的姊妹数”的差能被486整除，求这个“四位友谊数”.31.对于一个大于100的整数，若将它的后两位之前的数移到个位之后，重新得到一个新数，称之为原数的“兄弟数”.比如：2017的兄弟数为1720，168的兄弟数为681.根据以上材料，回答下列问题.（1）求证：一个三位数与其兄弟数之差一定能被9整除.（2）已知一个六位数的兄弟数恰好是原六位数的4倍，求满足条件的原六位数.32.定义：若数P可以表示成P=x2＋y2－xy（x，y为自然数）的形式，则称数P为“希尔伯特数”.例如：3=22＋12－2×1，39=72＋52－7×5，147=132＋112－13×11……所以3，39，147……是“希尔伯特数”.（1）请判断7是不是一个“希尔伯特数”，并说明理由.（2）像39，147这样的“希尔伯特数”都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来.试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特数”一定被4除余3.（3）已知两个“希尔伯特数”都是用连续两个奇数按定义给出的运算表达的，且它们的差是244，求这两个“希尔伯特数”.33.将自然数N接写在任意一个自然数的右面，如果得到的新数都能被N整除.那么N称为魔术数，例如：2是魔术数，因为2加在任何自然数的后面，当然能被2整除；5是魔术数，因为5加在任何自然数的后面，当然能被5整除；（1）写出最小的魔术数；判断25是不是魔术数，如果是请进行证明，如果不是请说明理由.（2）请找出100到1000（含100，不含1000）之间所有的魔术数.34.阅读理解：我们来定义下面两种数：①平方和数：若一个三位数或三位以上的整数分成左，中，右三个数后满足：中间数=左边数的平方加上右边数的平方，我们就称改整数为平方和数，比如：对于整数251，它的中间数是5，左边数是2，右边数是1， 22＋12=5，∴251为一个平方和数；再比如：3254， 32＋42=25，∴3254为一个平方和数.当然，152，4253这两个数肯定也是平方和数.②双倍积数：若一个三位数或三位以上的整数分成左，中，右三个数后满足：中间数=2×左边数×右边数，我们就称该整数为双倍积数，比如：对于整数163，它的中间数为6，左边数为1，右边数为3， 2×1×3=6，∴163是一个双倍积数；再比如：3305， 2×3×5=30，∴3305是一个双倍积数.当然，361，5303这两个数也是双倍积数.注意：在下列问题中，我们统一用字母a 表示一个整数分出来的左边数，用字母b 表示一个整数分出来的右边数，请根据上述定义来完成下面问题：（1）如果一个三位整数为平方和数，且十位数字是8，则该三位整数是.如果一个三位整数为双倍积数，且十位数字是4，则该三位整数是.（2）若一个整数既是平方和数又是双倍积数，则a ，b 满足什么数量关系？请说明理由.（3）若b a 585为一个平方和数，b a 405为一个双倍积数，求a 2－b 2.。

2017年重庆市中考数学试卷(附详细答案)

