应力和应变分析强度理论
13应力应变分析及强度理论
15 . 5 90 105 . 5 0
x y
15 . 5 主应力 1 方向： 0
主应力
3
105 .5 方向： 0
18
（3）主单元体：
y
xy
3
1
15.5
x
19
13-5空间应力状态
代表单元体任意斜截面上应力 的点，必定在三个应力圆 圆周上或圆内。
纯剪切应力状态下： u=τ 2/2G
复杂应力状态下：
u= σ1ε1/2+ σ2ε2/ 2 + σ3ε3/ 2
= [σ12+ σ22+ σ32-2μ（σ1σ2+σ2σ3 +σ3σ1）] /2E
三、体积改变比能和形状改变比能
单元体的变形表现为 体积的改变和形状的改变，其变形 能和比能也由以下这两部分组成：
σ
3
σ1
σ2
σ2
σ
σ1
3
8
13-2 平面应力状态分析-解析法
一个微分六面体可以简化为平面单元体
9
1.斜截面上的应力
y
x
yx
a
xy
x
α
a
n
dA
x
y
a
xy
yx
F 0
n
t
y
F 0
t
10
1 1 ( ) ( ) cos 2 sin 2 x y x y xy 2 2
33
（2）最大伸长线应变理论（第二强度理论）脆性断裂 最大伸长线应变是引起材料断裂破坏的主要因 观点： 素，即认为无论是单向或复杂应力状态， 1 是
材料力学应力和应变分析强度理论
§7–5 广义虎克定律
y
一、单拉下旳应力--应变关系
x
x
E
y
E
x
ij 0 (i,j x,y,z)
二、纯剪旳应力--应变关系
z
E
x
z
y
xy
xy
G
i 0 (i x,y,z)
z
yz zx 0
x
x
xy
x
三、复杂状态下旳应力 --- 应变关系
y
y
x
y x
z
xy
z
x
依叠加原理,得:
x
1
(MPa)
解法2—解析法：分析——建立坐标系如图
45 25 3
95
60°
i j
x
2
y
（
x
2
y
）2
2 xy
y
1
25 3 y 45MPa
° 5
0
Ox
6095MPa 6025 3MPa
yx 25 3MPa xy
x ?
x
y
2
sin 2
xy cos 2
25 3 x 45 sin 120o 25 3 cos120o
y
z
z
y
证明: 单元体平衡 M z 0
xy x
x
( xydydz)dx( yxdzdx)dy0
xy yx
五、取单元体： 例1 画出下图中旳A、B、C点旳已知单元体。
F
A
y
F x
x
A
B
C z
x B x
zx
xz
F
Mex
yx
C
xy
FP
9第九章 应力、应变分析、强度理论123
第九章 应力、应变分析、强度理论一、是非题9-1、单元体最大正应力面上的剪应力恒等于零。
（ ）9-2、单元体最大剪应力面上的正应力恒等于零。
（ ）9-3、依照剪应力互等定理，一单元体中两个平面上的剪应力数值相等，符号相反，则这两平面必定相互垂直。
（ ）9-4、 只要构件横截面上的轴力N=0，则该横截面正应力处处为零。
（ ）9-5、 梁受横力弯曲时，其横截面上各点处的主应力必定是σ1≥0，σ3≤0。
（ ）9-6、 等截面圆杆受纯扭转时，杆内任一点处只有剪应力，而无正应力。
（ ）9-7、若受力构件中一点处，某方向上的线应变为零，则该方向上的正应力必为零。
（ ）9-8、若受力钢质构件中的一点处，某相互垂直方向的剪应变为零，则该方向上的剪应力必为零。
（ ） 9-9、若各向同性材料单元体的三个正应力σx >σy >σz ，则对应的三个线应变也有εx >εy >εz 。
（ ） 9-10、 各向同性单元体的三个主应变为ε1≠0，ε2≠0，ε3=0，若（1）、当ε1>0，则必有σ1>0；（ ）（2）、当ε1>ε2，则必有σ1>σ2；（ ）（3）、当ε1>ε2>0，则()()21max 12εεμτ-+=E 。
（ ） 9-11、各向同性材料在三向均匀压缩或拉伸时，其形状改变比能恒等于零。
（ ）二、选择题9-12、单元体应力状态如图9-1所示，由x 轴至σ1方向的夹角为（ ）。
A 、＋13.5°；B 、－76.5°；C 、＋76.5°；D 、－13.5°。
9-13、 若已知σ1=5MP a ，则另一个主应力为（ ）。
A 、σ2=－85MP a ；B 、σ3=－85MP a ；C 、σ2=75MP a ；D 、σ3=－75MP a 。
9-14、 三种应力状态分别如图9-2a 、b 、c 所示，则三者间的关系为（ ）。
A 、完全等价；B 、完全不等价；C 、（b ）和（c ）等价；D 、（a ）和（c ）等价。
第七章 应力状态、应变分析和强度理论
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
二、 正应力极值
1 1 ( x y ) ( x y ) cos 2 xy sin 2 2 2 d ( x y ) sin 2 2 xy cos 2 d
设α＝α0 时，上式值为零，即
2
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
3、三向（空间）应力状态 三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2 1
3 1
3 2
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念
仅在微体四侧面作用应力，且 应力作用线均平行于微体的不 受力表面－平面应力状态
1
1
1
1
3
3
1 0, 2 0, 3 0
1 0, 2 0, 3 0
§7-1 应力状态的概念 2、二向（平面）应力状态 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3 2 3 2
3
2
1
3
1
1
1
1 0, 2 0, 3 0
Ft 0
dA ( x dAcos )cos ( x dAcos )sin ( y dAsin )sin ( y dAsin )cos 0
§7-3 平面应力状态分析－－解析法
一、任意斜截面上的应力公式 已知： x , y , x , y , dA 求： ，
sin 2 xy cos 2
2 xy 2 ( 50) tan 2 0 1 x y 40 60 2 0 45 135
y =60 MPa xy = -50MPa =-30°
应力应变分析与强度理论
ax in
m
ax
2
m in
极值切应力等于极值正应力差的一半。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§7.2 平面应力状态分析的解析法
三、极值切应力和主平面夹角
注意到 则 所以
tan
2 0
2 xy x
y
tan
21
x 2 xy
y
tan
20
第7章 应力应变分析与强度理论
