量子力学-无限深势井

A cosa 0, B sina 0.

(at x a ) (at x a )
因而，
有两种情形的解：
（1）
B 0, cosa 0, 所以，
8
1 (n ) 2 , a
2 2 2
第二章
(n 0,1,2,)
1 2 2 2n 1, E n 2 2 2a 2 8a
n 1,2,3,
（1）n = 1, 基态，
2 2 E1 8a
与经典粒子不同，粒子的最低能量不为零，这个最低能 量称为 “零点能”，这是量子效应，微观粒子具有波动 性的表现。从波的角度是可以理解的，因为“静止的波” 没有意义。
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第二章 （2）n = 0 , E = 0, ψ = 0，态不存在，无意义。
ψ (-a) = ψI(-a)=0；
ψ(a) = ψIII(a) = 0。
0, 0.
7
A sin x B cos x
第二章 （3）使用波函数标准条件 这三段的解必须在 x=±a 处衔接起来。在势能有无限大跳跃 的地方，衔接条件只有 本身的连续性。现在
A cosa B sina 0, A cosa B sina 0,
V(x)
I
II
III
-a
l
0
a
l
l l
l
求解 Schrö dinger — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维Schrö dinger—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）定归一化系数
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第二章
（1）列出各势域的 S — 方程
2 2 d2 2 ( x ) 2 [U ( x ) E ] ( x ) 0 2 dx 2
x
I
2 2
I
0 0 0
II
II
1.单值，成立； 2.有限：当x - ∞ ， 有限条件要求 C2=0。
2
2 (U E ) 2
III
2
x
III

I II III
C1e
C 2e
A s i nx B cosx B1e
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第二章 二者合起来可写为：
n n , 2a
(n 1,2,3,)
n n ( x) A sin ( x a). 2a
2
2 2 2 En 2 n , 8a
（4）由归一化条件定系数

a
a
| ( x) | dx 1
所以，
1 n sin ( x a ). 最后，波函数是： n ( x ) 2a a
x
I C1e x
B2 e
x
I ( a ) l i mC1e a 0

从物理考虑，粒子不能透过无穷高的 势壁。
根据波函数的统计解释，要求在阱壁 上和阱壁 外波函数为零，特别是
所以 同理：
I 0 III 0
则解为：
I II III
2 2
当粒子在势场U(x,y,z) 中运动时，其定态Schrö dinger 方程为：
令 ψ(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = Ex + Ey + Ez 于是S-方程化为三个常微分方程：
一维运动就是指在某 一方向上的运动。
4
第二章
（二）一维无限深势阱
0, U ( x) | x | a | x | a
1
第二章
一维定态问题
§6 §7 §8
l
一维无限深势阱 一维线性谐振子 一维势散射问题
l
l l
l
在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrödinger 方程来处理一类简单的问题—— 一维 定态问题。其意义： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理； （3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细 致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题 中展现出来； （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。
2
第二章
§6
l
一维无限深势阱
l
l l
（一）一维运动 （二）一维无限深势阱 （三）宇称 （四）讨论
3
第二章
（一） 一维运动
2 2ຫໍສະໝຸດ Baiduˆ H [ U ( x, y, z )] ( x, y, z ) E ( x, y, z ) 2
此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： U(x,y,z) = U1(x) + U2(y) + U3(z) 则 S-方程可在直角坐标系中分离变量。

d2 2 方程可简化为： dx d2 dx 2 d2 2 dx
I
2 2
I
0 0 0
2 I -a
V(x)
II
II
II 0 a
III
6
III
2
III
第二章 (2) 解方程
d2 dx 2 d2 dx 2 d2 dx 2
而n = ± k, k=1,2,...
k k n k A s i n 2a x A s i n 2a x k k x A cos x k A cos n 2a 2a
可见，n取负整数与正整数描写同一状态。
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第二章 综合 I 、II 结果，最后得： n 2 2 2 En 8a 2
n
I

III
0 n 0的偶数
II
n A sin x 2a
III
I
0 n奇数。
II
n A cos x 2a
对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限 远处，ψ = 0 。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动 能量本征值是分立能级，组成分立谱。(粒子能量取值是分 立的,能级组成分立谱，即能量是量子化的。)
1 A , a
能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类 推。 11
第二章
（三）宇称
（1）空间反射：空间矢量反向的操作。 r r (r , t ) ( r , t ) ( r , t ) (r , t ) （2）此时如果有： ( r , t ) (r , t ) 称波函数具有正宇称（或偶宇称）； ( r , t ) (r , t ) 称波函数具有负宇称（或奇宇称）； ( r , t ) (r , t ) （3）如果在空间反射下， 则波函数没有确定的宇称。
2
势能U(x)分为三个区域， 用 I 、 II 和 III 表示， 其上的波函数 d2 ( x ) U ( x ) ( x ) E ( x ) 分别为 ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。 2 dx 则方程为：
d 2 I ( x ) 2 (U E ) I ( x ) 0 x a 2 dx d2 2 II ( x ) 2 E II ( x ) 0 a x a dx2 d2 2 III ( x ) 2 (U E ) III ( x ) 0 xa dx2
2
2 E 2
1 x ( x) A cos n . (偶宇称) 2 a
(2) A 0, sin a 0 所以， n 2 2 2 2 2 , 2 , 2n E n 2 2 a 2a 8a (n 1,2,3, ) nx ( x) B sin . （奇宇称） 9 a
第二章
第二章 波函数和薛定谔方程
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8 波函数的统计解释 态叠加原理 Schrö dinger 方程 粒子流密度和粒子数守恒定律 定态Schrö dinger方程 一维无限深势阱 线性谐振子 势垒贯穿(一维势散射问题)
Luo Yilin Department of Physics, STU March, 2012 Email: ylluo@stu.edu.cn
2 d 2 [ U 1 ( x )]X ( x ) E x X ( x ) 2 dx2 2 d 2 [ U 2 ( y )] ( y ) E yY ( y ) Y 2 dy2 [ d U 3 ( z )]Z ( z ) E z Z ( z ) 2 dz2
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（四）讨论
0 1 n n sin x 2a a 1 n co s x 2a a 其能量本征值为： En n 2 2 2 8a
一维无限深 第二章 势阱中粒子 的状态
| x | a; n even, n o d d, | x | a; | x | a.