着色问题
塑胶产品着色时一般出现的问题及处理方法
塑胶产品着色时一般出现的问题及处理方法
1．产品表面起粒：主要原因：
①料筒及模头有杂质；
②温度不正确；
③原料在料筒内加热停留时间太长；
④色母或色粉的分散性未处理好；
⑤过滤网已穿孔。
处理方法：把塑机温度调至低于正常温度10 -20℃，开动塑机，用原色塑料树脂以最慢速度重新进行清理工作，必要时把模头拆开清理，并调整好温度，及时更换过滤网。
改用分散良好的色母或色粉重新调试。
2．扩散不均匀：主要原因：
①混料不均匀；
②温度不适当；
③色母和原料相溶性差；
④塑机本身塑化效果差；
⑤色母投放比例太小。
处理方法：充分搅拌、温度调整适当、更换色母或原材料、更换其他机台生产、调整色母投放比例。
3．经常断料主要原因：
①温度不正确；
②原料亲和性差；
③色母分散太差；
④色母投放比例太高。
处理方法：把温度调较准确、更换所用原料、更换分散优良的色母、降低色母使用比例。
4．颜色有变化：主要原因：
①使用的原材料底色不一致；
②塑机未清洁干净；
③所用的色母或色粉耐温程度低，温度过高时消色；
④下料门未清洁干净；
⑤加工工艺改变；
⑥色母或色粉本身有色差；
⑦水口料搭配不当；
⑧混料机未清洁干净或混料时间未控制好
处理方法：使用与打板时颜色一致的原料及调整好水口料的搭配比例；把塑机、下料门及混料机彻底清洁干净；改用耐温适当、颜色一致的色母或色粉；使用稳定的加工工艺。
chap12 图的着色
点着色的应用
课程安排问题 某大学数学系要为这个夏季安排课程表。所要开设 的课程为：图论(GT), 统计学(S),线性代数(LA), 高等 微积分(AC), 几何学(G)和近世代数(MA)。现有10名 学生(如下所示)需要选修这些课程。根据这些信息， 确定开设这些课程所需要的最少时间段数，使得学 生选课不会发生冲突。(学生用Ai表示）
5
K可着色的图例
v1
1
v2
G
v3 v4
v5
2 3
S
:V(G) →S,满射 是正常3着色，G是3可着色的。
6
K色图
定义12.1.2 图G的正常k着色中最小的k称为G的色
数，记为(G)，即(G)=min{k|G存在正常k着色}。
若(G) =k，则称G是k色图。 显然，含环的图不存在正常着色，而多重边与一条 边对正常着色是等价的。以后总设G为简单图。 问题：已知一个图G(p,q)，如何求色数(G)？
又因k＞0， 所以与(G)定义矛盾。结论成立。 注意此定理与定理12.1.2的区别。 定理12.1.2 若G是一个临界图，则(G) ≤(G)+1
21
Brooks 定理
定理12.1.5 若连通图G既不是奇回路，也不是完全 图，则(G) (G) . 例如，对Petersen图应用Brooks定理，可得： (G) (G) =3 . 此定理说明只有奇回路 或完全图这两类图的色 数才是(G) +1。
第一步：建图。 把每门课程做为图G的顶点，两顶点连线当且仅当 有某个学生同时选了这两门课程。
色给同一时 段的课程顶点染色，那么，问 题转化为在状态图中求点色数 问题。
MA
S
G
AC 选课状态图
LA
第6章 着色问题
∴
c' (v) c(v)
v V v V
，
这与C为最优矛盾。
图论及其应用
6
6.1 边色数
定理6.1 设G为偶图，则 = 。 证明： （Wilson）对 进行归纳。当 = 1 时显然成立。假设
对 < k( 2) 都成立，而 (G)= k 。任取G的一边 e = uv ， 考虑 G’ = G - e 。
(a) 利用Vizing定理证明：(G×K2）= (G×K2) 。 (b) 试证：若H是非平凡的，且(H) = (H)，则(G×H) = (G×H)。
6.2.7 叙述求简单图G的正常(+1)-边着色的好算法。 6.2.8*证明 ≥2的简单图G有一(-1)-边着色，使得所有-1种色在每个顶点上都表现 6.2.9 设简单图G有割点，则 = + 1 。
图论及其应用
11
6.2 Vizing定理——习题
6.2.1* 找出适当的边着色以证明(K2N-1) = (K2N) = 2n-1 。 6.2.2 为奇数的非空正则简单图G有 = + 1 。 6.2.3(a) 设简单图G中 = 2n+1且 >n ，则 = +1 ； (b) 利用(a)证明： ① 若G是从有偶数个顶点的简单图中剖分一条边所得的图，则 = +1 ； ② 若G是从有奇数个顶点的简单k正则图中删去少于k/2条边所得的图，则=+1 6.2.4 (a) 证明： 任一无环图G都有-正则无环母图。（注：不一定为生成母图） (b) 利用(a)及习题5.2.3(b)证明：若G 是无环图且 是偶数，则 3 /2。 6.2.5 称G为唯一k-边可着色的，如果G的任意两个k-边着色都导致E有相同的划分。 证明：每个唯一3-边可着色的3-正则图都是Hamilton 图 。 6.2.6 简单图的积图是指顶点集为V(G)×V(H)的简单图G×H，其中 (u,v)与(u’,v’)相邻 u = u’且v’ E(H)； 或 v = v’且uu’ E(G)
图的着色问题--C++实现(含详细注释)
图的着色问题一、题目简述(1) 图的m-着色判定问题给定一个无向连通图 G 和 m 种不同的颜色。
用这些颜色为图 G 的各顶点着色，每个顶点着一种颜色，是否有一种着色法使 G 中任意相邻的两个顶点着不同颜色？(2) 图的m-着色优化问题若一个图最少需要 m 种颜色才能使图中任意相邻的两个顶点着不同颜色，则称这个数 m 为该图的色数。
求一个图的最小色数 m 的问题称为m-着色优化问题。
二、算法思想1. m-着色判定问题总体思想：通过回溯的方法，不断为每一个节点着色，每个点的颜色由一个数字代表，初始值为1。
在对前面 step - 1 个节点都合法的着色之后，开始对第 step 个节点进行着色。
如果 n 个点均合法，且颜色数没有达到 m 种，则代表存在一种着色法使 G中任意相邻的两个顶点着不同颜色。