§7.1 应力状态的概念 §7.2 平面应力状态分析的解析法 §7.3 平面应力状态分析的图解法 §7.4 三向应力状态简介 §7.5 平面应力状态的应变分析 §7.6 广义胡克定律 §7.7 强度理论概述 §7.8 四个常用的强度理论 §7.9 莫尔强度理论
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
7.2.3 极值切应力及其作用面 一、极值切应力方位角
d 0 d
( x y ) cos 2 2 xy sin 2 0
得
tan
21
x 2 xy
y
二、最大、最小切应力
m m
ax in
x
2
y
2
2 xy
m m
主应力通常用1、 2 和 3 表示，它们的顺序按代 数值大小排列，即 1 2 3 。
材料力学电子教案 C 机械工业出版社
§7.1 应力状态的概念
7.1.4 应力状态的分类 1. 单向应力状态 (简单应力状态 ) 三个主应力中，只有一个不等于零 2. 二向应力状态 (复杂应力状态 ) 有两个应力不等于零 3. 三向应力状态 (复杂应力状态 ) 三个主应力都不等于零
应力分析和强度理论
要点二
详细描述
在机械工程领域，应力分析用于研究 机械零件和结构在各种工况下的受力 情况，以及由此产生的内部应力分布 。强度理论则用于评估这些应力是否 在材料的承受范围内，以确定结构是 否安全可靠。
要点三
应用举例
在机械设计中，通过对发动机、传动 系统、轴承等关键部件进行应力分析 ，可以优化设计，提高其承载能力和 可靠性。
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的 主要因素，当最大拉应力达到材料的极限 抗拉强度时，材料发生断裂。
第二强度理论
总结词
最大剪应力理论
详细描述
该理论认为最大剪应力是导致材料破坏的主 要因素，当最大剪应力达到材料的极限抗剪 强度时，材料发生断裂。
第三强度理论
总结词
最大应变能密度理论
详细描述
该理论认为最大应变能密度是导致材料破坏 的主要因素，当最大应变能密度达到材料的
应力分析
目录
• 应力分析概述 • 应力分析方法 • 材料力学中的应力分析 • 强度理论 • 实际应用中的应力分析与强度理
论
01
应力分析概述
定义与目的
定义
应力分析是研究物体在受力状态下应 力分布、大小和方向的一种方法。
目的
评估物体的强度、刚度、稳定性以及 预测可能的破坏模式，为结构设计提 供依据。
平衡方程
根据力的平衡原理，物体内部的应力分布满足平衡方程。
应变与应力的关系
通过材料的力学性能试验，可以得到应变与应力的关系，即应力-应变曲线。
弹性力学基本方程
根据弹性力学的基本原理，建立物体内部的应力、应变和位移之间的关系。
02
应力分析方法
有限元法
总结词
有限元法是一种广泛应用于解决复杂工程问题的数值分析方法。
应力和应变分析和强度
泊松比
总结词
泊松比是描述材料横向变形与纵向变形之间关系的物理量。
详细描述
当材料受到外力作用时，会发生形变。泊松比是表示材料在受到外力作用时，横向变形与纵向变形之间的比例关 系。其值通常在-0.5到0.5之间，但不同材料的泊松比可能会有所不同。
屈服强度
总结词
屈服强度是描述材料在受到外力作用时开始发生屈服现象的应力极限。
应力和应变分析和强度
目录
• 应力分析 • 应变分析 • 强度分析 • 材料性能 • 应力和应变的关系 • 工程应用
01
应力分析
定义与概念
01
02
03
应力
物体受到外力作用时，单 位面积上的内力。
应变
物体在外力作用下发生的 形状和尺寸的改变。
应力分析
通过数学模型和实验手段， 研究物体在受力状态下的 应力分布、大小和方向的 过程。
应力分类
正弯曲应力
由于弯曲产生的应力。
扭曲应力
由于扭曲产生的应力。
应力计算方法
解析法
通过数学公式和物理定律，计算应力 的方法。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通 过求解每个单元的应力，再组合得到 整体的应力分布。
实验法
通过实验手段测量物体的应力分布。
应变计算方法
有限元分析法
有限元分析是一种数值计算方法，通过将物体离散化为有限个小的单元，对每个 单元进行受力分析和形变计算，再通过单元的集合来模拟整个物体的形变。这种 方法可以处理复杂的几何形状和边界条件，广泛应用于工程领域。
实验测量法
通过在物体上粘贴应变片或使用激光干涉仪等设备来测量物体的形变，这种方法 可以直接获得物体的应变值，但需要专业的设备和操作技能。
工程力学四大强度理论的基本内容
工程力学中四大强度理论的基本内容一、四大强度理论基本内容介绍：1、最大拉应力理论（第一强度理论）：这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。
于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。
σb/s=[σ] ，所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ]。
2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。
εu=σb/E；ε1=σb/E。
由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E 所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。
按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。
3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。
依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。
所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。
按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。
4、形状改变比能理论（第四强度理论）：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。
二、四大强度理论适用的范围1、各种强度理论的适用范围及其应用（1）、第一理论的应用和局限应用：材料无裂纹脆性断裂失效形势（脆性材料二向或三向受拉状态；最大压应力值不超过最大拉应力值或超过不多）。
局限：没考虑σ2、σ3对材料的破坏影响，对无拉应力的应力状态无法应用。
（2）、第二理论的应用和局限应用：脆性材料的二向应力状态且压应力很大的情况。
本章应力和应变分析与强度理论的知识结构框图
