微积分的发展和应用

目录

摘要 1 英文摘要 2 1微积分产生的背景 3 1.1萌芽时期 3 1.2准备时期 3 2微积分的建立 4 2.1牛顿 4 2.2莱布尼茨 5 2.3牛顿莱布尼茨创立微积分的比较 7 3微积分的发展及完善 8 4微积分的应用 9 4.1在数学学科中的应用 9 4.2在其他学科中的应用 12 5结语 13 6致谢 14 7参考文献 15

摘要：本篇论文主要介绍了微积分的发展和应用。微积分的发展过程，是从

微积分产生的背景，微积分的建立，微积分的发展与完善这三个方面来介绍。其中背景中简单介绍了萌芽时期古希腊数学家欧多克斯与阿基米德的思想，及中国此时期一些有关思想；准备时期出现的急需解决的问题，及数位数学家的方法。在微积分的建立中着重对牛顿及莱布尼茨建立微积分的过程加以描述，牛顿和莱布尼茨关于建立微积分而作出的杰出贡献, 就在于他们分别提出了微积分的基本原理、三个重要概念流量、流数、瞬和“变量”数学的思想体系。在微积分的发展和完善中对欧拉，柯西和黎曼对微积分的完善做了简单的介绍。应用方面则是从数学学科和其他学科的应用来介绍的。

关键词：微积分牛顿莱布尼茨黎曼积分

Abstract:This thesis mainly talk about the development and application of calculus.The development of caculus can be seen from the three aspects ：the backguound of its generatation ,its establish , its develop and its completion. Firstly simply introduced the idea of Eudoxus and Archimedes who were the famous mathematicians in ancient Greek in the budding period of calculus,the idea of Chinese mathematicians and some problems need to be solved in this period. Secondly we provide a detailed description of the outstanding contribution made by Newton and Leibniz. The two great men separately put forward the basic principles of calculus and some important concepts,like fluxion and they proposed the idea of“variable” stly we give a brief introduction of Euler,Cauchy and Riemann's accomplishment,which improved and perfected the calculus. The application of the caculas is introducted according to the application of the mathematic branch and other subjects.

key words:calculus Newton Leibniz Riemann Integral

浅议微积分的发展与应用

微积分学,是人类思维的伟大成果之一。到今天,微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。同样微积分也有着久远的历史，它是经过许多人的努力而建立起来的，下面就来简单介绍一下微积分的建立及发展过程。

1微积分产生的背景

1.1萌芽时期

微积分的萌芽出现得比较早,下面简单介绍一下。

古希腊数学家欧多克斯发展安提丰的“穷竭法”为“设给定两个不相等的量,如果以较大的量减去比它的一半大的量,再以所得量减去比这个量的一半大的量,继续重复这一过程,必有某个量将小于给定的较小的量”。欧多克斯的穷竭法可看作微积分的第一步,但没有明确地用极限概念,也回避了“无穷小”概念,并证明

了“棱椎体积是同等同高的棱柱体积的三分之一”。

古希腊数学家阿基米德在《处理力学问题的方法》一文中阐明了“平衡法”,即“将需要求积的量(面积、体积等)分成许多微小单元(如微小线段、薄片等) ,再用另一组微小单元来进行比较,而后一组小单元的总和是可以计算的,但它要借助于杠杆的平衡原理来计算”。实质上“平衡法”是一种原始的“积分法”。阿基米德用“平衡法”证明了球体积公式:球体积=343R π , 且等于外切圆柱体积2。

中国战国时代的《庄子·天下篇》中的“一尺之棰, 日取其半, 万事不竭”， 就蕴涵了无穷小的思想。还有中国数学家刘徽,发明了“割圆术”——“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,并求得圆周率π≈3.14 。

但这一时期微积分并没有引起人们的广泛关注。

1.2准备时期

公元17世纪前后, 在欧洲资本主义开始萌芽、科学和生产技术开始发展的情况下, 出现了如下四个迫切需要解决的问题：（1）怎样用数学方法准确描述和处理各种物体运动的问题。（2）怎样求曲线切线的问题。（3）怎样求函数极大值与极小值的问题。（4）如何求曲线的长度，曲线所围成图形的面积、体积的问题，物体的重心，一个物体作用于另一个物体上的引力。

正是这些问题的产生，让许多数学家开始用微积分的思想来解决问题，像德国天文学家、数学家开普勒与旋转体体积的问题；意大利数学家卡瓦列里不可分量原理；英国数学家沃利斯“无穷算术法”，比如将幂函数积分公式101n a n

a x dx n +=+⎰

推及到分数幂()()101p q a p q p q q a q x dx a p q p q

+==++⎰，不过沃利斯仅对1q =的特例给出了证明；国数学家笛卡尔用代数方法求切线的方法—“圆法”；法国业余数学家费马求极大值与极小值的方法，按费马的方法，设函数()f x 在点a 处取值，用a e +代替原来的未知量a ，并使()f a e +与()f a 逼近，消去公共项后，用e 除

两边再令e 消失，即()()0

0e f a e f a e =+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，此方程求得的a 就是()f x 的极值点；还有英国数学家巴罗在《几何讲义》中应用“微分三角形”给出了求曲线切线的方法，这对于他的学生牛顿完成微积分理论起到了重要作用。

2微积分的建立

17世纪后期，牛顿与莱布尼茨分别独立创立了微积分。下面就介绍下两人创立微积分的过程。

2.1牛顿