初中几何中三角形中位线定理的应用

初中几何中三角形中位线定理的应用

三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理，学好本节内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习。它具有两个方面的特性：（1）平行于第三边，这是位置关系；

（2）等于第三边的一半，这是数量关系。就第一个特性而言，中位线定理与平行线等分线段定理中的推论2（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边）存在着互逆关系。我们利用这两个特性，能证明（求解）许多几何问题，以下举例说明它的具体应用。

一、证明问题

1、证明角相等关系

例1、已知：如图在四边形ABCD 中

对角线AC=BD ，E 、F 分别为AB 、CD

中点，点O 为AC ，BD 的交点，M 、N

为EF 与BD ，AC 的交点。求证：OM=ON 分析：证明OM=ON 可转化成证明

∠OMN=∠ONM ，由于E 、F 为AB 、CD 的中点这时只要取AD 中点H 作出△ABD 与

△ACD 的中位线，即可得到EH=21BD ,HF=21AC,因为AC=BD,从而 得到EH=HF 所以∠HEF=∠HFE,因为 EH//BD, FH//AC 所以∠HEF=∠OMN, ∠HFE=∠ANM 从而得到∠DMF=∠ANM 这样要求证问题就解决了。

证明：取AD 中点H 并分别连结EH 、HF ，即EF 与FH

分别为△ABD 与△DAC 的中位线。

∴EH=21BD ，EH//BD ，HF=21AC ，FH//AC (三角形中位线定理)

而 AC=BD ，∴EH=HF ，∴∠HEF=∠HFE

又∵EH//BD ，HF//AC ，∴∠HEF=∠

DMF ，∠HFE=∠ANM

∴∠DMF=∠ANM ，∴OM=ON

例2、如图、四边ABCD 中，AB=CD ，

M 、N 分别为AD 、BC 的中点，EF ⊥MN

交AB 于E ，交CD 于F ，求证：

∠AEF=∠DFE

分析：欲证：∠AEF=∠DFE 。由MN ⊥EF 想到延长BA ，CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN=∠Q ，如何利用中点的条件？ 想到三角形的中位线，连线BD ，取BD 的中点G ，则有

12GM AB ∥，12

GN CD ∥，由于AB=CD ，进而有GM=GN ，∠GMN=∠GNM 然后再转化∠EPN=∠Q ，从而证出结论。

证明：延长BA ，CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD ， 取BD 的中点G ，连结GM 、GN 。∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、

AD 的中点∴12GM AB ∥。同理可证：12

GN AB ∥，又∵AB=CD ，∴GM=GN ，∴∠GMN=∠GNM ，∵GM//AB ，GN=CD ，∴∠GMN=∠EPN ，∠GNM=∠Q ，∴∠EPN=∠Q ，又 EF ⊥MN ，∴∠AEF=∠DFE （等角的余角相等）

说明：添辅助线是证明几何题的难点。尤其像例2、要添多条辅助线，更为困难，掌握一般添辅助线的规律是必要的，更为重要的是分析中自由添加辅助线，添辅助线是分析问题过程的一个步骤，这是几何的证明的较高层次，要在实践中仔细体会，不断摸索，不断总结。

2、证明线段的倍分以及相等关系 例1、 如图，已知平行四边形ABCD 中，

BD 为对角线，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连线EF ，交BD 于M 点。 求证：（1）BM=14BD （2）ME=MF 分析：欲证问题（1）由E 、F 分别为AB 、BC 中点想到连结AC ，由平行线等分线段定理可证得BM=MO 。又因为平行四边形的对角线互相平分，可得BO=OD ，即BM=41BD 。欲证问题(2)，由问题(1)中的辅助线，即连结AC ，由三角形中位线定理可得EM=12AO ，MF=12

OC ，又由平行四边形对角线互相平分即可得到问题（2）的结论。

证明：（1）连结AC ，交BD 于O 点，∵E 、F 分别为AB 、BC 中点，∴EF ∥AC ，

∴BM=MO=12BO （平行线等分线段定理）

又∵四边形ABCD 是平行四边形

∴BO=OD=12BD ，AO=OC=1

2

AC ， ∴BM=1124BO BD =，即BM=14

BD （2）∵M 是BO 的中点，E 、F 分别是AB 、BC 中的中点． ∴1

2=ME AD ，12=MF OC ，又∵AO ＝OC ，∴ME ＝MF

小结：问题（1）看起来似乎与三角形中位线定理无关，其实这是从侧面的运用了三角形中位线的位置关系，即三角形的中位线平行于底边，而问题（2）直接运用了三角形中位线的数量关系。

例2、 巳知：如图，在△ABC 中AB ＝AC ，

延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 的中点，

求证：CD ＝2CE 分析：这是证明线段的倍半问题，证明一条

线段等于另一条线段的二倍或一半时，常常是先

找出短线段的二倍，或者取长线段的一半，设法把线段的倍半问题转化为证明线段的相等问题，

这就是通常所说的“加倍”、“折半”的方法，下面我们就把问题转化成证明线段的相等。

方法：1、找出CD 的一半，然后证明CD 的一半和CE 相等， 此重取CD 中点F ，证CF ＝CE

证明：取CD 的中点F 连结BF ，

∴CD ＝2CF ，∵AB ＝BD ，∴BF 是 △ADC 的一条中位线，BF ∥AC ，

12=BF AC ，∴∠2=∠ACB ， ∵AB=AC, ∴∠1=∠ACB ，∴∠1=∠2，∴E 是AB 中 点，∴12=BE AC ，∵12=BF AC ，且AB=AC ，∴BE=BF ， 在△BCE 和△BCF 中，