本章应力和应变分析与强度理论的知识结构框图本章应力和应变分析与强度理论重点、难点、考点本章重点是应力状态分析，要掌握二向应力状态下斜截面上的应力、主应力、主平面方位及最大切应力的计算。
能够用广义胡克定律求解应力和应变关系。
理解强度理论的概念，能够按材料可能发生的破坏形式，选择适当的强度理论。
难点主要有 ① 主平面方位的判断。
当由解析法求主平面方位时，结果有两个相差 90 ”的方位角，一般不容易直接判断出它们分别对应哪一个主应力，除去直接将两个方位角代人式中验算确定的方法外，最简明直观的方法是利用应力圆判定，即使用应力圆草图。
还可约定y x σσ≥，则两个方位中绝对值较小的角度对应max σ所在平面。
② 最大切应力。
无论何种应力状态，最大切应力均为2/)(31max σστ-=，而由式（ 7 一 l ）中第二式取导数0d d =ατα得到的切应力只是单元体的极值切应力，也称为面内最大切应力，它仅对垂直于Oxy 坐标平面的方向而言。
面内最大切应力不一定是一点的所有方位面中切应力的最大值，在解题时要特别注意，不要掉人“陷阱”中。
本章主要考点： ① 建立一点应力状态的概念，能够准确地从构件中截取单元体。
② 二向应力状态下求解主应力、主平面方位，并会用主单元体表示。
会计算任意斜截面上的应力分量。
③ 计算单元体的最大切应力。
④ 广义胡克定律的应用。
⑤ 能够选择适当的强度理论进行复杂应力状态下的强度计算，会分析简单强度破坏问题的原因。
本章应力和应变分析与强度理论的习题分类及解题要点：本章习题大致可分为四类：( l ）从构件中截取单元体这类题一般沿构件截面截取一正六面体，根据轴力、弯矩判断横截面上的正应力方向，由扭矩、剪力判断切应力方向，单元体其他侧面上的应力分量由力平衡和切应力互等定理画完整。
特别是当单元体包括构件表面（自由面）时，其上应力分量为零。
( 2 ）复杂应力状态分析一般考题都不限制采用哪一种方法解题，故最好采用应力圆分析，它常常能快速而有效地解决一些复杂的问题。
工程力学第八章 应力应变分析 强度理论
第八章 应力状态分析与强度理论
§8-1 概述 §8-2 平面应力状态下的应力分析
§8-3 空间应力状态分析简介
§8-4 广义胡克定律 §8-5 强度理论
§8-1 概
一、应力状态的概念
述
研究拉压、剪切、扭转、弯曲等基本变形构件的强度问题 时已经知道，这些构件横截面上的危险点处只有正应力或切应 力，相应的强度条件为
c. 若三个主应力都不等于零，称为三向应力状态，三向 应力状态是最复杂的应力状态。
2 1
3 1
3 2
§8-2 平面应力状态下的应力分析 §8.2.1 平面应力状态应力分析的解析法
平面应力状态的普遍形式如图所示 。单元体上有x ,xy 和 y , yx
一、斜截面上的应力
y x
πD F p 4
′
p
A πD
πD 2 F p 4 pD A πD 4
n
D
（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
"
p
直径平面
FN
Ｏ
FN
d
y
D Fy 0 0 pl 2 sin d plD pD 2 l plD 0 2
π
三、点的主应力与应力状态的分类
1、主单元体 主平面 主应力 主单元体 各侧面上切应力均为零的单元体 主平面 主应力 切应力为零的截面 主面上的正应力
说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面 均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按 代数值大小的顺序来排列, 即
y
n
A
y
x
t
材料力学第七章知识点总结
规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建 立适当的强度条件。
材料力学
3、一点的应力状态的描述
研究一点的应力状态，可对一个 包围该点的微小正六面体——单 元体进行分析
在单元体各面上标上应力 各边边长 dx , dy , dz
——应力单元体
三、几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力；
y
σy
n
τ
H (σα ,τα )
τ yxHτ xy来自αxσx
(σy ,Dτyx)
2α A (σx ,τxy)
c
σ
σx +σ y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
α =α0
=
−2⎢⎡σ x
⎣
−σ y
2
sin 2α0
+τ xy
cos
2α
0
⎤ ⎥
⎦
=0
=
−2τ α 0
τα0 = 0
tg
2α 0
=
− 2τ xy σx −σ y
可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为
最大正应力和最小正应力所在平面。
主平面的方位
(α0 ; α0′ = α0 ± 900 )
主应力的大小
材料力学
四、在应力圆上标出极值应力
τ
τ max
x
R
O σ min
2α12α0A(σx ,τxy)
c
σ
σ
max
(σy ,τyx) D
材料力学应力和应变分析强度理论
y
S平面
SF
a
1
T
4
z
x
2
T
Fa
M
Fl
1
T
Wt
σ
Mz Wz
3 Mz 3
T
Wt
σ
Mz Wz
目录
7—1 应力状态的概念
一、单元体的取法
S平面
F
S平面
F
5
2
4
l/2
l/2
3
Mz
Fl 4
2 1
1 1
2
2
2
3 3
10
二、单元体的特征
2 3
1、单元体特征 单元体的尺寸无限小，
1
1
每个面上应力均匀分布
3
任意一对平行平面上的应力相等
x = -40MPa
大小
y =60 MPa
max min
x
2
y
(
x
2
y
)2
2 x
80.7MPa 60.7MPa
x = -50MPa =-30°
1 80.7MPa 2 0 3 60.7MPa
方位
tan 20
2 xy x
y
2 (50) 40 60
1
20
45 135
0
22.5 67.5
三个主应力1 、2 、3 均不等于零
三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3、单向应力状态
三个主应力 1 、2 、3 中只有一个不等于零
2 3
2
1
1
1
1
1
3 2
2
1
7-2 二向应力状态分析-解析法
四个强度理论
第 二 类强度理论
三、 最大剪应力理论 (第三强度理论)
根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会
沿最大剪应力所在截面滑移而发生屈服失效。 基本假说： 最大剪应力 max 是引起材料屈服的因素。
屈服条件：
τ max τ u
σs 2
在复杂应力状态下一点处的最大剪应力为
