概率论与数理统计期末证明题专项训练

证明题专项训练
1. 设总体X~N(0,2
σ),。

n
X X ,...,1就是一个样本,求2σ的矩估计量,并证明它为2
σ的无偏
估计。

2. 设总体),(~2σμN X ,参数μ已知,2σ(2σ>0)未知,n x x x ,,,21Λ为一相应的样本值。

求2σ的最大似然估计量。

,并证明它为2σ的无偏估计。

3. 设总体X 服从u u N ,),,(2
2
已知σσ未知。

n X X ,,1Λ就是X 的一个样本,求u 的矩估
计量,并证明它为u 的无偏估计。

4. 设0)(>A P ,试证:)
()
(1)|(A P B P A B P -≥。

5. 若随机变量(
)2
,~σ
μN X ,则σ
μ-=X Z ()1,0~N 、
设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从正态分布)9,0(N ,而921,,,X X X Λ与921,,,Y Y Y Λ分别来自总体X 与Y 的样本,试证统计量
)9(~29
22
21
921t Y
Y Y X X X U ++++++=
ΛΛ
参考答案
1. 解: X 的二阶矩为:2
2)(σ=X E 1’
X 的二阶样本矩为∑==n k i
X n A 1
221 1’
令:
22
)(A X E =, 1’ 解得:2
1
2
1i n
k X n ∑==σ) ,
2σ的矩估计量2
12
1i
n k X n ∑==σ) 2’
σσ==∑=)1()ˆ(21
2
i n
k X n E E , 它为2
σ的无偏估计量、 3’
2.
解: 似然函数为
()
2
1
2
2
2
2)(2
2
2)(1221
21)(σμσ
μπσσ
πσ∑=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∏==----=n
i i i x n
x n
i e
e L ,相应的对数似然函数为
(
)2
2
1
2
22ln 2
2)
()(ln πσσ
μσn
x L n
i i -∑--==。

令对数似然函数对2σ的一阶导数为零,得到2σ的最大似然估计值为
∑=-=n
i i x n 1
22
)(1ˆμσ
2’ 21
22
)(1)ˆ(σμσ
=-=∑=n
i i X E n E , 它2σ为的无偏估计量、 3. 解: 样本n X X ,...,1的似然函数为:
])(21ex p[)
2(),,...,(1
22
/1∑=---=n
k i n n u x u x x L π 2’
而])([21)2ln(2/),,...,(ln 1
2
1∑=---=n k i n u x n u x x L π 1’
令:
0)())
,,...,((ln 1
1=-=∑=n
k i n u x du u x x L d , 1’ 解得:i n k x n u
∑==11ˆ u 的最大似然估量i n
k X n u ∑==11ˆ 2’ u X n E u
E k n
k ==∑=)1()ˆ(1
, 它为u 的无偏估计量、 2’ 4. 证明: 因为 1)(≤⋃B A P , 即1)()()(≤-+AB P B P A P 1)|()()()(≤-+A B P A P B P A P )](1[)()|()(B P A P A B P A P --≥
)()()|()(B P A P A B P A P -≥
)
()
(1)|(A P B P A B P -
≥ (0)(>A P )
5. 解法一:σ
μ
-=
X Z 的分布函数为
{}{}()dt e x X P x X P x Z P x
t ⎰
+∞
---
=
+≤=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤-=≤σμσμσπμσσμ2
2
221 (5分)
令
u x =-σ
μ
,得
{}()x du e
x Z P x
u Φ==
≤⎰∞
--
2
2
21
π
所以σ
μ
-=
X Z ()1,0~N 、 (5分)
解法二:令()σ
μ
-=
x x g ,则
()x g 在()+∞∞-,上严格单调递增
其反函数为()μσ+=z z h ,()σ='z h ,()+∞∞-∈,z (4分)
σ
μ
-=
X Z 的密度函数为()()()()22
121z X Z e
z h z h f z f -=
'⋅=π
所以σ
μ
-=
X Z ()1,0~N 、 (6分)
6. 由于X1,X2,……,X9就是来自正态总体的样本,且都服从标准正态分布N(0,1),则【】
由于Y1,Y2,……,Y9相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则【】 又因为两个随机变量X,Y 相互独立由t 分布可知【】 即统计量Z 服从t 分布,参数为9,得证、。