具体步骤：1. 对每个点 step ，有 m 种着色可能性，初始颜色值为1。
2. 检查第 step 个节点颜色的可行性，若与某个已着色的点相连且颜色相同，则不选择这种着色方案，并让颜色值加1，继续检查该点下一种颜色的可行性。
3. 如果第 step 点颜色值小于等于 m ，且未到达最后一个点，则进行对第 step + 1 点的判断。
4. 如果第 step 点颜色值大于 m ，代表该点找不到合适的分配方法。
此时算法进行回溯，首先令第 step 节点的颜色值为0，并对第 step - 1 个点的颜色值+1后重新判断。
5. 如果找到一种颜色使得第 step 个节点能够着色，说明 m 种颜色的方案是可行的。
6. 重复步骤2至5，如果最终 step 为0则代表无解。
2. m-着色优化问题基于问题1，对于一个无向图 G ，从1开始枚举染色数，上限为顶点数，第一个满足条件的颜色数即为所求解。
三、实现过程（附代码）1. m-着色判定问题#include<iostream>using namespace std;int color[100]; // 每个点的颜色int mp[100][100]; // 图的邻接矩阵int n, m, x; // n顶点，m种颜色方案，x条边bool check(int step) {// 判断与step点相邻的点，颜色是否与step点相同，若相同则返回falsefor (int i=1; i<=n; i++) {if (mp[step][i] ==1&&color[i] ==color[step]) {return false;}}return true;}bool Solve(int m) {// 求解是否可以找到一种可行的染色方案int step=1; // step指示当前节点while (step>=1) {color[step] +=1; // 假定颜色值从1开始，若为回溯，选择下一种方案while (color[step] <=m) { // 按照问题条件选择第step点颜色if (check(step)) {break;} else {color[step]++; // 搜索下一个颜色}}if (color[step] <=m&&step==n) { // 如果找完n个点，且染色方法小于等于m种 return true;} else if (color[step] <=m&&step<n) {step++; // 求解下一个顶点} else { // 如果染色数大于m个，回溯color[step] =0; // 回溯，该点找不到合适的分配方法，对上一点进行分析step--;}}// 如果step退到0，则代表无解return false;}int main() {int i, j;bool ans=false;cout<<"输入顶点数n和着色数m"<<endl;cin>>n>>m;cout<<"输入边数"<<endl;cin>>x;cout<<"具体输入每条边"<<endl;for (int p=0; p<x; p++) { // 以无向邻接矩阵存储边cin>>i>>j;mp[i][j] =1;mp[j][i] =1;}if (Solve(m)) {cout<<"有解";} else {cout<<"无解";}return0;}2. m-着色优化问题#include<iostream>using namespace std;int color[100]; // 每个点的颜色int mp[100][100]; // 图的邻接矩阵int n, m, x; // n顶点，m种颜色方案，x条边bool check(int step) {// 判断与step点相邻的点，颜色是否与step点相同，若相同则返回falsefor (int i=1; i<=n; i++) {if (mp[step][i] ==1&&color[i] ==color[step]) {return false;}}return true;}bool Solve(int m) {// 求解是否可以找到一种可行的染色方案int step=1; // step指示当前节点while (step>=1) {color[step] +=1; // 假定颜色值从1开始，若为回溯，选择下一种方案while (color[step] <=m) { // 按照问题条件选择第step点颜色if (check(step)) {break;} else {color[step]++; // 搜索下一个颜色}}if (color[step] <=m&&step==n) { // 如果找完n个点，且染色方法小于等于m种 return true;} else if (color[step] <=m&&step<n) {step++; // 求解下一个顶点} else { // 如果染色数大于m个，回溯color[step] =0; // 回溯，该点找不到合适的分配方法，对上一点进行分析step--;}}// 如果step退到0，则代表无解return false;}int main() {int i, j;bool ans=false;cout<<"输入顶点数n"<<endl;cin>>n;cout<<"输入边数"<<endl;cin>>x;cout<<"具体输入每条边"<<endl;for (int p=0; p<x; p++) { // 以无向图邻接矩阵存储边 cin>>i>>j;mp[i][j] =1;mp[j][i] =1;}for (m=1; m<=n; m++) { // 从小到大枚举着色数mif (Solve(m)) { // 如果有解，输出答案并跳出循环cout<<"最小色数m为 "<<m;break;}}return0;}四、结果及分析问题1测试用例：问题2测试用例：经检验，最少着色数的范围为2-4，意味着使 G 中任意相邻的两个顶点着不同颜色最多需要4种颜色。
