寒假六年级奥数零基础班讲义第二讲计数综合

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小学数学奥数基础教程(六年级)--02

小学数学奥数基础教程(六年级) --第02讲本教程共30讲巧求分数我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子或分母加、减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。

这类题目变化很多，因此解法也不尽相同。

数。

分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减1就变成分子加、减1，这样就可以用例1求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数，再求倒数即可。

个分数。

分析与解：因为加上和减去的数不同，所以不能用求平均数的方法求解。

，这个分数是多少？分析与解：如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为：这个分数是多少？于是与例3类似，可以求出在例1～例4中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同时变化，那么会怎样呢？数a。

分析与解：分子减去a，分母加上a，（约分前）分子与分母之和不变，等于29+43=72。

约分后的分子与分母之和变为3+5=8，所以分子、分母约掉45-43=2。

求这个自然数。

同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是45，新分数约分后变例7 一个分数的分子与分母之和是23，分母增加19后得到一个新分数，分子与分母的和是1+5=6，是由新分数的分子、分母同时除以42÷6=7得到分析与解：分子加10，等于分子增加了10÷5=2（倍），为保持分数的大小不变，分母也应增加相同的倍数，所以分母应加8×2=16。

在例8中，分母应加的数是在例9中，分子应加的数是由此，我们得到解答例8、例9这类分数问题的公式：分子应加（减）的数=分母所加（减）的数×原分数；分母应加（减）的数=分子所加（减）的数÷原分数。

分析与解：这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说是这类题中最难的，我们用设未知数列方程的方法解答。

（2x+2）×3=（x+5）×4，6x+6=4x+20，2x=14，x=7。

小学奥数(六年级)第2讲

第二讲分数运算的技巧
对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。

与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……从而使运算得到简化。

若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能大大简化运算。

例7在自然数1～100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的和等于1。

练习
8.在自然数1～60中找出8个不同的数，使这8个数的倒数之和等于1。

寒假六年级奥数零基础班讲义第十二讲计数综合(二)

第一板块：排列
队伍里有6名小朋友，一共有多少种排法？
计数综合（二）(★★)
(★★)
请计算下列排列数的大小：
(★★)
七个同学照相，分别求出在下列条件下各有多少种站法？
⑴七个人站成一排；
⑵七个人排成一排，A必须站在最中间；
丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5人并排站成一排。

⑴奶奶要站在正中间，有多少种不同的站法？
⑵丁丁不能站最左边，有多少种不同的站法？
用1 、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？
第二板块：组合
9支球队进行足球赛，实行单循环制，即每两队之间只比赛一场。

每场比赛后，胜方得3分，平局双方各得1分，负方不得分。

请问：一共要举行多少场比赛？9支队伍的得分总和最多为多少？
(★★) (★★) (★★)
(★★)。

小学六年级奥数专题大全

第一讲计数原理知识纵横：如果完成一件事情，有几类不同的方法，而且每类方法中又有几种可能的方法，那么求完成这件事的方法总数，即各类方法的总和，就是我们要掌握的加法原理。

加法原理：完成某件事情，如果有几类方法，而在第一类方法中有m1种方法，第二类方法中有m2种方法……第n类有m n种，那么完成这件事的方法总数可以表示为m1+ m2+ m3+…+m n。

完成一件事，需要分几个步骤来完成，而完成每步又有几种不同的方法，要求完成这件事的方法的总数，应当将各步骤方法总数相乘，这就是我们应掌握的乘法原理。

乘法原理：完成一件事需要分成几个步骤，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，第三步有m3种方法……第n步有m n种方法，那么完成这件事共有m1×m2×m3×…×m n种不同的方法。

例题求解：【例1】 10个人进行乒乓球比赛，每两个人之间比赛一场，问：一共要比赛多少场？【例2】一天有6节不同的课，这一天的课表有多少种排法？【例3】 1000至1999这些自然数中，个位数大于百位数的有多少个？【例4】 4只鸟飞入4个不同的笼子里，每只小鸟都有自己的一个笼子（不同的鸟，笼子也不同），每个笼子只能进一只鸟。

若都不飞进自己的笼子里去，有种不同的飞法。

【例5】如果组成三位数abc的三个数字a，b，c中，有一个数字是另外两个数字的乘积，则称它为“特殊数”。

在所有的三位数中，共有个“特殊数”。

【例6】如下图所示，用红、绿、蓝、黄四种颜色，涂编号为1、2、3、4的长方形，使任何相邻的两个长方形的颜色都不相同，一共有多少种不同的涂法？【例7】恰有两位数字相同的三位数共有多少个？基础夯实1、一件工作可以用3种方法完成，有5人会用第1种方法完成，有4人会用第2种方法完成，有6人会用第3种方法完成。

选出一个人来完成这项工作共有多少种选法？2、一件工序可以分3步方法完成，有5人会做第1步，有4人会做第2步，有6人会做第3步，每个人只会做一步。

小学六年级奥数经典讲义(全套36讲)

