概率论与数理统计期末证明题专项训练

证明题专项训练

1. 设总体X~N(0,2

σ),。

n

X X ,...,1就是一个样本,求2σ的矩估计量,并证明它为2

σ的无偏

估计。

2. 设总体),(~2σμN X ,参数μ已知,2σ(2σ>0)未知,n x x x ,,,21Λ为一相应的样本值。

求2σ的最大似然估计量。,并证明它为2σ的无偏估计。

3. 设总体X 服从u u N ,),,(2

2

已知σσ未知。n X X ,,1Λ就是X 的一个样本,求u 的矩估

计量,并证明它为u 的无偏估计。 4. 设0)(>A P ,试证:)

()

(1)|(A P B P A B P -≥。 5. 若随机变量(

)2

,~σ

μN X ,则σ

μ-=X Z ()1,0~N 、

设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从正态分布)9,0(N ,而921,,,X X X Λ与921,,,Y Y Y Λ分别来自总体X 与Y 的样本,试证统计量

)9(~29

22

21

921t Y

Y Y X X X U ++++++=

ΛΛ

参考答案

1. 解: X 的二阶矩为:2

2)(σ=X E 1’

X 的二阶样本矩为∑==n k i

X n A 1

221 1’

令:

22

)(A X E =, 1’ 解得:2

1

2

1i n

k X n ∑==σ) ,

2σ的矩估计量2

12

1i

n k X n ∑==σ) 2’

σσ==∑=)1()ˆ(21

2

i n

k X n E E , 它为2

σ的无偏估计量、 3’

2.

解: 似然函数为

()

2

1

2

2

2

2)(2

2

2)(1221

21)(σμσ

μπσσ

πσ∑=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∏==----=n

i i i x n

x n

i e

e L ,相应的对数似然函数为

(

)2

2

1

2

22ln 2

2)

()(ln πσσ

μσn

x L n

i i -∑--==。

令对数似然函数对2σ的一阶导数为零,得到2σ的最大似然估计值为

∑=-=n

i i x n 1

22

)(1ˆμσ

2’ 21

22

)(1)ˆ(σμσ

=-=∑=n

i i X E n E , 它2σ为的无偏估计量、 3. 解: 样本n X X ,...,1的似然函数为:

])(21ex p[)

2(),,...,(1

22

/1∑=---=n

k i n n u x u x x L π 2’

而])([21)2ln(2/),,...,(ln 1

2

1∑=---=n k i n u x n u x x L π 1’

令:

0)())

,,...,((ln 1

1=-=∑=n

k i n u x du u x x L d , 1’ 解得:i n k x n u

∑==11ˆ u 的最大似然估量i n

k X n u ∑==11ˆ 2’ u X n E u

E k n

k ==∑=)1()ˆ(1

, 它为u 的无偏估计量、 2’ 4. 证明: 因为 1)(≤⋃B A P , 即1)()()(≤-+AB P B P A P 1)|()()()(≤-+A B P A P B P A P )](1[)()|()(B P A P A B P A P --≥

)()()|()(B P A P A B P A P -≥

)

()

(1)|(A P B P A B P -

≥ (0)(>A P )

5. 解法一:σ

μ

-=

X Z 的分布函数为

{}{}()dt e x X P x X P x Z P x

t ⎰

+∞

---

=

+≤=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧≤-=≤σμσμσπμσσμ2

2

221 (5分)

令

u x =-σ

μ

,得

{}()x du e

x Z P x

u Φ==

≤⎰∞

--

2

2

21

π

所以σ

μ

-=

X Z ()1,0~N 、 (5分)

解法二:令()σ

μ

-=

x x g ,则

()x g 在()+∞∞-,上严格单调递增

其反函数为()μσ+=z z h ,()σ='z h ,()+∞∞-∈,z (4分)

σ

μ

-=

X Z 的密度函数为()()()()22

121z X Z e

z h z h f z f -=

'⋅=π

所以σ

μ

-=

X Z ()1,0~N 、 (6分)

6. 由于X1,X2,……,X9就是来自正态总体的样本,且都服从标准正态分布N(0,1),则【】

由于Y1,Y2,……,Y9相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则【】 又因为两个随机变量X,Y 相互独立由t 分布可知【】 即统计量Z 服从t 分布,参数为9,得证、