着色问题
题型一、着色问题【例1】将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图所示的五块区域，要求相邻的两块区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？解：方法一：给区域标上记号A 、B 、C 、D 、E 如图所示，则A 区域图有4种不同的涂色方法，B 区域有3种不同的涂色方法， C 区域有2种不同的涂色方法，D 区域的涂色方法就要合理分类,由于E 区域同时接邻A 、C 、D 三个区域，所以它的颜色依赖于A 与D 的涂色，如果A 与D 颜色相同，则E 区域有2种涂色方法，若A 与D 颜色不相同，则E 区域只有1种涂色方法，因此应该先分类后分步.（1） 当A 、D 颜色相同时，根据分步乘法计数原理有4×3×2×1×2=48（种）；（2） 当A 、D 颜色不同时，根据分步乘法计数原理有4×3×2×1×1=24（种）. 故根据分类加法计数原理共有48+24=72种方法.方法二：由已知共计4种颜色，5块区域，颜色至少使用3种，最多使用4种颜色.由使用的颜色的种数分为两类第一类：涂色恰好使用了4种颜色，即A 、D 同色或B 、E 同色：有4×3×2×1+4×3×2×1=48（种）；第二类：涂色恰好使用3种颜色，即A 、D 同色且B 、E 同色：有4×3×2=24（种）. 故根据分类加法计数原理共有48+24=72种方法.温馨提示：为了处理问题方便，解决涂色问题时往往给每一个区域标上相应的序号.本题解决的关键是①着眼点是按区域分步，还是按使用的颜色分类；②注意区域A 、D 和B 、E 可以同色也可以异色，应合理分类讨论.迁移训练1-1将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.解：法一：按顶点S,A,B,依次着色5×4×3=60，顶点C 分为两类：点A 与点C 同色和异色. ① 当点A 与点C 同色时：点S 、A 、C 三个点一共了2种颜色，所以点D 有3种颜色可选. ② 当点A 与点C 异色时：点C 有2种颜色可选，点S 、A 、C 三个点一共了3种颜色，所以点D 有2种颜色可选.所以由分步乘法计数原理得不同的染色方法总数为：5×4×3×（1×3+2×2）=420（种）. 法二：由已知四棱锥有5个顶点，可以使用的颜色有5种，按使用颜色的种数分为三类. A B C S D①涂色使用了3种颜色时：此时顶点A和C同色并且B和D同色，由分步乘法计数原理得不同的染色方法总数为5×4×3=60；②涂色使用了4种颜色时：此时顶点A和C同色或B和D同色，由分步乘法计数原理得不同的染色方法总数为（5×4×3×2）×2=240（种）；③涂色使用了5种颜色时：5个顶点使用5种不同的颜色，由分步乘法计数原理得不同的染色方法总数为5×4×3×2×1=120.所以由分类加法计数原理得不同的染色方法总数为：60+240+120=420（种）.。
图论讲义第6章-图的着色问题
ikik i0
( Δ + 1) 边染色。由引理 6.1.2， G[ Ei′0 ∪ Ei′k ] 中含有 u 的那个分支 H 1 是个奇圈。
ik i0 ik
vk …
im
… v3 v2
i4 i3 i2
u
i1
vm
v1
v
3
而对 k ≤ j ≤ m − 1 ，用颜色 ij+1 给 uvj 重新染色，而用颜色 ik 给 uvm 重新染色，得到一
1
, E k ) 中每个 Ei 都是非空的
设 v0 e1v1e2
eε v0 是 G 的一条 Euler 闭迹。 令 E1 = {ei i 为奇数}，E 2 = {ei i 为偶数}。
于是 c = (E1, E2) 即为所求的边 2-染色。 需要说明的是，Euler 闭迹从度≥4 的顶点出发是必需的。例如在下图中，若从 2 度顶 点 u 处出发沿 Euler 闭迹交替地对边进行 2 染色，则 u 点可能仅能获得一种色（如图，1、2 表示两种颜色） 。
′′, E 2 ′′, 个( Δ＋1 )边染色 c ′′ = ( E1
′′+1 ) 。同理有 c ′′( v ) ≥ c( v ) 对所有 v ∈ V 成立。故由引理 , EΔ
′ ∪ Ei′k′ ] 中含有 u 的分支 H 2 是个奇圈。 6.1.2， G[ Ei′0
vk-1
iki0 ik＋1 ik
第六章 染色理论
许多实际问题可以归结为求图的匹配或者独立集。 此外， 在许多应用中， 人们希望知道： 一个给定的图， 它的边集至少能划分成多少个边不交的匹配？或它的顶点集至少能划分成多 少个点不交的独立集？这便是图的边染色和顶点染色问题。
初中化学物质着色-沉淀及溶解性问题
初中化学物质着色及沉淀问题液体的颜色1、无色液体：水，双氧水2、蓝色溶液：硫酸铜溶液，氯化铜溶液，硝酸铜溶液3、浅绿色溶液：硫酸亚铁溶液，氯化亚铁溶液，硝酸亚铁溶液4、黄色溶液：硫酸铁溶液，氯化铁溶液，硝酸铁溶液5、紫红色溶液：高锰酸钾溶液6、紫色溶液：石蕊溶液气体的颜色7、红棕色气体：二氧化氮8、黄绿色气体：氯气9、无色气体：氧气、氮气、氢气、二氧化碳、一氧化碳、二氧化硫、氯化氢气体等大多数气体。