第一讲循环小数与分数第二讲和差倍分问题第三讲行程问题第五讲质数与合数第六讲工程问题第七讲牛吃草问题第八讲包含与排除第九讲整数的拆分第十讲逻辑推理第十一讲通分与裂项第十二讲几何综合第十三讲植树问题第十五讲余数问题第十六讲直线面积第十七讲圆与扇形第十八讲数列与数表综合第十九讲数字迷综合第二十讲计数综合第二十一讲行程与工程第二十二讲复杂工程问题第二十三讲运用比例求解行程问题第二十四讲应用题综合第二十五讲数论综合2第二十六讲进位制问题第二十七讲取整问题第二十八讲数论综合3第二十九讲数论综合4第三十讲几何综合2第三十一讲图形变换第三十二讲勾股定理第三十三讲计数综合第三十四讲最值问题第三十五讲构造与论证1第三十六讲构造与论证2第一讲循环小数与分数循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．1．真分数7a化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少?【分析与解】17=0.142857 ，27=0.285714 ，37=0.428571 ，47=0.571428 ，57=0.714285 ， 67=0.857142．因此，真分数7a化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以7a =0..857142 ，即a =6．评注：7a的特殊性，循环节中数字不变，且顺序不变，只是开始循环的这个数有所变化．2．某学生将1.23乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少?【分析与解】由题意得：1.23 a -1.23a =0.3，即：0.003 a =0.3，所以有：3390010a =．解得a = 90，所以1.23a =1.23 × 90=123290-×90=11190× 90=111．3．计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数．【分析与解】方法一：0.1+0.125+0.3+0.16≈-0.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359≈0.736方法二：0.1+0.125+0.3+0.16113159899011118853720.7361=+++=+== ≈0.7364．计算：0.010.120.230.340.780.89+++++ 【分析与解】方法一：0.010.120.230.340.780.89+++++ =1121232343787898909090909090-----+++++ =11121317181909090909090+++++ =21690=2.4方法二：0.010.120.230.340.780.89+++++ =0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+(0.010.020.030.040.080.09+++++ ) =2.1+0.01×(1+2+3+4+8+9) =2.1+190×27 =2.1+0.3 =2.4方法三：如下式， 0.011111… 0.122222．．． 0.233333．．． 0.344444．．．(1+2+3+4+8+9=27) 0.788888．．．+0.899999．．． 2.399997．．．注意到，百万分位的7是因为没有进位造成，而实际情况应该是2.399999…=2.39 =2.4．评注：0.9=99=1 ,0.09 =919010=．5．将循环小数0.027与0.179672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?【分析与解】0.×0.179672=27179672117967248560.00485699999999937999999999999⨯=⨯== 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．6.将下列分数约成最简分数：166********66666666664【分析与解】找规律：161644=,16616644=,1666166644= ,166661666644=,…所以1666666666666666666664=14评注：类似问题还有38538853888538888538888888885234 (29729972999729999729999999997)+⨯+⨯+⨯++．7.将下列算式的计算结果写成带分数：0.523659119⨯⨯【分析与解】0.523659119⨯⨯=11859119⨯=1(1)119-×59=59-59119=58601198．计算:744808333÷2193425909÷11855635255【分析与解】 744808333÷2193425909÷11855635255=62811259093525583332193453811⨯⨯ =373997131993564111136412119973331993⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=7523⨯⨯=5569．计算：1111111 81282545081016203240648128 ++++++【分析与解】原式1111111 81288128406420321016508254 =++++++2111118128406420321016508254 =+++++ 1111114064406420321016508254 =+++++ 11111203220321016508254=++++111110161016508254=+++111508508254=++11254254=+1127=10．计算：153219(4.85 3.6 6.153) 5.5 1.75(1) 4185321⎡⎤⨯÷-+⨯+-⨯+⎢⎥⎣⎦【分析与解】原式=1757193.6(4.851 6.15)5.5443421⨯⨯-++-⨯-⨯=135193.610 5.5412+⨯⨯+-=9+5.5-4.5 =1011．计算: 41.2×8.1+11×194+537×0.19【分析与解】原式=412×0.81+11×9.25+0.19×(412+125) =412×(0.81+0.19)+11×9.25+0.19×125 =412+11×8+11×1.25+19×1.25=412+88+1.25×30=500+37.5=537.512．计算：2255 (97)() 7979+÷+【分析与解】原式=656555 ()() 7979+÷+=[]555513()()137979⨯+÷+=13．计算:12324648127142113526104122072135⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯【分析与解】原式=33333333123(1247)1232135(1247)1355⨯⨯⨯+++⨯⨯==⨯⨯⨯+++⨯⨯14.(1)已知等式0.126×79+1235×□-6310÷25=10.08，那么口所代表的数是多少? (2)设上题答案为a ．在算式（1993.81+a )×○的○内，填入一个适当的一位自然数，使乘积的个位数字达到最小值．问○内所填的数字是多少? 【分析与解】 (1)设口所代表的数是x ，0.126×79+1235x -6310÷25=10.08，解得：x =0.03，即口所代表的数是0.03．(2)设○内所填的数字是y ，(1993.81+O.03)×y =1993.84×y ，有当y 为8时1993.84×y =1993.84×8=15050.94，所以○内所填的数字是8．15．求下述算式计算结果的整数部分：111111()38523571113+++++⨯ 【分析与解】原式=111111(38538538538538538523571113⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈192.5+128.3+77+55+35+29.6=517.4 所以原式的整数部分是517．第二讲和差倍分问题各种具有和差倍分关系的综合应用题，重点是包含分数的问题．基本的解题方法是将已知条件用恰当形式写出或变形，并结合起来进行比较而求出相关的量，其中要注意单位“1”的恰当选取．1．有甲、乙两个数，如果把甲数的小数点向左移两位，就是乙数的18，那么甲数是乙数的多少倍?【分析与解】甲数的小数点向左移动两位，则甲数缩小到原来的1100，设这时的甲数为“1”，则乙数为1×8=8，那么原来的甲数=l×100=100，则甲数是乙数的100÷8=12.5倍．2.有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子．已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的25．如果把这三堆棋子集中在一起，那么白子占全部棋子的几分之几?【分析与解】如下表所示：设全部黑子为“5”份，则第三堆里的黑子为“2”份，那么剩下的黑子占5-2=“3”份，而第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，将第一堆黑子和第二堆白子调换，则第二堆全部为黑子．所以第二堆棋子总数为“3”份，三堆棋子总数为3×3=“9”份，其中黑子占“5”份，则白子占剩下的9-5=“4”份，那么白子占全部棋子的4÷9=49．3．甲、乙两厂共同完成一批机床的生产任务，已知甲厂比乙厂少生产8台机床，并且甲厂的生产量是乙厂的1213，那么甲、乙两厂一共生产了机床多少台?【分析与解】因为甲厂生产的是乙厂的1213，也就是甲厂为12份，乙厂为13份，那么甲厂比乙厂少1份=8台．总共=8×(12+13)=200台．4．足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，那么一张门票降价多少元?【分析与解】设原来人数为“1”，则现在有1+0.5=1.5．原来收入为l×15=15，降价后收人为15×(1+15)=18元，那么降价后门票为18÷1.5=12元，则一张门票降价15-12=3元．5．李刚给军属王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的38，第二次运了50块．这时，已运来的恰好是没运来的57．问还有多少块蜂窝煤没有运来?【分析与解】已经运来的是没有运来的57，则运来的是5份，没有运来的是7份，也就是运来的占总数的512．则共有50÷(512-38)=1200块，还剩下1200×712=700块．6．有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的813．问剪下的一段长多少厘米?【分析与解】方法一：开始时，两条纸带的长度差为21－13=8厘米．因为两条纸带都剪去同样长度，所以两条纸带前后的长度差不变．设剪后短纸带长度为“8”份，长纸带即为“13”份，那么它们的差为13-8=5份，则每份为8÷5=1．6(厘米)．所以，剪后短纸带长为1.6×8=12.8(厘米)，于是剪去13-12.8=O.2(厘米)．方法二：设剪下x厘米，则1382113xx-=-，交叉相乘得：13×(13-x)=8×(21-x)，解得x=0.2，即剪下的一段长0.2厘米．7．为挖通300米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时相对施工．