τ max 1 2 ( 1 3)
四个强度理论及其相当应力
在常温、静载荷下，常用的四个强度理论分两类
第 一类强度理论——以脆断作为破坏的标志
包括：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论
第 二类强度理论——以出现屈服现象作为破坏的标志
包括：最大剪应力理论和形状改变比能理论
第 一类强度理论
一、 最大拉应力理论（第一强度理论） 根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材 料就会沿最大拉应力所在截面发生脆性断裂。
77.5MPa
例题 9-2 两种应力状态分别如图所示，试按第四强度理论, 比较两者的危险程度。 解：一、定性分析 由于各向同性材料，正应力仅产生线应变，剪应力 仅产生剪 应变。而两种情况下的正应力和剪应力分 别相 等，因此， 其形状改变比能也相等，故两种情况下的危险程度相 等。 σ σ
τ τ
(a)
基本假说：最大拉应力1是引起材料脆断破坏的因素。
脆断破坏的条件： 1 = u （材料极限应力值） 强度条件为： r1 = 1 [ (9-2-1)
注意：无拉应力时，该理论无法应用。
二、 最大伸长线应变理论（第二强度理论）
根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料 就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生 脆断破坏。 基本假说：最大伸长线应变 1 是引起材料脆断破坏的因素。
四大强度理论
四大强度理论1、最大拉应力理论（第一强度理论）：这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。
于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。
σb/s=[σ]所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ]。
2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。
εu=σb/E；ε1=σb/E。
由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。
按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。
3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。
τmax=τ0。
依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。
所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。
按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。
4、形状改变比能理论（第四强度理论）：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。
发生塑性破坏的条件为：所以按第四强度理论的强度条件为：sqrt(σ1^2+σ2^2+σ3^2-σ1σ2-σ2σ3-σ3σ1)<[σ]压力容器设计应力强度(Stress intensity) ：某处的应力若系三向或二向应力时,其组合应力基于第三强度理论的当量强度.规定为给定点处最大剪应力的两倍,即给定点处最大主应力与最小主应力的代数值(拉应力为正值,压应力为负值)之差？？容器的应力分类一次应力P(Primary stress)一次应力P也称基本应力,是为平衡压力和其他机械载荷所必需的法向应力或剪应力,可由与外载荷的平衡关系求得,由此一次应力必然直接随外载荷的增加而增加.对于理想塑性材料,载荷达到极限状态时即使载荷不再增加,仍会产生不可限制的塑性流动,直至破坏.这就是一次应力的"非自限性"特征.二次应力Q (Secondary stress)二次应力Q是指由相邻部件的约束或结构的自身约束所引起的法向应力或切应力,基本特征是具有自限性.筒体与端盖的连接部位存在"相邻部件"的约束,厚壁容器内外壁存在温差时就形成"自身约束".二次应力不是由外载荷直接产生的,不是为平衡外载荷所必需的,而是在受载时在变形协调中产生的.当约束部位发生局部的屈服和小量的塑性流动使变形得到协调,产生这种应力的原因(变形差)便得到满足与缓和.亦即应力和变形也受到结构自身的抑制而不发展,这就是自限性.峰值应力F (Peak stress峰值应力F是由局部结构不连续和局部热应力的影响而叠加到一次加二次应力之上的应力增量.峰值应力最主要的特点是高度的局部性,因而不引起任何明显的变形.其有害性仅是可能引起疲劳裂纹或脆性断裂.局部结构不连续是指几何形状或材料在很小区域内的不连续,只在很小范围内引起应力和应变增大,即应力集中,但对结构总体应力分布和变形没有重大影响.压力容器设计复习潘家祯华东理工大学机械与动力工程学院基本概念(下)第四章外压容器设计压力容器设计复习(1) 了解外压容器失稳破坏特点,掌握弹性失稳,非弹性失稳,临界压力,圆筒计算长度,临界长度等概念及外压容器稳定性条件.(2) 掌握典型受载条件下(侧向均布外压,侧向与轴向同时受均布外压,仅轴向受压)圆筒临界压力(或应力)计算公式及其用作设计时相应稳定性系数m的取值.(3) 理解外压圆筒图算法原理,正确选择设计参数,并熟练运用图算法对外压圆筒和封头进行稳定性设计.(4) 掌握外压圆筒加强圈设计计算方法,了解加强圈结构和制造要求.4.1 基本要求第四章外压容器设计(1) 外压容器处于压缩应力状态,可能出现的两种失效形式是压缩屈服破坏和失稳破坏(即壳体在压应力下的突然皱折变形),失稳破坏是外压薄壁容器的主要失效形式.容器失稳时器壁中的压应力低于材料比例极限pt,则称为弹性失稳,反之为非弹性失稳,因容器用钢pt与yt相近,故可近似认为Lcr则约束件作用对筒体pcr无影响,称为长圆筒,失稳皱折波数n=2. 如L≤Lcr则约束件作用对筒体pcr有影响,称为短圆筒,失稳皱折波数n>2.一圆筒上有多个刚性约束件(如封头,法兰,加强圈,夹套封闭件等)即为多段圆筒,其中凸形封头所在圆筒段的计算长度L应包括封头直边段及1/3的封头深度.4.2 内容提要第四章外压容器设计(4) 外压容器稳定性设计目的是防止发生失稳破坏,条件是设计外压力p不得高于稳定性计算确定的许用外压[p],即满足稳定性条件p≤[p]=pcr/m;其中,设计外压力p定义与内压时定义相同,具体取值方法可查表.许用外压[p]由临界压力除以相应稳定性系数m确定;稳定性系数m是考虑公式准确性和制造所能控制的容器形状偏差等因素后所取的安全系数. 