排列组合公式推导2014

排列和组合基本公式的推导，定义

先从「排列」开始。「排列」的最直观意义，就是给定n个「可区别」(Distinguishable，亦作「相异」)的物件，现把这n个物件的全部或部分排次序，「排列」问题就是求不同排列方式的总数。为了区别这些物件，我们可不妨给每个物件一个编号：1、2 ... n，因此「排列」问题实际等同於求把数字1、2 ... n的全部或部分排次序的方式总数。「排列」问题可分为「全排列」和「部分排列」两种，当我们把给定的n个数字1 、2 ... n全部排次序，求有多少种排法时，就是「全排列」问题。我们可以把排序过程分解为n个程序：第一个程序决定排於第一位的数字，第二个程序决定排於第二位的数字...第n个程序决定排於第n位的数字。在进行第一个程序时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选法。在进行第三个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-2个，因此有

n-2种选法。如是者直至第n个程序，这时可供选择的数字只剩下1个，因此只有1种选择。由於以上各程序是「各自独立」的，我们可以运用「乘法原理」求得答案为n×(n-1)×(n-2)×...2×1。在数学上把上式简记为n!，读作「n 阶乘」(n-factorial)。

例题1：把1至3这3个数字进行「全排列」，共有多少种排法？试列出所有排法。

答1：共有3! = 3 × 2 × 1 = 6种排法，这6种排法为1-2-3；1-3-2；2-1-3；2-3-1； 3-1-2；3-2-1。

当然，给定n个数字，我们不一定非要把全部n个数字排序不可，我们也可只抽取部分数字(例如r个，r < n)来排序，并求有多少种排法，这样的问题就是「部分排列」问题。我们可以把「部分排列」问题理解成抽东西的问题。设在某袋中有n个球，每个球都标了编号1、2 ... n。现从袋中抽r个球出来(抽出来之后不得再放回袋中)，并把球上的数字按被抽出来的顺序记下，这r个数字的序列实际便等同於一个排序。「部分排列」问题的解答跟「全排列」问题非常相似，只不过现在我们是把排序过程分解为r个而非n个步骤。进行第一个程序时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选法。在进行第三个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-2个，因此有n-2种选法。如是者直至第r个程序，这时可供选择的数字只剩下n-r+1个，因此只有n-r+1种选择。最后，运用「乘法原理」求得答案为n×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)。

我们可以把上式改写为更简的形式n! / (n-r)!，为甚麼可以这样改写？这要用到n!的定义和乘法的结合律。举一个简单的例子，由於

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × (4 × 3 × 2 × 1) = 5 × 4!。同样由

於5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4 × (3 × 2 × 1)，我们又可得

5! = 5 × 4 × 3!。抽象地看，我们可以把n!改写为n×(n-1)!，也可以改写为n×(n-1)×(n-2)!照此类推，我们可以把n!改写为

n×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)×(n-r)!。由此得

n! / (n-r)! = n ×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)。在「点算组合学」上，一般把上述「部分排列」的解记为P(n, r)。至此我们求得「排列」问题的一条基本公式：

P(n, r) = n!/(n-r)!

例题2：从1至4这4个数字中抽2个出来排序，共有多少种排法？试列出所有排法。

答2：共有P(4, 2) = 4! / 2! = (4 × 3 × 2!) / 2! = 4 × 3 = 12种排法。这 12种排法是1-2；1-3；1-4；2-1；2-3；2-4；3-1；3-2；3-4；4-1；4-2；4-3。

请注意只要我们定义0! = 1 (注1)，那麼上述公式便也适用於「全排列」的情况。「全排列」其实就是r = n的情况，因此如果把r = n代入以上公式，便得P(n, n) = n!/(n-n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!，正与前面讨论的结果吻合。

接下来笔者介绍「组合」问题。设在某袋中有n个球，每个球都标了编号1、

2 ... n。现从袋中抽r个球出来(抽出来之后不得再放回袋中)，并把球上的数字记下，但无须理会球被抽出的先后次序。由此可见，「组合」问题与「排列」问题的主要区别是，前者只关心被抽出来的包含哪些数字，而不管这些数字的顺序；而后者则既关心被抽出来的包含哪些数字，也关心这些数字的顺序。

惟请注意，「排列」和「组合」虽然是两种很不相同的问题，但两者却并非绝然对立，而是有著非常密切的联系。日常生活中很多点算问题往往同时包含著「排列」和「组合」的因素，如能了解其中奥妙，很多点算问题便容易解决。事实上，我们正可利用「排列」和「组合」的这种微妙关系找出「组合」问题的公式。我们把从n 个球中抽r个出来的组合数记为C(n, r)。以下我们利用「排列」和「组合」之间的关系以及「排列」的公式来推导出C(n, r)的公式。

前面提过，「部分排列」问题可以理解成从n个标了编号的球中抽r个出来，并把球上的数字按被抽出来的顺序记下。其实我们可以把上述过程分解为两个程序，第一个程序就是从n个球中抽r个出来，先不理会它们被抽出来的顺序，此即前面所定义的「组合」问题。第二个程序则是把这r个被抽出来的球全部排次序，并求有多少种排法，此即前面介绍过的「全排列」问题。换句话说，我们可以把「部分排列」问题分解为一个「组合」问题和一个「全排列」问题(由此可见「排列」和「组合」并非绝然对立)。由於上述两个程序是「各自独立」的，根据「乘法原理」，「部分排列」问题的解应等於「组合」问题的解乘以