排列组合公式推导2014
2014江苏事业单位考试真题行测数量关系讲解——排列组合问题
2014江苏事业单位考试真题行测数量关系讲解——排列组合问题排列组合问题说难不难说简单也不简单，在讲解具体例子之前首先需要记住一个公式：C5取3=(5×4×3)/(3×2×1) C6取2=(6×5)/(2×1)通过这2个例子看出CM取N 公式是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。
以取值N的阶层作为分母P53=5×4×3 P66=6×5×4×3×2×1通过这2个例子PMN=从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积当N=M时即M的阶层排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m (m≤n)个元素，有序和无序摆放的各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的?有序用“排列”，无序用“组合”;其二是看问题需要分类还是需要分步?分类用“加法”，分步用“乘法”.分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类;其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类;②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤.分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准;其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成.两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理;如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种类就用乘法原理.在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：1.有限制条件的排列问题常见命题形式：“在”与“不在”“邻”与“不邻”在解决问题时要掌握基本的解题思想和方法：⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处理相邻最常用的方法.⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“插空排列法”.⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求出结果.2.有限制条件的组合问题，常见的命题形式：“含”与“不含”“至少”与“至多”在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.3. 在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也是最重要的思想方法.本文来自2014江苏事业单位考试真题/jiangsu/。
排列组合公式排列组合计算公式
排列组合公式排列组合计算公式排列组合是数学中的一种计算方法，用于计算元素的排列和组合的数量。
在排列组合中，排列是指从一组元素中选择并排列若干个元素，组合则是从一组元素中选择若干个元素的方式。
为了方便计算，人们发展出了排列组合的计算公式，可以简化计算过程。
一、排列的计算公式排列是指从一组元素中选择若干个元素并按照一定顺序排列的方法。
计算排列的数量可以使用排列公式来求解。
排列公式：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n表示总的元素个数，r表示选取的元素个数，!表示阶乘运算，即将一个数连乘到1。
例如，从5个人中选取2个人的排列数量可以通过排列公式计算：P(5, 2) = 5! / (5-2)! = 5! / 3! = (5*4*3*2*1) / (3*2*1) = 20所以，从5个人中选取2个人的排列数量为20。
二、组合的计算公式组合是指从一组元素中选择若干个元素的方法，不考虑元素的顺序。
计算组合的数量可以使用组合公式来求解。
组合公式：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，n表示总的元素个数，r表示选取的元素个数，!表示阶乘运算，即将一个数连乘到1。
例如，从5个人中选取2个人的组合数量可以通过组合公式计算：C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5! / (2! * 3!) = (5*4*3*2*1) / ((2*1) *(3*2*1)) = 10所以，从5个人中选取2个人的组合数量为10。
三、应用举例1. 应用排列组合计算公式，可以解决赛事抽签问题。
比如有6个队伍进行比赛，每个队伍的抽签号码为1到6，那么可以计算出所有可能的抽签结果的数量为：P(6, 6) = 6! / (6-6)! = 6! = (6*5*4*3*2*1) = 7202. 应用排列组合计算公式，可以解决密码锁问题。
比如一个密码锁有10个数字按键，密码由3个数字组成，那么可以计算出所有可能的密码数量为：C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 10! / (3! * 7!) =(10*9*8*7*6*5*4*3*2*1) / ((3*2*1) * (7*6*5*4*3*2*1)) = 120以上就是排列组合的计算公式及其应用举例。
排列与组合的计算方法公式
排列与组合的计算方法公式“哎呀，这排列组合可真是个让人头疼的问题啊！”排列组合是数学中的一个重要概念，它们有着特定的计算方法和公式。