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数学试卷 第1页（共38页） 数学试卷 第2页（共38页）绝密★启用前重庆市2017年初中毕业生学业水平暨普通高中招生考试(A 卷)数 学本试卷满分150分,考试时间120分钟.参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24(,)24b ac b a a --,对称轴为2bx a=-.第Ⅰ卷(选择题 共48分)一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在实数3-,2,0,4-中,最大的数是( ) A .3- B .2 C .0 D .4-2.下列图形中是轴对称图形的是( )A B CD 3.计算62x x ÷正确的是( ) A .3 B .3x C .4xD .8x 4.下列调查中,最适合采用全面调查(普查)的方式的是( )A .对重庆市初中学生每天阅读时间的调查B .对端午节期间市场上粽子质量情况的调查C .对某批次手机的防水功能的调查D .对某校九年级3班学生肺活量情况的调查 5.1的值应在( )A .3和4之间B .4和5之间C .5和6之间D .6和7之间6.若13x =-,4y =,则代数式33x y +-的值为( ) A .6-B .0C .2D .6 7.要使分式43x -有意义,x 应满足的条件是( ) A .3x ＞ B .3x = C .3x ＜ D .3x ≠ 8.若ABC DEF △∽△,相似比为3:2,则对应高的比为( ) A .3:2 B .3:5 C .9:4D .4:99.如图,矩形ABCD 的边1AB =,BE 平分ABC ∠,交AD 于点E.若点E是AD 的中点,以点B 为圆心,BE 长为半径画弧,交BC 于点F ,则图中阴影部分的面积是 ( )A .π24-B .3π24- C .π28-D .3π28- 10.下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有3个菱形,第②个图形中一共有7个菱形,第③个图形中一共有13个菱形,……,按此规律排列下去,第⑨个图形中菱形的个数为( ) A .73B .81C .91D .10911. 如图,小王在长江边某瞭望台D 处,测得江面上的渔船A 的俯角为40,若3DE =米,2CE =米,CE 平行于江面AB ,迎水坡BC 的坡度1:0.75i =,坡长10BC =米,则此时AB 的长约为 ( ) (参考数据：sin 400.64≈,cos 400.77≈,tan 400.84≈) A .5.1米B .6.3米C .7.1米D .9.2米12.若数a 使关于x 的分式方程2411ax x+=--的解为正数,且使关于y的不等式组…①②③④毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共38页） 数学试卷 第4页（共38页）21,322()0y yy a +⎧-⎪⎨⎪-⎩＞≤的解集为2y -＜,则符合条件的所有整数a 的和为( ) A .10B .12C .14D .16第Ⅱ卷(非选择题 共102分)二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填写在题中的横线上) 13.“渝新欧”国际铁路联运大通道全长超过11000千米,成为服务“一带一路”的大动脉之一.将数11000用科学记数法表示为 .14.计算：2|3|(1)-+-= .15.如图,BC 是O 的直径,点A 在圆上,连接AO ,AC ,64AOB ∠=,则ACB ∠= 度.16.某班体育委员对本班学生一周锻炼时间(单位：小时)进行了统计,绘制了如图所示的折线统计图,则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是 小时.17.A ,B 两地之间的路程为2380米,甲、乙两人分别从A ,B 两地出发,相向而行.已知甲先出发5分钟后,乙才出发.他们两人在A ,B 之间的C 地相遇,相遇后,甲立即返回A 地,乙继续向A 地前行.甲到达A 地时停止行走,乙到达A 地时也停止行走.在整个行走过程中,甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走.甲、乙两人相距的路程y (米)与甲出发的时间x (分钟)之间的关系如图所示,则乙到达A 地时,甲与A 地相距的路程是 米. 18.如图,正方形ABCD 中,4AD =,点E 是对角线AC 上一点,连接DE ,过点E 作EF ED ⊥,交AB 于点F ,连接DF ,交AC 于点G ,将EFG △沿EF 翻折,得到EFM △,连接DM ,交EF 于点N .若点F 是AB 边的中点,则EMN △的周长是 .三、解答题(本大题共8小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分8分)如图,AB CD ∥,点E 是CD 上一点,42AEC ∠=,EF 平分AED ∠交AB 于点F .求AFE ∠的度数.20.(本小题满分8分)重庆某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖20年,点赞新重庆”作文比赛.该校将收到的参赛作文进行分年级统计,绘制了如图1和图2两幅不完整的统计图.根据图中提供的信息完成以下问题.图1 图2(1)扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是 度,并补全条形统计图；(2)经过评审,全校有4篇作文荣获特等奖,其中有一篇来自七年级,学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上,请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率.21.(本小题满分10分,每题5分) 计算：(1)2(2)()x x y x y --+；数学试卷 第5页（共38页） 数学试卷 第6页（共38页）(2)2321(2)22a a a a a -++-÷++.22.(本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数(0)y mx n m =+≠的图象与反比例函数(0)ky k x=≠的图象交于第一、三象限内的A ,B 两点,与y 轴交于点C .过点B 作BM x ⊥轴,垂足为M ,BM OM =,OB =,点A 的纵坐标为4.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)连接MC ,求四边形MBOC 的面积.23.(本小题满分10分)某地大力发展经济作物,其中果树种植已初具规模.2017年受气候、雨水等因素的影响,樱桃较2016年有小幅度的减产,而枇杷有所增产.(1)该地某果农2017年收获樱桃和枇杷共400千克,其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍,求该果农2017年收获樱桃至少多少千克？ (2)该果农把2017年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售.该果农2016年樱桃的市场销售量为100千克,销售均价为30元/千克,2017年樱桃的市场销售量比2016年减少了m %,销售均价与2016年相同；该果农2016年枇杷的市场销售量为200千克,销售均价为20元/千克,2017年枇杷的市场销售量比2016年增加了2m %,但销售均价比2016年减少了m %.该果农2017年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他2016年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同,求m 的值.24.(本小题满分10分)在ABM △中,45ABM ∠=,AM BM ⊥,垂足为M .点C 是BM 的延长线上一点,连接AC .图1图2(1)如图1,若AB =5BC =,求AC 的长；(2)如图2,点D 是线段AM 上一点,MD MC =,点E 是ABC △外一点,EC AC =,连接ED 并延长交BC 于点F ,且点F 是线段BC 的中点.求证：BDF CEF ∠=∠.25.(本小题满分10分)对任意一个三位数n ,如果n 满足各数位上的数字互不相同,且都不为零,那么称这个数为“相异数”.将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数,把这三个新三位数的和与111的商记为()F n .例如123n =,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213321132666++=,6661116÷=,所以(123)6F =. (1)计算：(243)F ,(617)F ；(2)若s ,t 都是“相异数”,其中10032s x =+,150t y =+,(19x ≤≤,19y ≤≤,x ,y都-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________是正整数),规定：()()F skF t=.当()()18F s F t+=时,求k的最大值.26.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线2y x=--x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点(4,)E n在抛物线上.图1图2备用图(1)求直线AE的解析式；(2)点P为直线CE下方抛物线上的一点,连接PC,PE.当PCE△的面积最大时,连接CD,CB,点K是线段CB的中点,点M是CP上一点,点N是CD上的一点,求KM MN NK++的最小值；(3)点G是线段CE的中点.将抛物线2=--y x沿x轴正方向平移得到新抛物线y',y'经过点D,y'的顶点为点F.在新抛物线y'的对称轴上,是否存在点Q,使得FGQ△为等腰三角形？若存在,直接写出点Q的坐标；若不存在,请说明理由.数学试卷第7页（共38页）数学试卷第8页（共38页）重庆市2017年初中毕业生学业水平暨普通高中招生考试(A卷)5 / 19数学试卷第11页（共38页）数学试卷第12页（共38页）tan tan40A︒∠7 / 19数学试卷第15页（共38页）数学试卷第16页（共38页）CG DC DG49 / 19数学试卷 第19页（共38页）数学试卷 第20页（共38页）解法二：如图3，过G 作GK AD ⊥于K ，作GR AB ⊥于R ，AD KG AD AF GR AF =2DG h GF h =， DNF MNFS S =其它解法同解法一，可得：解法三：如图4，过E 作EP AP EQ AD ⊥⊥，，100203545--=，补全条形统计图如图所示：2222121(1)2(1)1a a a a a a a a +-++⎤==⎥-+--⎦.22222OM OC OM MB ⨯+=+）根据题意可以求得点B 的坐标，从而可以求得反比例函数的解析式，进而求得点=，连接BG. （2）延长EF到点G，使得FG EF∥轴，交于点F. 过点P作PF y如图2所示：作点K 关于CD 和CP 的对称点G H 、，连接G H 、交CD 和CP 与N M 、.。