第一天甲、乙两队各掘进了10米，从第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的2倍，乙队每天的工作效率总是前一天的l 12倍．那么，两队挖通这条隧道需要多少天?【分析与解】如下表所示：天数工作量1 2 3 4 5甲10 20 40 80 160乙10 15 22.5 33.75 50.625 当天工作量20 35 62.5 113.75 210.625已完成工作量20 55 117.5 231.25 441.375 说明在第五天没有全天干活，则第四天干完以后剩下：300-231.25=68.75米，那么共用时间为4+68.75÷210.625=4110 337天．8．有一块菜地和一块麦地．菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是13公顷．麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是12公顷．那么菜地是多少公顷?【分析与解】如下表所示：菜地12麦地13⇒13公顷菜地3 麦地2 ⇒78公顷菜地2 麦地3 ⇒72公顷菜地13麦地12⇒12公顷即5倍菜地公顷数+5倍麦地公顷数=78+72=150，所以菜地与麦地共有150÷5=30(公顷)．而菜地减去麦地，为78-72=6(公顷)，所以菜地有(30+6)÷2=18(公顷)．9．春风小学原计划栽种杨树、柳树和槐树共1500棵．植树开始后，当栽种了杨树总数的3 5和30棵柳树以后，又临时运来15棵槐树，这时剩下的3种树的棵数恰好相等．问原计划要栽植这三种树各多少棵?【分析与解】将杨树分为5份，以这样的一份为一个单位，则：杨树=5份；柳树=2份+30棵；槐树=2份-15棵，则一份为(1500-30+15)÷(2+2+5)=165棵，有：杨树=5×165=825棵；柳树=165×2+30=360棵；槐树=165×2-15=315棵．10.师徒二人共同加工170个零件，师傅加工零件个数的13比徒弟加工零件个数的14还多10个．那么，徒弟一共加工了多少个零件?【分析与解】我们用“师”表示师傅加工的零件个数，“徒”表示徒弟加工的零件个数，有：1 3“师”-14“徒”＝10，4“师”- 3“徒”=120,而4“师”+4“徒”=170×4=680．那么有7“徒”=680-120=560，“徒”=80，徒弟一共加工了80个零件．11. 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的11 2倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有712的人去甲工地，其他人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天．那么这批工人共有多少名?【分析与解】设甲工地的工作量为“1.5”，则乙工地的工作量为“1”．甲乙上午33134=+11134=+下午7121-712=512于是甲工地一整天平均用了这批工人的372()24123+÷=，乙工地一整天平均用了这批工人的1-21 33 =．这批工人的23完成了“1.5”的工作量，那么13的这批工人完成1.5÷2=“0.75”的工作量，于是乙工地还剩下1-0.75=“0.25”的工作量，这“0.25”的工作量需要4人工作1天．而甲、乙工地的工作量为1.5+1=2.5，那么需2.5÷0.25× 4=40人工作1天．所以原来这批工人共有40-4=36人．12．有一个分数，如果分子加1，这个分数就等于12；如果分母加1，这个分数就等于13．问原来的分数是多少?【分析与解】如果分子加1，则分数为12，设这时的分数为：2xx，则原来的分数为12xx-，分母加1后为：11213xx-=+，交叉相乘得：3(x-1)=2x+1，解得x=4，则原分数为38．13．图2-1是某市的园林规划图，其中草地占正方形的34，竹林占圆形的67，正方形和圆形的公共部分是水池．已知竹林的面积比草地的面积大450平方米．问水池的面积是多少平方米?【分析与解】因为水池是正方形的14，是圆的17，则正方形是水池的4倍，圆是水池的7倍，相差7-4=3倍，差450平方米，则水池=450÷3=150平方米．14．唐僧师徒四人吃了许多馒头，唐僧和猪八戒共吃了总数的12，唐僧和沙僧共吃了总数的13，唐僧和孙悟空共吃了总数的14．那么唐僧吃了总数的几分之几?【分析与解】唐+猪=12、唐+沙=13、唐+孙=14．(两边同时加减)唐+猪+唐+沙+唐+孙=2唐+(唐+猪+沙+孙)=2唐+1=12+13+14=1112．则：2唐=112，唐=124．唐僧吃了总数的124．15．小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作1个零件，但小李每制作3个零件要休息1分钟，小张每制作4个零件要休息1.5分钟．现在他们要共同完成制作300个零件的任务，需要多少分钟?【分析与解】方法一：先估算出大致所需时间，然后再进行调整．因为小李、小张的工作效率大致相等，那么完成时小李完成300÷2=150个零件左右；小李完成150个零件需要150÷3×4=200分钟；在200分钟左右，198分钟是5.5的整数倍，此时乙生产198÷5.5×4=144个零件，并且刚休息完，所以在2分钟后，即200分钟时完成144+2=146个零件；那么在200分钟时，小李、小张共生产150+146=296个零件，还剩下4个零件未完成，所以再需2分钟，小李生产2个零件，小张生产2个零件，正好完成．所以共需202分钟才能完成．方法二：把休息时间包括进去，小李每4分钟做3个，小张每5.5分钟做4个．则在44分钟内小李做了：44÷4×3=33个，小张做了：44÷5.5×4=32个，他们一共做了：33+32=65个．300÷65=4……40，也就是他们共同做了4个44分钟即：44×4=176分钟后，还剩下40个零件没有做完．而22=4+4+4+4+4+2=5.5×4，所以22分钟内小李做了：3+3+3+3+3+2=17个，小张做了：4×2=16个，那么还剩下：40-17-16=7个，4分钟内小李做3个，小张做4个，共做4+3=7个，即这40个零件还需要26分钟．所以共用时间：44×4+26=202分钟．第三讲行程问题（1）涉及分数的行程问题.顺水速度、逆水速度与流速的关系，以及与此相关的问题.环形道路上的行程问题.解题时要注意发挥图示的辅助作用，有时宜恰当选择运动过程中的关键点分段加以考虑．1.王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时55千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?【分析与解】设甲地到乙地的路程为单位“1”,那么按时的往返一次需时间260,现在从甲到乙花费了时间1÷55＝155千米,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是211 605566-=.即如果他想按时返回甲地,他应以每小时66千米的速度往回开．2.甲、乙两地相距100千米,小张先骑摩托车从甲地出发,1小时后小李驾驶汽车从甲地出发,两人同时到达乙地.摩托车开始速度是每小时50千米,中途减速后为每小时40千米.汽车速度是每小时80千米,汽车曾在途中停驶1O 分钟.那么小张驾驶的摩托车减速是在他出发后的多少小时?【分析与解】汽车从甲地到乙地的行驶时问为100÷80=1.25小时=1小时15分钟,加上中途停驶的10分钟,共用时1小时25分钟．而小张先小李1小时出发,但却同时到达,所以小张从甲到乙共用了2小时25分钟，即2最小时．以下给出两种解法：方法一:设小张驾驶的摩托车减速是在他出发后x 小时,有50×x +40×5210012x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,解得13x =. 所以小张驾驶的摩托车减速是在他出发后13小时. 方法二:如果全程以每小时50千米的速度行驶,需100÷50=2小时的时间,全程以每小时40千米的速度行驶,需100÷40=2.5小时.依据鸡兔同笼的思想知,小张以每小时50千米的速度行驶了52.521122.526-=-的路程,即行驶了10015010063⨯=千米的路程,距出发5015033÷=小时.3. 一位少年短跑选手,顺风跑90米用了10秒钟.在同样的风速下,逆风跑70米,也用了10秒钟.问:在无风的时候,他跑100米要用多少秒?【分析与解】我们知道顺风速度=无风速度+风速,逆风速度=无风速度-风速. 有顺风时速度为90÷10=9米/秒,逆风速度为70÷10=7米/秒．则无风速度=2顺风速度＋逆风速度=982＋7＝米/秒所以无风的时候跑100米，需100÷8=12.5秒.124.一条小河流过A ，B, C 三镇.A,B 两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C 两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C 两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A 镇上船顺流而下到B 镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C 镇,共用8小时.那么A,B 两镇间的距离是多少千米?【分析与解】如下画出示意图，有A →B 段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时, 有B →C 段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/小时．而从A →C 全程的行驶时间为8-1=7小时．设AB 长x 千米,有50712.55x x -+=,解得x =25．所以A,B 两镇间的距离是25千米.5.一条大河有A,B 两个港口,水由A 流向B,水流速度是每小时4千米.甲、乙两船同时由A 向B 行驶,各自不停地在A,B 之间往返航行,甲船在静水中的速度是每小时28千米,乙船在静水中的速度是每小时20千米.已知两船第二次迎面相遇的地点与甲船第二次追上乙船(不算甲、乙在A 处同时开始出发的那一次)的地点相距40千米,求A,B 两个港口之间的距离.【分析与解】设AB 两地的路程为单位“1”,则：甲、乙两人在A 、B 往返航行，均从A 点同时同向出发,则第n 次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为2n ；甲、乙两人在A 、B 往返航行,均从A 点同时同向出发,则第n 次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为2n ；甲、乙两人在A 、B 往返航行,分别从A 、B 两点相向出发,则第n 次同向相遇时,甲、乙两人的路程差为(2n -1)；甲、乙两人在A 、B 往返航行,分别从A 、B 两点相向出发,则第n 次相向相遇时,甲、乙两人的路程和为(2n -1)．有甲船的顺水速度为32千米/小时,逆水速度为24千米/小时，乙船的顺水速度为24千米/小时，逆水速度为16千米/小时. 两船第二次迎面相遇时,它们的路程和为“4”；甲船第二次追上乙船时，它们的路程差为“4”.(一)第二次迎面相遇时，一定是甲走了2～3个AB 长度，乙走了2～1个AB 长度，设甲走了2＋x 个AB 的长度,则乙走了2-x 个AB 的长度,有11322432x ++＝112416x -+，解得13x =，即第二次迎面相遇的地点距A 点13AB 的距离.