3.8 乘除竖式谜

3.8 乘除竖式谜

教学目标:

1、学会找解答算式谜中的突破口。

2、进一步巩固乘除法计算法则。

3、强化竖式计算中推理、验证的能力。

教学重点：认真分析算式中隐含的数量关系，选择有特征的部分作为解题的突破口（即最容易填的地方）。

教学难点：找多位数乘除法算式谜中的突破口，合理的推测+估算。

教学过程：

一、情境体验

据传说，英国物理学家牛顿（1642-1727）小时候，学习成绩几乎在学校是倒数第一。后来他下决心改变这一令人沮丧的状况。有一次，他把自己的作业做得干净整齐，没有任何错误，但正当他把笔和本子收起来时，糟糕的事情发生了：墨水洒了，正好在他的一道算术题上留下了一块墨迹。下图显示了这个令人不快的结果。

式中只剩下3个数字较为清晰。小牛顿尽了一切努力，最后终于记起来整道题凑巧用了0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全部10个数字，一样一个。

如果这是一种从0到9这10个数字编制的密码，你能破译出被墨水盖住的都是哪些数字吗？

二、思维探索（建立知识模型）

例1 在下面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立。

师：在这个乘法算式中最容易填的地方在哪里呢？

生：这是一个三位数乘一位数的乘法竖式，根据计算法则，先用第二个因数去乘第一个因数的个位数字9，得到乘积是1，说明第二个因数是9。所以最容易填的地方是第二个因数。

师：接下来怎么填呢？

生：根据乘法竖式计算的法则，接下来算十位数字乘9，但是积的十位数字未知，所以不好填。

师：那怎么办呢？还有没有别的地方可以填的？

生：三位数乘9得到的乘积是30□1，由此可以推断三位数是300多，那么百位数字是3。

师：非常正确，剩下十位数字就好填了吧。

生：根据百位数字3乘9得27，而乘积的百位数字是0，说明十位上的乘积要向百位上进3，而个位上的乘积向十位进了8，所以因数的十位数字是3，那么乘积的十位数字是5。

师：我们填出来的这些数字到底对不对呢，请大家代入竖式进行验算。

例2 下式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。请问：这几个字母分别代表什么数字时算式成立？

师：这道题应该从哪里下手呢？

生：每一个数位上的数字都不知道，找不到突破口。

师：仔细分析这道题，个位不好确定，我们先从高位开始看起，一个五位数乘4

得到的乘积仍然是五位数，说明了什么？

生：说明A与4相乘后结果是个位数，所以A可能是1或2。

师：那A是1行吗？

生：1×A=A，而不同的字母代表不同的数字，所以A只能是2。师：对，竖式中还有哪个地方有A？

生：积的个位是A，说明积的个位数字也是2，那么E×4=12或32，根据积的万位可以得知E不可能是3，所以E就是8.

师：很棒！竖式中还有哪个地方有E？

生：积的万位也是8，说明4×B没有进位，因为不同的字母代表不同的数字所以B是1，那积的十位也是1

师：推理得非常正确！那由此可以判断出D是几呢？

生：因为个位相乘的积向十位进3，所以D×4的积个位是8，不同的字母代表不同的数字，说明D不是2，那么D就是7.

师：对，那C是几呢？

生：C就是9.

小结：认真分析算式中隐含的数量关系，选择有特征的部分作为解题的突破口（即最容易填的地方），作出局部的判断是解数字谜的关键。

其次，在采用试验法的同时，常借助估值的方法，对某些数位上的数字进行合理的估计，逐步排除一些不可能的取值，缩小所求数字的取值范围。三、思维拓展（知识模型的拓展）

例3 下式不同汉字代表不同数字，相同汉字代表相同数字，各代表什么数字时，算式成立？

师：从个位不好确定，从高位入手试试！最高位是十万位，能够判断出什么结论呢？

生：只能判断出它们的积是个位数。

师：对，那看看万位，因数“苦”乘万位的“苦”，两个相同的因数相乘，你能得出什么结论呢？

生：说明苦可能是“6、5、4、3、2”。

师：为什么呢？

生：因为“苦”如果是7的话，那么7×7=49，要向十万位进一，即使因数十万位的“刻”是最小的数1，那么积7+4=11，必须向百万位进一，与题目相矛盾。师：分析得非常清晰！依此类推，“苦”也不能是8、9、10.接下来我们看看“苦”如果是6，符不符合题意呢？

生：不符合题意，“苦”=6，那么“刻”=1，“文”=9，“化”就是7或8，如果“化”=7，因数中的“学”必须小于4，而积中“学”=8，矛盾；如果“化”=8，经检验也矛盾，所以“苦”不可能是6.

师：非常好！我们通过尝试的方法进行验证，接下来请同学们仿照刚才的方法判断出“苦”等于几才是符合题意的。

（学生自主尝试完成）

生：“苦=4”符合题意。

师：既然知道了“苦=4”，那说明刻可能是几？

生：刻只能是1或2

师：如果刻是1,接下来请同学进行计算推理，看看刻=1是否符合题意，能否推算出其他汉字代表的数字。

（学生自主尝试完成，推理过程见PPT）

师：刻是1满足题意，刻=2行吗？

生：刻=2不符合题意。

师：所以：刻=1，苦=4，学=2，习=8，文=5，化=7

例4 在下面乘法算式中，把残缺数字补上。下面残缺算式只知三个“4”，那么补全后，它的乘积是什么？（见图）

师：从个位能找到突破口吗？

生：不容易。

师：那我们就看最高位，第一个因数与第二个因数个位相乘，积的百位是4，说明结果是大于或等于400，那么a是几？

生：a=9

师：那b等于几呢？

生：b大于4，可能是5、6、7、8、9.

师：对，接下来我们用尝试的方法看看，如果b=5,符合题意吗?

生：如果b=5,积的十位就是5或0，与题目给出的4相矛盾，所以b不是5. 师：请同学们仿照上面的方法进行计算推理，看看b是几？

（学生尝试解决）

生：只有b=7符合题意，47×9=423，那么47×d的积个位就是2，所以d=6. 师：很好！请同学们完成竖式计算。

例5 在下图的算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立。

师：在这个除法竖式题中，应该从哪里找突破口呢？

生：余数是7，除数应该比余数大，所以除数可以是8或9。

师：如果除数是8，接下来应该填哪里？

生：根据除法计算的步骤，应该从最后一步倒推回去，那么商的个位数字是4，再倒推回去可以求出商的十位数字。

师：如果除数是9，又应该怎样填呢，请大家仿照刚才的方法自己解答。

方法一：439÷8=54 (7)

方法二：493÷9=54 (7)

小结：在除法算式中，一般选择除数与商作为解题的突破口。而且有些数谜题