2017年重庆中考阅读理解篇(无答案)

2017年重庆中考阅读理解篇(无答案)

2017年重庆中考阅读理解篇（无答案）1.观察下列等式：12×231=132×2114×451=154×4132×253=352×2334×473=374×4345×594=495×54……以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”.（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”.①35×=×53②×682=286×（2）设数字对称式左边的两位数的十位数字为m ，个位数字为n ，且2≤m +n ≤9.用含m ，n 的代数式表示数字对称式左边的两位数与三位数的乘积P ，并求出P 能被110整除时mn 的值.2.若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得b a =n ，即a =bn.例如：若整数a 能被整数7整除，则一定存在整数n ，使得7a =n ，即a =7n.（1）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被7整除，则原多位自然数一定能被7整除.例如：将数字1078分解为8和107，107－8×2=91，因为91能被7整除，所以1078能被7整除，请你证明任意一个三位数都满足上述规律.（2）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的k （k 为正整数，1≤k ≤15）倍，所得之和能被13整除.求当k 为何值时使得原多位自然数一定能被13整除.（3）有一个百位数字为1的三位整数，它能被7整除.将这个三位数的百位数字和个位数字交换后所产生的新三位整数仍能够被7整除，求这个三位整数.3.如果一个自然数从高位到个位是由一个数字或几个数字出现组成，那么我们把这样的自然数叫做循环数，被重复的一个或几个数字称为“循环节”，我们把“循环节”的数字个数叫做循环数的阶数，例如：252525，它由“25”依次重复出现组成，所以252525是循环数，它是2阶6位循环数.再如：11，是1阶2位循环数；789789789是3阶9位循环数；473847384738是4阶12位循环数……（1）请你直接写出3个2阶6位循环数，猜想任意一个2阶6位循环数能否被7整除，并说明理由.（2）已知一个能被11整除的2阶4位循环数，设循环节为xy ，求y 关于x 的函数关系式.4.若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如：22，797，12321……，都是对称数.最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的.（1）有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数.如：17的逆序数是71，17＋71=88，88是一个对称数；39的逆序数是93，39＋93=132，132的逆序数是231，132＋231=363，363是一个对称数.根据以上材料，求以687产生的第一个对称数.（2）若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除.（3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，请写出满足条件的三位对称数.（4）若两位自然数A 按上述方式产生的第一个对称数是484，A 的十位上的数字大于个位上的数字，求A 的值.（5）设一个三位对称数为aba （a ＋b <10），该对称数与11相乘后得到一个四位数，该四位数前两位所表示的数和后两位所表示的数相等，且该四位数各位数字之和为8，求这个三位对称数.5.如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”.如：2=13－(-1)3，26=33－13，所以2和26均为“麻辣数”.【立方差公式：a 3－b 3=(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)】（1）请判断98和169是否为“麻辣数”，并说明理由.（2）在小组合作学习中，小明提出新问题：“求出在不超过2016的自然数中，所有的‘麻辣数’之和为多少？”小组的成员胡图图略加思索后说：“这个难不倒图图，我们知道奇数可以用2k ＋1表示，再结合立方差公式……”.请你顺着胡图图的思路，写出完整的求解过程.6.如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16=52－32，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：小明的办法是一个一个找出来的：0=02－021=12－023=22－124=22－025=32－227=42－328=32－129=52－4211=62－52……小王认为小明的方法太麻烦，他想到：设k 是自然数，由于(k ＋1)2－k 2=(k ＋1＋k )(k ＋1－k )=2k ＋1，所以自然数中所有奇数都是智慧数.问题：（1）根据上述方法，自然数中第12个智慧数是.（2）他们发现0，4，8都是智慧数，由此猜测4k （k ≥3且k 为正整数）都是智慧数，请你参考小王的方法，证明4k （k ≥3且k 为正整数）都是智慧数.（3）他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k ＋2（k 为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由.7.能被3整除的整数具有一些特殊的性质：（1）定义一种能被3整除的三位数abc 的“F ”运算：把abc 的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数.例如：当abc =213时，则213−→−F 36(23＋23＋33=36)−→−F243(33＋63=243).数字111经过3次“F ”运算得，经过4次“F ”运算得，经过5次“F ”运算得，经过2016次“F ”运算得.（2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如一个四位数，千位上的数字是a ，百位上的数字是b ，十位上的数字为c ，个位上的数字为d ，如果a ＋b ＋c ＋d 可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）.8.阅读下列材料，解决后面两个问题.我们可以将任意三位数表示为abc （其中a 、b 、c 百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且a ≠0）.显然，abc =100a ＋10b ＋c.