(二)①第二次甲追上乙时，有甲行走2y z +(y 为整数，z ≤1)个AB 的长度，则乙行走了24y z -+个AB 的长度，有322432y y z ++＝22241624y y z --++，化简得320y z +=，显然无法满足y 为整数，z ≤1；②第二次甲追上乙时，有甲行走21y z ++(y 为整数，z ≤1)个AB 的长度，则乙行走了23y z -+个AB 的长度，有1322424y y z +++＝12241616y y z--++，化简有3213y z +=，有0.5z =，4y =. 即第二次甲追上乙时的地点距B 点12AB 的距离，那么距A 也是12AB 的距离．所以，题中两次相遇点的距离为(111236⎛⎫-= ⎪⎝⎭AB ，为40千米，所以AB 全长为240千米.6.甲、乙两船分别在一条河的A ，B 两地同时相向而行,甲顺流而下,乙逆流而上.相遇时,甲乙两船行了相等的航程,相遇后继续前进,甲到达B 地、乙到达A 地后,都立即按原来路线返航,两船第二次相遇时,甲船比乙船少行1000米.如果从第一次相遇到第二次相遇的时间相隔为1小时20分,那么河水的流速为每小时多少千米? 【分析与解】因为甲、乙第一次相遇时行驶的路程相等,所以有甲、乙同时刻各自到达B 、A 两地.接着两船再分别从B 、A 两地往AB 中间行驶.所以在第二次相遇前始终是一船逆流、一船顺流,那么它们的速度和始终等于它们在静水中的速度和.有:甲静水速度+水速=乙静水速度－水速.还有从开始到甲第一次到达B 地，乙第一次到达A 地之前,两船在河流中的速度相等.所以甲船比乙船少行驶的1000米是在甲、乙各自返航时产生的．甲乙返航时,有甲在河流中行驶的速度为:甲静水速度-水速,乙在河流中的速度为:乙静水速度+水速.它们的速度差为4倍水速．从第一次相遇到第二次相遇,两船共行驶了2AB 的路程,而从返航到第二次相遇两船共行驶了AB 的路程,需时间80÷2=40分钟．有4倍水速=401000150060⎛⎫÷=⎪⎝⎭,有水速=375米/小时=0.375千米/小时．即河水的流速为每小时0.375千米．7.甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行.现在已知甲走一圈的时间是70分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟? 【分析与解】甲行走45分钟，再行走70－45=25分钟即可走完一圈.而甲行走45分钟，乙行走45分钟也能走完一圈.所以甲行走25分钟的路程相当于乙行走45分钟的路程．甲行走一圈需70分钟，所以乙需70÷25×45=126分钟．即乙走一圈的时间是126分钟．8.如图3-1，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．【分析与解】注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完12圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+12＝32圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米．有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为32圈，所以此圆形场地的周长为480米．9.甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的23.甲跑第二圈时速度比第一圈提高了13；乙跑第二圈时速度提高了15．已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，那么这条椭圆形跑道长多少米? 【分析与解】设甲跑第一圈的速度为3，那么乙跑第一圈的速度为2，甲跑第二圈的速度为4，乙跑第二圈的速度为125. 如下图，第一次相遇地点逆时针方向距出发点35的跑道长度．有甲回到出发点时，乙才跑了23的跑道长度.在乙接下来跑了13跑道的距离时，甲以“4”的速度跑了122433÷⨯=圈．所以还剩下13的跑道长度，甲以4的速度，乙以125的速度相对而跑，所以乙跑了112124355⎡⎤⎛⎫⨯÷+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦18=圈.也就是第二次相遇点逆时针方向距出发点18圈．即第一次相遇点与第二次相遇点相差31195840-=圈，所以，这条椭圆形跑道的长度为1919040040÷=米．10.如图3-2，在400米的环形跑道上，A,B 两点相距100米.甲、乙两人分别从A ，B 两点同时出发，按逆时针方向跑步.甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟.那么甲追上乙需要时间是多少秒?【分析与解】如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的时间为100÷(5-4)=100秒．此时甲跑了100×5=500米，乙跑了100×4=400米．而实际上甲跑500米，所需的时间为100+4×10=140秒，所以140～150秒时甲都在逆时针距A 点500处．而乙跑400米所需的时间为100+3×10=130秒，所以130～140秒时乙走在逆时针距B点400处．显然从开始计算140秒时，甲、乙在同一地点，即甲追上乙需要时间是140秒．11.周长为400米的圆形跑道上，有相距100米的A ，B 两点．甲、乙两人分别从A ，B 两点同时相背而跑，两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A 时，乙恰好跑到B ．如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么甲追上乙时，甲从出发开始，共跑了多少米? 【分析与解】如下图,记甲乙相遇点为C.当甲跑了AC 的路程时，乙跑了BC 的路程；而当甲跑了400米时，乙跑了2BC 的路程．由乙的速度保持不变，所以甲、乙第一次相向相遇所需的时间是甲再次到达A 点所需时间的12. 即AC=12×400=200(米)，也就是甲跑了200米时，乙跑了100米，所以甲的速度是乙速度的2倍．那么甲到达A ，乙到达B 时，甲追上乙时需比乙多跑400-100=300米的路程，所以此后甲还需跑300÷(2-1)×2=600米，加上开始跑的l 圈400米．所以甲从出发到甲追上乙时，共跑了600+400=1000米．12.如图3-3，一个长方形的房屋长13米，宽8米．甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟行3米，乙每秒钟行2米.问:经过多长时间甲第一次看见乙?【分析与解】开始时，甲在顺时针方向距乙8+13+8=29米．因为一边最长为 13、所以最少要追至只相差13，即至少要追上29-13=16米．甲追上乙16米所需时间为16÷(3-2)=16秒，此时甲行了3×16=48米，乙行了2×16=32米．甲、乙的位置如右图所示：显然甲还是看不见乙，但是因为甲的速度比乙快，所以甲能在乙离开上面的那条边之前到达上面的边，从而看见乙．而甲要到达上面的边，需再跑2米，所需时间为2÷3=23秒．所以经过16+23=1623秒后甲第一次看见乙.13.如图3-4,学校操场的400米跑道中套着300米小跑道,大跑道与小跑道有200米路程相重．甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑,乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑,两人同时从两跑道的交点A 处出发,当他们第二次在跑道上相遇时,甲共跑了多少米?【分析与解】如下图,甲、乙只可能在大跑道上相遇．并且只能在AB 顺时针的半跑道上．易知小跑道AB 逆时针路程为100,顺时针路程为200,大跑道上AB 的顺、逆时针路程均是200米．我们将甲、乙的行程状况分析清楚．当甲第一次到达B 时,乙还没有到达B 点,所以第一次相遇一定在逆时针的BA 某处．而当乙第一次到达B 点时，所需时间为200÷4=50秒,此时甲跑了50×6=300米,在B 点300-200=100米处．乙跑出小跑道到达A 需100÷4=25秒,则甲又跑了25×6=150米,在A 点左边(100+150)-200=50米处．所以当甲到达B 处时,乙还未到B 处,那么甲必定能在B 点右边某处与乙第二次相遇．从乙再次到达A 处开始计算,还需(400-50)÷(6+4)=35秒,甲、乙第二次相遇,此时甲共跑了50+25+35=110秒．所以,从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了110×6=660米．14．如图3-5,正方形ABCD 是一条环形公路．已知汽车在AB 上时速是90千米，在BC 上的时速是120千米，在CD 上的时速是60千米,在DA 上的时速是80千米．从CD 上一点P,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB 中点相遇．如果从PC 的中点M,同时反向各发出一辆汽车,它们将在AB 上一点N 相遇．问A 至N 的距离除以N 至B 的距离所得到的商是多少?【分析与解】如下图,设甲始终顺时针运动,乙始终逆时针运动,并设正方形ABCD 的边长为单位“1”.有甲从P 到达AB 中点O 所需时间为608090PD DA AO ++10.5608090PD =++. 乙从P 到达AB 中点O 所需时间为6012090PC BC BO ++10.56012090PD =++. 有甲、乙同时从P 点出发,则在AB 的中点O 相遇,所以有：16080PD +=160120PC +且有PD=DC-PC=1-PC,代入有116080PC -+160120PC =+,解得PC=58. 所以PM=MC=516,DP=38.现在甲、乙同时从PC 的中点出发,相遇在N 点,设AN 的距离为x .有甲从M 到达N 点所需时间为608090MD DA AN ++351816608090x+=++；乙从M 到达N 点所需时间为6012090MC CB BN ++511166012090x-=++. 有351816608090x +++511166012090x -=++，解得132x =.即AN=132. 所以AN ÷BN 1313232=÷131=15.如图3-6，8时10分,有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A ，B 两地顺时针方向沿长方形ABCD 的边走向D 点.甲8时20分到D 点后,丙、丁两人立即以相同速度从D 点出发.丙由D 向A 走去,8时24分与乙在E 点相遇；丁由D 向C 走去，8时30分在F 点被乙追上.问三角形BEF 的面积为多少平方米?【分析与解】如下图，标出部分时刻甲、乙、丙、丁的位置．先分析甲的情况，甲10分钟，行走了AD 的路程；再看乙的情况，乙的速度等于甲的速度，乙14分钟行走了60+AE 的路程，乙20分钟走了60+AD+DF 的路程．所以乙10分钟走了(60+AD+DF)-(AD)=60+DF 的路程．有601014AD AE +=6010DF +=，有()()607560AD DFAE ED AE =+⎧⎪⎨-=+⎪⎩然后分析丙的情况,丙4分钟,行了走ED 的路程,再看丁的情况,丁的速度等于丙的速度,丁10分钟行走了DF 的距离．。