排列是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
排列的计算公式为：A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)。
比如说，从 5 个不同的数字中选取 3 个进行排列，那么排列数就是A(5,3)=5×4×3=60。
比如在体育比赛中，前三名的颁奖顺序就是一种排列情况。
组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
组合的计算公式为：C(n,m)=A(n,m)/m!。
例如，从 5 个不同的数字中选取 3 个组成一组，不考虑顺序，那么组合数就是C(5,3)=A(5,3)/3!=60/6=10。
就像从一堆水果中选取几个水果，不考虑选取的先后顺序，这就是组合。
再举个例子，假设有 5 个人，要选出 3 个人去参加一个活动。
那么用排列的方法计算，这 3 个人的顺序不同就算是不同的情况，比如 ABC 和 CBA 是不同的排列；而用组合的方法计算，只要是这 3 个人就可以，不考虑他们的顺序，ABC 和 CBA 就只算一种组合。
排列组合在生活中有很多实际的应用。
比如抽奖活动，从众多参与者中抽取几个获奖者，这就是组合问题；而如果还要考虑获奖者的先后顺序，比如一等奖、二等奖、三等奖的颁发顺序，那就是排列问题了。
在解决排列组合问题时，关键是要明确是排列还是组合，以及元素是否可以重复。
如果元素可以重复，那么计算方法又会有所不同。
总之，排列组合虽然有点复杂，但只要理解了基本概念和公式，通过多做一些实际的例子，就能很好地掌握和运用它们。
排列组合公式及排列组合算法
排列组合公式及排列组合算法排列组合这玩意儿，在数学里可有着不小的分量。
咱先来说说排列组合公式。
比如说，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，就可以用 A(n, m) 来表示，它的公式是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。
那啥是“!”呢？这叫阶乘，比如说 5! ，就是 5×4×3×2×1 。
再说说组合数，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数用 C(n, m) 表示，公式是 C(n, m) = n! / [m!×(n - m)!] 。
我记得有一次，学校组织活动，要从班级里选几个同学去参加比赛。
我们班一共有 30 个同学，老师说要选 5 个人去。
这时候，我就在心里默默算了起来。
按照排列数的算法，从 30 个同学里选 5 个同学进行排列，那就是 A(30, 5) = 30×29×28×27×26 ，这数字可大得吓人。
但老师只是选 5 个人去，不管他们的顺序，这就是组合数 C(30, 5) 啦。
咱们来具体讲讲排列组合算法。
在实际计算的时候，可不能光靠死记硬背公式，还得灵活运用。
比如说，计算 C(10, 3) ，咱就可以一步一步来，10! =10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 ，3! = 3×2×1 ，7! = 7×6×5×4×3×2×1 ，然后代入公式 C(10, 3) = 10×9×8÷(3×2×1) ，就能算出结果啦。
还有一种常见的算法是利用递推关系。
比如说，要算 C(n, m) ，如果已经知道了 C(n - 1, m - 1) 和 C(n - 1, m) ，那就可以通过 C(n, m) =C(n - 1, m - 1) + C(n - 1, m) 这个递推公式来算。
排列组合公式排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n 分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
排列组合公式解析
排列组合公式解析排列组合这玩意儿，在咱们数学里可算得上是个有点让人头疼但又超级有趣的部分。
咱们先来说说排列公式，它就像是给一堆东西排排队，讲究个顺序。
比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，那这时候就得用排列公式 A(n, m) = n! / (n - m)! 。
咱来算算啊，5 个水果里选 3 个排列，就是 A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 5×4×3 = 60 种排法。
这就好比你有 5 件不同的衣服，今天要挑 3 件穿，而且穿的顺序还不一样，那能搭配出来的样子可就多了去啦。
再说说组合公式 C(n, m) = n! / [m!(n - m)!] 。
还是那 5 个水果，这回不讲究顺序，只要选出 3 个就行。
那就是 C(5, 3) = 5! / [3!(5 - 3)!] = 10 种选法。
这就像你去超市买水果，只要从 5 种里挑 3 种，不管先拿哪个后拿哪个，都算一种买法。
我记得有一次，我们班上搞活动，要从 10 个同学里选 3 个去参加比赛。
这时候大家就开始七嘴八舌地讨论怎么选。
有的同学说一个一个数，这得多麻烦呀！我就跟他们说，用组合公式，一下子就算出来有 120 种选法。
同学们都惊呆了，觉得数学还真有用。
排列组合在生活中的应用那可太多啦。
比如说抽奖，从一堆号码里抽出几个中奖的，这就是组合；要是再规定号码的先后顺序，那就是排列。
还有安排座位，选班委，组队参加比赛等等，都离不开排列组合。
做题的时候，大家可得小心喽。
要看清楚题目到底是让咱排列还是组合，顺序重不重要。
有时候一个不留神，就会算错。
总的来说，排列组合公式虽然有点复杂，但只要咱们多做题，多琢磨，就一定能掌握它。
就像咱们学走路一样，一开始可能摇摇晃晃，但走得多了，自然就顺溜啦！希望大家都能在排列组合的世界里畅游，不怕难题，勇往直前！。
排列组合的一些公式及推导（非常详细易懂）