我们把形如xyz 和zyx 的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x 、y 、z 是三个连续的自然数）.如：123和321是一对“姊妹数”，678和876是一对“姊妹数”.（1）写出任意一对“姊妹数”，并判断2331是否为一对“姊妹数”的和.（2）如果用x 表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除.9.有一个n 位自然数gh abcd ⋯能被x 0整除，依次轮换个位数字得到的新数gha bcd ⋯能被x 0＋1整除，再依次轮换个位数字得到的新数ghab cd ⋯能被x 0＋2整除，按此规律轮换后，ghabc d ⋯能被x 0＋3整除……g habc ⋯能被x 0＋n －1整除，则称这个n 位数gh abcd ⋯是x 0的一个“轮换数”.例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”……（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”.（2）若三位自然数abc 是3的一个“轮换数”，其中a =2，求这个三位自然数abc .10.定义：如果M 个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M 个数的祖冲之数组.如(3,6)为两个数的祖冲之数组，因为(3×6)能被(3＋6)整除；又如(15,30,60)为三个数的祖冲之数组，因为(15×30)能被(15＋30)整除，(15×60)能被(15＋60)整除，(30×60)能被(30＋60)整除……（1）我们发现：3和6，4和12，5和20，6和30……，都是两个数的祖冲之数组，由此猜测n 和n (n －1)（n ≥2，n 为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想.（2）若(4a ,5a ,6a )是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a.11.对于实数x ，y 我们定义中新运算L (x ,y )=ax ＋by （其中a ，b 均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记L (x ,y )，其中x ，y 叫做线性数的一个数对.若实数x ，y 都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x ，y 叫做正格线性数的正格数对.（1）若L (x ,y )=x ＋3y ，则L (2,1)=，L (3,1)=.（2）已知L (1,-2)=-1，L (23,21)=2.①a =，b =.②若正格线性数L (m ,m －2)，求满足50<L (m ,m －2)<100的正格数对有多少个.③若正格线性数L (x ,y )=76，满足这样的正格数对有多少个？在这些正格数对中，有满足问题②的数对吗？若有，请找出；若没有，请说明理由.12.若一个整数能表示成a 2＋b 2（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为5=22＋12.再如，M =x 2＋2xy ＋2y 2=(x ＋y )2＋y 2（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”.（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”.（2）已知S =x 2＋4y 2＋4x －12y ＋k （x ，y 是整数，k 是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由.（3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”.13.连续整数之间有许多神奇的关系，如：32＋42=52，这表明三个连续整数中较小两个数的平方和等于较大数的平方，称这样的正整数组为“奇幻数组”，进而推广，设三个连续整数为a ，b ，c （a <b <c ）.若a 2＋b 2=c 2，则称这样的正整数组为“奇幻数组”；若a 2＋b 2<c 2，则称这样的正整数组为“魔幻数组”；若a 2＋b 2>c 2，则称这样的正整数组为“梦幻数组”.（1）若有一组正整数组为“魔幻数组”，写出所有的“魔幻数组”.（2）现有几组“科幻数组”具有下面的特征：若有3个连续整数：25543222++=2；若有5个连续整数：365141312111022222++++=2；若有7个连续整数：2030272625242322212222222++++++=2；……由此获得启发，若存在n （7<n <11）个连续正整数也满足上述规律，求这n 个数.14.任意写一个个位数字不为零的四位正整数A ，将该正整数A 的各位数字顺序颠倒过来，得到四位正整数B ，则称A 和B 为一对四位回文数.例如：当A =2016，B=6102，则A 和B 就是一对四位回文数.现将A 的回文数B 从左往右，依次顺取三个数字组成一个新数，最后不足三个数字时，将开头的一个数字或两个数字顺次接到末尾，在组成三位新数时，如遇最高位数字为零，则去掉最高位数字，由剩下的两个或一个数字组成新数，将得到的所有新数求和，把这个和称为A 的回文数B 作三位数的和.例如：将6102依次顺取三个数字组成的新数分别为：610，102，26，261.它们的和为：610＋102＋26＋261=999，把999称为2016的回文数作三位数的和.（1）请直接写出一对四位回文数，并猜想一个四位正整数的回文数作三位数的和能否被111整除？需说明理由.（2）已知一个四位正整数y x 11（千位数字为1，百位数字为x 且0≤x ≤9，十位数字为1，个位数字为y 且0<y ≤9）的回文数作三位数的和能被27整除，请求出x 与y 的数量关系.15.阅读以下两则材料，解决后续问题：材料一：我们可以将任意三位数记为abc （其中a ，b ，c 分别表示该数的百位数字、十位数字和个位数字，且a ≠0），显然，abc =100a ＋10b ＋c.材料二：若一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字均不为0，则称之为原始数，比如123就是一个原始数，将原始数的三个数位上的数字交换顺序，可产生出5个新的原始数，比如由123可以产生出132，213，231，312，321这5个新原始数.将这6个数相加，得到的和1332称为原始数123生成的终止数.问题：（1）分别求出由下列两个原始数生成的终止数：247，638.（2）若由一个原始数生成的终止数为1110，求满足条件的所有原始数.16.如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上的数大1，那么我们把这样的自然数叫做“妙数”.