小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全[1]

小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。

比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。

对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。

第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。

由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。

下面我们介绍另外几种方法。

1.“通分子”。

当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。

如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。

2.化为小数。

这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。

但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。

3.先约分，后比较。

有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

4.根据倒数比较大小。

5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。

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完整word版本⼩学六年级的奥数培训教材.doc六年级拔尖数学⽬录第1 讲定义新运算第2 讲简单的⼆元⼀次不定⽅程第3 讲分数乘除法计算第4 讲分数四则混合运算第 5 讲估算第6 讲分数乘除法的计算技巧第7 讲简单的分数应⽤题（ 1）第8 讲较复杂的分数应⽤题（ 2）第9 讲阶段复习与测试（略）第10 讲简单的⼯程问题第11 讲圆和扇形第12 讲简单的百分数应⽤题第13 讲分数应⽤题复习第14 讲综合复习（略）第15 讲测试（略）第16 讲复杂的利润问题（ 2）第⼀讲定义新运算在加 .减 .乘 .除四则运算之外，还有其它许多种法则的运算。

在这⼀讲⾥，我们学习的新运算就是⽤“ #”“ *”“Δ”等多种符号按照⼀定的关系“临时”规定的⼀种运算法则进⾏的运算。

例1：如果 A*B=3A+2B ，那么 7*5 的值是多少？例 2：如果 A#B 表⽰A B照这样的规定，6#（ 8#5）的结果是多少？3例 3：规定X YXY10 10 的值。