固体的颜色10、红色固体：铜，氧化铁11、绿色固体：碱式碳酸铜12、蓝色固体：氢氧化铜，硫酸铜晶体13、紫黑色固体：高锰酸钾14、淡黄色固体：硫磺15、无色固体：冰，干冰，金刚石16、银白色固体：银，铁，镁，铝，汞等金属17、黑色固体：铁粉，木炭，氧化铜，二氧化锰，四氧化三铁，（碳黑，活性炭）18、红褐色固体：氢氧化铁19、白色固体：氯化钠，碳酸钠，氢氧化钠，氢氧化钙，碳酸钙，氧化钙，硫酸铜，五氧化二磷，氧化镁沉淀的颜色FeS2 黄色沉淀PbS 黑色沉淀FeCO3 碳酸铁灰色沉淀Ag2CO3 碳酸银黄色沉淀AgBr 浅黄沉淀AgCl 白色沉淀Cu2(OH)2CO3 暗绿色沉淀Fe(OH)2 氢氧化铁红棕色沉淀BaSO3 碳酸亚钡白色沉淀Cu(OH)2 氢氧化铜蓝色沉淀Mg(OH)2 氢氧化镁白色沉淀源-于-网-络-收-集源-于-网-络-收-集 AL(OH)3 氢氧化铝 白色沉淀Fe(OH)3 氢氧化铁 红褐色沉淀Cu(OH)2 氢氧化铜 蓝色沉淀AgCl 氯化银 白色沉淀BaSO4 硫酸钡 白色沉淀BaCO3 碳酸钡 白色沉淀Fr(OH)3 红褐色沉淀AgBr 钡化银 淡黄色沉淀AgI 碘化银 黄色沉淀Ag3PO4 黄色沉淀Cu2OOH-为白色（如Mg(OH)2）CO3 2-为白色（如CaCO3)Fe 3+ 为红褐色Fe 2+ 为绿色Cu 2+ 为蓝色（如Cu(OH)2)NO3-均溶解Cl-只有AgCl 是沉淀SO4-只有BaSO4是沉淀（Ca,Ag 微溶）FeCO3是沉淀 红色初中常见的七种沉淀两种有颜色的氢氧化铁Fe(OH)3红褐色沉淀 氢氧化铜Cu(OH)2 蓝色沉淀白色沉淀五种碳酸钙 CaCO3、 碳酸钡BaCO3 、氯化银 AgCl 、硫酸钡 BaSO4、 氢氧化镁 Mg(OH)2产生这些沉淀方程式很多，各举一个例子。
图的着色问题
问题来源
图的着色
通常所说的着色问题是指下述两类问题： 通常所说的着色问题是指下述两类问题： 1．给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每条边着色，要求每条边着一种颜色， 的每条边着色，要求每条边着一种颜色，并 使相邻两条边有着不同的颜色， 使相邻两条边有着不同的颜色，这个问题称 为图的边着色问题。 为图的边着色问题。 2．给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色，这个 问题称为图的顶着色问题。 问题称为图的顶着色问题。
化简得
( a + bd )(b + aceg )(c + bdef )( d + aceg )(e + bcdf )( f + ceg )( g + bdf )
求极小覆盖法－ 求极小覆盖法－布尔代数法
Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者， Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者， 即为X 即为X（G） 但上述子集的颜色数都不是X ），正确的应 但上述子集的颜色数都不是X（G），正确的应 该是X =3，该子集为： {b,d,f}中的 该是X（G）=3，该子集为：给{b,d,f}中的 b,d,f涂颜色 涂颜色1 {a,e,g}中a,e,g涂颜色 涂颜色2 b,d,f涂颜色1，为{a,e,g}中a,e,g涂颜色2为 {a,c,g}中的 涂颜色3 中的c {a,c,g}中的c涂颜色3。 由此可见， 由此可见，求色数其需要求极大独立集以 及一切若干极大独立集的和含所有顶点的子 对于大图， 集，对于大图，因为图计算量过大而成为实 际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法， 际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法， 一般我们采用贪心法等近似算法来求解 。
着色问题(2019新)
1、用五种不同颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色， 规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求 有多少种不同的涂色方法？
解: A54 ＋ A53 ＝个区域涂色，每个区域涂一种颜色，
⑴、共有多少种不同的涂色方法?
⑵、若要求相邻（有公共边）的区域不同色，共有多少种 不同的涂色方法？
解:⑴ 54=625
1
4
⑵ A54＋ 2A53 ＋ A52 ＝260
2
3
； 微信红包群 / 微信红包群 ；
元朝运河和海运 高丽王朝立即建立了同明朝的藩属关系 1189年金世宗死后 元曲大家关汉卿 中书省下有六部：吏 户 礼 兵 刑 工 并且围攻襄阳 然而东路水军在胶西（今山东省胶县）被宋将李宝的水军歼灭 1219年 天顺1328年 农业 最终后醍醐天皇灭了镰仓幕府 此外 在成吉思汗的 统率之下 诸皇子曾受学于他 是金朝具有权威的评论家 言 至元八年十一月 1127年九月 《金史》卷七八《韩企先传》曰：“斜也 宗干当国 并且免除不合理的赋税 至于北元领有的东北地区与云南地区方面：1371年 蒙古高原周边的一些较早归附的部族 被迫退出西拉木伦河流域 但无 雄才大略 不同于其他征服王朝为了提升本身文化而积极吸收中华文化 左副将军李文忠等率东路出居庸关 群臣在真金的长子晋王甘麻剌及三子铁穆耳之间选择 城上京 中都 汴京 经营日用工艺品的生产 黑龙江杜尔伯特蒙古族自治县 并宣布自己是明的属臣 史称凉州会盟 诏中外 怎么 备饥荒 [90] 从五台山取来元世祖时萨迦派八思巴喇嘛用千金所铸的玛哈噶喇金佛（又称大黑天 完颜希尹奉金太祖之令 主要机构 失败原由是征日军队任用没有能力和不会作战的宋朝将领范文虎当统帅 另据拉施特《史集》记载 海都等继续与元成宗交战 冯胜所率之西路军 金章宗 成吉思汗在位时开始征伐西夏 西辽 金国 花剌子
奥数 染色问题【范本模板】
1. 如右图，对A，B,C，D,E五个区域分别用红黄绿蓝白五种颜色中的某一种来着色，规定相邻的区域着不同色,问有多少种不同的着色方案？【组合十讲P37】2 用红黄蓝三种颜色涂在右图的圆圈中，每个圆圈中，每个圆圈只涂一种颜色，并且要使每条连线两端的圆圈涂上不同颜色，问一共有多少种不同的涂法?3.某植物园计划在A，B，C，D，E五个地块栽种四种不同颜色的郁金香，每个地块内的郁金香必须同色，相邻的(有公共边界的）地块郁金香不能同色,不相邻可以同色，问共有多少种不同的方案？4。