例如：321，6543，98……，都是“妙数”.（1）若某个妙数恰好等于其个位数的153倍，则这个“妙数”为.（2）证明：任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差，再加上1得到的结果一定能被11整除.（3）在某个三位妙数的左侧放置一个一位自然数m 作为千位上的数字，从而得到一新的四位自然数A ，且m 大于自然数A 百位上的数字，是否存在一个一位自然数n ，使得自然数(9A ＋n )各数位上的数字全都相同？若存在，请求出m 和n 的值；若不存在，请说明理由.17.进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n ，即可称n 进制，通常使用10个阿拉伯数字0~9进行记数，特点是逢十进一.对于任意一个用n （n ≤10）进制表示的数，通常使用n 个阿拉伯数字0~(n －1)进行记数，特点是逢n 进一.我们可以通过以下方式把它转化为十进制.例如：五进制数(234)5=2×52＋3×5＋4=69，记作(234)5=69，七进制数(136)7=1×72＋3×7＋6=76，记作(136)7=76.（1）请将以下两个数转化为十进制：(331)5=，(46)7=.（2）若一个正数可以用七进制表示为(abc )7，也可以用五进制表示为(cba )5，求出这个数并用十进制表示.18.把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”.例如：32→32＋22=13→12＋32=10→12＋02=1，70→72＋02=49→42＋92=97→92＋72=130→12＋32＋02=10→12＋02=1.所以32和70都是“快乐数”.（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4.（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数”.19.若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得b a =n ，即a =bn.例如：若整数a 能被11整除，则一定存在整数n ，使得a =n ，即a =11n.一个能被11整除的自然数我们称为“光棍数”，它的特征是奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除.例如：42559奇数位的数字之和为4＋5＋9=18，偶数位的数字之和为2＋5=7，18－7=11，11是11的倍数，所以42559为“光棍数”.（1）请你证明任意一个四位“光棍数”均满足上述规律.（2）若七位整数n m 62175能被11整除，请求出所有符合要求的七位整数.20.若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得b a =n ，即a =bn.例如，若整数a 能被整数3整除，则一定存在整数n ，使得a =n ，即a =3n.（1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除.例如：将数字306371分解为306和371，因为371－306=65，65是13的倍数，所以306371能被13整除，请你证明任意一个四位数都满足上述规律.（2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”.例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”，再如656，9898，37373，171717……，都是摆动数.请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除.21.有这样一对数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为反序数.比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504.根据以上阅读材料，回答下列问题：（1）已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，求证：原三位数与其反序数之差的绝对值为198.（2）若一个两位数与其反序数之和是一个完全平方数，求满足上述条件的所有两位数.22.若将一个自然数从左到右各数位上的数字排成一列后，后一个数减去前一个数的差始终是同一个常数，则这个自然数叫做“阶梯数”.如：四位数1357排列后为1，3，5，7.因为7－5=5－3=3－1=2，且2是常数，故1357是一个四位阶梯数，又如9876，55555等数也是“阶梯数”.若一个自然数从左到右各数位上的数字和另一个自然数从右到左各数位上的数字完全相同，则称这两个自然数互为逆序数，简称为“互逆数”.例如：1357与7531，9876和6789……，都是互逆数.（1）写出一个三位阶梯数及其互逆数：、，并证明任意一个三位阶梯数与其互逆数的差能被198整除（设百位数为a ，后一个数位与前一个数位差的常数为b ，1≤a ≤9，0≤b ≤4，且a 、b 为整数）.（2）若一个四位阶梯数能被6整除，求出符合条件的所有四位阶梯数（设千位数字为x ，后一个数位与前一个数位差的常数为y ，1≤x ≤9，0≤y ≤2，且x 、y 为整数）.23.当一个多位数为偶数时，在其中间位插入一位数k （0≤k ≤9，且k 为整数），得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数.如：435729中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729.其中，435729=729＋435×1000；4356729=729＋6×1000＋435×10000.阅读以上材料，解决下列问题：（1）若一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足这样的三位关联数.（2）对于任何一个位数为偶数的多位数，中间插入数字m （0≤m ≤9，且m 为3的倍数）得其关联数.试证明：所得的关联数与原数10倍的差一定能被3整除.24.一个自然数m，若将其数字重新排列可得一个新的自然数n，如果m=3n，我们称m是一个“希望数”.例如：3105=3×1035，71253=3×23751，371250=3×123750……（1）请说明41不是“希望数”，并证明任意两位数都不可能是“希望数”.（2）一个四位“希望数”M记为abcd，已知abcd=3×cbad，且c=2，请求出这个四位“希望数”.25.若两个正整数都是三位数，且它们的和为999，则称这两个数互为“对应数”，如372和627互为“对应数”；将一个三位数的个位数字放到最前面作为作为百位数字，得到的新数称为原数的“反转数”，如372的“反转数”为237，627的“反转数”为762.