稳定性设计的核心问题是计算pcr并确定相应的m,即可计算作用外压[p].4.2 内容提要第四章外压容器设计(5) 圆筒临界压力pcr(或应力cr)计算( =0.3)①受侧向均布外压的圆筒:其pcr为可得圆筒临界长度为:失稳皱折波数n可近似计算4.2 内容提要第四章外压容器设计(4-2)(4-3)(4-4)(4-5)4.2 内容提要第四章外压容器设计②侧向和轴向同时受均布外压时,因轴向外压对圆筒稳定性影响不大,失稳变形及临界压力与情况①相近,故工程上仍按受侧向均布外压情况计算.③轴向受压圆筒:因产生均匀轴向压应力的轴向外载可有多种形式,故以轴向临界应力来表征临界载荷.线弹性条件下的经验式为:④非弹性失稳圆筒临界压力或应力可采用相应弹性失稳公式并以切线模量代替弹性模式量E作近似计算.(4-6)(6) 外压圆筒设计(包括侧向均布外压或侧向与轴向同时受均布外压)①稳定性系数m:目前制造技术水平下GB150规定外压圆筒m=3,相应要求圆筒直径偏差e=Dmax-Dmin不得大于规定值.②解析法设计:一般p,m,E,L,Di可一次性给定或计算,所以设计过程核心是根据假定的tn计算pcr(或[p]),直到满足稳定性条件p≤[p]=pcr/m 式.但解析法选用公式时要先假设长圆筒或短圆筒,弹性或非弹性失稳,并由结果对假设进行校核,所以应用不方便,尤其不便于解非弹性问题,因此工程设计一般用图算法.4.2 内容提要第四章外压容器设计4.2 内容提要第四章外压容器设计③图算法原理:因为周向临界应力所以将长,短圆筒Pcr统一写成长圆筒短圆筒于是根据许用外压可得(4-7)解析法求[p]核心是计算上式右边项,而图算法则将该项计算分成两步:第一步先计算应变cr,因cr与E无关,且仅需D0/te,L/D0两个独立变量,故将其作图以便由从D0/te,L/D0直接查取cr.该图称为外压圆筒几何参数计算图,图中cr用A表示,长短圆筒,弹性或非弹性失稳均适用.4.2 内容提要第四章外压容器设计第二步再由cr计算2/3E cr,将应力一应变曲线纵坐标乘以2/3便可作出cr计算2/3E cr之关系曲线图,称为壁厚计算图.4.2 内容提要第四章外压容器设计横坐标:A= cr,纵坐标:2/3E cr=[P]D0/te用B表示,由A查B即得[p].因塑性范围使用了Et,故对非弹性失稳亦适用.④图算法设计步骤:确定p,T,L,Di,C及材料→假定tn计算te,D0,D0/te,L/D0 →由L/D0 , D0/te查几何参数计算图得A →(根据材料及温度T)由A查壁厚计算图得B或对弹性失稳B=2/3AE →计算[p]=B/(D0/te) →校核p≤[p]是否满足,若满足且接近则tn合理,反之重设tn 再次计算,直至满足稳定性条件.4.2 内容提要第四章外压容器设计(7) D0/te10%,可能发生塑性失稳或屈服,应同时考虑稳定性和强度校核.此时许用外压[p]为: 其中,B的计算与上相同,但当D0/te60 按平板设计;α≤60 看成当量圆筒,按外压圆筒方法设计.4.2 内容提要第四章外压容器设计(11) 外压容器按内压容器进行耐压试验,液压试验压力的确定见下表.4.2 内容提要第四章外压容器设计第五章高压容器设计压力容器设计复习5.1 厚壁圆筒的应力5.2 高压容器的设计本章主要研究厚壁圆筒在内外压力和温差载荷作用下的应力和变形等方面的概念和理论,及其计算方法.目的是解决高压容器的结构和强度设计问题.第五章高压容器设计(1) 理解厚壁圆筒应力,变形的特点.(2) 了解拉美公式的推导过程,熟悉厚壁圆筒内外压力作用下应力和位移的计算,掌握应力的基本特征.(3) 掌握厚壁圆筒温差应力的分布规律,正确判断在与压力产生的弹性应力组合时危险点的位置.(4) 了解组合厚壁圆筒提高筒体承载能力的原理及应力计算的方法.(5) 理解厚壁圆筒弹性应力的概念及自增强计算的基本原理5.1 厚壁圆筒的应力5.1.2 基本要求第五章高压容器设计(1) 工程上通常将外径与内径之比Do/Di>1.2的高压圆筒形容器或管道等统称为"厚壁圆筒".在许多应用场合,圆筒为等壁厚,并承受均匀的内压pi,外压po和沿径向分布不均的温度变化T(从均匀基准温度起计),且T通常仅为径向坐标r之函数.在这样条件下,圆筒的变形对称于圆筒轴.此外,在离开圆筒与端盖连接处足够远时,变形与轴向坐标z亦无关.由于只考虑轴对称载荷和轴对称约束,因此其位移,应力,应变均仅为r之函数(轴对称).5.1 厚壁圆筒的应力5.1.2 内容提要第五章高压容器设计(2)厚壁圆筒与薄壁圆筒的根本差别在于必须考虑径向应力r,且这一应力在其数量上足以与周向应力,轴向应力z相较量;此外,厚壁圆筒没有薄壁圆筒中关于沿全壁厚是常数的基本假定,即厚壁圆筒中的应力是三向的,其分布也非全均匀性,因此也是静不定性的,要从几何,物理和静力等三方面进行综合分析.5.1 厚壁圆筒的应力5.1.2 内容提要第五章高压容器设计5.1 厚壁圆筒的应力5.1.2 内容提要第五章高压容器设计(3)对于具有端盖的厚壁圆筒(下称闭式圆筒),承受内外压作用时的三个主应力分别为式中: .对于开式圆筒,下表示出仅受内压或外压作用时厚壁闭式圆筒内外壁面处的应力及开式圆筒之径向位移. (5-1)5.1 厚壁圆筒的应力5.1.2 内容提要第五章高压容器设计5.1 厚壁圆筒的应力5.1.2 内容提要第五章高压容器设计4 在稳定温度变化和轴对称条件下,单层厚壁圆筒中的温差应力为:式中α为材料的线膨胀系数;△t=ti-to;ti内壁面温度,to外壁面温度,C.5.1 厚壁圆筒的应力5.1.2 内容提要第五章高压容器设计筒体外壁面筒体内壁面应力表5-2 单层厚壁圆筒内外壁面处的温差应力多层圆筒温差应力内外壁面上的近似值为0t≈ it=2.0△t在内压内加热情况下,当△t≤1.1p或保温良好,△t极小或高温作业已达到发生蠕变变形可不予考虑温差应力.(5) 当内压与温差同时存在时,呈线弹性厚壁圆筒中的综合应力可由上述3,4的结果叠加,其内外壁面处的综合应力如下表所示.5.1 厚壁圆筒的应力5.1.2 内容提要第五章高压容器设计5.1 厚壁圆筒的应力5.1.2 内容提要第五章高压容器设计5.1 厚壁圆筒的应力5.1.2 内容提要第五章高压容器设计厚壁圆筒内压下的应力分布单层厚壁圆筒的温差应力分布5.1 厚壁圆筒的应力5.1.2 内容提要第五章高压容器设计就周向应力而言,当内压内加热时,最大应力在外壁处,外加热时最大应力在内壁处;当外压内加热时,最大应力在内壁处,外加热时最大应力在外壁外.厚壁筒内的综合应力(6) 厚壁圆筒可以靠在最大应力区域产生与工作应力符号相反的残余应力分布——"预应力法"来提高承载能力:一是由两个或更多个开口圆筒靠过盈配合而组成一个组合圆筒,因过盈量在圆筒的接触表面之间产生装配压力,由这种压力在圆筒上产生了残余应力;另一种是对单个圆筒在一开始承受很高内压使圆筒发生非弹性变形,卸去高压后在圆筒中留下了有利的残余应力分布——"自增强技术".