排列组合的一些公式及推导（非常详细易懂）绪论：加法原理、乘法原理分类计数原理：做一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×⋯×mn种不同的方法。
区别：分类计数原理是加法原理，不同的类加起来就是我要得到的总数；分步计数原理是乘法原理，是同一事件分成若干步骤，每个步骤的方法数相乘才是总数。
排列问题排列数从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的排列数，用符号Amn表示。
排列数公式Amn=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=n!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤n（规定0!=1）推导：把n个不同的元素任选m个排序，按计数原理分步进行：取第一个：有n种取法；取第二个：有(n−1)种取法；取第三个：有(n−2)种取法；……取第m个：有(n−m+1)种取法；根据分步乘法原理，得出上述公式。
排列数性质Amn=nAm−1n−1 可理解为“某特定位置”先安排，再安排其余位置。
Amn=mAm−1n−1+Amn−1 可理解为：含特定元素的排列有mAm−1n−1，不含特定元素的排列为Amn−1。
组合问题组合数从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示。
组合数公式Cmn=AmnAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤nC0n=Cnn=1证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
将部分排列问题Amn分解为两个步骤：第一步，就是从n个球中抽m个出来，先不排序，此即组合数问题Cmn；第二步，则是把这m个被抽出来的球排序，即全排列Amm。
排列组合的概念与计算公式
排列组合的概念与计算公式排列组合，这四个字听起来是不是有点让人头大？但别慌，其实它没那么可怕，就像我们每天的生活一样，充满了有趣的选择和组合。
先来说说排列。
排列呢，就是从给定的元素中，按照一定的顺序选取一部分或者全部进行排列。
比如说，咱们去超市买水果，有苹果、香蕉、橙子三种水果，要是让你选两种按照先后顺序摆放，那有几种摆法？这就是排列问题啦。
像苹果在前香蕉在后，或者香蕉在前苹果在后，这就是不同的排列。
再讲讲组合。
组合就没那么在意顺序了，还是刚才买水果的例子，只要选出两种水果，不管谁先谁后，这就是组合。
那排列和组合的计算公式是啥呢？咱们先看排列的公式。
如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素进行排列，排列数记为 A(n,m) ，那么A(n,m) = n! / (n - m)! 这里的“!”表示阶乘，比如 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
组合的公式呢，如果从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数记为C(n,m) ，那 C(n,m) = n! / [m!(n - m)!] 。
给大家说个我自己的亲身经历吧。
有一次我们全家出去旅游，要从5 个备选的景点中选 3 个去游玩。
这时候我就在心里默默算了算，用排列的方法，那就是考虑顺序，A(5,3) = 5! / (5 - 3)! = 60 种可能。
但其实对于我们游玩来说，先去哪个景点后去哪个景点没那么重要，只要选出来就行，这就是组合，C(5,3) = 5! / [3!(5 - 3)!] = 10 种可能。
算清楚了，我们就能更好地规划行程啦。
在日常生活中，排列组合的应用可多了去了。
比如学校组织运动会，安排运动员的出场顺序，这就是排列；从一堆同学中选几个参加比赛，这就是组合。
还有抽奖活动，从众多号码中抽出几个中奖号码，这也是组合。
排列组合不仅仅是数学课本上的知识，它更是我们解决实际问题的有力工具。
学会了它，能让我们在面对各种选择和可能性时，更加从容和有条理。
排列与组合的概念与计算公式
排列与组合的概念与计算公式1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);３．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列组合公式把这个公式发上来与大家分享,我在做题时突然之间想不起来公式,所以找了半天,现在整理出来大家分享!排列组合公式/排列组合计算公式公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r。
排列组合cn和an公式推导过程
排列组合cn和an公式推导过程排列组合是组合数学中的重要概念，它描述了从一组元素中选择若干个元素按照一定的顺序或不按顺序排列的方式。
排列和组合分别有两个常用的公式，即排列公式和组合公式。
在本文中，我将为您推导这两个公式。
首先，我们来讨论排列的计算方法。
排列是指从n个不同元素中选取r个元素按照一定的顺序排列的方式。
如果我们有n个元素要进行排列，首先有n种选择，然后对于每一种选择，有n-1种选择，依此类推，直到最后剩下r个元素，就有n(n-1)(n-2)...(n-r+1)种选择。
这可以表示为：P(n,r)=n(n-1)(n-2)...(n-r+1)接下来，我们来推导组合的计算方法。
组合是指从n个不同元素中选取r个元素，但不考虑元素的顺序。
首先，我们可以通过排列的方式计算出所有可能的组合，即P(n,r)。
但是，我们需要考虑到每个组合有相同的r个元素的不同顺序，所以我们要除以r!，即r个元素的所有可能排列的数量。
所以组合的计算方法可以表示为：C(n,r)=P(n,r)/r!=n(n-1)(n-2)...(n-r+1)/r(r-1)(r-2) (1)接下来，我们来证明上述公式。