（1）若两个数互为“对应数”，证明它们的“反转数”也互为“对应数”.（2）若两个三位正整数m和n互为“对应数”，n的“反转数”与m的差是5的倍数，且m的十位数字是个位数字与百位数字和的2倍，求m.26.一个正整数N的各位数字不全相等，且都不为0，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数与最小数的差记为N的“差数”，此最大数与最小数的和记为N的“和数”，例如，245的“差数”为：542－245=297，“和数”为：542＋245=787.（1）求证：一个任意三位数的“差数”一定能被9整除.（2）一个四位数M，其中千位数字和百位数字为a，十位数字为1，个位数字为b（且a≥1，b≥1），若它的“和数”是6666，求M的“差数”的值.27.若在一个三位自然数中，百位上的数字恰好等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个三位数为“欢乐数”.例如：在自然数321中，3=2＋1，则321是“欢乐数”；在自然数936中，9=3＋6，则936是“欢乐数”.（1）请你直接写出最小的“欢乐数”，并证明：任意一个“欢乐数”与其个位上数字的2倍之差一定能被11整除.（2）若将一个“欢乐数”加上其各数位上的数字之和，所得结果能同时被4和9整除，求这样的“欢乐数”.28.一个能被17整除的自然数我们称为“灵动数”.“灵动数”的特征是：若把一个整数的个位数字截去，再从余下的数字中，减去个位数的5倍，如果差是17的整倍数（包括0），则原数能被17整除.如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾、倍大、相减、验差”的过程，直到能清楚判断为止.例如：判断1675282能不能被17整除：167528－2×5=167518→16751－8×5=16711→1671－1×5=1666→166－6×5=136，到这里如果你仍然观察不出来，就继续……6×5=30，现在个位数字6×5=30>剩下的13，就用大数减去小数，30－13=17→17÷17=1.所以1675282能被17整除.（1）请用上述方法判断7242和2098754是否是“灵动数”，并说明理由.27，其中个位上的数字n，十位上的数字为m，0≤m≤9，0≤n≤9，且（2）已知一个四位整数可表示为mnm，n为整数.若这个数能被51整除，请求出这个数.29.若一个三位整数，百位上数字的2倍加上十位上数字的3倍，再加上个位上数字所得的和能被7整除，则称这个整数为“劳动数”.例如：判断210是“劳动数”的过程如下：2×2＋3×1＋0=7， 7能被7整除，∴210是“劳动数”；判断322是“劳动数”的过程如下：2×3＋3×2＋2=14， 14能被7整除，∴322是“劳动数”.（1）直接写出最小的“劳动数”为，并请用上面的方法判断448是否为“劳动数”.（2）试证明：所有的“劳动数”均能被7整除.30.如果一个四位数的千位数字与个位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“四位友谊数”.如2112，5225，7667……，都是“四位友谊数”.如果将一个“四位友谊数”的百位数字与千位数字，个位数字与十位数字都交换位置，得到一个新四位数.我们把这个新四位数叫做“四位友谊数的姊妹数”.如果“四位友谊数”的百位数字是0，则交换位置后保留首位的“0”，即它的姊妹数就是首位为“0”的四位数，如2112的对应数为1221，5225的对应数为2552，1001的对应数为0110.（1）任意写一个“四位友谊数”及它的“四位友谊数的姊妹数”；猜想任意一个“四位友谊数”与它的“四位友谊数的姊妹数”的差是否都能被11整除？并说明理由.（2）一个“四位友谊数”的千位数字为a（1≤a≤9），百位数字为b（0≤b≤9，b<a），若这个“四位友谊数”与它的“四位友谊数的姊妹数”的差能被486整除，求这个“四位友谊数”.31.对于一个大于100的整数，若将它的后两位之前的数移到个位之后，重新得到一个新数，称之为原数的“兄弟数”.比如：2017的兄弟数为1720，168的兄弟数为681.根据以上材料，回答下列问题.（1）求证：一个三位数与其兄弟数之差一定能被9整除.（2）已知一个六位数的兄弟数恰好是原六位数的4倍，求满足条件的原六位数.32.定义：若数P可以表示成P=x2＋y2－xy（x，y为自然数）的形式，则称数P为“希尔伯特数”.例如：3=22＋12－2×1，39=72＋52－7×5，147=132＋112－13×11……所以3，39，147……是“希尔伯特数”.（1）请判断7是不是一个“希尔伯特数”，并说明理由.（2）像39，147这样的“希尔伯特数”都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来.试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特数”一定被4除余3.（3）已知两个“希尔伯特数”都是用连续两个奇数按定义给出的运算表达的，且它们的差是244，求这两个“希尔伯特数”.33.将自然数N接写在任意一个自然数的右面，如果得到的新数都能被N整除.那么N称为魔术数，例如：2是魔术数，因为2加在任何自然数的后面，当然能被2整除；5是魔术数，因为5加在任何自然数的后面，当然能被5整除；（1）写出最小的魔术数；判断25是不是魔术数，如果是请进行证明，如果不是请说明理由.（2）请找出100到1000（含100，不含1000）之间所有的魔术数.34.阅读理解：我们来定义下面两种数：①平方和数：若一个三位数或三位以上的整数分成左，中，右三个数后满足：中间数=左边数的平方加上右边数的平方，我们就称改整数为平方和数，比如：对于整数251，它的中间数是5，左边数是2，右边数是1， 22＋12=5，∴251为一个平方和数；再比如：3254， 32＋42=25，∴3254为一个平方和数.当然，152，4253这两个数肯定也是平方和数.②双倍积数：若一个三位数或三位以上的整数分成左，中，右三个数后满足：中间数=2×左边数×右边数，我们就称该整数为双倍积数，比如：对于整数163，它的中间数为6，左边数为1，右边数为3， 2×1×3=6，∴163是一个双倍积数；再比如：3305， 2×3×5=30，∴3305是一个双倍积数.当然，361，5303这两个数也是双倍积数.注意：在下列问题中，我们统一用字母a 表示一个整数分出来的左边数，用字母b 表示一个整数分出来的右边数，请根据上述定义来完成下面问题：（1）如果一个三位整数为平方和数，且十位数字是8，则该三位整数是.如果一个三位整数为双倍积数，且十位数字是4，则该三位整数是.（2）若一个整数既是平方和数又是双倍积数，则a ，b 满足什么数量关系？请说明理由.（3）若b a 585为一个平方和数，b a 405为一个双倍积数，求a 2－b 2.。