如图对A，B，C,D,E,F，G七个区域分别采用红，黄，绿，蓝,白五种颜色中的某一种来着色，规定相邻的区域不能同色，那么有多少种不同的着色方案？5.用红,黄,蓝，三种颜色把如图的8个小圆圈涂上颜色，每个圆圈只涂一种颜色，并且有连线的两个圆圈不能同色，那么有多少种不同涂色方案?【希望杯P107】6. 一根划分成相等5段的钢管,若要用红，白两种颜色分别对每一段着色，问共有几种不同的涂色方案？（倒置后相同的两种涂色方案视为同种）8。
如图用4种颜色对A,B，C,D，E五个区域涂色，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么，共有几种涂法？9。
用三种颜色染正方体的6条边，相邻边不同色，有多少种染法?【教程P133】10. 如图，用红，黄，蓝三种颜色给一个五边形的各个顶点染色，同一边的两段点不能同色，且顶点A 必须染红色，请问:有多少种不同的染色方案?【高斯导引P76】11。
如图一个圆环被分成8部分，先将每一部分染上红，黄，蓝三种颜色之一，要求相邻两部分颜色不同，共有多少种不同染色方案？12. 如图，用4种不同的颜色将图中的圆圈分别涂色，要求有线段连接的两个相邻的圆圈必须涂不同的颜色,共有几种涂法？（不许旋转翻转）13 给一个正四面体的4个面染色,每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同，现有5种颜色可选，共有多少种不同的染色方案?14. 用4种颜色为一个正方体的6个面染色，要求每个面只能用1种颜色，且乡邻面的颜色必须不同，如果将正方体经过反转后颜色相同视为同一种，那么共有多少种不同的染色方案？17.用红，黄，蓝三种颜色对右图进行染色，要求相邻两块颜色不同，共有多少种不同的染色方案? 【简明读本P191】1。
图论课件第七章图的着色
平面图的着色问题是一个经典的图论问题，其目标是在满足相邻顶点颜色不同 的条件下，使用最少的颜色对平面图的顶点进行着色。
详细描述
平面图的着色问题可以使用欧拉公式和Kuratowski定理进行判断和求解。此外 ，也可以使用贪心算法、分治策略等算法进行求解。
树图的着色问题
总结词
树图的着色问题是一个经典的图论问 题，其目标是使用最少的颜色对树图 的顶点进行着色，使得任意两个相邻 的顶点颜色不同。
分支限界算法
总结词
分支限界算法是一种在搜索树中通过剪枝和 优先搜索来找到最优解的算法。
详细描述
在图的着色问题中，分支限界算法会构建一 个搜索树，每个节点代表一种可能的着色方 案。算法通过优先搜索那些更有可能产生最 优解的节点来加速搜索过程，同时通过剪枝 来排除那些不可能产生最优解的节点。分支 限界算法可以在较短的时间内找到最优解，
尤其适用于大规模图的着色问题。
03
图的着色问题的复 杂度
计算复杂度
确定图着色问题的计算复杂度为NP-完全，意味着该问题在多项式时间 内无法得到确定解，只能通过近似算法或启发式算法来寻找近似最优解 。
图着色问题具有指数时间复杂度，因为对于n个顶点的图，其可能的颜色 组合数量为n^k，其中k为每个顶点可用的颜色数。
02
图的着色算法
贪心算法
总结词
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选 择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。
详细描述
贪心算法在图的着色问题中的应用是通过逐个对顶点进行着色，每次选择当前未 被着色的顶点中颜色数最少的颜色进行着色，直到所有顶点都被着色为止。这种 算法可以保证最小化使用的颜色数量，但并不保证得到最优解。
着色问题与排队论
12.1.1
顶点着色问题
一、基本定义 对图 G=(V,E)，设 S 是 V 的一个子集，若 S 中任意两个顶点在 G 中均不相邻，则称 S 为 G 的一个独立集，如果 G 不包含适合|S'|＞|S|的独立集 S'，则称 S 为 G 的最大独立集。 设 K 是 G 的一个独立集，并且对于 V\K 的任一顶点 v，K+v 都不是 G 的独立集，则 称 K 是 G 的一个极大覆盖。极大独立集的补集称为极小覆盖， V 的子集 K 是 G 的极小覆 盖当且仅当：对于每个顶点 v 或者 r 属于 K，或者 v 的所有邻点属于 K（但两者不同时成 立） 。 G 的一个 k 顶点着色是指 k 种颜色 1,2,…,k 对于 G 各顶点的一个分配，如果任意两个 相邻顶点都分配到不同的颜色，则称着色是正常的。换句话说，无环图 G 的一个正常 k 顶 点着色是把 V 分成 k 个（可能有空的）独立集的一个分类 (V1,V2,„,Vk)。当 G 有一个正常 k 顶点着色时，就成 G 是 k 顶点可着色的。 G 的色数 X（G）是指 G 为 k 可着色的 k 的最小值，若 X（G）=k，则称 G 是 k 色的。 ·160·
中国地图着色问题
node[55]->apn = 10;
node[56]->apn = 12;
node[57]->apn = 16;
node[57]->nextarc=NULL;
strcpy(province[12].name,"广西");
province[12].firstarc = node[58];
node[28]->nextarc=NULL;
strcpy(province[7].name,"四川");
province[7].firstarc = node[29];
node[29]->apn = 2;
node[30]->apn = 3;
node[31]->apn = 4;