求 2X Y例4：设 M*N 表⽰ M 的 3 倍减去 N 的 2 倍，即 M*N=3M-2N （1）计算（ 14 *10 ）*6（2）计算（8*3）5 4 2例5：如果任何数 A 和 B 有 A ¤ B=A ×B- （ A+B ）求（ 1） 10¤ 7（2）（ 5¤ 3）¤ 4（3）假设 2¤ X=1 求 X例 6：设 P∞ Q=5P+4Q，当 X∞9=91 时， 1/5 ∞（ X∞ 1/4 ）的值是多少？例 7：规定 X*Y= AX Y，且5*6=6*5则（3*2）*（1*10）的值是多少？XY例 8：▽表⽰⼀种运算符号，它的意义是1 1X YA）（ Y A）XY （ X已知 2 1 11 22 （2 1）（1 A） 3那么 20088▽ 2009=？巩固练习1、已知 2▽ 3=2+22+222=246；3▽4=3+33+333+3333=3702；按此规则类推（ 1）3▽ 2（2）5▽3（ 3）1▽ X=123，求 X 的值2、已知 1△ 4=1× 2× 3× 4；5△ 3=5×6× 7计算（ 1）（ 4△ 2） +（ 5△3）（ 2）（ 3△ 5）÷（ 4△ 4）3、如果 A*B=3A+2B ，那么（ 1） 7*5 的是多少？（ 2）（ 4*5 ） *6 （ 3）（ 1*5 ） *（ 2*4 ）4、如果 A>B ，那么｛ A ， B｝ =A ；如果 A求（ 1）｛ 8，0.8｝（2）｛｛1.9，1.901｝1.19｝5、 N ⾃然数，定F（ N） =3N-2例如F（4）=3×4-2=10求： F（1） +F（ 2） +F（ 3）+F （ 4）+F （ 5）+?? +F（ 100）的6、如果 1=1！1× 2=2 ！1× 2× 3=3！1× 2× 3× 4×??× 100=100!7、若“ +、-、×、÷、 =、（）”的意是通常情况，⽽式⼦中的“5”却相当于“ 4”。

六年级数学第二讲讲义

分数乘除法提升
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知识素材1
许多和爱豆周末去采摘樱桃，他们刚回到家。爱豆瘫在沙发上说：“累死我了！外面的天气真是太热了！许多，你摘了多少樱桃啊？” 许多数了数说：“我就摘了20颗，比你多了14吧。” 爱豆嘲笑许多说：“哈哈哈！这么算，我摘了15颗，但是我实际上摘的可不止这些啊。你说错了吧，许多！” 许多无奈地摇了摇头：“爱豆啊，你可得好好学习数学了。”
2 5
，捏一个猪八戒需要多少克面团？
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知识素材2
许多看着桌子上的樱桃，突然坏坏一笑。他跟爱豆说：“爱豆！你看咱们樱桃大小不一，为了公平，咱们稍微均衡一下。我给你我樱桃的12，你再给我你樱桃的12，不许挑，怎么样？” 爱豆心想：好像挺合理的，于是就答应了许多。过了一会，客厅里响起了爱豆的咆哮声。同学们，你们知道爱豆为什么咆哮吗？
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知识总结
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See you tomorrow~
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爱豆错在了________，他实际上采摘了________颗樱桃。
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例题1
摩托车每小时行驶 50千米，汽车每小时比它多行驶35，汽车每小时行驶_________千米。
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互动1

王奶奶喜欢捏小面人，捏一个孙悟空要用250 克面团，捏一个猪八
戒需要的面团比捏一个孙悟空多
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例题2
一副围棋 39元，一副中国象棋的价格是围棋的193 ，一副陆战棋的价格是中国象棋的13 ，一副陆战棋________元钱。
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互动2
一个养鸡场有小鸡3600只，养的母鸡数量是小鸡的89 ，养的公鸡数量是母鸡的116 ，养鸡场有公鸡________只。