前者应力分析的关键在于确定适当的过盈量,以及过盈量与筒体之间套合压力的关系;后者要合理确定自增强压力以及残余应力的计算.5.1 厚壁圆筒的应力5.1.2 内容提要第五章高压容器设计5.1 厚壁圆筒的应力5.1.2 内容提要第五章高压容器设计5.1 厚壁圆筒的应力5.1.2 内容提要第五章高压容器设计第五章高压容器设计压力容器设计复习5.1 厚壁圆筒的应力5.2 高压容器的设计(1) 理解高压圆筒三种设计准则的基本观点及相应的最大承载能力.(2) 掌握单层和多层圆筒壁厚的工程设计方法.(3) 了解几种高压容器密封结构的原理与特点,学会对金属平垫和双锥垫的密封计算和被联接件的强度核算.5.2 高压容器的设计5.2.1 基本要求第五章高压容器设计(1) 高压容器一般处在高压高温和化学性介质条件下工作,作为工程设计的核心问题首先是形成强度必需的厚壁,其次是密封所需的结构,因此高压容器的设计以结构型式的多样性,制造要求的严格性,密封结构的复杂性而有别于中低压容器.(2) 高压圆筒按其丧失功能的可能方式或形式建立了三种设计准则,即弹性失效,塑性失效和爆破失效设计准则,它们的基本概念及最大承载能力(计算压力)的比较如表5-5所示.5.2 高压容器的设计5.2.2 内容提要第五章高压容器设计5.2 高压容器的设计5.2.2 内容提要第五章高压容器设计(3) 工程上,当设计压力小于35MPa或K≤1.2时,高压圆筒的计算壁厚仍按照弹性夫效设计准则中的中径公式计算,即当器壁在操作压力和温差同时作用下,应作如下当量组合应力校核①内压内加热筒体:②内压外加热筒体:5.2 高压容器的设计5.2.2 内容提要第五章高压容器设计对于多层组合圆筒,在不计筒体预应力下,除热应力计算以及材料[σ]t取法不同外,其余跟单层圆筒计算相同.(4) 高压容器密封按其工作原理分为强制式密封与自紧式密封两大类.强制密封完全依靠紧固件的预紧力压紧密元件使之密封;自紧密封主要依靠工作内压压紧密封元件实现工作密封.前者结构简单,连接件(如主螺栓)尺寸大,压力温度波动时密封性差;后者结构较复杂,但密封可靠.表5-6比较了分别为其代表的金属平垫和双锥环垫密封的结构牲及密封载荷的计算方法.5.2 高压容器的设计5.2.2 内容提要第五章高压容器设计5.2 高压容器的设计5.2.2 内容提要第五章高压容器设计(5) 高压容器的主要零部件包括筒体端部或端部法兰,端盖或底盖,及连接件(如主螺栓)等.设计计算的任务是分析受载情况建立简化的力学模型,确定初步尺寸和危险截面的应力计算公式,进行应力强度校核,反复对尺寸进行修正,直到满足强度要求为止.学习时应注意力学模型如何从实际中抽象出来,怎样进行简化与假定,以及由此建立的计算公式应用时的条件限制,这也是对任何承压部件解题的基本方法之一.5.2 高压容器的设计5.2.2 内容提要第五章高压容器设计压力容器设计复习第六章压力容器设计技术进展6.1 近代压力容器设计技术进展6.2 压力容器的分析设计(1) 了解压力容器的失效模式(2) 了解压力容器设计准则的发展(3) 了解压力容器设计规范的主要进展(4) 了解近代压力设计方法的应用第六章压力容器设计技术进展6.1 压力容器设计进展6.1.1 基本要求第六章压力容器设计技术进展6.1 压力容器设计进展6.1.2 内容提要(1) 容器的韧性爆破过程一台受压容器,如果材料塑性韧性正常,设计正确,制造中未留下严重的缺陷,加压直至爆破的全过程一般属于韧性爆破过程.韧性爆破的全过程可以用图示容器液压爆破曲线OABCD来说明,加压的几个阶段如下:整体屈服压力爆破压力(A)弹性变形阶段(OA段) (B)屈服阶段(AB段)(C)强化阶段(BC段) (D)爆破阶段(CD段)脆性爆破过程韧性爆破过程第六章压力容器设计技术进展6.1 压力容器设计进展6.1.2 内容提要(1) 容器的韧性爆破过程①OA段:弹性变形阶段内压与容器变形量成正比,呈现出弹性行为.A点表示内壁应力开始屈服,或表示容器的局部区域出现屈服,容器的整体弹性行为到此终止.整体屈服压力爆破压力(A)弹性变形阶段(OA段) (B)屈服阶段(AB段)(C)强化阶段(BC段) (D)爆破阶段(CD段)脆性爆破过程韧性爆破过程第六章压力容器设计技术进展6.1 压力容器设计进展6.1.2 内容提要(1) 容器的韧性爆破过程②AB段:屈服变形阶段容器从局部屈服到整体屈服的阶段,以内壁屈服到外壁也进入屈服的阶段.B点表示容器已进入整体屈服状态.如果容器的钢材具有屈服平台,这阶段包含塑性变形越过屈服平台的阶段,这是一个包含复杂过程的阶段,不同的容器,不同的材料,这一阶段的形状与长短不同.整体屈服压力爆破压力(A)弹性变形阶段(OA段) (B)屈服阶段(AB段)(C)强化阶段(BC段) (D)爆破阶段(CD段)脆性爆破过程韧性爆破过程第六章压力容器设计技术进展6.1 压力容器设计进展6.1.2 内容提要(1) 容器的韧性爆破过程③BC段:变形强化阶段材料发生塑性变形强化,容器承载能力提高.但体积膨胀使壁厚减薄,承载能力下降.两者中强化影响大于减薄影响,强化提高承载能力的行为变成主要因素.强化的变化率逐渐降低,到C点时两种影响相等,达到总体"塑性失稳"状态,承载能力达到最大即将爆破.整体屈服压力爆破压力(A)弹性变形阶段(OA段) (B)屈服阶段(AB段)(C)强化阶段(BC段) (D)爆破阶段(CD段)脆性爆破过程韧性爆破过程第六章压力容器设计技术进展6.1 压力容器设计进展6.1.2 内容提要(1) 容器的韧性爆破过程④CD段:爆破阶段,减薄的影响大于强化的影响,容器的承载能力随着容器的大量膨胀而明显下降,壁厚迅速减薄,直至D点而爆裂.整体屈服压力爆破压力(A)弹性变形阶段(OA段) (B)屈服阶段(AB段)(C)强化阶段(BC段) (D)爆破阶段(CD段)脆性爆破过程韧性爆破过程第六章压力容器设计技术进展6.1 压力容器设计进展6.1.2 内容提要整体屈服压力爆破压力(A)弹性变形阶段(OA段) (B)屈服阶段(AB段)(C)强化阶段(BC段) (D)爆破阶段(CD段)脆性爆破过程韧性爆破过程(2) 容器的脆性爆破过程容器的脆性爆破过程如图中OA',(或OA")曲线.这种爆破指容器在加压过程中没有发生充分的塑性变形鼓胀,甚至未达到屈服的时候就发生爆破.爆破时容器尚在弹性变形阶段或少量屈服变形阶段.第六章压力容器设计技术进展6.1 压力容器设计进展6.1.2 内容提要(2) 容器的失效模式①过度变形容器的总体或局部发生过度变形,包括过量的弹性变形,过量的塑性变形,塑性失稳(增量垮坍),例如总体上大范围鼓胀,或局部鼓胀,应认为容器已失效,不能保障使用安全.过度变形说明容器在总体上或局部区域发生了塑性失效,处于十分危险的状态.例如法兰的设计稍薄,强度上尚可满足要求,但由于刚度不足产生永久变形,导致介质泄漏,这是由于塑性失效的过度变形而导致的失效.