2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型

1
L
0


2

x& M M M O M x M u

0
0
0
0
1

n
1

an an1` an2 L a1 n
y 1 0 L 0 0 x 0u
其中x [x1 x2 ... xn ] , u [u]和y [y]。
本节讨论描述单输入单输出(SISO)线性系统的输入输出间动 态行为的如下传递函数
G(s)

b0 s n a0 s n
b1sn1 a1sn1
... bn ... an
(a0 0)
由传递函数建立状态空间模型(4/6)
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➢ 对上述传递函数,由长除法,有
G(s)

b0 s n a0 s n
➢ 关键问题: 1. 如何选择状态变量
喔,关键!
2. 保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变
由传递函数建立状态空间模型(2/6)
由于传递函数与线性定系数常微分方程有直接的对应关系,故 前面讨论的由高阶线性微分方程建立状态空间模型的方法同 样适用于将传递函数建立变换为状态空间模型。
➢ 类似地,本节讨论的由传递函数建立状态空间模型的方法 亦适用于对微分方程建立状态空间模型。
其中i(i=0,1,…,n)为待定系数。
微分方程中包含输入量的导数项(5/11)
➢ 因此,有
x&1 y& 0u& x2 1u x&2 &y& 1u& 0u&& x3 2u
M
x&n1 y(n1) n2u& n3u&& L

u(n1) 0
微分方程中包含输入量的导数项(4/11)
根据上述原则,选择状态变量如下 x1 y 0u x2 y 1u 0u x3 y 2u 1u 0u xn y(n1) n1u n2u 0u(n1)
线性定常微分方程
对线性定常系统 拉氏变换
传递函数
建立状态空间模型方法
第一章第三节方法
第一章第四节方法
由传递函数建立状态空间模型(3/6)
实际物理系统传递函数中分子多项式阶次小于或等于其分母 多项式阶次,此时称该传递函数为真有理传递函数。
➢ 而分子多项式阶次小于分母多项式阶次时,则称为严格真 有理传递函数。
上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式,该矩阵的最 后一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关系,前n-1行为1 个n-1维的零向量与(n-1)(n-1)的单位矩阵。 ➢ 该类矩阵称为友矩阵。友矩阵在线性定常系统的状态 空间分析方法中是一类重要的矩阵,这在后面的章节中 可以看到。
微分方程中不包含输入量的导数项(7/9)
可完全刻划系统的动态特性。 ➢ 取输出y和y的各阶导数(也称相变量)为状态变量,物理
意义明确,易于接受。
微分方程中不包含输入量的导数项(3/9)
将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下 状态方程
x&1 x2
......

x&n1

xn
x&n a1xn ... an x1 bu
由微分方程理论知,若初始时刻t0的初值y(t0),y’(t0),…,y(n-
1)(t0)已知,则对给定的输入u(t),微分方程(2-6)有唯一解,也即 系统在tt0的任何瞬时的动态都被唯一确定。
➢ 因此,选择状态变量为如下相变量 x1(t)=y(t), x2(t)=y’(t), …, xn(t)=y(n-1)(t)
x& Ax Bu

y

Cx

Du
➢ 建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量?
微分方程中包含输入量的导数项(2/11)
若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,即
x1(t)=y(t), x2(t)=y’(t), …, xn(t)=y(n-1)(t) 则可得如下状态方程

x&1 x&n
y [1 0 0]x
微分方程中包含输入量的导数项(11/11)-例2-2
➢ 其系统结构图如下所示
u -12
x3
4
x3
x2
-5 -8
2
x2
x1
u
x1 y


-4
由传递函数建立状态空间模型(1/6)
2.3.2 由传递函数建立状态空间模型
下面讨论由描述系统输入输出关系的传递函数建立系统的 状态空间模型。
x1 y 0u y x2 y 1u 0u y 2u x3 y 2u 1u 0u y 4u 2u
即得系统的状态空间模型为
0 1 0 2
x


0
0
1

x


4

u
4 8 5 12
- an
- an1
...
-
a1

C [1 0 ... 0]
0
B ... 0
b

微分方程中不包含输入量的导数项(6/9)
上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵A与微分方程 (2-6)中的系数a1, a2,…, an之间,输入矩阵B与方程(2-6)中系数 b之间的对应关系。 ➢ 通常将上述取输出y和y的各阶导数为状态变量称为相变 量。
微分方程中包含输入量的导数项(3/11)
为避免状态方程中显示地出现输入的导数,通常, ➢ 可利用输出y和输入u以及其各阶导数的线性组合来组 成状态变量,其原则是: ✓ 使状态方程中不显含输出u的各阶导数。 ➢ 基于这种思路选择状态变量的方法很多,下面先介绍一 种,其他的方法将在后续章节中陆续介绍。