高斯小学奥数六年级上册含答案第02讲计算综合二

第二讲计算综合二到了六年级，我们对四则运算提出了新的要求，考试中出现的经常是比较复杂的分数四则混合运算题目，因而要求有较强的计算基本功．在计算的同时，综合运用以前学过的各种巧算技巧，往往能使题目的计算过程变得简洁．当然现在的巧算技巧不再像以前那么直接，而是蕴藏在计算的细节之中．练习1 计算：4311.27 4.19122143⎛⎫÷+⨯÷ ⎪⎝⎭ 计算：5413.8512.3131854⎛⎫÷+⨯÷ ⎪⎝⎭．「分析」把除号变乘号，带分数化为假分数．计算的时候，多留意观察，看看有没有哪些步骤能够用到巧算．例题1计算：59193 5.2219930.4 1.691052719950.51995196 5.22950+-⨯⎛⎫÷+ ⎪⨯⎝⎭-+．「分析」此题比上一题看起来更加复杂了，我们可以先把它分成两个部分：左边的分式与右边的和式．左边的分式，分子与分母有什么联系呢？对于右边的和式，通分显然一种很好的选择．例题3练习2计算：91739236353241123111176345134⨯+⨯⨯-÷计算：711471826213581333416⨯+÷-÷．「分析」题目看上去很繁，似乎需要大量的计算．对于这种含有带分数的运算，我们一般先把带分数化成假分数，这样可以便于乘除法中进行约分．例题2接下来我们学习一种特殊的计算技巧：换元法．请同学们先看例题4．计算：531579753579753135531579753135579753135357975357975531135357975531357975⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭「分析」算式中的四个括号其实有很大一部分是重叠的，如下所示：我们不妨把这两类重叠部分，一个设为a ，另一个设为b ．你能用带有a 和b 的式子把原式表示出来吗？例题4531579753579753135531579753135579753135357975357975531135357975531357975⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ba 练习3计算：2669502.2520110.113220090.220091310.253+⨯⎛⎫÷- ⎪⨯⎝⎭+ 练习4计算：11111111111111111111234523456234562345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⨯++++-+++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭b例4中用到了换元的运算技巧．换元，指的是用字母来代表一块算式，把算式当成一个整体进行计算的想法，是一种很实用的计算技巧．换元的目的是让我们省去很多不必要的计算，这样能够大大简化计算过程．有时候，不一定要用换元才能够省去计算，只要带着这个想法考虑问题就行了．下面我们学习连分数．什么是连分数呢，举几个简单的例子： 1111111+++11123++ 1112134+++像上面这样包含若干层分数线的复杂分数就是连分数．连分数本质上讲应该是一个算式，而不仅仅只是一个数，所以我们通常需要将这样的连分数化简成最简分数的形式．那究竟如何化简呢？想要将连分数化简成普通分数，必须从短分数线开始一层层的来算．我们就拿简单的五层连分数11111111111+++++为例．下面的算式就是这个连分数化简为普通分数的全过程：连分数计算最重要的就是把分数线减少．仔细观察一下上述过程，大家不难发现，连分数的计算顺序是由短分数线开始算，每次算完，分数线就变少，形式变得越来越简单．1315已知“*”表示一种运算符号，它的含义是：ma b a b a b*=+⨯⨯，并且237*=．（1）请问：m 等于多少？（2）计算：()()()()1223341920*+*+*++*L ．「分析」（1）由“*”的定义，以及237*=，不难求出m ；（2）对于“*”，我们不清楚它有什么运算性质，但可以按照它的定义，把“*”运算换成四则运算，如12*可以替换成1212m +⨯⨯，23*可以替换成2323m+⨯⨯，…… 例题6（1）将下面这个连分数化简为最简真分数：11514132+++；（2）若等式成立，x 等于多少？1811111214x =+++．「分析」第（1）问就是一个简单连分数的计算，从下往上一层层算即可．但第（2）问则是一个连分数方程，而且未知数在最底层，不可能把左侧的分数先算出来．此时，为了将分数线减少，我们可以采取方程左右两侧同时取倒数的想法，这样一来，就容易求解了．例题5作业：1. 计算：．2. 计算：（1）；（2）．3. 计算：．4. （1）计算：；（2）已知，求x ．5. 规定运算，求：（1）．（2）；（3）．第二讲计算综合二111111112233499100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫*+*+*++* ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L()()()()99979795959331*+*+*++*L ()()2143*** 1a b a b a b*=-+⨯ 16611110711161115243x =++++++1279348514+++ 1.1111 1.99990.11110.9999⨯-⨯ 212372153653579⎛⎫+⨯÷+⨯ ⎪⎝⎭ 15110 4.5213780.5 1.5⨯+÷-⨯ 7655134.512714⎛⎫⨯+÷⨯ ⎪⎝⎭例题例题1. 答案：14413详解：原式189139943.8512.37.712.35545513=⨯+⨯÷=⨯+⨯⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()94941447.712.32051351313=+⨯⨯=⨯⨯=．例题2. 答案：12详解：原式=71829⨯12640153+-3416⨯4571238882346124042323231233+⨯=⨯=⨯=-3⨯1248423⨯⨯12=．例题3. 答案：1.25详解：因为5955193 5.2219 3.9 5.2219 1.32910991527551965.2219 6.54 5.22191.3295099+-+--===-+-+-，及19930.4 1.619930.42 1.619930.820.8199320.80.819950.5199519950.521995199519951995⨯⨯⨯⨯⨯++=+=+=⨯=⨯⨯⨯，所以原式=10.8 1.25÷=．例题4. 答案：1详解：设531579753135357975a =++，579753357975b =+，于是有：()1351351351351351355311531531531531531531135a b a b ab a ab b a b =⨯+-+⨯=+-+=-=⨯=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭原式．例题5. 答案：（1）30157；（2）54（1）详解：原式=111301115715755130304772===+++；（2）详解：原方程两边同时取倒数，得：111118214x +=++，即1318214x =++；将其两边同时取倒数得：182134x +=+，即12134x =+；将其两边同时取倒数得：1342x +=，即54x =．例题6. 答案：（1）6；（2）2665.7（1）详解：由2323723m *=+⨯=⨯，得：6m =；（2）详解：原式=666612233419201223341920+⨯++⨯++⨯+++⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L=()1111612233419201223341920⨯+++++⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭L L=1192021012612665.7203⨯⨯-⨯⨯⨯-+=⎛⎫ ⎪⎝⎭．练习 1. 答案：6简答：原式=7731.273 4.196447⨯⨯+⨯⨯=⎛⎫ ⎪⎝⎭．2. 答案：4简答：原式=928553612159940404099514035324115210433710433740297171717102971751317515151⨯+⨯+⨯=⨯=⨯=⨯⨯=-⨯-． 3. 答案：98简答：原式=2009200920112134499841412009220092234+÷-=÷=⨯⨯+⎛⎫⎪⎝⎭．4. 答案：16简答：令11112345a =+++，则原式=()11111666a a a a ++-++=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．作业：1. 答案：25简答：原式()7697575515169251226141214⎛⎫=⨯+⨯⨯=+⨯⨯= ⎪⎝⎭．2. 答案：（1）2；（2）273简答：（1）原式4759110037.257.2514.57.25237221714⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯÷=+÷=÷= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）原式1220545713672575317791593⎛⎫=+⨯+⨯=⨯+= ⎪⎝⎭．3. 答案：2.111简答：设a =0.1111，b =0.9999，则有：原式(1)(1)(1)1(1)10.99990.11111 2.111a b ab a b b ab a b =++-=⨯++⨯+-=++=++=．4. 答案：（1）4；（2）112简答：（1）原式1212===47939444483+++；（2）倒数法： 110715111166611115243x =--=++++， 11111311525243x =--=++，211133412x =--=．5. 答案：（1）161156；（2）499899；（3）333300.99 简答：（1）原式=313161*212156=；（2）原式=111114922224998999797953199973199⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=⨯+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ；（3）原式1111111111111122399100122399100⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L()11111199100101112991001333300.99223991001003⨯⨯⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⨯++⨯=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L ． 11111112239910022399100⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯+-+⨯++-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L。