第六章压力容器设计技术进展6.1 压力容器设计进展6.1.2 内容提要(2) 容器的失效模式②韧性爆破容器发生了塑性大变形的破裂失效,相当于图中曲线BCD阶段情况下的破裂,这属于超载下的爆破,一种可能是超压,另一种可能是本身大面积的壁厚较薄.这是一种经过塑性大变形的塑性失效之后再发展为爆破的失效,亦称为"塑性失稳"(Plastic collapse),爆破后易引起灾难性的后果.第六章压力容器设计技术进展6.1 压力容器设计进展6.1.2 内容提要(2) 容器的失效模式③脆性爆破这是一种没有经过充分塑性大变形的容器破裂失效.材料的脆性和严重的超标缺陷均会导致这种破裂,或者两种原因兼有.脆性爆破时容器可能裂成碎片飞出,也可能仅沿纵向裂开一条缝;材料愈脆,特别是总体上愈脆则愈易形成碎片.如果仅是焊缝或热影响较脆,则易裂开一条缝.形成碎片的脆性爆破特别容易引起灾难性后果.第六章压力容器设计技术进展6.1 压力容器设计进展6.1.2 内容提要(2) 容器的失效模式④疲劳失效交变载荷容易使容器的应力集中部位材料发生疲劳损伤,萌生疲劳裂纹并扩展导致疲劳失效.疲劳失效包括材料的疲劳损伤(形成宏观裂纹)并疲劳扩展和结构的疲劳断裂等情况.容器疲劳断裂的最终失效方式一种是发生泄漏,称为"未爆先漏"(LBB, Leak Before Break),另一种是爆破,可称为"未漏先爆".爆裂的方式取决于结构的厚度,材料的韧性,并与缺陷的大小有关.疲劳裂纹的断口上一般会留下肉眼可见的贝壳状的疲劳条纹.第六章压力容器设计技术进展6.1 压力容器设计进展6.1.2 内容提要(2) 容器的失效模式⑤蠕变失效容器长期在高温下运行和受载,金属材料随时间不断发生蠕变损伤,逐步出现明显的鼓胀与减薄,破裂而成事故.即使载荷恒定和应力低于屈服点也会发生蠕变失效,不同材料在高温下的蠕变行为有所不同.材料高温下的蠕变损伤是晶界的弱化和在应力作用下的沿晶界的滑移,晶界上形成蠕变空洞.时间愈长空洞则愈多愈大,宏观上出现蠕变变形.当空洞连成片并扩展时即形成蠕变裂纹,最终发生蠕变断裂的事故.材料经受蠕变损伤后在性能上表现出强度下降和韧性降低,即蠕变脆化.蠕变失效的宏观表现是过度变形(蠕胀),最终是由蠕变裂纹扩展而断裂(爆破或泄漏).第六章压力容器设计技术进展6.1 压力容器设计进展6.1.2 内容提要(2) 容器的失效模式⑥腐蚀失效这是与环境介质有关的失效形式.化工容器接触的腐蚀性介质十分复杂,腐蚀机理属于两大类:化学腐蚀与电化学腐蚀.区别在于形成腐蚀化合物过程中是否在原子间有电荷的转移.就腐蚀失效的形态可分为如下几种典型情况:①全面腐蚀(亦称均匀腐蚀);②局部腐蚀;③集中腐蚀(即点腐蚀);④晶间腐蚀;⑤应力腐蚀;⑥缝隙腐蚀;⑦氢腐蚀;⑧选择性腐蚀.腐蚀发展到总体强度不足(由全面腐蚀,晶间腐蚀或氢腐蚀引起)或局部强度不足时,可认为已腐蚀失效.腐蚀发展轻者造成泄漏,局部塑性失稳或总体塑性失稳,严重时可导致爆破.由应力腐蚀形成宏观裂纹,扩展后也会导致泄漏或低应力脆断.第六章压力容器设计技术进展6.1 压力容器设计进展6.1.2 内容提要(2) 容器的失效模式⑦失稳失效容器在外压(包括真空)的压应力作用下丧失稳定性而发生的皱折变形称为失稳失效.皱折可以是局部的也可以是总体的.高塔在过大的轴向压力(风载,地震载荷)作用下也会皱折而引起倒塌.第六章压力容器设计技术进展6.1 压力容器设计进展6.1.2 内容提要(2) 容器的失效模式⑧泄漏失效容器及管道可拆密封部位的密封系统中每一个零部件的失效都会引起泄漏失效.例如法兰的刚性不足导致法兰的过度变形而影响对垫片的压紧,紧固螺栓因设计不当或锈蚀而过度伸长也会导致泄漏,垫片的密封比压不足,垫片老化缺少反弹能力都会引起泄漏失效.系统中每一零部件均会导致泄漏失效,所以密封失效不是一个独立的失效模式,而是综合性的.第六章压力容器设计技术进展6.1 压力容器设计进展6.1.2 内容提要(3) 容器的交互失效模式①腐蚀疲劳在交变载荷和腐蚀介质交互作用下形成裂纹并扩展的交互失效.由于腐蚀介质的作用而引起抗疲劳性能的降低,在交变载荷作用下首先在表面有应力集中的地方发生疲劳损伤,在连续的腐蚀环境作用下发展为裂纹,最终发生泄漏或断裂.对应力腐蚀敏感与不敏感的材料都可能发生腐蚀疲劳,交变应力和腐蚀介质均加速了这一损伤过程的进程,使容器寿命大为降低.第六章压力容器设计技术进展6.1 压力容器设计进展6.1.2 内容提要(3) 容器的交互失效模式。
应力和应变分析和强度理论
机械设计
01
02
03
零件强度校核
通过应力和应变分析，可 以校核机械零件的强度， 确保零件在正常工作载荷 下不会发生破坏。
优化装配设计
通过应力和应变分析，可 以优化机械装配设计，减 少装配误差和应力集中， 提高装配质量和可靠性。
振动和噪声控制
通过应力和应变分析，可 以预测和控制机械系统的 振动和噪声，提高机械系 统的性能和舒适性。
总结词
最大拉应力理论
详细描述
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素，当最大 拉应力达到材料的极限抗拉强度时，材料发生断裂。
第二强度理论
总结词
最大伸长应变理论
详细描述
该理论认为最大伸长应变是导致材料 破坏的主要因素，当最大伸长应变达 到材料的极限抗拉应变时，材料发生 断裂。
第三强度理论
总结词
03
应力和应变的应用
结构分析
结构稳定性
01
通过应力和应变分析，可以评估结构的稳定性，预测结构在不
同载荷下的变形和破坏模式。
结构优化设计
02
通过对应力和应变的精确计算，可以优化结构设计，降低结构
重量，提高结构效率。
结构疲劳寿命预测
03
通过应力和应变分析，可以预测结构的疲劳寿命，为结构的维
护和更换提供依据。
能量法
总结词
能量法是一种基于能量守恒和变分原理 的数值分析方法，通过将问题转化为能 量泛函的极值问题，并采用变分法或有 限元法进行求解。
VS
详细描述
在应力和应变分析中，能量法可以用于求 解各种力学问题，如弹性力学、塑性力学 等。通过构造合适的能量泛函和约束条件 ，能量法能够提供精确和高效的数值解。 同时，能量法还可以用于优化设计、稳定 性分析和控制等领域。
材料力学第七章应力应变分析
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy sin 2
x
y
2
sin 2
xy cos 2
1、最大正应力的方位
令
d d
2[
x
y sin 2
2
xy cos 2 ] 0
tg 2 0
2 xy x
y
0 0
90
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应 力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.