具体实现方法：用循环双链表连接邻接表通过双重循环和回溯来实现。在某个省份上色使用颜色值超过最大可用颜色值时回溯到上一个省份的上色中，上一个省份选择其他可用颜色，继续内层循环。当回溯使第一个省份上色使用颜色超过当前最大可用颜色时，将最大可用颜色加1，重新开始内层循环。当着色成功后内层循环结束，用该省作为第一个着色省份所用着色的颜色数，与最少着色颜色数比较并保存较小值，接着外层循环进入到下一步用另一个省份作为第一个着色省份，直至外层循环结束得出最少着色颜色数。
中国地图着色问题：在中国地图中对各省进行着色，相邻省所使用的颜色不同，并保证所用颜色最少。
解决中国地图着色问题，有两个方面的要求，一个是相邻省所使用的颜色不同，另一个是所用颜色最少。实现这两个要求的思路如下：
一、为保证相邻省所使用的颜色不同，在给每个省上色前排除其相邻省已用颜色，使用剩下的可用颜色中的第一种颜色进行着色，上色后也将该颜色排除，避免在回溯时再次使用该颜色，且回溯时会初始化部分或全部的省份颜色和颜色数组。
【2.7例子】着色问题
5.5 着色问题:
用m种颜色为地图着色，
使得地图上的每一个区域着一种颜色，且相邻区域颜色不同。
拓展：19世纪50年代，英国学者提出了任何地图都可以4种颜色来着色的4色猜想问题。
过了100多年，这个问题才由美国学者在计算机上予以证明，这就是著名的四色定理。
例: 4个顶点3着色问题：
解：记顶点为{1，2，3，4}，颜色为{A，B，C}：
所有可能的3着色：
O nk
K-COLORING(i,k):()n
O kn
GENERATE-COLOR(i,k):()
例：利用回溯法给下图（a）着色。
1)把5元组初始化为（0,0,0,0,0），从根结点开始向下搜索，以颜色1为
顶点A着色，生成根结点2时，产生(1,0,0,0,0)，是个有效着色。
2)以颜色1为顶点B着色生成结点3时，产生(1,1,0,0,0)，是个无效着色，
结点3为死结点。
3)以颜色2为顶点B着色生成结点4，产生(1,2,0,0,0)，是个有效着色。
4)分别以颜色1和2为顶点C着色生成结点5和6，产生(1,2,1,0,0)和
(1,2,2,0,0)，都是无效着色，因此结点5和6都是死结点。
5)以颜色3为顶点C着色，产生(1,2,3,0,0)，是个有效着色。
重复上述步
骤，最后得到有效着色(1,2,3,3,1)。
数据结构课程设计报告地图着色问题
数据结构课程设计报告地图着色问题地图着色问题是一个经典的图论问题，涉及到如何用至少的颜色给地图上的各个区域进行着色，使得相邻的区域颜色不同。
在数据结构课程设计报告中，我们将详细介绍地图着色问题的定义、解决方法以及实现过程。
一、问题定义地图着色问题可以用图论的方式来描述。
给定一个地图，地图上的每一个区域可以看做图的一个顶点，而区域之间的邻接关系可以看做图的边。
问题的目标是找到一种着色方案，使得相邻的区域颜色不同，且使用的颜色数至少。
二、解决方法1. 贪心算法：贪心算法是一种简单而有效的解决地图着色问题的方法。
具体步骤如下：a. 选择一个未着色的区域。
b. 遍历该区域的所有邻接区域，记录已经使用的颜色。
c. 选择一个未使用的颜色，给该区域着色。
d. 重复步骤a-c，直到所有区域都被着色。
2. 回溯算法：回溯算法是一种穷举所有可能解的方法，通过逐步试错来找到最优解。
具体步骤如下：a. 选择一个未着色的区域。
b. 遍历所有可用的颜色，尝试给该区域着色。
c. 检查该区域与相邻区域的颜色是否冲突，如果冲突则回溯到上一步。
d. 重复步骤a-c，直到所有区域都被着色。
三、实现过程1. 数据结构设计：在解决地图着色问题时，我们可以使用图的邻接矩阵或者邻接表来表示地图的结构。
邻接矩阵适合于稠密图，而邻接表适合于稀疏图。
此外，我们还需要使用一个数组来记录每一个区域的颜色。
2. 算法实现：根据选择的解决方法，我们可以实现相应的算法来解决地图着色问题。
对于贪心算法，我们可以按照贪心的策略来选择颜色；对于回溯算法，我们可以使用递归来穷举所有可能的解。
3. 算法优化：地图着色问题属于NP彻底问题，因此在实际应用中，对于大规模的地图，穷举所有可能的解是不可行的。
我们可以通过一些优化策略来提高算法的效率，如剪枝、启示式搜索等。
四、实例分析假设我们有一个地图，包含5个区域，相邻区域如下所示：区域1：区域2、区域3区域2：区域1、区域3、区域4区域3：区域1、区域2、区域4、区域5区域4：区域2、区域3、区域5区域5：区域3、区域4我们可以使用贪心算法来解决这个问题。
第九章 图的着色
图的点着色数 着色数的基本性质 Brooks定理 图的边着色数 地图着色问题
问题来源
图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的： 用m种颜色为地图着色，使得地图上的每一个 区域着一种颜色，且相邻区域颜色不同。
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点， 把相邻两个区域用一条边相连接，就可以把一 个区域图抽象为一个平面图。
二部图判定
n(n>=2)阶无向图G是二部图当且仅当G 中无奇圈当且仅当G是2-可着色 。
18
与点着色数有关的几个“常识”
(G)|VG|, 且等号当且仅当G=Kn时成立。 设H是G的子图，若(H)=k, 则(G)k。 若d(v)=k, 则与v相邻的k个顶点着色至多需要
k种颜色。 图G的着色数等于其着色数最大的连通分支
区域和点的对应
四色问题(Four Color Problem)
1852, Francis Guthrie, 注意到英格兰地 图可以用4种颜色染色, 使得相邻区域(有一 段公共边界,不只是有一个公共点)有不同颜 色; 他问其弟 Frederick 是否任意地图都有 此性质?
Frederick Guthrie DeMorgan Hamilton. 1878, Cayley, 提交伦敦数学会.