六年级数学奥数培训课程第1讲至第20讲

六年级数学奥数培训课程第1讲至第20讲第1讲：数学奥数概述数学奥数是一门旨在培养学生逻辑思维和数学能力的课程。

在六年级的数学奥数培训课程中，我们将从基础概念开始，逐步深入学习各种数学问题，帮助学生拓展思维，提高解题能力。

第2讲：整数和有理数整数和有理数是数学中非常基础且重要的概念。

我们将在这一讲中复习整数的运算规则，进而探讨有理数的性质和运算方法。

第3讲：平面几何基础平面几何是数学中的一个重要分支，对于提高学生的几何思维能力尤为重要。

本讲将介绍平面几何的基本概念，如点、线、角等，并结合实际问题进行训练。

第4讲：图形的计算在这一讲中，我们将学习如何计算各种图形的面积和周长，包括矩形、三角形、圆等。

这些技能不仅在奥数竞赛中有用，也对学生日常生活有实际帮助。

第5讲：方程方程组的解法方程和方程组是数学中常见的问题类型，我们将在这一讲中介绍如何解一元一次方程、二元一次方程等，并提供相关练习。

第6讲：不等式和绝对值不等式和绝对值是数学中的重要概念，我们将在这一讲中详细讨论不等式的性质和解法，以及绝对值的计算方法。

第7讲：数论基础数论是数学中一个非常有趣的领域，我们将在这一讲中介绍一些基础的数论理论，如质数、公约数、最大公约数等，帮助学生建立数论思维。

第8讲：概率与统计概率与统计是数学中的另一个重要分支，我们将在这一讲中介绍概率的基本概念和统计的常见方法，帮助学生理解随机事件和数据分析。

第9讲：多边形的特性多边形是几何中常见的图形类型，我们将在这一讲中学习多边形的性质和分类，包括正多边形、凸多边形等。

第10讲：立体几何的基础立体几何是平面几何的延伸，我们将在这一讲中介绍立体图形的性质、表面积和体积计算方法，帮助学生理解立体几何的重要性。

第11讲：空间坐标系空间坐标系是数学中的一个重要工具，我们将在这一讲中介绍三维坐标系的建立和运用，以及空间中点、直线、平面等的相关性质。

第12讲：复数与方程复数是数学中一个神秘而有趣的概念，我们将在这一讲中介绍复数的定义、性质和运算法则，以及如何利用复数解决方程问题。

六年级奥数计算综合讲座

六年级奥数计算综合讲座计算综合本讲主要是补充[计算综合(I)]未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算．1．n×(n+1)=[n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)]÷3；2．从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：3．平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)．1．已知a= 试比较a、b的大小【分析与解】其中A=99,B=99+ 因为A<B，所以98+ >98+ ，所以有a < b．2试求的和？【分析与解】记则题目所要求的等式可写为：而所以原式的和为1．评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想．2．试求1+2+3+4+…4+100的值?【分析与解】方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)×项数÷2=(1+100)×100÷2=00．方法二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ +… 97+ 98+ 99+ 100100+ 99+ 98+ 97+ 96+…4+ 3+ 2+ 1,上下两个数相加都是101，并且有100组，所以两倍原式的和为101×100，那么原式的和为10l×100 ÷2=00．方法三：整数裂项(重点)，原式=(1×2+2×2+3×2+4×2+…+100×2)÷2====003．试求l×2+2×3+3×4+4×+×6+…+99×100．【分析与解】方法一：整数裂项原式=(1×2×3+2×3×3+3×4×3+4××3+×6×3+…+99×100×3)÷3=[1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(-2)+4××(6-3)+×6×(7-4)+…+99×100×(101-9 8)]÷3方程二：利用平方差公式12+22+32+42+…+n2=原式：12+l+22+2+32+3+42+4+2++…+992+99=12+22+32+42+2+…+992+1+2+3+4++…+99==32830+490=333300．．计算下列式子的值：01×03+02 04+03×0+04×06+…+97×99+98 100【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算．即先计算1×3+2 4+3×+4 6+…+97 99+98×100。

小学奥数六年级上第2讲《计算综合二》教学课件

mathematics
例题1：计算： 3.85 5 12.31 4 3 1
18
5 4
分析：把除号变乘号，带分数化为假分数，计算的时候，多留意观察，看看有没有哪些步骤
能够用到巧算. 答案：144
13
练习1：计算：1.27 4 4.191 3 2 1
21
4 3
答案：6
例题讲解
mathematics
极限挑战
mathematics
例题5：
（1）将下面这个连分数化简为最简真分数.
1
5
4
1 1
3
1
2
（2）若下面等式成立，x等于多少?
1
1
2
1 1
x
1
8 11
4
答案：（1）30 ；（2）5
157
4
极限挑战
mathematics
例题6：已知“*”表示一种运算符号，它的含义是：，并且2*3=7，a * b m a b
边的和式，左边的分式，分子与分母有什么联系呢？对于右边的和式，通分显然一种很好
的选择.
答案：1.25
例题讲解
mathematics
669
练习3：计算：
13
2
3 2
502.25 10.25
2011 2009
0.1 0.2
1 2009
3
答案：98
例题讲解
mathematics
例题4：计算： 531 579 753 579 753 135 531 579 753 135 579 753
6 31 3 1
3 41
3 11
2
6 17
51 3 4
答案：4

奥数六年级千份讲义762数论综合[二]

数论综合[二]1. 按要求进行进制转化：1）12310=______2； 2）32110=______3；3）10245 =______； 4）12618 =______；2. 计算，用原有进制表示结果：1）1011012+101112=_______； 2）101102 ⨯ 1012=_______；3）636058-570248=_______； 4）70218÷4258 =_______；3. 将0.4510分别表示成二进制的分数和小数_______、_______；4. 在k 进制中用52k 是25k 的2倍，那么123k 在十进制中表示为_______；5. 计算：313233318[][][][]19191919⨯⨯⨯⨯++++=______；6. 在21[]1993、22[]1993、23[]1993、…、21993[]1993中共出现了______个互不相同的数；7. 一个数去掉小数部分后的得到一个整数，这个整数加上原数的4倍，得27.6，那么原数是_____；8. 设[x ]表示不超过x 的最大整数，则方程215]14[-=+x x 所有正数解之和是______；9. 三个两位数从小到大排成了一个公差是6的等差数列，把它们写成五进制后，每个数的各位数字之和恰好从大到小，那么这样的三个数共有______组；10. 两个自然数，差是98，各自的各位数字之和都能被19整除，那么满足要求的最小的一对数分别是________和________；1/31/2023 姓名：数论综合[二] 课后练习1. 按要求进行进制转化：1）200110=______5；2）283110=______8；3）101102 =______10；4）121213 =______10；2. a 、b 、c 、d 、e 表示五进制数中的5个不同的数字，如果ade 5、adc 5、aab 5是由小到大的连续自然数，那么abcde 5写成十进制是______；3. 在_____进制中，五进制数20215可以化成405；4. a 、b 是正整数，a 进制数)(47a 与b 进制数)(74b 相等，那么a +b 的最小值是______；5. 右图的八个部分中，分别填入一个数的2至9进制表示形式，那么最后两个区域中的数分别为_____、_____；6. 某军需仓库保管员，将2000发子弹分放在若干个盒子里，一旦需要取走1至2000中任何数目的子弹时，不用打开盒子，便可凑出所需数目的子弹，那么至少要准备____个盒子，具体放法为：__________；7. 若x +[y ]=200.4，{x }+y =20.04，则x =______， y =_______；8. 设{x }表示x 的小数部分，方程409081856x x -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+的解为_______；9. 计算：2312322312123122[][][][]41414141⨯⨯⨯⨯++++=______；10. 某三位数，若它本身增加3，则新的三位数各位数字之和就减少到原三位数的三分之一，那么原三位数的各位数字之和为______，这样的位数共有_____个； 111 10 11 21 127。

六年级奥数计数综合

计数综合教学目标1.使学生正确理解排列、组合的意义;正确区分排列、组合问题;2.了解排列、排列数和组合数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的排列或组合;3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系;4.会、分析与数字有关的计数问题,以及与其他专题的综合运用,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力;通过本讲的学习,对排列组合的一些计数问题进行归纳总结,重点掌握排列与组合的联系和区别,并掌握一些排列组合技巧,如捆绑法、挡板法等。

5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。

知识点拨:一、排列一般地,从个不同的元素中取出()个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.根据排列的定义,两个排列相同,指的是两个排列的元素完全相同,并且元素的排列顺序也相同.如果两个排列中,元素不完全相同,它们是不同的排列;如果两个排列中,虽然元素完全相同,但元素的排列顺序不同,它们也是不同的排列.排列的基本问题是计算排列的总个数.从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数,叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数,我们把它记做.根据排列的定义,做一个元素的排列由个步骤完成:步骤:从个不同的元素中任取一个元素排在第一位,有种方法;步骤:从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位,有()种方法;……步骤:从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置,有(种)方法;由乘法原理,从个不同元素中取出个元素的排列数是,即,这里,,且等号右边从开始,后面每个因数比前一个因数小,共有个因数相乘。

二、组合一般地,从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.从排列和组合的定义可以知道,排列与元素的顺序有关,而组合与顺序无关.如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合,只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数,叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数.记作。