首先，我们需要证明排列公式P(n,r)=n(n-1)(n-2)...(n-r+1)。
我们可以通过数学归纳法进行证明。
当r=1时，显然有P(n,1)=n。
假设对于r=k成立，即P(n,k)=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)。
那么对于r=k+1，我们可以看作是在r=k的基础上，再从n-k个元素中选择一个元素插入。
所以，我们可以对每一种选择的情况进行分析，即对于每个选择，在n-k个元素中选择1个元素，然后再将这个元素插入到前面排列的每个结果中。
这样就有n(n-1)(n-2)...(n-k+1)*(n-k)=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(n-k)个排列。
这证明了当r=k+1时公式也成立。
由于公式在r=1时成立，所以根据数学归纳法，可以证明公式对所有正整数r都成立。
数学排列组合公式
排列组合公式排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。
排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。
排列的个数用P(n,r)表示。
当r=n时称为全排列。
一般不说可重即无重。
可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。
组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。
组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合有记号C(n,r),C(n,r)。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用1 / 13(1)加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。
显然各子集没有共同元素。
每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！2 / 13这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则S（A）=S（B）*3！S（B）=9！/3！这就是我们用以前的方法求出的P（9，6）例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。
排列组合的推导过程
排列组合的推导过程嘿，咱今儿就来聊聊排列组合的推导过程哈！你说这排列组合，就像是个神奇的魔法盒子，打开它就能发现好多奇妙的东西。
咱先想想，啥是排列呀？比如说，从三个不同的数字 1、2、3 中选两个数字组成两位数，那能有几种情况呢？这就是排列问题啦！那咱就一个一个来试试，12、13、21、23、31、32，嘿，六种呢！这就是简单的排列。
那组合又是啥呢？还是这三个数字 1、2、3，咱这次不考虑顺序，就看能选出几个不同的组合，那就是 1 和 2、1 和 3、2 和 3，就三种。
这组合就像是把东西随意地抓在一起，不管先后顺序。
那这排列组合的推导过程是咋来的呢？咱就拿选东西来类比吧。
比如说有 n 个不同的东西，要从中选 m 个。
那第一步，第一个位置有 n 种选法吧；第二步，第二个位置就只有 n1 种选法了，因为第一个位置已经选走一个了呀；第三步，第三个位置就 n2 种选法……这样一直到第 m 个位置。
那总的选法不就是把这些选法都乘起来嘛，这就是排列的推导过程啦！是不是挺有意思的？再想想，要是有重复的情况咋办呢？比如说从 1、1、2 这三个数字中选两个数字组成两位数，那可就不能简单地用刚才的方法啦。
这时候就得考虑重复的情况，把重复的情况去掉，才能得到正确的结果。
哎呀，这排列组合就像个神秘的迷宫，得慢慢探索才能找到出路。
有时候觉得挺难的，可一旦弄明白了，就会特别有成就感！你想想，生活中好多地方都用到排列组合呢。
比如说买彩票，那可不就是个排列组合的问题嘛！还有分东西、安排座位啥的，都和这有关系。
总之呢，排列组合这玩意儿，看似复杂，其实只要咱静下心来，好好琢磨琢磨，就一定能搞懂它。
别害怕困难，就大胆地去探索吧！相信你也能在这排列组合的世界里发现属于自己的精彩！这就是我对排列组合推导过程的理解啦，你觉得咋样呢？。
排列组合 公式推导
排列组合公式推导排列P------和顺序有关组合C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5 本不同的书分给3 个人,有几种分法. "排列"把5 本书分给3 个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k 类元素,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n 为下标，m 为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n 为下标1 为上标）=n组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n 分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n 为下标1 为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P 是指排列，从N 个元素取R 个进行排列。
排列组合公式
排列组合公式在我们的日常生活和学习中，经常会遇到需要计算可能性数量的情况。
比如，从一堆物品中挑选出几个，或者安排人员的座位顺序等等。
而解决这些问题，就离不开排列组合公式。
首先，我们来了解一下什么是排列。
排列指的是从给定的元素集合中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