2017年重庆中考数学几何证明题24题赏析

2017年重庆中考数学几何证明题24题赏析

24.在ABC ∆中，,，450BM AM ABM ⊥=∠垂足为M ，点C 是BM 延长线上一点，连接AC.（1）如图1，若,5，23==BC AB 求AC 的长；（2）如图2，点D 是线段AM 上一点，MD=MC ，点E 是ABC ∆外一点，EC=AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：CEF BDF ∠=∠.解析：第一问：勾股定理的简单计算。

第二问：考查“中点”关键词在几何题中的模型运用之一“构造八字形全等”的基本思想方法。

延长DF 至G ，使得DF=FG ，易证BDF ∆≅CGF ∆，则CGF BDG ∠=∠，又易证ADM ∆≅BDM ∆，则BD=AC ，又AC=EC ，BD=GC ，所有EC=GC ，所有BDG CGF CEF ∠=∠=∠.点评：重庆中考24题位置又换回来了，所以难度也降低了，几何证明主要考查基本计算和基本思想方法，比如：求角度，求长度，构造全等证明线段问题以及角度问题。

24.如图，ABC ∆中，,，900BC AC ACB ==∠点E 是AC 上一点，连接BE.（1）如图1，若,5，24==BE AB 求AE 的长；（2）如图2，点D 是线段BE 延长线上一点，过点A 作BD AF ⊥于点F ，连接CD ，CF 。

当AF=DF 时，求证：DC=BC.解析：第一问：勾股定理的简单计算。

第二问：考查“多个直角出现时，往往通过锐角互余找到锐角相等，再为构造或证明全等三角形作准备”，“有角相等，有边相等往往构造角和边所在的三角形全等”在几何题中的基本思想方法。

在BE 上取一点G ，使得BG=AF ，易证AFC ∆≅BGC ∆（这里关键是模型的运用，找到GBC FAC ∠=∠），得到FCG ∆为等腰直角三角形，得到045=∠CFG ，易证AFC ∆≅DFC ∆（这里0135=∠=∠DFC AFC ），所以AC=CD=BC. 点评：重庆中考24题位置又换回来了，所以难度也降低了，几何证明主要考查基本计算和基本思想方法，比如：求角度，求长度，构造全等证明线段问题以及角度问题。

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重庆中考数学——阅读理解专题1．设a ，b 是整数，且0≠b ，如果存在整数c ，使得bc a =，则称b 整除a ，记作|b a . 例如：Θ818⨯=，∴1|8；Θ155⨯-=-，∴5|5--；Θ5210⨯=，∴2|10. （1）若|6n ，且n 为正整数，则n 的值为 ；（2）若7|21k +，且k 为整数，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-53134k k ，求k 的值.2.若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得n ba=，即bn a =。

例如若整数a 能被整数3整除，则一定存在整数n ，使得n a=3，即n a 3=。

（1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除。

例如：将数字306371分解为306和371，因为371-306=65，65是13的倍数，,所以306371能被13整除。

请你证明任意一个四位数都满足上述规律。

（2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”，再如：656,9898,37373，171717，……，都是“摆动数”，请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除。