xn

n1u
x&n y(n) n1u& n2u&& L 0u(n)
a1 y(n1) L an y b0u(n) b1u(n1) L
bnu n1u& n2u&& L 0u(n)
微分方程中包含输入量的导数项(6/11)
微分方程中包含输入量的导数项(1/11)
2. 微分方程中包含输入量的导数项
描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的微分方 程的一般表达式为
y(n)+a1y(n-1)+…+any=b0u(n)+…+bnu
➢ 本小节所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系 统的如下状态空间数学模型--状态空间模型
目录(1/1)
根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(1/2)
2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空 间模型
本节讨论由描述线性定常系统输入输出间动态特性的高阶 常微分方程与传递函数,通过选择适当的状态变量分别建立 系统的状态空间模型。 ➢ 这样的问题称为系统的实现问题。 ➢ 这种变换过程的原则是,不管状态变量如何选择,应保持 系统输入输出间的动态和静态关系不变。
Ch.2 控制系统的状态空间 模型
目录
概述 2.1 状态和状态空间模型 2.2 根据系统机理建立状态空间模型 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型 2.5 传递函数阵 2.6 线性离散系统的状态空间描述 2.7 Matlab问题 本章小结

x2 ... a1xn ...
x&n1 xn an x1 b0u(n)

...

bnu
➢ 根据微分方程解的存在性和唯一性条件,要求输入u(t)为 分段连续,而上述状态方程中输入u的各阶导数可能不连 续,从而使微分方程解的存在性和唯一性的条件不成立。
➢ 因此,状态方程中不应有输入u的导数项出现,即不能直接 将输出y的各阶导数项取作状态变量。
根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(2/2)
本节的内容为： ➢ 由高阶常微分方程建立状态空间模型 ➢ 由传递函数建立状态空间模型 ➢ 多输入多输出线性系统 ➢ 非线性系统
由高阶常微分方程建立状态空间模型(1/1)
2.3.1 由高阶常微分方程建立状态空间模型
本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系 统的状态空间模型,分别讨论
➢ 若待定系数i(i=0,1,…,n)满足如下关系式 0=b0 1=b1-a10 2=b2-a11-a20 ……
n =bn-a1n-1-…-an0 即i(i=0,1,…,n)满足如下方程组
1 0

a1
1
0 00 b0
0

0

1


b1
y 1 0 L 0 0 x
其中x [x1 x2 ... xn ] , u [u]和y [y]。
微分方程中不包含输入量的导数项(5/9)
该状态空间模型可简记为:
其中
x& Ax Bu

y

Cx
0 1 ... 0
A


...
0
...
...
...

0 ... 1
y(n)+a1y(n-1)+…+any=bu 其中y和u分别为系统的输出和输入;n为系统的阶次。
➢ 这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系 统的如下状态空间数学模型--状态空间模型
x& Ax Bu

y

Cx

Du
➢ 本节问题的关键是如何选择状态变量。
微分方程中不包含输入量的导数项(2/9)
解 本例中 a1=5 a2=8 a3=4 b0=0 b1=2 b2=14 b3=24
➢ 因此,有 0=b0=0 1=b1-a10=2 2=b2-a11-a20 =4 3=b3-a12-a21-a30 =-12
微分方程中包含输入量的导数项(10/11)-例2-2
➢ 因此,当选择状态变量如下时
上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示
u b
xn xn
-a1
xn-1 … x2
u
-a2
…
2
-an-1
-an
x1
y 1
微分方程中不包含输入量的导数项(8/9)-例2-1
例2-1 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型 y”’+6y”+11y’+6y=6u
解 本例中
a1=6 a2=11 a3=6 b=6 因此,当选择输出y及其1阶与2阶导数等相变量为状态变量时,由
微分方程中包含输入量的导数项(8/11)
上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示
u
n xn
-a1
…
n-1
xn
xn1 … x2
-an-1
1 x1
u

0
x1 y

-an
微分方程中包含输入量的导数项(9/11)-例2-2
例2-2 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型 y”’+5y”+8y’+4y=2u”+14u’+24u
b1sn1 a1sn1
... bn ... an

b1 a1b0/a0 sn1 ... bn anb0/a0 a0sn a1sn1 ... an

a2
a1
1

0
2

b2
an an1 an2 1n bn
微分方程中包含输入量的导数项(7/11)
则该高阶微分方程可转化描述为如下不含有输入导数项的 状态空间模型
0 1

0
0
0 L 0 1
和输出方程
y=x1
微分方程中不包含输入量的导数项(4/9)
将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有
0 1
0 L 0 0

0
0
1
L
0

0
x& M M M O M x M u

0
0
0
0
1

0
an an1` an2 L a1 b
➢ 由不含输入量导数项和
➢ 由含输入量导数项的 微分方程建立状态空间模型。
本节关键问题:
关键喔!
➢ 如何选择状态变量
➢ 保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变
微分方程中不包含输入量的导数项(1/9)
1. 微分方程中不包含输入量的导数项
描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为,不包含 有输入量的导数项时的线性定系数常微分方程为
式(2-11)和(2-12)可得状态空间模型如下
0 1 0 0
x&

0
0
1

x

0
u
6 11 6 6
y [1 0 0]x
微分方程中不包含输入量的导数项(9/9)-例2-1
其系统结构图如下所示
u 6
x3 x3
x2

x1
y 1
-6 -11 2 -6