举个例子，假如有 5个不同的字母 A、B、C、D、E，从中选取 3 个进行排列，那么就有5×4×3 ＝ 60 种不同的排列方式。
排列的公式为：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！这里的“n”表示元素的总数，“m”表示选取的元素个数。
“！”表示阶乘，例如5! ＝5×4×3×2×1。
接下来，我们再看看组合。
组合则是指从给定的元素集合中，不考虑顺序地选取若干个元素。
还是用上面 5 个字母的例子，如果从中选取 3 个字母组成一组，不考虑它们的排列顺序，那么组合的数量就会比排列少。
因为像 ABC、ACB、BAC 等，在组合中都被视为同一种情况。
组合的公式是：C(n, m) ＝ n! ／ m!×（n m)！为了更好地理解排列组合公式，我们来看几个实际的例子。
假设一个班级有 10 名学生，要选出 3 名学生参加比赛。
这里用组合公式 C(10, 3) ＝ 10! ／（3!×7!）＝ 120 ，即有 120 种不同的选法。
如果这3 名学生有不同的比赛项目，并且需要考虑他们参赛的顺序，那么就要用排列公式 A(10, 3) ＝ 10! ／ 7! ＝ 720 ，就有 720 种不同的安排方式。
再比如，从一副扑克牌（除去大小王，共 52 张）中抽取 5 张牌，计算有多少种不同的组合。
这里就是 C(52, 5) ＝ 52! ／（5!×47!），通过计算可以得出具体的组合数量。
排列组合公式在很多领域都有着广泛的应用。
在概率论中，计算随机事件发生的可能性；在密码学中，用于生成复杂的密码组合；在数学竞赛中，解决各种计数问题；在计算机科学中，优化算法和数据结构。
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排列和组合基本公式的推导，定义
先从「排列」开始。
「排列」的最直观意义，就是给定n个「可区别」(Distinguishable，亦作「相异」)的物件，现把这n个物件的全部或部分排次序，「排列」问题就是求不同排列方式的总数。
为了区别这些物件，我们可不妨给每个物件一个编号：1、2 ... n，因此「排列」问题实际等同於求把数字1、2 ... n的全部或部分排次序的方式总数。
「排列」问题可分为「全排列」和「部分排列」两种，当我们把给定的n个数字1 、2 ... n全部排次序，求有多少种排法时，就是「全排列」问题。
我们可以把排序过程分解为n个程序：第一个程序决定排於第一位的数字，第二个程序决定排於第二位的数字...第n个程序决定排於第n位的数字。
在进行第一个程序时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。
在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选法。
在进行第三个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-2个，因此有
n-2种选法。
如是者直至第n个程序，这时可供选择的数字只剩下1个，因此只有1种选择。
由於以上各程序是「各自独立」的，我们可以运用「乘法原理」求得答案为n×(n-1)×(n-2)×...2×1。
在数学上把上式简记为n!，读作「n 阶乘」(n-factorial)。
例题1：把1至3这3个数字进行「全排列」，共有多少种排法？试列出所有排法。
答1：共有3! = 3 × 2 × 1 = 6种排法，这6种排法为1-2-3；1-3-2；2-1-3；2-3-1； 3-1-2；3-2-1。
当然，给定n个数字，我们不一定非要把全部n个数字排序不可，我们也可只抽取部分数字(例如r个，r < n)来排序，并求有多少种排法，这样的问题就是「部分排列」问题。
我们可以把「部分排列」问题理解成抽东西的问题。
设在某袋中有n个球，每个球都标了编号1、2 ... n。
现从袋中抽r个球出来(抽出来之后不得再放回袋中)，并把球上的数字按被抽出来的顺序记下，这r个数字的序列实际便等同於一个排序。
「部分排列」问题的解答跟「全排列」问题非常相似，只不过现在我们是把排序过程分解为r个而非n个步骤。
进行第一个程序时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。
在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-1个，因此有n-1种选法。
在进行第三个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n-2个，因此有n-2种选法。
如是者直至第r个程序，这时可供选择的数字只剩下n-r+1个，因此只有n-r+1种选择。
最后，运用「乘法原理」求得答案为n×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)。
我们可以把上式改写为更简的形式n! / (n-r)!，为甚麼可以这样改写？这要用到n!的定义和乘法的结合律。
举一个简单的例子，由於
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × (4 × 3 × 2 × 1) = 5 × 4!。
同样由
於5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4 × (3 × 2 × 1)，我们又可得
5! = 5 × 4 × 3!。
抽象地看，我们可以把n!改写为n×(n-1)!，也可以改写为n×(n-1)×(n-2)!照此类推，我们可以把n!改写为
n×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)×(n-r)!。
由此得
n! / (n-r)! = n ×(n-1)×(n-2)×...(n-r+1)。
在「点算组合学」上，一般把上述「部分排列」的解记为P(n, r)。
至此我们求得「排列」问题的一条基本公式：
P(n, r) = n!/(n-r)!