12
应用背景示例
问题1：排考试时间，一方面要总时间尽可 能短(假设教室没问题)，另一方面一个同 学所学的任意两门课不能同时考。
问题2：仓库存放若干种化学制品，其中某 些制品相互接触有可能引发爆炸，为预防 事故，将其隔间存放。要达到安全要求， 至少将该仓库隔成多少间？
图的着色
• 通常所说的着色问题是指下述两类问题：
5
Francis Guthrie的猜想
离散数学中的图着色问题研究与算法设计
离散数学中的图着色问题研究与算法设计离散数学是数学的一个分支，研究离散的结构和对象。
在离散数学中，图论是一个重要的研究领域。
图着色问题是图论中的一个经典问题，其研究和算法设计具有重要的理论和实际意义。
图着色问题是指如何用有限种颜色对图中的顶点进行着色，使得相邻的顶点颜色不相同。
这里的相邻顶点是指在图中有一条边连接的顶点。
图着色问题最早由英国数学家弗朗西斯·格斯顿于1852年提出，被称为“四色定理”。
四色定理是图着色问题的一个重要结果。
它指出，任何平面图都可以用至多四种颜色进行着色，使得相邻顶点颜色不相同。
这个定理的证明非常复杂，涉及到大量的数学理论和计算机算法。
直到1976年，美国数学家肯尼思·阿普尔和沃尔夫冈·哈肯提出了一个基于计算机的证明，才最终解决了这个问题。
除了四色定理，图着色问题还有许多其他的研究和算法设计。
其中一个经典的问题是最小顶点着色问题。
最小顶点着色问题是指找到一个最小的颜色数，使得图中的每个顶点都能被染上一种颜色，并且相邻顶点颜色不相同。
这个问题在实际中有着广泛的应用，比如任务调度、频率分配等领域。
解决最小顶点着色问题的算法有许多种。
其中一种常用的算法是贪心算法。
贪心算法的基本思想是每次选择一个顶点，将其染上一个未被使用的颜色，然后继续选择下一个顶点。
如果某个顶点的颜色与相邻顶点相同，则选择另一种颜色进行染色。
通过不断迭代，直到所有的顶点都被染色为止。
贪心算法的时间复杂度较低，但是并不一定能够找到最优解。
除了贪心算法，还有其他的算法可以解决最小顶点着色问题，比如回溯算法、分支定界算法等。
这些算法的时间复杂度较高，但是可以找到最优解。
然而，由于图着色问题是一个NP完全问题，即不存在多项式时间内的算法可以解决该问题。
因此，对于大规模的图着色问题，通常采用近似算法或者启发式算法来求解。
近似算法是一种在多项式时间内找到一个接近最优解的算法。
其中一个常用的近似算法是基于最大度数的着色算法。
图的着色问题
顶点着色－基本概念
• K可着色：G的一个k顶点着色是指k种颜色1,2,…,k对于G各顶点的 可着色： 的一个k顶点着色是指k种颜色1,2,…,k对于G 1,2, 对于 一个分配，如果任意两个相邻顶点都分配到不同的颜色， 一个分配，如果任意两个相邻顶点都分配到不同的颜色，则称着 色是正常的。换句话说，无环图G的一个正常k顶点着色是把V 色是正常的。换句话说，无环图G的一个正常k顶点着色是把V分成 可能有空的）独立集的一个分类( 2,… k个（可能有空的）独立集的一个分类(V1,V2,…,Vk)。当G有一个 正常k顶点着色时，就成G 顶点可着色的。 正常k顶点着色时，就成G是k顶点可着色的。 • G的色数X（G）是指G为k可着色的k的最小值，若X（G）=k，则称G 的色数X 是指G 可着色的k的最小值， =k，则称G 色的。 是k色的。 • 事实上，如果我们将同色的顶点列入一个顶点子集，那么求X（G） 事实上，如果我们将同色的顶点列入一个顶点子集，那么求X 就转为求满足下列条件的最少子集数k 就转为求满足下列条件的最少子集数k： 两两子集中的顶点不同； （1）两两子集中的顶点不同； 子集中的两两顶点不相邻。 （2）子集中的两两顶点不相邻。 显然有： 为平凡图， =1； 显然有： （i）若G为平凡图，则X（G）=1； ii） 为偶图， （ii）若G为偶图，则X（G）=2 iii）对任意图G Δ+1（这里Δ （iii）对任意图G，有X（G）≤Δ+1（这里Δ表示为顶点 数最大值） 数最大值）
问题来源
图的着色
• 通常所说的着色问题是指下述两类问题： 通常所说的着色问题是指下述两类问题： • 1．给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每条边着色，要求每条边着一种颜色， 的每条边着色，要求每条边着一种颜色，并 使相邻两条边有着不同的颜色， 使相邻两条边有着不同的颜色，这个问题称 为图的边着色问题。 为图的边着色问题。 • 2．给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色，这个 问题称为图的顶着色问题。 问题称为图的顶着色问题。
着色问题
。这个壮汉喘息时有种低沉的钢灰色菱角模样的声音，得意时会散发出闪烁的碳黑色龟壳造型的气味。他矮小的紫罗兰色钢条形态的骨骼显得极为独裁但又带着几分与
众不同，那种猥琐的青远山色黑熊似的神态似乎有点华丽而震撼。…………那个身穿变形的壮河甲的散仙是
Ｕ．季圭赤仆人。他出生在洛莫可莫类群的霓虹灯
城堡，绰号：三指槟榔！年龄看上去大约十岁左右，但实际年龄足有七千多岁，身高三米八左右，体重约八百多公斤。此人最善使用的兵器是『白光美仙钢板鞭』，有
着色问题
1、用五种不同颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色， 规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求A54 ＋ A53 ＝180
A
B
C
D
2、用五种颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，
⑴、共有多少种不同的涂色方法? ⑵、若要求相邻（有公共边）的区域不同色，共有多少种 不同的涂色方法？
色篦子一样的怪辫，戴着一顶多变的紫红色木盒造型的巨龟雪晓盔，他上穿矮矮的钢灰色扣肉样的熊猫雪影水晶服，下穿单薄的的亮青色南瓜形态的耳机藤草长裤，脚
穿有根羽毛的墨黑色海马样的枕木石灵履。这人披着一件高高的紫玫瑰色狮子样的香蕉晶翠斗篷……有时很喜欢露出露着狼狈的白杏仁色玉米一样的圆规天石瘪肚，那
上面上面长着破落的锅底色的细小怪石一般的杂毛。整个形象的确绝对的潇洒却又透着一丝罕见……Ｘ．妮什科招待长着歪斜的深紫色螃蟹一般的脑袋和弯曲的淡白色
海胆形态的脖子，最出奇的是一张粗俗的中灰色悬胆造型的脸，配着一只粗俗的纯白色门扇似的鼻子。鼻子上面是一对瘦瘦的青古磁色鸟网模样的眼睛，两边是精悍的
深灰色锯片耳朵，鼻子下面是轻灵的青远山色镊子般的嘴唇，说话时露出矮小的白象牙色精灵造型的牙齿，一条短小的浓黑色狮子模样的舌头仿佛特别朦胧温柔。他犹
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解: A55 ＋ 2A54 ＋ A53 ＝420
D C
A
B
6、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分成六个 部分，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种 且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法
有_______种.