的方位.
m
m a
A
l
解： 把从A点处截取的单元体放大如图
x 70, y 0, xy 50
A
tan 20
2 xy x y
2 50 1.429
1
3
(70) 0
0
A
x
0
27.5 62.5
3
1
因为 x < y ，所以 0= 27.5° 与 min 对应
max min
x
2
y
(
x
2
y )2
三、应力状态的分类
1、空间应力状态
三个主应力1 、2 、3 均不等于零
2、平面应力状态
三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3、单向应力状态
三个主应力 1 、2 、3 中只有一个不等于零
2 3
2
1
1
1
1
1
3 2
2
1
例题 1 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体.
F
5
S平面
4
3
l/2
2
l/2 1
任意一对平行平面上的应力相等
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2. 圆球形容器的壁厚为δ，内径为D，内压为p， 求容器内任意一点的应力。
ｐ
注：薄壁圆球受力均匀，因此，任意点的 应力状态均相同。
材料力学
1.求水平方向上的正应力σx
ｐ
材料力学
x
F内 x (pD )
x
ｐ
pD F外 p 4
2
F
材料力学
x
0
pD x 4
一.符号规定
1.正应力正负号规定
x
x
x
材料力学
x
压为负
拉为正
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
2.切应力正负号规定
xy
yx
材料力学
使微元或其 局部顺时针方向
转动为正；反之
为负。
注意：切应力角标的含义及切应力互等定理
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
（1）斜面上的应力
40
30 MPa
x y x y cos 2 xy sin2 2 2
60 40 60 40 cos(60 ) 30 sin(60 ) 2 2
60 MPa
9.02MPa
x y
2 60 40 sin(60 ) 30 cos(60 ) 2 sin 2 xy cos 2
和主平面。（举例说明如下）
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
二向应力状态下，单元体各面上应力分量 皆为已知，如下图所示：
y
e
yx
x
xy
x
y
f 求垂直于xy平面的任意斜截面ef上的应力 及主应力和主平面 材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
L
ｐ
注：薄壁圆筒受力均匀，因此，任意点的应力状 态均相同。
材料力学
1.求水平方向上的正应力σx
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态实例
x
x (p D)
x
ｐ
ｐπD２ ４
F
x
0
pD x (pD ) p 4
2
x
材料力学
pD 4
2.求竖直方向上的正应力σy
2
x y
2
cos 2 xy sin 2
得：
max x y
min
2
x y 2 2 ( ) xy 2
注意：
如σx 的代数值大于等于σy，则绝对 值较小的αo确定σmax所在的平面。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
总结：
y
x
薄壁圆筒的三个主应力为：
pD pD 2 x 1 y 4 2
3 z 0
材料力学
薄壁圆筒为两向应力状态
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态实例
注意事项
1.注意单位配套使用； 2.轴向正应力是横向正应力的两倍； 3.按规定排列正应力。
材料力学
课本215页例7.1
四.求切应力的极值（要求低） 思路：
x y
2 sin 2 xy cos 2
d 0 d
1
1 0 p
4
min , max
结论：
最大和最小切应力所在平面与主平面夹角为45°。
材料力学
巩固练习
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
巩固练习
材料力学
1.过受力构件内一点，取截面的不同方位，
这一点在各个面上的（）。
（A）正应力相同，切应力不同； （B）正应力不同，切应力相同； （C）正应力和切应力都相同；
（D）正应力和切应力都不同。
材料力学
2.关于单元体的描述，下列正确的是
（A）单元体的三维尺寸必须是微小的；
（B）单元体是平行六面体；
用单元体的应力状态代替一点的应力状态。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
★同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式：
y
y
yx
y''
xy
x
x
yp
x''
xp
x-y坐标系
xp-yp坐标系
对比后者应力状态与前者有何不同。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
主平面：
力和主平面，并绘出主应力单元体。 分析：
40
30 MPa 60 MPa
x 60MPa
y 40MPa
xy 30MPa
详解同上题，略
材料力学
练习三：试求图示单元体的主应力（分析思路）。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态实例
ｐ×Ｄ×ｌ
F
y
y
0
y (2 l ) p(D l )
y
ｐ
y (2 l )
pD y 2
材料力学
3.求垂直于纸面方向上的正应力σz
薄壁圆筒与纸面垂直方向上的σz为零.
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态实例
轴向拉压: F
F
对比同一点在不同截面上的应力是否相同？
即使同一点在不同方位的截面上，它的应力
也是各不相同的，此即应力的面的概念。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
2. 应力的点的概念
M
FS
横力弯曲时矩形截面上正应力和切应力分布图 对比同一个面上不同点的应力是否相同？
同一面上不同点的应力各不相同， 此即应力的点的概念。
60 MPa
48.3MPa
1 68.3 MPa, 2 0, 3 48.3 MPa
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
tan 2 0
Hale Waihona Puke 2 xy x y
αo=15.48°或αo=105.48°
（3）绘制主应力单元体
根据主平面角度和主应力大小绘图 αo=15.48°或αo=105.48°
将两个角度αo均带入公式
得：
x y
2
sin 2 xy cos 2
o 0
可见：
1.α o对应的两个平面为主平面；
2.最大和最小正应力即为主应力。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
将两个角度αo均带入公式求得两个主应力
x y
（C）单元体必须是正方体； （D）单元体必须有一对横截面。
材料力学
3.对于图示承受轴向拉伸的锥形杆上的A点， 哪一种应力状态是正确的。 A
yx
x
xy yx
yx y
xy
x
x
x
材料力学
4.在单元体的主平面上（）。
（A）正应力一定最大； （B）正应力一定为零； （C）切应力一定最小； （D）切应力一定为零。
练习一：一点处的平面应力状态如图所示。
30 x 60MPa xy 30MPa y 40MPa
试求（1） 斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
40
30 MPa
60 MPa
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
x
e
yx
e
xy
f
x
x xy
yx
y
a
f
y
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
dA· t cos
微元局部列平衡
n
e
x xy
yx
dA f a
参加平衡的量：
应力乘以其作用的面积
sin y dA·
平衡方程——
材料力学
tan 2 0
材料力学
2 xy
x y
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
tan 2 0
2 xy
分析：
x y
可求出相差90度的两个角度αo 确定两个相互垂直的平面 分别为最大、最小正应力所在平面
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
3.角正负号规定 由x逆时针
y
n
x
转到n为正；
反之为负。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
二.已知如图，求任意斜截面ef上的应力
y
x
e
yx
需利用：
xy
截面法
y
f
x
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
截面法求ef斜截面上的应力 y
材料力学
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
3. 应力状态的概念
应 力
指明
哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方向面上所有应力的集合， 称之为这一点的应力状态。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
二.主平面和主应力
• 围绕一点取出单元体
dx , dy , dz 0
2.求竖直方向上的正应力σy
ｐ
材料力学
ｐ
y y
由球体形态的特殊对称性，得
材料力学
pD y x 4