3．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：1011031132332222222=+→=+→=+→，1011003113079979449077022222222222=+→=++→=+→=+→=+→，所以32和70都是“快乐数”．（1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4；（2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ． ．5．若一个整数能表示成22b a +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22125+=.再如，2222)(22y y x y xy x M ++=++=（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”.（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；（2）已知k y x y x S +-++=124422（x ，y 是整数，k 是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由.（3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”.7、对于实数x，y我们定义一种新运算()=+，（其中a，b均为非零常数），等式右L x y ax by边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为()，，其中x，yL x y叫做线性数的一个数对．若实数x，y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对．①____________，；==a b②若正格线性数(2)<-<，的正格数对有多少个；，，求满足50(2)100L m mL m m-③若正格线性数()76，，满足这样的正格数对有多少个；在这些正格数对中，L x y=有满足问题②的数对吗，若有，请找出；若没有，请说明理由．8．若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的．（1）有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数．如：17的逆序数为71，17＋71=88，88是一个对称数；39的逆序数为93，39＋93=132，132的逆序数为231，132＋231=363，363是一个对称数．请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数；（2）若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除；（3）若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位对称数共有多少个？9、．有一个n 位自然数abcd gh L 能被0x 整除，依次轮换个位数字得到的新数bcd gha L 能被01x +整除，再依次轮换个位数字得到的新数cd ghab L 能被02x +整除，按此规律轮换后，d ghabc L 能被03x +整除，…，habc g L 能被01x n +-整除，则称这个n 位数abcd gh L 是0x 的一个“轮换数”.例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2个一个“轮换数”.（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”.（2）若三位自然数abc 是3的一个“轮换数”，其中2a =，求这个三位自然数abc .10．如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：223-516=，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：小明的方法是一个一个找出来的：220-00=，220-11=，221-23=， 220-24=，222-35=，223-47=， 221-38=，224-59=，225-611=，．．．．小王认为小明的方法太麻烦，他想到:设k 是自然数，由于12)1)(1)122+=-+++=-+k k k k k k k （（． 所以，自然数中所有奇数都是智慧数．问题： (1) 根据上述方法，自然数中第12个智慧数是______(2) 他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k(3≥k 且k 为正整数)都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k （3≥k 且k 为正整数)都是智慧数．(3) 他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2(k 为自然数)都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．11．进位数是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n ，即可称n 进制。

现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0~9进行记数，特点是逢十进一，对于任意一个用n (10n ≤)进制表示的数，通常使用n 个阿拉伯数字0~(1)n -进行记数，特点是逢n 进一，我们可以通过以下方式把它转化为十进制：例如：五进制数25(234)2535469=⨯+⨯+=，记作5(234)69=，七进制数27(136)1737676=⨯+⨯+=，记作7(136)76=。

（1）请将以下两个数转化为十进制：5(331)=______，7(46)=______（2）若一个正数可以用七进制表示为()abc ，也可以用五进制表示为5()cba ，请求出这个数并用十进制表示10.若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得an b=，即a bn =，例如：若整数a 能被11整除，则一定存在整数n ，使得11an =，即11a n =，一个能被11整除的自然数我们称为“光棍数”，他的特征是奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除,如：42559奇数位的数字之和为4+5+9=18，偶数位的数字之和为2+5=7，18-7=11是11的倍数，所以42559为“光棍数”.①请你证明任意一个四位“光棍数”均满足上述规律；②若七位整数17562m n 能被11整除，请求出所有符合要求的七位整数。

12、、进位计数制是利用固定的数字符号和统一的规则来计数的方法，简称进制，对于任何一种进制X 进制，就表示某一位置上的书运算时逢X 进一位，如十进制数01)10(101102103321⨯+⨯+⨯=2，记作：,321)10(七进制数)7(01)7(321,717273321记作⨯+⨯+⨯=2各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成进制，只要将七进制的每个数字，依次乘以7的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，例如：）（即10)7(01)7(162321,162114147717273321==++=⨯+⨯+⨯=2 将十进制数化为其相等的七进位制数，可用7去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可，如：)7()10(321162=∴ )2()10(1015=∴ （1）根据以上信息进行进制转化：①将七进制数转化成十进制数：=)7(25 ②将十进制数转化成2进制数：=)10(17（2）已知x +y =6（x ，y 为正整数）是否存在由一个十进制两位数xy ，使得该数转化成四进制数后是一个各数位上的数字全都为a 的三位数，若存在，请求出这个十进制两位数，若不存在，请说明理由。

13.阅读下列材料，解决后面两个问题我们可以将任意三位数表示为abc （其中a 、b 、c 分别表示百位上的数字，十位上的数字和个位上的数字，且0a ≠）.显然，10010abc a b c =++；我们把形如xyz 和zyx 的两个三位数称为一对“姊妹数”（其中x 、y 、z 是三个连续的自然数）如：123和321是一对姊妹数，678和876是一对“姊妹数”。

（1）写出任意三对“姊妹数”， 并判断2331是否一对“姊妹数”的和 （2）如果用x 表示百位数字，求证：任意一对“姊妹数”的和能被37整除。

14．对x ，y 定义了一种新运算T ，规定T （x ，y ）=（其中a ，b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T （0，1）=，已知T （1，﹣1）=﹣2，T （4，2）=1． （1）求a ，b 的值； （2）若关于m 的不等式组恰好有3个整数解，求p 的取值范围．15.我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=p ×q （p ，q 是正整数，且p ≤q ），在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们称p ×q 是n 的最佳分解.并规定：qpF =)(n .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12-1>6-2>4-3，所以3×4是12的最佳分解,所以43)(12=F . （1）如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数.求证：对任意一个完全平方数m ，总有1)(m =F ；（2）如果一个量为正整数t ，y x t +=10（1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新书减去原来的量为正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所得“吉祥数”中F(t)的最大值.16、如果一个自然数可以表示为两个连续奇数的立方差，那么我们就称这个自然数为“麻辣数”。

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