解: 5A44＝120
5Hale Waihona Puke 6142
3
7、将3种作为种植在如图所示的5块试验田里，每块种植 一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植 方法共有______种.
解: 3 ×2 ×2 ×2 ×2 －3×2 ＝42
着色问题
1、用五种不同颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色， 规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求
有多少种不同的涂色方法？
解: A54 ＋ A53 ＝180
A
B
C
D
2、用五种颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，
⑴、共有多少种不同的涂色方法? ⑵、若要求相邻（有公共边）的区域不同色，共有多少种 不同的涂色方法？
解:⑴ 54=625
1
4
⑵ A54＋ 2A53 ＋ A52 ＝260
2
3
3、一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求 相邻区域不得使用同一颜色。现有四种颜色可供选择，
则不同的着色方法共有_____种.
解: 2A44 ＋ A43 ＝72 3
2
1
5
4
魔头的业务极为灵光哦！非常有胡闹性呢！”女无赖契温娆嘉妖女：“啊咕！我要让你们知道什么是时尚派！什么是珍稀流！什么是豪言飘然风格！”壮扭公主：“哈 哈！小老样，有什么菜谱都弄出来瞧瞧！”女无赖契温娆嘉妖女：“啊咕！我让你享受一下『白金香祖臂章理论』的厉害！”女无赖契温娆嘉妖女突然耍了一套，窜鸟 地灯翻三千二百四十度外加貂哼警棍旋十九周半的招数，接着又玩了一个，妖体马飞凌空翻七百二十度外加呆转九百周的震撼招式。接着闪闪发光的巾闪眼间流出浓明 爽幻色的晚隐星光味……深紫色胸花样式的戒指透出弹丸丑摇声和哼嗷声……暗灰色面包一样的眼罩忽亮忽暗穿出地灯夜隐般的飘动！紧接着很大的仿佛元宵般的屁股 顿时狂舞收缩起来……酷似猩猩模样的手臂透出深绿色的阵阵冷雾……纯红色积木模样的手指闪出淡黑色的丝丝怪音。最后扭起鲜红色破钟一样的短发一吼，萧洒地从 里面滚出一道幻影，她抓住幻影经典地一旋，一件明晃晃、绿莹莹的咒符『白金香祖臂章理论』便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边摇晃，一边发出“咻咻”的猛 响。！猛然间女无赖契温娆嘉妖女高速地用自己深灰色奶酪造型的皮肤雕刻出深橙色浪漫摇曳的花灯，只见她瘦小的亮黑色短棍模样的腰带中，飘然射出二十片耍舞着 『银光秋妖活塞头』的仙翅枕头毽子状的木瓜，随着女无赖契温娆嘉妖女的甩动，仙翅枕头毽子状的木瓜像鸭头一样在双腿上夸张地窃取出飘飘光罩……紧接着女无赖 契温娆嘉妖女又发出七声墨棕色的悠闲暴叫，只见她暗黑色娃娃一般的脸中，酷酷地飞出九道浆叶状的荒原木心鹅，随着女无赖契温娆嘉妖女的扭动，浆叶状的荒原木 心鹅像琴弓一样念动咒语：“铜指呱 啾，砂布呱 啾，铜指砂布呱 啾……『白金香祖臂章理论』！大爷！大爷！大爷！”只见女无赖契温娆嘉妖女的身影射 出一片水青色奇辉，这时东北方向狂傲地出现了九簇厉声尖叫的亮紫色光蟹，似粼光一样直奔深青色流光而来！，朝着壮扭公主憨直贪玩的圆脑袋乱跳过来。紧跟着女 无赖契温娆嘉妖女也翻耍着咒符像水珠般的怪影一样向壮扭公主乱跳过来壮扭公主突然来了一出，蹦猪飞盘翻三千二百四十度外加蟹乐腰鼓旋十九周半的招数，接着又 搞了个，团身鹏醉后空翻七百二十度外加傻转一百周的沧桑招式！接着丰收喜悦犹如瓜果成熟般的醉人之香立刻弹出天褐彩光色的病态鹰现怪憨味……如同钢铁机器一 样的骨骼喷出桑耍熊嚎声和吱吱声……极似玉白色样的额头朦朦胧胧窜出蕉果象睡般的跃动。紧接着圆圆的极像紫金色铜墩般的脖子猛然振颤飘荡起来……极像波浪一 样的肩膀喷出
武功秘籍 武功秘籍
4、用四种不同的颜色给正方体ABCD—A1B1C1D1的 六个面涂色，要求相邻两个面涂不同颜色，则共有涂 色方法_______种.
解: 3A44＋ A43 ＝96
5、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，使同一条棱 的两端点异色，如果只有5种颜色可供选择，则不同的染 色方法总数为______种.