例题2：从1至4这4个数字中抽2个出来排序，共有多少种排法？试列出所有排法。
答2：共有P(4, 2) = 4! / 2! = (4 × 3 × 2!) / 2! = 4 × 3 = 12种排法。
这 12种排法是1-2；1-3；1-4；2-1；2-3；2-4；3-1；3-2；3-4；4-1；4-2；4-3。
请注意只要我们定义0! = 1 (注1)，那麼上述公式便也适用於「全排列」的情况。
「全排列」其实就是r = n的情况，因此如果把r = n代入以上公式，便得P(n, n) = n!/(n-n)! = n! / 0! = n! / 1 = n!，正与前面讨论的结果吻合。
接下来笔者介绍「组合」问题。
设在某袋中有n个球，每个球都标了编号1、
2 ... n。
现从袋中抽r个球出来(抽出来之后不得再放回袋中)，并把球上的数字记下，但无须理会球被抽出的先后次序。
由此可见，「组合」问题与「排列」问题的主要区别是，前者只关心被抽出来的包含哪些数字，而不管这些数字的顺序；而后者则既关心被抽出来的包含哪些数字，也关心这些数字的顺序。
惟请注意，「排列」和「组合」虽然是两种很不相同的问题，但两者却并非绝然对立，而是有著非常密切的联系。
日常生活中很多点算问题往往同时包含著「排列」和「组合」的因素，如能了解其中奥妙，很多点算问题便容易解决。
事实上，我们正可利用「排列」和「组合」的这种微妙关系找出「组合」问题的公式。
我们把从n 个球中抽r个出来的组合数记为C(n, r)。
以下我们利用「排列」和「组合」之间的关系以及「排列」的公式来推导出C(n, r)的公式。
前面提过，「部分排列」问题可以理解成从n个标了编号的球中抽r个出来，并把球上的数字按被抽出来的顺序记下。
其实我们可以把上述过程分解为两个程序，第一个程序就是从n个球中抽r个出来，先不理会它们被抽出来的顺序，此即前面所定义的「组合」问题。
第二个程序则是把这r个被抽出来的球全部排次序，并求有多少种排法，此即前面介绍过的「全排列」问题。
换句话说，我们可以把「部分排列」问题分解为一个「组合」问题和一个「全排列」问题(由此可见「排列」和「组合」并非绝然对立)。
由於上述两个程序是「各自独立」的，根据「乘法原理」，「部分排列」问题的解应等於「组合」问题的解乘以
「全排列」问题的解，即P(n, r) = C(n, r) × r!，由此得
C(n, r) = P(n, r) / r!。
代入前面P(n, r)的公式，应得
C(n, r) = n!/((n-r)!×r!)
正如前面的「排列」公式适用於「全排列」的情况，上述「组合」公式也适用於「全组合」的情况，即求 C(n, n)的问题。
根据上述公式，
C(n, n) = n!/((n-n)! × r!) = n! / (0! × r!) = 1。
这一结果是完全合理的，因为从n个球中抽取所有n个出来，当然只有1种方法。